Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 2, с. 102 - 111

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость

в гибридных структурах сверхпроводник-ферромагнетик

(Миниобзор)

С. В. Миронов⁺, А. В. Самохвалов⁺, А. И. Буздин^+∗, А. С. Мельников⁺¹⁾

⁺Институт физики микроструктур РАН, 603950 Н. Новгород, Россия

^∗University Bordeaux, LOMA UMR-CNRS 5798, F-33405 Talence Cedex, France

Поступила в редакцию 17 ноября 2020 г.

После переработки 17 ноября 2020 г.

Принята к публикации 23 ноября 2020 г.

В работе представлен обзор недавних теоретических идей, посвященных механизму электромагнит-

ного эффекта близости в гибридных сверхпроводящих структурах с ферромагнитными слоями, а также

проблеме неустойчивости типа Ларкина-Овчинникова-Фульде-Феррелла (ЛОФФ) с модуляцией сверх-

проводящего параметра порядка в плоскости слоев структуры. Показано, что вблизи перехода в фа-

зу ЛОФФ электромагнитный эффект близости может быть усилен: соответствующий спонтанный ток,

текущий по сверхпроводящему слою гибридной структуры сверхпроводник-ферромагнетик, резко воз-

растает при приближении к линии ЛОФФ перехода на фазовой диаграмме структуры. Переход в фазу

ЛОФФ, таким образом, может быть обнаружен экспериментально методами, диагностирующими гене-

рацию спонтанных токов.

DOI: 10.31857/S1234567821020051

1. Введение. Нетривиальная физика эффекта

тивных методов изучения различных фазовых пере-

близости в гибридных структурах сверхпроводник-

ходов, вызванных взаимодействием двух конкуриру-

ферромагнетик (СФ), связанная в значительной ме-

ющих параметров порядка в СФ системах с эффек-

ре с влиянием обменного поля на спины электро-

том близости.

нов в куперовских парах, приводит к ряду необыч-

Электродинамика СФ структур имеет ряд важ-

ных и интересных явлений, которые принято объ-

ных отличий от классической электродинамики

единять термином “сверхпроводящая спинтроника”

обычных сверхпроводников, в основе которой лежит

[1, 2]. Среди работ, посвященных этим эффектам,

лондоновская материальная связь

можно упомянуть теоретические предсказания джо-

зефсоновских π-контактов [3-5], их первую экспери-

j_s = -

(1)

4πλ²

ментальную реализацию [6] и дальнейшие исследо-

вания в [7-9], работы по изучению немонотонной за-

между сверхпроводящим током j_s и векторным по-

висимости критической температуры СФ структур

тенциалом A. Здесь λ - лондоновская глубина про-

от толщины ферромагнитного слоя [10, 11], локаль-

никновения магнитного поля. Основной особенно-

ного увеличения плотности электронных состояний

стью эффекта близости (проникновения куперов-

на уровне Ферми [12-15], эффекта сверхпроводяще-

ских пар из сверхпроводника в ферромагнетик) в

го спинового вентиля [16-30] и др. Подробные обзо-

СФ системах является конверсия синглетных сверх-

ры этих вопросов можно найти в работах [31-36]. В

проводящих корреляций в триплетные, происходя-

данной небольшой статье мы не можем претендовать

щая вследствие воздействия обменного поля ферро-

на полное освещение этой обширной и бурно разви-

магнетика на спины электронов в куперовской паре

вающейся области физики конденсированных сред.

[31-33]. При этом в СФ структурах с неоднородным

Вместо этого мы сосредоточимся на обзоре сравни-

распределением обменного поля триплетные корре-

тельно недавних работ, имеющих прямое отношение

ляции могут быть дальнодействующими, т.е. прони-

к исследованиям электродинамического отклика та-

кать вглубь феромагнетика на масштабы, существен-

ких структур, которые являются одним из эффек-

но превышающие масштабы проникновения обыч-

ных синглетных корреляций [37, 38]. Одним из уди-

¹⁾e-mail: melnikov@ipmras.ru

вительных свойств триплетных корреляций является

102

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость . . .

103

их необычный вклад в сверхпроводящий ток, кото-

Описанные выше электромагнитные явления яв-

рый является парамагнитным в отличие от диамаг-

ляются следствиями прямого эффекта близости в

нитного вклада от синглетных куперовских пар. В

СФ структурах, который связан с проникновением

результате упомянутое выше соотношение j_s(A) из-

куперовских пар из сверхпроводника в ферромаг-

меняется за счет присутствия неоднородных диамаг-

нетик. Вместе с тем эффект близости вызывает и

нитных и парамагнитных вкладов в величину λ^-2,

обратное явление - проникновение магнитного мо-

которая теперь становится зависящей от координат.

мента из ферромагнетика в сверхпроводник. Суще-

Заметим, что в грязном пределе материальная связь

ствуют два основных механизма возникновения маг-

j_s(A) остается локальной.

нетизма в сверхпроводнике. Первый связан со спи-

Большинство экспериментальных методов позво-

новой поляризацией электронов, образующих купе-

ровскую пару вблизи СФ границы (так называемый

ляет провести измерение лишь интегрального маг-

нитного отклика структуры. Данный отклик опре-

обратный эффект близости) [55-60]. Результирую-

щая намагниченность индуцируется в поверхност-

деляется эффективной глубиной проникновения маг-

нитного поля Λ, которая получается усреднением ло-

ном слое сверхпроводника шириной порядка разме-

ра куперовской пары, то есть корреляционной дли-

кального отклика по толщине слоистой структуры:

∫

ны ξ₀ ∼ 1-10 нм. Второй механизм является чисто

Λ^-1 =

λ^-2dx (x - координата поперек структу-

электромагнитным: прямой эффект близости воз-

ры) [39-42]. При температуре T , близкой к крити-

буждает сверхпроводящий ток, текущий внутри фер-

ческой температуре T_c, эффективная глубина про-

никновения магнитного поля Λ определяется сред-

ромагнитного слоя, и, как следствие, компенсирую-

щие мейсснеровские токи внутри сверхпроводника

ней плотностью синглетных 〈n_s〉 и триплетных 〈n_t〉

пар: Λ^-1 ∝ 〈n_s〉 - 〈n_t〉. Здесь угловые скобки озна-

(электромагнитный эффект близости) [61, 62]. Неко-

торые замечания, касающиеся возможности проте-

чают усреднение по толщине слоистой СФ струк-

туры. Поскольку поведение синглетных и триплет-

кания подобных экранирующих токов вне ферро-

магнетика были высказаны также ранее в работах

ных сверхпроводящих корреляций в ферромагне-

[63, 64]. Сверхпроводящие токи, индуцированные за

тике существенно отличается, локальная плотность

счет электромагнитного эффекта близости, являют-

сверхтока может стать локально парамагнитной в

ся источником магнитного поля в сверхпроводни-

тех местах, где триплетные корреляции преобладают

ке, которое спадает на масштабе порядка лондонов-

(〈n_s〉 < 〈n_t〉) [37, 43, 44]. При этом локальная смена

ской глубины λ. В сверхпроводниках второго рода

знака электродинамического отклика с диамагнит-

ного на парамагнитный очевидным образом приво-

этот масштаб существенно превышает ξ₀, что делает

электромагнитный эффект близости дальнодейству-

дит к подавлению диамагнетизма в интегральном от-

клике. Важно отметить, что при этом потеря устой-

ющим по сравнению с обратным эффектом близости.

При этом соотношение между величинами магнит-

чивости сверхпроводящего состояния, однородного в

плоскости слоев, не позволяет изменить знак полно-

ного поля, возникающего на СФ границе вследствие

двух описанных механизмов, существенно зависит от

го интегрального отклика: вместо такой смены зна-

природы магнетизма в Ф слое. Так, если рассматри-

ка происходит образование неоднородной сверхпро-

водящей фазы, аналогичной состоянию Ларкина-

вать модель, в которой магнитный момент ферромаг-

нетика обусловлен лишь электронами проводимости,

Овчинникова-Фульде-Феррелла (ЛОФФ) с модуля-

цией сверхпроводящего параметра порядка в плоско-

вклад от обратного эффекта близости может быть

существенным [65], тогда как для типичных ферро-

сти слоев структуры [45-47]. Подобная продольная

ЛОФФ неустойчивость в гибридных СФ структурах

магнетиков, в которых магнитный момент формиру-

ется преимущественно за счет взаимодействия спина

с неодносвязной геометрией (например, полый сверх-

электронов с локализованными моментами, электро-

проводящий цилиндр с ферромагнитной сердцеви-

магнитный эффект близости оказывается доминиру-

ной) приводит к формированию в них неоднород-

ющим [62].

ных вихревых состояний с различным значением ор-

битального момента и к фазовым переходам между

Экспериментально пространственное распределе-

такими состояниями [48-51]. Также ЛОФФ неустой-

ние магнитного поля в СФ структурах может быть

чивость может возникать в планарных гибридных

определено с помощью мюонной спиновой спектро-

структурах сверхпроводник-нормальный металл с

скопии [66-70] или экспериментов по рассеянию ней-

неравновесным распределением квазичастиц [52, 53],

тронов [71-75]. В ряде соответствующих работ бы-

которое, как известно, может приводить и к форми-

ло обнаружено, что магнитное поле в сверхпрово-

рованию π-контактов [54].

дящем слое проникает на длину, существенно пре-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

104

С. В. Миронов, А. В. Самохвалов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематическое изображение спонтанного магнитного поля, возникающего в бислое СФ из-за

электромагнитного эффекта близости, в случаях, когда интегральный сверхпроводящий ток в ферромагнетике: (а) -

диамагнитный; (b) - парамагнитный

вышающую все типичные сверхпроводящие корреля-

близости подавлен (граница между С и Ф слоями не

ционные длины, что может быть следствием элек-

прозрачна для электронов), то магнитное поле вне

тромагнитного эффекта близости. Важно отметить,

ферромагнитного слоя отсутствует.

что электромагнитный эффект близости возникает

Рассмотрим теперь более подробно случай разви-

даже в структурах, где в силу специального выбо-

того эффекта близости (граница между С и Ф слоя-

ра формы ферромагнетика при температурах вы-

ми прозрачна для электронов). Уравнение Максвел-

ше сверхпроводяшего фазового перехода отсутству-

ла для векторного потенциала внутри структуры мо-

ют поля рассеяния (например, в слоистых СФ струк-

жет быть записано в следующем общем виде:

турах с однородной намагниченностью в плоскости

4π

Ф слоя). Таким образом, электромагнитный эффект

rot rotA =

(j_s + j_m) ,

(2)

близости необходимо учитывать при проектировании

устройств сверхпроводящей спинтроники, в которых

где j_s - сверхпроводящий мейсснеровский ток, а j_m =

= crotM - ток намагниченности, текущий по грани-

возникающее магнитное поле может приводить к су-

щественной модификации рабочих режимов.

цам ферромагнетика. Будем предполагать, что тол-

щина сверхпроводника существенно больше лондо-

Дальнейшее описание нетривиальной электроди-

новской длины λ, в то время как толщина ферро-

намики СФ структур построено следующим образом.

магнетика d_f ≪ λ. Также для простоты ограничим-

В разделе 2 мы обсудим основные характеристики

ся детальным рассмотрением лишь случая локаль-

электродинамического эффекта близости. Раздел 3

ной связи j_s(A), характерной для систем в грязном

посвящен обсуждению проблемы парамагнитного от-

пределе:

клика и возникающей в результате неустойчивости

j_s(x) = -

(3)

типа ЛОФФ с модуляцией сверхпроводящего пара-

4π λ²(x)

метра порядка в плоскости слоев структуры. Раз-

где лондоновская длина зависит от координаты x

дел 4 является в некотором смысле объединяющим

поперек слоев (будем считать, что граница между

для рассмотренных типов явлений: в нем мы ана-

С и Ф слоями соответствует плоскости x = 0, при-

лизируем поведение электродинамического эффекта

чем Ф слой находится в области x

> 0). Отме-

близости вблизи порога ЛОФФ неустойчивости.

тим, что проникновение сверхпроводящих корреля-

2. Электромагнитный эффект близости

ций внутрь ферромагнетика приводит к тому, что в

в гибридных структурах сверхпроводник-

Ф слое λ^-2(x) = 0. Кроме того, из-за эффекта близо-

ферромагнетик. Простейшей физической систе-

сти возникает небольшое локальное изменение вели-

мой, в которой возникает электромагнитный эффект

чины λ^-2 вблизи границы между слоями со стороны

близости, является СФ бислой (см. рис. 1). Будем

сверхпроводника. Пространственный масштаб тако-

предполагать, что намагниченность M

= M₀e_z

го изменения имеет порядок сверхпроводящей длины

в ферромагнетике направлена вдоль межслоевой

когерентности ξ, при этом поправка к λ^-2 существен-

границы (вдоль оси z). При этом если эффект

но подавляется при уменьшении проводимости фер-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость . . .

105

ромагнетика по сравнению с проводимостью сверх-

ми магнитными моментами. В этом случае проник-

проводника. Данные обстоятельства позволяют пре-

новение куперовских пар в Ф слой сопровождается

небречь поправкой к λ^-2 внутри сверхпроводника и

генерацией дальнодействующих триплетных корре-

считать лондоновскую длину в С слое константой λ₀.

ляций, которые не чувствительны к обменному по-

В этом случае уравнение Максвелла (2) имеет реше-

лю и могут проникать вглубь ферромагнетика на

ние A_y(x) = A₀ exp(x/λ₀) внутри сверхпроводника и

расстояния, существенно превышающие длину коге-

A_y(x) = A₀+4πM₀x внутри ферромагнетика (при за-

рентности ξ_f . Для структур с толщиной внешнего

писи решения внутри Ф слоя мы учли, что d_f ≪ λ).

ферромагнитного слоя, существенно превышающей

Константу A₀ проще всего найти, проинтегрировав

ξ_f , возникновение дальнодействующих триплетных

уравнение (2) по толщине ферромагнетика с учетом

корреляций приводит к значительному усилению ин-

связи магнитного поля B с векторным потенциалом:

тегрального сверхпроводящего тока, текущего по Ф

B_z = ∂A_y/∂x. Предполагая, что внешнее магнитное

слою, что, в свою очередь, вызывает увеличение ам-

поле отсутствует, так что B_z(d_f ) = 0, получаем:

плитуды спонтанного магнитного поля в сверхпро-

водящем слое. В результате, спонтанное магнитное

d_f

∫

поле максимально для перпендикулярной взаимной

x^′dx^′

dx^′

B_z(0) = -4πM₀

-A₀

(4)

ориентации магнитных моментов в ферромагнитных

λ²(x^′)

слоях и минимально для параллельных. Микроско-

пические расчеты, выполненные в рамках теории

При этом из решения уравнения Максвелла внутри С

Узаделя для грязных сверхпроводников и теории Эй-

слоя следует, что A₀ = B_z(0)λ₀, поэтому второе сла-

ленбергера для чистых, полностью подтверждают

гаемое в правой части выражения (4) имеет порядок

приведенные качественные соображения [62].

(d_f /λ₀)B_z(0) ≪ B_z(0) и им можно пренебречь. Ито-

Остановимся теперь более подробно на спосо-

говое выражение для спонтанного магнитного поля,

бах экспериментального обнаружения электромаг-

возникающего в сверхпроводнике, приобретает вид:

нитного эффекта близости. Одними из наиболее ин-

B_z(x) = -4πM₀Q exp(x/λ₀),

(5)

формативных методов изучения спонтанных маг-

нитных полей в СФ структурах являются исследо-

∫_d

где Q =

λ^-2(x^′)x^′dx^′. Аккуратный вывод выра-

вания рассеяния спин-поляризованных нейтронов и

жения для Q может быть проделан в рамках микро-

мюонов. Преимуществом данных методик являет-

скопической теории (например, теории Узаделя для

ся возможность реконструкции зависимости магнит-

систем в грязном пределе) [61].

ного поля от координаты поперек СФ структуры.

Важной особенностью электромагнитного эф-

К настоящему моменту известно несколько экспе-

фекта близости является осцилляторная зависи-

риментальных работ (см., например, [67-69, 71-73]),

мость величины Q, определяющей возникающее

в которых наблюдалось возникновение дальнодей-

в сверхпроводнике магнитное поле, от толщины

ствующих магнитных полей в широком классе СФ

ферромагнитного слоя d_f . Данный эффект связан

структур: V/Fe, Au/Nb/ферромагнетик, Cu/Nb/Co,

с пространственными осцилляциями синглетной

YBaCuO/LaCaMnO и др. Масштаб спадания этого

и триплетной компонент сверхпроводящих кор-

магнитного поля вглубь сверхпроводника до 5 раз

реляций в ферромагнетике, которые приводят к

превышает длину когерентности в используемых ма-

знакопеременному профилю магнитного ядра λ^-2

териалах, что может свидетельствовать о доминиру-

в соотношении j_s(A). В результате направление

ющем электромагнитном эффекте близости в дан-

интегрального тока в ферромагнетике определя-

ных системах. Более того, в эксперименте [67] для

ется отношением его толщины к корреляционной

СФ системы с композитным ферромагнетиком, со-

длине ξ_f = (ℏD/h)^1/2 (D - коэффициент диффузии

стоящим из двух слоев с различным направлени-

в ферромагнетике, h - обменное поле) и может

ем магнитных моментов, было показано, что ампли-

быть как диамагнитным, так и парамагнитным.

туда возникающего в сверхпроводнике магнитного

Соответственно, индуцированное в сверхпроводнике

поля максимальна для перпендикулярной магнит-

магнитное поле может быть направлено как антипа-

ной конфигурации Ф слоя, что согласуется с опи-

раллельно, так и параллельно магнитному моменту

санными выше теоретическими расчетами [62]. Даль-

ферромагнетика (см. рис.1).

нейшие более детальные эксперименты по изучению

Интересно отметить, что электромагнитный эф-

профилей проникновения внешнего магнитного по-

фект близости существенно усиливается, если фер-

ля в структуры Cu/Nb и Cu/Nb/Co продемонстри-

ромагнетик состоит из двух слоев с неколлинеарны-

ровали существенное усиление мейсснеровских токов

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

106

С. В. Миронов, А. В. Самохвалов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

при наличии слоя Co, а также качественные разли-

ной слоя Ф₁ и корреляционной длиной ξ_f . В случае,

чия профилей магнитного поля в Cu/Co/Cu/Nb/Co

если толщина сверхпроводящего слоя меньше или по-

структурах в случаях параллельного и антипарал-

рядка λ, индуцированное магнитное поле проникает

лельного направления магнитных моментов в слоях

внутрь ферромагнетика Ф₂. При этом из-за наличия

кобальта, характерные для электромагнитного эф-

слагаемого ∝ B·M в выражении (6) магнитная энер-

фекта близости [69, 70].

гия системы начинает зависеть от взаимной ориента-

Электромагнитный эффект близости в СФ бисло-

ции намагниченности M₂ и поля, индуцированного

ях может также проявляться в транспортных изме-

ферромагнетиком Ф₁ в области слоя Ф₂. В резуль-

рениях, если толщина сверхпроводника меньше или

тате минимум энергии системы соответствует либо

сравнима с лондоновской длиной λ. В этом случае по

ферромагнитному, либо антиферромагнитному упо-

внешней границе сверхпроводящего слоя течет спон-

рядочению магнитных моментов в двух ферромаг-

танный ток, который может детектироваться раз-

нитных слоях. Конкретный тип упорядочения опре-

личными транспортными зондами. Так, при скани-

деляется толщинами Ф слоев. Так, например, в слу-

ровании внешней поверхности сверхпроводника нор-

чае диамагнитных сверхпроводящих токов, текущих

мальным (несверхпроводящим) зондом сканирующе-

внутри ферромагнитных слоев, выгодным оказыва-

го туннельного микроскопа может обнаружиться из-

ется антиферромагнитное упорядочение магнитных

менение локальной плотности состояний, связанное

моментов.

с доплеровским сдвигом в спектре квазичастиц из-за

Таким образом, электромагнитный эффект бли-

протекающего по поверхности структуры сверхпро-

зости в СФ структурах приводит к широкому набору

водящего тока. В случае же использования сверхпро-

магнитных и транспортных явлений, которые суще-

водящего зонда электромагнитный эффект близости

ственно модифицируют электродинамические свой-

может приводить к сдвигу фраунгоферовской зави-

ства таких систем. При этом нужно учитывать,

симости критического тока джозефсоновского кон-

что возникновение магнитного поля внутри сверх-

такта, образованного С слоем и зондом микроскопа,

проводника на значительных расстояниях от грани-

от внешнего магнитного поля [61, 62]. Величина сдви-

цы с ферромагнетиком, будучи интересным фунда-

га равна величине спонтанного магнитного поля на

ментальным явлением, может оказывать негативное

внешней границе сверхпроводника. При этом после-

влияние на работу ряда элементов сверхпроводящей

довательно прикладывая внешнее магнитное поле,

электроники и спинтроники. Традиционно подобные

направленное вдоль двух перпендикулярных направ-

элементы проектируются таким образом, чтобы ми-

лений в плоскости СФ системы, оказывается возмож-

нимизировать магнитные поля рассеяния, создава-

ным определить как модуль, так и направление спон-

емые ферромагнетиком в области сверхпроводника

танного поля.

(например, путем создания планарной структуры с

Наконец, магнитное поле, возникающее в СФ

намагниченностью в плоскости слоев). Однако, в

структурах из-за электромагнитного эффекта бли-

отличие от классического орбитального механизма

зости, может приводить к дальнодействующему вза-

влияния магнитного порядка на сверхпроводимость,

имодействию магнитных моментов двух ферромаг-

дальнодействующие токи и поля, индуцированные за

нитных слоев, разделенных слоем сверхпроводника

счет электромагнитного эффекта близости, не могут

толщиной порядка лондоновской длины λ. Свобод-

быть исключены простым выбором ориентации на-

ная энергия такой трехслойной Ф₁/С/Ф₂ системы

магниченности в ферромагнетике. Кроме того, вели-

имеет вид

чина и направление таких полей оказывается пре-

[

]

∫

дельно чувствительна к толщине ферромагнитных

(B - 4πM)

A²

F =

dx,

(6)

слоев, что усложняет задачу минимизации полей в

8π

8πλ²

области сверхпроводника.

где B(x) - магнитное поле внутри структуры, а

3. Парамагнитный вклад в электродина-

M(x) - зависимость намагниченности от координа-

мический отклик и ЛОФФ неустойчивость

ты поперек структуры: M = M₁ внутри слоя Ф₁,

в гибридных структурах сверхпроводник-

M = M2 внутри слоя Ф₂ и M = 0 в сверхпроводни-

ферромагнетик. Эффект Мейсснера - выталкива-

ке). Проникновение сверхпроводящих корреляций в

ние внешнего магнитного поля из объема образца -

ферромагнетик Ф₁ приводит к возникновению маг-

является одной из ключевых особенностей сверх-

нитного поля внутри сверхпроводника, направленно-

проводников. Физически данный эффект связан

го параллельно или антипараллельно намагниченно-

с необычным лондоновским соотношением (1), в

сти M₁ в зависимости от соотношения между толщи-

котором обратный квадрат лондоновской глубины

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость . . .

107

проникновения магнитного поля λ^-2 = 4πe²n_s/(mc²)

торного потенциала в направлении поперек струк-

определяется плотностью сверхпроводящих элек-

туры можно пренебречь, так что соответствующий

тронов n_s (m и e - масса и заряд электрона).

множитель в (8) может быть вынесен за знак инте-

При этом положительность величин n_s и m фик-

грала:

сирует диамагнитный характер мейсснеровского

(

)₂

Φ₀

e²

отклика сверхпроводников. Вместе с тем в мно-

F_A = A -

∇ϕ V

(〈n_s〉 - 〈n_t〉) ,

(9)

2π

2mc²

гослойных СФ структурах с эффектом близости

возникающая спин-триплетная компонента сверх-

где V = Sd0 - объем системы. Из (9) видно, что в

проводящего конденсата, имеющая плотность n_t,

случае 〈n_s〉 > 〈n_t〉 минимум свободной энергии соот-

вносит парамагнитный вклад в мейсснеровский

ветствует состоянию, в котором ϕ = const и A = 0.

отклик, и соотношение для лондоновской глубины

В то же время, если 〈n_s〉 < 〈n_t〉, то пространственно

модифицируется:

однородное сверхпроводящее состояние оказывается

4πe²(n_s - n_t)

неустойчивым относительно возникновения модуля-

λ^-2 =

(7)

ции фазы параметра порядка ϕ = kr_∥ в плоскости

mc²

СФ структуры (здесь r_∥ - радиус-вектор в плоско-

Для расчета величин n_s и n_t традиционно исполь-

зуются микроскопические подходы, основанные на

сти слоев СФ системы): состояние c k = 0 в отсут-

ствии магнитного поля обладает меньшей энергией

теории Узаделя (Эйленбергера) для систем в гряз-

ном (чистом) пределе. Данные расчеты показыва-

по сравнению с состоянием с k = 0. Результиру-

ющее неоднородное состояние аналогично состояни-

ют, что при уменьшении толщины сверхпроводяще-

ям ЛОФФ, предсказанным для тонких сверхпрово-

го слоя полный диамагнитный отклик СФ структу-

дящих пленок во внешнем параллельном магнитном

ры становится подавленным [37, 43, 44]. При этом

поле. В то время как классическое состояние ЛОФФ

в случае, когда проводимость ферромагнетика яв-

возникает из-за сильного зеемановского расщепле-

ляется достаточно большой, интегральный мейссне-

ния спиновых подзон в спектре электронов во внеш-

ровский ток, текущий вдоль слоев, может обратить-

ся в нуль. Вопрос о свойствах сверхпроводящего со-

нем магнитном поле, продольное состояние ЛОФФ в

СФ бислоях формируется под действием обменного

стояния, возникающего при дальнейшем уменьше-

нии толщины сверхпроводника, является нетриви-

поля в ферромагнетике на спины электронов, обра-

зующих куперовскую пару и проникающих в Ф слой

альным. Формальный расчет показывает, что в этом

вследствие эффекта близости.

случае 〈n_t〉 > 〈n_s〉, что, на первый взгляд, должно

Следует отметить, что продольные состояния

было бы означать смену знака мейсснеровского от-

ЛОФФ в СФ системах обладают рядом свойств, не

клика с диамагнитного на парамагнитный. Однако

характерных для классической фазы ЛОФФ в сверх-

нетрудно убедиться, что для структур, толщина ко-

проводящих пленках [45, 46]. Во-первых, модуляци-

торых много меньше λ, подобная смена знака невоз-

онная неустойчивость в СФ системах может воз-

можна [45]. Действительно, рассмотрим планарную

никать в грязном пределе, тогда как классическая

СФ систему площадью S (толщина структуры пред-

полагается много меньше ее латеральных размеров).

фаза ЛОФФ разрушается беспорядком. Во-вторых,

формирование неоднородных состояний в СФ си-

Пусть x - координата поперек слоев, а векторный

стемах может происходить при температурах, близ-

потенциал направлен в плоскости слоев. Тогда, рас-

ких к критической температуре T_c0 сверхпроводяще-

сматривая локальную плотность сверхпроводящего

го фазового перехода изолированной пленки сверх-

тока (1) с лондоновской глубиной (7) как вариацион-

проводника. Для реализации подобного “высокотем-

ную производную свободной энергии F_A по вектор-

пературного” перехода в состояние ЛОФФ может

ному потенциалу j_s = -c δF_A/δA, мы можем восста-

новить вид части функционала свободной энергии,

использоваться, например, СФ система, в которой

слой ферромагнетика покрыт слоем нормального ме-

зависящей от векторного потенциала. Вводя фазу

ϕ сверхпроводящего параметра порядка, мы можем

талла (Н), причем проводимость ферромагнетика в

нормальном состоянии много меньше проводимости

записать эту часть функционала в калибровочно-

сверхпроводника, а у нормального металла - много

инвариантном виде:

∫

(

)₂

больше. В этом случае подбором толщины Ф слоя

e²

(n_s - n_t)

Φ₀

F_A = S

A-

∇ϕ dx,

(8)

можно добиться доминирования триплетных корре-

2mc²

2π

ляций на ФН границе, которое сохраняется также во

где Φ₀ - квант магнитного потока. Для СФ структур

всем объеме нормального металла, обеспечивая усло-

с толщиной d₀ много меньше λ неоднородностью век-

вие 〈n_s〉 < 〈n_t〉 и возникновение продольной фазы

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

108

С. В. Миронов, А. В. Самохвалов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

ЛОФФ. При этом из-за малой проводимости фер-

ромагнетика подавление критической температуры

сверхпроводника из-за эффекта близости оказывает-

ся незначительным.

Другой существенной особенностью состояний

ЛОФФ в СФ и СФН системах является возмож-

ность фазового перехода между однородным сверх-

проводящим состоянием и состоянием ЛОФФ при

понижении температуры. В результате, на фазо-

вой диаграмме системы в плоскости параметров

температура-обменное поле область, соответствую-

щая фазе ЛОФФ, может оказаться изолированной от

области, соответствующей нормальному состоянию.

Подобная фазовая диаграмма не характерна для ра-

нее изучаемых систем, где возможна ЛОФФ неустой-

чивость. Возможность перехода в фазу ЛОФФ из од-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Схематическое изобра-

нородного сверхпроводящего состояния может быть

жение типичной фазовой диаграммы структуры

проиллюстрирована следующим образом. Для про-

сверхпроводник-ферромагнетик в области параметров,

стоты ограничимся интервалом температур T, близ-

соответствующей возникновению фазы ЛОФФ. Пунк-

ких к критической температуре сверхпроводяще-

тирные линии показывают пример толщин ферромаг-

го перехода T_c, где параметр экранировки Λ-1 =

∫

нетика, при которых изменение температуры приводит

λ^-2dx может быть разложен по степеням ма-

к фазовому переходу в состояние ЛОФФ

лого параметра τ = (T_c - T )/T_c: Λ^-1 = χτ + ντ²,

где коэффициенты χ и ν не зависят от температуры.

Для изолированной сверхпроводящей пленки в моде-

нитного поля незначительно. Во-вторых, эти состо-

ли Бардина-Купера-Шриффера χ > 0 и ν < 0. Од-

яния очень чувствительны к беспорядку, который,

нако обменное поле в СФ структурах модифицирует

как правило, довольно сильный как в пленках, так

эти коэффициенты, и для систем с высокой прово-

и в слоистых сверхпроводниках. В результате воз-

димостью ферромагнитного слоя и малой толщиной

никновение фазы ЛОФФ было убедительно проде-

сверхпроводника коэффициент χ оказывается силь-

монстрировано лишь недавно для узкого класса ква-

но подавленным и может даже обратиться в нуль.

зидвумерных органических сверхпроводников. Вме-

В последнем случае состояние ЛОФФ возникает при

сте с тем, ожидается, что трехслойные гибридные си-

T = T_c на фоне нормального состояния путем фазо-

стемы СФН с параметрами, характерными для экс-

вого перехода второго рода. При этом коэффициент

периментов по изучению эффекта близости, позво-

ν должен оставаться отрицательным, что отражает

лят реализовать неустойчивость ЛОФФ при темпе-

факт уменьшения числа квазичастиц с понижением

ратуре порядка нескольких кельвин. Толщина фер-

температуры. В результате, если χ > 0 и |ν| ≫ χ, то

ромагнитного слоя должна быть подобрана таким

фазовый переход в состояние ЛОФФ происходит при

образом, чтобы на ФН границе спин-триплетные кор-

температуре T_F /T_c = 1 - χ/ |ν| ниже T_c. Типичный

реляции доминировали над спин-синглетными. При

вид фазовой диаграммы системы схематично пока-

этом нормальный металл в таких структурах должен

зан на рис.2.

иметь большую проводимость по сравнению с прово-

Неустойчивость однородного состояния в СФ си-

димостью сверхпроводника в нормальном состоянии

стемах открывает новые перспективы по обнару-

для усиления вклада триплетных корреляций в ин-

жению фазы ЛОФФ в твердотельных структурах.

тегральный мейсснеровский отклик. В эксперимен-

Несмотря на то, что впервые эти состояния бы-

тах переключения между однородными состояниями

ли предсказаны больше 50 лет назад для тонких

и состоянием ЛОФФ могут управляться изменением

пленок сверхпроводников, помещенных в продоль-

температуры, а наиболее простым критерием пере-

ное магнитное поле, их экспериментальная реализа-

хода является обращение в нуль интегрального мейс-

ция оказалась экстремально сложной задачей. Во-

снеровского отклика структуры на внешнее магнит-

первых, для возникновения состояний ЛОФФ тре-

ное поле, направленное вдоль слоев.

буются пленки очень малой толщины или слоистые

4. Электромагнитный эффект близости

соединения, в которых орбитальное влияние маг-

вблизи ЛОФФ неустойчивости. Электромагнит-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость . . .

109

ный эффект близости в слоистых СФ структурах,

токов по сравнению с пороговыми токами входа вих-

рассмотренный выше, может быть существенно

рей в бислой. Выбор между вихревым и безвихревым

усилен вблизи фазового перехода в продольное

решением в этом случае может быть сделан толь-

состояние ЛОФФ с модуляцией сверхпроводящего

ко путем рассмотрения нелинейной задачи, в рам-

параметра порядка в плоскости слоев. Чтобы про-

ках которой может быть установлена возможность

демонстрировать это усиление, запишем уравнение

существования безвихревых фаз Фульде-Феррелла

для компоненты векторного потенциала, которая

[76-78], которые могут при смене калибровки харак-

параллельна плоскости слоев и перпендикулярна

теризоваться лишь фазовой модуляцией параметра

намагниченности (см. рис. 1):

порядка. Наличие ненулевой правой части в уравне-

нии (11) существенно меняет решение, поскольку де-

∂

4π

лает возможным генерацию спонтанных токов и без

A_y =

(j_s + j_M ),

(10)

∂x²

достижения критерия ЛОФФ неустойчивости. Ины-

ми словами, наличие источника в приведенном выше

где js = -[ns(x) - nt(x)]e2Ay(x)/(mc) - y-компо-

уравнении Шредингера приводит к появлению нену-

нента сверхпроводящего тока, j_M = -c∂M_z/∂x - y-

левого решения уравнения и без условия наличия ну-

компонента тока намагниченности (M_z = M внут-

левого собственного значения у гамильтониана

Ĥ.В

ри Ф слоя). Здесь мы выбираем материальную связь

простейшем варианте решение может быть найдено

сверхтекучего тока и векторного потенциала в про-

в рамках теории возмущений: A = a₀ + a₁, где реше-

стейшем локальном виде, который может соответ-

ние нулевого приближения a₀ может быть выбрано

ствовать, например, грязному пределу. Условие от-

константой, не зависящей от x, а поправка первого

сутствия приложенного магнитного поля дает нам

порядка a₁ удовлетворяет уравнению:

граничные условия на внешних поверхностях - гра-

ницах слоистой структуры: ∂A_y/∂x(x = d_F ) = 0 и

∂²

4π(n_s - n_t)e²

16π²(n_s - n_t)e²Mh(x)

a₁+

a₀ = -

∂A_y/∂x(x = -d_s) = 0. Выполняя замену функции

∂x²

mc²

(13)

A_y = A + 4πMh(x), где h(x) = x внутри Ф слоя,

h(x) = d_F при x > d_F и h(x) = 0 при x < 0, мы

Условие существования решения при упомянутых

выше граничных условиях дает нам условие на a₀,

получаем уравнение, справедливое на всей оси x:

которое получается просто интегрированием приве-

∂²A

4π(n_s - n_t)e

16π²(n_s - n_t)e²Mh(x)

денного выше уравнения:

A=-

∫

∂x²

mc²

(n_s - n_t)h(x)dx

(11)

a₀ = -4πM

(14)

Полученное уравнение имеет вид неоднородного

∫ (n_s - n_t)dx

уравнения Шредингера с нулевой энергией и ну-

Здесь интеграл в числителе взят по области Ф слоя,

левыми граничными условиями на производную

а в знаменателе - по всей структуре. Приближение

функции A(x) на внешних границах структуры. В

к переходу в фазу ЛОФФ сопровождается уменьше-

отсутствие источника в правой части (11), который

нием интеграла в знаменателе, что приводит нас к

по сути отвечает за электромагнитный эффект бли-

заключению о резком росте спонтанных токов вбли-

зости, ненулевое решение уравнения (11) существует

зи этого перехода. Таким образом, наблюдение уси-

лишь в том случае, если оператор Гамильтона

ления электромагнитного эффекта близости может

рассматриваться как еще один тест на приближение

∂

4π(n_s - n_t)e²

Ĥ= -

(12)

системы к состоянию ЛОФФ.

∂x²

mc²

5. Заключение. В целом можно сказать, что эф-

имеет нулевое собственное значение. Ясно, что такая

фект близости в гибридных структурах сверхпровод-

ситуация может реализоваться лишь при достаточ-

ник-ферромагнетик может весьма существенно по-

но большой концентрации триплетных пар n_t. Появ-

влиять на их электродинамические свойства. Соот-

ление упомянутого нулевого собственного значения

ветствующие изменения в электродинамическом от-

у оператора

Ĥ приведет к потере устойчивости ос-

клике необходимо принимать во внимание как при

новного состояния бислоя относительно появления

интерпретации экспериментальных данных, так и

спонтанных токов в плоскости слоев, то есть част-

при разработке различных устройств сверхпроводя-

ному случаю развитию неустойчивости типа ЛОФФ.

щей спинтроники. Хорошим примером, иллюстриру-

Наличие или отсутствие модуляции абсолютной ве-

ющим важную роль новых электродинамических эф-

личины параметра порядка в плоскости слоев будет

фектов, стали экспериментальные работы по изме-

определяться в этой ситуации величиной спонтанных

рению распределения магнитного поля в СФ струк-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

110

С. В. Миронов, А. В. Самохвалов, А. И. Буздин, А. С. Мельников

турах мюонным методом [69, 70]. На наш взгляд,

19.

R. J. Kinsey, G. Burnell, and M. G. Blamire, IEEE

эти работы уверенно продемонстрировали роль элек-

Trans. Appl. Supercond. 11, 904 (2001).

тромагнитного эффекта близости. Что касается пер-

20.

J. Y. Gu, C.-Y. You, J. S. Jiang, J. Pearson,

спектив обнаружения состояния ЛОФФ в гибридных

Ya. B. Bazaliy, and S. D. Bader, Phys. Rev. Lett. 89,

267001 (2002).

структурах, мы надеемся, что полученные нами тео-

ретические результаты стимулируют новые экспери-

21.

Ya. V. Fominov, A. A. Golubov, and M. Yu. Kupriyanov,

JETP Lett. 77, 510 (2003).

менты в этом интересном направлении.

22.

A. Buzdin and M. Daumens, Europhys. Lett. 64, 510

Работы нашего коллектива были поддержаны

(2003).

проектом Российского научного фонда # 15-12-10020

23.

A. Potenza and C. H. Marrows, Phys. Rev. B 71, 180503

(разделы 2 и 3), а также проектом # 20-12-00053

(2005).

(раздел 4). С. В. Миронов также благодарит за фи-

24.

K. Westerholt, D. Sprungmann, H. Zabel, R. Brucas,

нансовую поддержку Фонд развития теоретической

B. Hjörvarsson, D. A. Tikhonov, and I. A. Garifullin,

физики и математики БАЗИС (проект 18-1-3-58-1)

Phys. Rev. Lett. 95, 097003 (2005).

и программу Стипендий Президента РФ (проект

25.

S. Tollis, M. Daumens, and A. Buzdin, Phys. Rev. B 71,

СП-3938.2018.5).

024510 (2005).

26.

P. V. Leksin, R. I. Salikhov, I. A. Garifullin,

H. Vinzelberg, V. Kataev, R. Klingeler, L. R. Tagirov,

M. Eschrig, Rep. Prog. Phys. 78, 104501 (2015).

and B. Büchner, JETP Lett. 90, 59 (2009).

J. Linder and J. W. A. Robinson, Nat. Phys. 11, 307

(2015).

27.

X. Montiel, D. Gusakova, M. Daumens, and A. Buzdin,

Europhys. Lett. 86, 67002 (2009).

L. N. Bulaevskii, V. V. Kuzii, and A. A. Sobyanin,

Pis’ma v ZhETF 25, 314 (1977) [JETP Lett. 25, 290

28.

Ya. V. Fominov, A. A. Golubov, T. Yu. Karminskaya,

(1977)].

M. Yu. Kupriyanov, R. G. Deminov, and L. R. Tagirov,

A.I. Buzdin, L. N. Bulaevskii, and S. V. Panyukov,

JETP Lett. 91, 308 (2010).

Pis’ma v ZhETF 35, 147 (1982) [JETP Lett. 35, 178

29.

P. V. Leksin, N. N. Garif’yanov, I. A. Garifullin,

(1982)].

J. Schumann, V. Kataev, O. G. Schmidt, and

А.И. Буздин, М. Ю. Куприянов, Письма в ЖЭТФ

B. Büchner, Phys. Rev. B 85, 024502 (2012).

53, 308 (1991).

30.

V. I. Zdravkov, J. Kehrle, G. Obermeier, D. Lenk,

V.V. Ryazanov, V. Oboznov, A. Rusanov,

H.-A. Krug von Nidda, C. Müller, M. Yu. Kupriyanov,

A. Veretennikov, A. Golubov, and J. Aarts, Phys.

A. S. Sidorenko, S. Horn, R. Tidecks, and L. R. Tagirov,

Rev. Lett. 86, 2427 (2001).

Phys. Rev. B 87, 144507 (2013).

V.V. Ryazanov, V.A. Oboznov, A.V. Veretennikov,

31.

A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

and A. Yu. Rusanov, Phys. Rev. B 65,

020501(R)

32.

A. A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, and E. Ilichev, Rev.

(2001).

Mod. Phys. 76, 411 (2004).

T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, F. Genêt, B. Stephani-

33.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Rev.

dis, and R. Boursier, Phys. Rev. Lett. 89, 137007 (2002).

Mod. Phys. 77, 1321 (2005).

V.A. Oboznov, V. V. Bol’ginov, A. K. Feofanov,

34.

В. В. Рязанов, В. А. Обознов, В. В. Больгинов,

V.V. Ryazanov, and A. I. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 96,

А. С. Прокофьев, А.К. Феофанов, УФН 174, 795

197003 (2006).

(2004).

10.

J. S. Jiang, D. Davidović, D. H. Reich, and C. L. Chien,

35.

Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Прошин, М. Хусаинов, УФН

Phys. Rev. Lett. 74, 314 (1995).

172, 113 (2002).

11.

V. Zdravkov, A. Sidorenko, G. Obermeier, S. Gsell,

36.

I. A. Garifullin, Письма в ЖЭТФ 93, 674 (2011).

M. Schreck, C. Müller, S. Horn, R. Tidecks, and

L. R. Tagirov, Phys. Rev. Lett. 97, 057004 (2006).

37.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys.

Rev. B 64, 134506 (2001).

12.

A. Buzdin, Phys. Rev. B 62, 11377 (2000).

38.

A. Kadigrobov, R. I. Shekhter, and M. Jonson,

13.

T. Kontos, M. Aprili, J. Lesueur, and X. Grison, Phys.

Europhys. Lett. 54, 394 (2001).

Rev. Lett. 86, 304 (2001).

14.

V. Braude and Y. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 98,

39.

S. J. Turneaure, E. R. Ulm, and T. R. Lemberger,

077003 (2007).

J. Appl. Phys. 79, 4221 (1996).

15.

A. Cottet, Phys. Rev. Lett. 107, 177001 (2011).

40.

S. J. Turneaure, A. A. Pesetski, and T. R. Lemberger,

16.

S. Oh, D. Youm, and M. R. Beasley, Appl. Phys. Lett.

J. Appl. Phys. 83, 4334 (1998).

71, 2376 (1997).

41.

T. R. Lemberger, I. Hetel, A. J. Hauser, and F. Y. Yang,

17.

L. R. Tagirov, Phys. Rev. Lett. 83, 2058 (1999).

J. Appl. Phys. 103, 07C701 (2008).

18.

A.I. Buzdin, A. V. Vedyayev, and N. V. Ryzhanova,

42.

M. J. Hinton, S. Steers, B. Peters, F. Y. Yang, and

Europhys. Lett. 48, 686 (1999).

T. R. Lemberger, Phys. Rev. B 94, 014518 (2016).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021

Электромагнитный эффект близости и ЛОФФ неустойчивость . . .

111

43.

Y. Asano, A. A. Golubov, Y.V. Fominov, and

65.

A. F. Volkov, F. S. Bergeret, and K. B. Efetov, Phys.

Y. Tanaka, Phys. Rev. Lett. 107, 087001 (2011).

Rev. B 99, 144506 (2019).

44.

T. Yokoyama, Y. Tanaka, and N. Nagaosa, Phys. Rev.

66.

A. Di Bernardo, Z. Salman, X. L. Wang, M. Amado,

Lett. 106, 246601 (2011).

M. Egilmez, M. G. Flokstra, A. Suter, S. L. Lee,

45.

S. Mironov, A. Mel’nikov, and A. Buzdin, Phys. Rev.

J. H. Zhao, T. Prokscha, E. Morenzoni, M. G. Blamire,

Lett. 109, 237002 (2012).

J. Linder, and J. W. A. Robinson, Phys. Rev. X 5,

041021 (2015).

46.

S. V. Mironov, D.Yu. Vodolazov, Y. Yerin,

A.V. Samokhvalov, A.S. Mel’nikov, and A. Buzdin,

67.

M. G. Flokstra, N. Satchell, J. Kim, G. Burnell et al.

Phys. Rev. Lett. 121, 077002 (2018).

(Collaboration), Nature Phys. 12, 57 (2016).

47.

А.В. Самохвалов, Физика твердого тела 59, 2123

68.

M. G. Flokstra, R. Stewart, N. Satchell, G. Burnell,

(2017).

H. Luetkens, T. Prokscha, A. Suter, E. Morenzoni,

48.

A.V. Samokhvalov, A. S. Mel’nikov, and A. I. Buzdin,

S. Langridge, and S. L. Lee, Phys. Rev. Lett. 120,

247001 (2018).

Phys. Rev. B 76, 184519 (2007).

69.

M. G. Flokstra, R. Stewart, N. Satchell, G. Burnell,

49.

A.V. Samokhvalov, A. S. Mel’nikov, J.-P. Ader, and

H. Luetkens, T. Prokscha, A. Suter, E. Morenzoni,

A.I. Buzdin, Phys. Rev. B 79, 174502 (2009).

S. Langridge, and S.L. Lee, Appl. Phys. Lett. 115,

50.

А.В. Самохвалов, ЖЭТФ 152, 350 (2017).

072602 (2019).

51.

A.V. Samokhvalov, J. W. A. Robinson, and

70.

R. Stewart, M. G. Flokstra, M. Rogers, N. Satchell,

A.I. Buzdin, Phys. Rev. B 100, 014509 (2019).

G. Burnell, D. Miller, H. Luetkens, T. Prokscha,

52.

A. Moor, A. F. Volkov, and K.B. Efetov, Phys. Rev. B

A. Suter, E. Morenzoni, and S. L. Lee, Phys. Rev. B

80, 054516 (2009).

100, 020505(R) (2019).

53.

I. V. Bobkova and A.M. Bobkov, Phys. Rev. B 88,

71.

J. Stahn, J. Chakhalian, Ch. Niedermayer, J. Hoppler,

174502 (2013).

T. Gutberlet, J. Voigt, F. Treubel, H.-U. Habermeier,

54.

J. J. A. Baselmans, A. F. Morpurgo, B. J. van Wees, and

G. Cristiani, B. Keimer, and C. Bernhard, Phys. Rev.

T. M. Klapwijk, Nature 397, 43 (1999).

B 71, 140509(R) (2005).

55.

V.N. Krivoruchko and E. A. Koshina, Phys. Rev. B 66,

72.

Yu. N. Khaydukov, B. Nagy, J.-H. Kim, T. Keller,

014521 (2002).

A. Rühm, Yu.V. Nikitenko, K. N. Zhernenkov, J. Stahn,

56.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov, Phys.

L. F. Kiss, A. Csik, L. Bottyán, and V. L. Aksenov,

Rev. B 69, 174504 (2004).

ZhETF 98, 107 (2013).

57.

F. S. Bergeret, A. Levy Yeyati, and A. Mart´ın-Rodero,

73.

J. Hoppler, J. Stahn, Ch. Niedermayer, V. K. Malik,

Phys. Rev. B 72, 064524 (2005).

H. Bouyanfif, A. J. Drew, M. Rössle, A. Buzdin,

58.

T. Löfwander, T. Champel, J. Durst, and M. Eschrig,

G. Cristiani, H.-U. Habermeier, B. Keimer, and

Phys. Rev. Lett. 95, 187003 (2005).

C. Bernhard, Nature Mater. 8, 315 (2009).

59.

M. Faure, A. Buzdin, and D. Gusakova, Physica C 454,

74.

B. Nagy, Yu. Khaydukov, D. Efremov, A. S. Vasenko,

61 (2007).

L. Mustafa, J.-H. Kim, T. Keller, K. Zhernenkov,

60.

R.I. Salikhov, I. A. Garifullin, N. N. Garif’yanov,

A. Devishvili, R. Steitz, B. Keimer, and L. Bottyrán,

L. R. Tagirov, K. Theis-Bröhl, K. Westerholt, and H.

Europhys. Lett. 116, 17005 (2016).

Zabel, Phys. Rev. Lett. 102, 087003 (2009).

75.

G. A. Ovsyannikov, V. V. Demidov, Yu. N. Khaydukov,

61.

S. Mironov, A. S. Mel’nikov, and A. Buzdin, Appl. Phys.

L. Mustafa, K. Y. Constantinian, A. V. Kalabukhov, and

Lett. 113, 022601 (2018).

D. Winkler, JETP 122, 738 (2016).

62.

Zh. Devizorova, S. V. Mironov, A. S. Mel’nikov, and

76.

K. V. Samokhin and B. P. Truong, Phys. Rev. B 96,

A. Buzdin, Phys. Rev. B 99, 104519 (2019).

214501 (2017).

63.

F. S. Bergeret, A. F. Volkov, and K. B. Efetov,

77.

P. M. Marychev and D. Yu. Vodolazov, Phys. Rev. B 98,

Europhys. Lett. 66, 111 (2004).

214510 (2018).

64.

M. Krawiec, B. L. Gyorffy, and J. F. Annett, Phys. Rev.

78.

V. D. Plastovets and D. Yu. Vodolazov, Phys. Rev. B

B 66, 172505 (2002).

101, 184513 (2020).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 1 - 2

2021