Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 12, с. 777 - 783

Распад τ → K^-π⁰ν_τ в модели Намбу-Иона-Лазинио с учетом

взаимодействия мезонов в конечном состоянии

М. К. Волков¹⁾, А. А. Пивоваров¹⁾

Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований,

141980 Дубна, Россия

Поступила в редакцию 10 апреля 2021 г.

После переработки 30 апреля 2021 г.

Принята к публикации 9 мая 2021 г.

Распад τ → K^-π⁰ντ описан в модели Намбу-Иона-Лазинио с учетом контактного вклада, а также

вклада от промежуточного векторного мезона. Взаимодействие мезонов в конечном состоянии учтено

посредством рассмотрения расходящихся мезонных петель. Дополнительный параметр ультрафиолето-

вого обрезания в этих петлях фиксируется по экспериментальной ширине рассматриваемого процесса.

DOI: 10.31857/S1234567821120016

1. Введение. В недавнем эксперименте [1] были

мическую расходимость. При этом величина обреза-

сделаны оценки для ширин распадов τ → K^-nπ⁰ν_τ

ния будет фиксироваться по значению эксперимен-

(n = 0, 1, 2, 3), причем значение ширины распада

тальной ширины.

τ → K^-π⁰ν_τ несколько отличается от данных, при-

Однако следует отметить, что при описании рас-

веденных в Particle Data Group (PDG) [2], а также

пада τ

→ π^-π⁰ν_τ для фиксации возникающего

от данных экспериментальной работы [3]. Интерес к

неопределенного параметра ультрафиолетового об-

этому процессу обусловлен тем, что он использует-

резания расходящейся мезонной петли был исполь-

ся при изучении поляризации вакуума, а также тем,

зован процесс e⁺e^- → π^-π⁺. В случае же распа-

что он содержит одновременно странные и нестран-

да τ → K^-π⁰ν_τ , рассматриваемого в данной рабо-

ные частицы. Кроме того, вычисление этого процес-

те, не удалось найти такой дополнительный процесс,

са в рамках модели Намбу-Иона-Лазинио (НИЛ) [4-

используя который можно было бы зафиксировать

11] с учетом a₁ - π и K₁ - K переходов приводит к

аналогичный параметр. Однако, мы можем претен-

довольно сильному отклонению от эксперименталь-

довать на описание механизма этого распада. Также

ных данных, в то время как данная модель позволя-

в данной работе исследуется влияние учета взаимо-

ет описать большое количество процессов распадов

действия в конечном состоянии на дифференциаль-

τ лептона в удовлетворительном согласии с экспе-

ное распределение.

риментом (см., например, [12-15]). Это может сви-

2. Лагранжиан взаимодействия модели

детельствовать о необходимости учета дополнитель-

НИЛ. В стандартной модели НИЛ кварк-мезонный

ных эффектов. В то же время в нашей недавно опуб-

лагранжиан взаимодействия псевдоскалярных и век-

ликованной теоретической работе был удовлетвори-

торных мезонов, содержащий нужные нам вершины,

тельно описан похожий процесс τ → π^-π⁰ν_τ [16] с

принимает вид [7]:

использованием модели НИЛ, но с небольшим выхо-

[

g_ρ

дом за ее рамки для учета взаимодействия пионов

ΔL_int=q ig_πγ⁵λ^π0 π⁰ + ig_K γ⁵λ^K± K^± +

γ^µλ^ρ±ρ^±µ +

]

в конечном состсоянии. Подобный же метод можно

g_K∗

γ^µλ^K±K^∗±µ +

γ^µλ^K0K^∗0µ + ig_πγ⁵λ^π±

π^± q, (1)

применить и к описанию распада τ → K^-π⁰ν_τ . Это-

му и посвящена настоящая работа.

где q и q - u-, d- и s-кварковые поля с составляю-

Взаимодействие в конечном состоянии здесь опи-

щими массами m_u = m_d = 280 МэВ, m_s = 420 МэВ,

сывается с помощью треугольных мезонных петель,

π⁰, π^±, K^±, ρ^±, K^∗0 и K^∗± - псевдоскалярные и век-

содержащих каон, пион и векторный мезон. Дру-

торные мезоны, λ^π0, λ^K±, λ^ρ±, λ^K±, λ^K0 и λ^π± - линейные

гие диаграммы дают лишь незначительные поправ-

комбинации матриц Гелл-Манна.

ки. Такие петли содержат квадратичную и логариф-

Константы связи:

√

g_π =

, g_ρ =

¹⁾e-mail: volkov@theor.jinr.ru; tex_k@mail.ru

4I₂₀

2I₂₀

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

777

778

М. К. Волков, А. А. Пивоваров

√

Z_K

g_K =

, g_K∗ =

4I₁₁

2I₁₁

где

(

)_-1

m^2u

Z_π =

1-6

M²

(

)_-1

3 (m_u + m_s)²

Z_K =

M²

K1A

(

)

-1

sin² α

cos² α

M^2K

(2)

M^2K

M²

1(1270)

K1(1400)

Рис. 2. Диаграмма процесса τ → K^-π⁰ντ с промежу-

точным мезоном

Z_π - множитель, соответствующий π - a₁ перехо-

дам, Z_K - множитель, соответствующий K - K₁ пе-

g_Kg_π

M (τ → K^-π⁰

ν_τ )_tree = -3G_fV_us

L_µ ×

реходам, Ma1

= 1230 МэВ, M_K

= 1272 МэВ,

g²

1(1270)

K^∗

[

]

M_K

1403 МэВ [2] - массы аксиально вектор-

1(1400) =

g^µνq²f(q²) - q^µq^νf(M^2K∗ )

ных a₁ и K₁ мезонов. Интегралы, входящие в опре-

× g^µν +

√

M^2K∗ - q² - i

q²Γ_K∗

деления констант связи, принимают следующий вид:

× (A_Kp_Kν - A_πp_πν),

(4)

∫

N_c

θ(Λ² + k²)

Inm = -i

d⁴k,

(3)

где Gf - константа Ферми, Vus - элемент матри-

(2π)⁴

(m^2u - k²)ⁿ(m^2s - k²)^m

цы Кабиббо-Кобаяши-Маскава, L_µ - лептонный ток,

A_K и A_π - константы, возникающие в результате уче-

Λ = 1250 МэВ - параметр обрезания [7]. Этот пара-

та π - a₁ и K - K₁ переходов:

метр, применяемый в данной версии модели НИЛ,

больше значений, используемых в некоторых других

m_u (3m_u - m_s)

A_π = 1 - 3

версиях этой модели. Версия Намбу-Иона-Лазинио

M²

с таким обрезанием, применяемая в данной работе,

m_s (m_u + m_s)

позволила описать большое количество прецессов в

A_K = 1 - 3

(5)

M²

удовлетворительном согласии с экспериментом.

K1A

3. Процесс τ → K^-π⁰ν_τ . Диаграммы процес-

Функция

са τ → K^-π⁰ν_τ в лидирующем по 1/N_c приближении

изображены на рис. 1, 2.

3 (m_s - m_u)²

f (q²) = 1 -

(6)

q²

введена для удобства записи.

С помощью этой амплитуды можно получить сле-

дующее значение парциальной ширины данного рас-

пада:

Br(τ → K^-π⁰ν_τ )_tree = 2.92 × 10^-3.

(7)

Экспериментальные значения:

Br(τ → K^-π⁰ν_τ )_exp = (5.05 ± 0.17) × 10^-3 [1],

Br(τ → K^-π⁰ν_τ )_exp = (4.33 ± 0.15) × 10^-3 [2],

Br(τ → K^-π⁰ν_τ )_exp = (4.16 ± 0.21) × 10^-3 [3].

(8)

Как видно, вычисленное в рамках модели НИЛ

Рис. 1. Контактная диаграмма процесса τ → K^-π⁰ντ

значение парациальной ширины для рассматривае-

мого процесса значительно отличается от экспери-

Амплитуда этого процесса в данном приближе-

ментальных данных. Это может говорить о необходи-

нии в модели НИЛ принимает вид:

мости учета взаимодействия в конечном состоянии.

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Распад τ → K^-π⁰ν_τ в модели Намбу-Иона-Лазинио. . .

779

Для этих целей требуется выход за пределы лидиру-

где e_µ(p) - поляризационный вектор распадающего-

ющего по 1/N_c приближения, в котором сформули-

ся мезона, p_K и p_π - импульсы конечных мезонов.

рована модель НИЛ.

На основе данной амплитуды можно записать со-

ответствующую вершину мезонного лагранжиана:

4. Учет взаимодействия в конечном состо-

янии. Взаимодействие в конечном состоянии мож-

(

)

g_Kg_π

-i3

K^∗-µ

A_Kπ⁰∂^µK⁺ - A_πK⁺∂^µπ⁰

(10)

но учесть с помощью диаграмм, изображенных на

g_K∗

рис. 3. В отличие от процесса τ → ππν_τ , здесь необ-

ходимо учесть уже три возможных варианта.

Аналогично можно получить остальные вершины

[7, 17]:

Амплитуда процесса K^∗- → K^-π⁰ в лидирую-

√

(

)

щем по 1/N_c приближении может быть описана пол-

- i3

K^∗-µ

A_Kπ⁺∂^µK⁰ - A_πK⁰∂^µπ⁺

∗

ностью в рамках стандартной модели НИЛ. Она при-

√

− i3

K ∗0

(A_K π^-∂^µK⁺ - A_πK⁺∂^µπ^-) ,

нимает вид:

∗

(

)

gK gπ

− i3

K^∗0µ

A_Kπ⁰∂^µ

K⁰ -A_π K⁰∂^µπ⁰

gK∗

√

(

)

−i₂

g_ρρ^-µ

K⁺∂^µ

K⁰ -

K⁰∂^µK⁺

M (K^∗- → K^-π⁰)_tree =

g_Kg_π

(

)

e_µ(p)(A_Kp^µK - A_πp^µπ) ,

(9)

- ig_ρρ^+µ

π^-∂^µπ⁰ - π⁰∂^µπ^-

(11)

g_K∗

Эти мезонные петли приводят к следующим интегралам:

(

)

^νλ -kνk^λ2

∫ (A_Kk - (A_K + A_π)p_π)_λ (A_πk + (A_K + A_π) p_K)_ν ((A_K + A_π) k + A_πp_K - A_Kp_π)_µ g

M_K∗ d⁴k

FK∗±µ =

[k² - M^2K∗] [(k + pK )² -

] [(k - p_π)² - M^2K ]

(2π)⁴

(

)

∫ (k - 2p_π)_λ (k + 2p_K )_ν ((A_K + A_π ) k + A_K p_K - A_πp_π)_µ g

^νλ -kνk^λ

M2ρ

d⁴k

F^ρµ =

[

]

k² - M^2ρ

[(k + p_K )² - M^2K ] [(k - p_π)² - M^2π]

(2π)⁴

(12)

FK∗0µ =

Данные интегралы расходятся и могут быть регуляризованы обрезанием с помощью параметра Λ_M.

Интегралы (12) можно вычислить по аналогии с тем, как вычислялись интегралы по кварковым петлям

в модели НИЛ, т.е. разложением знаменателя по внешним импульсам и удержанием только расходящихся

членов (см. Приложение).

В результате, мы можем записать дополнитель-

чаем Λ_M = 1100 МэВ. Эксперимент [3] приводит к

ные вклады от мезонных петель в процесс τ

→

Λ_M = 910 МэВ.

→K^-π⁰ν_τ:

При учете взаимодействия в конечном состоянии

аналогичным способом в процессе τ → π^-π⁰ν_τ был

g_Kg_π

M (τ → K^-π⁰ντ )loop = -3iGfVus

L_µ ×

получен параметр обрезания Λ_M = 740 МэВ [16]. Эти

g²

K^∗

[

]

процессы отличаются заменой пиона на более мас-

g^µνq²f(q²) - q^µq^νf(M^2K∗ )

сивный каон. Естественно, что такая замена должна

× g^µν +

√

M^2K∗ - q² - i

q²Γ_K∗

вести к увеличению обрезания. Следовательно, по-

}

лученный здесь результат не противоречит преды-

{ (

)₂

(

)₂

g_Kg_π

дущему.

- 3

FK∗±ν + g^ρ

+2 3

FK∗0

.(13)

g_K∗

График зависимости дифференциальной ширины

процесса от инвариантной массы конечных мезонов

Сравнение результата с экспериментальной ши-

представлен на рис. 4. Как видно, учет взаимодей-

риной, взятой из PDG [2], дает значение параметра

ствия мезонов в конечном состоянии посредством до-

Λ_M = 950 МэВ. Если сравнивать с эксперименталь-

полнительных мезонных петель не искажает форму

ным значением, приведенным в работе [1], мы полу-

данной зависимости.

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

780

М. К. Волков, А. А. Пивоваров

Поэтому, взаимодействие в конечном состоянии пу-

тем обмена скалярным мезоном, изображенное на

рис. 5, в минимальном порядке по внешним импуль-

сам приводит к сходящемуся интегралу, который да-

ет результат на несколько порядков меньше экспери-

ментального.

Четырехмезонная вершина взаимодействия као-

нов и пионов в минимальном порядке также не со-

держит производных:

g^2πK⁺K^-π⁰π⁰.

(15)

Поэтому, если рассмотреть взаимодействие в конеч-

ном состоянии посредством четырехмезонной верши-

ны (рис. 6), то мы получаем расходящийся интеграл,

который дает результат на два порядка меньше вкла-

дов с обменом векторным мезоном. По этой причине

для учета взаимодействия в конечном состоянии мы

ограничились только диаграммами, изображенными

на рис. 3.

Рис. 3. Дополнительные петлевые вклады вершины

K^∗-(W^-) → K^-π⁰

Рис. 5. Взаимодействие в конечном состоянии посред-

ством обмена скалярным мезоном

Рис. 4. Зависимости дифференциальной ширины про-

цесса τ → K^-π⁰ντ от инвариантной массы конечных

мезонов для случая учета взаимодействия в конечном

состоянии при ΛM = 910 МэВ (сплошная линия) и для

случая древесного приближения по мезонным полям

(пунктирная линия). Экспериментальные точки взяты

из работы [3]

Рис. 6. Взаимодействие в конечном состоянии c четы-

Вершина лагранжиана взаимодействия скалярно-

рехмезонной вершиной

го мезона K^∗0 с каоном и пионом в минимальном по-

рядке не содержит производных:

5. Заключение. Процесс τ → K^-π⁰ν_τ вычис-

g_Kg_π

лен с использованием модели НИЛ. Взаимодействие

2m_s

K^∗-0K⁺π⁰.

(14)

адронов в конечном состоянии представлено через

g_K∗

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Распад τ → K^-π⁰ν_τ в модели Намбу-Иона-Лазинио. . .

781

обмен векторными мезонами K^∗ и ρ. Это привело

ло, при этом использовалась киральная теория воз-

к необходимости выхода за пределы лидирующего

мущений, резонансная киральная теория, дисперси-

по 1/N_c приближения, в котором сформулирована

онные соотношения и модель векторной доминант-

стандартная модель НИЛ. Полученные расходящи-

ности. Возникающие параметры фиксировались по

еся треугольные диаграммы были регуляризованы

экспериментальным данным.

обрезанием. Так как нет подходящего процесса, по

из (12) вы-

Приложение. Интегралы FK∗µ и

которому можно было бы зафиксировать параметр

числялись разложением знаменателей в ряд и удер-

обрезания в данных трелугольниках, он был опреде-

жанием расходящихся членов. Во многих расходя-

лен по экспериментальной ширине рассматриваемого

щихся слагаемых в числителе возникает квадрат им-

распада. Поэтому полученные результаты не облада-

пульса интегрирования. К нему можно прибавить и

ют предсказательной силой, но могут претендовать

вычесть квадрат массы мезона k² - M² + M². В ре-

на описание механизма данного процесса. Дополни-

зультате одно слагаемое сокращается с одним из зна-

тельные члены составили порядка 30 %, что и поз-

менателей пропагатора, и там расходимость остается

воляет рассматривать их как поправки следующего

прежней, а во втором слагаемом расходимость по-

порядка разложения по 1/N_c.

нижается вплоть до появления сходящихся членов.

Учет треугольных диаграм с обменом скалярны-

Если отбросить все сходящиеся части, то возникнет

ми мезонами, а также диаграмм с четырехмезонной

неопределенность ответа, зависящая от того, массы

вершиной приводит к незначительным поправкам.

каких мезонов мы прибавляли и вычитали. Для избе-

Данный распад также изучался во многих теоре-

жания этой неопределенности такие сходящиеся сла-

тических работах других авторов [18-20]. Как прави-

гаемые учитывались при вычислении.

{

[

(

)

(

)

]

FK∗µ = -

A_π

5A^2K + 2A_KA_π + A^2π

p^µπ - A_K

A^2K + 2A_KA_π + 5A^2π

p^µK

24M²

K^∗

[

(

)

]

[

(

)

IK∗ - IK∗K

M^2K + M^2π

+I_K∗_KπM^4π

- 3M^2π

A_K

A^2K + 2A_KA_π + 5A^2π

p^µK

(

)

][

(

)

]

−A_π

5A^2K + 2A_KA_π + A^2π

p^µπ

IK∗K - IK∗Kπ

M^2K + M^2π

+I_K∗_2KπM⁴

[

][

(

)

+ 3M^2K

+I_K∗_K2πM^4π

A_π

5A^2K + 2A_KA_π + A^2π

p^µπ

IK∗K - 2IK∗Kπ

(

)

]

[

]

−A_K

A^2K + 2A_KA_π + 5A^2π

p^µK

IK∗K - IK∗Kπ

+ 3I_K∗_K2πM^4π - I_K∗_K3πM⁶

[

(

)

(

))

p^µK

3A^3KM^2K + A^2KA_π

7M^2K + M^2π - q²

+A_KA^2π

11M^2K + 2

M^2π - q²

(

))

(

)

]

+A^3π

M^2K + M^2π - q²

-A^2πM^2K

7A^2K + 2A_KA_π + A^2π

p^µπ

[

(

)

(

)

− 6A_KA_π (A_K + A_π)

IK∗ - IK∗K

2M^2K + M^2π

-I_K∗_Kπ

M^4K + M^2KM^2π + M⁴

]

[

(

)

]

-I_K∗_2KπM^6K

p^µπ + 6A_KA_π (A_K + A_π)

IK∗ - IK∗K

M^2K + 2M^2π

+ 3I_K∗_KπM^4π - I_K∗_K2πM^6π

p^µK

[(

)

][

(

)

+ 4A_KA_π (A_K + A_π)

M^2K + M^2π - q²

p^µπ - M^2πp^µK

IK∗ K - 2IK∗Kπ

M^2K + M²

(

)

]

+I_K∗_K2π

3M^4K + 2M^2KM^2π + M^4π

- 4I_K∗_2K2πM^6K + I_K∗_3K2πM^8K

+ 6A_KA_π (A_K + A_π)

(

)[

(

)

(

)

M^2πp^µK - M^2Kp^µπ

IK∗K - IK∗Kπ

M^2K + 2M^2π

+I_K∗_K2π

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

]

[

(

)

]

− 4I_K∗_2K2πM^6K

+ 4A_KA_π (A_K + A_π)

M^2Kp^µπ -

M^2K + M^2π - q²

p^µK

[I_K∗_K

(

)

(

)

(

)(

)

−I_K∗_Kπ

M^2K + 3M^2π

+I_K∗_K2π

M^4K + 2M^2KM^2π + 3M^4π

-I_K∗_K3π

M^2K + M^2π

M^4K + M⁴

]

[

+I_K∗_2K3πM^8K

+ 12A_KA_π (A_K + A_π)

-I_K∗_KπM^2K + 3I_K∗_2KπM^4K - 3I_K∗_3KπM^6K

]

[

+I_K∗_4KπM^8K

M^2πp^µπ + 12A_KA_π (A_K + A_π)

IK∗Kπ

- 3I_K∗_K2πM^4π + 3I_K∗_K3πM^6π-

]

}

[

][

IK∗K4π

M^2Kp^µK

-3

IK∗K - IK∗Kπ

8A_KA_πM^2K∗ (Aπp^µK - AKp^π)

]

(

)

+ 2(A_K + A_π)2 M^2K∗ (AKp^µK - Aπp^π) - (AK + Aπ)²

M^2K + M^2π - q²

(A_πp^µK - A_Kp^µπ)

{

[

(

)

][(

(

)

(A_K + A_π)

IK∗K - IK∗Kπ

M^2K + M^2π

+I_K∗_2KπM^4K

4A^2K

M^2K + M^2π - q²

(

)

(

))

+ 2A_KA_π

M^2K + 4M^2π - 3M^2K∗ - q²

+A^2π

M^2K + M^2π - q²

p^µπ

(

)

]

−

A^2KM^2π + A_KA_π

3M^2K + 5M^2π - 3q²

+ 7A^2πM^2π

p^µK

- (A_K + A_π)[I_K∗_K

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

782

М. К. Волков, А. А. Пивоваров

] [(

(

)

(

)

- 2I_K∗_KπM^2π + I_K∗_K2πM^4π

A^2K

M^2K + M^2π - q²

+ 2A_KA_π

4M^2K + M^2π - 3M^2K∗ - q²

(

))

(

)

]

+ 4A^2π

M^2K + M^2π - q²

p^µK -

7A^2KM^2K + A_KA_π

5M^2K + 3M^2π - 3q²

+A^2πM^2K

p^µπ

[

(

)

(

)

]

IK∗K - IK∗Kπ

M^2K + 2M^2π

+I_K∗_K2π

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

-I_K∗_2K2πM⁶

[(

(

)

(

)

A^3K

M^2K + M^2π - q²

+ A_KA_π (A_K + 2A_π)

2M^2K + 3M^2π - 2q²

+A^3πM^2π

p^µK

(

)

(

)

]

−

A^3π

M^2K + M^2π - q²

+ A_KA_π (2A_K + A_π)

3M^2K + 2M^2π - 2q²

+A^3KM^2K

p^µ

[

(

)

][(

(

)

-2

IK∗K - IK∗Kπ

2M^2K + M^2π

+ 3I_K∗_2KπM^4K - I_K∗_3KπM^6K

A^3K

M^2K + M^2π - q²

(

)

(

)

+A^2KA_π

2M^2K + 11M^2π - 2q²

+A_KA^2π

M^2K + 7M^2π - q²

+ 3A^3πM^2π

p^µπ

(

)

]}}

−A_K

A^2K + 2A_KA_π + 7A^2π

M^2πp^µK

(16)

{

[

]

F^ρµ =

6 (A_K + A_π)

IρKπ M^K - 3Iρ2KπM^K + 3Iρ3Kπ M^K - Iρ4Kπ M^K

M^2Kp^µK

6M²

[

]

+ 6(A_K + A_π)

-I_ρKπM^2π + 3I_ρK2πM^4π - 3I_ρK3πM^6π + I_ρK4πM^8π

M^2πp^µπ

[

(

)

(

)]

−3

Iρ - IρKπ

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

+I_ρ2Kπ

M^6K + M^6π

[(3A_K + A_π ) p^µK - (A_K + 3A_π) p^µπ]

[

(

)

(

)

]

+ 3(A_K + A_π)

Iρ - IρK

2M^2K + M^2π

+I_ρKπ

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

-I_ρ2KπM^6K

p^µK

[

(

)

]

− 3(A_K + A_π)

Iρ - IρK

M^2K + 2M^2π

+ 3I_ρKπM^4π - I_ρK2πM^6π

p^µπ

[

(

)

(

)

]

− 3(A_K + A_π)

IρK - IρKπ

M^2K + 2M^2π

+I_ρK2π

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

-I_ρ2K2πM⁶

[

]

[

(

)

(

)

M^2Kp^µπ - M^2πp^µK

+ 2(A_K + A_π)

IρK - 2IρKπ

M^2K + M^2π

+I_ρK2π

3M^4K + 2M^2KM^2π + M⁴

][

(

)

]

- 4I_ρ2K2πM^6K + I_ρ3K2πM^8K

M^2Kp^µπ -

M^2K + M^2π - q²

p^µK

- 2(A_K + A_π)[I_ρK

(

)

(

)

(

)(

)

−I_ρKπ

M^2K + 3M^2π

+I_ρK2π

M^4K + 2M^2KM^2π + 3M^4π

- 4I_ρK3π

M^2K + M^2π

M^4K + M⁴

][

(

)

]

[

(

)

+I_ρ2K3πM^8K

M^2πp^µK -

M^2K + M^2π - q²

p^µπ

IρK - IρKπ

2M^2K + M^2π

+ 3I_ρ2KπM^4K

] [(

)

]

−I_ρ3KπM^6K

(7A_K + 4A_π)M^2K + (A_K + A_π)M^2π - (A_K + A_π)q²

p^µK - (A_K + 4A_π)M^2Kp^µ

[

] [(

-2

IρK - 3IρKπ

+I_ρK2πM^4π -I_ρK3πM^6π

(4A_K + 7A_π) M^2π + (A_K + A_π ) M^2K

)

]

[

(

)

]

− (A_K + A_π) q²

p^µπ - (4A_K + A_π)M^2πp^µK

M^2K + M^2π

+I_ρ2KπM⁴

IρK - IρKπ

[(

(

)

(

))

A_K

11M^2K + 5M^2π - 3M^2ρ - 5q²

+A_π

2M^2K + 2M^2π - 3M^2ρ - 2q²

p^µK

(

))

]

[

(

)

−

2A_KM^2K + A_π

11M^2K + 3M^2π - 3q²

p^µπ

M^2K + 2M²

IρK - IρKπ

(

)

] [(

(

)

+I_ρK2π

M^4K + M^2KM^2π + M^4π

-I_ρ2K2πM^6K

A_K

5M^2K + 7M^2π - 5q²

(

))

(

)

(

))

]

+ 2A_π

M^2K + 2M^2π - q²

p^µK -

A_π

7M^2K + 5M^2π - 5q²

+ 2A_K

2M^2K + M^2π - q²

p^µπ

[

][(

(

)

(

)

IρK - IρKπ

A_K

M^2K + M^2π - 3M^2ρ - q²

-A_πM^2ρ

p^µK -

A_π

M^2K + M^2π - 3M^2ρ - q²

)

]

[

][(

(

))

−A_KM^2ρ

p^µπ

−

IρK - 2IρKπ

+I_ρK2πM^4π

2A_πM^2π + A_K

3M^2K + 11M^2π - 3q²

p^µK

(

)

(

))

]}

−

A_K

2M^2K + 2M^2π - 3M^2ρ - 2q²

+A_π

5M^2K + 11M^2π - 3M^2ρ - 5q²

p^µπ

(17)

где

∫

d⁴k

IK∗n1Kn2π = -

(2π)⁴

(M^2K∗ - k²) (M^2K - k²)n1 (M^2π

-k²)n2

∫

d⁴k

(

)

(18)

Iρn1 Kn2π = -

(2π)⁴

M^2ρ - k²

(M^2K - k²)n1 (M^2π

-k²)n2

Сходящихся слагаемых в полученных выражени-

частей и уточнение полученных результатов может

ях большинство. Если их отбросить, то ответ изме-

рассматриваться как отдельная задача для будущих

нится всего приблизительно на 5 %. Это дает осно-

работ.

вания полагать, что конечные части вносят неболь-

Авторы выражают благодарность А. Б. Арбузову

шой вклад. Настоящая работа выполнена в данном

за интерес к данной работе и полезные обсуждения.

предположении. Полное вычисление всех конечных

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021

Распад τ → K^-π⁰ν_τ в модели Намбу-Иона-Лазинио. . .

783

1. A. Lusiani (BaBar), PoS EPS-HEP2019, 216 (2020);

11. M. K. Volkov and A. E. Radzhabov, Phys. Usp. 49, 551

doi 10.22323/1.364.0216.

(2006).

2. P. A. Zyla, R. M. Barnett, J. Beringer et al. (Particle

12. M. K. Volkov, A. B. Arbuzov, and D. G. Kostunin, Phys.

Data Group), PTEP 2020(8), 083C01 (2020).

Rev. D 86, 057301 (2012).

3. B. Aubert, M. Bona, D. Boutigny et al. (BaBar), Phys.

13. M. K. Volkov, A. A. Pivovarov, and K. Nurlan, Eur.

Phys. J. A 55(9), 165 (2019).

Rev. D 76, 051104 (2007).

14. M. K. Volkov and A. A. Pivovarov, JETP Lett. 110(4),

4. Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345

237 (2019).

(1961).

15. M. K. Volkov, A. A. Pivovarov, and K. Nurlan, Nucl.

5. T. Eguchi, Phys. Rev. D 14, 2755 (1976).

Phys. A 1000, 121810 (2020).

6. D. Ebert and M. K. Volkov, Z. Phys. C 16, 205 (1983).

16. M. K. Volkov, A. B. Arbuzov, and A. A. Pivovarov,

7. M. K. Volkov, Sov. J. Part. Nucl. 17, 186 (1986) [Fiz.

JETP Lett. 112(8), 457 (2020).

Elem. Chast. Atom. Yadra 17, 433 (1986)].

17. D. Ebert and M. K. Volkov, Fortsch. Phys. 29,

8. D. Ebert and H. Reinhardt, Nucl. Phys. B 271, 188

(1981).

(1986).

18. M. Finkemeier and E. Mirkes, Z. Phys. C 72, 619 (1996).

9. U. Vogl and W. Weise, Prog. Part. Nucl. Phys. 27, 195

19. M. Jamin, A. Pich, and J. Portoles, Phys. Lett. B 640,

(1991).

176 (2006).

10. D. Ebert, H. Reinhardt, and M. K. Volkov, Prog. Part.

20. D. R. Boito, R. Escribano, and M. Jamin, Eur. Phys. J.

Nucl. Phys. 33, 1 (1994).

C 59, 821 (2009).

Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 11 - 12

2021