Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 11, с. 740 - 750

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных

электронных системах

(Миниобзор)

А. М. Зарезин^+∗1), П. А. Гусихин⁺, И. В. Андреев⁺, В. М. Муравьев⁺, И. В. Кукушкин⁺

⁺Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), 141701 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 29 апреля 2021 г.

После переработки 30 апреля 2021 г.

Принята к публикации 30 апреля 2021 г.

Дан обзор последних достижений в исследовании физических свойств плазменных возбуждений

в частично экранированных металлическими электродами двумерных электронных системах на базе

гетероструктур AlGaAs/GaAs. Установлено, что в таких системах возбуждается особый тип двумер-

ных плазменных волн - проксимити плазмон (proximity plasmon). Экспериментально установлено, что

плазменные волны данного семейства обладают целым рядом новых физических свойств. Во-первых,

оказалось, что дисперсия частично экранированных плазмонов сочетает характерные черты как экра-

нированного, так и неэкранированного двумерных плазмонов. Во-вторых, у обнаруженной проксимити

моды отсутствует краевая ветвь в магнитодисперсии. Наконец, оказалось, что в случае если затвор

соединен с двумерной системой внешней цепью, то в системе возбуждается “заряженная” релятивист-

ская плазменная мода с целым рядом уникальных свойств. Полученные новые результаты расширяют

горизонт возможных приложений плазмоники в области СВЧ и терагерцовой электроники.

DOI: 10.31857/S1234567821110069

Введение. Центральным вопросом физики низ-

двумерных плазмонов регулируется в широких пре-

коразмерных электронных систем является изуче-

делах путем изменения 2D электронной концентра-

ние одночастичных и коллективных элементарных

ции или приложения внешнего магнитного поля.

возбуждений системы. Одним из основных типов

Во-вторых, заряды в двумерном слое не способны

коллективных возбуждений двумерной электронной

эффективно экранировать трехмерное поле падаю-

системы (ДЭС) является волна зарядовой плотно-

щей на ДЭС электромагнитной волны. Это приводит

сти - плазмон. Плазменные возбуждения в двумер-

к сильной гибридизации света с двумерной плазмой

ных электронных системах интенсивно изучаются

и образованию новых элементарных возбуждений -

уже более полувека [1-10]. Отчасти такой интерес

плазмонных поляритонов [1, 11]. В-третьих, на свой-

связан с множеством уникальных свойств, отлича-

ства 2D плазмонов оказывает значительное влияние

ющих двумерные (2D) плазмоны от их трехмерных

окружение ДЭС. Это вызвано тем, что двумерные

аналогов. Во-первых, спектр двумерных плазмонов

системы в большинстве случаев образуются на ге-

имеет бесщелевой корневой характер

тероинтерфейсе, который располагается вблизи по-

√

верхности полупроводниковой подложки. Например,

n_se

ω_p

наличие экранирующего электрода на поверхности

ω_p(q) =

q≫

(1)

2m^∗ε₀ε(q)

подложки существенно изменяет спектр двумерных

плазменных волн, приводя к его линеаризации [12]

где n_s - концентрация двумерных электронов, m^∗ -

√

их эффективная масса, q - волновой вектор 2D плаз-

n_se²h

мона, ε(q) - диэлектрическая проницаемость окру-

ω_AP =

qh ≪ 1,

(2)

m^∗ε₀ε

жения ДЭС. Данный спектральный закон обуслов-

лен особенностью кулоновского взаимодействия в

где h - расстояние от ДЭС до бесконечного в ла-

двумерных системах. При этом, в отличие от плаз-

теральном направлении проводящего затвора, а ε -

менных волн в трехмерных материалах, скорость

диэлектрическая проницаемость полупроводниково-

¹⁾e-mail: zarezin.am@phystech.edu

го кристалла между ДЭС и затвором.

740

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных электронных системах. . .

741

Долгое время плазменные возбуждения в частич-

монных компонентов в СВЧ и терагерцовой электро-

но экранированной ДЭС оставались слабо изучен-

нике.

ными. Предпринималось достаточно много попыток

Образцы и экспериментальная методика.

описать плазменные волны в такой системе на осно-

Эксперименты проводились на высококачественных

вании взаимодействия плазмонов от участков ДЭС

GaAs/AlGaAs гетероструктурах, выращенных с по-

без затвора с экранированными 2D плазмонами, ло-

мощью метода молекулярно-пучковой эпитаксии на

кализованными в подзатворной области. При этом

нелегированной GaAs подложке, с квантовой ямой

в подавляющем большинстве случаев электрическое

шириной 30 нм. Характерные значения концентра-

поле электромагнитной волны, возбуждающей 2D

ции двумерных электронов и их подвижности для

плазменные волны, было направлено поперек поло-

разных структур составляли n_s

= (1.0 - 3.3) ×

сок металлического затвора [13-19].

× 10¹¹ см^-2 и µ = (1 - 4) × 106 см2/(В · с), соот-

Данный подход имел целый ряд ограничений, что

ветственно (T = 4.2 К). Для возбуждения плазмен-

привело к тому, что было упущено новое семейство

ных колебаний сверхвысокочастотное (СВЧ) излу-

плазменных мод индуцированных близким металли-

чение в частотном диапазоне от 0.1 до 60 ГГц под-

ческим затвором - проксимити плазмоны (proximity

водилось к образцу либо по согласованной коакси-

plasmons). Оказалось, что если рассмотреть одиноч-

альной линии, либо по волноводному тракту. Для

ный металлический затвор в форме полоски с ши-

детектирования резонансного разогрева ДЭС ис-

риной W , расположенный на поверхности подлож-

пользовалась уникальная оптическая методика [27,

ки на расстоянии h от бесконечной ДЭС, то вдоль

28]. Оптическая методика была основана на высо-

него может распространяться проксимити плазмен-

кой чувствительности спектров люминесценции дву-

ная волна. Проксимити плазмоны обладают целым

мерных электронов к нагреву ДЭС. Излучение от

рядом уникальных физических свойств. В частности,

полупроводникового лазера с длиной волны λ

их дисперсия сочетает характерные черты как экра-

= 780 нм через оптоволокно подводилось непосред-

√

нированного (ω_pr ∝

h), так и неэкранированного

ственно к образцу с ДЭС. Затем спектр рекомби-

(ω_pr ∝

√q) двумерных плазмонов [20, 21]:

национной фотолюминесценции электронов и ды-

√

рок собирался с помощью того же оптического во-

2n_se²h q

локна и поступал на вход спектрометра со встро-

ω_pr(q) =

(qW ≪ 1).

(3)

m^∗ε₀ε W

енной CCD (charge-coupled device) камерой. Спек-

тры люминесценции при подаче СВЧ сигнала и

Вторым важным свойством проксимити плазмо-

без него записывались и вычитались друг из дру-

нов является то, что в присутствии магнитного поля

га. В полученном таким образом дифференциаль-

у них отсутствует краевая мода, а сама магнитодис-√

ном спектре выбирался некоторый диапазон, инте-

персия определяется формулой ω(B) = ω^2pr + ω^2c,

грал по которому служил мерой разогрева ДЭС.

где ωc = eB/m∗ - циклотронная частота. Данное

Важным преимуществом оптического метода детек-

свойство объясняется тем, что проксимити плазмен-

тирования плазменных резонансов является то, что

ная мода наблюдается в ДЭС с номинально бесконеч-

для его реализации не нужно наносить на поверх-

ным латеральным размером, поэтому краевые эф-

ность образца вспомогательные электроды, нали-

фекты пренебрежимо малы. Важно заметить, что

чие которых неизбежно приводит к модификации

геометрия AlGaAs/GaAs структуры, в которой на-

свойств плазмонов. Все измерения проводились в

блюдаются проксимити плазмоны, полностью иден-

криостате со сверхпроводящим соленоидом, позво-

тична транзистору с высокой подвижностью элек-

лявшим создавать магнитное поле до 7 Тл. В боль-

тронов (HEMT - high electron mobility transistor). При

шинстве экспериментов температура образца состав-

этом для типичных параметров HEMT транзисто-

ляла 4.2 K.

ров: длина затвора L = 10 мкм, W = h = 0.2 мкм

Проксимити плазменные возбуждения в

и n_s = 1012 см^-2 частота проксимити плазмона f_pr ≈

геометрии полоски. Долгое время считалось, что

≈ 0.7 ТГц. Резонансное возбуждение плазменных

в частично экранированной ДЭС будут наблюдать-

волн является эффективным механизмом преобразо-

ся экранированные плазменные возбуждения. Од-

вания электромагнитного излучения в сигнал фото-

нако в результате экспериментальных и теоретиче-

отклика транзисторной структуры [22-26]. Таким об-

ских исследований было обнаружено, что в частич-

разом, прогресс в изучении физических свойств 2D

но экранированной ДЭС возбуждается особое се-

плазменных возбуждений может привести к значи-

мейство проксимити плазменных возбуждений, ко-

тельному прогрессу в разработке практических плаз-

торое физически отлично по свойствам и от полно-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

742

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, И. В. Андреев, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

стью экранированных, и от неэкранированных плаз-

ла ns = 2.4 × 1011 см-2, подвижность - µ = 4 ×

монов [20, 21, 29, 30].

× 10⁶ см²/(В ·с) при температуре T = 4.2 К.

В экспериментах по обнаружению нового семей-

На рисунке 1 показаны типичные кривые интен-

ства проксимити плазменных мод был исследован

сивности микроволнового поглощения в образце в за-

образец, представляющий собой ДЭС прямоуголь-

висимости от магнитного поля для указанных час-

ной формы (вставка к рис. 1). В центре мезы был

тот. На графиках видны симметричные по магнит-

ному полю резонансные пики. С увеличением час-

тоты количество наблюдаемых пиков увеличивается,

и они сдвигаются в сторону больших значений маг-

нитного поля. Красной стрелкой на графиках отме-

чен резонанс, соответствующий нижайшей по часто-

те моде. Стоит отметить, что данные возбуждения

находятся существенно ниже по частоте, чем полно-

стью экранированный плазмон (2) с волновым век-

тором q = π/W.

На рисунке 2a показаны полученные из спек-

тров поглощения зависимости резонансной часто-

ты от магнитного поля для наблюдаемых плазмен-

ных мод. Сплошными кружками показаны четы-

ре ветви новых плазменных возбуждений, демон-

стрирующие стандартную магнитополевую зависи-

√

мость ω(B) = ω^2pr + ω^2c. Стоит обратить внимание,

что экспериментальные зависимости демонстрируют

немного отличающийся от теоретического значения

ω_c = eB/m^∗ наклон и пересекают прямую, отвеча-

ющую циклотронному резонансу (пунктирная линия

на рис. 2a). Это явление можно приписать проявле-

нию эффектов запаздывания - гибридизации плаз-

менных возбуждений со светом [11]. Также наблю-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Спектры интенсивности мик-

дался обычный двумерный плазмон с волновым век-

роволнового поглощения в зависимости от величины

тором, определяемым поперечными размерами ДЭС.

магнитного поля, приложенного перпендикулярно к

Он показан полой стрелкой на рис.1 и полыми круж-

поверхности образца. Красные стрелки показывают по-

ками на рис. 2a.

ложение нижайшей по частоте проксимити моды. На

Для теоретического описания плазменных волн,

верхней вставке изображен схематический вид исследу-

связанных с металлическим затвором, были введе-

емого образца - прямоугольная ДЭС с заземленными

контактами по бокам и центральным узким затвором в

ны индексы N_l и N_tr - число узлов колебаний заря-

форме полоски с размерами L = 0.5 мм и W = 20 мкм.

довой плотности вдоль затвора и поперек него, со-

Из работы [29]

ответственно. Будем обозначать интересующие нас

плазменные моды парой чисел (N_l, N_tr) с продоль-

ной и поперечной компонентами волнового вектора,

термически напылен Cr (5 нм) - Au (300 нм) метал-

лический затвор с шириной W = 20 мкм и длиной

равными, соответственно, q_l = N_l

и q_tr = N_tr

L = 0.5мм. На расстоянии a = 200мкм от затвора

Как уже отмечалось ранее, экранированный плаз-

на краях ДЭС были расположены металлические за-

мон, возбуждающийся в подзатворной области ДЭС,

земленные контакты. Центральный металлический

с волновым вектором q = π/W находится выше по

затвор на границах ДЭС расширялся и на рассто-

частоте, чем наблюдаемые резонансы. Поэтому для

янии 100 мкм от ДЭС переходил в контакты, имев-

объяснения происхождения наблюдаемых плазмонов

шие размеры 100 × 100 мкм². Расстояние от ДЭС до

были рассмотрены плазменные моды с N_tr = 0, т.е.

поверхности полупроводниковой подложки составля-

моды, не содержащие узлов колебаний зарядовой

ло h = 440 нм. СВЧ излучение подводилось непо-

плотности поперек затвора. Оказалось, что в рас-

средственно к центральному затвору. Концентрация

сматриваемой конфигурации ДЭС, частично экра-

двумерных электронов в квантовой яме составля-

нированной затвором в форме узкой полоски, коле-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных электронных системах. . .

743

рактерную для полностью экранированного случая

(2). Данный результат получен теоретически в ра-

боте [20], а также качественно объяснен в рамках

LC-подхода в [21]. Таким образом, колебание (1, 0)

оказывается наиболее низкочастотным возбуждени-

ем в частично экранированной двумерной электрон-

ной системе (за исключением случая, когда затвор

и ДЭС соединены электрически, который будет рас-

смотрен отдельно). Также у данной моды не наблю-

дается краевых ветвей, что согласуется с теорети-

ческими предсказаниями. Плазменные моды частич-

но экранированной ДЭС были названы проксимити

плазменными возбуждениями.

Чтобы убедиться в том, что наблюдаемые резо-

нансы относятся к семейству проксимити плазмен-

ных возбуждений, на рис. 2b сплошными точками по-

строена зависимость резонансной частоты наблюда-

емых плазменных колебаний в нулевом магнитном

поле от номера гармоники. Видно, что данная за-

висимость отлично описывается корневым законом

(сплошная кривая). Для наглядности на вставке так-

же приведена соответствующая линеаризованная за-

висимость. Для сравнения с теорией на рисунке 2b

пунктирной линией построена зависимость (3) без

каких-либо подгоночных параметров. Стоит заме-

тить, что и наличие экранировки, и одномерная при-

рода возбуждения обычно приводят к линейному за-

кону дисперсии [12, 31-33]. Именно поэтому наблюда-

емая экспериментально корневая дисперсионная за-

висимость, отлично согласующаяся с теорией (3), да-

ет основание выделить данные плазменные моды в

Рис. 2. (Цветной онлайн) (a) - Магнитодисперсионная

новое семейство проксимити плазменных возбужде-

зависимость для первых четырех проксимити гармо-

ний, возникающее в ДЭС с частичной экранировкой,

ник с q_l = N_l

, где N_l = 1, 2, 3, 4 (закрашенные точ-

и отличное физически от ранее исследованных плаз-

ки) и для плазмона, связанного с плазменными коле-

монов. Представленные экспериментальные данные

баниями во всей прямоугольной ДЭС (полые точки).

также позволяют однозначно идентифицировать на-

Пунктирная линия соответствует частоте циклотрон-

блюдаемые плазменные моды как (N_l, 0) проксими-

ного резонанса. Сплошные линии - подгонка зависи-

√

мостью ω(B) =

ω^pr + ω^c. (b) - Зависимость частоты

ти гармоники с волновыми векторами q_l = N_l

, где

проксимити плазмона в B = 0 Тл от номера гармони-

N_l = 1, 2,

ки. Закрашенные точки - экспериментальные данные,

Что касается проксимити плазменных мод с нену-

сплошная кривая - подгонка корневой зависимостью,

левым N_tr, то в этом случае теория дает следующую

пунктирная кривая - теория (3) без каких- либо под-

формулу для спектра проксимити плазмонов [20]:

гоночных параметров. Из работы [29]

(

)

n_se²h

ω² =

q^2tr +

q_l

(q_lW ≪ 1).

(4)

m^∗εε

бания (N_l, 0) с волновым вектором ql = Nl

, на-

Как нетрудно заметить, в пределе когда q_tr ≫ q_l дис-

правленным вдоль полоски затвора, имеют нетриви-

персионная зависимость приобретает линейный ха-

альную дисперсионную зависимость (3). Она имеет

рактер от волнового вектора и переходит в стандарт-

неожиданный корневой характер (ω_pr ∝

√q), что ха-

ное выражение для экранированного плазмона (2).

рактерно для неэкранированных плазмонов (1), и в

Именно эта плазменная мода наблюдалась во мно-

то же время содержит пропорциональность (ω_pr ∝

гих экспериментах в аналогичных ДЭС с частич-

√

∝

h), где h - расстояние от ДЭС до затвора, ха-

ной экранировкой и принималась за обычный экра-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

744

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, И. В. Андреев, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

нированный плазмон [34, 35]. Однако, как видно из

Были проделаны аналогичные описанным в

настоящего рассмотрения, в представленной систе-

предыдущем разделе измерения интенсивности

ме возникает новое семейство проксимити плазмен-

микроволнового поглощения в зависимости от маг-

ных мод с нетривиальными дисперсионными зависи-

нитного поля при различных частотах, а также

мостями (3, 4). В экспериментах [21] наблюдались и

получены магнитодисперсионные зависимости для

продольные (N_l, 0), и поперечные (N_tr = 0) прокси-

плазменных возбуждений в диске. Полученная

мити плазменные моды.

в результате зависимость резонансной частоты

Особый интерес представляет вопрос о том, как

в нулевом магнитном поле от волнового вектора

происходит переход от проксимити плазмонов в ДЭС

показана на рис. 3 полыми точками. Представ-

с частичной экранировкой к обычным плазменным

ленная дисперсионная зависимость относится к

возбуждениям в ДЭС. Для ответа на этот вопрос

наиболее низкочастотной наблюдаемой плазменной

был поставлен ряд экспериментов [36]. В одном из

моде. Видно, что данная зависимость имеет линей-

них была исследована ДЭС в форме диска, частично

ный характер, как и для случая экранированного

экранированная затвором большого в латеральном

плазмона.

направлении размера с круглым отверстием немно-

го меньшего, чем ДЭС диаметра. Таким образом,

оказывалось экранировано кольцо на границе ДЭС.

Был произведен перебор по ширине колец. В та-

кой системе наблюдались проксимити плазменные

возбуждения, для которых на длине подзатворного

кольца укладывалось целое число длин волн плаз-

мона. Соответствующая дисперсионная зависимость

для данной геометрии определялась формулой (3) с

√

отличием в

2 раз в меньшую сторону. В результа-

те для больших значений ширины кольца наблюда-

лось проксимити плазменное возбуждение, а в пре-

деле узкого кольца наблюдался латерально экрани-

рованный плазмон в диске. При этом для каждой

толщины кольца наблюдался только один резонанс,

то есть проксимити и обычный плазмоны не наблю-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Полыми точками показа-

дались в экспериментах одновременно. Таким обра-

на полученная экспериментальным путем дисперсион-

зом, был продемонстрирован переход от проксими-

ная зависимость проксимити (1, 0) плазменной моды.

ти плазмона к плазменному возбуждению с боковой

Сплошная прямая - аппроксимация измеренной дис-

экранировкой. Похожий эксперимент был проделан

персии линейной зависимостью. Пунктирная линия -

в работе [37].

теоретическое предсказание согласно (5). На вставке

Проксимити плазменные возбуждения в

схематично показана ДЭС большого размера с затво-

геометрии диска. В предыдущем разделе был рас-

ром в форме диска. Из работы [37]

смотрен случай затвора в форме узкой полоски,

где для продольных колебаний реализован случай

Для классификации плазменных возбуждений в

qW ≪ 1. В настоящем же разделе будет рассмот-

такой системе типично вводятся индексы (m, n), от-

рен случай qW ∼ 1, а именно, проксимити плазмо-

вечающие количеству узлов осцилляций зарядовой

ны в ДЭС с затвором в форме диска. Эксперимен-

плотности вдоль периметра и вдоль радиуса затво-

ты проводились на ДЭС в форме диска диаметром

ра, соответственно. В результате теоретического рас-

D = 0.5мм с центральными затворами различного

смотрения [38] получается следующая формула для

диаметра d = 50, 100 и 200 мкм. Квантовая яма с

дисперсионной зависимости проксимити плазменных

двумерным электронным газом находилась на рас-

возбуждений в геометрии диска:

стоянии h = 440 нм от поверхности полупроводнико-

√

вого кристалла. Концентрация двумерных электро-

n_se²h

ω_pr = Ω_m,n

(5)

нов составляла n_s = 2.4 × 10¹¹ см^-2, подвижность -

m^∗εε₀ d

µ = 5 × 106 см²/(В·с) при температуре T = 4.2К.

СВЧ излучение от генератора подводилось непосред-

где n_s - концентрация двумерных электронов, m^∗ -

ственно к центральному затвору.

эффективная масса электронов, d - диаметр затво-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных электронных системах. . .

745

ра в форме диска, ε - диэлектрическая проница-

ное свойство: для их возбуждения было необходимо

емость полупроводниковой подложки, h - расстоя-

электрическое соединение между затвором и ДЭС.

ние от ДЭС до затвора. Безразмерный коэффици-

Выше были введены индексы для классификации

ент Ω_m,n определяется как (n + 1)-й положительный

плазменных возбуждений в ограниченном образце в

корень уравнения

форме диска по числу узлов колебаний зарядовой

плотности вдоль периметра и вдоль радиуса. Осо-

∂_ΩJ_|m|(Ω) + |m|J_|m|(Ω)/Ω = 0,

(6)

бым случаем является осесимметричный плазмон с

где J_|m|(x) - функция Бесселя первого рода (m ≥ 1).

индексами (0, 0), у которого вообще нет узлов в пере-

Наиболее низкочастотной моде, описываемой урав-

менном потенциале плазменной волны. Из общих со-

нением (5), соответствует коэффициент Ω_1,0 = 2.4.

ображений понятно, что в электронейтральной ДЭС

Далее будет показано, что при некоторых услови-

такое возбуждение существовать не может. Поэто-

ях появляется еще более низкочастотная проксими-

му необходимым условием его возбуждения являет-

ти (0, 0) мода. Стоит отметить, что дисперсионная

ся электрическое соединение между двумерной элек-

зависимость полностью экранированного плазмона

тронной системой и затвором, которое обеспечива-

имеет аналогичный (5) вид и отличается только чис-

ет перетекание заряда. Таким образом, проксимити

ленным коэффициентом Ω^screened1,0 = 1.8. Предполо-

плазмон с индексами (0, 0) обладает в точности та-

жительно, это связано с тем, что в обоих случаях

кими же свойствами, как релятивистский плазмон.

энергия плазменных колебаний локализована в ос-

В работе 2020 г. [41] было проведено детальное

новном в подзатворной области, а отличие в числен-

исследование физических свойств релятивистского

ном коэффициенте возникает из-за различных гра-

плазменного возбуждения. На рисунке 4 в правом

ничных условий на краю диска/затвора. Из-за это-

верхнем углу приведена схема образца. Образец со-

го плазмоны, возбуждаемые в некотором смысле в

держал мезу в форме диска с диаметром D = 0.5 мм.

“противоположных” конфигурациях (i) ДЭС в форме

По периметру к ДЭС был сделан омический кон-

диска, экранированной бесконечным затвором и (ii)

такт, а над центром ДЭС был нанесен металличе-

бесконечной ДЭС, экранированной затвором в фор-

ский затвор также в форме диска. Диаметр затвора

ме диска, нередко путают друг с другом.

варьировался в различных образцах от d = 20 мкм

Экспериментальные точки (рис. 3) хорошо описы-

до 100 мкм. Расстояние между ДЭС и затвором со-

ваются соответствующей теоретической дисперсион-

ставляло h = 370 нм. Затвор и контакт были соедине-

ной зависимостью (5). Небольшое отличие от теории,

ны золотым проводником диаметром 25 мкм. В экс-

судя по всему, обусловлено неточным учетом диэлек-

периментах длина проводника менялась в пределах

трического окружения ДЭС.

от l = 0.6 мм до 5 мм. Для возбуждения плазменн-

Релятивистские плазменные возбуждения.

ных колебаний в исследуемой структуре использо-

Впервые релятивистские плазменные возбуждения

валась проволочная антенна, расположенная в непо-

были обнаружены в полоске ДЭС, поперек которой

средственной близости от образца.

был напылен металлический затвор. При этом за-

На рисунке 4 в левом верхнем углу приведены

твор электрически соединялся с ДЭС через внеш-

характерные зависимости микроволнового поглоще-

нюю 50 Ом цепь [39, 40]. В данных работах были

ния ДЭС от приложенного магнитного поля, изме-

подробно исследованы зависимости частоты и зату-

ренные на одном и том же образце с электронной

хания релятивистского плазмона от основных пара-

плотностью n_s = 2.5 · 10¹¹ см^-2 и диаметром затво-

метров системы и установлены его уникальные свой-

ра d = 100 мкм в двух конфигурациях: при наличии

ства, в частности, аномально малое затухание. Это

проводника с длиной l = 2.3 мм, соединяющего ДЭС

позволило наблюдать его вплоть до комнатной тем-

с затвором (красная кривая) и при его отсутствии

пературы на GaAs/AlGaAs гетероструктурах стан-

(черная кривая). На красной кривой видна пара сим-

дартного качества. На основе значительного масси-

метричных по магнитному полю резонансов, кото-

ва полученных данных удалось построить феноме-

рые отсутствуют на черной кривой. Ниже будет по-

нологическую модель явления, однако его физиче-

казано, что эти резонансы отвечают возбуждению в

скую природу удалось установить лишь после откры-

исследуемой структуре релятивистской плазменной

тия проксимити плазменных волн. На родство реля-

моды.

тивистских и проксимити плазмонов указывало то,

На нижней панели рис.4 сплошными кружками

что оба типа плазменных возбуждений наблюдались

построены магнитополевые зависимости частоты на-

лишь в структурах с затвором. Однако, для реляти-

блюдаемых плазменных резонансов для одной и той

вистских плазмонов было обнаружено еще одно важ-

же структуры, но с различной длиной проводни-

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

746

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, И. В. Андреев, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

тонного резонанса обратно пропорциональна длине

проводника l. Таким образом, релятивистский плаз-

мон испытывает сильную гибридизацию с электро-

магнитным полем внешней резонансной цепи. Для

того чтобы измерить частоту релятивистского плаз-

мона с минимальным искажением от фотонной ги-

бридизации, был использован проводник минималь-

но возможной длины. В данном случае таковой яв-

лялась l = 0.6 мм.

На рисунке 5a сплошными красными кружка-

ми показаны зависимости частоты релятивистского

Рис. 4. (Цветной онлайн) (Вверху справа) Схема-

тическое изображение экспериментального образца.

(Вверху слева) Магнитополевые зависимости поглоще-

ния микроволнового излучения на частоте f = 9.5 ГГц

Рис. 5. (Цветной онлайн) (a) - Зависимости частоты

в образце с D = 0.5 мм, d = 100 мкм, ns = 2.5 ×

× 10¹¹ см^-2 в двух конфигурациях: с проволокой дли-

(0, 0) релятивистского плазмона в нулевом магнитном

поле (сплошные красные кружки) и (1, 0) проксимити

ной l = 2.3 мм, соедиянющей ДЭС и затвор, и без нее.

плазмона (полые синие кружки) от обратного диамет-

(Внизу) Магнитополевые зависимости частоты реля-

тивистского плазмона при различной длине проводни-

ра затвора при концентрации электронов ns = 2.5 ×

× 10¹¹ см^-2 и минимально реализуемой на эксперимен-

ка, соединяющего ДЭС с затвором (сплошные круж-

те длине проволоки l = 0.6 мм. Линиями показаны тео-

ки), одночастичного циклотронного резонанса (полые

кружки), (1, 0) моды проксимити плазмона (квадрати-

ретические зависимости, полученные по формулам (5)

и (8). (b) - Зависимости частоты плазменных мод от

ки). Из работы [41]

квадратного корня из электронной концентрации. Из-

мерения проводились на одной структуре с диаметром

ка, соединяющего ДЭС с затвором. Видно, что для

центрального затвора d = 50 мкм. Из работы [41]

каждой длины проводника наблюдаются три плаз-

менные моды. Самая низкочастотная мода соответ-

плазменного возбуждения от обратного диаметра за-

ствует возбуждению (0, 0) релятивистского плазмо-

твора. Четыре точки на графике соответствуют из-

на (закрашенные кружки). Полыми кружками на

мерениям на четырех структурах с различным диа-

рис. 4 показана магнитодисперсионная зависимость

метром затвора d = 100, 50, 40 и 20 мкм, изготовлен-

одночастичного циклотронного резонанса, природа

ных из одной и той же полупроводниковой шайбы

возникновения которого до настоящего времени не

с электронной концентрацией n_s = 2.5 × 10¹¹ см^-2.

вполне ясна [42, 43]. Полыми квадратиками на рис. 4

На рисунке 5b приведена зависимость частоты реля-

обозначена (1, 0) мода проксимити плазмона, воз-

тивистского плазмона от квадратного корня из элек-

буждаемая в области вблизи затвора. Видно, что в

тронной концентрации, измеренная на одном образце

пределе сильных магнитных полей магнитодисперси-

с диаметром затвора d = 50 мкм. Концентрация в об-

онная зависимость релятивистского плазмона асимп-

разце изменялась посредством методики фотообед-

тотически выходит на частоту некоторого фотонного

нения. Все измерения на рис. 5 проводились на об-

резонанса. Было установлено, что частота этого фо-

разцах с минимальной длиной проводника l = 0.6 мм.

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных электронных системах. . .

747

Для описания физических свойств релятивистской

Видно, что импеданс ДЭС описывается при помо-

плазменной моды был развит теоретический подход,

щи активного сопротивления и кинетической индук-

который в предположении, что импеданс проводни-

тивности L_K , связанной с инерционными свойствами

ка, соединяющего затвор и ДЭС, равен нулю, позво-

двумерных электронов. Аналогичным образом мож-

лил получить точное дисперсионное уравнение для

но показать, что в присутствии внешнего магнитного

релятивистского плазмона:

поля B в чистом пределе ωτ ≫ 1 кинетическая ин-

дуктивность ДЭС имеет вид [45]

J₀(Ω) - ΩJ₁(Ω)ln(D/d) = 0,

(7)

(

)

m^∗

ω^2c

где J₀, J₁ - функции Бесселя первого рода, а Ω =

L_K(B) =

(11)

√

n_se²

ω²

= ωd/[2

n_se²h/m^∗εε₀] - обезразмеренная плазмен-

ная частота. Используя разложение в ряд для функ-

Для плазменной волны, распространяющейся

ций Бесселя, отсюда можно получить следующее

вдоль двумерного слоя электронов распределен-

приближенное выражение для плазменной частоты

ная емкость эквивалентной LC цепи составляет

релятивистского плазмона ω_rel

C_p(q)

= 2ε₀ε^∗/q [17, 44]. Воспользовавшись вы-

√

ражением

(10) для кинетической индуктивности

n_se²h 2

ДЭС, приходим к хорошо знакомой формуле (1) для

ω_rel ≈

(8)

1/4 + ln(D/d) m^∗εε₀ d

дисперсии 2D плазмонов:

√

хорошо работающее при D/d

> 2. Полученные

n_se²q

ω_p =

√

(12)

по формуле (8) теоретические зависимости частоты

L_KC_p(q)

2ε₀ε^∗m^∗

(0, 0) плазменной моды показаны красными лини-

ями на рис. 5. Видно, что теоретические зависимо-

где ε^∗

= (ε_GaAs + 1)/2. В ненулевом магнитном

сти неплохо описывают экспериментальные данные.

поле B

= 0 частота плазменного резонанса ω =

√

Это является неоспоримым свидетельством в поль-

L_K(B)C. Принимая во внимание формулы (10)

зу того, что релятивистский плазмон представляет

и (11), отсюда можно получить выражение для маг-

собой именно (0, 0) моду проксимити плазмона. Сто-

нитодисперсии плазменных волн

ит отметить, что экспериментальные значения систе-

ω² = ω^2p + ω^2c.

(13)

матически находятся ниже теоретической зависимо-

сти, что, по-видимому, является следствием неучтен-

Помимо простого и наглядного описания обыч-

ной в модели индуктивности проволоки, соединяю-

ных двумерных плазмонов, LC подход позволяет

щей ДЭС и затвор. Для сравнения на этих же графи-

предсказывать и описывать совершенно новые ти-

ках полыми синими кружками приведены получен-

пы плазменных мод. Так, оказывается в структуре,

ные на тех же образцах зависимости частоты (1, 0)

где ДЭС в виде квадратной полоски заключена меж-

моды проксимити плазмона, а синими линиями - со-

ду двумя прямоугольными омическими контактами

ответствующие теоретические зависимости, получен-

(вставка к рис. 6) возбуждаются два принципиаль-

ные из формулы (5). Видно хорошее согласие между

но различных типа плазменных возбуждений [45].

теорией и экспериментом.

Один из них - это привычный двумерный плазмон

LC плазменные моды. Оказывается, что раз-

в полоске ДЭС. Второй - это новая LC плазменная

личные типы плазменных мод можно элегантно и на-

мода, которая связана c резонансом в LC контуре,

глядно описать, рассматривая ДЭС с близлежащими

состоящем из кинетической индуктивности ДЭС L_K

затворами и контактами на языке электрических це-

и межконтактной латеральной емкости C. Следует

пей со сосредоточенными либо распределенными па-

заметить, что LC плазменную моду можно рассмат-

раметрами [17, 34, 44, 45]. Действительно, согласно

ривать как релятивистский плазмон в цепи, замкну-

модели Друде проводимость ДЭС в нулевом магнит-

той током смещения, текущем в пространстве между

ном поле описывается следующим выражением:

контактными электродами.

На рисунке 6 приведены магнитодисперсии дву-

n_se²τ

σ(ω) =

(9)

мерного плазмона и LC плазменного резонанса в об-

m^∗

1 + iωτ

разце с электронной плотностью n_s = 2 × 10¹¹ см^-2,

откуда импеданс Z(ω) ДЭС можно представить в ви-

размером ДЭС 0.5×0.5 мм², и контактными площад-

де

ками с размером 0.85 × 0.7 мм². Контурные голубые

∗

символы соответствуют обычному двумерному плаз-

Z(ω) =

= R + iωL_K,

L_K =

(10)

мону, красные сплошные - LC плазменной моде. Оба

n_se2

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

748

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, И. В. Андреев, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

численная согласно формуле (10), составляет L_K =

= 1.2 нГн. Отсюда собственная частота рассматри-

ваемого плазмонного LC резонатора f_LC = 8.7 ГГц

(отмечена красной стрелкой на рис. 6), что также ве-

ликолепно согласуется с результатами эксперимента.

Для подтверждения природы LC плазменной мо-

ды было проведено исследование зависимости ее ре-

зонансной частоты от размера контактов, который

определяет межконтактную емкость C. Для этого

были изготовлены два дополнительных образца с

размерами контактов 0.4 × 0.7 мм² (“образец 1”) и

1.1 × 3.9 мм² (“образец 2”). Схематическое изобра-

жение образцов показано на рис. 7a. Размер ДЭС

Рис. 6. (Цветной онлайн) Магнитодисперсия двумерно-

го плазмона (синие кружки) и LC плазменного резо-

нанса (красные точки) в образце с электронной плот-

ностью ns = 2× 10¹¹ см^-2, размером ДЭС 0.5× 0.5 мм²,

и контактными площадками размером 0.85 × 0.7 мм².

Сплошные кривые соответствуют аппроксимации экс-

периментальных точек при помощи уравнения (13).

Пунктирная прямая соответствует циклотронной час-

тоте ω

= eB/m^∗ для эффективной массы m^∗

= 0.067m0. На вставке приведена схема образца и эк-

вивалентной электрической цепи. Из работы [45]

резонанса хорошо описываются магнитодисперсион-

ным соотношением (13) (сплошные кривые на рис. 6).

Однако магнитодисперсия LC плазменного резонан-

са пересекает циклотронную магнитодисперсию для

эффективной массы m^∗ = 0.067m₀ (пунктирная пря-

мая на рис. 6). Это связано с проявлением реляти-

вистских эффектов запаздывания, которые перенор-

мируют эффективную циклотронную частоту [11].

Для подтверждения сделанных утверждений, бы-

Рис. 7. (Цветной онлайн) (a) - Схематическое изобра-

ли определены значения плазменных частот для

жение двух образцов с одинаковыми размерами ДЭС

каждой из плазменных мод. Для обычного двумер-

и различными размерами контактных областей. (b) -

ного плазмона в полоске ДЭС с размерами W × W

Магнитодисперсии LC плазменной моды в данных об-

волновой вектор q = π/W. Для W = 0.5 мм теоре-

разцах. На вставке - зависимость LC плазменной час-

тическое выражение (12) дает плазменную частоту

тоты от обратного квадратного корня из емкости меж-

ду контактыми обкладками. Прямая линия - линейная

f_p = 28 ГГц (отмечена синей стрелкой на рис.6), что

аппроксимация по экспериментальным точкам. Из ра-

превосходно согласуется с результатами эксперимен-

боты [45]

та. Плазменная частота LC резонанса определяется

√

выражением ω_LC = 1/

(L_K + L_m)C, где L_m - маг-

нитный вклад в индуктивность, связанный с реляти-

при этом оставался фиксированным и равным 0.5 ×

вистскими эффектами запаздывания. Для исследуе-

× 0.5 мм². Магнитодисперсии LC моды в образцах 1

мого образца по данным численного моделирования

и 2 приведены на рис.7b (синие и красные точки

емкость между контактами составляет C = 0.115 пФ,

соответственно). Из эксперимента следует, что уве-

а магнитная индуктивность L_m

= 1.7 нГн. Кине-

личение площади контактов вызывает значительное

тическая индуктивность двумерных электронов, вы-

уменьшение частоты LC плазменного резонанса. На

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Плазменные возбуждения в частично экранированных двумерных электронных системах. . .

749

вставке к рис.7b приведена зависимость частоты ре-

LC плазменный резонанс можно рассматривать как

√

зонанса от величины 1/

C, где емкость C была рас-

частные случаи проксимити плазмона. Оказалось,

считана при помощи численного моделирования. За-

что новое семейство плазменных возбуждений об-

висимость носит линейный характер, что согласуется

ладает рядом уникальных физических свойств. Во-

с теоретическим выражением для плазменной час-

первых, спектр проксимити плазмонов зависит от

√

тоты ω_LC = 1/

(L_K + L_m)C. Заметим, что частоту

геометрических параметров затвора и расстояния

LC плазменной моды легко регулировать, изменяя

между ним и ДЭС. Во-вторых, у проксимити плаз-

геометрические размеры образца либо электронную

менных мод отсутствует краевая ветвь, и они нахо-

плотность в ДЭС. Это вместе с субволновым разме-

дятся по частоте гораздо ниже, чем обычные двумер-

ром системы делает такие плазмонные LC резонато-

ные плазмоны, возбуждаемые в тех же полупровод-

ры интересным кандидатом на роль элементов мета-

никовых микроструктурах. Наконец, оказалось, что

материалов, работающих в терагерцовом частотном

в случае, если затвор соединен с двумерной системой

диапазоне.

внешней цепью, то в системе возбуждается “заряжен-

Используя разработанный LC подход, легко оце-

ная” релятивистская плазменная мода, обладающая

нить частоту релятивистского плазмона в геометрии

аномально малым затуханием. Нашими коллегами из

квази-Корбино, изображенной на рис. 4. Действи-

ИРЭ РАН - А. А. Заболотных и В. А. Волковым бы-

тельно, релятивистский плазмон можно интерпрети-

ла разработана подробная теория для описания но-

ровать как резонанс в эквивалентном плазмонном

вого семейства плазменных мод. Теория оказалась

LC-контуре, образованном подзатворной емкостью и

в хорошем согласии с экспериментом. Также в об-

кинетической индуктивностью ДЭС. При этом важ-

зоре был развит LC подход к описанию различных

но учитывать, что осцилляции в таком контуре суще-

типов 2D плазменных колебаний. Этот подход осно-

ствуют только тогда, когда он замкнут по перемен-

ван на рассмотрении электродинамического отклика

ному току, т.е. затвор электрически соединен с ДЭС.

ДЭС на основании эквивалентной электрической це-

Если пренебречь индуктивностью замыкающей цепи,

пи с сосредоточенными параметрами. Оказалось, что

то можно дать следующую оценку для подзатворной

такой наглядный и интуитивно понятный метод да-

емкости и суммарной кинетической индуктивности

ет правильное количественное описание различных

от областей ДЭС между затвором и контактом и под

типов плазменных мод в ДЭС. Описанные в обзо-

затвором:

ре новые результаты значительно расширяют гори-

(

)

зонт возможных применений плазмоники для созда-

εε₀πd

m^∗

C =

L_K =

(14)

ния различных устройств современной СВЧ и тера-

2πe²n_s

герцовой электроники.

Работа была выполнена при поддержке

Отсюда плазменную частоту релятивистского плаз-

Российского научного фонда, грант # 19-72-30003.

мона можно оценить как

√

n_se²h 2

ω_rel =

(15)

1. F. Stern, Phys. Rev. Lett. 18, 546 (1967).

√L_K C

(1/4 + ln (D/d)) m^∗εε₀ d

2. C. C. Grimes and G. Adams, Phys. Rev. Lett. 36, 145

(1976).

Найденное выражение полностью согласуется с тео-

ретическим расчетом (8). Таким образом, LC-подход

3. S. J. Allen, D. C. Tsui, and R. A. Logan, Phys. Rev. Lett.

является мощным инструментом для качественного

38, 980 (1977).

и количественного описания различных типов плаз-

4. T. N. Theis, J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, Solid State

менных возбуждений.

Commun. 24, 273 (1977).

Заключение. В обзоре с экспериментальной

5. S. J. Allen, H. L. Störmer, and J. C. M. Hwang, Phys.

точки зрения рассмотрены основные свойства нового

Rev. B 28, 4875 (1983).

семейства коллективных плазменных возбуждений в

6. D. C. Glattli, E. Y. Andrei, G. Deville, J. Poitrenaud,

ДЭС - проксимити плазмонов (proximity plasmons).

and F. I. B. Williams, Phys. Rev. Lett. 54, 1710 (1985).

Данный тип плазменных волн наблюдается в ДЭС,

7. V. M. Muravev, A. A. Fortunatov, I. V. Kukushkin,

частично экранированных металлическим затвором.

J. H. Smet, W. Dietsche, and K. von Klitzing, Phys.

Установлено, что наряду с проксимити плазменны-

Rev. Lett. 101, 216801 (2008).

ми волнами в таких структурах можно также на-

8. L. Ju, B. Geng, J. Horng, C. Girit, M. Martin, Z. Hao,

блюдать релятивистские плазмоны и LC плазмен-

H. A. Bechtel, X. Liang, A. Zettl, Y.R. Shen, and

ные резонансы. При этом релятивистский плазмон и

F. Wang, Nat. Nanotechnol. 6, 630 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

750

А. М. Зарезин, П. А. Гусихин, И. В. Андреев, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин

Chen, M. Badioli, P. Alonso-Gonzalez,

26.

D. A. Bandurin, D. Svintsov, I. Gayduchenko et al.

Thongrattanasiri, F. Huth, J. Osmond,

(Collaboration), Nat. Commun. 9, 5392 (2018).

M. Spasenovic, A. Centeno, A. Pesquera, P. Godignon,

27.

I. V. Kukushkin, J. H. Smet, K. von Klitzing, and

A.Z. Elorza, N. Camara, F. Abajo, R. Hillenbrand, and

W. Wegscheider, Nature (London) 415, 409 (2002).

F. H. L. Koppens, Nature 487, 77 (2012).

28.

V. M. Muravev, I. V. Andreev, S. I. Gubarev,

10.

Z. Fei, A. S. Rodin, G. O. Andreev, W. Bao,

V. N. Belyanin, and I. V. Kukushkin, Phys. Rev. B 93,

A.S. McLeod, M. Wagner, L. M. Zhang, Z. Zhao,

041110(R) (2016).

M. Thiemens, G. Dominguez, M. M. Fogler,

29.

A. M. Zarezin, P. A. Gusikhin, V.M. Muravev, and

A.H. Castro Neto, C. N. Lau, F. Keilmann, and

I. V. Kukushkin, JETP Lett. 111(5), 282 (2020).

D. N. Basov, Nature 487, 82 (2012).

30.

A. A. Zabolotnykh and V. A. Volkov, Phys. Rev. B 102,

11.

I. V. Kukushkin, J. H. Smet, S. A. Mikhailov,

165306 (2020).

D. V. Kulakovskii, K. von Klitzing, and W. Wegscheider,

31.

Das Sarma and W. Y. Lai, Phys. Rev. B 32, 1401 (1985).

Phys. Rev. Lett. 90, 156801 (2003).

32.

I. L. Aleiner, D. X. Yue, and L. I. Glazman, Phys. Rev. B

12.

A.V. Chaplik, ZhETF 62, 746 (1972) [Sov. Phys. JETP

51, 13467 (1995).

35, 395 (1972)].

33.

I. V. Kukushkin, J. H. Smet, V. A. Kovalskii,

13.

A. Satou, I. Khmyrova, V. Ryzhii, and M. S. Shur,

S. I. Gubarev, K. von Klitzing, and W. Wegscheider,

Semicond. Sci. Technol. 18, 460 (2003).

Phys. Rev. B 72, 161317 (2005).

14.

V. Ryzhii, A. Satou, W. Knap, and M. S. Shur, J. Appl.

34.

P. J. Burke, I. B. Spielman, J. P. Eisenstein,

Phys. 99, 084507 (2006).

L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Appl. Phys. Lett.

15.

G. C. Dyer, G. R. Aizin, S. Preu, N. Q. Vinh, S. J. Allen,

76, 745 (2000).

J. L. Reno, and E. A. Shaner, Phys. Rev. Lett. 109,

35.

D. A. Iranzo, S. Nanot, E. J. C. Dias, I. Epstein, C. Peng,

126803 (2012).

D. K. Efetov, M. B. Lundeberg, R. Parret, J. Osmond,

16.

A.R. Davoyan, V. V. Popov, and S. A. Nikitov, Phys.

J.-Y. Hong, J. Kong, D. R. Englund, N. M. R. Peres, and

Rev. Lett. 108, 127401 (2012).

F. H. L. Koppens, Science 360, 291 (2018).

17.

G. C. Dyer, G. R. Aizin, S. J. Allen, A. D. Grine,

36.

V. M. Muravev, I.V. Andreev, N.D. Semenov,

D. Bethke, J. L. Reno, and E. A. Shaner, Nature Photon.

S. I. Gubarev, and I.V. Kukushkin, Phys. Rev. B 103,

7, 925 (2013).

125308 (2021).

18.

A.S. Petrov, D. Svintsov, V. Ryzhii, and M. S. Shur,

37.

V. M. Muravev, A. M. Zarezin, P. A. Gusikhin,

Phys. Rev. B 95, 045405 (2017).

A. V. Shupletsov, and I. V. Kukushkin, Phys. Rev. B

19.

D. A. Iranzo, S. Nanot, E. J. C. Dias, I. Epstein, C. Peng,

100, 205405 (2019).

D. K. Efetov, M. B. Lundeberg, R. Parret, J. Osmond,

38.

A. A. Zabolotnykh and V. A. Volkov, Semiconductors

J.-Y. Hong, J. Kong, D. R. Englund, N. M. R. Peres, and

53, 1870 (2019).

F. H. L.Koppens, Science 360, 291 (2018).

39.

П. А. Гусихин, В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин,

20.

A.A. Zabolotnykh and V. A. Volkov, Phys. Rev. B 99,

Письма в ЖЭТФ 100, 732 (2015).

165304 (2019).

40.

V. M. Muravev, P. A. Gusikhin, I. V. Andreev, and

21.

V.M. Muravev, P. A. Gusikhin, A. M. Zarezin,

I. V. Kukushkin, Phys. Rev. Lett. 114, 106805 (2015).

I. V. Andreev, S. I. Gubarev, and I. V. Kukushkin,

41.

V. M. Muravev, P. A. Gusikhin, A. M. Zarezin,

Phys. Rev. B 99, 241406(R) (2019).

A. A. Zabolotnykh, V. A. Volkov, and I. V. Kukushkin,

22.

W. Knap, Y. Deng, S. Rumyantsev, J.-Q. Lü,

Phys. Rev. B 102, 081301(R) (2020).

M. S. Shur, C. A. Saylor, and L. C. Brunel, Appl. Phys.

Lett. 80, 3433 (2002).

42.

S. I. Dorozhkin, A.A. Kapustin, I.A. Dmitriev,

V. Umansky, K. von Klitzing, and J. H. Smet, Phys.

23.

X.G. Peralta, S. J. Allen, M. C. Wanke, N.E. Harff,

Rev. B 96, 155306 (2017).

J. A. Simmons, M. P. Lilly, J. L. Reno, P. J. Burke, and

J. P. Eisenstein, Appl. Phys. Lett. 81, 1627 (2002).

43.

I. V. Andreev, V. M. Muravev, V. N. Belyanin, and

24.

E. A. Shaner, Mark Lee, M. C. Wanke, A. D. Grine,

I. V. Kukushkin, Phys. Rev. B 96, 161405(R) (2017).

J. L. Reno, and S. J. Allen, Appl. Phys. Lett. 87, 193507

44.

G. R. Aizin and G. C. Dyer, Phys. Rev. B 86, 235316

(2005).

(2012).

25.

V.V. Popov, D. V. Fateev, T. Otsuji, Y. M. Meziani,

45.

V. M. Muravev, N.D. Semenov, I. V. Andreev,

D. Coquillat, and W. Knap, Appl. Phys. Lett. 99,

P. A. Gusikhin, and I. V. Kukushkin, Appl. Phys. Lett.

243504 (2011).

117, 151103 (2020).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021