Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 1, с. 38 - 51

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния

в сверхпроводящих гибридных структурах со спин-орбитальным

взаимодействием

(Миниобзор)

А. В. Самохвалов⁺¹⁾, А. А. Копасов⁺, А. Г. Кутлин^∗, С. В. Миронов⁺, А. И. Буздин^+×, А. С. Мельников⁺

⁺Институт физики микроструктур РАН, 603950 Н. Новгород, ГСП-105, Россия

^∗Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, 01187 Dresden, Germany

^×University Bordeaux, LOMA UMR-CNRS 5798, F-33405 Talence Cedex, France

Поступила в редакцию 17 ноября 2020 г.

После переработки 17 ноября 2020 г.

Принята к публикации 20 ноября 2020 г.

В данной работе представлены результаты недавних теоретических исследований особенностей

сверхпроводящих состояний в гибридных структурах, свойства которых существенно определяются

спин-орбитальными эффектами. Рассмотрены два основных явления, которые возникают в таких си-

стемах в присутствии дополнительного спинового расщепления, вызванного либо эффектом Зеемана

в магнитном поле, либо обменным полем: (1) генерация спонтанных токов, (2) возникновение тополо-

гически нетривиальных сверхпроводящих фаз. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие может

быть ключевым механизмом, позволяющим реализовать новые неоднородные фазовые структуры, в том

числе, так называемые “фазовые батарейки”. Проанализировано влияние геометрических факторов на

свойства топологически нетривиальных сверхпроводящих состояний. Предложены новые типы тополо-

гических переходов в вихревых состояниях майорановских проводов.

DOI: 10.31857/S1234567821010067

1. Введение. В последние годы одним из важ-

стояниям Ларкина-Овчинникова-Фульде-Феррелла

ных направлений в физике сверхпроводимости ста-

(ЛОФФ) [14, 15].

ли экспериментальные и теоретические исследова-

Новые возможности для развития исследований

ния новых типов сверхпроводящих состояний, свой-

в данном направлении появились в связи с успеха-

ства которых существенно определяются эффектами

ми в синтезе гибридных сверхпроводящих структур

спин-орбитального взаимодействия. Влияние силь-

с сильным спин-орбитальным взаимодействием ти-

ной спин-орбитальной (СО) связи на свойства объ-

па Рашбы [16], возникающего на интерфейсах между

емных сверхпроводников без центра инверсии оста-

различными материалами или поверхностях слоев,

ется в центре внимания интенсивных исследований

где нарушается симметрия относительно простран-

уже более двух десятилетий (см. обзоры [1, 2]).

ственной инверсии [17, 18]. Работы последнего де-

Связь спина σ и направления импульса p электро-

сятилетия по исследованию свойств таких струк-

на приводит к возникновению нетривиальной гели-

тур открывают уникальные возможности по управ-

коидальной структуры электронных энергетических

лению как спиновой, так и орбитальной структу-

зон [3, 4], что играет центральную роль в появлении

рой куперовских пар, т.е. позволяют осуществлять

майорановских мод (экзотические возбуждения с по-

эффективную инженерию необычных сверхпроводя-

луцелым спином и нулевым зарядом, частица и ан-

щих состояний. Такие возможности возникают бла-

тичастица которых совпадают [5, 6]), формировании

годаря созданию структур, в которых одновременно

джозефсоновских ϕ₀-переходов со спонтанной разно-

присутствуют взаимодействие Рашбы и некоторый

стью фаз в основном состоянии [7-13] и возникнове-

механизм достаточно сильного спинового расщеп-

нии различных типов сверхпроводящих фаз с конеч-

ления [19

25]. Роль последнего может выполнять

ным импульсом куперовской пары [2], подобных со-

как зеемановское взаимодействие [19-22], управляе-

мое внешним магнитным полем, так и обменное взаи-

¹⁾e-mail: samokh@ipmras.ru

модействие электронов проводимости с упорядочен-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

ными спинами локализованных электронных состо-

того ферромагнетиком [34]. Анализ топологически

яний в случае наличия в структуре ферромагнитно-

нетривиальных фаз требует более детального мик-

го упорядочения [23-25]. Примерами таких структур

роскопического анализа, который мы проводим здесь

могут быть, в частности, полупроводниковые про-

на основе модифицированной теории Боголюбова-де

вода типа InAs или InSb, покрытые частично или

Жена (БдЖ). В этой части обзора мы также воз-

полностью сверхпроводящей оболочкой [26, 27], пла-

вращаемся к проблеме спонтанных токов и неодно-

нарные слоистые структуры типа сверхпроводник-

родных фаз в основном состоянии, но, в качестве

ферромагнетик [12-34] (включая слои магнитных

примера, рассматриваем при этом изогнутые майра-

материалов с полной спиновой поляризацией зон [35-

новские провода [42, 43]. Использование таких си-

41]) или сверхпроводник-топологический изолятор

стем в качестве слабой связи в джозефсоновских

[39-41]. Ключевым эффектом, ответственным за по-

контактах позволяет получить перестраиваемый ϕ₀-

явление нетривиальных сверхпроводящих состояний

контакт (со спонтаной разностью сверхпроводящих

в таких системах, является эффект близости, свя-

фаз в основном состоянии, отличающейся от 0 или

занный с переходом электронов из сверхпроводника

π), который может быть использован в качестве те-

в несверхпроводящую подсистему и индуцированием

стовой системы для обнаружения топологического

там сверхпроводящих корреляций. Изменение вели-

перехода.

чины и ориентации магнитного поля, приложенного

Одной из сложностей экспериментальной реали-

к таким структурам, позволяет управлять индуци-

зации топологической сверхпроводимости в гибрид-

рованным сверхпроводящим порядком, изменяя эф-

ных структурах с эффектом близости, состоящих из

фективный тип спаривания. Возникающие при этом

сверхпроводника и полупроводника с сильным спин-

одномерные электронные системы со сверхпроводя-

орбитальным взаимодействием, является достаточ-

щими корреляциями p-типа демонстрируют нетриви-

но большое значение приложенного магнитного по-

альные топологические свойства и допускают обра-

ля (B ∼ 1 T), обеспечивающее необходимое для топо-

зование связанных майорановских состояний с нуле-

логического перехода зеемановское расщепление. Со-

вой энергией.

ответствующее зеемановское поле может быть срав-

Гибридные структуры, в которых возможны фер-

нимо с критическим магнитным полем разрушения

мионы Майораны активно исследуются в последние

сверхпроводимости [44-47]. В ряде недавних работ

годы в связи с перспективами их использования для

были предложены варианты гибридных структур,

топологически защищенных квантовых вычислений.

для которых данное ограничение менее существен-

Данный обзор не может претендовать на полноту

но. В частности, было показано, что в полностью по-

рассмотрения всех аспектов физики топологической

крытых сверхпроводником полупроводниковых про-

сверхпроводимости. Мы ограничимся здесь обсужде-

водах, находящихся во внешнем магнитном поле, на-

нием следующих основных направлений, среди ко-

правленном вдоль оси провода z, входящие при срав-

торых: (1) проблема генерации спонтанных токов в

нительно слабых магнитных полях (B ∼ 0.1 T) вихри

топологически тривиальных и нетривиальных состо-

могут перевести систему в топологически нетриви-

яниях и связанная с ней задача о спонтанной тек-

альную фазу [27]. Интересной особенностью подоб-

стуре сверхпроводящей фазы, возникающей в таких

ных гибридных систем оказалась связь топологиче-

системах; (2) влияние геометрии на одномерную то-

ских переходов в спектре электрон-дырочных воз-

пологическую сверхпроводимость; (3) новые сцена-

буждений в проводе с конкуренцией обычного и ан-

рии топологических переходов и экспериментальные

дреевского отражений квазичастиц от сверхпроводя-

тесты на их существование. Интересно, что описа-

щей оболочки [48], которая, в свою очередь, может

ние механизма генерации спонтанных токов в топо-

быть тесно связана с особенностями переноса заря-

логически тривиальных состояниях оказывается воз-

да и тепла вдоль нанопровода (см., например, рабо-

можным уже в рамках простейшей модификации фе-

ту [49]).

номенологической теории Гинзбурга-Ландау путем

Работа имеет следующую структуру. В разделах 2

включения в нее инварианта Лифшица [1, 2]). Полу-

и 3 рассмотрены возможности возбуждения спонтан-

ченная модель использована нами для расчета спон-

ных токов в топологически тривиальных и нетриви-

танных токовых состояний в тонких сверхпроводя-

альных сверхпроводящих состояниях, соответствен-

щих пленках и кольцах [32]. На основе проведенных

но. Результаты исследований топологических пере-

расчетов мы предлагаем оригинальную конструк-

ходов в полупроводниковых проводах с наведенной

цию так называемой “фазовой батарейки”, состоя-

сверхпроводимостью, находящихся в вихревом состо-

щей из сверхпроводящего кольца, частично покры-

янии, включены в раздел 4.

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

2. Спонтанные токи в топологически три-

взаимодействует с ферромагнитным изолятором

виальных сверхпроводящих состояниях. Вза-

(ФИ) [34].

имодействие типа Рашбы в теории Гинзбурга-

Для анализа неоднородного сверхпроводящего

Ландау. Одним из ключевых вопросов, связанных с

состояния в слоистых СП/ФМ системах со спин-

физикой сверхпроводящих систем с нарушенной ин-

орбитальным взаимодействием воспользуемся фе-

версионной симметрией, является возникновение в

номенологической теорией, добавив в функционал

∫

них спонтанного электрического тока в результате

Гинзбурга-Ландау (ГЛ) F

f (r) d³r слагаемое,

СО взаимодействия и магнитного упорядочения. В

пропорциональное градиенту сверхпроводящего па-

гибридных структурах сверхпроводник (СП) - фер-

раметра порядка ψ = |ψ| e^iϕ и обменному полю h

ромагнетик (ФМ) спин-орбитальная связь присут-

[1]. Плотность свободной энергии f(r) в этом случае

ствует в окрестности СП/ФМ границы из-за наруше-

имеет вид [20, 21, 69]:

ния симметрии пространственной инверсии [28-30] и

(rotA)²

может быть усилена за счет добавления между СП и

f (r) = a |ψ|² +

|ψ|⁴ +

Dψ|² +

8π

ФМ слоями материала с сильным спин-орбитальным

[

]

взаимодействием [31].

+ ε(z)[n × h ] · ψ^∗ D ψ + ψ ( D ψ)∗ ,

(1)

Спин-орбитальное взаимодействие изменяет

где a = -α(T_c - T ), α, b и γ > 0 - стандартные коэф-

энергию системы на величину (α_R/ℏ)[n × p]σ, где

фициенты функционала ГЛ,

D=-iℏ∇+ (2e/c)A -

α_R - константа спин-орбитального взаимодействия

Рашбы, p и σ - импульс и спин электрона соответ-

калибровочно инвариантный оператор импульса (e >

> 0). Параметр ε(z) ∝ v_R/E_F [69] характеризует си-

ственно, а n - единичный вектор, вдоль которого

нарушена симметрия пространственной инверсии.

лу СО связи, зависит от скорости Рашбы v_R = α_R/ℏ

(E_F - энергия Ферми) и отличен от нуля только в

Ферромагнитное упорядочение или сильное внешнее

√

магнитное поле поляризует спины электронов, делая

узком слое |z| ≲ l_so ≪ ξ = ℏ/

4m|a| в окрестности

СФ границы, где СО взаимодействие Рашбы игра-

ориентацию импульса вдоль вектора [σ×n] энергети-

ет заметную роль. Простейшей структурой, в кото-

чески более выгодным по сравнению с другими, что

рой СО взаимодействие Рашбы создает спонтанные

предполагает возможность генерации спонтанного

токи, протекающие по поверхности объемных сверх-

электрического тока. Детальный анализ показывает,

что в однородных объемных системах со сверхпрово-

проводников s-типа, является СП/ФМ бислой, в ко-

тором пленка ферромагнетика нанесена на поверх-

димостью s-типа спонтанного тока не возникает. Для

двумерных сверхпроводников СО связь индуцирует

ность полубесконечного сверхпроводника, занимаю-

щего область z > 0 (рис.1) [32]. Будем полагать, что

несколько типов ЛОФФ-подобных геликоидальных

фаз ψ ∼ exp(i p r) с ненулевым импульсом куперов-

обменное поле в ФМ-слое имеет только составляю-

щую h = he_x в плоскости пленки. Тогда вектор-

ской пары p = 0 в основном состоянии [22, 50, 51].

ное произведение [n × h] = h e_y также параллель-

Точный анализ показывает, что в упомянутых

но поверхности сверхпроводника. Здесь (e_x , e_y , e_z) -

ситуациях подобное неоднородное сверхпроводящее

единичные вектора декартовой системы координат.

состояние оказывается бестоковым²⁾, поскольку CО

Выберем внешнее магнитное поле H₀ направленным

связь изменяет квантово-механическое выражение

вдоль оси x (H₀ = H₀e_x) и достаточно слабым (H₀ ≪

для сверхтока, добавляя в него члены, которые

в точности компенсируют обычный орбитальный

h), так что можно пренебречь перенормировкой поля

h в функционале (1). Пренебрегая обратным эффек-

вклад [4, 63]. Oднако спонтанные сверхтоки могут

возникнуть в системах с СО взаимодействием и

том близости и неоднородностью |ψ| в сверхпровод-

нике, мы можем записать последнее слагаемое в (1)

неоднородным зеемановским или обменным полем,

в окрестности магнитной частицы на поверхности

в виде:

(

)

сверхпроводника [64-68], в СП/ФМ бислое [32] или



F_so = |ψ|²ε l_soS [ n × h ] · ℏ∇ϕ +

(2)

в тонком сверхпроводящем кольце, часть которого



z=0

где S

- площадь поверхности образца. Поверх-

²⁾В сверхпроводниках c необычным d- и киральным p-

ностный ток J_so, создаваемый совместно спин-

типами спаривания или на границах раздела между s-

волновым сверхпроводником и полуметаллом появление ан-

орбитальным взаимодействием Рашбы и обменным

дреевских краевых состояний может привести к формирова-

полем ферромагнетика определяется соотношением

нию основного состояния с нарушенной симметрией обраще-

ния времени и сопровождаться спонтанной генерацией тока

1 cδF_so

cΦ_so

[52-62].

J_so = -

e_y,

(3)

S δA

4πλ²

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

Появление такого спонтанного сверхпроводящего то-

ка на границе раздела между сверхпроводником и

ферромагнетиком с сильной спин-орбитальной свя-

зью Рашбы приводит к генерации магнитного по-

ля на краях образца, изменяет наклон температур-

ной зависимости критического поля H_c3 в сверхпро-

водниках II рода и может сопровождаться генера-

цией вихрей Абрикосова вблизи СП/ФМ границы.

В отличие от полей рассеяния, создаваемых фер-

ромагнетиком, описанное поле спонтанного сверхто-

ка возникает только ниже температуры сверхпро-

водящего перехода, что делает его легко различи-

мым при магнитных измерениях. При этом в отли-

чие от ранее изучавшихся спонтанных токов в d- и

p-волновых сверхпроводниках, а также на границах

между s-волновыми сверхпроводниками и полуме-

таллами (half-metals), возникающих в пределе низ-

ких температур [52-62], спонтанные токи в СП/ФМ

структурах с СО связью возникают при температу-

ре сверхпроводящего фазового перехода. Амплитуда

спонтанного поля в области выхода СП/ФМ грани-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Гибридная структура сверх-

цы на край образца H_s ∼ q_sol_soH_c1(T ) для типичных

проводник (S)-ферромагнетик (F), в котором СО взаи-

значений l_so ∼ 1-10 нм может даже превышать ниж-

модействие Рашбы создает спонтанный ток J = Jey (3)

нее критическое поле H_c1(T ) = Φ₀/4πλ²(T ). Обнару-

в окрестности СП/ФМ границы раздела. Соответству-

женные явления должны приводить к разнообраз-

ющий J профиль магнитного поля и сверхпроводящий

ным краевым эффектам, таким как перенормировка

параметр порядка ψ показаны сплошными линиями.

поверхностного барьера для абрикосовских вихрей,

Пунктирной линией показан профиль магнитного по-

анизотропия тока распаривания в режиме поверх-

ля при наличии внешнего поля H0

ностной сверхпроводимости и т.д.

Рассмотренная выше спонтанная генерация

где Φ_so

= q_sol_soΦ₀/π - эффективный магнитный

сверхтока на СП/ФМ границе в присутствии СО

поток (Φ₀

= πℏc/e - квант магнитного потока),

взаимодействия Рашбы особенно наглядно прояв-

pso = ℏqso = mεh - характерный импульс спино-

ляет себя в системах с неодносвязной геометрией,

вого расщепления подзон при совместном действии

когда имеет место нетривиальное взаимодействие

СО взаимодействия Рашбы и обменного поля, а λ² =

между эффектом Литтла-Паркса (ЛП) и гелико-

= mc²/8πe²|ψ|² - лондоновская глубина проникно-

идальными состояниями с индуцированным током

вения магнитного поля. Отметим, что для появле-

[34]. На рисунке 2a показан пример такой системы:

ния спонтанного поверхностного тока J (3) принци-

тонкое сверхпроводящее кольцо радиуса R

≫ ξ₀

пиально важно то, что расщепление спиновых под-

(толщина d и ширина w кольца малы по сравнению

зон вызвано обменным полем h, которое не зависит

с длиной когерентности ξ₀

∼ ℏv_F /Δ₀), частично

от векторного потенциала A. В случае зеемановского

покрытоe при x ≥ 0 ферромагнитным изолятором

расщепления внешним магнитным полем H = rotA

(ФИ). Обменное поле h в области СП/ФИ границы

√

в рассматриваемой геометрии поверхностный ток не

формируется на масштабе a₀ ∼ ℏ/

2mE_g ≲ 2 A, где

возникает [63].

E_g ∼ 1 ÷ 2 эВ - типичное значение щели в зонном

В соответствии с уравнениями Максвелла по-

спектре ФИ. Поскольку и эффективное обменное

верхностный ток J создает магнитное поле △H =

поле h, и СО взаимодействие Рашбы присутствуют

= (Φ_so/λ²) δ(z) вдоль оси x, которое затухает на мас-

√

в области порядка межатомного расстояния a₀, кон-

штабе ∝

S и экранируется мейснеровскими токами

станту ε в (1) следует усреднить по толщине кольца:

так, что

ε ∝ (a₀/d) v_R/E_F [70-72]. В случае d, w ≪ ξ₀ ≪ R

{

распределение сверхпроводящего параметра поряд-

H₀

z<0

ка ψ(θ) в кольце однородно по поперечному сечению

H (z) =

(4)

(H₀ + △H) e^-z/λ

z>0

и зависит только от угловой координаты θ в поляр-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) - Тонкое сверхпроводящее кольцо, частично покрытое при x ≥ 0 ферромагнитным изо-

лятором (FI) с обменным полем h. (b) - Зависимость плотности спонтанного тока в кольце от параметра СО взаимо-

действия и обменного поля (j0 = e(ℏ/R)³/4m²b) для Δτ = (R/ξ0)²(Tc - T )/Tc = 0.2 и χ = 0

ной системе (r, θ), а оператор импульса имеет вид

критическую температуру, т.е. стимулирует сверх-

D= (ℏ/R)(-i∂_θ + φ), где φ = Φ/Φ₀ - захваченный в

проводимость, и приводит к генерации угловых гар-

∑

кольце магнитный поток Φ = 2πRA внешнего поля

моник ψ(θ) =_L ψ_L exp(-iLθ) с ненулевым орби-

H = H e_z с векторным потенциалом A = Ae_θ, в

тальным числом L. С увеличением κ_so спектр гармо-

единицах кванта потока Φ₀, и константа СО связи

ник уширяется, а его максимум смещается в область

ε(θ) = ε[n × h]θ = hε cos(θ - χ) для |θ| ≤ π/2

гармоник с L = 0.

(ε(θ) = 0 в противном случае). Сдвиг критической

При отсутствии внешнего магнитного поля (φ =

температуры сверхпроводящего перехода в СП/ФМ

= 0) в рассматриваемой системе возникает спонтан-

(

)

гибридной системе T_c

= T_c0

1 + ξ²⁰τ/R²

относи-

ный ток, плотность которого j ≈ 2ev_son_s/π (χ = 0)

тельно критической температуры изолированного

зависит от импульса спинового расщепления подзон

сверхпроводника T_c0 определяется собственными

pso = mvso и средней концентрации сверхпроводя-

значениями τ линеаризованного уравнения

щих электронов n_s = |ψ₀|²/2. На рисунке 2b пока-

заны зависимости амплитуды спонтанного сверхтока

ψ + 2iκ(θ) Dθ ψ + iψ ∂_θκ(θ) = τψ ,

(5)

от величины СО взаимодействия для T < T_c. Ампли-

соответствующего функционалу (1), где

D_θ = ∂_θ+iφ,

туда сверхтока j достигает абсолютного максимума

κ(θ) = κso cos(θ - χ) (κso = 4qsoR для |θ| ≤ π/2

при κ_so ∼ 1, осциллирует и меняет знак при измене-

и κ(θ) = 0 для π/2 < |θ| ≤ π). Полагая усред-

нии константы κ_so, как показано на рис. 2b. Затуха-

ненное обменное поле не слишком большим (h_av ∼

ющие знакопеременные осцилляции означают изме-

∼ h(a₀/d) ≲ T_c0), получим для v_R/v_F ∼ 0.1 и R/ξ₀ ∼

нение направления циркуляции сверхтока с кольце

∼ 10 ÷ 100 следующую оценку спин-орбитального

из-за создаваемой на участке кольца разности фаз

параметра κ_so ∼ 1 ÷ 10.

△ϕ в результате совместного действия обменного по-

Качественно влияние СО взаимодействия на эф-

ля и СО взаимодействие Рашбы. Такой участок ими-

фект Литтла-Паркса можно понять, если ввести эф-

тирует внешний магнитный поток Φ = (△ϕ/2π) Φ₀

фективный поток

φ(θ) = φ + κ(θ) и переписать урав-

и играет роль своеобразной “фазовой батареи” [73],

нение (5) в виде: (∂_θ +

φ)²ψ = τψ (τ(θ) = τ - κ²(θ)).

в качестве которой обычно используются джозефсо-

Тогда усредненный по длине кольца поток 〈φ〉 =

новские π- (ϕ₀)-контакты [74]. Перестраиваемая фа-

∫_2π

= (1/2π)

dθφ(θ) = φ + Δφ определяет допол-

зовая батарея, основанная на комбинации СО и об-

нительный сдвиг Δφ = -(κso/π)cosχ положения

менного взаимодействий в нанопроводе InAs, реали-

максимумов осцилляций ЛП T_c(H). Таким образом,

зована недавно авторами работы [13]. Отметим так-

сильное спин-орбитальное взаимодействие и обмен-

же, что рассмотренная выше спонтанная генерация

ное поле вызывают заметное смещение осцилляций

сверхтока не специфична для СП/ФМ гибридов со

Литтла-Паркса. Направление и величина смещения

спин-орбитальным взаимодействием Рашбы, но так-

△φ зависят от ориентации обменного поля. Кроме

же должна быть актуальна для широкого класса ин-

того, спин-орбитальное взаимодействие увеличивает

терфейсов между сверхпроводниками и материала-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

ми со спиновой поляризацией и нарушенной симмет-

ваемая бесспиновая сверхпроводимость p-типа, воз-

рией пространственной инверсии, такими как топо-

никновение которой должно сопровождаться появле-

логические изоляторы, материалы с полной спино-

нием связанных майорановских состояний с нулевой

вой поляризацией и др.

энергией на концах нанопровода [75]. Здесь g - фак-

3. Спонтанные токи и геометрические эф-

тор Ландэ, µ_B - магнетон Бора, B - внешнее маг-

фекты в топологически нетривиальных сверх-

нитное поле, направленное вдоль оси провода, µ -

проводящих состояниях. В последние годы бы-

химический потенциал, и Δ_ind = |Δ_ind| eiϕind - наве-

ли предприняты значительные усилия, чтобы обна-

денный эффектом близости параметр порядка в ПП

ружить в различных сверхпроводящих системах с

проводе. Переход в топологическую фазу происхо-

нетривиальными топологическими свойствами майо-

дит с закрытием объемной щели в спектре квази-

рановские фермионы, у которых возбуждения элек-

частичных возбуждений провода и последующим ее

тронного и дырочного типа играют роль частицы и

переоткрытием в топологически нетривиальной фа-

античастицы, соответственно. Среди широкого раз-

зе [23, 24]. Объемная щель E_g, защищающая майора-

нообразия систем, которые были предложены для

новские состояния, пропорциональна параметру на-

реализации топологической сверхпроводимости, мы

веденной щели |Δ_ind| и определяется прозрачностью

ограничимся рассмотрением ряда эффектов в ги-

СП/ПП границы. В последнее время был достигнут

бридных структурах с эффектом близости, состоя-

значительный прогресс в изготовлении гибридных

щих из обычного сверхпроводника s-типа и полу-

структур из нанопроводов InAs, покрытых тонким

проводниковых (ПП) нанопроводов с сильной спин-

слоем сверхпроводящего Al [44]. Величина наведен-

орбитальной связью [23, 24, 27, 44] (см. вставку (a)

ной щели в таких структурах в нулевом магнитном

к рис. 3). Несмотря на то, что каждая из составляю-

поле |Δ_ind| ∼ 0.2 мэВ порядка сверхпроводящей щели

в Al (Δ_Al = 0.34 мэВ), что свидетельствует о хорошей

прозрачности границы ПП/СП.

Во многих случаях теоретические исследования

подобных СП/ПП гибридных структур основаны на

упрощенной модели сверхпроводящих корреляций,

описываемых феноменологическим потенциалом ще-

ли Δ_ind внутри проволоки [23, 24]. Расчет индуциро-

ванного параметра порядка может быть выполнен с

использованием микроскопической теории аналогич-

но работам [76-79]. Ситуация может дополнительно

усложняться наличием обратного эффекта близости

в структуре, приводящим к подавлению сверхпрово-

дящего параметра порядка на поверхности сверхпро-

водника. Для достаточно тонкой сверхпроводящей

оболочки, покрывающей многомодовый провод, та-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Лежащий на сверхпроводни-

кой эффект может привести к заметному изменению

ке ПП провод произвольной формы, определяемой в

критической температуры сверхпроводящего перехо-

плоскости xy радиус-вектором r(s) (вектор Рашбы на-

да всей системы и условий переключения между то-

правлен по оси z). На вставке (a) показана СП/ПП ги-

пологически тривиальным и нетривиальным состо-

бридная структура: полупроводниковый провод (SM),

яниями в ПП проводе. Самосогласованный анализ

частично покрытый сверхпроводящей оболочкой (SC).

поведения критической температуры T_c СП/ПП ги-

На вставке (b) схематично показан джозефсоновский

контакт на основе изогнутого майорановского нанопро-

бридов с учетом влияния обратного эффекта близо-

вода в области слабой связи (магнитное поле B перпен-

сти на индуцированные сверхпроводящие корреля-

дикулярно плоскости провода)

ции выполнен в работе [80]. С использованием микро-

скопических уравнений для функций Грина, учиты-

щих является топологически тривиальной, возника-

вающих перенос квазичастиц между сверхпроводя-

ющая квазиодномерная электронная система в целом

щей пленкой и проводом, получена зависимость кри-

демонстрирует нетривиальные топологические свой-

тической температуры сверхпроводящей оболочки от

ства. Связано это с тем, что в таких нанопроводах

параметров провода - уровня химического потенциа-

√

в сильных магнитных полях gµ_BB ≳

µ² + |Δ^2ind|

ла, величины зеемановского расщепления и энергии

(предел Китаева) может реализовываться так назы-

спин-орбитального взаимодействия. Сильный пара-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

v_Rp_F Δ_ind(s)

магнитный эффект для электронов, туннелирующих

Δ(s) = i

[cosβ(s) - i cosϑ sinβ(s)] ,

в многомодовый провод, а также особенности ван

Хова в электронной плотности состояний в прово-

A_s = A_s + (Φ₀k_R/π) sinϑ sinβ(s),

(7)

де могут приводить к подавлению сверхпроводящих

µ = µ + Z + E_R sin2 ϑ sin2 β(s).

корреляций в области слабых магнитных полей и к

возвратной сверхпроводимости при сильных магнит-

Здесь p = -iℏ∂_s - канонический оператор импуль-

ных полях в топологически нетривиальной фазе. По-

са, A_s - компонента векторного потенциала A вдоль

давление однородного сверхпроводящего состояния

провода, ℏk_R = mv_R и E_R = mv^2R/2 - параметры им-

вблизи границы между топологически тривиальным

пульса и энергии, характеризующие СО взаимодей-

и нетривиальным режимами обеспечивает условия,

ствие Рашбы, соответственно. В этих условиях про-

благоприятные для развития ЛОФФ неустойчиво-

вод находится в топологически нетривиальной сверх-

сти.

проводящей фазе с p-типом параметра порядка Δ(s)

Применение майорановских систем к квантовым

вдоль провода.

вычислениям, квантовой информации и квантовой

Если внешнее поле перпендикулярно плоскости

памяти требует построения сетей довольно сложных

провода XY (ϑ = 0), то Δ(s) ∝ e^-iβ(s), и устанавли-

конфигураций [81], что, в свою очередь, поднимает

вается киральная структура сверхпроводящей щели,

естественный вопрос о важности эффектов, завися-

а градиент ∂_sβ(s) = 0 приводит к генерации в про-

щих от геометрии (например, изгиб проводов, пово-

воде спонтанного электрического тока. Результиру-

роты, соединения или образование петель), в физи-

ющая киральность индуцированного параметра по-

ке индуцированной сверхпроводимости. Последствия

рядка должна проявиться, например, в проводе, об-

изгиба нанопроволоки должны иметь особое значе-

разующем замкнутый контур. Градиент фазы ∂_sβ(s)

ние для систем с индуцированными сверхпроводя-

обеспечивает дополнительный набег фазы ±2π в по-

щими корреляциями p-типа в топологически нетри-

лупроводнике по отношению к сверхпроводнику, т.е.

виальной фазе из-за сильного влияния на подщеле-

завихренность в ПП и СП кольцах гибридной струк-

вые состояния квазичастиц [44]. В работах [42, 43]

туры отличаются на ±1. Зависимость ∂_sβ(s) от ори-

с использованием уравнений Боголюбова-де Жена

ентации участка ПП провода позволяет предложить

(БдЖ) изучены зависящие от геометрии эффек-

интересную возможность создания фазовой батареи

ты в гибридных структурах, состоящих из сверх-

с контролируемым геометрией сдвигом фазы. Осно-

проводника s-типа и одномодового провода из по-

вой такой геометрической фазовой батареи служит

лупроводника с сильной СО связью и большим g-

джозефсоновский ϕ₀-контакт, образованный изогну-

фактором, характерные для топологически нетриви-

тым под углом β_a ПП проводом, противоположные

альных сверхпроводящих состояний (рис. 3). Пред-

концы которого покрыты двумя сверхпроводниками

полагая, что ПП провод имеет произвольную форму,

s-типа (см. вставку (b) на рис.3). Основное состоя-

задаваемую в плоскости xy радиус-вектором r(s) =

ние подобного геометрического ϕ₀-контакта харак-

= (x(s), y(s)) (s - координата вдоль провода), а

теризуется аномальной разностью фаз ϕ₀ = β_a, а

внешнее магнитное поле B = B (sin ϑ e_x + cos ϑ e_z)

ток-фазовое соотношение контакта имеет вид: j(ϕ) =

достаточно сильное, так что энергия Зеемана Z =

= jc sin(ϕ+ϕ₀) [7]. Экспериментально характеристи-

= gµ_BB преобладает над энергией СО связи, можно

ки описанной геометрической фазовой батареи мо-

записать эффективный БдЖ гамильтониан 1D про-

гут быть исследованы, например, с использованием

вода в виде [43]:

СКВИДа постоянного тока с двумя одноканальными

джозефсоновскими ϕ₀-контактами данного типа [43].





В другом предельном случае - внешнее поле ле-

(p-

A_s)² - µ

{Δ, p}

2p_F



жит в плоскости провода (ϑ = π/2) - модуль ин-

Ĥ=

.

(6)

дуцированного параметра порядка (7) |Δ| ∝ cos β(s)

{Δ^∗, p}

(p+

A_s)² + µ

2p_F

обращается в нуль при β(s_i) = ±π/2. Эти нодальные

точки s = s_i (узлы), где сверхпроводимость подав-

Индуцированный параметр порядка Δ(s), перенор-

лена, разделяют участки провода с противополож-

мированные вектор-потенциал

A_s и химический по-

ным знаком Δ и ведут к образованию локализован-

тенциал µ зависят от распределения геометрической

ных состояний квазичастиц с нулевой энергией. На-

фазы β(s) (формы провода) и направления внешнего

личие дополнительных мод с нулевой энергией, ло-

магнитного поля B (см. рис. 3) и определяются сле-

кализованных вблизи узлов Δ = 0, может сильно по-

дующими выражениями:

влиять на связь между майорановскими состояния-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

ми на концах открытого провода. Соответствующие

щепления Z для угла изгиба (разориентации) прово-

поправки должны быть важны для структуры вол-

да β_a = π/2. Значение зеемановского расщепления

новой функции основного состояния, которая, таким

Z_c, при котором происходит топологический пере-

образом, может настраиваться вращением магнитно-

ход в системе, показано сплошной линией. Результа-

го поля. В результате можно предложить альтерна-

ты, представленные на рис. 4, показывают, что фа-

тивный способ манипулирования волновой функцией

за ϕ₀ исчезает внутри топологически тривиально-

основного состояния с помощью адиабатического пе-

го состояния (Z ≪ Z_c), нарастает в определенном

ремещения положения нодальных точек при враще-

диапазоне полей вокруг топологического перехода

нии магнитного поля. Соответствующее унитарное

∼ Z_c) и затем насыщается при больших маг-

преобразование волновой функции может расширить

нитных полях (Z ≫ Z_c). В последнем случае (ре-

возможности существующих протоколов брэйдинга в

жим Китаева [5]) фазовый сдвиг определяется углом

сетях Майораны (см., например, работу [82] и ссылки

изгиба: ϕ₀ ≃ β_a. Отметим, что область кроссовера

в ней).

захватывает и топологически нетривиальную фазу

С помощью численного моделирования был про-

(Z > Z_c): аномальный фазовый сдвиг ϕ₀ заметно от-

веден детальный анализ эффекта Джозефсона в пе-

клоняется от угла изгиба β_a даже не слишком близко

реходах на основе изогнутого майорановского нано-

от топологического перехода. Таким образом, джо-

провода в области слабой связи (см. вставку (b) на

зефсоновский контакт на основе изогнутой майора-

рис. 3). В рамках уравнений БдЖ выполнены расче-

новской проволоки представляет собой перестраива-

ты аномальной разности фаз ϕ₀ основного состояния

емую фазовую батарею, которая может стать полез-

джозефсоновского контакта при произвольной вели-

ным элементом различных устройств квантовых вы-

чине внешнего магнитного поля B, переводящего на-

числений. В частности, такие фазовые батареи могут

нопровод из топологически тривиального в тополо-

быть использованы для проверки реализации топо-

гически нетривиальное сверхпроводящее состояние.

логической сверхпроводимости в майорановских се-

Важно отметить, что при расчете сверхтока необ-

тях.

ходимо учитывать как вклад подщелевых квазича-

4. Топологические переходы в вихревых со-

стичных состояний, так и вклад непрерывного спек-

стояниях. Перейдем теперь к обсуждению тополо-

тра (континуума). Учет этих вкладов в ток-фазовое

гических свойств гибридных структур, состоящих из

соотношение контакта позволил описать кроссовер

многомодового полупроводникового провода, полно-

между обычным и аномальным эффектом Джозеф-

стью покрытого сверхпроводящим металлом. Cрав-

сона. На рисунке 4 приведена типичная зависимость

нительно слабое внешнее магнитное поле (B ∼ 0.1 T),

фазового сдвига ϕ₀ от величины зеемановского рас-

направленное вдоль оси провода z, формирует в та-

кой структуре вихревое состояние, которое может пе-

ревести систему в топологически нетривиальную фа-

зу [27]. Основным условием существования краевых

майорановских мод в подобных структурах является

наличие текстурированного спин-орбитального взаи-

модействия Рашбы с радиальным вектором нормали

[

]

α_R

Ĥ_so =

e_r

σ ×(p+

A_θ e_θ)

(8)

ℏ

где p = -iℏ∇, e_r и e_θ - единичные вектора в цилин-

дрической системе координат (r, θ, z), a A = A_θ e_θ =

= (Br/2) e_θ - векторный потенциал магнитного по-

ля B = B e_z, направленного вдоль оси провода. При

этом вход вихря должен вызывать инверсию под-

щелевых ветвей спектра энергии квазичастиц E_i(k_z)

(индекс i обозначает спин-зависимые поперечные мо-

Рис. 4. Зависимость аномальной фазы ϕ0 от зееманов-

ды провода, ℏk_z - импульс вдоль провода), что воз-

ского расщепления Z для угла разориентации βa =

= π/2. Сплошная линия показывает значение Z

можно только при наличии нормального отражения

√

2|Δ|, при котором происходит топологический фа-

для квазичастиц от границы СП/ПП и от внешней

зовый переход. График построен для µ = |Δ| и ER =

границы СП оболочки. Таким образом, для опреде-

= 0.1|Δ| в обеих частях провода

ления области параметров гибридной структуры, со-

ответствующих топологически нетривиальной фазе,

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

необходимо изучить влияние конкуренции андреев-

прямыми численными расчетами спектров подщеле-

ского и нормального рассеяния на спектр подщеле-

вых состояний в зависимости от приложенного маг-

вых состояний. Отметим, что нормальное отраже-

нитного поля и параметров провода. Численный ана-

ние для квазичастиц от границы ПП/СП естественно

лиз спектров квазичастиц в ПП нанопроводах, пол-

возникает в силу скачка материальных параметров

ностью покрытых СП оболочкой, выполненный в ра-

(эффективных масс и энергий Ферми).

боте [48], основан на уравнениях БдЖ

В работе [48] было показано, что наличие конку-

ренции между нормальным и андреевским отраже-

ĤΨ(r) = EΨ(r) ,

(10)

[

]

нием для квазичастиц в ПП нанопроволоках, пол-

Ĥ= τ_z

P + U(r)

+ τ_xReΔ(r) - τ_yImΔ(r)

ностью покрытых СП оболочкой, может приводить

2m(r)

к серии топологических переходов для электрон-

и граничных условиях, при выводе которых учи-

дырочных возбуждений в таких гибридных систе-

тывались все вышеперечисленные механизмы нор-

мах. Для качественного анализа влияния нормаль-

мального рассеяния для квазичастиц. Здесь

ного рассеяния вполне достаточно ограничиться ква-

= -iℏ∇ + τ_zeA/c, U(r) - ограничивающий потенци-

зиклассическим приближением (k^cF ξ ≫ 1) (ℏk^cF - им-

ал, m(r) = m^∗ (m_s) для r ≤ R_c (R_c < r ≤ d_s), d_s -

пульс Ферми в ПП коре, ξ - длина когерентности

толщина сверхпроводящей оболочки, τ_i (i = x, y, z)

в сверхпроводнике) и пренебречь для простоты вли-

- матрицы Паули в пространстве электрон-дырка, и

янием спин-зависимых эффектов. Тогда для одно-

сверхпроводящий параметр порядка Δ(r) отличен от

квантового вихря, обеспечивающего 2π-циркуляцию

нуля только в оболочке. Величина сверхпроводяще-

сверхпроводящего параметра порядка Δ = |Δ| e^iθ в

го параметра порядка Δ в оболочке зависит от за-

оболочке, можно записать выражение для спектра

хваченного магнитного потока φ = πBR^2c/Φ₀ и для

квазичастиц, локализованных в коре вихря, в следу-

состояния n

ющем виде:

(

)

Ψ(r) = eikz z ei[µ-τz n/2]θΨµ,kz (r)

(11)

|Δ|

ℏω_c

E(µ, k_z) = µ

+ δ(k_z)cos[ζ(µ, k_z)]. (9)

k^c⊥R_c

может быть описана следующим модельным выра-

жением: Δ = Δ₀ [ 1 - γ ( φ - n(φ) )²] e^-inθ. Здесь µ

Здесь µ - полуцелое число, |Δ|/k^c⊥R_c - минищель

принимает целые (полуцелые) значения для четных

Кароли-де Жена-Матрикона в спектре вихря [83],

√

(нечетных) значений завихренности n, Δ₀ - сверх-

k^c⊥

(k^cF )² - k^2z, Rc - радиус ПП кора, ωc

проводящая щель в оболочке при B = 0, Φ₀ = πℏc/|e|

= |e|B/m^∗c - циклотронная частота, и m^∗ - эффек-

- квант магнитного потока, n(φ) - целая часть от

тивная масса для электронов в ПП коре. Послед-

величины 1/2 + φ, и γ ∼ ξ²/R^2c для d_s ≪ R_c. Ти-

нее слагаемое в (9) c амплитудой δ(k_z) = 2|Δ|R(k_z )

пичный вид спектра подщелевых состояний E(µ, k_z )

и фазой ζ(µ, k_z) = 2kc⊥Rc - πµ - π/2 учитывает

в полностью покрытом ПП проводе после входа вих-

нормальное отражение для квазичастиц от границы

ря (n = 1, φ = 1/2) без учета СО взаимодействия

СП/ПП с вероятностью R²(k_z ) ≪ 1 [84-86]. Таким

(8) и зеемановского расщепления показан на рис. 5.

образом, меняя соотношение между андреевским и

Результаты, представленные на рис. 5, показывают,

нормальным отражением, можно влиять на величи-

что конкуренция нормального и андреевского рас-

ну щели в спектре квазичастиц. В частности, при

сеяния приводит к осцилляциям подщелевых уров-

δ(k_z ) ∼ |Δ|/kc⊥Rc щель в спектре закрывается, и

ней, и спектральные ветви, соответствующие наи-

спектральные ветви подщелевых уровней пересека-

меньшим значениям углового момента µ = ±1/2, пе-

ют уровень Ферми. Важно отметить, что число пе-

ресекают уровень Ферми при k_z = k_i. Вблизи точек

ресечений, при которых E(µ, k_z ) = 0, зависит как

пересечения E(±1/2, k_z) ≈ ±v^ig(k_z - k_i), где v^ig - ско-

от отношения δ(k_z)k^c⊥R_c/|Δ| = 2R(k_z)k^c⊥R_c, так и

рость Ферми соответствующей волноводной моды.

от числа поперечных мод провода в нормальном со-

Учитывая влияние СО взаимодействия по теории

стоянии N = π(k^cF R_c)². Каждое такое пересечение

возмущений, можно получить следующее секулярное

дает электрон-дырочное возбуждение с энергией на

уравнение, описывающее гибридизацию поперечных

уровне Ферми, распространяющееся по андреевско-

мод с угловыми моментами µ и µ + 1:

му СП/ПП волноводу с групповой скоростью v_g по-

рядка скорости Ферми в ПП коре v^cF .

E^±(µ, k_z) ≃ E_Σ(µ, k_z)/2 ±

Приведенные выше качественные рассуждения о

√

(

)₂

роли нормального рассеяния в формировании мод

α_R k_z

[δE(µ, k_z )/2 + Z]² +

(12)

волноводного типа находятся в хорошем согласии с

R_c k^c

⊥

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

в окрестности энергии Ферми: поскольку радиаль-

ное СО взаимодействие Рашбы (8) не вызывает рас-

щепление уровней E^-(1/2, k_z) и E⁺(-3/2, k_z) вбли-

зи энергии Ферми, волновые функции этих уров-

ней должны иметь доминирующие компоненты со

спином, поляризованным по или против оси z со-

ответственно. Различные возмущения, нарушающие

вращательную симметрию в системе (например, на-

личие беспорядка и/или отклонение вектора Раш-

бы от радиального направления), должны приводить

к смешиванию состояний с разными угловыми мо-

Рис. 5. (Цветной онлайн) Типичный вид спектра под-

ментами. Такое перемешивание обеспечивает допол-

щелевых состояний в ПП проводе после входа вихря

нительную связь между бесщелевыми состояниями

(n = 1, φ = 1/2) для плоского профиля потенциала

и, очевидно, приводит к открытию дополнительных

в коре. Параметры системы: Rc = 0.7ξ, ds = 0.8Rc,

мини-щелей в спектре.

γ = 0.1, отношение скоростей Ферми в СП оболочке и

Экспериментально описанные выше спин-

в ПП коре η = 0.72

поляризованные состояния в окрестности энергии

Ферми, реализуемые в топологически нетриви-

где E_Σ(µ, k_z ) = E(µ, k_z) + E(µ + 1, k_z), а δE(µ, k_z) =

альных фазах ПП нанопроволоки с сильным

= E(µ, k_z) - E(µ + 1, k_z), E(µ, k_z) - спектр квази-

спин-орбитальным взаимодействием Рашбы и на-

частиц без учета спин-зависимых эффектов. Заме-

веденной сверхпроводимостью, могут проявляться

тим, что вблизи точки вырождения k_z = k_i выра-

в аномальном поведении калорических эффектов,

жение для спектра квазичастиц E^±(-1/2, k_z) в точ-

например, при измерениях переноса тепла через

ности совпадает со спектром одномерного бесспино-

СП/ПП провод с отличной от нуля завихренно-

вого сверхпроводника p-типа. Краевые майоранов-

стью n. Изменяя температуру T, можно ожидать

ские моды в полностью покрытых проводах долж-

появления кроссовера между спин-поляризованным

ны возникать в области параметров, соответствую-

и неполяризованным квазичастичным переносом

щих нечетному числу пересечений невозмущенных

тепла при T, сравнимых с величиной топологи-

уровней E(±1/2, k_z) уровня Ферми [48]. На рисун-

ческой щели ≈0.8 K. Можно также ожидать, что

ке 6 схематично показаны графики уровней энергии,

этот эффект должен быть сильно чувствителен к

четности числа пересечений веткой спектра уровня

Ферми для выбранного (например, положительного)

направления k_z . В случае четного числа пересечений

(см. рис. 5) должна происходить частичная компен-

сация спин-поляризованных квазичастичных токов

из-за противоположного знака групповых скоростей

в соседних точках пересечения. Меняя внешнее

магнитное поле, можно изменить количество пе-

ресечений уровня Ферми, что, в свою очередь,

должно привести к осциллирующей зависимости

спин-поляризованного теплового тока от магнит-

ного поля. Этот эффект может использоваться в

качестве теста установления топологически нетри-

Рис. 6. (Цветной онлайн) Спектр подщелевых состоя-

виальной фазы в СП/ПП нанопроводе. Отметим,

ний в ПП проводе, определяемых уравнениями (9,12)

что в низкотемпературном режиме перенос тепла

для k^cF Rc = 6, δ/|Δ| = 0.2, αR k^F /|Δ| = 0.3, Z/|Δ| =

через нанопровод конечной длины также должен

= 0.03, ωc/|Δ| = 0.05 (n = 1, φ = 1/2): E⁺(-3/2, kz ) -

быть чувствительным к вкладу быстро исчезающих

черная сплошная кривая; E^-(1/2, kz ) - красная шрихо-

краевых состояний майорановского типа, число

вая кривая; E⁺(-1/2, kz) - синяя пунктирная кривая;

E^-(-1/2, kz) - зеленая штрих-пунктирная кривая

которых равно числу пересечений ветками спектра

уровня Ферми.

определяемых уравнениями (9), (12), которые пока-

Наличие прозрачной границы СП/ПП также при-

зывают появление спин-поляризованных состояний

водит к необходимости изучения эффектов, связан-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

ных с гибридизацией волновых функций в полу-

проводниковом проводе и в металлической оболоч-

ке [87-90], и можно ожидать, что эффекты гибри-

дизации должны быть чувствительны к возможным

изгибам дна зоны проводимости в полупроводнике

из-за контакта с металлом. Изгиб дна зоны проводи-

мости в проводе на границе с оболочкой естествен-

ным образом возникает в силу разных значений ра-

бот выхода в материалах и определяется параметром

W = Ec - E_F, где E_c - положение дна зоны прово-

димости в полупроводниковом коре на границе с ме-

таллом, и E_F - энергия Ферми системы. Недавние

экспериментальные измерения совместно с числен-

ными расчетами зонной структуры InAs/Al систем

дают W ≈ -0.3 эВ [91], что свидетельствует в поль-

Рис. 7. (Цветной онлайн) Зависимость щели в спектре

зу наличия аккумуляционного слоя толщиной d_a в

квазичастиц Eg полностью покрытого ПП провода от

окрестности ПП/СП границы (R_c - d_a ≤ r ≤ R_c).

толщины аккумуляционного слоя da до входа вихря

φ = 0 (n = 0) и после входа вихря φ = 0.5 (n = 1).

Влияние аккумуляционного слоя на спектральные

Графики построены для Rc = 0.9ξs, ds = 0.6Rc, η = 1

свойства полупроводниковых нанопроводов, полно-

и γ = 0.1

стью покрытых сверхпроводящей оболочкой, изуче-

но в работе [92] в рамках БдЖ уравнений. Нали-

чие аккумуляционного слоя для квазичастиц вбли-

ресекают уровень Ферми, и краевые майорановские

зи границы ПП/СП моделировалось с помощью пря-

моды в системе не появляются. Таким образом, нали-

моугольного профиля потенциала, обеспечивающего

чие аккумуляционного слоя для квазичастиц вблизи

нулевые граничные условия для волновой функции

границы ПП/СП вносит дополнительные ограниче-

квазичастиц при r = R_c - d_a. В свою очередь, глуби-

ния на диапазон параметров, при которых возмож-

на потенциальной ямы U₀ управлялась параметром

на реализация краевых майорановских мод в таких

√

η =

m^∗E^sF /mU₀, где m^∗ (m) - эффективная мас-

системах. Наличие аккумуляционного слоя для ква-

са электронов в аккумуляционном слое (в металли-

зичастиц вблизи границы СП/ПП также может при-

ческой оболочке), и E^sF - энергия Ферми в оболоч-

водить к возвратному поведению объемной щели в

ке в нормальном состоянии. Типичные зависимости

спектре нанопровода в зависимости от внешнего маг-

щели в спектре квазичастиц полностью покрытого

нитного потока из-за трансформации спектра квази-

ПП провода от толщины аккумуляционного слоя до

частиц и связанного с ней усиления орбитальных эф-

и после входа вихря приведены на рис. 7. Результаты,

фектов. Возвратное поведение щели от магнитного

представленные на рис. 7, показывают, что уменьше-

потока может наблюдаться экспериментально в из-

ние толщины аккумуляционного слоя d_a приводит

мерениях периодичности тока через провод в зави-

к увеличению щели в спектре квазичастиц за счет

симости от напряжения на затворе в условиях куло-

увеличения энергии подщелевых состояний. Обсудим

новской блокады.

влияние аккумуляционного слоя на возможность по-

5. Заключение. Представленные результаты ис-

явления майорановских мод на краях полностью по-

следований влияния спин-орбитального взаимодей-

крытых нанопроводов при учете текстурированного

ствия Рашбы в гибридных структурах с индуци-

взаимодействия (8). В работах [48, 93] было показа-

рованной сверхпроводимостью показывают, что СО

но, что майорановские состояния в полностью по-

взаимодействие может быть ключевым механизмом,

крытых проводах должны возникать в области па-

позволяющим реализовать как неоднородные фа-

раметров, соответствующих нечетному числу пере-

зовые структуры (например, “фазовые батарейки”),

сечений невозмущенных уровней с µ = ±1/2 уров-

так и топологически нетривиальные сверхпроводя-

ня Ферми (без учета спин-орбитального взаимодей-

щие фазы в таких системах. В ограниченных систе-

ствия). Однако при уменьшении толщины аккумуля-

мах с нетривиальной топологией возникающие крае-

ционного слоя щель в спектре квазичастиц увеличи-

вые состояния являются майорановскими, и измене-

вается, и, соответственно, число волноводных мод на

ние количества таких нулевых мод внешним магнит-

уровне Ферми уменьшается. Для достаточно тонкого

ным полем существенно для экспериментального по-

слоя спектральные ветви подщелевых уровней не пе-

иска топологически нетривиальных фаз. Гибридные

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Спонтанные токи и топологически защищенные состояния. . .

структуры, в которых возможны фермионы Майо-

16.

E. I. Rashba, Sov. Phys. Solid State 2, 1109 (1960).

раны активно исследуются в последние годы в свя-

17.

L. P. Gor’kov and E. I. Rashba, Phys. Rev. Lett. 87,

зи с перспективами их использования для тополо-

037004 (2001).

гически защищенных квантовых вычислений. Важ-

18.

V. M. Edelstein, Phys. Rev. B 67, 020505(R) (2003).

ным вопросом, который остался за рамками этого

19.

V. Barzykin and L. P. Gor’kov, Phys. Rev. Lett. 89,

обзора, является влияние кулоновской блокады как

227002 (2002).

на динамику сверхпроводящих структур (см. обзор

20.

K. V. Samokhin, Phys. Rev. B 70, 104521 (2004).

[94] и ссылки в нем), в том числе и в топологически

21.

R. P. Kaur, D. F. Agterberg, and M. Sigrist, Phys. Rev.

нетривиальной фазе [95], так и на условия реализа-

Lett. 94, 137002 (2005).

ции топологически нетривиальных фаз в конденси-

22.

O. Dimitrova and M. V. Feigel’man, Phys. Rev. B 76,

рованных средах в целом [96].

014522 (2007).

Работа частично поддержана грантом Рос-

сийского научного фонда

#17-12-01383. Анализ

23.

R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma, Phys. Rev.

Lett. 105, 077001 (2010).

влияния аккумуляционного слоя и микроскопиче-

ские численные расчеты эффекта Джозефсона в

24.

Y. Oreg, G. Refael, and F. von Oppen, Phys. Rev. Lett.

СП/ПП гибридных нанопроводах выполнены по

105, 177002 (2010).

проекту Российского научного фонда # 20-12-00053.

25.

J. Alicea, Phys. Rev. B 81, 125318 (2010).

С. В. Миронов также благодарит за финансовую

26.

V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard,

поддержку Фонд развития теоретической физи-

E. P. A. M. Bakkers, and L. P. Kouwenhoven, Science

ки и математики БАЗИС (проект 18-1-3-58-1) и

336, 1003 (2012).

программу Стипендий Президента РФ (проект

27.

S. Vaitiekenas, G. W. Winkler, B. van Heck, T. Karzig,

СП-3938.2018.5).

M.-T. Deng, K. Flensberg, L. I. Glazman, C. Nayak,

P. Krogstrup, R. M. Lutchyn, and C. M. Marcus, Science

367, 1442 (2020).

V.P. Mineev and M. Sigrist, in Lecture Notes in Physics

28.

G. Annunziata, D. Manske, and J. Linder, Phys. Rev.

847, 129 (2012).

B 86, 174514 (2012).

M. Smidman, M. B. Salamon, H. Q. Yuan, and

29.

F. S. Bergeret and I. V. Tokatly, Phys. Rev. Lett. 110,

D. F. Agterberg, Rep. Prog. Phys. 80, 036501 (2017).

117003 (2013).

В. М. Эдельштейн, ЖЭТФ 95, 2151 (1989) [Sov. Phys.

JETP 68, 1244 (1989)].

30.

F. S. Bergeret and I. V. Tokatly, Phys. Rev. B 89, 134517

V.P. Mineev and K.V. Samokhin, ЖЭТФ 105, 747

(2014).

(1994) [Sov. Phys. JETP 78, 401 (1994)].

31.

S. H. Jacobsen, I. Kulagina, and J. Linder, Sci. Rep. 6,

A.Y. Kitaev, Phys.-Usp. 44, 131 (2001).

23926 (2016).

J. Alicea, Rep. Prog. Phys. 75, 076501 (2012).

32.

S. Mironov and A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 118, 077001

A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 101, 107005 (2008).

(2017).

I. V. Krive, L. Y. Gorelik, R. I. Shekhter, and M. Jonson,

33.

D. S. Rabinovich, I. V. Bobkova, A. M. Bobkov, and

J. Low Temp. Phys. 30, 398 (2004).

M. A. Silaev, Phys. Rev. B 99, 180501(R) (2019).

A.A. Reynoso, G. Usaj, C. A. Balseiro, D. Feinberg, and

34.

J. W. A. Robinson, A. V. Samokhvalov, and

M. Avignon, Phys. Rev. Lett. 101, 107001 (2008).

A. I. Buzdin, Phys. Rev. B 99, 180501(R) (2019).

10.

F. S. Bergeret and I. V. Tokatly, EPL 110, 57005 (2015).

35.

R. A. de Groot, F. M. Mueller, P. G. van Engen, and

11.

D. B. Szombati, S. Nadj-Perge, D. Car, S. R. Plissard,

K. H. J. Buschow, Phys. Rev. Lett. 50, 2024 (1983).

E. P. A. M. Bakkers, and L. P. Kouwenhoven, Nature

36.

W. E. Pickett and J. S. Moodera, Phys. Today 54, 39

Phys. 12, 568 (2016).

(2001).

12.

M. A. Silaev, I. V. Tokatly, and F. S. Bergeret, Phys.

37.

J. M. D. Coey and M. Venkatesan, J. Appl. Phys. 91,

Rev. B 95, 184508 (2017).

8345 (2002).

13.

E. Strambini, A. Iorio, O. Durante, R. Citro,

38.

M. I. Katsnelson, V. Yu. Irkhin, L. Chioncel,

C. Sanz-Fernandez, C. Guarcello, I. V. Tokatly,

A. I. Lichtenstein, and R. A. de Groot, Rev. Mod.

A. Braggio, M. Rocci, N. Ligato, V. Zannier, L. Sorba,

Phys. 80, 315 (2008).

F. S. Bergeret, and F. Giazotto, Nature Nanotech. 15,

656 (2020).

39.

L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407

14.

А.И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ 47, 1136

(2008).

(1964).

40.

C. Kurter, A. D. K. Finck, Y. S. Hor, and

15.

P. Fulde and R. A. Ferrell, Phys. Rev. 135, A550 (1964).

D. J. Van Harlingen, Nat. Commun. 6, 7130 (2015).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

А. В. Самохвалов, А. А. Копасов, А. Г. Кутлин, С. В. Миронов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

41.

F. Amet, C. T. Ke, I. V. Borzenets, J. Wang,

66.

A. G. Mal’shukov, Phys. Rev. B 95, 064517 (2017).

K. Watanabe, T. Taniguchi, R. S. Deacon,

67.

L. A. B. Olde Olthof, X. Montiel, J. W. A. Robinson, and

M. Yamamoto, Y. Bomze, S. Tarucha, and

A. I. Buzdin, Phys. Rev. B 100, 220505(R) (2019).

G. Finkelstein, Science 352, 966 (2016).

68.

J. Baumard, J. Cayssol, F. S. Bergeret, and A. Buzdin,

42.

C. Spanslatt, Phys. Rev. B 98, 054508 (2018).

Phys. Rev. B 99, 014511 (2019).

43.

A.G. Kutlin and A. S. Mel’nikov, Phys. Rev. B 101,

69.

V. M. Edelstein, J. Phys. Condens. Matter 8, 339 (1996).

045418 (2020).

70.

A. Pal and M. G. Blamire, Phys. Rev. B 92, 180510(R)

44.

A.P. Higginbotham, S. M. Albrecht, G. Kir’anskas,

(2015).

W. Chang, F. Kuemmeth, P. Krogstrup, T. S. Jespersen,

71.

A. Pal, Z. H. Barber, J. W. A. Robinson, and

J. Nygеrd, K. Flensberg, and C. M. Marcus, Nature

M. G. Blamire, Nat. Commun. 5, 3340 (2014).

Phys. 11, 1017 (2015).

72.

Y. Zhu, A. Pal, M. G. Blamire, and Z. H. Barber, Nat.

45.

W. Chang, S. M. Albrecht, T. S. Jespersen,

Mater. 16 195 (2017).

F. Kuemmeth, P. Krogstrup, J. Nygard, and

73.

L. B. Ioffe, V. B. Geshkenbein, M. V. Feigelman,

C. M. Marcus, Nature Nanotech. 10, 232 (2015).

A. L. Fauchere, and G. Blatter, Nature 398, 679 (1999).

46.

P. Krogstrup, N. L. B. Ziino, W. Chang, S. M. Albrecht,

74.

K. Feofanov, V.A. Oboznov, V. V. Bol’ginov,

M. H. Madsen, E. Johnson, J. Nygard, C. M. Marcus,

Lisenfeld,

Poletto,

V. V. Ryazanov,

and T. S. Jespersen, Nat. Mater. 14, 400 (2015).

A. N. Rossolenko, M. Khabipov, D. Balashov,

47.

S. M. Albrecht, A. P. Higginbotham, M. Madsen,

A. B. Zorin, P. N. Dmitriev, V. P. Koshelets, and

F. Kuemmeth, T. S. Jespersen, J. Nygard, P. Krogstrup,

A. V. Ustinov, Nature Phys. 6, 593 (2010).

and C. M. Marcus, Nature 531, 206 (2016).

75.

F. von Oppen, Y. Peng, and F. Pientka, Topological

48.

A.A. Kopasov and A. S. Mel’nikov, Phys. Rev. B 101,

superconducting phases in one dimension: Lecture Notes

054515 (2020).

of the Les Houches Summer School: Volume 103, August

49.

A.O. Denisov, A. V. Bubis, S. U. Piatrusha,

2014, Oxford University Press (2017).

N. A. Titova, A. G. Nasibulin, J. Becker, J. Treu,

76.

N. B. Kopnin and A. S. Melnikov, Phys. Rev. B 84,

D. Ruhstorfer, G. Koblmuller, E. S. Tikhonov, and

064524 (2011).

V. S. Khrapai, arXiv: 2006.09803 (2020).

77.

T. D. Stanescu, R. M. Lutchyn, and S. Das Sarma, Phys.

50.

V.M. Edelstein, Phys. Rev. Lett. 75, 2004 (1995).

Rev. B 84, 144522 (2011).

51.

K. V. Samokhin, Phys. Rev. B 89, 094503 (2014).

78.

N. B. Kopnin, I.M. Khaymovich, and A. S. Mel’nikov,

52.

M. Fogelstrom, D. Rainer, and J. A. Sauls, Phys. Rev.

Phys. Rev. Lett. 110, 027003 (2013).

Lett. 79, 281 (1997).

79.

S. Takei, B. M. Fregoso, H.-Y. Hui, A.M. Lobos, and

53.

A.B. Vorontsov, Phys. Rev. Lett. 102, 177001 (2009).

S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 110, 186803 (2013).

54.

M. Hakansson, T. Lofwander, and M. Fogelstrom,

80.

A. A. Kopasov, I.M. Khaymovich, and A. S. Mel’nikov,

Nature Phys. 11, 755 (2015).

Beilstein J. Nanotechnol. 9, 1184 (2018).

55.

Yu. S. Barash, M. S. Kalenkov, and J. Kurkijarvi, Phys.

81.

D. Aasen, M. Hell, R.V. Mishmash, A. Higginbotham,

Rev. B 62, 6665 (2000).

J. Danon, M. Leijnse, T. S. Jespersen, J. A. Folk,

56.

S. Higashitani, J. Phys. Soc. Jpn. 66, 2556 (1997).

C. M. Marcus, K. Flensberg, and J. Alicea, Phys. Rev.

57.

C. Honerkamp, K. Wakabayashi, and M. Sigrist,

X 6, 031016 (2016).

Europhys. Lett. 50, 368 (2000).

82.

T. Karzig, C. Knapp, R. M. Lutchyn, P. Bonderson,

58.

A.L. Fauchere, W. Belzig, and G. Blatter, Phys. Rev.

M. B. Hastings, C. Nayak, J. Alicea, K. Flensberg,

Lett. 82, 3336 (1999).

S. Plugge, Y. Oreg, C. M. Marcus, and M. H. Freedman,

59.

I. V. Bobkova and Yu.S. Barash, Pis’ma v ZhETF 80,

Phys. Rev. B 95, 235305 (2017).

563 (2004) [JETP Lett. 80, 494 (2004)].

83.

C. Caroli, P.-G. de Gennes, and J. Matricon, Phys. Lett.

60.

M. Matsumoto and M. Sigrist, J. Phys. Soc. Jpn. 68,

9, 307 (1964).

994 (1999).

84.

N. B. Kopnin, A. S. Mel’nikov, V. I. Pozdnyakova,

61.

M. Stone and R. Roy, Phys. Rev. B 69, 184511 (2004).

D. A. Ryzhov, I. A. Shereshevskii, and V.M. Vinokur,

62.

H.-J. Kwon, V. M. Yakovenko, and K. Sengupta, Synth.

Phys. Rev. Lett. 95, 197002 (2005).

Met. 133-134, 27 (2003).

85.

N. B. Kopnin, A. S. Mel’nikov, V. I. Pozdnyakova,

63.

D. F. Agterberg, Lecture Notes in Physics 847, 155

D. A. Ryzhov, I. A. Shereshevskii, and V.M. Vinokur,

(2012).

Phys. Rev. B 75, 024514 (2007).

64.

S. S. Pershoguba, K. Björnson, A. M. Black-Schaffer,

86.

A. S. Mel’nikov, D. A. Ryzhov, and M. A. Silaev, Phys.

and A. V. Balatsky, Phys. Rev. Lett. 115,

116602

Rev. B 79, 134521 (2009).

(2015).

87.

V. E. Degtyarev, S. V. Khazanova, and N. V. Demarina,

65.

A.G. Mal’shukov, Phys. Rev. B 93, 054511 (2016).

Sci. Rep. 7, 3411 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021