Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 5, с. 291 - 296

О вычислении специальной геометрии для Калаби-Яу типа “петля”

и двух конструкциях зеркального многообразия

А. А. Артемьев^+∗1), И. В. Кочергин^+∗1)

⁺Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау, 141701 Черноголовка, Россия

^∗ Московский физико-технический институт, 142432 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 12 августа 2020 г.

После переработки 12 августа 2020 г.

Принята к публикации 12 августа 2020 г.

Вычислены кэлеровы потенциалы на пространстве модулей комплексных структур для двух много-

образий Калаби-Яу, заданных как гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах. Най-

дены зеркальные образы этих многообразий в соответствии с конструкциями Батырева и Берглунда-

Хубша, показана их эквивалентность.

DOI: 10.31857/S1234567820170012

Компактификация теории суперструн является

плексных структур Калаби-Яу, заданного нулями

одним из возможных способов объединить Стандарт-

многочлена во взвешенном проективном простран-

ную модель и квантовую гравитацию. Известно, что

стве, развитый в серии работ Алешкина, Белавина,

в этом подходе из феноменологических соображений

начиная с [6].

требуется компактификация 6 дополнительных из-

Рассматривается взвешенное проективное про-

мерений на многообразие Калаби-Яу; низкоэнерге-

странство Pk1,k2,k3,k4,k5 - фактор C⁵/{0} по действию

тическая теория тогда определяется его специаль-

C^∗, определенному как

ной кэлеровой геометрией [1]. Важным инструмен-

том в задаче о ее вычислении является гипотеза

−→

о существовании зеркальной симметрии: она позво-

→ (λk1x₁, λk2x₂, λk3 x₃, λk4 x₄, λk5 x₅).

(1)

ляет провести непрямое вычисление потенциала на

пространстве кэлеровых модулей, для которого не

Нас интересует гиперповерхность, заданная в нем

существует явных формул. Зеркальным семейством

нулями некоторого невырожденного полинома

Калаби-Яу к данному называют такое, у которого

пространство модулей комплексных структур совпа-

∑∏

0 = W₀(x) =

(2)

дает с пространством кэлеровых модулей исходного

xMaii

a=1 i=1

и наоборот.

∑

Доступным для изучения классом многообразий

c условиями k_iM_ai = d = k_i ∀a. Первое равен-

Калаби-Яу являются гиперповерхности во взвешен-

ство - условие квазиоднородности; второе условие

ных проективных пространствах; классификация та-

необходимо, чтобы заданная поверхность была мно-

ких Калаби-Яу приведена в [2]. Для примеров из это-

гообразием Калаби-Яу. Известно, что деформациям

го класса уже было получено много результатов (см.,

комплексной структуры этого многообразия отвеча-

например, работы [3-5]). Наша работа имеет целью

ет добавление к W₀ линейной комбинации мономов

продолжение исследований в этом направлении; мы

той же степени квазиоднородности d:

вычисляем специальную геометрию для двух приме-

ров из не рассматриваемого ранее типа “петля” (типа

∑

16 согласно классификации [2]), а также строим для

W (x, φ) = W₀(x) + φ_ie_i(x).

(3)

i=1

этих примеров зеркальные семейства двумя способа-

ми и показываем их эквивалентность.

Нужно исключить из множества всех таких мономов

Приведем краткое описание метода вычисления

те, которые могут быть сгенерированы заменой коор-

кэлерова потенциала на пространстве модулей ком-

динат в исходном полиноме, т.е. мономы, пропорцио-

〉. В большинстве случаев

¹⁾e-mail: artemev.aa@phystech.edu; kochergin.iv@phystech.edu

мономиальными деформациями пространство моду-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

291

292

А. А. Артемьев, И. В. Кочергин

∫

лей комплексных структур (локально) исчерпывает-

Γ^±µ :

e∓W0(x)e_ν d⁵x = δ_µν.

(9)

ся (это всегда так для многообразий, заданных по-

Γ^µ

линомом типа петля).

Определим группу “квантовых симметрий“ Q =

Важно, что циклы L^±a нужно брать вещественными;

= Z_d полинома W₀. Ее действие на проективные ко-

матрица M не зависит от их выбора. Перейдем к рас-

ординаты совпадает с указанным в (1) действием C^∗

смотрению исследуемых примеров. Рассмотрим взве-

для параметра λ : λ^d = 1. Тогда рассмотрим так

шенное проективное пространство P_{9,26,11,23,20} и по-

называемое “киральное кольцо” полиномов:

лином

0=W₀ =x⁷¹x₂ +x³²x₃ +x⁶³x₄ +x³⁴x₅ +x⁴⁵x₁,

C[x₁, x₂, x₃, x₄, x₅]

R^Q =

(4)





〈∂W₀/∂x_i〉





0

0

Базис в нем задают мономы E_µ, инвариантные





(10)





M =

под действием “квантовых симметрий” (т.е. степе-









ни, кратной d). Это кольцо - конечномерное линей-

0

1

ное пространство: после фактора по 〈∂W₀/∂x_i〉 сте-

пени квазиоднородности его базисных элементов не

Его степень квазиоднородности d = 89. Простран-

больше 3d. По степеням естественно ввести граду-

ство модулей его комплексных структур определя-

ировку: R^Q = R⁰ ⊕ R^d ⊕ R^2d ⊕ R^3d; тогда размер-

ется мономиальными деформациями, удовлетворя-

ности компонент фиксированной градуировки равны

ющими описанным ранее условиям. Таких мономов

dim R^0,d,2d,3d = (1, h, h, 1). Введем также спаривание

всего h = 7 и их показатели степеней удобно записать

η (билинейный функционал) на этом кольце, матри-

в матрицу S

ца которого в базисе E_µ, µ = 1, . . . , 2h + 2





E_µE_ν





η(e_µ, e_ν ) ≡ η_µν = Res

(5)

0

2

∏





∂_iW₀





i=1

∏









e_l =

2

0

(11)

xSljj , S =





В C⁵ можно определить Q-инвариантные когомоло-

j=1









гии (H_D±)_Q оператора D_± = d ± dW₀∧. Тогда груп-





4

1

па (H^5D±)_Q изоморфна R^Q как линейное простран-

ство; базис в ней - формы вида E_µ(x)d⁵x. К ним

определяются дуальные гомологии H₅(C⁵, Re W₀ →

В киральном кольце образуют базис E₁ = 1, h моно-

→ ±∞)_Q, такие, что невырождено спаривание с

мов E_l+1 ≡ e_l степени d, а также следующие мономы

помощью “осциллирующих интегралов”: для L^±a ∈

степеней 2d и 3d (всего 2h + 2 = 16 мономов E_α):

∈ H₅(C⁵, Re W₀ → ±∞) оно задается формулой

E_h+1+i = (e²¹, e₁e₂, e₁e₄, e₁e₅, e₁e₆, e₁e₇, e²⁴);

∫

〈E_µd⁵x, L^±a〉 =

E_µe∓W0(x) d⁵x.

(6)

E₁₆ = e₁e₂e₇.

(12)

L^a

Можно найти матрицу спаривания η, как в (5); в на-

шем базисе с точностью до перестановок базисных

Между H₅(C⁵, Re W₀ → ±∞)_Q и H₃(X, R), где

элементов она единичная антидиагональная.

X - многообразие Калаби-Яу, заданное нулями по-

Рассмотрим в C₅ относительные гомологии

линома W (x, φ), можно построить изоморфизм. Ис-

H₅(C₅, Re (W₀) → ∞)_Q. Выберем в них базис Γ_µ,

пользуя его свойства и заданные ранее определения,

дуальный к формам E_α(x) d⁵x относительно осцил-

интересующий нас кэлеров потенциал записывается

лирующих интегралов, согласно (9). Из (8) кэлеров

в удобном для вычислений виде

потенциал выражается через величины

∫

∑

e-Kc(X) = σ^+µη_µλM_λνσ^ν;

(7)

σ^+β(φ) =

e^-W(x,φ) =

(-1)

∑m_l×

∫

m1, m2, ..., mh=0

Γ_β

σ^±µ =

e^∓W(x,φ), M = T^-1T, T^±aµ =

e_µe∓W0 d⁵x;

∫

∏

d⁵x

(13)

Γ^µ

L^a

emlle-W0(x)

m_l

(8)

l=1

Γ_β

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

О вычислении специальной геометрии для Калаби-Яу типа “петля” и двух конструкциях...

293

и аналогичные ряды с другими знаками. Можно эф-

Редукция по первым 5 формулам понижает µ на 17, а

фективно понижать степень подынтегрального вы-

другие два числа (ν и ρ) не меняет; аналогичное вер-

ражения, пользуясь тем, что для любой 4-формы Ω

но для других двух способов понижения степени. Та-

∫

ким образом, остаток по модулю 17 у всех трех чисел

e-W0 (dΩ - dW₀ ∧ Ω) = d(Ωe-W0) = 0.

(14)

не меняется в результате такого понижения. Любое

Γµ

из чисел m = µ mod 17, n = ν mod 17, r = ρ mod 17

однозначно определяет моном из кирального кольца,

Используя эти соотношения, можно получить пять

к которому мы придем в конце процедуры; можно

элементарных соотношений для понижения степе-

перенумеровать мономы, например, числом β = m ∈

ней. Обозначая

∫

[1, 16], тогда n[β] =^2m3 ; r[β] =^5m3 . Итак, мы прихо-

дим к выражению

f_β(b ≡ (b₁, b₂, b₃, b₄, b₅)) = d⁵xe-W0 xb11 . . .x55 ,

)

Γ_β

∑

(∏

m_l

φmll

σ^+β(φ) =

(-1)

а также i строку матрицы M как M_i•, эти пять со-

m_l!

m1, ..., mh=0

отношений можно компактно записать в виде

m(m)=β

f_β(b) = f_β(b - M_i•) · B_i(b), i = 1, . . ., 5

(15)

Γ(^µ(m)17 + 1) Γ²(^ν(m)17 + 1) Γ²(^ρ(m)17 + 1)

(22)

m(m)

A_i

Γ(

)

Γ²(^n(m)17 )

Γ²(^r(m)17 )

B_i = b_j(M^-1)_ji -

; B = b · (M^-1) -

(16)

Как можно проверить, σ^-β отличаются фактором

A = (15,12,15,12,14).

(-1)^|β|, где |β| - градуировка соответствующего мо-

∏

нома в киральном кольце (|β| = 0, 1, 2, 3). Теперь мы

Если мы имеем произведение мономов вида emll^,

l=1

должны выбрать базис из вещественных циклов L_a

то соответствующая ему строка показателей степе-

и вычислить матрицу перехода T от Γ к L; из дуаль-

ней x

ности Γ и E следует, что она дается выражением

b[m ≡ (m₁, . . . , m₇)] = m · S.

(17)

∫

Соответствующие такому b коэффициенты B

T_aβ = E_β e-W0d⁵x.

(23)

B(b[m]) = m · (SM^-1) -

(18)

Сделаем сперва замену переменных

Для дальнейшего введем обозначения для элементов

строки B как функций от набора целых чисел m; в

∏

данном случае она имеет вид

x_i =

y17(M-1)^ijj ,

(24)

(

)

j=1

B(b[m]) ≡

ν ρ ν ρ µ (m).

(19)

∑

при которой W₀ перейдет в W₀(x(y)) =

y¹⁷ⁱ, а все

Теперь мы хотим переписать общие соотношения

мономы E_α(x) - в мономы по y с целыми степенями.

(15) так, чтобы они позволили понижать числа m в

Определим одномерный цикл в виде “уголка”

произведениях такого типа. Такие соотношения при-

условиями (с произвольно заданной ориентацией)

ходится искать подбором; они приведены ниже:

2π

µ(m)

C[y, ϕ] = {Arg y = ϕ or Arg y = ϕ +

(25)

f_β (b[m]) =

f_β(b[m + F_j•]) =

{

ν²(m)

Тогда набор из 16 базисных циклов L_a можно вы-

f_β(b[m + F_6•])

17²

, j = 1, ..., 5,

(20)

брать в виде циклов Лефшеца

ρ²(m)

f_β(b[m + F_7•])

17²





2πa

∏

-1

L_a = C[y₁,

] × C[y_i,0], a = 1,...,16.

(26)





i=2

-1

-1











-2

Очевидно, что они удовлетворяют условию Re W₀ →









F =



-2



(21)

→ ∞, y → ∞. Теперь можно вычислить матрицу T









для таких циклов, матрицу M = T^-1T и, наконец,

-1









матрицу (ηM) - она оказывается диагональной:

 0

-1

-1

−1

-1

(ηM)_µν = δ_µν · γ(m[µ]/17)γ²(n[µ]/17)γ²(r[µ]/17),

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

294

А. А. Артемьев, И. В. Кочергин

Γ(x)

Мономы из кирального кольца теперь однозначно за-

γ(x) =

(27)

Γ(1 - x)

даются любым из чисел

Мы получаем итоговый ответ (здесь σ_β заданы фор-

мулой (22))

m(m) = µ(m) mod 11, n(m) = ν(m) mod 11,

(35)

e-Kc(φ) =

l(m) = λ(m) mod 11, k(m) = κ(m) mod 11.

∑

)

(µ

(n[µ])

( r[µ])

(-1)^|µ|γ

γ²

· |σ_µ(φ)|².(28)

Занумеровав их, например, числом m = α, получаем

µ=1

формулу для периодов

)

Второй пример многообразия того же типа за-

µ(m)

∑

(∏

)Γ²(

дан взвешенным проективным пространством

φmaa

σ^+α =

(-1)

(

)

P_{25,16,31,36,83} и уравнением

m_a!

m(m)

Γ²

m1,...,mh=0

m(m)=α

0 = W₀(x) = x⁷¹x₂ + x¹⁰²x₃ + x⁵³x₄ + x³⁴x₅ + x²⁵x₁ = 0,

(

)

(

)

(

)





ν(m)

λ(m)

κ(m)

(

)

(

)

(

)

(36)





0

0

n(m)

l(m)

k(m)









M =

(29)









Для нахождения матрицы M мы делаем аналогич-

0

1

ную (24) замену x_i =

∏y11(M-1)^ijj; она обладает теми

же свойствами, что раньше. Базис из циклов L_a вы-

В тех же обозначениях, что для первого примера, со-

бирается аналогичным (25) образом, только теперь

ответствующие ему данные: d = 191, h = 4,

C - “угол” раствора^2π11. Вычислив матрицу M, по-





лучаем ответ для кэлерова потенциала





∏



0

∑

(β)

e_l =

1

.

(30)

xSljj , S =





e-Kc(φ) =

(-1)^|β| γ²

2

0

j=1

β=1

(n[β])

( l[β])

( k[β])

×γ

|σ_β|2.

(37)

Базис в киральном кольце

(

)

e₁e₃e₄

Для дальнейшего опишем две конструкции постро-

E_α =

1, e₁, e₂, e₃, e₁e₃, e₄, e₁e₄,

,e₃e₄, e₁e₃e₄

e₂

ения зеркального многообразия для Калаби-Яу-

(31)

гиперповерхностей во взвешенном проективном про-

Элементы вектор-строки появляющихся при пони-

странстве.

жении коэффициентов мы обозначим как

Первая из них приведена в [2]. Она описывает зер-

(

)

кальное семейство как орбифолд в другом взвешен-

B(b[m]) = m·(SM^-1)-

≡

µ µ ν λ κ (m),

ном проективном пространстве. Имея 5 × 5 матрицу

(

)

коэффициентов M, для построения зеркального мно-

m= m₁

m₂

m₃

m₄

, A = (10,10,9,8,7). (32)

гообразия нужно:

4 соотношения для понижения степеней в терминах

1. построить полином W^′ с матрицей показателей

чисел m имеют вид

M^′ = M^T ;

µ²(m)

f_α (b[m]) =

f_α(b[m + F_1•]) =

′

2. найти набор весов k^′i таких, что полином W

11²



квазиоднороден по отношению к ним со степе-

ν(m)



f_α(b[m + F_2•])

нью d^′ =

∑k^′i; они задают новое взвешенное

λ(m)

f_α(b[m + F_3•])

(33)

проективное пространство;

¹¹

κ(m)

f_α(b[m + F_4•])

3. определить многообразие X^′, заданное как ги-





-1

-2

перповерхность в этом проективном простран-









стве нулями W^′;

−1

-1

F =0

.

(34)





-1

-1



4. найти полную группу фазовых симметрий A

−2

полинома W^′ и группу его “геометрических

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

О вычислении специальной геометрии для Калаби-Яу типа “петля” и двух конструкциях...

295

симметрий” G^′ как фактор A по группе Q^′ =

Выпишем интегральный базис целочисленных соот-

= Z_d′ “квантовых” симметрий полинома W^′:

ношений Q для двух наших примеров:

G^′ = A/Q^′, аналогично определить группу гео-





-1

метрических симметрий G полинома W ;



-1









-2



5. при несовпадении G^′ и Q взять орбифолд мно-





1: Q=

-2

,

гообразия X^′ по некоторой дискретной группе







-1



H так, чтобы для фактор-многообразия выпол-





₁

-1



нялось Q^′′ = Q^′ × H = G и G^′′ = G^′/H = Q.

-1

Вторая - конструкция Батырева - описывает зер-





кальное многообразие как подмногообразие в тори-

-1

-2





ческом, заданное критическими точками некоторо-

0

-1



2: Q=



.

го полинома. Она описана и использована, напри-





0

-1



мер, в [4]. Торическим называют многообразие вида

-2

(C^N - Z)/(C^∗)^h, где действие (C^∗)^h на проективные

(42)

координаты y_a, a = 1, . . . , N определяется “матрицей

Полином, определяющий своими критическими точ-

зарядов” Q:

ками подмногообразие в торическом, должен быть

инвариантным при действии (C^∗)^h, т.е. быть линей-

∏

(38)

ной комбинацией мономов U(y) =

∑f_j(y) таких, что

y_a → λQlal^ya^,λl∈C∗,

l=1

∏

∑

а Z является инвариантным относительно этого дей-

f_j =

Q_laP_aj = 0 ∀j, l.

(43)

yPaja ,

ствия множеством. Набор весов Q_la в нашем случае

a=1

определяется следующим образом: показатели степе-

Выберем 5 таких мономов так, чтобы P_aj для a =

ней входящих в состав полинома мономов вместе с

= 1, . . ., 5 совпадали с элементами матрицы M_aj. То-

его деформациями задают набор из h + 5 пятимер-

гда из условия (43) однозначно восстанавливается

ных векторов v_a; их координаты задаются матрицей

P_aj для a = 6, . . ., h + 5 из решения системы линей-

(

)

ных уравнений. Из построения матрицы Q следует,

v_ia = M^T |S^T

, i = 1,...,5, a = 1,..., h + 5.

(39)

что в обоих случаях P_aj = S_a-5,j , a = 6, . . . , h + 5.

Рассмотрим теперь симметрии торического многооб-

Тогда матрица Q определяется при поиске инте-

разия с генераторами (для 1 и 2 примеров соответ-

грального базиса из h целочисленных линейных со-

ственно)

∑

отношений на эти вектора вида

Q_lav_ia = 0. Со-

a=1

1 : Q = 5Q₁ - 7Q₂ + Q₃ - 2Q₄ - 2Q₆ - 5Q₇;

отношения задают интегральный базис, если любое

2 : Q = Q₁ + 2Q₂ + 3Q₃ + 4Q₄.

(44)

целочисленное соотношение на v может быть пред-

ставлено суммой с целыми коэффициентами соотно-

Эта симметрия тривиально действует на проектив-

шений Q_l•.

ные координаты y_a для a > 6, а ее действие на пер-

В следующей части мы покажем соответствие

вые 5 совпадает с действием C^∗ на проективные ко-

этих двух конструкций явным построением для на-

ординаты в соответствующем взвешенном проектив-

ших примеров полиномов, задающих подмногообра-

ном пространстве; скажем, в 1 примере

зие в торическом. Сначала приведем ответ, дающий-

(

)

ся конструкцией Берглунда-Хубша; в обоих случа-

Q: y₁

y₂

y₃

y₄

y₅

y₆

→

ях, как легко проверить, орбифолда брать не нужно

(

)

и зеркальное многообразие определяется как (для 1

→ y₁λ²

y₂λ⁵

y₃λ²

y₄λ⁵

y₅λ³

y₆λ^-17

(45)

и 2 примеров соответственно)

Используя остальные h - 1 независимых симметрий,

1: P_5,2,3,5,2, 0=V0 =y31y2 +

можно тривиализовать зависимость от h - 1 пере-

+ y⁷²y₃ + y⁴³y₄ + y³⁴y₅ + y⁶⁵y₁, d_M = 17;

(40)

менной y_a, a > 6, обратив их в единицу. После этого

для обоих примеров полином U(y) приобретает вид

2: P_1,1,2,3,4, 0=V0 =y5y71 +

+ y₁y¹⁰² + y₂y⁵³ + y₃y³⁴ + y₄y²⁵, d_M = 11.

(41)

U (y) = y₆V₀(y₁, . . . , y₅).

(46)

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

296

А. А. Артемьев, И. В. Кочергин

Его критические точки определяются условиями

Мы благодарны А. Белавину и М. Белаковскому

V₀ = 0 и y₆ = 0 (в силу невырожденности W₀). Вто-

за полезные обсуждения.

рое условие, с учетом действия Q-симметрии, опре-

Работа была проведена при поддержке гранта

деляет взвешенное проективное пространство, совпа-

Российского научного фонда # 18-12-00439.

дающее с полученным из конструкции Берглунда-

Хубша, а первое - нужную гиперповерхность в нем.

1. P. Candelas, G. T. Horowitz, A. Strominger, and

Мы показали, что конструкции согласованы только

E. Witten, Nucl. Phys. B

258,

(1985); DOI:

в одной точке пространства модулей; но таким же

https://doi.org/10.1016/0550-3213(85)90602-9.

образом можно убедиться, что все семейство с раз-

2. P. Berglund and T. Hübsch, Nucl. Phys. B 393, 393(1-

личными комплексными структурами, заданное по-

2),

377

(1993); DOI:

10.1016/0550-3213(93)90250-s;

линомом с деформациями V (ψ) = V₀+∑ψkek, “вкла-

arXiv: hep-th/9201014 [hep-th].

дывается” в торическое многообразие по Батыреву.

3. K. Aleshkin and A. Belavin, JETP Lett. 108(10),

Таким образом, основным результатом данной

705

(2018);

DOI:

10.1134/s0021364018220010;

работы является вычисление кэлерова потенциала

aXiv: 1806.02772 [hep-th].

на пространстве комплексных модулей для двух се-

4. K. Aleshkin, A. Belavin, and A. Litvinov, J. Stat.

мейств Калаби-Яу-гиперповерхностей во взвешен-

Mech.: Theory Exp. 2019(3), 034003 (2019); DOI:

ном проективном пространстве из не рассматривае-

10.1088/1742-5468/ab081a; arXiv: 1812.00478 [hep-th].

мого ранее типа; также построены и описаны двумя

5. A. A. Belavin and B. A. Eremin, Theor. Math. Phys.

способами зеркальные к ним семейства и показана

201(2), 1606 (2019); DOI: 10.1134/s0040577919110060;

эквивалентность этих двух способов. Полученные на-

arXiv: 1907.11102 [hep-th].

ми выражения имеют простую структуру, до опреде-

6. K. Aleshkin and A. Belavin, Journal of Physics A:

ленной степени унифицируемы и позволяют предпо-

Mathematical and Theoretical 51(5), 055403 (2018);

ложить общий вид ответа. Более подробное исследо-

DOI:

10.1088/1751-8121/aa9e7a; arXiv:

1706.05342

вание этого вопроса вместе с проверкой зеркальной

[hep-th].

версии JKLMR-гипотезы (cм. [7]) с использованием

7. H. Jockers, V. Kumar, J. M. Lapan, D. R. Morrison,

полученных результатов мы оставляем для дальней-

and M. Romo, Commun. Math. Phys. 325, 1139 (2014);

шей работы.

DOI: 10.1007/s00220-013-1874-z; arXiv: 1208.6244.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020