Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 5, с. 305 - 311
© 2020 г. 10 сентября
Изгибно-модуляционная динамика оптико-терагерцового солитона
в градиентном волноводе
С. В. Сазонов1)
Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 13 августа 2020 г.
После переработки 13 августа 2020 г.
Принята к публикации 13 августа 2020 г.
Представлено теоретическое исследование нелинейной стадии влияния изгибной и модуляционной
неустойчивостей на динамику оптико-терагерцового солитона в квадратично-нелинейном градиентном
волноводе. Показано, что обе неустойчивости имеют принципиальное значение и неотделимы одна от
другой. Если несущая частота оптической компоненты лежит в области аномальной дисперсии группо-
вой скорости, то данные неустойчивости развиваются в режиме с обострением, приводя к самофокуси-
ровке солитона. В случае же нормальной дисперсии групповой скорости взаимное влияние волновода и
изгибно-модуляционной динамики приводят к формированию устойчивого пространственно-временного
солитона.
DOI: 10.31857/S1234567820170048
Введение. Вопросы о способах повышения
играет оптический импульс. Роль длинноволновой
эффективности генерации терагерцового излучения
составляющей отводится терагерцовому сигналу.
поднимаются последнее время неоднократно в связи
В условиях реального эксперимента добиться вы-
с актуальными приложениями данного излучения
полнения условия (1) весьма непросто. Ситуация
в системах безопасности, восстановления изобра-
здесь усугубляется еще и тем, что генерируемый те-
жений, широкополосной связи, медицине и т.д.
рагерцовый сигнал является широкополосным. По-
[1-3].
этому для выполнения равенства (1) весьма жела-
Особой популярностью в вопросах генерации те-
тельно практическое отсутствие дисперсии в широ-
рагерцового излучения пользуются методы, основан-
ком диапазоне частот генерируемого излучения. Та-
ные на лазерных технологиях [4-6]. Один из наибо-
ким образом, данный диапазон должен лежать вдали
лее эффективных методов генерации опирается на
от линий поглощения.
подход, связанный с явлением оптического выпрям-
При выполнении условия (1) происходит непре-
ления в квадратично-нелинейной среде [7-13]. Гене-
рывная подпитка оптическим импульсом генерируе-
рация происходит наиболее эффективно, если выпол-
мого терагерцового сигнала. Как результат, в одно-
няется условие синхронизма [14]
мерном режиме генерации способен сформироваться
оптико-терагерцовый солитон [14].
vg(ω) = vph,
(1)
При нарушении условия (1) эффективность гене-
рации резко снижается. В неколлинеарном режиме
где vg(ω) - групповая скорость оптического импуль-
генерации происходит отрыв терагерцового излуче-
са, соответствующая его несущей частоте ω, vph -
ния от оптического сигнала, что также снижает эф-
фазовая скорость в области генерируемых терагер-
фективность генерации.
цовых частот.
Если возможность непосредственно удовлетво-
В теории нелинейных волн равенство (1) называ-
рить условию (1) отсутствует, применяют технику
ют условием синхронизма Захарова-Бенни [15-17].
наклонных фронтов оптического импульса [18-20].
Данное условие соответствует эффективному нели-
Для повышения интенсивности генерируемого те-
нейному взаимодействию длинных и коротких волн.
рагерцового сигнала в солитонном режиме жела-
В нашем случае роль коротковолновой компоненты
тельна его концентрация в малой области простран-
1)e-mail: sazonov.sergey@gmail.com
ства. Для этого можно использовать как нелиней-
2
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
305
306
С. В. Сазонов
ные свойства среды, вызывающие самофокусировку,
gT = (n2T0 - n2T (r))/2cnT0, r - радиус-вектор, прове-
так и линейную рефракцию, обусловленную неодно-
денный от оси волновода к точке наблюдения, nω(r)
родностью среды. Речь может идти, например, о фо-
и nT(r) - соответственно оптический и терагерцо-
кусирующем градиентном волноводе, в котором по-
вый показатели преломления в этой точке, Δ⊥ - по-
казатель преломления непрерывно уменьшается от
перечный лапласиан, учитывающий изгибную и мо-
центра к периферийным областям.
дуляционную неустойчивости оптико-терагерцового
При фокусировке импульса испытывают искрив-
импульса.
ления как фазовые, так и групповые фронты. В пер-
При выводе уравнений (2) и (3) предполагалось,
вом случае говорят о модуляционной неустойчиво-
что условие (1) выполняется в центре поперечного
сти [21-23], а во втором - об изгибной [23-26]. Усло-
сечения волновода: vg0 = c/nT0.
вие синхронизма (1) приводит к предположению, что
Волновое уравнение (2) для оптической компо-
эти две неустойчивости должны быть тесно связаны
ненты редуцировано от второго порядка к первому
друг с другом. В фокусирующем волноводе данная
относительно производной по переменной z благо-
связь может проявляться наиболее рельефно из-за
даря использованию приближения медленно меня-
высокой плотности энергии генерируемого излуче-
ющейся огибающей (ММО) для функции ψ(τ, z, r).
ния. В связи с возрастающей актуальностью поис-
В то же время уравнение (3) для терагерцовой ком-
ка эффективных способов генерации терагерцового
поненты является уравнением первого порядка от-
излучения решение поставленной проблемы приоб-
носительно производной по переменной z благода-
ретает особую важность.
ря приближению однонаправленного распростране-
Аналитическому исследованию влияния изгибной
ния [14, 28, 29]. Поэтому терагерцовый сигнал может
и модуляционной неустойчивостей на солитонный ре-
состоять из сколь угодно малого числа колебаний.
жим генерации терагерцового излучения в нелиней-
В одномерном случае (Δ⊥ = 0) и в отсутствие
ном волноводе посвящена настоящая работа.
волновода (gω = gT = 0) уравнения (2), (3) имеют
2. Исходная система и уравнения для со-
вид системы Ядзимы-Ойкавы [30]. Данная система
литонных параметров. Процесс генерации тера-
интегрируема методом обратной задачи рассеяния.
герцового излучения оптическим импульсом в гра-
Двухкомпонентное солитонное решение этой систе-
диентном нелинейном волноводе при использовании
мы имеет вид [14]
параксиального приближения описывается системой
√
|β|
Ω
(t - z/v),
уравнений [27]
ψ=
ei(qz-Ω(t-z/v))sech
(4)
τp ασ
τp
∂ψ
β∂2ψ
c
i
=-
+ αEψ - ωgω(r)ψ +
Δ⊥ψ, (2)
∂z
2 ∂τ2
2nω0ω
β
(t - z/v)
E=-
sech2
,
(5)
τ
ατ2p
τ
∫
p
∂E
∂
∂E
c
= -σ
(|ψ|2)+gT (r)
+
Δ⊥
Edτ′. (3)
где нелинейная групповая скорость v и параметр q
∂z
∂τ
∂τ
2nT0
определяются выражениями
-∞
(
)
Здесь ψ - комплексная огибающая электрического
1
1
β
1
поля оптического импульса, E - электрическое по-
=
- βΩ, q =
+Ω2
,
(6)
v
vg0
2
τ2p
ле терагерцового сигнала, τ = t - z/vg0, vg0 - ли-
нейная групповая скорость оптического импульса в
а положительные постоянные Ω и τp являются сво-
центре поперечного сечения волновода, соответству-
бодными параметрами решения. При этом τp имеет
ющая его несущей частоте ω, z - ось волновода,
смысл временной длительности солитона, а парамет-
совпадающая с направлением распространения обе-
ром Ω определяется сдвиг несущей частоты оптиче-
их компонент импульса, t - время, β = ∂v-1g0/∂ω -
ской компоненты в красную область: ω → ω-Ω. Дан-
параметр дисперсии групповой скорости (ДГС) оп-
ный сдвиг возникает благодаря параметрическому
тической компоненты, α = 4πωχ(2)(ω, 0)/cnω0, σ =
распаду оптических фотонов, в результате которо-
= 4πχ(2)(ω, -ω)/cnT0, χ(2)(ω, 0) и χ(2)(ω, -ω) - нели-
го генерируются терагерцовые фотоны [19,31]. При
нейные восприимчивости второго порядка, c - ско-
этом Ω ≪ ω. Это же неравенство вытекает из при-
рость света в вакууме, nω0 и nT0 - оптический и те-
ближения ММО. Из этого же приближения следует,
рагерцовый показатели преломления соответственно
что 1/τp ≪ ω.
в центре поперечного сечения волновода; вторые сла-
Для исследования изгибной и модуляционной
гаемые в правых частях (3) и (4) описывают влия-
неустойчивостей воспользуемся методом усредненно-
ние волновода, при этом gω = (n2ω0 - n2ω(r))/2cnω0,
го лагранжиана (УЛ) [32].
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
Изгибно-модуляционная динамика оптико-терагерцового солитона...
307
Легко видеть, что системе (2), (3) соответствует
где Λ - усредненный лагранжиан, определяемый вы-
плотность лагранжиана
ражением
(
α
∂Φ2
µ3
)∂Φ1
L=Lω +
LT + Lint,
(7)
Λ = -2ωγµ
+2
γ2µ -
+β(γµ3-γ3µ)+
2σ
∂z
3
∂z
где
2
c
(
)
+ 2ωgωγµ +
gT µ3 +
µ3(∇⊥Φ1)2 +
i
∂ψ
∂ψ∗
β
∂ψ2
3
3n
T0
Lω =
ψ∗
-ψ
-
+
c
c
2
∂z
∂z
2
∂τ
+
ωγµ(∇⊥Φ2)2 - 2
γ2µ(∇⊥Φ1)(∇⊥Φ2). (14)
nω0
nω0
c
+ ωgω|ψ|2 +
|∇⊥ψ|2,
(8)
Теперь, используя
(14), запишем уравнения
2nω0ω
Эйлера-Лагранжа для солитонных эйконалов, а
)2
также для переменных µ и γ:
∂Q∂Q
(∂Q
c
LT = -
+gT
+
(∇⊥Q)2,
(9)
∂z ∂τ
∂τ
2nT0
∂
∂Λ
∂Λ
∂Λ
∂Λ
-∇⊥
= 0,
=
= 0.
∂Q
∂z ∂(∂Φj/∂z)
∂(∇
⊥Φj )
∂γ
∂µ
Lint = -α
|ψ|2,
(10)
∂τ
Тогда получим
а динамическая переменная Q связана с электриче-
∂
ским полем E терагрецовой компоненты соотноше-
(µ3 - 3γ2µ) + ∇⊥(µ3∇⊥ϕ1 - 3γ2µ∇⊥ϕ2) = 0, (15)
∂z
нием
∂Q
E=
(11)
∂
∂τ
(γµ) + ∇⊥(γµ∇⊥ϕ2) = 0,
(16)
∂z
Пробные решения для ψ и Q выберем, отталкива-
∂ϕ1
µ2
(∇⊥ϕ1)2
γ2
ясь от солитонного решения (4)-(6) при учете (11).
+
+
(∇⊥ϕ1)(∇⊥ϕ2) +
∂z
γ2 + µ2
2
γ2 + µ2
Тогда, совершая замены 1/τp → µ, Ω → γ, qz → ωΦ2,
t - z/v = τ + (1/vg0 - 1/v)z → τ + Φ1, запишем
cβ
c
µ2
+
γ+
gT
= 0,
(17)
nT0
nT0
γ2 + µ2
√ γ
ψ = |β|
µei(ωΦ2-γ(τ+Φ1))sech[µ(τ + Φ1)],
(12)
∂ϕ2
(∇⊥ϕ2)2
cβ
c
ασ
+
+
(γ2 + µ2) +
gω = 0, (18)
∂z
2
2nω0ω
nω0
β
где
Q=-
µ tanh[µ(τ + Φ1)],
(13)
c
c
α
ϕ1 = -
Φ1, ϕ2 = -
Φ2.
(19)
nT0
n
ω0
где µ, γ, Φ2, Φ1 - неизвестные функции координат;
Система нелинейных уравнений (15)-(18) для со-
при этом µ/ω ≪ 1 и γ/ω ≪ 1.
литонных динамических параметров, входящих в
Переменные Φ2 и Φ1 имеют смысл солитонных
пробные решения (12), (13), достаточно сложна для
фазового и группового эйконалов соответственно.
анализа.
Так как в одномерном случае параметры µ и γ
В одномерном случае (∇⊥ = 0) из (15) и (16)
являются постоянными, а Φ2 и Φ1 пропорциональны
находим µ = const, γ = const. Тогда, полагая µ =
z, то, следуя [32], будем считать µ и γ “медленны-
= 1/τp, γ = Ω, из (17) и (19) для однородной сре-
ми” функциями координат, а Φ2 и Φ1 - “быстрыми”.
ды (gT = gω = 0) будем иметь ϕ1 = -cβΩz/nT0,
По этой причине при подстановке (12) и (13) в (7)-
ϕ2 = -cβ(Ω2+τ-2p)z/(2nω0ω). Используя теперь (19),
(10) будем пренебрегать производными от µ и γ. Это
(12), (13) и (11), приходим к одномерному солитон-
соответствует приближению геометрической оптики
ному решению (4)-(6). Таким образом, в случае од-
для солитонов [32]. В работе [33] данное приближе-
нородной одномерной среды система (15)-(18) име-
ние названо квазиклассическим пределом.
ет решения, в точности соответствующие временно-
Тогда после интегрирования лагранжиана по τ,
му солитону (4)-(6). Это обстоятельство является
пренебрегая слагаемыми µ/ω и γ/ω при одинаковых
важным аргументом в пользу метода применяемого
сомножителях, будем иметь
здесь метода УЛ.
∫
3. Аналитические решения для стадии раз-
β2
Ldτ =
Λ,
витой генерации. В целях упрощения сделаем
ασ
некоторые численные оценки. Из (11)-(13), а также
−∞
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
2∗
308
С. В. Сазонов
из выражений для α и σ имеем следующее отноше-
Легко видеть, что при условии gT /nT0 = gω/nω0
ние интенсивностей терагерцовой IT = cE2/(4πnT0)
система (20)-(22) является совместной, если поло-
и оптической Iω = c|ψ|2/(2πnω0) компонент:
жить
nT0
IT
µ2
(nω0 )2 χ(2)(ω,-ω)
ρ1 = ρ, ρ2 =
ρ, ϕ1,2(z, r) = ϕ(z, r).
(24)
∼2
2nω0
Iω
ωγ nT0
χ(2)(ω, 0)
Отсюда и из (23) имеем
Принимая во внимание, что
2nω0
µ2 =
ωγ.
(25)
nω0/nT0 ∼ χ(2)(ω, -ω)/χ(2)(ω, 0) ∼ 1,
nT0
запишем
Полагая здесь ω ∼ 1015 c-1, γ ∼ 1011 c-1, будем
IT
µµ
иметь µ ∼ 1013 c-1. Таким образом, условие µ2 ≫ γ2
∼
Iω
ωγ
выполняется с хорошим запасом.
Пусть поперечные профили оптической и тера-
Так как µ ∼ 1/τp, γ ∼ Ω, то
герцовой линейных восприимчивостей χω и χT гра-
IT
1
диентного волновода имеют параболический вид:
∼
Iω
(ωτp)(Ωτp)
χω,T (r) = χω0,T0(1 - r2/a2ω,T). При этом r ≤ a ≡
≡ min{aω, aT }, где параметр a имеет смысл попереч-
Сдвиг несущей частоты оптического импульса
ного радиуса волновода. В этом случае соответству-
происходит в нелинейной среде по мере генерации
ющие показатели преломления обладают поперечны-
терагерцового излучения и формирования оптико-
ми профилями вида
терагерцового солитона. На входе же в среду дан-
√
ный сдвиг частоты отсутствует (Ω = γ = 0). В то
r2
nT,ω(r) = n2T0,ω0 - (n2T0,ω0 - 1)
же время длительность импульса всегда имеет ко-
a2
T,ω
нечное значение (µ ∼ 1/τp = 0). Поэтому ниже будем
считать выполненным условие µ2 ≫ γ2. Пусть, на-
Тогда вместо (20)-(22) имеем
пример, ω ≈ 1015 c-1, τp ∼ 10-13 c, Ω ∼ 1012 c-1. То-
гда IT /Iω ∼ 10-1, что соответствует развитой стадии
∂ρ
+ ∇⊥(ρ∇⊥ϕ) = 0,
(26)
солитонного режима генерации терагерцового излу-
∂z
чения. В этом случае система (15)-(18) примет вид
∂ϕ
(∇⊥ϕ)2
cβ
κ2
+
+
ρ2/3 +
r2 = 0,
(27)
∂ρ1
∂z
2
2nω0ω
2
+ ∇⊥(ρ1∇⊥ϕ1) = 0,
∂z
где
(20)
n2T0 - 1
n2ω0 - 1
∂ρ2
κ2 =
=
(28)
+ ∇⊥(ρ2∇⊥ϕ2) = 0,
2
n2T0a2T
n2ω0a
∂z
ω
Уравнение
(26)
имеет точное аксиально-
∂ϕ1
(∇⊥ϕ1)2
cβ ρ2
c
+
+
+
gT = 0,
(21)
симметричное автомодельное решение [34-36]
∂z
2
nT0ω ρ1/31
nT0
1
R20
(r)
r2 R′
ρ=
F
, ϕ = f(z) +
,
(29)
∂ϕ2
(∇⊥ϕ2)2
cβ
c
τ3
R2
R
2 R
+
+
ρ2/31 +
gω = 0,
(22)
0
∂z
2
2nω0ω
nω0
где R = R(z) - функция координаты z, имеющая
где ρ1 = µ3, ρ2 = ωγµ.
смысл апертуры пространственно- временного соли-
Отсюда имеем
тона, второе слагаемое во втором выражении (29)
ρ2
описывает кривизну фазовых волновых фронтов оп-
µ=ρ1/31, γ=
(23)
тической компоненты, R0 - некоторая постоянная,
ωρ1/31
соответствующая апертуре солитона при плоском
Система (20)-(22) формально похожа на урав-
фазовом волновом фронте оптической компоненты
нения, описывающие двумерную динамику вообра-
(R′(z) = 0), τ0 - временная длительность солитона
жаемой двухкомпонентной идеальной жидкости во
на его центральной оси (r = 0) при R = R0, функции
внешнем поле. Роль внешнего поля здесь играет гра-
f (z) и F (r/R) определяются после подстановки (29)
диентный волновод, а роль времени - координата z.
в (27). Совершая данную подстановку, приравняем в
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
Изгибно-модуляционная динамика оптико-терагерцового солитона...
309
правой части выражения при r0 и r2 к нулю. Тогда,
можно пренебречь первым слагаемым. Таким обра-
полагая для локализованного решения
зом влияние волновода в этом случае несущественно.
Тогда после интегрирования (32) получим
(
)3/2
r2
F =
1-
(30)
∫
R2
zf - z
1
q2/3dq
=
√
√
,
(36)
lr
3
при r ≤ R и F = 0 при r ≥ R, получим уравнения
1-q4/3
0
R20
sgn(β)
где дистанция самофокусировки
f′ = -
,
(31)
l2
q4/3
r
∫
1
lr
q2/3dq
∂U
zf =
√
√
≈ 0.76lr.
(37)
q′′ = -
(32)
3
1-q4/3
∂q
0
Здесь
Так как R/R0 ≪ 1, в подкоренном выражении (36)
2
κ
3sgn(β)
U =
q2 +
,
(33)
можно пренебречь q4/3. Тогда имеем приближенно
q
2l2rq4/3
√
(
)5/3
∫
zf -z
3
R
√
q2/3dq =
. Отсюда с уче-
lr
3
5
R0
q = R/R0, lr - длина нелинейной рефракции оптиче-
0
ской компоненты, определяемая выражением [37]
том (37) найдем
√
lr =
ldlD,
(34)
R = 1.60R0(1 - z/zf)3/5.
(38)
ld и lD - дисперсионная и дифракционная длины со-
Из (29), (30), (24) и (23) получим
ответственно:
√
1
r2
µ=
1-
,
(39)
2τ2p
nω0ω
τp
R2
ld =
, lD =
R20.
(35)
|β|
c
где временная длительность на оси солитона
Уравнение (32) формально описывает динами-
)2/3
( R
ку ньютоновской частицы единичной массы в по-
τp = τ0
(40)
ле с “потенциальной энергией” (33). Первое слагае-
R0
мое в правой части (33) соответствует линейной ре-
Отсюда, а также из (39) и (25) будем иметь
фракции градиентного волновода. Второе слагаемое
(
)
в этом выражении описывает нелинейную рефрак-
r2
γ =Ω
1-
,
(41)
цию оптико-терагерцового солитона.
R2
Решив уравнение (32), мы с помощью (31) смо-
жем найти f(z). Используя затем (30) и (29), полу-
где “красный” сдвиг несущей частоты на оси солито-
чим выражения для ρ и ϕ. Из (24) и (23) определим
на
(R0)4/3
параметры µ и γ. После подстановки данных пара-
Ω=Ω0
,
(42)
метров в (12), (13) и (11) найдем компоненты полей
R
ψ и E оптико-терагерцового солитона для области
Ω0 =nT0
2nω0ωτ0
r ≤ R. Вне этой области обе компоненты поля равны
Подставляя (38) в (31) с учетом (37), после инте-
нулю.
грирования и использования (29), (24) и (19) полу-
Ниже рассмотрим две различные ситуации, соот-
чим
ветствующие аномальной и нормальной ДГС опти-
(
)1/5
ческой компоненты.
c
c
R20
z
3
r2
Φ1 =
Φ2 = 2.02
1-
+
3.1. Самофокусировка при аномальной ДГС
nT
nω
lr
zf
10 zf - z
(β < 0). В этом случае “потенциальная энергия”
(43)
U (q) монотонно убывает до -∞ при уменьшении
Подстановка (38)-(43) в (11)-(13) приводит нас
динамического параметра q. Понятно, что по мере
к искомому приближенному решению для оптико-
распространения импульса будем иметь q
→ 0,
терагерцового солитона вблизи точки самофокуси-
что соответствует самофокусировке солитона. Ис-
ровки.
следуем поведение солитона вблизи фокуса, где
Из (11)-(13), а также из (38)-(42) видно, что пи-
q = R/R0 ≪ 1. При очень малых значениях q в (33)
ки интенсивностей обеих компонент солитона имеют
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
310
С. В. Сазонов
следующее пространственное распределение в попе-
аномальной ДГС, соотношениями (39) и (41) соответ-
речных сечениях: Iω/Iω0 = IT /IT0 = (1 - r2/R2)2.
ственно. Только теперь в них следует совершить за-
При этом интенсивности Iω0 и IT0 на оси солитона
мены τp → τ0 и Ω → Ω0 (см. (40) и (42) при R = R0).
вблизи точки самофокусировки испытывают сингу-
При приведенных выше параметрах найдем для
лярность: Iω0 ∼ IT0 ∼ (1 - z/zf )-8/5.
интенсивности оптической солитонной компоненты
( c)3
β2Ω0
Из (38), (40) и (42) видно, что самофокусировка
на центральной оси волновода: Iω0 ∼
∼
4π χ(2)2 ωτ2
0
солитона сопровождается уменьшением его длитель-
∼ 1010 Вт/см2. Для терагерцовой составляющей име-
ности и сингулярным ростом “красного” сдвига несу-
ем IT0 ∼ 0.1Iω0 ∼ 109 Вт/см2.
щей частоты: τp ∼ (1 - z/zf)2/5, Ω ∼ (1 - z/zf)-4/5.
Заметим, что для теоретического описания
При этом, как видно из (43), кривизны группо-
оптико-терагерцовой пули в градиентном волноводе
вых и фазовых фронтов резко возрастают, что со-
достаточно ограничиться приближением геомет-
провождается значительным уменьшением группо-
рической оптики, не вдаваясь в тонкости явлений
вой и фазовой скоростей на оси волновода. Обрат-
дифракции.
ная длительность оптико-терагерцового солитона и
Заключение. Проведенное в настоящей работе
красный сдвиг несущей частоты оптической компо-
теоретической исследование показывает, что на ди-
ненты уменьшаются от центров поперечных сечений
намику оптико-терагерцового солитона существен-
к периферийным участкам по законам (39) и (41) со-
ное влияние оказывают как изгибная, так и моду-
ответственно. Эти выводы качественно совпадают с
ляционная неустойчивости. Обе неустойчивости раз-
численными экспериментами, проведенными в [38].
виваются в связанном нелинейном режиме, влияя
Взяв в (35) для одноосного кристалла ниобата ли-
друг на друга. Динамику фазовых волновых фрон-
тия β ∼ 10-26 c2/см [39], τp ∼ 10-13 c, ω ∼ 1015 c-1,
тов невозможно отделить от динамики групповых
R0 ∼ 10-1-10-2 мм, найдем ld ∼ lD ∼ 1 см. Отсюда,
фронтов.
а также из (34) и (37) находим lr ∼ zf ∼ 1 см.
Градиентный волновод оказывает принципиаль-
3.2. Самоканалирование при нормальной ДГС
ное влияние на динамику оптико-терагерцового со-
(β > 0). В этом случае
“потенциальная энергия”
литона в области нормальной ДГС для оптиче-
U (q) имеет локальный минимум. Это соответству-
ской компоненты. Важно, что в этом случае волно-
ет возможности формирования устойчивой оптико-
вод препятствует развитию изгибно-модуляционной
терагерцовой “пули”. Так как в точке локального ми-
неустойчивости, приводя к возможности формиро-
нимума R′ = 0, то волновые фронты являются плос-
вания устойчивой оптико-терагерцовой пули. Если
кими (см. второе выражение (29)). Следовательно, в
же несущая частота оптической компоненты лежит
этой точке R = R0 (или q = 1). Таким образом, при-
в области аномальной ДГС, то наличие волновода
ходим к условию (∂U/∂q)q=1 = 0. Отсюда, а также
не имеет принципиального значения. В этом случае
из (33)-(35) имеем для поперечного радиуса оптико-
обе неустойчивости развиваются в режиме с обостре-
терагерцовой пули
нием, приводя к самофокусировке солитона. Здесь,
√
скорее, можно говорить о тенденции к самофокуси-
nω0
λ
R0 = 0.56aω
,
(44)
ровке, так как неизвестно, к чему может привести
n2ω0 - 1 ld
строгий учет дифракции за пределами приближения
где λ = 2πc/ω - длина волны, соответствующая несу-
геометрической оптики. Пока на пути соответствую-
щей частоте ω.
щих аналитических расчетов встают трудности ма-
Полагая здесь λ ∼ 10-4 см, ld ∼ 1 см, будем иметь
тематического характера.
R0 ∼ 10-2aω. Пусть aω ∼ 1 мм. Тогда R0 ∼ 10-2 мм ∼
Работа выполнена при финансовой поддержке
∼ 10λ.
Российского фонда фундаментальных исследований
Таким образом, в случае нормальной ДГС в гра-
(проект # 19-02-00234а).
диентном волноводе возможно формирование устой-
чивого пространственно-временного солитона, состо-
1. P. Y. Han and X.-C. Zhang, Meas. Sci. Tech. 12, 1747
ящего из оптической и терагерцовой компонент. При-
(2001).
нимая во внимание общепринятую терминологию
2. B. Fergusson and X.-C. Zhang, Natures Mater. 1, 26
[40], назовем данное связанное состояние оптико-
(2002).
терагерцовой пулей.
3. А. Е. Щеголев, А. М. Попов, А. В. Богацкая,
Поперечные распределения обратной длительно-
П. М. Никифорова, М. В. Терешонок, Н. В. Кленов,
сти солитона и красного сдвига несущей частоты оп-
Письма в ЖЭТФ 111, 443 (2020) [A. E. Schegolev,
тической компоненты определяются, как и в случае
A. M. Popova, A. V. Bogatskaya, P. M. Nikiforova,
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020
Изгибно-модуляционная динамика оптико-терагерцового солитона...
311
M. V. Tereshonok, and N. V. Klenov, JETP Lett. 111,
21.
E. A. Kuznetsov, A. M. Rubenchik, and V. E. Zakharov,
371 (2020)].
Phys. Rep. 142, 103 (1986).
4.
Д. А. Шкитов, А.П. Потылицын, Г. А. Науменко,
22.
Y. S. Kivshar and D. E. Pelinovsky, Phys. Rep. 331, 117
М. В. Шевелев, А. Арышев, Н. Терунума, Дж. Ура-
(2000).
кава, Письма в ЖЭТФ 111, 443 (2019) [D. A. Shkitov,
23.
B. A. Malomed, D. Mihalache, F. Wise, and L. Torner,
A.P. Potylitsyn, G. A. Naumenko, M. V. Shevelev,
J. Opt. B: Quantum Semiclassical Opt. 7, R53 (2005).
A. Aryshev, N. Terunuma, and J. Urakawa, JETP Lett.
24.
В. Е. Захаров, А. М. Рубенчик, ЖЭТФ 65, 99 (1973)
109, 771 (2019)].
[V. E. Zakharov and A. M. Rubenchik, Sov. Phys. JETP
5.
В. А. Костин, И. Д. Ларюшин, Н. В. Введенский,
38, 494 (1974)].
Письма в ЖЭТФ 112, 81 (2020).
25.
D. E. Pelinovsky, Math. Comput. Simul. 55, 585 (2001).
6.
S. Stremoukhov and A. Andreev, JOSA B 34, 233
26.
G. Lombardi, W. Van Alphen, S. N. Klimin, and
(2017).
J. Tempere, Phys. Rev. A 96, 033609 (2017).
7.
У. А. Абдуллин, Г. А. Ляхов, О. В. Руденко,
27.
А. Н. Бугай, С. В. Сазонов, Изв. РАН. Сер. Физиче-
А.С. Чиркин, ЖЭТФ 66, 1295 (1974) [U. A. Abdullin,
ская 82, 1610 (2018) [A. N. Bugay and S. V. Sazonov,
G. A. Lyakhov, O. V. Rudenko, and A. S. Chirkin, Sov.
Bull. Russ. Acad. Sci.: Phys. 82, 1468 (2018)].
Phys. JETP 39, 633 (1974)].
28.
P. J. Caudrey, J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, and
8.
Д. А. Багдасарян, А.О. Макарян, П. С. Погосян,
R. K. Bullough, J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 6, L53
Письма в ЖЭТФ 37, 498 (1983) [D. A. Bagdasaryan,
(1973).
A.O. Makaryan, and P. S. Pogosyan, JETP Lett. 37,
29.
С. В. Сазонов, А. Ф. Соболевский, ЖЭТФ 123, 1160
594 (1983)].
(2003) [S. V. Sazonov and A. F. Sobolevskii, JETP 96,
9.
D. H. Auston, K.P. Cheung, J. A. Valdmanis, and
1019 (2003)].
D. A. Kleinman, Phys. Rev. Lett. 53, 1555 (1984).
30.
N. Yajima and M. Oikawa, Prog. Theor. Phys. 56, 1719
10.
G. Kh. Kitaeva, Laser Phys. Lett. 5, 559 (2008).
(1976).
11.
А.Н. Тучак, Г.Н. Гольцман, Г.Х. Китаева,
31.
T. Hattori and K. Takeuchi, Opt. Express 15, 8076
А.Н. Пенин, С. В. Селиверстов, М. И. Финкель,
(2007).
А.В. Шепелев, П. В. Якунин, Письма в ЖЭТФ
32.
С. К. Жданов, Б. А. Трубников, ЖЭТФ 92, 1612
96,
97
(2012)
[A. N. Tuchak, G. N. Gol’tsman,
(1987) [S. K. Zhdanov and B. A. Trubnikov, Sov. Phys.
G. Kh. Kitaeva, A. N. Penin, S. V. Seliverstov,
JETP 65, 904 (1987)].
M. I. Finkel, A. V. Shepelev, and P. V. Yakunin, JETP
33.
В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, С. Л. Мушер,
Lett. 96, 94 (2012)].
Письма в ЖЭТФ 41, 125 (1985) [V. E. Zakharov,
12.
С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ
96,
281
(2012)
E. A. Kuznetsov, and S. L. Musher, JETP Lett. 41, 154
[S. V. Sazonov, JETP Lett. 96, 263 (2012)].
(1985)].
13.
А.Н. Бугай, ЭЧАЯ 50, 185 (2019)
[A. N. Bugay,
34.
С. А. Ахманов, А. П. Сухоруков, Р. В. Хохлов, УФН
Physics of Particles and Nuclei 50, 210 (2019)].
93, 19 (1967) [S. A. Akhmanov, A. P. Sukhorukov, and
14.
С. В. Сазонов, А. Ф. Соболевский, Письма в ЖЭТФ
R. V. Khokhlov, Sov. Phys. Usp. 10, 609 (1968)].
75, 746 (2002) [S. V. Sazonov and A. F. Sobolevskii,
35.
Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко, Колебания, вол-
JETP Lett. 75, 621 (2002)].
ны, структуры, Физматлит, М.
(2001),
496 с.
15.
Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис, Со-
[N. V. Karlov and N. A. Kirichenko, Oscillations,
литоны и нелинейные волновые уравнения, Мир,
Waves, Structures, Fizmatlit, Moscow (2001), 496 p. [in
М. (1988) [R. K. Dodd, J. C. Eilbeck, J. Gibbon, and
Russian]].
H.C. Morris, Solitons and Nonlinear Wave Equations,
36.
С. В. Сазонов, ЖЭТФ 130, 145 (2006) [S. V. Sazonov,
Academic Press, N.Y. (1982)].
JETP 103, 126 (2006)].
16.
В. Е. Захаров, ЖЭТФ 62, 1745 (1972) [V. E. Zakharov,
37.
S. V. Sazonov, Phys. Wave Phenom. 24, 31 (2016).
Sov. Phys. JETP 35, 908 (1972)].
38.
A. N. Bugay, S. V. Sazonov, and P. Yu. Shestakov, Proc.
17.
D. J. Benney, Stud. Appl. Math. 56, 81 (1977).
SPIE 10684, 106841M (2018).
18.
J. Hebling, G. Almasi, and I. Z. Cosma, Opt. Express
39.
А. Ярив, Квантовая электроника, Сов. радио, М.
10, 1161 (2002).
(1980), 488 с. [A. Yariv, Quantum Electronics, John
19.
А.Г. Степанов, А. А. Мельников, В. О. Компанец,
Wiley & Sons, N.Y. (1989), 676 p.].
С. В. Чекалин, Письма в ЖЭТФ 85, 279 (2007)
40.
Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал, Оптические солито-
[A. G. Stepanov, A. A. Mel’nikov, V. O. Kompanets, and
ны: от волоконных световодов к фотонным кри-
S. V. Chekalin, JETP Lett. 85, 227 (2007)].
сталлам, Физматлит, М. (2005), 648 с. [Yu.S. Kivshar
20.
А.Н. Бугай, С. В. Сазонов, А.Ю. Шашков, Квант.
and G. P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to
электрон. 42, 1027 (2012) [A. N. Bugay, S. V. Sazonov,
Photonic Crystals, Academic Press, N.Y. (2003), 540 p.].
and A. Yu. Shashkov, Quantum Electronics 42, 1027
(2012)].
Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6
2020