Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 6, с. 357 - 360

О лоренц-инвариантных 2D уравнениях,

допускающих долгоживущие локализованные решения

с нетривиальной структурой

Р. К. Салимов⁺¹⁾, Т. Р. Салимов^∗, Е. Г. Екомасов^+◦×

⁺Башкирский государственный университет, 450076 Уфа, Россия

^∗Московский физико-технический институт, 141700 Долгопрудный, Россия

^◦Тюменский государственный университет, 625003 Тюмень, Россия

^×Южно-Уральский государственный университет, 454080 Челябинск, Россия

Поступила в редакцию 14 августа 2020 г.

После переработки 24 августа 2020 г.

Принята к публикации 29 августа 2020 г.

В данной работе представлены Лоренц-инвариантные 2D уравнения, имеющие в случае двух ска-

лярных полей долгоживущие (t ∽ 1000) локализованные решения без потерь энергии на излучение. В

случае 3 скалярных полей показано существование долгоживущих локализованных решений с нетриви-

альной внутренней структурой. Эта структура представляет собой два пространственно разделенных и

связанных между собой максимума квадратов амплитуды этих полей. Подобные решения могут быть

интересны как солитонные модели структуры адронов.

DOI: 10.31857/S1234567820180032

Солитонные решения нелинейных уравнений час-

кализованных решений при отсутствии цилиндри-

то рассматриваются как протяженные модели час-

ческой и сферической симметрии. Численное моде-

тиц [1-9]. Например, модель Скирма [10-12], опи-

лирование в двумерном случае показывает, что без

сывающая внутреннюю структуру барионов и лег-

условия цилиндрической симметрии локализованные

ких ядер. Одним из недостатков солитонного под-

решения из одного поля u неустойчивы и достаточно

хода является достаточно малое количество мате-

быстро (t ∽ 30) распадаются. Распад локализован-

матических моделей, имеющих 2D и 3D устойчи-

ных решений (2) происходил при переходе амплиту-

вые локализованные решения. В некоторых случа-

ды решения через нулевые значения. Поэтому для

ях подобные решения невозможны. Например, суще-

получения устойчивых локализованных решений бы-

ствование стационарных локализованных решений

ли рассмотрены уравнения вида (3)-(4) для двух ска-

лоренц-инвариантных полевых уравнений для про-

лярных полей. Основным доводом в пользу возмож-

странственной размерности более 1 запрещено теоре-

ного существования устойчивых локализованных ре-

мой Деррикса [13]. Однако это не исключает таких

шений в этом случае была возможность получения

локализованных, зависящих от времени осциллиру-

решения, при котором оба осциллирующих поля не

ющих решений. Ранее в [14] было рассмотрено урав-

равны одновременно нулю.

нение (1), имеющее локализованные, не расплываю-

u_xx + u_yy - u_tt = α

+ βu + γu(u² + v²),

щиеся сферически симметричные численные реше-

(u² + v2 2n

ния в 3D случае. Также уравнение (2) имеет локали-

(3)

зованные, не расплывающиеся цилиндрически сим-

метричные численные решения в 2D случае.

v_xx + v_yy - v_tt = α

+ βv + γv(u² + v²).

(u² + v²)2n+1

u_xx + u_yy + u_zz - u_tt = u

^2k+1 ,

(1)

(4)

Действительно, при ненулевых полях u, v слагаемое

u_xx + u_yy - u_tt = u

^2k+1 .

(2)

при коэффициенте α представляет собой потенци-

Следующим естественным шагом исследования ре-

альный барьер вида

шений уравнений (1)-(2) было моделирование их ло-

(5)

¹⁾e-mail: salemsrkk@yandex.ru

(u² + v²)2n+1

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

357

358

Р. К. Салимов, Т. Р. Салимов, Е. Г. Екомасов

который тем выше, чем меньше значение u²+v². Сла-

гаемые при при коэффициентах β и γ ограничивают

решения большой амплитуды. Гамильтониан систе-

мы (3)-(4) имеет один минимум при u = 0, v = 0.

Численное моделирование показывает, что для су-

ществования локализованных решений, также как в

случае уравнений (1)-(2), нужна выпуклость вверх

выражения V ((u²+v²)^1/2)/((u²+v²)^1/2) как функции

от ((u² +v²)^1/2) вблизи нуля, где V - потенциальная

энергия.

При численном исследовании использовался мо-

дифицированный разностный метод Кристиансена

Ломдала [13] 4 порядка точности. Ограничение по

Рис. 1. Пространственное распределение величины

(u² + v²)^1/2, E = 13.79

конечному времени счета проводилось из соображе-

ний контроля сохранения энергии. Численное моде-

лирование производилось в квадрате 20 × 20.

Уравнения (3)-(4) интересны тем, что имеют дол-

гоживущие не расплывающиеся численные решения.

Локализованные решения в них сохраняются без за-

метных потерь энергии в течение всего времени чис-

ленного моделирования, например, для времени t =

= 1294, E = 13.51, а при t = 403, E = 13.79. Ин-

тересной особенностью решений при некоторых па-

раметрах является их нетривиальная структура. В

частности, при параметрах n = 8; α = 1; β = 12;

γ = 12 и начальных условиях вида

Рис. 2. Пространственное распределение величины

u(x, y, 0) = 0.85e(-2((x-10)2+(y-10)2/1.44))

(u² + v²)^1/2

u_t(x, y, 0) = 0,

(6)

ние вызвано наличием слагаемых при коэффициен-

тах β и γ. Решения с начальными условиями между

v_t(x, y, 0) = 4.24e(-2((x-10)2+(y-10)2/1.44))

этими значениями энергий в дальнейшем предпола-

v(x, y, 0) = 0

(7)

гается исследовать более подробно.

Далее в уравнения были добавлены слагаемые ви-

область перехода к нулевым значениям установив-

да uv², vu² для получения двух максимумов величи-

шегося решения представляет собой овал, периоди-

ны u²+v². Ожидалось, что поверхностное натяжение

чески изменяющий свою ориентацию на плоскости

будет компенсировать отталкивание полей. Но та-

Oxy (рис. 1, 2).

В промежуточных состояниях решение прибли-

жается к “круглому” состоянию. Максимум амплиту-

ды квадрата величины u² + v² при этом значительно

не изменяется. Такое поведение решений говорит о

существовании некоего поверхностного натяжения.

В случае других начальных условий, при до-

статочно малых начальных энергиях E ≤ 14 сце-

нарий развития решения соответствует сценарию,

представленному на рис. 1 и 2. Таким образом, ло-

кализованное установившееся решение не излучает

энергию. При больших значениях энергии, напри-

мер, при E = 21.05, решение, изначально локализо-

Рис. 3. Пространственное распределение величины

ванное аналогично (6)-(7), распадается на несколько

(u² + v²)^1/2, E = 21.05

локализованных объектов (см. рис. 3). Такое поведе-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

О лоренц-инвариантных

2D уравнениях...

359

кие решения оказались не стабильными. Для стаби-

w_t(x, y, 0) = 2.83e(-2((x-10)2+(y-10)2/1.44))

лизации решений было добавлено 3 скалярное поле.

w(x, y, 0) = 0

(13)

Наличие нескольких полей, одновременно не равных

нулю, приводит к более устойчивой локализации ре-

решение представляет собой структуру из двух

шений. Пример существования решений уравнений

периодически появляющихся максимумов значения

(3)-(4) это подтверждает.

функции (u²+v²+w²)^(1/2), см. рис.4. Максимальное

Были численно исследованы решения уравнений

(8)-(10) для трех скалярных полей:

u_xx + u_yy - u_tt = α

+ βu +

(u² + v² + w2 2n

+ γu(u² + v² + w²) + λuv² + ξw,

(8)

v_xx + v_yy - v_tt = α

βv +

(u² + v² + w2 2n

+ γv(u² + v² + w²) + λvu² - ξw,

(9)

Рис. 4. Энергия системы E = 14.10

w_xx + w_yy - w_tt = α

+ ηw +

по амплитуде решение сменяется решением мини-

(u² + v² + w2 2n

мальной амплитуды величины (u² + v² + w²)^(1/2),

+ γu(u² + v² + w²) + ξ(u - v) + µ

(10)

см. рис. 5.

(w2 2n

Гамильтониан системы (8)-(10) имеет один ми-

нимум при u = 0, v

= 0, w = 0. Здесь для ло-

кализации решений, также как в случае уравне-

ний (3)-(4), нужна выпуклость вверх выражения

V ((u² +v²+w²)^1/2)/((u²+v² +w²)^1/2) как функции от

(u² + v² + w²)^1/2 вблизи нуля, где V - потенциальная

энергия. Уравнения построены таким образом, что

два скалярных поля u, v отталкиваются из-за слага-

емых uv², vu². Слагаемые при коэффициентах ξ при-

водят к тому, что при не нулевых значениях полей

Рис. 5. Состояние малого значения амплитуды

u - v обязательно появляются не нулевые значения

поля w и при не нулевых значениях поля w обяза-

Такое поведение решений сохраняется достаточно

тельно появляются не нулевые значения полей u и v.

длительное время (t ∽ 400) без заметного искажения

Или другими словами, эти слагаемые обеспечивают

формы решения, см. рис.6. Здесь нужно отметить,

некий “конфайенмент” для комбинации полей u - v,

w и w, u, v. Слагаемое при коэффициенте µ должно

обеспечивать локализацию поля w.

Численные решения уравнений (8)-(10) обладают

более интересной внутренней структурой. При неко-

торых начальных условиях и параметрах (n = 8;

α = 1; β = 12; γ = 18; λ = 360; ξ = 1.2; η = 8π;

µ = 1),

u(x, y, 0) = 0.15e(-2((x-11)2+(y-10)2))

u_t(x, y, 0) = 0,

(11)

Рис. 6. Энергия системы E = 10.37

что решение представляет собой связанное состояние

v(x, y, 0) = -0.15e(-2((x-9)2+(y-10)2))

из максимумов полей, в каждом из которых одно из

v_t(x, y, 0) = 0,

(12)

полей u, v больше другого. Это состояние является

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020

360

Р. К. Салимов, Т. Р. Салимов, Е. Г. Екомасов

связанным, в противном случае из-за отталкивания

полей u, v и начальных условий эти максимумы бы

D. J. Kaup and A. C. Newell, Proceedings of the Royal

удалились друг от друга. Решения уравнений (8)-

Society of London. Series A, Mathematical and Physical

(10) исследовались в диапазоне значений начальной

Sciences A 361, 413 (1978).

энергии, при которой существенны коэффициенты

A. M. Kosevich, Physica D 41, 253 (1990).

отталкивания и решение представляет собой связан-

E. Jenkins, A. V. Manohar, and M. B. Wise, Nucl. Phys.

ное состояние. Решения с другими начальными усло-

B 396(1), 27 (1993); doi:10.1016/0550-3213(93)90256-O.

виями предполагается исследовать более подробно в

дальнейшем.

Yu. P. Rybakov and B. Saha, Phys. Lett. A 122, 5

(1996).

Как видно из численного решения уравнений (3)-

(4), уравнения скалярных полей с дробной степен-

N. S. Manton, Nonlinearity 21(11), T221 (2008).

ной нелинейностью интересны как уравнения, име-

A. Maccari, EJTP 3(10), 39 (2006).

ющие не расплывающиеся локализованные решения.

E. J. Weinberg, Classical Solutions in Quantum Field

Существование колебаний пространственной ориен-

Theory, Cambridge University Press, N.Y. (2012).

тации решений (3)-(4) позволяет говорить о некое

M. J. Ablowitz, Nonlinear Dispersive Waves:

м аналоге поверхностного натяжения для локали-

Asymptotic Analysis and Solitons, Cambridge

зованных решений. При отталкивании для разных

University Press, N.Y. (2011).

полей поверхностное натяжение может его компен-

Y. Iwata, Front. Phys. 8, 154 (2020).

сировать. Это дает возможность получить долгожи-

10.

C. Adam, C. Naya, J. Sanchez-Guillen, and

вущие решения, имеющие несколько пространствен-

A. Wereszczynski, Phys. Rev. Lett. 111(23), 232501

ных максимумов. Это подтверждают численные ре-

(2013).

шения уравнений (8)-(10). Подобные решения могут

11.

C. Naya and P. Sutcliffe, Phys. Rev. Lett. 121(23),

быть интересны как солитонные модели структуры

232002 (2018).

адронов. Кроме того, модель (8)-(10) интересна тем,

12.

R. A. Battye, N. S. Manton, and P. M. Sutcliffe,

что в гамильтониане данной модели есть слагаемые,

Proceedings of the Royal Society A: Mathematical,

обеспечивающие некий “конфайенмент” для комби-

Physical and Engineering Sciences

463(2077),

261

наций полей. Подобные модели, по мнению авторов,

(2007).

достойны изучения и имеют перспективы получения

13.

Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, Х. Моррис, Солитоны

стабильных решений с 3-мя пространственно разде-

и нелинейные волновые уравнения, Мир, М. (1988).

ленными максимумами полей и обобщения на 3D

14.

Е. Г. Екомасов, Р. К. Салимов, Письма в ЖЭТФ 100,

случай.

477 (2014).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 5 - 6

2020