Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 4, с. 251 - 257

Двумерное кулоновское стекло как модель пиннинга вихрей

в сверхпроводящих пленках¹⁾

И.В.Побойко²⁾, М.В.Фейгельман

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 119334 Москва, Россия

Сколковский институт науки и технологий, 121205 Москва, Россия

Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, 101000 Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 июня 2020 г.

После переработки 4 июля 2020 г.

Принята к публикации 10 июля 2020 г.

Предложена стекольная модель пиннинга вихрей в тонких сверхпроводящих пленках с сильным бес-

порядком в области магнитных полей B ≪ Hc2 и при низких температурах. Впервые теоретически

исследован сильный коллективный пиннинг системы вихрей, реализующийся в сильно неупорядочен-

ных сверхпроводниках находящихся недалеко от квантового фазового перехода в состояние изолятора -

таких, как InOx, NbN, TiN, MoGe, наногранулированный алюминий и подобные. С помощью метода

реплик, развитого в теории спиновых стекол, показано, что такая система вихрей находится в неэрго-

дическом состоянии стекольного типа с большой кинетической индуктивностью на квадрат пленки LK.

Вычислена функция распределения локальных энергий пиннинга вихрей, и показано, что она имеет

широкую “щель”, т.е. вероятность найти слабо запиннингованный вихрь чрезвычайно мала.

DOI: 10.31857/S1234567820160065

1. Введение. В предлагаемой работе исследова-

маций решетки вихрей много меньше, чем энергия

на проблема очень сильно неупорядоченного сверх-

деформаций сжатия (согласно [5], энергия правиль-

проводника в магнитном поле B ≪ H_c2 и при низких

ной треугольной решетки лишь на 2 % ниже, чем

температурах. Интерес к такой постановке задачи

для квадратной решетки). Отсутствие даже ближ-

связан с активными экспериментальными исследо-

него решеточного порядка не позволяет строить тео-

ваниями в данной области (см., например, обзорную

рию известными методами, восходящими к работе

статью [1]; более подробно некоторые из этих экспе-

А. И. Ларкина [6] (см. также статью [7] и обзоры [8-

риментов [2, 3] обсуждаются в заключительной ча-

10]), поскольку все они рассматривают потенциал

сти настоящей статьи). Существо изучаемой пробле-

дефектов как возмущение по сравнению с энергией

мы состоит в конкуренции между сильным пиннин-

упругой деформации решетки вихрей (в модели кол-

гом каждого отдельного вихря беспорядком и оттал-

лективного слабого пиннинга), либо же рассматрива-

киванием между вихрями. Сильный пиннинг здесь

ют пиннинг отдельных вихрей без учета межвихре-

означает, что энергия кора вихря меняется на вели-

вого взаимодействия; оба эти подхода неприменимы

чину порядка самой этой энергии при сдвиге вих-

в интересующем нас случае. Отдельно следует так-

ря на расстояние порядка размера его кора ξ. Столь

же упомянуть теорию сильного пиннинга [11-13], где

сильный пиннинг возникает из-за того, что флукту-

рассматриваются сильные примеси, а межвихревое

ации параметра порядка в пространстве превышают

взаимодействие учитывается в рамках теории упру-

его среднее значение [4]. Регулярная решетка вих-

гости вихревой решетки: это оказывается возмож-

рей при таких условиях не образуется, нет даже и

ным в силу предположения о малости концентрации

ближнего решеточного порядка, однако плотность

сильных дефектов. Отличие нашей ситуации в том,

вихрей в среднем постоянна и задана магнитным по-

что дефекты сильные и концентрация их велика.

лем с хорошей точностью. Для существования тако-

Наша задача состоит в построении теории вихре-

го состояния важно, что энергия сдвиговых дефор-

вого стекла в ситуации, которая в значительной ме-

ре напоминает “кулоновское стекло” модели кулонов-

ской щели Эфроса-Шкловского [14, 15], но в ситуа-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru.

ции, когда взаимодействие частиц (в данном случае -

²⁾e-mail: poboiko@itp.ac.ru

вихрей) является логарифмическим отталкиванием,

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

251

252

И.В.Побойко, М.В.Фейгельман

U (r) = U₀ ln^ar , а не обычным кулоновским. Постоян-

рядку при помощи метода реплик и проводя преоб-

разование Хаббарда-Стратановича для нелокально-

ная U₀ =Φ0d8π2λ2^{дляпленкисверхпроводникатолщи-}

го члена при помощи вспомогательного поля ϕ (име-

ной d много меньшей, чем лондоновская глубина про-

ющего смысл дуальной переменной к сверхпроводя-

никновения λ. Строго говоря, на самых больших рас-

щей фазе), мы приходим к следующему выражению

стояниях r ≥ λ_2D = 2λ²/d энергия взаимодействия

для статсуммы:

вихрей описывается уже не логарифмическим зако-

∫

(

)

ном, а убывает ∝ 1/r, однако мы будем интересовать-

Zⁿ = Dϕexp

ϕ(βJ)-1ϕ

(2)

ся пределом очень больших отношений λ/d ≥ 100

(легко реализуемым в тонких пленках сильно гряз-

(

)

∏

∑

β²W²

ных сверхпроводников), когда конечность величины

× Tr_v exp

(βµ + iϕ^ar)δn^ar +

δn_r Îδnr ,

λ_2D не играет никакой роли.

Феноменологический подход к задаче о вихрях в

∑

где обозначено Tr_v ≡_n

; латинские индексы

r=0,1

пленке, подобный использованному в [14, 15], был

отвечают за репличное пространство a = 1, . . ., n

развит в работе [16], см. также [17]. Мы здесь разви-

(n → 0), матрица I^ab = 1 описывает вмороженный

ваем другой подход, опирающийся на работу Мюл-

беспорядок, одинаковый для всех реплик, а взаимо-

лера и Иоффе [18] (см. также ряд последующих ра-

действие

J = δ^abJ_rr′ диагонально по репликам. От-

бот [19, 20]), где задача о развитии кулоновской ще-

метим, что в такой постановке “вихревая” часть дей-

ли изучалась методами теории спиновых стекол, и

ствия стала сугубо локальной.

предсказывался фазовый переход в неэргодическое

Мы будем описывать стекольное состояние при

состояние с нарушенной репличной симметрией. Од-

помощи диагональной в пространстве (но зависящей

нако, в отличие от работы [18] и последующих за ней,

от координат) матрицы G^abr = -ϕ^arϕ^br, описывающей

мы не будем закладывать в нашу теорию предполо-

корреляции медленной в пространстве части били-

жения о возможности представить ее в полностью

нейной комбинации полей. Стекольный переход бу-

локальном виде, не содержащем пространственных

дет соответствовать спонтанному нарушению реп-

зависимостей матричных полей, описывающих сте-

личной симметрии в этой матрице. Введем параметр

кольное упорядочение.

порядка при помощи тождества (интегрирование по

2. Модель и теория среднего поля. Мы сде-

Q происходит вдоль мнимой оси):

лаем модельное приближение о том, что вихри мо-

∫

∏

гут занимать положения дискретной регулярной ре-

1 = DG δ(G^abr + ϕ^arϕ^br) =

шетки с шагом a. Описывать вихревую конфигура-

∫

(

)

цию мы будем набором “чисел заполнения” каждого

(

)

узла {n_r}. Поскольку к системе приложено магнит-

= DGDQ exp

GQ -

ϕ Qϕ

(3)

ное поле, и тем самым имеется конечная концентра-

ция вихрей 〈n_r〉 ≡ K = Ba²/Φ₀, мы будем прене-

Флуктуации поля ϕ описываются пропагатором с

√

брегать возможностью возникновения антивихрей в

длиной экранировки l ∼ a

W/U₀. Разумно пред-

системе, а также вихрей с зарядом n_r > 1. В рам-

полагать, что в стекольной фазе и вблизи перехода,

ках модели эту концентрацию мы будем фиксиро-

флуктуации параметра порядка

G_r будут скоррели-

вать введением химического потенциала µ. Наконец,

рованы на гораздо бóльших длинах.

беспорядок в нашей модели будет учитываться в ви-

Чтобы учесть взаимодействие между числами

де случайной энергии кора вихря u_r с коррелятором

заполнения вихрей n^ar и полем ϕ^ar, мы разложим

∑

u_ru_r′ = W²δ_rr′ . Это приводит нас к следующему га-

exp(i_a ϕ^arδn^ar) в ряд Тейлора и запишем произволь-

мильтониану:

ный член в импульсном представлении:

∑

∑ i^k

H =

δn_rJ_rr′δn_r′ +

(u_r - µ)δn_r,

(1)

eⁱ aϕrδnr =

δna1r . . . δnrk ϕq1 . . . ϕqk .

r,r^′

k=0 q1+···+qk=0

(4)

Мы хотим описать флуктуации мягких мод парамет-

где δn_r ≡ n_r -K и J_rr′ = U₀ lnL|r-r′|^{.Величинабеспо-}

рядка предполагается большой, W ≫ U₀. Фактиче-

ра порядка

G_r с импульсами, много меньшими, чем

ски в рассматриваемых сверхпроводниках W ∼ U₀; в

типичные импульсы для поля ϕ, q_i ∼ l^-1. Основной

конце статьи мы поясним, почему модельное пред-

вклад в такие флуктуации будет даваться теми чле-

положение W ≫ U₀ не влияет на наши основные

нами в выражении (4), в которых какие-то пары им-

результаты. Усредняя свободную энергию по беспо-

пульсов аномально близки, |q_i + q_j | ≪ l^-1 такие

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Двумерное кулоновское стекло как модель пиннинга вихрей в сверхпроводящих пленках

253

“спаривания” мы будем заменять на Gaia^j (имея в_q

экспоненте будет поправка к действию -i(q₁ϕ^a

i+qj

виду малость суммарного импульса). В таком случае,

+ q₂ϕ^b ). Соответственно, после взятия Гауссового_r

для выделения основного вклада в динамику мяг-

интеграла по ϕ в выражении (6) возникнет поправка

ких мод, нам необходимо рассмотреть все возмож-

к действию, имеющая вид:

ные “спаривания” полей ϕ в этом выражении. Члены

(

)

δS =

+q₁q₂Ga1a².

(11)

с нечетными k в таком случае описывают взаимодей-

r1r2

ствие мягких мод и массивных, и в ведущем прибли-

Таким образом, матрица

Ĝ (а точнее, ее среднее

жении могут быть выброшены. Это позволяет нам

значение) может быть отождествлена с перенорми-

свести взаимодействие поля ϕ(r) и вихревых степе-

рованным взаимодействием двух “инфинитезималь-

ней свободы к эффективному локальному члену вза-

ных” вихрей:

имодействия вихрей вида δn_r

G_rδn_r/2 в экспоненте.



Наконец, беря оставшийся Гауссов интеграл по

∂²F



U^(eff)a(r1, r2) ≡

=T Ga1a²

(12)

ϕ(r), мы приходим к следующей теории поля, кото-

1a2



r1r2

∂q₁∂q₂

q1,2=0

рая описывает флуктуации мягких мод матричного

Наконец, можно также сразу записать уравнение,

параметра порядка:

определяющее химический потенциал:

∫

(

)

Zⁿ = DGDQ exp -nS

Q] ,

(5)

∂S

∑

〈δn^a〉_G = 0.

(13)

∂(βµ)

∑

Q] =

G Q)+ 1Tr ln(1+βJ Q)+βn Fv

G_r],

Поскольку параметр W предполагается самым боль-

шим в задаче, то химический потенциал определя-

(6)

ется в первую очередь “затравочной” плотностью со-

где локальная свободная энергия определяется сле-

√

стояний ν(u) = exp(-u²/2W²)/

2πW и следующим

дующим образом:

уравнением:

(

)

∫

∑

β(u - µ)

e-βnFv

^G] = Tr_v exp

δn(β²W² Î +

G)δn + βµ δn^a

1 - 2K = ν(u)dutanh

≈

∫

(7)

≈ ν(u)du · sign(u - µ),

(14)

Мы начнем анализ действия (6) с исследования

пространственно однородных седловых точек:

откуда следуют асимптотики:

√

(₁

)

δS



2π

-K

|K - 1/2| ≪ 1,

(Q-

Q) = 0, Q_ab = 〈δn_aδn_b〉_G ,

(8)

µ ≈ -W ·

(

)_1/2

(15)

 2ln

√

K ≪ 1.

2πK

где

Q - локальная корреляционная функция плотно-

3. Высокотемпературная фаза и фазовый

сти, сосчитанная в локальной модели (7).

переход. Мы начнем исследование седловых урав-

Второе уравнение, в полном согласии с определе-

нений с высокотемпературной фазы, которая соот-

нием матрицы G, дает:

ветствует реплично-симметричным решениям G_ab =

δS

= G₀δ_ab + G₁I_ab (и аналогично для Q). Сразу отме-

G+

Ĝ_rr) = 0,

Ĝ= ((β

J)^-1 +

Q)^-1.

(9)

тим, что поскольку вихревые переменные δn подоб-

δQ

ны Изинговским спинам (принимают два значения),

Для того, чтобы прояснить физический смысл

то для них имеет место тождество δn² = δn(1-2K)+

матрицы

Ĝ, рассмотрим результат добавления пары

+K(1-K) (при K = 1/2 оно вырождается в s² = 1/4

инфинитезимальных вихрей с зарядами q_1,2 ≪ 1 в

для буквально Изинговских спинов). Как следствие,

точки r_1,2 в репликах a_1,2. Такая операция описыва-

диагональная часть G₀ попросту перенормирует хи- )(

ется следующим возмущением:

мический потенциал µ → µ + T G₀

-K

, а офф-

∑

диагональная беспорядок W →

√W

² + T²G₁. Оба

V = (q₁Jr1rδnr1 + q2Jr2rδnr2) + q1q2Jr1r2

(10)

этих эффекта будут незначительны, поскольку µ ∼

∼W ≫T,U₀.

Рассмотрим отклик свободной энергии на такое воз-

Тогда получаем:

мущение - этот отклик имеет физический смысл

∫

ν(u)du

энергии взаимодействия двух вихрей. После преоб-

Q₀ =

(

)₂ ≈ Tν0.

(16)

разования Хаббарда-Стратановича, к формуле (3) в

2 cosh^β(u-µ)

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

254

И.В.Побойко, М.В.Фейгельман

Q₁ = K(1 - K) - Q₀.

(17)

Квадратичное разложение (24) соответствует лест-

ничному суммированию диаграммного ряда для че-

Отметим, что в силу большого W, плотность состо-

тырехточеченой функции Грина поля ϕ. Из действия

яний ν(u) может быть заменена на константу:

(24) следуют пропагаторы:





√

|K - 1/2| ≪ 1,

2πW

(

)_1/2

G^abrGr′′b′

(26)

ν₀ ≡ ν(µ) ≈

q²l²/6

b^′

K

2 ln

√

K ≪ 1.

2πK

^′b^′

(18)

Q^abrQ^a

r^′

²l²/6

b^′

(27)

Как следствие, в пропагаторе G_ab(k) = G₀(k)δ_ab+

где введена температура замерзания T_c ≡ U₀/12; при

+ G₁(k)I_ab возникает экранировка:

этой температуре величина τ ≡ T/T_c-1 меняет знак,

2πβU₀

а в теории (24) возникает неустойчивость по отноше-

G₀(k) =

G₁(k) = -Q₁G²⁰(k)/a²,

(19)

k² + l^-2

нию к спонтанному нарушению репличной симмет-

′

√

рии. Тензор P^aabb′

представляет собой проектор на ре-

где l = a(2πν₀U₀)^-1/2 ∼ a

W/U₀. Наконец, пара-

пликонную моду.

метр порядка принимает следующее значение:

Как показано в дополнительном материале 1,

корреляционная функция 〈〈QQ〉〉 имеет наглядный

βU₀

β²U₀

G₀ ≈ -

G₁ ≈

K(1 - K).

(20)

физический смысл: она представляет собой длинно-

ν₀U₀

ν₀

волновую асимптотику среднеквадратичной флукту-

Для исследования устойчивости реплично-

ации поляризуемости:

симметричного решения и нахождения температуры

∑DD

замерзания, нам необходимо изучить гессиан

Qab

〈δn_rδn_r′ 〉² = lim

r^′

(28)

n→0 n(n - 1)

квадратичное разложение действия (6):

a=b

Наконец, можно убедиться, что учет репличной

nS⁽²⁾[

G, δ

Q] =

Tr(

Gδ

Q) -

Tr(Ĝδ

Q Ĝδ

Q) -

структуры проектора на репликонную моду дает до-

∑

полнительный фактор lim_n→0 P^aabb/n(n - 1) = 3/2 к

Q_(a

(21)

1b1)(a2b2)δGr1b¹ δGr2b² ,

выражению (27).

В окрестности перехода при τ ≪ 1, квадратич-

где введена корреляционная функция:

ная часть действия (24) приближенно диагонализу-

ется следующим преобразованием:

Q_(a

〈δna1 δnb1 δna2 δnb2 〉_G -

1b1)(a2b2) ≡

)

(

)(

)

(ˆΨ

- 〈δna1δnb1 〉_G 〈δna2 δnb2 〉_G .

(22)

1/2

1/2Q₂₂

(29)

1/2

-1/2Q₂₂

δQ

По мере понижения температуры, сингулярность

возникает в так называемой репликонной моде. Эта

при этом мода Ψ оказывается мягкой, а мода Φ об-

мода соответствует линейному подпространству мат-

ладает щелью в спектре и должна быть отброшена.

риц с нулевыми диагональными элементами: δG_aa =

Проводя разложение функционала по

Ψ, мы прихо-

∑

= 0 иa δG_ab = 0. Действие, описывающее репли-

дим (вывод приведен в дополнительном материале 2)

конные флуктуации, сводится к следующему:

к следующему функционалу Гинзбурга-Ландау:

(

nS⁽²⁾ ≈

(23)

(

)(

)

∫

nS[Ψ] = ν₀T_c

Tr(τ

Ψ² + (∇ˆ)2l2/6) -

(30)

(

)

(dq)

-Q₂₂

G_-q

≈

G_q δ





Q_-q

)

4a²

-B₂(q) δ

∑

−

7TrΨ3₊₆

Ψ³

-

Ψ⁴

ab,r

где символ tr отвечает следу лишь по репличным ин-

2160

2016

ab,r

дексам; а также введены обозначения:

∫

Несмотря на наличие в задаче формально боль-

(

)

B₂(q) = (dk)G₀(k)G₀(k+q) ≈ π(βU₀l)²

1 - q²l²/6

шого радиуса взаимодействия l

≫ a, все коэф-

фициенты при нелинейных членах одного порядка

(24)

∫

∼ν₀T_c ∼ U₀/W. Как следствие, в полученной тео-

ν(u)du

Q₂₂ =

(

)₄ ≈ Tν0/6.

(25)

рии Гинзбурга-Ландау отсутствует малый параметр,

2 cosh^β(u-µ)

и область Гинзбурга, где флуктуационные эффекты

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Двумерное кулоновское стекло как модель пиннинга вихрей в сверхпроводящих пленках

255

сильны, имеет ширину Gi = O(1), так что область

веден в дополнительном материале 3) через вспомо-

применимости теории среднего поля в окрестности

гательную безразмерную функцию f_v(m, G₁):

точки перехода отсутствует. Этот же вывод относит-



ся и к трехмерному аналогу той же задачи, который

Q0

= ν⁰T1-m∂f_v/∂G₁,

был исследован в работе [18]. Поэтому мы не будем

Q₁

=ν₀T,

(36)



(₁

)

останавливаться на окрестности T_c и сразу перейдем

Q₂

= K(1 - K) +

-1

Q₀ -^1m Q₁,

к области низких температур T ≪ T_c, где флуктуа-

ционные эффекты подавлены.

а сама функция определяется следующим образом:

4. Низкотемпературная фаза в приближе-

∫ (

нии одноступенчатого нарушения репличной

f_v(m, G₁) =

dz ln Ξ(z, m, G₁) -

симметрии. Соотношение между коэффициентами

m²G₁ )

при двух кубических членах действия (31), c₁/c₂ =

- mln2cosh

(37)

= 6/7 < 1, предсказывает непрерывное нарушение

репличной симметрии в духе схемы Паризи [21], в

∫

[

dye-y2/2G1

y-z

то время как теории, в которых это отношение > 1,

Ξ(z, m, G₁) =

2 cosh

(38)

√2πG₁

описываются одноступенчатым нарушением (1-RSB)

репличной симметрии [22]. Имея в виду, что в нашей

Последнее уравнение в (36) - тривиальное следствие

задаче отношение c₁/c₂ довольно близко к единице,

того, что диагональные элементы фиксированы соот-

мы попробуем ограничиться 1-RSB и покажем, что

ношением Q_aa = K(1 - K); второе уравнение утвер-

полученное решение численно является очень хоро-

ждает, что длина экранировки l₁ совпадает с таковой

шим приближением. В рамках такой схемы

в реплично-симметричной фазе. Наконец, система

уравнений замыкается, если добавить условие экс-

G_ab = G₀δ_ab + G₁R_ab + G₂I_ab,

(31)

тремума действия по m, которое, с учетом остальных

седловых уравнений, может быть записано в следу-

Q_ab = Q₀δ_ab +

(Q₁ - Q₀)R_ab + Q₂I_ab.

(32)

ющей форме:

(

)

Матрица R_ab

= δ_[a/m],[b/m] (где

[. . . ] обозна-

6T_c

∂f_v

+G₁

-m

= 0.

(39)

чает целую часть) представляет собой блочно-

1-m∂G₁

∂G₁

∂m

диагональную матрицу, в которой диагональные

Отметим, что среди уравнений (35), (36), (39) в дей-

блоки размера m × m заполнены единицами, а

ствительности нетривиальные - лишь уравнения на

вне-диагональные блоки - нулями. В репличном

(m, G₁, Q₀).

пределе n

→ 0 параметр m ∈ (0,1) становится

При низких температурах система уравнений

дополнительным вариационным параметром теории.

(35), (36), (39) допускает (вывод этого утверждения

Функция Грина

Ĝ, см. ур.(9), параметризуется

содержится в дополнительном материале 3.1) следу-

аналогично:

ющее решение:

G_ab(k) = G₀(k)δ_ab +

(G₁(k)- G₀(k))R_ab + G₂(k)I_ab

m ≈ 1.09(T/T_c), G₁ ≈ 61.0(T_c/T)²,

(40)

(33)

при этом:

Q₀ ≈ 1.43 · 10^-5 ν₀T.

(41)

2πβU₀

5. Физические свойства низкотемператур-

G_0,1(k) =

G₂(k) = -Q₂G²¹(k)/a²,

(34)

ной фазы. Как было показано ранее (ур. (12)), мат-

k² + l^-2

0,1

рица

Ĝпредставляет собой фактически энергию вза-

где введены две различные длины экранировки

имодействия двух внесенных в систему вихрей. Из

l0,1 = a(2πβU0Q0,1)-1/2. Тогда первая серия седло-

теории спиновых стекол [21] известно, что нарушение

вых уравнений следует из (9):

репличной симметрии физически соответствует на-



рушению эргодичности и зависимость состояния си-

G0

≈ -βU₀ ln(l₀/a) ≈ βU₀ ln(βU₀Q₀)/2,

стемы от ее предыстории. В частности, для подобных

G₁

= βU0 ln(l₀/l₁)/m = βU0 ln(Q₁/Q₀)/2m,

(35)

возмущений, как правило, выделяют два различных



G₂

= πQ₂(βU₀l₁/a)² = βU₀Q₂/2Q₁.

протокола: так называемое “охлаждение в нулевом

поле” (Zero Field Cooling, ZFC), что соответствует

Второй набор седловых уравнений, следующих из (8)

внесению в систему пары вихрей после перехода в

с учетом W ≫ U₀, может быть выражен (вывод при-

стекольное состояние, и “охлаждение в поле” (Field

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

256

И.В.Побойко, М.В.Фейгельман

Cooling, FC), что соответствует внесению в системы

для описания репликонной моды при низких тем-

пары вихрей до ее замерзания. В репличной техни-

пературах, только лишь с тем отличием, что длину

ке это соответствует следующим двум функциям от-

экранировки l необходимо заменить на l₀, а значение

клика:

ν₀ - на ее перенормированное значение P₀. Это свя-

[

]

зано с тем, что хотя функция распределения и имеет

U^(eff)ZFC(r₁, r₂) = lim

U^(eff)aa(r₁, r₂) - U^(eff)ab(r₁, r₂) =

b→a

глубокий провал, но его характерный масштаб - по-

= TG₀(r₁ - r₂),

(42)

рядка 30T_c, и на интересующих нас масштабах ∼ T

∑

функция распределения с хорошей точностью может

U^(eff)FC(r₁, r₂) =

U^(eff)ab(r₁, r₂) = TG₁(r₁ - r₂).

считаться константой. В частности, при T ≪ T_c ве-

личина τ ≡ T/T_c - 1 ≈ -1, и поэтому мода q = 0

(43)

действительно неустойчива. Однако, из-за того, что

Чрезвычайная малость (см. (41)) величины Q₀ и со-

величина l₀ = a/√2πβU0Q0 содержит большой па-

отношение (34) приводит к выводу об очень большой

раметр ∼ 250, фазовый объем неустойчивых мод c

длине экранировки для ZFC-отклика в замерзшей

q ≲ 1/l₀ оказываетсяочень мал. Поэтому естественно

фазе l₀ ≈ 260l₁ (напомним, l₁ фактически совпадает

ожидать, что сделанное тут приближение описывает

с длиной экранировки в высокотемпературной фазе).

систему с хорошей точностью.

В почти любой экспериментальной ситуации такую

Энтропия в приближении 1-RSB при произволь-

величину l₀ можно считать бесконечной. Как след-

ной температуре может быть записана в следующем

ствие, при низких температурах T ≪ T_c фактически

виде:

восстанавливается логарифмическое взаимодействие

[

]

∂f_v

π²

между вихрями, и эта фаза обладает конечной сверх-

S = ν₀T f_v(m,G₁) +

-G₁

-3βT_cQ₀.

∂m

∂G₁

текучей плотностью:

(47)

U₀

При низких температурах поведение энтропии разо-

ρ^(s)ZFC =

lim

k²G₀(k) ≃

(44)

4π²

k→0

2π

брано в дополнительном материале 2.3; сразу при-

Важной физической величиной является функция

ведем результат. Энтропия при нулевой температу-

распределения P (u) локального потенциала для от-

ре хоть и получается отрицательная, но в действи-

дельного вихря. Подробное вычисление функции

тельности численно она очень мала (в меру малости

распределения при низких температурах вынесено в

плотности состояний):

дополнительный материал 2.2; приведем тут прибли-

S(T = 0) = -3βT_cQ₀ ≈ -4.29 · 10^-5ν₀T_c

(48)

женный результат, работающий при низких темпера-

Фазовый переход замерзания вихревого стекла мо-

турах:

(

)

жет быть рассмотрен также совсем иным образом,

u-µ

P h≡

≈ν₀ ·

erfc(3.03 - 0.09|h|).

(45)

как задача о статистической механике частицы в

T_c

логарифмически коррелированном случайном потен-

При низких температурах в этой величине возни-

циале [23]. Действительно, хотя “затравочный” слу-

кает щель. Полуширина щели ∼ 30T_c = 2.5U₀, а

чайный потенциал коррелирован локально, но эф-

плотность состояний в щели проваливается хоть и не

фективный случайный потенциал, который чувству-

до нуля, но до значений, имеющих порядок ∼ 10^-5.

ет отдельный вихрь, имеет вид:

∑

Именно такая малая плотность состояний и приво-

u_eff(r) = u(r) +

J_rr′ δn_r′ ,

(49)

дит к столь малому значению Q₀ (ур. (41)), которая

r^′

выражается через нее следующим образом:

и его флуктуация на масштабах l₀ ≫ r ≫ l₁ может

∫

P (u)du

быть оценена (с использованием (34) и (40)) как:

Q₀ =

(

)₂ ≈ TP0, P0 ≡ P(µ).

(46)

2 cosh^β(u-µ)

〈u_eff(r) - u_eff(0)〉²

|r-r^′|≫l

Последнее равенство учитывает то обстоятельство,

2(1 - m)

T²(G₀(r) - G₀(0)) ≈

что плотность состояний на масштабах |u - µ| ∼ T

|r-r^′|≫l1

может считаться постоянной.

≈ 11T^2c ln ^ra , T ≪ T_c.

(50)

Сама низкотемпературная фаза в приближении

1-RSB оказывается неустойчивой - репликонная мо-

Критерий замерзания [23], согласно которому си-

да, отвечающая дальнейшему нарушению реплич-

стема находится в замерзшем состоянии при T

√

ной симметрии, оказывается отрицательной. Одна-

5.5T^2c ∝ T_c, подтверждает наш вывод о реали-

ко, формулы (24)-(27) оказываются пригодными и

зации стекольного состояния при T ≪ T_c.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020

Двумерное кулоновское стекло как модель пиннинга вихрей в сверхпроводящих пленках

257

6. Заключение. Развитая теория применима

гии, который может сделать 1-RSB решение полно-

(качественно) к экспериментальным результатам [2,

стью устойчивым. Исследование этих вопросов мы

3], где исследовались очень сильно неупорядоченные

также оставляем на будущее.

сверхпроводящие пленки InO_x и MoGe. В работе [2]

Авторы хотели бы выразить благодарность

измерялась кинетическая индуктивность L_K пленки

В.Б.Гешкенбейну, А.С.Иоселевичу и Я.В.Федорову

на низкой частоте в широком диапазоне магнитных

за плодотворные обсуждения.

полей и температур; показано, что граница суще-

Работа была поддержана грантом Российского

ствования сверхпроводящего состояния со сверхте-

научного фонда 20-12-00361, а также грантом Фонда

кучей плотностью ρ_s ∝ 1/L_K > 0 определяется усло-

развития теоретической физики “Базис”.

вием, близким к критерию перехода Березинского-

Костерлица-Таулеса, т.е. ρ_s/T_c ≈ const. В работе [3]

Sacépe,

M. V.

Feigel’man,

and

исследовался критический ток j_c пленок InO_x при

T. M. Klapwijk, Nature Phys.

16(7),

734

(2020);

T ≪ T_c и магнитных полях, близких к верхнему кри-

https://doi.org/10.1038/s41567-020-0905-x.

тическому полю. Оказалось, что зависимость j_c(B)

S. Misra, L. Urban, M. Kim, G. Sambandamurthy, and

близка к “среднеполевому” результату j_c(B) ∝ (H_c2 -

A. Yazdani, Phys. Rev. Lett. 110, 037002 (2013).

B)^3/2. В работе [3] были приведены качественные ар-

B. Sacépé, J. Seidemann, F. Gay, K. Davenport,

гументы, объясняющие такое поведение. Главное, о

A. Rogachev, M. Ovadia, K. Michaeli, and

чем говорят эксперименты [2, 3], - это наличие сверх-

M. V. Feigel’man, Nature Phys. 15, 48 (2019).

M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and

текучей плотности ρ_s и критического тока j_c в силь-

E. Cuevas, Ann. Phys. 325, 1390 (2010).

ном магнитном поле, означающее, что плотная си-

А. А. Абрикосов, ЖЭТФ 32, 1442 (1957).

стема вихрей в 2D системе находится в стекольном

А. И. Ларкин, ЖЭТФ 58, 1466 (1970).

состоянии. Теории такого состояния ранее не суще-

A. I. Larkin and Yu.N. Ovchinnikov, J. Low Temp.

ствовало. В данной работе мы впервые предложили

Phys. 34, 409 (1979).

последовательный аналитический подход в описании

H. Brandt, J. Low Temp. Phys. 26, 709 (1977).

такого стекла.

G. Blatter, M. V. Feigel’man, V. B. Geshkenbein,

Мы использовали модельное предположение об

A. I. Larkin, and V.M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66,

очень сильном локальном беспорядке, W ≫ U₀. Фак-

1125 (1994).

тически в рассматриваемых системах в области сла-

10.

W.-K. Kwok, U. Welp, A. Glatz, A. E. Koshelev,

бых магнитных полей B ≪ H_c2 величина беспорядка

K. J. Kihlstrom, and G. W. Crabtree, Rep. Prog. Phys.

W ∼ 0.5U₀. Снятие требования W ≫ U₀ не повлияет

79, 116501 (2016).

на наши основные результаты для стекольной фазы.

11.

R. Labusch, Cryst. Lattice Defects 1, 1 (1969).

Это следует из большой величины (см.(45)) “щели”

12.

G. Blatter, V. B. Geshkenbein, and J. A. G. Koopmann,

Phys. Rev. Lett. 92, 067009 (2004).

в функции распределения P(h) локальных энергий

13.

M. Buchacek, R. Willa, V. B. Geshkenbein, and

пиннинга, имеющей полуширину 30T_c ≈ 2.5U₀. Кро-

G. Blatter, Phys. Rev. B 98, 094510 (2018).

ме того (см. [7]), с приближением B к H_c2 энергия

14.

A. L. Efros and B. I. Shklovskii, J. Phys. C 8, L49 (1975).

пиннинга отдельных вихрей падает как 1 - B/H_c2,

15.

A. L. Efros, J. Phys. C 9, 2021 (1976).

в то время как энергия их взаимодействия - как

16.

U. C. Tauber and D. R. Nelson, Phys. Rev. B 52, 16106

(1 - B/H_c2)², что еще увеличивает отношение W/U₀.

(1995).

Формально говоря, полученное нами 1-RSB реше-

17.

А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий, ЖЭТФ 83, 1140

ние является неустойчивым, что указывает на необ-

(1982).

ходимость развития теории с полной непрерывной

18.

M. Müeller and L. B. Ioffe, Phys. Rev. Lett. 93, 256403

схемой Паризи. Однако отличие результатов такой

(2004).

полной теории от развитой нами здесь ожидается

19.

S. Pankov and V. Dobrosavljevic, Phys. Rev. Lett. 94,

крайне малым, на что указывает величина энтропии

046402 (2005).

на узел -S₀ ≈ 10^-5. Кроме того, эти отличия долж-

20.

M. Müeller and S. Pankov, Phys. Rev. B 75, 144201

(2007).

ны на самом деле описываться при помощи динами-

21.

M. Mézard, G. Parisi, and M. A. Virasoro, Spin Glass

ческой теории стекла, так как флуктуации на мас-

Theory and Beyond, World Scientific, Singapore (1987).

штабах порядка l₀ при T ≪ T_c не могут происходить

22.

D. Gross, I. Kanter, and H. Sompolinsky, Phys. Rev.

термодинамически равновесным образом. Заметим

Lett. 55, 304 (1985).

наконец, что для случая общего положения, K =¹² ,

23.

D. Carpentier and P. Le Doussal, Phys. Rev. E 63,

в теории низкотемпературного состояния ожидается

026110 (2001).

появление дополнительного члена в свободной энер-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 3 - 4

2020