Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 5, с. 332 - 339

Адиабатический рэтчет-эффект в системах с дискретным

изменением переменных

В.М.Розенбаум⁺¹⁾, И.В.Шапочкина^∗, Л.И.Трахтенберг^×◦

⁺Институт химии поверхности им. А. А. Чуйко НАН Украины, 03164 Киев, Украина

^∗Белорусский государственный университет, физический факультет, 220050 Минск, Беларусь

^×Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова РАН, 119991 Москва, Россия

^◦Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 15 мая 2020 г.

После переработки 8 августа 2020 г.

Принята к публикации 8 августа 2020 г.

Развита адиабатическая теория рэтчет-эффекта в различных системах, описываемых случайными

переходами между дискретными состояниями. В основе теории лежит построение дискретного анало-

га леммы Паррондо - одного из фундаментальных соотношений теории рэтчет-систем, позволяющего

рассчитывать интегральные потоки за промежутки времени от начальных к конечным (равновесным)

распределениям. Предложено соответствие между вероятностями переходов и параметрами потенциаль-

ного рельефа, прыжковое движение в котором описывается развитой теорией и является низкотемпера-

турным пределом непрерывного движения. Скорость рэтчет-эффекта, рассчитанная с помощью пред-

ложенной теории, хорошо подтверждается результатами численного моделирования. Развитый подход

позволяет исследовать закономерности функционирования броуновских моторов различной природы

простыми методами.

DOI: 10.31857/S1234567820170103

Под броуновским рэтчетом обычно понимают на-

емых леммой [7-10]. Один из механизмов функцио-

ходящуюся в контакте с термостатом наносистему, в

нирования рэтчета использует дихотомный процесс

которой направленное движение возникает в резуль-

переключения асимметричных пространственно пе-

тате несмещенных (unbiased) неравновесных возму-

риодических потенциальных профилей V_A(x) и V_B(x)

щений различной природы при нарушении простран-

[V_A(B)(x + L) = V_A(B)(x), L - период]. Предполагая,

ственной и/или временной симметрии [1-5]. Сам фе-

что потенциалы переключаются мгновенно, а време-

номен возникновения направленного движения при

на жизни профилей, τ_A и τ_B, много больше характер-

таких условиях называют рэтчет-эффектом. Глубо-

ных времен релаксации (адиабатическое приближе-

кое понимание механизма последнего возникает из

ние), среднюю скорость рэтчета можно определить

рассмотрения его элементарного акта, описываемого

через сумму двух интегральных потоков с начальны-

известной леммой Паррондо [6]. В периодическом по-

ми и конечными распределениями, соответствующи-

тенциальном профиле при заданной начальной плот-

ми распределениям Больцмана ρ^A(B)-(x) в профиле

ности вероятности распределения частиц возникает

V_A(x) или V_B(x)

поток частиц, который приводит с течением времени

∫

к установлению в системе термодинамического рав-

〈ν〉 =

dx[ρ^A+(x)-ρ^B+(x)] dy[ρ^A-(y)-ρ^B-(y)],

новесия, характеризуемого больцмановской функци-

τ_A + τ_B

ей распределения. Лемма Паррондо определяет ин-

(1)

тегральные потоки через заданные поперечные сече-

∕∫L

ния за промежутки времени от начальных к конеч-

ρ^A(B)±(x) = exp[±βV_A(B)(x)]

dy exp[±βV_A(B)(y)],

ным (равновесным) распределениям, что позволяет

аналитически представлять решения сложных моде-

лей, сводящиеся при тех или иных предположениях,

где β = (k_B T )^-1, k_B - постоянная Больцмана, T -

к последовательности элементарных актов, описыва-

абсолютная температура (подробный вывод выраже-

ния (1), в том числе и при учете неадиабатических и

¹⁾e-mail: vik-roz@mail.ru

инерционных поправок, дан в [7-10]).

332

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

Адиабатический рэтчет-эффект в системах с дискретным изменением переменных

333

При низких температурах (k_BT много меньше ба-

нако, до сих пор не был получен. В настоящей ра-

рьеров потенциальных рельефов) движение частиц

боте приводится простой вывод дискретного аналога

приобретает прыжковый характер. Такой характер

леммы Паррондо, а также развитая с его помощью

движения присущ молекулярным (белковым) мото-

адиабатическая теория рэтчет-эффекта в системах

рам [11-13], в которых связывание на поверхности

с дискретным изменением переменных. Рассчитан-

броуновской частицы заряженного лиганда (АТФ -

ные с использованием этой леммы величины сред-

аденозинтрифосфата) приводит к сильному измене-

ней скорости направленного движения хорошо под-

нию потенциальной энергии этой частицы в асим-

тверждаются результатами численного моделирова-

метричном электростатическом поле полярной под-

ния. Это позволяет эффективно использовать лемму

ложки. При определенных условиях, накладывае-

для исследования закономерностей функционирова-

мых теорией симметрии [14], прыжковый характер

ния броуновских моторов простыми методами.

движения может быть инициирован и сильным пере-

Рассмотрим бесконечную цепочку узлов, нумеру-

распределением заряда наночастицы под действием

емых целочисленной переменной n. Пусть из каж-

внешнего электрического поля [15]. С более общей

дого узла n частица может перейти в соседний узел

точки зрения, необходима сильная связь внешнего

n + 1 направо с вероятностью p^rn, в соседний узел

процесса, вызывающего флуктуации потенциально-

n - 1 налево с вероятностью p^ln или остаться в узле

го профиля и, как следствие, флуктуации констант

n с вероятностью p^un = 1 - p^rn - p^ln. Обозначим через

скоростей преодоления потенциальных барьеров, с

P_n(t) вероятность того, что частица находится в уз-

внутренним процессом возникновения направленно-

ле n в момент времени t. Считая моменты времени

го движения в рэтчет-сиситеме [16]. Электроконфор-

целочисленными (происходящими через равные про-

мационное сопряжение прикладываемого электриче-

межутки времени Δt), запишем уравнение, опреде-

ского поля и потока ионов через биологические мем-

ляющее вероятность найти частицу в последующий

браны служит ярким примером наличия такой связи

момент времени t + 1 в том же узле n:

внешнего и внутреннего процессов [17]. Для описа-

P_n(t+1) = p^rn-1P_n-1(t)+p^unP_n(t)+p^ln+1P_n+1(t). (2)

ния случайных переходов системы между дискрет-

ными состояниями может использоваться периодиче-

Если трактовать рэтчет-эффект в терминах теории

ская одномерная прыжковая модель диффузии час-

парадоксальных игр Паррондо, то величина P_n(t)

тиц между узлами бесконечной цепочки с основной

приобретает смысл вероятности иметь капитал n по-

областью из N узлов, развитая Дерридой [18]. Зада-

сле t бросков игральной кости, а уравнение (2) задает

вая вероятности переходов, можно рассчитывать ха-

эволюцию P_n(t), т.е. позволяет рассчитать результа-

рактеристики поведения различных систем: от пото-

тивность ведения игры.

ков частиц через биологические мембраны [17, 19, 20]

Естественно ограничить число разнородных уз-

до изменения величины капитала в парадоксальных

лов n в общей прыжковой модели. Проще всего это

играх Паррондо [21-26]. При N = 2 количественные

сделать введением элементарной ячейки из N узлов,

связи между результатами для, казалось бы, раз-

нумеруемых внутри нее целочисленной переменной

личных моделей - флуктуирующего потенциала [27],

m = 1,2,...,N, а все бесконечное множество узлов

электроконформационного сопряжения [17] и “ката-

n определять трансляциями элементарной ячейки,

литического колеса” [20] - устанавливаются особенно

т.е. полагать n = m + Nk, где k = 0, ±1, . . . - цело-

просто [16].

численное число трансляций. Тогда вероятности pⁱⁿ

Анализируя непрерывные и дискретные прояв-

(i = r, l, u) можно считать периодическими функция-

ления рэтчет-эффекта, следует отметить, что хо-

ми с периодом N (p^in+N = pⁱⁿ) и определять набором

тя дискретное движение можно рассматривать как

p^im с m = 1, 2, . . ., N. Кроме того, введем редуциро-

предельный случай непрерывного движения, рэтчет-

∑

ванную вероятность R_m(t) =

P_m+Nk(t) запол-

эффект может носить и чисто дискретный харак-

k=-∞

тер, как, например, при кинетическом описании пе-

нения состояния m в момент времени t c нормиров-

реходов между конечным набором состояний или в

∑

кой на элементарную ячейку,

R_m(t) = 1, которая

теории игр, когда эффект состоит в определенной

m=1

смене стратегий игры, обеспечивающей средний вы-

является периодической функцией R_n(t) = R_n+N (t)

игрыш. Очевидно, что должен существовать дис-

целочисленного аргумента n. В терминологии теории

кретный аналог леммы Паррондо, описывающий эле-

игр величина R_m(t) задает вероятность иметь капи-

ментарный акт, ответственный за рэтчет-эффект с

тал n по модулю N (остаток от целочисленного де-

дискретным изменением переменных, который, од-

ления n на N, m = n mod N).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

334

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

Замена индексов n в уравнении (2) на m + Nk

Соотношения (8) являются дискретными анало-

и суммирование по k с использованием периодично-

гами известного результата Стратоновича, описы-

сти p^in+N = pⁱⁿ (i = r, l, u) приводит к уравнению на

вающего диффузию броуновской частицы в перио-

редуцированные вероятности R_m(t), имеющему вид

дическом потенциале под действием стационарной

уравнения непрерывности:

однородной силы [28, 29]. Чтобы убедиться в этом,

используем подход работы [30] и представим, что

R_m(t + 1) - R_m(t) = -[J_m(t) - J_m-1(t)]

(3)

каждому узлу m соответствует потенциальная яма

со значением минимума u_m, окруженная барьерами

с дискретными потоками

со значениями максимумов v_m справа и v_m-1 сле-

J_m(t) = p^rmR_m(t) - p^lm+1R_m+1(t).

(4)

ва. Введем такой наклон потенциального рельефа,

что потенциальные барьеры слева и справа полу-

Стационарное решение уравнения (3) R_m(t) =

чают приращения f и -f соответственно (рис. 1a).

= R^mst) предполагает независимость потока от но-

Если измерять введенные энергетические величины

мера узла, J^mst) = J^(st)m-1 ≡ J, что дает разностное

в единицах k_BT, то вероятности преодоления барье-

ров можно отождествить с аррениусовскими факто-

уравнение рекуррентного типа p^rmR^mst)-p^lm+1R^(st)m+1 =

рами:

= J, которое для новой неизвестной величины

ξ_m ≡

≡ p^rmR^mst) и функции целочисленного аргумента

p^lm = e-vm-1+um-f , p^rm = e-vm+um+f .

(10)

s_m ≡ p^lm/p^rm можно переписать как:

Подстановка (10) в (8) дает:

ξ_m = s_m+1

ξ_m+1 + J.

(5)

-2Nf

1-e

Проведя последовательные итерации и используя ра-

J =

n+∑-1

венство

ξ_m+N =

ξ_m, уравнение (5) легко преобразо-

∑ e-un+(2n-1)f

e^vk^-2kf

вать к виду:

n=1

k=n

(

)

∑

(11)

∏

e-um+(2m-1)f

evk-2kf

s_n

ξ_m = Jξ_m,

(6)

k=m

n=1

R^(st)m

n+∑-1

где введено обозначение

∑ e-un+(2n-1)f

e^vk^-2kf

n=1

k=n

∑

∏

ξ_m ≡ 1 +

s_m+j.

(7)

Полученные дискретные соотношения соответству-

n=1 j=1

ют интегральным представлениям результата Стра-

тоновича (см. формулы (2.36)-(2.38) обзора [1]), если

Дополним уравнение (6) с двумя неизвестными

учесть, что внутренним интегралам соответствуют

∑

величинами

ξ_m и J условием нормировки

R^mst) =

внутренние суммы, содержащие значения максиму-

m=1

мов барьеров (барьерные факторы), а внешним инте-

∑

ξ_m/p^rm = 1. Тогда искомые величины опреде-

гралам - внешние суммы, содержащие факторы, ко-

m=1

лятся выражениями:

торые зависят от значений минимумов потенциаль-

(

)

ных ям. В отсутствие наклона потенциального релье-

)-1 (_N

∑

∏

ξ_n

фа (f = 0) поток исчезает (J = 0), барьерные фак-

J =

s_n

p^r

торы в стационарном распределении R^mst) сокраща-

n=1

(8)

(

)_-1

ются, и оно переходит в равновесное распределение∕

∑

ξ_n

ξ_m

∑

R^(st)m =

Больцмана R^meq) = e-um

e-un , как и должно

p^r

n=1

быть.

впервые представленными в [18]. Из первого соотно-

Соответствие между параметрами потенциально-

шения (8) следует, что термодинамическое равнове-

го рельефа и вероятностями переходов между узла-

сие может реализоваться только при определенном

ми цепочки, задаваемое соотношениями (10), обла-

условии, накладываемом на вероятности переходов:

дает глубоким физическим смыслом, поскольку поз-

∏

воляет рассматривать прыжковое движение как низ-

s_n = 1, p^r1p^r2 . . .p^rN = p^l1p^l2 . . .p^lN ,

(9)

котемпературный предел непрерывного [4, 16, 31, 32].

n=1

Этим оно отличается от формальных попыток опре-

известном как условие детального баланса.

делять дискретные точки рельефа по соответствию

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

Адиабатический рэтчет-эффект в системах с дискретным изменением переменных

335

ми вероятностей, выбранных в парадоксальной игре

Паррондо [21]. Подход работы [24], в котором нало-

жено N дополнительных условий p^um = 0, не пред-

полагает отображения барьерных участков, поэтому

потенциальный профиль представляет собой лома-

ную линию, соединяющую минимумы потенциаль-

ных ям.

Перейдем к выводу дискретного аналога леммы

Паррондо. Введем обозначения Φ_m(τ) и ϕ_m(τ) для

искомого интегрального потока и вспомогательной

интегральной вероятности соответственно:

∑

Φ_m(τ) ≡

J_m(t) = p^rmϕ_m(τ) - p^lm+1ϕ_m+1(τ),

t=0

(12)

∑

ϕ_m(τ) =

R_m(t).

t=0

Лемма Паррондо позволяет выразить Φ_m(τ) через

R_m(0) и R_m(τ), минуя непосредственное вычисле-

ние ϕ_m(τ). При произвольных τ использование лем-

мы дает незначительное упрощение вычислений, по-

скольку нахождение редуцированной вероятности

R_m(τ) все равно потребуется. Однако при больших τ

упрощение вычислений существенно, вплоть до воз-

можности аналитического получения решений для

ряда ситуаций, поскольку R_m(τ) стремится к рав-

новесному распределению Больцмана R^meq), вид ко-

торого известен. Покажем, как возникает такая оп-

тимизация преобразований.

Суммирование уравнения непрерывности (4) по

дискретной временной переменной t от 0 до τ - 1 да-

ет уравнение R_m(τ) - R_m(0) = -[Φ_m(τ) - Φ_m-1(τ)],

Рис. 1. (a) - Форма потенциального рельефа вблизи

которое при последующем суммировании по m от 2

узла m, обеспечивающая переходы частицы в сосед-

до n приводит к формуле

ние узлы с вероятностями p^rm и p^lm, зависящими от

параметров рельефа по закону Аррениуса. (b) - По-

∑

Φ_n(τ) = Φ₁(τ) +

[R_m(0) - R_m(τ)],

(13)

тенциальный рельеф с экстремумами u1 = ln(5/2),

m=2

= -ln(6/5), u3 = 0, v1 = ln(10), v2 = ln(10/3),

v3 = ln(10/9), рассчитанными по формулам (10) с па-

позволяющей выразить интегральный поток в произ-

раметрами p^r1 = p^r2 = 3/4, p^l1 = p^l2 = 1/4, p^r3 = 1/10,

вольном узле n > 1 через интегральный поток в узле

p^l3 = 9/10 парадоксальной игры Паррондо (сплошные

n = 1. Для вычисления Φ_n(τ) используем явное вы-

кривые), и кусочно-линейный рельеф, представленный

ражение, задаваемое формулой (12), представив его

в [24] (пунктирные линии)

в удобном для дальнейших преобразований виде:

Φ_n(τ) = α_n[β_nϕ_n(τ) - β_n+1ϕ_n+1

(τ)],

(14)

с коэффициентами уравнения Фоккера-Планка [24].

Следует иметь в виду, что система с N узлами в эле-

где α_n = α_n+N и β_n = β_n+N - функции целочис-

ментарной ячейке характеризуется набором из 2N

ленного аргумента, подлежащие определению. Фак-

параметров, которые могут задаваться вероятностя-

тор в квадратных скобках является аналогом пол-

ми перескоков налево p^lm и направо p^rm или значения-

ного дифференциала от периодической функции и

ми минимумов u_m и максимумов v_m (m = 1, 2, . . . , N)

обращается в нуль при суммировании по элементар-

потенциального рельефа. На рисунке 1b изображен

ной ячейке из N узлов в силу условия периодичности

потенциальный профиль с положениями экстрему-

β₁ϕ₁(τ) = β_N+1ϕ_N+1(τ). Функции α_n и β_n удовлетво-

мов, рассчитанными по формулам (10) со значения-

ряют системе уравнений α_nβ_n = p^rn, α_nβ_n+1 = p^ln+1,

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

336

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

которая сводится к уравнению α_n = s_n+1α_n+1, сов-

ду узлами (флуктуаций потенциального профиля в

падающему с уравнением (5) для

ξ_m при J = 0. По-

рэтчет-системах). При соблюдении условий деталь-

следнее означает, что в качестве решения α_n с точно-

ного баланса (9) и в отсутствие флуктуаций прира-

стью до произвольной постоянной C можно исполь-

щение средних значений n определяется суммой ин-

зовать функцию ξ_n, задаваемую соотношением (7) с

тегральных потоков:

дополнительным условием (9), α_n = Cξ_n. Действи-

∑

тельно, непосредственной подстановкой этого реше-

〈n(τ)〉 =

nP_n(τ) = 〈n(0)〉+ (p^rm-p^lm)ϕ_m(τ) =

ния в выражение α_n - s_n+1α_n+1 можно убедиться,

n=-∞

m=1

что оно равно C(1 - s₁s₂ . . . s_N ), т.е. α_n = s_n+1α_n+1

∑

при s₁s₂ . . . s_N = 1.

= 〈n(0)〉 +

Φ_m(τ).

(16)

Подстановка выражения для интегрального по-

m=1

тока (14) в (13), домножение результата почленно на

При достаточно больших τ, когда устанавливается

α^-1n и последующее суммирование по всем узлам эле-

термодинамическое равновесие, величины Φ_m(τ) пе-

ментарной ячейки обращает в ноль левую часть по-

рестают зависеть от τ и возникает постоянное при-

лученного уравнения, которая содержит интеграль-

ращение 〈n(∞)〉 - 〈n(0)〉.

ные вероятности ϕ_n(τ) и ϕ_n+1(τ). Тогда в правой ча-

Рассмотрим процесс чередования двух состояний

сти получившегося уравнения коэффициент пропор-

А и В с длительностями τ_A и τ_B, характеризуе-

циональности C между величинами α_n и ξ_n сокраща-

мыми, соответственно, наборами вероятностей p^rn,A,

ется, что и приводит к окончательному выражению

p^ln,A и p^rn,B, p^ln,B. Поскольку конечный момент време-

для Φ₁(τ):

ни одного состояния является начальным для дру-

∑ n∑

гого (〈n_A(0)〉 = 〈n_B(τ_B)〉), то, применяя (16) после-

Φ₁(τ) =

Q_n

[R_m(τ) - R_m(0)],

довательно для 〈n_A(τ_A)〉 и для 〈n_B(τ_B)〉 и учитывая

n=2

(15)

далее (13), получаем среднюю скорость изменения

^m=2∕_N∑

средних значений заполнений узлов n за один вре-

Q_n = ξ^-1n

ξ^-1m.

менной цикл τ_A + τ_B:

m=1

〈n_A(τ_A)〉 - 〈n_B(0)〉

Использование выражений (15) в составе формулы

〈v〉 =

(13) определяет Φ_n(τ) при произвольном n > 1. Со-

τ_A + τ_B

поставление выражения для Q_n в (15) с параметра-

∑

ми эквивалентного потенциального рельефа, задава-∕

= (τ_A + τ_B)-1

[Φ_m,A(τ_A) + Φ_m,B(τ_B)] =

∑

m=1

емыми соотношением (10), дает Q_n = evn

evm ,

m=1

откуда следует, что величины Q_n определяются ба-

[Φ_1,A(τ_A) + Φ_1,B(τ_B)]

(17)

τ_A + τ_B

рьерными факторами, т.е. выступают эквивалента-

или, после подстановки выражения (15), эта скорость

ми функций ρ^A(B)+(x) в непрерывном описании лем-

есть

мы Паррондо (1).

∑

Соотношения (13),

(15) являются точными и

〈v〉 =

(Q_n,A - Q_n,B) ×

представляют основной результат данной статьи.

τ_A + τ

B n=2

Они позволяют рассчитывать интегральные потоки

∑

за произвольный промежуток дискретного времени

[R_m,A(τ_A) - R_m,B(τ_B)],

τ, если известна редуцированная вероятность R_m(τ).

m=2

При больших временах τ, когда устанавливается тер-

ξ^-1n,A(B)

модинамическое равновесие, R_m(τ) стремится к из-

Q_n,A(B) =

(18)

вестному больцмановскому распределению R^meq), и

∑ ξ^-1

m,A(B)

m=1

соотношения (13), (15) становятся дискретным экви-

валентом леммы Паррондо. Таким образом, на вре-

Здесь величина ξ_n для состояний А(В) определена в

менной шкале результат (13), (15) имеет даже боль-

(7). Отметим, что структура выражения (18) подоб-

шую общность, нежели собственно лемма Паррондо.

на (1), как и должно быть, поскольку (18) есть дис-

Значение полученного результата состоит в возмож-

кретный аналог выражения для скорости рэтчета в

ности изучать динамику средних значений заполне-

непрерывной модели.

ний узлов n и характеристики рэтчет-эффекта при

Простейший пример, допускающий аналитиче-

наличии флуктуаций вероятностей переходов меж-

ское представление редуцированной вероятности

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

Адиабатический рэтчет-эффект в системах с дискретным изменением переменных

337

R_m(t) с произвольным t, соответствует случаю

N = 2, при котором

R₁(t) = 1 - R₂(t) =

R^(eq)

= R^(eq)1 + [R₁(0) -

](1 - p₁ - p₂)^t,

(19)

p₂

R^(eq)

, p_m = p^rm + p^lm, m = 1,2.

p₁ + p₂

Если вероятности оставаться в том же узле равны

нулю, pum = 0, pm = 1 (m = 1, 2), то четность

номера узла пребывания частицы будет изменять-

ся после каждого прыжка, приводя к осцилляциям

R^(eq)

R₁(t) =

+ [R₁(0) -

](-1)^t, не убывающим с

ростом t. Поскольку Φ₁(τ) = (p^r1/p₁)[R₁(0) - R₁(τ)] и

∑ Φ_m(τ) = [(p^r1 - p^l1)/p₁][R₁(0) - R₁(τ)], то

m=1

〈n(τ)〉 = 〈n(0)〉 +

(20)

+ [(p^r1 - p^l1)/p₁][R₁(0) -

R^(eq)][1 - (1 - p1 - p2)τ ].

Тогда при чередовании двух состояний А и В ско-

рость рэтчет-эффекта равна:

)]

2[(p^r1,A/p_1,A) - (p^r1,B/p_1,B

R^(eq)

〈v〉 =

[R(eq)1,B -

]×

1,A

τ_A + τ_B

× [1 - (1 - p_1,A - p_2,A)τA][1 - (1 - p_1,B - p_2,B)τB ]. (21)

На рисунке 2 теоретические зависимости (20),

Рис. 2. Зависимости средних значений заполнений уз-

(21) сопоставлены с результатами моделирования,

лов n от дискретного времени t, рассчитанные при

при котором случайные смещения частицы на каж-

N = 2 путем численного моделирования с усреднением

дом шаге дискретного изменения времени отраба-

по 3 млн. траекторий (маркеры) и по формулам (20),

тывались с помощью генератора случайных чисел

(21) (пунктирные линии). Результаты для состояний

в соответствии с исходным управляющим уравне-

А, В и С (описаны в тексте) представлены на рисунке

нием (2), а полученные траектории движения за-

(a), а при чередовании этих состояний - на рисунке (b)

тем усреднялись. В качестве А выбрано симметрич-

(символы в [...] описывают последовательность чере-

ное состояние (аналог процесса свободной диффу-

дования, например, [6B6C] соответствует чередованию

зии в отсутствие потенциального профиля), в ко-

состояний B и C с длительностями τB = 6 и τC = 6)

тором prA = plA = 1/2 вне зависимости от номе-

ра узла. Состояние В задано набором параметров

pr1,B = 0.2, pl1,B = 0.3, pr2,B = 0.54, pl2,B = 0.36,

значения 〈n_B(∞)〉 = 9/70 и 〈n_C(∞)〉 = -5/70 ре-

а состояние С определено как антисимметричное к

ализуются достаточно быстро: при τ > 5. Рэтчет-

В, что соответствует параметрам с инвертирован-

эффект возникнет при чередовании состояний; ис-

ными индексами 1 и 2. Начальное условие выбра-

ключение - реализация состояния А с четным зна-

но как 〈n(0)〉 = R₁(0) = 0 . Симметричное состоя-

чением его длительности τ_A (рис. 2b). Значения ско-

ние А не дает смещения среднего значения запол-

ростей рэтчет-эффекта, рассчитываемые по формуле

нения узла n, т.е. 〈n_A(t)〉 = 〈nA(0)〉 = 0, соглас-

(21) (пунктирные линии на рис. 2b), правильно опи-

но (20) при p^rA = p^lA = 1/2. Смещения возможны

сывают наклон модельных зависимостей.

для несимметричных состояний В и С. Формула (20)

Соотношения (13), (15), (16), (18) можно приме-

очень точно воспроизводит модельную зависимость

нить и к парадоксальной игре Паррондо (обознача-

〈n_B(C)(t)〉 (сравни положения маркеров относитель-

емой здесь как D с параметрами, представленными

но пунктирных линий на рис. 2а). Установившиеся

в подписи к рис. 1), соответствующей N = 3 [21-25].

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

338

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

Средний капитал при достаточно больших τ > 20

лей позволяют учитывать влияние внешних процес-

выходит на значение 〈n_D(∞)〉 = -88/169, также хо-

сов (например, конформационных переходов и пере-

рошо согласующееся с результатом моделирования

распределений заряда под действием гидролиза АТФ

(рис. 3). Чередование игры D с симметричной иг-

или внешних электромагнитных полей) в терминах

флуктуаций потенциального рельефа, вдоль которо-

го движется броуновская частица, а значит иссле-

довать закономерности функционирования броунов-

ских моторов относительно простыми модельными

методами.

Работа выполнена в рамках Государствен-

ного задания

0082-2018-0003 (регистрационный

номер АААА-А18-118012390045-2) и поддержана

Российским фондом фундаментальных исследо-

ваний (проекты

20-57-00007 и

18-29-02012-мк),

Белорусским республиканским фондом фундамен-

тальных исследований (проект Ф20Р-032).

Рис. 3. Зависимости среднего капитала 〈n〉 от числа

P. Reimann, Phys. Rep. 361, 57 (2002).

бросков игральной кости t в случае N = 3 для иг-

P. Hänggi and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 81, 387

ры D и ее чередования с игрой А (парадоксальная иг-

(2009).

ра Паррондо), при различных длительностях игр τA и

D. Cubero and F. Renzoni, Brownian Ratchets: From

τD. Результаты моделирования с усреднением по 3 млн.

Statistical Physics to Bio and Nanomotors, Cambridge

траекторий и расчетами по формулам (16) и (18) пред-

University Press, Cambridge, UK (2016).

ставлены маркерами и пунктирными линиями

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Л. И. Трах-

тенберг, Успехи физических наук

189,

529

рой А приводит к рэтчет-эффекту, характеризующе-

(2019)

[V. M. Rozenbaum, I. V. Shapochkina, and

муся скоростью изменения среднего капитала 〈v〉 =

L. I. Trakhtenberg, Physics-Uspekhi 62, 496 (2019)].

= (16/169)/(τ_A+τ_D), которую демонстрирует и моде-

Ю. В. Гуляев, А. С. Бугаев, В. М. Розенбаум,

лирование при достаточно больших τ_D (сравни пунк-

Л. И. Трахтенберг, Успехи физических наук

тирные линии и маркеры на рис. 3).

190,

337

(2020)

[Yu. V. Gulyaev, A. S. Bugaev,

Таким образом, представленный в данной статье

V. M. Rozenbaum, and L. I. Trakhtenberg, Physics-

дискретный аналог леммы Паррондо, одного из фун-

Uspekhi 63(4), 311 (2020)].

даментальных соотношений теории рэтчетов, позво-

J. M. R. Parrondo, Phys. Rev. E 57, 7297 (1998).

лил развить теоретический аппарат рэтчет-эффекта

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Письма в ЖЭТФ

92, 124 (2010) [JETP Lett. 92, 120 (2010)].

в системах с дискретным изменением переменных, а

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Т. Е. Корочкова,

также установить количественные связи между раз-

Письма в ЖЭТФ 98, 637 (2013) [V. M. Rozenbaum

личными моделями. Полученное представление для

and I. V. Shapochkina, JETP Lett. 98, 568 (2013)].

дискретных систем является даже более общим, чем

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Письма в

интегральная лемма Паррондо, поскольку примени-

ЖЭТФ 102, 275 (2015)

[V. M. Rozenbaum and

мо не только к адиабатическим системам. Основны-

I. V. Shapochkina, JETP Lett. 102, 248 (2015)].

ми параметрами предложенного описания являют-

10.

V. M. Rozenbaum, Yu.A. Makhnovskii, I. V. Shapoch-

ся вероятности переходов между узлами одномерной

kina, S.-Y. Sheu, D.-Y. Yang, and S. H. Lin, Phys. Rev.

решетки, которые ставятся в соответствие величи-

E 92, 062132 (2015).

11.

R. D. Astumian and M. Bier, Phys. Rev. Lett. 72, 1766

нам экстремумов потенциального рельефа, прыжко-

(1994).

вое движение в котором описывается предлагаемой

12.

F. Jülicher, A. Ajdari, and J. Prost, Rev. Mod. Phys.

теорией и является низкотемпературным пределом

69, 1269 (1997).

непрерывного движения. Соотношения для скорости

13.

Y. Okada and N. Hirokawa, Science 283, 1152 (1999).

дискретного рэтчет-эффекта в случаях двух и трех

14.

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Ё. Тераниши,

неэквивалентных узлов элементарной ячейки одно-

Л. И. Трахтенберг, Письма в ЖЭТФ 107, 525 (2018).

мерной решетки приводят к результатам, находя-

15.

М. А. Кожушнер, Б. В. Лидский, В. С. Посвянский,

щимся в хорошем согласии с результатами численно-

Л. И. Трахтенберг, Письма в ЖЭТФ 108, 670 (2018).

го моделирования. Представленные количественные

16.

V. M. Rozenbaum, D.-Y. Yang, S. H. Lin, and

связи параметров дискретных и непрерывных моде-

T. Y. Tsong, J. Phys. Chem. B 108, 15880 (2004).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020