Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 5, с. 325 - 331

Диффузия нанопузырей в ГЦК алюминии

А. С. Антропов¹⁾

Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия

Московский физико-технический институт (ГУ), 141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 15 июля 2020 г.

После переработки 12 августа 2020 г.

Принята к публикации 12 августа 2020 г.

Существующие теории диффузии газонаполненных и пустых пузырей в твердых телах пока не об-

ладают достаточной предсказательной силой и требуют уточнений, которые могут быть сделаны с ис-

пользованием моделирования. В работе теоретически обосновывается метод ускоренного молекулярно-

динамического моделирования дрейфа пузыря в градиенте давления. С помощью этого метода рассчиты-

вается коэффициент диффузии пустых нанопузырей в алюминии. Теория диффузии путем образования

критических террас на гранях дополнена таким образом, чтобы не возникало противоречия с конти-

нуальной моделью для макроскопических размеров. Результаты моделирования показывают ключевую

роль механизма образования террас в нанопузырях и подтверждают дополненную теорию. Учет влия-

ния газа позволяет сравнить результаты моделирования с экспериментальными данными. В результате

сравнения также подтверждается механизм образования террас.

DOI: 10.31857/S1234567820170097

В данной работе речь пойдет о диффузии пу-

нии [13] - механизм поверхностной самодиффузии;

зырей (полостей) в объеме зерна металла. Суще-

в ванадии [14] - механизм образования террас.

ствует множество теоретических моделей процессов,

Таким образом, проверенной количественной тео-

определяющих скорость диффузии в таких услови-

рии, способной предсказывать механизм и коэффи-

ях. Континуальная теория трех основных механиз-

циент диффузии пузырей в широком диапазоне ра-

мов переноса атомов подробно описана в [1, 2]. При

диусов и температур пока нет. Атомистическое моде-

этом ключевой параметр одного из механизмов, ко-

лирование может помочь решить эту задачу, после-

эффициент поверхностной самодиффузии, может за-

довательно рассматривая все упомянутые факторы.

висеть от радиуса пузыря [3]. В фасеточных пузырях

Квантовыми и классическими методами моделирует-

может играть роль частота образования критических

ся диффузия точечных дефектов (например [15, 16]).

террас на гранях [4, 5]. Газ, находящийся в пузыре,

Методами молекулярной динамики (МД) исследует-

влияет на кинетику процессов на поверхности, при-

ся равновесное состояние пузырей [17-19], а также

чем есть разные подходы к учету этого влияния [6, 7].

диффузия небольших кластеров вакансий [20, 21].

Давление газа в этих теориях традиционно опреде-

Диффузия пузырей моделировалась методами кине-

ляется как равновесное Лапласовское, однако учет

тического Монте-Карло

[22, 23] и методами “phase-

кинетики переходов вакансий и газа между пузырем

field”

[24, 25], которые, однако, не могут в полной

и объемом матрицы ведет к другому результату [8].

мере описывать поверхностные эффекты. Наконец

Наблюдение броуновского движения пузырей с

популяции пузырей и выход газа из зерна модели-

помощью электронного микроскопа является наибо-

руются континуальными методами [26].

лее прямым экспериментальным способом верифика-

Ранее нами было проведено МД моделирование

ции описанных теорий. По зависимости коэффициен-

диффузии полостей в модельной двумерной решет-

та диффузии от радиуса пузыря предполагают клю-

ке [27], результаты которого согласовались с кон-

чевой механизм, однако это затруднено учетом влия-

тинуальной моделью диффузии. Однако в ОЦК

ния газа. Для нанопузырей в диоксиде урана предпо-

уране [28] моделирование показало ключевую роль

лагались как механизм поверхностной самодиффу-

механизма образования террас. В данной работе

зии [9], так и механизм образования террас [10]; в

впервые результаты моделирования диффузии пузы-

золоте - аналогично [5, 11]; в меди [12] и алюми-

рей сравниваются не только с теорией, но и с экс-

периментальными данными для типичного ГЦК ме-

¹⁾e-mail: antropov@phystech.edu

талла - алюминия. Алюминий интересен и с прак-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

325

326

А. С. Антропов

тической точки зрения, как элемент матрицы ядер-

образоваться и вырасти терраса (кластер из поверх-

ных топлив, так как диффузия пузырей влияет на

ностных вакансий). Образование террасы повышает

транспорт газовых продуктов деления в них [29, 30].

свободную энергию системы и из-за этого возникает

В работе моделируется диффузия пустых пузырей

дополнительный энергетический барьер.

(кластеров вакансий), однако впоследствии все пред-

Теория этого механизма была подробно разобра-

ложенные методы могут быть распространены на пу-

на Биром в статьях [4, 31, 32]. В статье [28] приводит-

зыри, содержащие газ. Рассматриваются пузыри на-

ся выражение для коэффициента диффузии в случае

норазмеров (радиус от 9 до 18Å). Они представляют

такого механизма без дополнительных предположе-

особый интерес по двум причинам. С одной стороны,

ний о форме критической террасы и энергии пере-

именно в них проявляются отклонения от контину-

ходного состояния:

(

)

альной теории, которые являются главным предме-

3Ων₀a₀N_crK_cr

G_f + G_m + G_cr

том рассмотрения в данной статье. С другой, нано-

D^tb =

exp

(3)

2πR²

пузыри являются наиболее подвижными, и их диф-

где N_cr(R) - количество вакансий в террасе крити-

фузия вносит главный вклад в процессы коалесцен-

ции пузырей и выхода газа из зерна в радиационных

ческого размера, K_cr(R) - количество атомов, окру-

жающих террасу (рис. 1, справа), Ω - атомный объ-

материалах. Эксперименты по наблюдению броунов-

ского движения пузырей в алюминии также прово-

ем, G_cr(R) - свободная энергия образования крити-

ческой террасы.

дились для наноразмеров - от 10 до 30Å.

Существует три механизма переноса атомов с од-

ной стороны пузыря на другую: объемная самодиф-

фузия, поверхностная самодиффузия и перенос че-

рез сам пузырь (испарение-конденсация). Механизм

переноса через пузырь в большинстве рассматрива-

емых материалов выражен очень слабо и им можно

пренебречь. Легко показать [1], что в случае пузырей

размером порядка 10^-9-10^-7 м поверхностный меха-

низм преобладает над объемным. Выражение для ко-

эффициента диффузии пузыря радиусом R за счет

поверхностной самодиффузии D^sb было теоретиче-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Слева - расчетная ячейка для

ски выведено в рамках континуального рассмотре-

ускоренного метода, синие атомы заморожены, зеле-

ния (атомные размеры пренебрежимо малы по срав-

ные - термостат, белые - атомы поверхности пузыря.

нению с размерами пузыря) [1, 2]:

Справа - только атомы поверхности. Показано возмож-

4/3

ное расположение террасы. Внутри шестиугольника -

3Ω

D^s

=D_s

(1)

атомы грани, красные - Ncr атомов террасы, серые -

4πR⁴

Kcr атомов окружения, жирная линия - ступень

где D_s - коэффициент поверхностной самодиффу-

зии. По теории свободных блужданий коэффициент

Бир предполагает [32], что G_cr(R) = ǫl_cr, где ǫ -

поверхностной самодиффузии можно выразить так:

энергия на единицу длины ступени, l_cr - длина кри-

(

)

тической ступени. Проблема этой теории в том, что

G_f + G_m

D_s =

ν₀a²⁰ exp

(2)

в таком случае D^tb экспоненциально падает с ростом

радиуса (так как l_cr ∼ R) и не переходит в формулу

где G_f и G_m - свободные энергии формирования и

(1) при R → inf [6]. В этой статье предлагается способ

миграции наиболее подвижных поверхностных де-

исправления теории Бира. Выражение для свободной

фектов, ν₀ - средняя частота тепловых колебаний

энергии, данное Биром, не учитывает конфигураци-

атомов, a₀ - расстояние между ближайшими атома-

онную энтропию состояния с террасой. Множество

ми поверхностного слоя.

вариантов размещения террасы на грани увеличива-

Экспериментально было обнаружено, что в фа-

ет эту энтропию S_cr, уменьшая свободную энергию.

сеточных пузырях (пузырях с явно выраженны-

Поэтому

ми устойчивыми гранями) скорость диффузии мо-

G_cr(R) = E_cr - TS_cr = ǫl_cr - kT lnW_cr,

(4)

жет определяться частотой образования критиче-

ских террас [5]. Для того, чтобы грань переместилась

где E_cr - потенциальная энергия ступени, W_cr - ста-

на одну атомную плоскость, на ней должна сначала

тистический вес состояния с критической террасой.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

Диффузия нанопузырей в ГЦК алюминии

327

Учет энтропии террас устраняет вышеупомянутое

Минимальное различимое перемещение пузыря

противоречие: в больших пузырях эта энтропия на-

в дискретной решетке - λ. Характерное время та-

столько велика, что, в силу флуктуаций, на гранях

кого перемещения в процессе свободной диффузии,

всегда есть достаточно большие террасы, и переход

согласно (6), ≈ λ2/6D. Характерное время тако-

атома из террасы на одной грани в террасу на дру-

го перемещения в процессе дрейфа, согласно (7),

гой не отражается на энергии. В таком случае время

≈ λkT/N_bfD. С учетом указанных выше ограниче-

появления критической террасы становится меньше

ний на силу f видно, что этот метод дает выигрыш

характерного времени диффузионного перемещения

по времени в случае, когда N_b ≫ 1.

всех атомов грани на характерный размер пузыря.

Также в [28] выведен нелинейный аналог этого

В итоге коэффициент диффузии определяется как

метода на случай, когда подвижность определяется

min(D^tb , D^sb). Выражение (3) можно переписать в бо-

механизмом образования террас, и энергия актива-

лее удобной форме с учетом (4) и (2):

ции процесса велика. В таком случае зависимость

(

)

скорости от силы дается следующей формулой, пе-

6ΩN_crK_crW_cr

ǫl_cr

реходящей в (7) в линейном пределе:

D^t

=D_s

exp

(5)

πa₀R²

)

4πR²D^tb

(RcosφN_crf

Основной способ численного расчета коэффици-

V =

(8)

3ΩN_cr cos φ

ента диффузии D некоторого объекта основан на мо-

делировании его броуновского движения:

где φ - угол между нормалью к передним граням и

Δr² = 6Dt.

(6)

направлением силы. В данном случае даже при усло-

вии малости изменения барьера для атомных прыж-

В статьях [27, 28] для расчета коэффициента диф-

ков (fλ ≪ kT ) может быть значительным изменение

фузии пузыря мы предложили метод вынуждаю-

критической энергии террасы (RN_crf > kT ) и ли-

щей силы. Дополним теоретическое обоснование это-

нейное разложение sh уже нельзя использовать. Та-

го метода. В общей формулировке он опирается на

ким образом, линейность зависимости V (f) в этом

соотношение Эйнштейна: если на объект действует

диапазоне сил может служить признаком механиз-

сила F по оси x, то:

ма поверхностной самодиффузии, а нелинейность -

признаком механизма образования террас.

Δx =

F t.

(7)

Расчеты проводились в пакете молекулярно-

динамического моделирования LAMMPS с ускоре-

Соотношение Эйнштейна является следствием

нием на GPU [34, 35]. Для взаимодействия атомов

флуктуационно-диссипативной теоремы, в которой

алюминия использовался EAM (Embedded atom

F обозначает силу в обобщенном смысле, т.е. наличие

model) потенциал [36], который хорошо описывает

в Гамильтониане члена типа -F x [33]. Представим,

fcc и жидкую фазы алюминия. Существует множе-

что в некоторой области неподвижного кристалла,

ство работ по описанию поверхностных эффектов

содержащей пузырь из N_b вакансий, на все атомы

в металлах с помощью модели EAM. Однако, так

действует сила f. При изотермическом перемещении

как свойства поверхности не входят в число опти-

пузыря на Δx, сила совершит работу N_bfΔx. Тогда

мизируемых параметров при создании потенциала,

обобщенная сила F = fN_b. Легко показать, что в Га-

необходимо проверить правильность их описания.

мильтониане можно пренебречь энергией создавших-

В качестве проверяемых свойств были выбраны

ся упругих напряжений, так как она много меньше

энергии образования дефектов на поверхности [111]

работы силы по перемещению пузыря.

при нулевой температуре, которые сравнивались с

Для применения соотношения Эйнштейна в про-

результатами квантово-механических расчетов [37].

цессе моделирования необходимо подобрать доста-

Результаты сравнения приведены в табл. 1, выбран-

точно малую силу, чтобы скорость зависела от

ный EAM потенциал достаточно хорошо описывает

нее линейно. С точки зрения элементарных кине-

поверхность. Все расчеты проводились для нулевой

тических процессов, наличие силы изменяет энер-

изобары с периодическими граничными услови-

гетические барьеры для атомных прыжков в за-

ями. Для создания пузыря из расчетной ячейки

висимости от направления. Вероятность прыжка

удалялись атомы в сфере заданного радиуса с по-

∼ exp(-G_m/kT). Поэтому для того чтобы использо-

следующей релаксацией формы пузыря. Линейные

вать линейное приближение, необходимо fλ ≪ kT <

размеры ячейки не менее чем в 3 раза превосходили

< G_m, λ - межатомное расстояние.

диаметр пузыря. Положение пузыря определялось

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

328

А. С. Антропов

как координаты центра масс группы вакансий,

пределу. При 900 K точки хорошо ложатся на линей-

образующих его.

ный участок. При понижении температуры начинает

проявляться нелинейность, что является признаком

Таблица 1. Энергии формирования вакансии и адатома на

механизма образования террас. По линейному преде-

поверхности [111] в алюминии

лу были определены подвижности и коэффициенты

E_f (vac), эВ

E_f (ad), эВ

диффузии пузырей D^MDb, показанные на рис. 3.

EAM [36]

0.62

0.91

DFT [37]

0.67

1.05

Свободная диффузия пузыря моделировалась в

равновесном ансамбле с сохранением числа частиц,

объема и полной энергии. Для моделирования дрей-

фа под действием силы в расчетной ячейке с пузы-

рем замораживался нижний слой атомов, а ко всем

остальным прикладывалась сила f, перпендикуляр-

ная замороженному слою. Температура расчетной

ячейки поддерживалась постоянной с помощью тер-

мостата Нозе-Гувера, применяемого к атомам, на-

ходящимся вне цилиндрической области (см. рис. 1).

Моделирование направленной диффузии производи-

лось в диапазоне сил f ∈ [0.0005; 0.01] эВ/Å при тем-

пературах от 750 до 900 K (kT/λ ≈ 0.018 эВ/Å).

На рисунке 2 показана зависимость скорости пу-

зыря от действующей на него силы F = N_bf в двой-

ном логарифмическом масштабе для радиусов 12 и

Рис. 3. (Цветной онлайн) Коэффициент диффузии пу-

18Å (N_b = 416 и 1388 атомов соответственно). Точки

зыря в зависимости от радиуса. a/b - моделирование

ускоренным методом D^MDb для 900/800 K; c/d - моде-

лирование свободной диффузии для 900/800 K; e/f -

предсказание D^sb (1) для 900/800 K; g/h - предсказа-

ние D^tb (5) для 900/800 K, i - нормированные на ну-

левую концентрацию газа экспериментальные данные

D^expb/e-ngq для 818 K [13] (см. текст)

На рисунке 3 также показаны коэффициенты,

полученные из моделирования свободной диффузии

пузырей радиусом 12Å. Видно, что результаты уско-

ренного метода согласуются с результатами расчета

свободной диффузии в пределах погрешности, при

этом, как и было предсказано, они потребовали в 7-

15 раз меньше времени. Например, для достаточного

смещения при T = 900 K и R = 12Å и минимальной

силе f = 0.001 эВ/Å требуется около ста наносекунд,

в то время как при свободной диффузии без силы -

около двух микросекунд.

Коэффициент поверхностной самодиффузии был

Рис. 2. Скорость пузыря в зависимости от суммарной

рассчитан в пузырях радиусом 12 и 18Å аналогич-

действующей силы F . Аппроксимация по формуле (8)

но работе [38]. Принадлежность атома к поверхност-

ному слою определялась по объему его ячейки Во-

аппроксимированы зависимостью (8). Прямая с еди-

роного, был выбран порог 20Å3 при Ω ≈ 17.5Å3.

ничным наклоном соответствует линейному пределу,

Значения D^sb, предсказанные формулой (1) на осно-

а крутой нелинейный участок - экспоненциальному

ве рассчитанных значений D_s, показаны на рис.3.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

Диффузия нанопузырей в ГЦК алюминии

329

Можно предположить, что для 900 K D^tb ≈ D^sb и по-

Среднее количество атомов, окружающих террасу,

тому зависимость от радиуса близка к предсказанию

K_cr и среднюю длину ступени l_cr можно оценить

формулы (1), а для 800 K D^tb < D^sb и зависимость

из геометрических соображений (рис. 1). Количество

определяется механизмом нуклеации террас. По тем-

возможных расположений террасы на грани W_cr оце-

пературной зависимости D^sb и D^MDb (рис. 4) можно

нить сложнее всего, для этого приблизительно под-

считывалось количество возможных вариантов про-

вести ступень, отсекающую половину грани. Резуль-

таты оценки приведены в табл. 1.

Рассчитанная теоретически энергия ǫl_cr совпада-

ет с энергией критической террасы из моделирова-

ния E^MDcr в пределах 8 % для R = 18Å и 30 % для

R = 12Å. Таким образом, формула (5) объясня-

ет температурную зависимость результата. Абсолют-

ные значения D^tb, рассчитанные по (5), приведены на

рис. 3 и 4. По порядку они совпадают с результатами

моделирования и лучше, чем континуальная теория

(1), предсказывают зависимость от радиуса. Боль-

шая ошибка абсолютного значения связана, в первую

очередь, с приблизительной оценкой W_cr.

Для сравнения с экспериментальными данны-

ми [13] необходимо учесть влияние газа (гелия) на

коэффициент поверхностной самодиффузии D_s, ко-

торое было рассмотрено Михлиным [6], а также Ве-

щуновым и Шестаком [7]. Оба подхода предсказыва-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Коэффициент диффузии пу-

ют экспоненциальное падение D_s(n_g) с ростом кон-

зыря в зависимости от температуры: a/b - моделирова-

центрации газа n_g. Воспользуемся оценкой Михлина,

ние ускоренным методом D^MDb для 12/18Å; c/d - пред-

сказания D^sb (1) для 12/18Å; e/f - предсказания D^tb (5)

в которой есть только один параметр q - свободный

для 12/18Å

от газа объем вокруг атома на поверхности, необхо-

димый для перескока:

определить энергию активации процессов поверх-

D_s(n_g) = D_s(0)e-ngq.

(9)

ностной самодиффузии E^acts (0.77 эВ) и диффузии

пузыря E^actb (1.4/2.0 эВ для 12/18Å соответственно).

Так как для обоих механизмов (1) и (5) D_b ∼ D_s,

Энергия активации диффузии пузыря больше энер-

то можно привести экспериментальный коэффици-

гии активации самодиффузии и зависит от радиу-

ент диффузии D^expb к нулевой концентрации гелия,

са, что соответствует механизму образования тер-

разделив его на e-ngq . Зависимость равновесной

рас. Дополнительная энергия критической террасы

концентрации гелия от радиуса пузырей для алюми-

E^MDcr = E^actb - E^acts приведена в табл.2.

ния приведена в работе [39] (n_g = 0.05 и 0.041Å-3

для R = 12 и 18Å соответственно). Наилучшее согла-

Таблица 2. Значение Ecr из моделирования и теоретическая

сование результатов моделирования с экспериментом

оценка параметров в формуле (5)

достигается при q = 285Å3. Экспериментальные дан-

R,Å E^MDcr, эВ ǫlcr, эВ

Ncr,Å

Kcr

Wcr

ные для 818 K, приведенные к нулевой концентра-

0.6

0.9

ции газа, нанесены на рис. 3. Зависимость от радиуса

1.2

1.3

для нормированных результатов эксперимента боль-

ше соответствует механизму образования террас, чем

Для проверки формулы (5), описывающей меха-

механизму поверхностной самодиффузии. Таким об-

низм образования террас, оценим входящие в нее ве-

разом, эксперимент подтверждает механизм образо-

личины для R = 12 и 18Å. Предположим (как и в

вания террас, обнаруженный в расчетах. В дальней-

статье [32]), что критическая терраса состоит из по-

шей работе планируется определить коэффициент q

ловины атомов грани. Потенциальную энергию, при-

напрямую из моделирования.

ходящуюся на единичную длину ступени ǫ, можно

В результате работы было проведено МД мо-

оценить из статического моделирования при нулевой

делирование диффузии пустых нанопузырей в ГЦК

температуре. Было получено значение ǫ = 0.07 эВ/Å.

алюминии для радиусов от 9 до 18Å и температур

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

330

А. С. Антропов

от 750 до 900 K. Полученные коэффициенты диф-

10.

C. Baker, J. Nucl. Mater. 71, 117 (1977).

фузии сравнивались с предсказаниями двух разных

11.

J. Evans and A. van Veen, J. Nucl. Mater. 168, 12

теоретических моделей: континуальной, где скорость

(1989).

определяет только поверхностная самодиффузия, и

12.

R. Barnes and D. Mazey, Proceedings of the Royal

Society of London. Series A. Mathematical and Physical

механизма образования террас.

Sciences 275, 47 (1963).

Энергия активации диффузии рассматриваемых

13.

K. Ono, S. Furuno, K. Hojou, T. Kino, K. Izui,

пузырей больше энергии активации поверхностной

O. Takaoka, N. Kubo, K. Mizuno, and K. Ito, J. Nucl.

самодиффузии, а разница соответствует теоретиче-

Mater. 191, 1269 (1992).

ской оценке потенциальной энергии ступени, деля-

14.

S. Tyler and P. Goodhew, J. Nucl. Mater. 92, 201

щей грань [111] пополам. Это подтверждает ключе-

(1980).

вую роль механизма образования террас для нано-

15.

É. Bévillon, R. Ducher, M. Barrachin, and R. Dubourg,

пузырей. Уточнена теория Бира о свободной энергии

J. Nucl. Mater. 434, 240 (2013).

образования террасы, в которую добавлена конфигу-

16.

G. Smirnov and V. Stegailov, J. Phys. Condens. Matter

рационная энтропия состояния с критической терра-

31, 235704 (2019).

сой. Оценка коэффициента диффузии по уточненной

17.

A. Karavaev, V. Dremov, and G. Ionov, J. Nucl. Mater.

теории предсказывает полученную в моделировании

468, 46 (2016).

зависимость от радиуса и температуры, а также аб-

18.

X.-Y. Liu and D. Andersson, J. Nucl. Mater. 462, 8

(2015).

солютные значения по порядку величины.

19.

B. Beeler, D. Andersson, M. W. Cooper, and Y. Zhang,

Для разных температур зависимость итогового

J. Nucl. Mater. 523, 413 (2019).

коэффициента диффузии от радиуса соответству-

20.

D. Perez, L. Sandoval, S. Blondel, B. D. Wirth,

ет разным механизмам. Так как энергия активации

B. P. Uberuaga, and A. F. Voter, Sci. Rep. 7,

2522

механизмов разная, то наиболее медленным может

(2017).

быть как один, так и другой в зависимости от тем-

21.

N. Gao, L. Yang, F. Gao, R. J. Kurtz, D. West, and

пературы.

S. Zhang, J. Phys. Condens. Matter 29, 145201 (2017).

Учет влияния газа позволяет сравнить резуль-

22.

K. Morishita and R. Sugano, Nuclear Instruments

таты моделирования с экспериментом. Нормирован-

and Methods in Physics Research Section B: Beam

ные для нулевой концентрации газа эксперименталь-

Interactions with Materials and Atoms 255, 52 (2007).

ные данные подтверждают зависимость от радиуса,

23.

D. Schwen and R. Averback, J. Nucl. Mater. 402, 116

соответствующую механизму образования террас. В

(2010).

настоящий момент ведется работа по моделирова-

24.

S. Hu, C. H. Henager Jr, H. L. Heinisch, M. Stan,

нию пузырей с гелием для уточнения влияния газа и

M. I. Baskes, and S. M. Valone, J. Nucl. Mater. 392,

292 (2009).

непосредственного сравнения с экспериментом.

25.

Y. Gao, Y. Zhang, D. Schwen, C. Jiang, C. Sun, and

Работа проведена при поддержке Российско-

J. Gan, Materialia 1, 78 (2018).

го фонда фундаментальных исследований (грант

26.

L. Verma, L. Noirot, and P. Maugis, J. Nucl. Mater.

#18-08-01495).

528, 151874 (2020).

27.

А. Антропов, В. Озрин, В. Стегайлов, В. Тарасов,

ЖЭТФ 156, 125 (2019).

1. Я. Е. Гегузин, Движение микроскопических включе-

28.

A. Antropov and V. Stegailov, J. Nucl. Mater. 152110

ний в твердых телах, Металлургия, М. (1971).

(2020).

2. P. Goodhew and S. Tyler, Proceedings of the Royal

29.

M. Veshchunov, V. Ozrin, V. Shestak, V. Tarasov,

Society of London. A. Mathematical and Physical

R. Dubourg, and G. Nicaise, Nuclear Engineering and

Sciences 377, 151 (1981).

Design 236, 179 (2006).

3. E. Y. Mikhlin and V. Chkuaseli, Phys. Status Solidi (a)

30.

M. Tonks, D. Andersson, R. Devanathan, R. Dubourg,

29, 331 (1975).

A. El-Azab, M. Freyss, F. Iglesias, K. Kulacsy,

4. W. Beere and G. Reynolds, Acta Metallurgica 20, 845

G. Pastore, S. R. Phillpot, and M. Welland, J. Nucl.

(1972).

Mater. 504, 300 (2018).

5. L. Willertz and P. Shewmon, Metall. Mater. Trans. B

31.

W. Beere, Phil. Mag. 25, 189 (1972).

1, 2217 (1970).

32.

W. Beere, J. Nucl. Mater. 45, 91 (1972).

6. E. Y. Mikhlin, Phys. Status Solidi (a) 56, 763 (1979).

33.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая фи-

7. M. Veshchunov and V. Shestak, J. Nucl. Mater. 376,

зика, Наука, М. (1976), ч. 1 (т. 5).

174 (2008).

34.

W. M. Brown, P. Wang, J. S. Plimpton, and

8. L. Noirot, J. Nucl. Mater. 447, 166 (2014).

A. N. Tharrington, Comput. Phys. Commun.

182,

9. M. E. Gulden, J. Nucl. Mater. 23, 30 (1967).

898 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020