Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 7, с. 466 - 474

Подавление сверхпроводимости в неупорядоченных пленках:

конкуренция двумерной диффузии и трехмерной баллистики¹⁾

Д.С.Антоненко^+∗×2), М.А.Скворцов^+∗2)

⁺Сколковский институт науки и технологий, 121205 Москва, Россия

^∗Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^×Московский физико-технический институт, 141700 Москва, Россия

Поступила в редакцию 3 сентября 2020 г.

После переработки 8 сентября 2020 г.

Принята к публикации 8 сентября 2020 г.

Подавление критической температуры в однородно разупорядоченных сверхпроводящих пленках

является следствием усиления кулоновского отталкивания в присутствии беспорядка. Мы показываем,

что для большинства изучаемых в настоящее время тонких пленок эффект подавления не может быть

полностью объяснен в предположении о двумерном диффузионном характере движения электронов.

Основной вклад в подавление Tc возникает из-за поправки к константе электрон-электронного взаи-

модействия, обусловленной областью расстояний порядка фермиевской длины волны, что приводит к

сдвигу критической температуры δTc/Tc0 ∼ -1/kF l, где kF - импульс Ферми, а l - длина свободного про-

бега. Таким образом, для большинства сверхпроводящих пленок, где подавление Tc по мере уменьшения

толщины происходит по фермионному сценарию, оно обусловлено приближением к порогу трехмерной

андерсоновской локализации и контролируется параметром kF l, а не сопротивлением пленки на квадрат.

DOI: 10.31857/S1234567820190064

1. Введение. Важнейшей характеристикой

дит преформирование локализованных куперовских

сверхпроводника является его критическая тем-

пар [25-28]; температура сверхпроводящего перехо-

пература, T_c. Обычно считается, что T_c является

да в таком случае определяется распространением

свойством материала и не зависит от размеров

сверхпроводящей когерентности с микро- на макро-

образца. Однако многочисленные эксперименты сви-

масштабы. При фермионном сценарии, который ре-

детельствуют о том, что критическая температура

ализуется для равномерно разупорядоченных пле-

широкого класса неупорядоченных сверхпроводни-

нок без дополнительной структуры (NbN, MoGe и

ков (V [1], NbN [2-9], TiN [10], MoGe [11, 12], MoSi

др.), подавление сверхпроводимости связано с усиле-

[13, 14], MoC [15], WRe [16], InO [17] и др. [18])

нием электрон-электронного отталкивания в присут-

систематически падает с уменьшением толщины

ствии беспорядка [29, 30], что приводит к уменьше-

пленки d. Как правило, подавление T_c становится

нию эффективной константы куперовского притяже-

заметным при d ∼ 10 нм, а для самых тонких пленок

ния. Несмотря на одинаковый физический принцип

T_c может уйти в нуль, что соответствует квантовому

подавления T_c беспорядком, способ описания ферми-

фазовому переходу сверхпроводник-металл или

онного механизма в трехмерных и двумерных систе-

сверхпроводник-изолятор [19-24].

мах существенно отличается.

Принято выделять два сценария подавления T_c

В трехмерной (3D) геометрии за усиление от-

в неупорядоченных материалах: бозонный и фер-

талкивания при движении в потенциале дефектов

мионный; их актуальность определяется структу-

отвечают малые расстояния, не превосходящие дли-

рой рассматриваемого материала. Бозонный меха-

ны пробега l. В результате весь эффект может быть

низм типичен для гранулированных и/или сильно

описан изменением константы куперовского взаи-

разупорядоченных сверхпроводников (поликристал-

модействия. В работе Андерсона, Мутталиба и Ра-

лический TiN, аморфный InO), в которых происхо-

макришнана [31] изучался фермионный механизм

для сильно неупорядоченного 3D сверхпроводника

вблизи порога андерсоновской локализации (k_F l ∼

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru.

∼ 1, где k_F

- импульс Ферми). Там же была да-

²⁾e-mail: antonenko@itp.ac.ru; skvor@itp.ac.ru

на оценка поправки к голой константе электрон-

466

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Подавление сверхпроводимости в неупорядоченных пленках. . .

467

электронного взаимодействия λ в случае слабого бес-

порядка (k_F l ≫ 1): δλ/λ ∼ 1/(k_F l)². Аналогичное

выражение было получено в работах [32, 33]. Приве-

денную оценку легко получить, обрезав 3D диффу-

зионный вклад на ультрафиолетовом пределе r ∼ l.

Однако, как показали Белитц и Киркпатрик на при-

мере слаболокализационной поправки к проводимо-

Рис. 1. Актуальная для эксперимента иерархия мас-

штабов длин в разупорядоченных сверхпроводящих

сти [34, 35], в 3D геометрии диффузионные вкла-

пленках

ды протягиваются в баллистическую область вплоть

до расстояний порядка длины волны и имеют от-

носительный порядок 1/(k_F l), а не 1/(k_F l)². Анало-

ем d связано с увеличением сопротивления на квад-

гичное явление с продолжением поправки от взаи-

рат R_□.

модействия из диффузионной в баллистическую об-

На пертурбативном уровне эффект взаимовлия-

ласть известно и для туннельной плотности состоя-

ния беспорядка и взаимодействия на T_c тонких сверх-

ний, как в двумерной [36], так и в трехмерной [37, 38]

проводящих пленок изучался в работах [45-49], где

геометрии.

был вычислен вклад в сдвиг T_c от области 2D диф-

Перенормировка электрон-фононного взаимодей-

фузии:

ствия, вызванная беспорядком, и ее влияние на

сверхпроводимость изучались в работе Кека и Шми-

δT_c

ℏ

log³

(1)

да [39]. Они показали, что смещение примесей вслед

T_c0

3πg

T_c0τ_∗

за колебаниями решетки приводит к подавлению вза-

имодействия с продольными фононами и возник-

где T_c0 - критическая температура объемного сверх-

новению взаимодействия с поперечными фононами.

проводника, g

= h/e²R_□

= (2/3π)(k_F l)(k_F d)

≫

Белитц предпринял попытку одновременно учесть

≫ 1 - безразмерный кондактанс пленки, а λ - без-

примесные поправки как к кулоновскому, так и к

размерная константа электрон-электронного взаимо-

электрон-фононному взаимодействию и их влияние

действия (для экранированного кулоновского взаи-

на T_c с помощью техники точных собственных функ-

модействия λ = 1/2). Параметр τ_∗ определяет вре-

ций [40], а также путем решения полных уравнений

мя, на котором диффузия становится двумерной:

Горькова в режиме сильной связи [41-43].

τ_∗ = max{τ, τ_d}, где τ - время упругого рассеяния, а

Часть его результатов может быть интерпрети-

τ_d = d²/4D - время диффузии через толщину пленки

рована как поправка к голой константе электрон-

[44, 47]. В реальном пространстве логарифм в урав-

электронного взаимодействия δλ/λ ∼ 1/k_F l. Однако

нении (1) набирается за счет двумерной диффузии от

достоверность выводов Белитца была поставлена под

масштаба max(l, d) до длины когерентности ξ₀. По-

сомнение Финкельштейном [44], который указал, что

правка (1), обратно пропорциональная кондактансу

упругие диаграммы, связанные с поправкой к тун-

пленки, концептуально подобна слаболокализацион-

нельной плотности состояний [45, 46], на важности

ной [50, 51] и связанной со взаимодействием [30] по-

которых настаивал Белитц, не дают вклада в веду-

правкам к двумерной проводимости, при этом две из

щую поправку к сдвигу T_c.

трех степеней логарифма связаны с экспоненциаль-

Главное отличие двумерной (2D) геометрии от

ной чувствительностью T_c к константе взаимодей-

3D случая заключается в том, что эффект перенор-

ствия λ_BCS.

мировок не может быть сведен к независящему от

Выражение (1), полученное в первом порядке тео-

энергии сдвигу константы λ, а требует суммирова-

рии возмущений, было позже обобщено Финкельш-

ния главных логарифмов. Общепринятое описание

тейном на случай произвольно сильного подавления

эффекта подавления T_c в тонких сверхпроводящих

T_c с помощью ренорм-группового суммирования ве-

пленках существенно использует представление о 2D

дущих логарифмов [44, 52]. Аналогичный результат

диффузионном характере движения электронов, что

можно получить, решая уравнение самосогласования

основывается на следующей экспериментально зна-

с зависящей от энергии вершиной куперовского при-

чимой иерархии масштабов длин: λ_F ≪ l ≪ d ≪ ξ₀,

тяжения λ_E,E′ = λ_BCS - γ^2g log[1/ max(E, E^′)τ_∗] [53].

см. рис. 1. (Здесь λF - фермиевская длина волны,

В случае экранированного кулоновского взаимодей-

√

ξ₀ =

ℏD/T_c - сверхпроводящая длина когерентно-

ствия (λ = 1/2) непертурбативное выражение для

сти в грязном пределе, D - коэффициент диффузии.)

критической температуры как функции безразмер-

В таком подходе усиление беспорядка с уменьшени-

ного кондактанса пленки, описывающее сверхпро-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

3^∗

468

Д.С.Антоненко, М.А.Скворцов

Таблица 1. Параметры сверхпроводящих пленок^∗ : объемная

водимость вплоть до ее полного подавления, имеет

критическая температура T_c0, толщина d, длина свободно-

вид:

го пробега l, величина параметра γ при подгонке зависимо-

T_c

γ+γ_g

log

(2)

сти Tc(g) формулой (2), а также значения двух логарифмов:

T_c0

2γ_g

γ-γ_g

L = log(ℏ/T_c0τ) и L_d = log(ℏ/T_c0τ_d)

-1

Состав Ссылка T_c0, K d, нм l,Å γ_f

L L_d

где γ_g = 1/√2πg и γ = 1/ log(ℏ/Tc0τ∗). Выражение

NbN

[4]

2 ÷ 15

∼5

5.0

5.7

5.6 ÷ 3.4

(2), где параметр γ рассматривается как подгоноч-

NbN

[5]

1 ÷ 26

8.3

7.2

6.2 ÷ 2.1

ный, было использовано Финкельштейном [44] для

NbN

[8]

> 50

4.8

описания экспериментальных данных по зависимо-

TiN

[10]

3.6 ÷ 5

6.2

8.9

6.4 ÷ 2.4

сти T_c пленок MoGe от толщины, напрямую связан-

MoGe

[11, 52]

1.5 ÷ 100

∼4

8.2

< 4.0

ной с безразмерным кондактансом g [11]. С тех пор

MoSi

[13]

1 ÷ 20

7.0

5.6

< 4.7

такой способ объяснения экспериментальных дан-

MoC

[15]

3 ÷ 30

7.5

5.5

3.2 ÷ 0.9

ных по подавлению сверхпроводимости в неупоря-

WRe

[16]

3 ÷ 120

7.4

6.1

< 2.7

доченных пленках стал фактически общепринятым

[58]

2.5 ÷ 26

11.7

5.2

< 4.8

[14, 15, 54].

Согласно уравнениям (1) и (2), подавление T_c в

^∗Для пленок WRe и TiN мы положили 1/k_F ∼ l ∼ a, где a -

тонких (d ≪ ξ₀) сверхпроводящих пленках определя-

межатомное расстояние. При расчетах для MoC в качестве

эффективной массы взята масса свободного электрона.

ется исключительно безразмерным кондактансом на

квадрат g. Это утверждение прекрасно вписывает-

ся в общую парадигму скейлинга [50], подтверждае-

месей, а с ней и длина свободного пробега l. Боль-

шой массив экспериментальных данных по критиче-

мую ренорм-групповым анализом нелинейной сигма-

модели в 2D пространстве [55-57].

ской температуре тонких пленок был проанализиро-

ван в работе [59], где было показано, что T_c зави-

Однако интерпретация экспериментальных дан-

ных по зависимости T_c(d) с помощью формулы (2)

сит в первую очередь от трехмерной объемной про-

сталкивается с рядом принципиальных трудностей.

водимости σ ∝ k^2F l, а не от двумерного кондактанса

g ∝ k^2Fld.

Первая связана с внутренней противоречивостью

подхода, в котором γ рассматривается как свобод-

Фактически неприменимость формулы (2) для

описания подавления T_c в тонких пленках связана

ный подгоночный параметр. Как следует из табли-

цы 1, где собраны данные по различным сверхпро-

со слишком узким интервалом для 2D диффузии

(от d до ξ₀), которого оказывается недостаточно для

водящим пленкам, типичные значения γ^-1fit, получен-

ные из подгонки зависимости T_c(d) под выражение

объяснения наблюдаемой величины эффекта, и ма-

(2), находятся в интервале 7 ÷ 9. Проблема заключа-

лостью префактора 1/g ∼ (k_F l)^-1(k_F d)^-1. Следова-

ется в том, что данные значения значительно превос-

тельно, для количественного описания эксперимен-

ходят теоретическую оценку γ^-1 = L_d = ln(ℏ/T τ_d)

тальных данных необходимо указать другой меха-

(последняя колонка в таблице 1), а в половине слу-

низм усиления кулоновского взаимодействия беспо-

чаев превосходят также и величину L = ln(ℏ/T τ)

рядком, не связанный с двумерной диффузией.

В настоящей работе мы показываем, что имеющи-

(предпоследняя колонка в таблице 1). С учетом того,

что пертурбативный сдвиг T_c, согласно уравнению

еся экспериментальные данные по подавлению T_c в

тонких пленках могут быть удовлетворительно объ-

(1), пропорционален кубу этого логарифма, расхож-

дение между микроскопической теорией и результа-

яснены в предположении, что основной вклад про-

исходит от процессов трехмерного баллистического

том фита по формуле (2) оказывается очень боль-

шим. Можно попытаться спасти положение, сказав,

движения электронов с типичным расстоянием меж-

что γ^-1fit содержит также вклад 3D диффузии, но в

ду точкой взаимодействия и местом примесного рас-

сеяния в несколько длин волн. Наш основной резуль-

таком случае остается непонятным статус уравнений

(1) и (2), полученных в предположении 2D диффу-

тат состоит в корректировке пертурбативной форму-

лы (1) для сдвига T_c:

зии.

Другая проблема, связанная с интерпретацией

δT_c

ℏ

экспериментальных данных в терминах формулы

log³

(3)

T_c0

k_F l

3πg

T_c0τ_d

(2), заключается в неявном постулировании того, что

эффект подавления T_c определяется только безраз-

где добавленный первый член отвечает вкладу трех-

мерным кондактансом пленки. Однако в реальных

мерной баллистической области. При этом нужно от-

тонких пленках в силу технологических причин при

давать отчет, что в подавление T_c вносят вклад все

изменении толщины меняется и концентрация при-

масштабы, начиная от фермиевской длины волны,

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Подавление сверхпроводимости в неупорядоченных пленках. . .

469

так что удержание последнего члена, происходяще-

го из области двумерной диффузии, на фоне первого

может быть оправдано только для материалов с ис-

ключительно низкой T_c0 или достаточно тонких (в

частности, атомных [60]) пленок.

Коэффициент α в формуле (3) является неуни-

версальным, он зависит от деталей взаимодействия и

структуры случайного потенциала. В модели слабого

Рис. 2. Неупругие диаграммы для диффузионного

короткодействующего отталкивания между электро-

вклада (q ≪ 1/l и E, E^′ ≪ 1/τ , где q - импульс, перено-

нами с амплитудой λ и гауссового белого случайного

симый линией взаимодействия) в куперовскую воспри-

потенциала он имеет вид

имчивость, определяющие сдвиг Tc. Затененные блоки

в середине диаграмм обозначают диффузоны и купе-

πλlog² ω_D/T_c

α=

(4)

роны, соединяющие функции Грина с разными знака-

2(1 + λ log E_F /ω_D)²

ми мацубаровских энергий. Затененные треугольники

в углах диаграмм обозначают переномировку фонон-

Для реальных сверхпроводящих пленок с кулонов-

ной вершины примесными лестницами и лестницами

ским взаимодействием следует ожидать зависящее

электронного взаимодействия с константой λ

от конкретного материала значение параметра α ∼ 1.

2. Модель. Мы рассматриваем модель s-

волновой сверхпроводимости, предполагая притяже-

левой частоте в мацубаровской диаграммной техни-

ние электронов по фонноному механизму, которое

ке. В присутствии случайного потенциала диаграмм-

описывается потенциалом V_ph(r)

= -(λ_ph/ν)δ(r),

ный ряд необходимо усреднить по беспорядку всеми

действующим в полосе энергий ω_D вблизи энергии

возможными способами. В ведущем порядке (при-

Ферми, а также короткодействующее отталкивание

ближение непересекающихся пунктиров) этот про-

с потенциалом V (r)

= (λ/ν)δ(r) с обрезкой по

цесс сводится к независимому усреднению произве-

энергии на величине E_F . Мы будем работать в при-

дения двух функций Грина, G_E G_-E , соединяющих

ближении слабой связи, λ_ph, λ ≪ 1, и пренебрегать

вершины взаимодействия (λ_ph или λ), что достига-

перенормировкой фононной вершины беспоряд-

ется вставкой куперона. В согласии с теоремой Ан-

ком за рамками лестничного приближения

[39].

дерсона [64-66], результат не зависит от силы беспо-

Беспорядок моделируется случайным потенциалом с

рядка и приводит к выражениям (5) и (6) для кри-

гауссовым белым шумом, задаваемом коррелятором

тической температуры.

〈U(r)U(r^′)〉

= δ(r - r^′)/2πντ, где ν - плотность

3. Диффузионный вклад. Для вычисления

состояний на уровне Ферми в расчете на одну

сдвига T_c необходимо учесть процессы, описываю-

проекцию спина, а τ - время примесного рассеяния.

щие совместный эффект взаимодействия и беспоряд-

Без учета примесных перенормировок вершин

ка в следующем порядке по отношению к диаграм-

взаимодействия, T_c дается стандартным выражени-

мам без пересечений [44-46, 48, 49, 52]. Диаграммы,

ем теории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ):

дающие ведущий вклад в диффузионной области,

показаны на рис. 2, где взаимодействие (зигзагооб-

T_c0 = ω_D exp(-1/λ_BCS),

(5)

разная линия) пересекается примесными лестница-

ми - диффузонами и куперонами - обозначенными

где эффективная константа связи имеет вид

серыми блоками. Диаграмма (а) имеет симметрич-

ный аналог, а диаграмма (b) содержит два допол-

λ_BCS = λ_ph -

(6)

1 + λlogE_F/ω_D

нительных вклада, содержащих примесную линию,

соединяющую функции Грина с энергией одного зна-

Второе слагаемое (в российской литературе извест-

ка (Hikami box) [67]. Аналитическое выражение для

ное, как толмачевский логарифм, а в западной -

сдвига T_c содержит суммирование по двум мацуба-

как кулоновский псевдопотенциал) описывает вклад

ровским энергиям E и E^′ (см. дополнительный ма-

электрон-электронного отталкивания в куперовский

териал):

канал, которое подвержено логарифмической пере-

нормировке в области энергий от ω_D до E_F [61-63],

(

)₂

∑

δT_c

2πλ

λ_ph

u(E)u(E^′)I_E,E′

см. также дополнительный материал.

T²

T_c0

BCS

EE^′

Критическая температура определяется полюсом

E,E^′>0

куперовской лестницы на нулевом импульсе и ну-

(7)

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

470

Д.С.Антоненко, М.А.Скворцов

где множитель λ_ph/λ_BCS и логарифмическая функ-

ция u(E) = θ(ω_D - E) - (λ log ω_D/T )/(1 + λ log E_F /T )

отвечают за эффекты перенормировок, которые

можно описать путем включения в левую и правую

вершину диаграммы лестниц из линий взаимо-

действия λ (см. дополнительный материал). В

диффузионной области величина I_E,E′ определяется

интегралом по двумерному импульсу в плоскости

пленки q_∥ и суммой по поперечным модам опера-

тора Лапласа с граничными условиями Неймана

Рис. 3. (Цветной онлайн) Схематическое изображение

(q_z

= 2πm/d, где m

= 0, 1, ...), переносимы-

зависимости подынтегрального выражения в уравне-

ми линией взаимодействия (см. дополнительный

нии (8) от q (при не очень больших E + E^′). В области

материал):

q > 1/d оно слабо зависит от q, меняясь в π²/8 раз при

∫

∑

переходе от диффузионного к баллистическому харак-

dq_∥ f_q(E + E^′)² [3 - f_q(E + E^′)]

IE,E′ =

теру движения при q ∼ 1/l

(2π)²

1 - f_q(E + E^′)

(8)

1/q², но с другим численным коэффициентом. Дан-

Имея цель проследить за кроссовером в баллистиче-

ное обстоятельство указывает на то, что основной

скую область, мы написали купероны и диффузоны

вклад в интеграл происходит от импульсов порядка

за рамками диффузионного приближения, выразив

фермиевского: q ∼ k_F . Эта область требует особого

их через величину f_q(ω) = (ql)^-1 arctan[ql/(1 + |ω|τ)],

рассмотрения, которое будет проведено ниже. Схе-

которая описывает одну ступень примесной лестни-

матически роль различных областей импульса про-

цы при произвольных значениях ql и ωτ и условиях

иллюстрирована на рис. 3. С точностью до логариф-

q ≪ k_F, ω ≪ E_F. Аналогичный подход был исполь-

мических факторов, возникающих от суммирования

зован в работе [68] для вычисления флуктуационной

по энергии, интеграл от показанной кривой опреде-

проводимости при произвольной силе беспорядка.

ляет вклад соответствующих областей в сдвиг T_c.

Ведущий 2D диффузионный вклад возникает от

4. Баллистический вклад. В этом разделе мы

моды с q_z = 0. Обрезая интеграл по q на импульсе

изучим баллистический вклад в сдвиг T_c, возникаю-

1/d, а суммирование по энергиям - на ω_D, и при-

щий от процессов с передачей импульса больше 1/l. В

нимая во внимание, что в реальных пленках, изуча-

силу неравенства l ≪ d движение электронов можно

емых в эксперименте, энергия Дебая ω_D по поряд-

считать трехмерным. Этот вклад описывается диа-

ку величины совпадает с ℏ/τ_d [9], приходим к стан-

граммами, изображенными на рис. 2, где в диффу-

дартному ответу (1) с τ_∗ ∼ τ_d. При этом выделение

зионных лестницах следует оставить единственную

2D диффузионнного вклада из выражений (7) и (8)

примесную линию, описывающую рассеяние на од-

осложняется тем, что вклад других областей, вообще

ной примеси. Для его аккуратного вычисления тре-

говоря, оказывается больше. Действительно, на мас-

буется уточнить выражение (8), отказавшись от ис-

штабе q ∼ 1/d двумерное логарифмическое поведе-

пользованного при его выводе приближении q ≪ k_F .

ние сменяется линейно расходящимся за счет вклю-

Баллистический вклад может быть описан как

чения высших поперечных мод, делающих импульс-

поправка к голой (неперенормированной) констан-

ный интеграл трехмерным. При желании можно оце-

те электронного отталкивания в куперовском ка-

нить вклад 3D диффузионной области, введя искус-

нале λ^c, в низшем приближении совпадающей с

ственную обрезку при q ∼ 1/l, что дает

λ (рис. 4а). Ведущие поправки даются диаграмма-

ми, показанными на рис. 4b и c. В рассматрива-

емой модели точечного взаимодействия и дельта-

∼-

log²

ω_D .

(9)

T_c0

(k_F l)²

T_c0

коррелированного беспорядка вычисление этих диа-

грамм может быть проделано аналитически и приво-

Этот вклад, содержащий на одну степень логариф-

дит к, вообще говоря, зависящей от энергий поправ-

ма меньше, оказывается больше выражения (1) по

ке δλ^cEE′ к константе взаимодействия в куперовском

параметру d/l ≫ 1. Однако оказывается, что ничто

канале:

не мешает в интеграле (8) уйти на еще большие им-

пульсы, в баллистическую область q ≫ 1/l. Приме-

δλ^cE,E′

(b) + (c)

2[P (E, E^′) + P (E, -E^′)]

чательно, что в этой области подынтегральное выра-

(a)

(2πντ)²f₀(2E)f₀(2E^′)λ

жение в уравнении (8) по-прежнему ведет себя как

(10)

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Подавление сверхпроводимости в неупорядоченных пленках. . .

471

соединять две функции Грина с одинаковым знаком

энергии. Однако, как мы видим, в случае точечно-

го взаимодействия и дельта-коррелированного беспо-

рядка такие диаграммы зануляются и в баллистиче-

ском пределе.

Подставляя выражения (12) в уравнение (11) и

далее в (10), обнаруживаем, что множители (1 +

Рис. 4. (а) - Вершина электрон-электронного взаимо-

+ 2|E|τ) и (1 + 2|E^′|τ) в знаменателях [G₊G_-] и

действия λ в куперовском канале и примесные линии,

[G^′+G^′-] сокращают такие же множители в f₀(E) и

с которых начинаются купероны. (b), (c) - Диаграм-

мы, описывающие ведущую поправку к вершине λ^c от

f₀(E^′) в уравнении (10). Единственная остающаяся

баллистической области. Обе диаграммы имеют зер-

зависимость δλ^cE,E′ от энергий содержится в факто-

кальные аналоги

ре θ(EE^′), которому пропорционален блок P (E, E^′).

Однако благодаря структуре выражения (10), она

где слагаемые в скобках отвечают диаграммам (b) и

также пропадает. В итоге, поправка δλ^cE,E′ оказы-

(c), соответственно, а общий коэффициент 2 возник

вается не зависящей от энергий E и E^′:

из-за наличия симметричных диаграмм. Множите-

∫

πνλ

(sink_F r)2

πλ

ли f₀(ω) = 1/(1 + |ω|τ) в знаменателе возникают от

δλ^c =

(13)

2τ

(k_F r)²

k_F r

2k_F l

интегрирования пары функций Грина на рис. 4а по

импульсу (ступень диффузионной лестницы).

Как и предполагалось, интеграл набирается с мас-

Вычисление блока P (E, E^′) удобно проводить

штабов порядка длины волны электрона, что харак-

в координатном представлении

[38]. Так как и

терно для 3D мезоскопических эффектов [34, 69, 70].

электрон-электронное взаимодействие, и корре-

Найденную поправку можно по аналогии с рабо-

лятор беспорядка предполагаются точечными,

той [36] рассматривать, как перенормировку вкла-

аналитическое выражение содержит только одно

да электрон-электронного взаимодействия в купе-

интегрирование по расстоянию r между примесью и

ровский канал за счет рассеяния на фриделевских

точкой взаимодействия, и мы получаем:

осцилляциях, вызванных примесями. Эта поправ-

∫

ка описывает усиление электронного отталкивания,

P (E, E^′) =

dr G₊G^′-[G₊G_-][G^′+G^′-],

(11)

приводящее к увеличению кулоновского псевдопо-

2πντ

тенциала и, как следствие, к подавлению эффектив-

ной константы связи λ_BCS. Понижение T_c можно най-

где G_±

= G_±E(r) - усредненные по беспорядку

ти, заменяя λ на λ+δλ^c и раскладывая уравнение (6)

функции Грина, а штрих относится к аргументу

по δλ^c:

энергии E^′. Квадратные скобки обозначают свертку

∫

(

)₂

в реальном пространстве: [G₊G_-] =

G₊(ρ)G_-(r -

π λ

log ω_D/T_c0

(14)

- ρ) dρ. Как мы увидим ниже, интеграл по r в урав-

T_c0

2k_Fl

1 + λlogE_F/ω_D

нении (11) сходится на масштабе 1/k_F , что позволяет

5. Роль упругих диаграмм. Помимо неупру-

заменить функции Грина их значениями без беспо-

гих диаграмм, показанных на рис. 2 и 4, в которых

рядка:

линия взаимодействия соединяет верхнюю и ниж-

±ikF r

2πντ sink_F r

нюю функции Грина, имеется также несколько так

G_± = -πν

[G₊G_-] =

k_F r

1 + 2|E|τ k_Fr

называемых упругих диаграмм, связанных с поправ-

(12)

кой от взаимодействия в одноэлектронную функцию

где при вычислении свертки использовано прибли-

Грина. Как показал Финкельштейн [44], в случае 2D

жение E, E^′ ≪ E_F .

диффузии вклад в подавление T_c от этого класса

Легко убедиться, что интеграл в уравнении (11)

диаграмм всегда мал: в случае Dq² > ω они содержат

обращается в нуль для различных знаков энергий

меньшую степень логарифма, а в случае Dq² < ω их

E и E^′, так что P(E,E^′) ∝ θ(EE^′). Таким обра-

вклад вместе со вкладом неупругих диаграмм сокра-

зом, в рамках рассматриваемой модели баллистиче-

щается при учете дополнительного семейства диа-

ские диаграммы на рис. 4b и c отличны от нуля при

грамм, восстанавливающих калибровочную инвари-

том же соотношении между знаками энергий E и E^′,

антность теории. Последнее семейство диаграмм ста-

что и диффузионные диаграммы на рис. 2а и b соот-

новится сублидирущим уже в диффузионной обла-

ветственно. Данное обстоятельство является a priori

сти при Dq² > ω и по этой причине не рассматрива-

неочевидным, поскольку одиночный пунктир может

ется в настоящей работе.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

472

Д.С.Антоненко, М.А.Скворцов

Рис. 5. (Цветной онлайн) Экспериментальные данные по зависимости Tc от kF l (точки) и их подгонка с помощью

формулы (17) (сплошная линия) для сверхпроводящих пленок различной толщины и разного состава: (а) - NbN [8];

(b) - MoC [15]; (c) - V [1]

В случае электрон-электронного взаимодействия

логарифмическим. Утверждение о том, что упругие

без запаздывания существует точное соотношение

диаграммы не вносят вклад в ведущую поправку к

[40, 45, 46], связывающее вклад упругих диаграмм

сдвигу T_c, носит, по-видимому, общий характер и свя-

в подавление T_c и поправку к туннельной плотно-

зано с тем, что туннельная плотность состояний не

сти состояний δν(ε), которое для наших целей удоб-

является термодинамической величиной.

но представить (см. дополнительный материал) по

6. Заключение. В настоящей работе мы иссле-

аналогии с формулой (7) в виде

довали влияние области трехмерного баллистическо-

(

)₂

∫

го движения электронов на подавление критической

∑

λ_ph

u²(E) δν(ε)

температуры умеренно разупорядоченных сверхпро-

dε

(15)

T_c

λ_BCS

E² + ε²

ν₀

водящих пленок (k_F l ≫ 1). Работая в модели точеч-

ного отталкивания и дельта-коррелированного бес-

Воспользуемся известными результатами для δν(ǫ),

порядка, мы вычислили пертурбативный вклад со-

чтобы оценить поправку (15) от упругих диаграмм.

ответствующей области в подавление T_c, даваемый

Поправка к туннельной плотности состояний 3D

первым членом в уравнении (3). При сравнении с

металла в диффузионной области (|ε| < 1/τ) име-

√

экспериментальными данными следует принимать во

ет вид δν_diff(ε)/ν₀ ∼ λ

|ε|τ/(k_F l)² [71]. Элементар-

внимание, как то, что в реальных образцах λ ∼ 1/2

ное вычисление показывает, что соответствующий

за счет кулоновского взаимодействия, так и то, что

вклад в сдвиг T_c от этой области содержит префак-

численный множитель в уравнении (4) является спе-

тор 1/(k_F l)², что параметрически меньше, чем вклад

цифическим для выбранной модели. В общем слу-

баллистической области, описанный ниже.

чае, следует ожидать, что баллистическая поправка

Поправка к туннельной плотности состояний в 3D

к сдвигу T_c имеет вид δT_c/T_c0 = -α/k_F l с числом

баллистической области (|ε| > 1/τ) изучалась в ра-

α ∼ 1.

ботах [37, 38], где было показано, что она носит ли-

Второй член в формуле (3) описывает стандарт-

нейный характер и может быть несимметрична отно-

ный вклад в подавление T_c, происходящий из области

сительно энергии Ферми. В случае контактного вза-

двумерного диффузионного движения электронов, в

имодействия и дельта-коррелированного беспоряд-

котором логарифм набирается от масштабов толщи-

ка, а также при параболической дисперсии электро-

ны пленки d до масштабов ξ₀. Малость этого интер-

нов она отлична от нуля только для энергий, лежа-

вала для реальных пленок и относительно большое

щих ниже энергии Ферми, и имеет вид δν_ball(ε)/ν₀ ∼

значение безразмерного кондактанса g ∼ (k_F l)(k_F d)

∼ λ|ε|θ(-ε)/(k_F l) [38]. Вычисление по формуле (15)

делает его практически незаметным на фоне трех-

приводит к результату

мерного баллистического вклада.

(

)₂

На рисунке 5 показаны результаты фитирования

λ³

log ω_D/T_c0

∼

(16)

данных (T_c, k_F l) для сверхпроводящих пленок раз-

T_c0

k_F l

1 + λlogE_F/ω_D

личной толщины из трех материалов с фермионным

что параметрически меньше ведущего вклада (14)

механизмом подавления зависимостью

при сделанном предположении λ ≪ 1. Отсутствие

вклада упругих процессов в первом порядке по λ свя-

T_c = (1 - α/k_F l)T_c0

(17)

зано с тем, что в отличие от выражения (7), содер-

жащего две логарифмические суммы по E и E^′, ин-

с подгоночными параметрами α и T_c0. Мы видим до-

теграл (15) в 3D баллистической области не является

вольно неплохое соответствие, причем зависящее от

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Подавление сверхпроводимости в неупорядоченных пленках. . .

473

материала значение α ожидаемо оказывается поряд-

M. Chand, G. Saraswat, A. Kamlapure, M. Mondal,

ка единицы. Важно отметить, что представленные на

S. Kumar, J. Jesudasan, V. Bagwe, L. Benfatto,

рис. 5a данные для NbN получены на толстых плен-

V. Tripathi, and P. Raychaudhuri, Phys. Rev. B 85,

014508 (2012).

ках [8], для которых область двумерной диффузии

вообще отсутствует (см. таблицу 1).

C. Carbillet, V. Cherkez, M. A. Skvortsov,

M. V. Feigel’man, F. Debontridder, L. B. Ioffe,

Основываясь на (i) наблюдаемом согласии экспе-

V. S. Stolyarov, K. Ilin, M. Siegel, C. Noûs,

риментальных данных с зависимостью (17), (ii) упо-

D. Roditchev, T. Cren, and C. Brun, Phys. Rev.

мянутых выше внутренних противоречиях теории,

B 102, 024504 (2020).

приводящей к формуле (2) со свободным парамет-

10.

B. Sacépé, C. Chapelier, T. I. Baturina, V. M. Vinokur,

ром γ, а также на (iii) выводах работы [59], свиде-

M. R. Baklanov, and M. Sanquer, Phys. Rev. Lett. 101,

тельствующих о преимущественной зависимости T_c

157006 (2008).

от трехмерной проводимости, а не от двумерного

11.

J. M. Graybeal and M. R. Beasley, Phys. Rev. B 29, 4167

кондактанса на квадрат, мы можем сделать следу-

(1984).

ющий практически важный вывод:

12.

D. Lotnyk, O. Onufriienko, T. Samuely, O. Shylenko,

В значительной части не очень тонких умерен-

V. Komanický, P. Szabó, A. Feher, and P. Samuely,

но разупорядоченных сверхпроводящих пленок, где

Low Temp. Phys. 43, 919 (2017).

подавление сверхпроводимости происходит по фер-

13.

N. Ya. Fogel, E. I. Buchstab, A.S. Pokhila,

мионному сценарию, оно обусловлено приближени-

A. I. Erenburg, and V. Langer, Phys. Rev. B

53,

ем к порогу трехмерной андерсоновской локализа-

71 (1996).

ции и контролируется параметром k_F l. Эффекты

14.

A. Banerjee, L. J. Baker, A. Doye, M. Nord,

двумерной диффузии, определяемые безразмерным

R. M. Heath, K. Erotokritou, D. Bosworth, Z. H. Barber,

кондактансом g, также присутствуют, но они да-

I. MacLaren, and R. H. Hadfield, Supercond. Sci. Tech.

ют лишь малую поправку на фоне трехмерных бал-

30, 084010 (2017).

листических эффектов.

15.

P. Szabó, T. Samuely, V. Hašková, J. Kačmarčık,

Авторы признательны

И.С.Бурмистрову,

Žemlička, M.

Grajcar, J. G. Rodrigo, and

М. В. Фейгельману, А. М. Финкельштейну, П. Сабо,

P. Samuely, Phys. Rev. B 93, 014505 (2016).

П.Самюэли, К.С.Тихонову и П.М.Островскому

16.

H. Raffy, R.B. Laibowitz, P. Chaudhari, and

за плодотворные обсуждения. Данная работа под-

S. Maekawa, Phys. Rev. B 28, 6607 (1983).

держана грантом Российского научного фонда

17.

D. Shahar and Z. Ovadyahu, Phys. Rev. B 46, 10917

#20-12-00361.

(1992).

18.

M. Strongin, R. S. Thompson, O. F. Kammerer, and

J. E. Crow, Phys. Rev. B 1, 1078 (1970).

1. A. A. Teplov, ZhETF 71, 802 (1976) [Sov. Phys. JETP

19.

D. B. Haviland, Y. Liu, and A.M. Goldman, Phys. Rev.

44, 422 (1976)].

Lett. 62, 2180 (1989).

2. Z. Wang, A. Kawakami, Y. Uzawa, and B. Komiyama,

J. Appl. Phys. 79, 7837 (1996).

20.

M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 65, 923 (1990).

3. A. Semenov, B. Günther, U. Böttger, H.-W. Hübers,

21.

V. F. Gantmakher and V. T. Dolgopolov, Usp. Fiz. Nauk

H. Bartolf, A. Engel, A. Schilling, K. Ilin, M. Siegel,

180, 3 (2010) [Physics-Uspekhi 53, 1 (2010)].

R. Schneider, D. Gerthsen, and N. A. Gippius, Phys.

22.

I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Phys.

Rev. B 80, 054510 (2009).

Rev. B 92, 014506 (2015).

4. Y. Noat, V. Cherkez, C. Brun, T. Cren, C. Carbillet,

23.

A. Kapitulnik, S. A. Kivelson, and B. Spivak, Rev. Mod.

F. Debontridder, K. Ilin, M. Siegel, A. Semenov,

Phys. 91, 011002 (2019).

H.-W. Hübers, and D. Roditchev, Phys. Rev. B 88,

24.

B. Sacépé, M. Feigel’man, and T. M. Klapwijk, Nat.

014503 (2013).

Phys. 16, 734 (2020).

5. K. Makise, T. Odou, S. Ezaki, T. Asano, and

25.

M. V. Feigel’man, A. I. Larkin, and M. A. Skvortsov,

B. Shinozaki, Materials Research Express 2, 106001

Phys. Rev. Lett. 86, 1869 (2001).

(2015).

26.

M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and

6. L. Kang, B. B. Jin, X. Y. Liu, X. Q. Jia, J. Chen,

E. A. Yuzbashyan, Phys. Rev. Lett. 98, 027001 (2007).

Z. M. Ji, W. W. Xu, P. H. Wu, S. B. Mi, A. Pimenov,

Y.J. Wu, and B. G. Wang, J. Appl. Phys. 109, 033908

27.

M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and

(2011).

E. Cuevas, Ann. Phys. 325, 1390 (2010).

7. S. Ezaki, K. Makise, B. Shinozaki, T. Odo, T. Asano,

28.

B. Sacépé, T. Dubouchet, C. Chapelier, M. Sanquer,

H. Terai, T. Yamashita, S. Miki, and Z. Wang, J. Phys.:

M. Ovadia, D. Shahar, M. V. Feigel’man, and L. B. Ioffe,

Condens. Matter 24, 475702 (2012).

Nat. Phys. 7, 239 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

474

Д.С.Антоненко, М.А.Скворцов

29.

B. L. Al’tshuler and A. G. Aronov, ZhETF 50,

968

53.

M. V. Feigel’man and M. A. Skvortsov, Phys. Rev. Lett.

(1979) [Sov. Phys. JETP 50, 968 (1979)].

109, 147002 (2012).

30.

B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Electron-electron

54.

H. Kim, A. Ghimire, S. Jamali, T. K. Djidjou,

interaction in disordered systems, ed. by A. L. Efros and

J. M. Gerton, and A. Rogachev, Phys. Rev. B 86, 024518

M. Pollak, North-Holland, Amsterdam (1985).

(2012).

31.

P. W.

Anderson,

K. A.

Muttalib,

and

55.

K. B. Efetov, Supersymmetry in Disorder and Chaos,

T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. B 28, 117 (1983).

Cambridge University Press, Cambridge, England

32.

H. Fukuyama, H. Ebisawa, and S. Maekawa, J. Phys.

(1996).

Soc. Jpn. 53, 3560 (1984).

56.

A. M. Finkelstein, Electron Liquid in Disordered

33.

B. Rabatin and R. Hlubina, Phys. Rev. B 98, 184519

Conductors, in Soviet scientific reviews, ed. by

(2018).

I. M. Khalatnikov, Harwood Academic Publishers,

34.

T. R. Kirkpatrick and D. Belitz, Phys. Rev. B 34, 2168

Glasgow (1990), v. 14.

(1986).

57.

I. S. Burmistrov, ZhETF 156, 724 (2019) [JETP 129,

35.

P. W. Adams, D. A. Browne, and M. A. Paalanen, Phys.

669 (2019)].

Rev. B 45, 8837 (1992).

58.

F. Couedo, O. Crauste, L. Bergé, Y. Dolgorouky,

36.

A.M. Rudin, I. L. Aleiner, and L. I. Glazman, Phys. Rev.

C. Marrache-Kikuchi, and L. Dumoulin, J. Phys.: Conf.

B 55, 9322 (1997).

Ser. 400, 022011 (2012).

37.

A.A. Koulakov, Phys. Rev. B 62, 6858 (2000).

59.

Y. Ivry, C.-S. Kim, A.E. Dane, D. De Fazio,

38.

D. S. Antonenko and M. A. Skvortsov, Phys. Rev. B

A. N. McCaughan, K. A. Sunter, Q. Zhao, and

101, 064204 (2020).

K. K. Berggren, Phys. Rev. B 90, 214515 (2014).

39.

B. Keck and A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 24, 611

60.

C. Brun, T. Cren, V. Cherkez, F. Debontridder, S. Pons,

(1976).

D. Fokin, M. C. Tringides, S. Bozhko, L. B. Ioffe,

40.

D. Belitz, J. Phys. F: Metal Physics 15, 2315 (1985).

B. L. Altshuler, and D. Roditchev, Nat. Phys. 10, 444

41.

D. Belitz, Phys. Rev. B 35, 1636 (1987).

(2014).

42.

D. Belitz, Phys. Rev. B 35, 1651 (1987).

61.

N. N. Bogoliubov, V. V. Tolmachev, and D. V. Shirkov,

43.

D. Belitz, Phys. Rev. B 36, 47 (1987).

A New Method in the Theory of Superconductivity,

44.

A.M. Finkel’stein, Physica B: Condensed Matter 197,

Consultants Bureau, N.Y. (1959).

636 (1994).

62.

P. Morel and P. W. Anderson, Phys. Rev. 125, 1263

45.

S. Maekawa and H. Fukuyama, J. Phys. Soc. Jpn. 51,

(1962).

1380 (1982).

63.

W. L. McMillan, Phys. Rev. 167, 331 (1968).

46.

S. Maekawa and H. Fukuyama, J. Phys. Soc. Jpn. 52,

64.

P. W. Anderson, Phys. Chem. Sol. 11, 26 (1959).

1352 (1983).

65.

A. A. Abrikosov and L. P. Gor’kov, ZhETF 35, 1558

47.

Yu. N. Ovchinnikov, ZhETF 64, 719 (1973) [Sov. Phys.

(1958) [Sov. Phys. JETP 8, 1090 (1959)].

JETP 37, 366 (1973)].

66.

A. A. Abrikosov and L. P. Gor’kov, ZhETF 36, 319

48.

H. Takagi and Y. Kuroda, Solid State Commun. 41, 643

(1959) [Sov. Phys. JETP 9, 220 (1959)].

(1982).

67.

S. Hikami, Phys. Rev. B 24, 2671 (1981).

49.

H. Ebisawa, H. Fukuyama, and S. Maekawa, J. Phys.

68.

N. A. Stepanov and M. A. Skvortsov, Phys. Rev. B 97,

Soc. Jpn. 54, 2257 (1985).

144517 (2018).

50.

E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, and

69.

B. A. van Tiggelen and S. E. Skipetrov, Phys. Rev. E

T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979).

73, 045601 (2006).

51.

L. P. Gorkov, and A. I. Larkin, and D. E. Khmelnitsky,

Pis’ma ZhETF 30, 248 (1979) [Sov. Phys. JETP Lett.

70.

I. E. Smolyarenko and B. L. Altshuler, Phys. Rev. B 55,

30, 228 (1979)].

10451 (1997).

52.

A.M. Finkel’stein, Pis’ma ZhETF 45, 37 (1987) [JETP

71.

B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Solid State Commun.

Lett. 45, 46 (1987)].

30, 115 (1979).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020