Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 12, с. 824 - 832

Магнитно-электронная неустойчивость графена на ферромагнитной

подложке

Д.Н.Дресвянкин⁺, А.В.Рожков^∗1), А.О. Сбойчаков^∗

⁺Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) (МФТИ),

141701 Долгопрудный, Россия

^∗Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, 125412 Москва, Россия

Поступила в редакцию 11 ноября 2021 г.

После переработки 11 ноября 2021 г.

Принята к публикации 11 ноября 2021 г.

В данной работе теоретически исследуется графен на ферромагнитной подложке. Нами показано,

что при низких температурах такая система обладает неустойчивым электронным состоянием. А именно,

при определенных условиях идеальная однородная ферромагнитная поляризация нарушается спонтанно

возникающим подкосом. Появление подкоса в подложке приведет к открытию диэлектрической щели в

одноэлектронном спектре графена. В статье проводится расчет этой щели, а также обсуждаются условия

наблюдения неустойчивости на эксперименте.

DOI: 10.31857/S1234567821240071

1. Введение. Графен - двумерная углеродная

подобных систем проводились и численными мето-

структура с гексагональной решеткой. Огромный ин-

дами [6, 7]. Многообразие научных тем, поднятых в

терес к этому материалу вызван необычными физи-

этих и близких [3,8-11] работах, свидетельствует о

ческими свойствами, например, крайне высокой по-

том, что графен, находящийся в контакте с ферро-

движностью электронов, а также возможностью кон-

магнитной подложкой (а также родственные систе-

тролировать концентрацию носителей заряда за счет

мы), рассматриваются сообществом как интересный

затворного напряжения. Эта углеродная структура

и перспективный объект научного внимания.

считается многообещающим объектом для приложе-

В данной работе мы будем теоретически изу-

ний в области спинтроники [1, 2]. В связи с этим

чать низкотемпературную неустойчивость электрон-

в последние годы было проведено огромное количе-

ной жидкости графена, находящегося на ферромаг-

ство исследований магнитных свойств графена. Бы-

нитной подложке. Сама по себе тема электронных

ли также предложены концепции устройств, работа-

неустойчивостей графена и систем на его основе име-

ющих на принципах спинтроники, основным струк-

ет долгую исследовательскую историю. В частности,

турным элементом которых являлся графен [3, 4].

возникновение упорядоченных электронных состоя-

Одним из перспективных способов управления

ний в графене в параллельном магнитном поле было

спиновыми свойствами графена является помеще-

рассмотрено в работе [12]. Большой объем литера-

ние графенового образца на магнитную подложку.

туры был посвящен изучению спонтанного упорядо-

Например, в экспериментальной работе [5] авторы

чения в однослойном графене под действием силь-

сообщают о создании гетероструктуры, состоящей

ного межэлектронного кулоновского отталкивания

из графена на ферромагнитном субстрате EuS. В

[13-20]. Неустойчивости двуслойных систем (как с

такой ситуации, из-за магнитного эффекта близо-

АВ упаковкой, так и с АА упаковкой) также активно

сти, электронные зоны графена утрачивают спино-

обсуждались [21-30].

вое вырождение, что сопровождается возникновени-

В отличие от упомянутых неустойчивостей, ме-

ем ферромагнитной поляризации электронной жид-

ханизм утраты стабильности, рассматриваемый на-

кости. Авторы данной работы предполагают, что в

ми в данной работе, не является чисто электрон-

гетероструктуре подобного типа эффективное зее-

ным. Он предполагает своего рода кооперацию меж-

мановское обменное поле для электронов в графене

ду электронной и магнитной подсистемами. А имен-

может быть доведено до сотен тесла. Исследования

но, мы покажем, что возникновение подкашиваю-

щей деформации идеального ферромагнитного упо-

¹⁾e-mail: arozhkov@gmail.com

рядочения в подложке приводит к понижению энер-

824

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

Магнитно-электронная неустойчивость графена на ферромагнитной подложке

825

Рис. 1. (Цветной онлайн) Графен на ферромагнитной подложке. Ориентация осей показана в левом нижнем углу.

Начало координат совпадает с центром правильного шестиугольника. Черные и красные точки обозначают атомы

углерода, образующие гексагональную решетку. Красные (черные) точки соответствуют подрешетке A (подрешетке

B). Черные отрезки, соединяющие атомы, обозначают химические связи углерод-углерод. Под графеном находится

ферромагнитная подложка. Синие стрелки изображают локальную намагниченность на поверхности ферромагнетика.

Панель (a) соответствует случаю идеальной намагниченности, см. ур. (9). Панель (b) представляет состояние с подко-

сом. Подкос - это периодически меняющаяся в пространстве компонента My полной намагниченности M, см. ур. (23)

и (24). Под атомами, принадлежащими разным подрешеткам, подкос имеет противоположный знак, в соответствии с

условием (24)

гии электронов в графене. Данное понижение всегда

где a₀ есть расстояние между соседними атомами уг-

будет компенсировать возрастание магнитной энер-

лерода в графене, а ê_x,y,z - единичные вектора в на-

гии подложки, связанное с появлением подкоса, при

правлении соответствующих осей. Решетка графена

условии, что подкос достаточно слаб. Это указыва-

может быть разбита на две одинаковые подрешетки,

ет на неустойчивость состояния с идеальным ферро-

подрешетку A и подрешетку B. Координаты атомов

магнитным порядком. Как сама неустойчивость, так

на подрешетках A и B задаются векторами

и возникающее упорядоченное состояние, являются

предметом рассмотрения данной статьи.

R_A,B = a₁n₁ + a₂n₂ ∓ a₀ê_y, n_1,2 ∈ Z.

(2)

2. Геометрия решетки графена. Для описа-

На рисунке 1 узлы, соответствующие разным подре-

ния геометрии графеновой решетки мы выберем си-

шеткам, изображены разным цветом.

стему координат так, чтобы оси Oy и Oz лежали бы

Зона Бриллюэна в графене имеет форму правиль-

в плоскости графена, а ось Ox была бы перпенди-

ного шестиугольника, а вектора обратной решетки

кулярна подложке и направлена от ее поверхности,

даются выражениями:

см. рис. 1a. Такой выбор осей отличается от “кано-

нического”, предполагающего, что графен распола-

2π

√

гается в плоскости Oxy. Однако наш способ упростит

b_1,2 =

(ê_y ±

3ê_z).

(3)

3a₀

работу со спиновой подсистемой, поскольку он поз-

волит нам совместить “традиционную” ось спиново-

3. Гамильтониан графена на ферромагнит-

го квантования Oz с направлением намагниченности

ной подложке. В этом разделе мы сформулиру-

субстрата.

ем теоретическую модель графена на ферромагнит-

Решетка графена описывается элементарными

ной подложке. Мы будем использовать приближение

векторами трансляции

сильной связи, а межэлектронным взаимодействием

√

)

пренебрежем. В отсутствие субстрата гамильтониан

(√

a_1,2 =

a₀

3ê_y ± ê_z

(1)

графена можно представить следующим образом:

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

826

Д.Н.Дресвянкин, А.В.Рожков, А.О.Сбойчаков

∑

Ĥ=

Φ†

(4)

Ĥ_Z = h

S^zRα.

(10)

Rα

В данной формуле h - энергия зеемановского рас-

где

Φ_q - биспинорный оператор, соответствующий

щепления, а оператор спина

состояниям с квазиимпульсом q. Он определяется

следующим образом:

S^zRα =

d^†Rα↑

d_Rα↑ -

d^†Rα↓

d_Rα↓,

(11)





ˆqA↑





где

d_Rασ - оператор уничтожения электрона в эле-

dqB↑

Φ_q =



.

(5)

ментарной ячейке с координатой R в подрешетке α,





d_qA↓

с проекцией спина σ (Фурье образ оператора

d_qασ).

d_qB↓

Свяжем зеемановское расщепление в графене с на-

магниченностью в субстрате с помощью феноменоло-

В этом выражении

dqασ - оператор уничтожения

гического коэффициента пропорциональности τ сле-

электрона с квазиимпульсом q, находящимся на под-

дующим образом:

решетке α = A, B и имеющем спин σ = ↑, ↓. Матрица

Ĥ_q имеет вид:

h=τM.

(12)





Принимая во внимание формулу (10), перепишем

Ĥ_q

-tf_q





с учетом зеемановского взаимодействия в следую-



tf^∗q



Ĥ_q =

-

,

(6)

щем виде:





 0

-tf_q





-tf^∗q

-tf_q





−tf∗q





где t - интеграл перескока. Он имеет значение по-

Ĥ_q =

.

(13)





 0

-h

-tf_q

рядка 2.5 - 3 эВ, а функция f_q дается выражением:

-tf^∗q

-h

[

(√

)]

(3ia₀q_y )

3a₀q_z

f_q =

1 + 2exp

cos

После диагонализации нашей матрицы получим зон-

ную структуру электронов графена, находящегося

× exp(-ia₀q_y).

(7)

на ферромагнитной подложке:

В отсутствие магнитного поля или магнитной под-

ε^(1,2,3,4)q = ±h ± t|f_q|.

(14)

ложки матрица (6) явным образом распадается на

два идентичных диагональных блока. Каждый диа-

Это выражение демонстрирует, что в присутствии

гональный блок соответствует определенной проек-

магнитной подложки зонная структура графена со-

ции электронного спина. Из-за такой структуры га-

стоит из четырех невырожденных зон. Из четырех

мильтониана собственные энергии, дающиеся хоро-

зон две выходят на уровень Ферми, образуя (по-

шо известным выражением:

чти) круговые поверхности Ферми вокруг каждой из

двух неэквивалентных точек Дирака зоны Бриллю-

ε^±q = ±t|f_q|,

(8)

эна графена. Итоговая дисперсия вблизи одной из

точек Дирака изображена на рис.2.

оказываются вырождены по спиновому индексу.

Стоит обратить внимание на то, что поверхность

Далее мы будем рассматривать графен, который

Ферми возникла в системе без внешнего допирова-

лежит на ферромагнитной подложке. Будем считать,

ния. Иными словами, зеемановское поле привело к

что намагниченность M в ферромагнетике направле-

самодопированию: часть электронов сменила проек-

на вдоль оси Oz:

цию спина на противоположную, что привело к об-

разованию дырочных носителей в обедненной зоне

M = M(0,0,1), M > 0.

(9)

и электронных носителей в обогащенной зоне. Из-

Из-за обменного взаимодействия между графеном

за такого спин-зависимого механизма возникновения

и субстратом в зонной структуре графена пропадет

получившиеся поверхности Ферми не являются вы-

вырождение электронных состояний по спину. Опи-

рожденными по спину, как в обычном металле. Воз-

шем этот эффект, введя зеемановский член в га-

никшее состояние можно охарактеризовать как спин-

мильтониан. Для намагниченности, даваемой фор-

долинный полуметалл (spin-valley half-metal), вве-

мулой (9), данный член имеет следующий вид:

денный в работах [31-34].

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

Магнитно-электронная неустойчивость графена на ферромагнитной подложке

827

ностью заполненной зоны, энергии E₂ частично за-

полненной зоны и энергии E₃ частично пустой зоны

(см. рис. 2):

E₁ = E₁ + E₂ + E₃,

(15)

где E_1,2,3, в свою очередь, будут иметь вид:

∑

E₁ =

(-h - t|f_q|),

(16)

∑

E₂ =

(-h + t|f_q|)θ(h - t|f_q|),

(17)

∑

E₃ =

(h - t|f_q|)θ(-h + t|f_q|),

(18)

где θ(x) - функция Хевисайда. Учитывая, что плот-

ность состояний вблизи точек Дирака выражается

как

S|ε|

ν(ε) =

(19)

πv^2F

где S - площадь графена, несложно вычислить зна-

чения энергий отдельных зон:

)

Рис. 2. (Цветной онлайн) Схематическое изображение

(W³

W²

E₁ = -

низкоэнергетической электронной структуры графена

πv²

на подложке с идеальной ферромагнитной упорядочен-

Sh³

ностью, см. ур. (14). Горизонтальная ось изображает

E₂ = -

6πv²

двумерное импульсное пространство. По вертикальной

)

оси отложена энергия. Начало координат соответствует

(W³

W²

h³

E₃ = -

-h

(20)

точке Дирака (дисперсия электронов одинакова вбли-

πv²

зи обеих точек Дирака). Для электронных состояний

В этих выражениях величина W представляет энер-

со спином σ = ↑ (σ = ↓) вершина конуса Дирака сдви-

гию, ниже которой плотность состояний приближен-

гается на величину h (на величину -h). Зона, изоб-

раженная синей линией (красной линией), полностью

но описывается линейной функцией, описываемой

пуста (полностью заполнена). Лиловая линия (зеленая

ур. (19). Этот масштаб может быть примерно оценен

линия) соответствует зоне, выходящей на уровень Фер-

как

ми, и формирующей дырочную (электронную) поверх-

ность Ферми. Электронная и дырочная поверхности

W ∼ 0.8t.

(21)

Ферми совпадают, демонстрируя идеальный нестинг с

Учет состояний с более высокой энергией при рас-

нулевым вектором нестинга

смотрении неустойчивости поверхности Ферми даст

Другим важным свойством полученной электрон-

крайне малый вклад, которым можно пренебречь.

ной структуры является нестинг поверхности Фер-

Итоговое выражение для E₁ принимает вид:

ми. А именно, дырочная поверхность Ферми (она

)

(2W³

h³

образована одночастичными состояниями со спином

E₁ = -

(22)

πv²

σ= ↑) совпадает с электронной поверхностью Ферми

(ее формируют состояния, для которых σ = ↓). Хо-

Как видно из этой формулы, однородное зееманов-

рошо известно, что поверхности Ферми с нестингом

ское поле h вносит поправку O(h³) в электронную

утрачивают стабильность при учете коллективных

энергию графена.

эффектов. Именно на этом и основан исследуемый

4. Электронный спектр графена при нали-

механизм магнитно-электронной неустойчивости.

чии подкоса ферромагнитного порядка. Теперь

Для дальнейших расчетов нам понадобится элек-

рассмотрим ситуацию, когда в субстрате у идеально-

тронная энергия графена на ферромагнитной под-

го ферромагнитного порядка, описываемого выраже-

ложке. Эта энергия складывается из энергии E₁ пол-

нием (9), появляется малый подкос по оси Oy:

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

828

Д.Н.Дресвянкин, А.В.Рожков, А.О.Сбойчаков

(

)

M=M

0, m, 1 + O(m²)

(23)

Oy на подрешетке B. В такой ситуации зеемановский

член (10) требует модификации: определим для каж-

где величина m = m(r) = m(x, y, z), |m| ≪ 1, ха-

дой из подрешеток свой зеемановский член. Обозна-

рактеризует отклонение вектора намагниченности от

чим их

Ĥ_ZA и

Ĥ_ZB:

оси Oz, а трехмерный радиус-вектор r = xê_x + yê_y +

∑

+ zê_z, у которого x < 0, задает положение точки

Ĥ_ZA = h

S^z

+h_⊥

S^yRA,

в трехмерной подложке (напомним, что поверхность

∑

подложки, на которой лежит образец графена, соот-

Ĥ_ZB = h

S^z

-h_⊥

S^yRB.

(27)

ветствует условию x = 0).

Среди всех возможных видов подкоса мы будем

рассматривать весьма специальную форму подкаши-

Здесь

вающей деформации m. Для нас важно, чтобы значе-

h_⊥ = τMm_⊥,

(28)

ние m на поверхности ферромагнетика под атомами

углерода, принадлежащими подрешетке A, было бы

что является прямолинейным обобщением ур. (12) на

равно некоей конечной величине m_⊥, а под атомами,

случай намагниченности, отклоняющейся от идеаль-

принадлежащими подрешетке B, величина подкоса

ного ферромагнитного порядка. Как мы видим, вто-

равнялась бы -m_⊥. Это соотношение можно ком-

рое слагаемое входит в формулы для

Ĥ_ZA и

Ĥ_ZB с

пактно выразить следующим образом:

разным знаком, в соответствии с условием (24).

m(0, R_A) = -m(0, R_B) = m_⊥.

(24)

Учитывая, что:

(

)

Именно такая структура подкоса m приведет к воз-

S^yRα = i

d^†Rα↓

d_Rα↑ -

d^†Rα↑d

(29)

Rα↓

никновению диэлектрической щели в спектре одно-

электронных возбуждений графена, а также к рез-

запишем эрмитову матрицу

Ĥ_q для ситуации с под-

кому (неаналитическому) понижению электронной

косом

энергии графена. Соответствующие расчеты будут





приведены в этом разделе. Схематически состояние

-tf_q

-ih_⊥

с подкосом изображено на рис. 1b.





−tf∗q

ih_⊥



Что касается конкретной функции, удовлетворя-

Ĥ_q =



.

(30)





 ih⊥

-h

-tf_q

ющей условию (24), то, если мы будем приближенно

рассматривать подложку как сплошную среду, пре-

-ih_⊥

-tf^∗q

-h

небрегая ее кристаллической структурой, можно на-

писать:

Собственные значения этой матрицы имеют вид:

∑

√

m(0, R) = -

√

m_⊥ sin(KR),

(25)

ε^(1,2,3,4)q = ± h^2⊥ + (h ± t|f_q|)².

(31)

Зонная структура вблизи одной из точек Дирака в

где переменная R рассматривается как непрерывная

случае дисперсионной зависимости (31) изображена

(не дискретная) величина в R², а вектор K принима-

на рис. 3. Мы видим, что поверхность Ферми исчез-

ет значения

ла, а в одноэлектронном спектре образовалась щель,

K = b₁, K = b₂, K = -b₁ - b₂.

(26)

как мы и предсказывали в начале данного раздела.

Далее вычислим полную электронную энергию

Конечно же, функция (25) не является единствен-

графена E₂ в этом случае. Действовать будем по ана-

ным выбором, совместимым с требованием (24). Бо-

логии с выводом ур. (15). Энергии заполненных зон

лее того, несложно убедиться, что функций, совме-

будут выражаться из следующих формул:

стимых с условием (24), бесконечно много. Преиму-

щество суммы (25) в том, что она содержит ми-

∫

√

нимальное число (шесть) плоских волн, при этом

E_1,2 = -

dε ε h^2⊥ + (h ± ε)².

(32)

πv²

все пространственные частоты |K| = 4π/(3a₀) име-

ют минимально возможное значение, совместимое с

ур. (24).

После интегрирования и сложения энергий указан-

Учтем влияние подкоса на электронные свойства

ных зон, получим выражение для электронной энер-

графена. С этой целью введем зеемановское поле, на-

гии графена в случае подкоса в подложке. Эта энер-

правленное по оси Oy на подрешетке A и против оси

гия выражается как

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

Магнитно-электронная неустойчивость графена на ферромагнитной подложке

829

рамках данной теории энергия магнитного состояния

равна:

∑

E_m = -

MriMri+δ .

(34)

iδ

В этом выражении символ r_i обозначает положение

i-го атома в трехмерной решетке ферромагнетика,

вектора δ соединяют данный атом с его ближай-

шими соседями, J - интеграл обменного взаимодей-

ствия, а Mri - намагниченность в узле i. Мы предпо-

лагаем, что вектора Mri имеют одинаковую длину:

|Mri| = M для всех i.

Для модели такого типа мы можем вывести сле-

дующее выражение для температуры Кюри

JM²Z

T_C =

(35)

где Z - число ближайших соседей у одного атома.

Это выражение может быть получено с помощью ме-

тода среднего поля, примененного к энергии (34). Ра-

венство (35) позволяет оценить J, используя экспе-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Схематическое изображение

риментальные данные о температуре Кюри, низко-

низкоэнергетической электронной структуры графена

температурной намагниченности подложки M и Z.

на подложке с наличием подкоса у намагниченности,

Далее, используя сначала тождественное преоб-

см. ур. (31). Горизонтальная ось изображает двумерное

разование формулы (34), а затем, переходя от сум-

импульсное пространство. По вертикальной оси отло-

мирования по решетке к интегрированию по объему

жена энергия. Заполненные зоны (красная и лиловая

субстрата, получим в континуальном пределе:

линии) содержат в себе смешанные электронные состо-

яния, возникшие в результате гибридизации электрон-

J∑

E_m = -

JZM²N +

(Mri - Mri+δ)² =

ных и дырочных состояний. Лиловая зона отстоит от

iδ

уровня с нулевой энергией на величину -h_⊥. Пустые

∫

JM²

зоны изображены зеленой и синей линиями соответ-

= -3JNM² +

(∇m)²dV,

(36)

ственно. В спектре видна щель величиной 2h_⊥

2a₀

где N обозначает количество узлов в магнитной под-

[2W

(

ложке. Далее мы будем предполагать, что матери-

E₂ = -

+Wh^2⊥ -

h^2⊥ + h²

² +

πv²

ал субстрата имеет кубическую решетку. Поэтому в

√

ур. (36) мы положили Z = 6. Также мы считали для

( 2h )].

+h²

h^2⊥ + h² + hh^2⊥ ln

(33)

простоты, что элементарная длина кристаллической

h_⊥

решетки подложки равна a₀ (обобщение на произ-

вольную элементарную длину тривиально). Кроме

Данная формула показывает, что подкос не толь-

этого, был использована подстановка (23) для век-

ко открывает щель, но и приводит к возникнове-

тора намагниченности.

нию неаналитического вклада в электронную энер-

Анализируя выражение (36), легко прийти к вы-

гию, который представляется последним слагаемым

воду, что при нулевом подкосе энергия ферромагне-

в формуле (33). Именно эта неаналитичность, как мы

тика на простой кубической решетке будет равна:

увидим ниже, будет приводить к потере устойчиво-

сти неподкошенного состояния.

E_∥ = -3JNM² .

(37)

5. Энергия ферромагнетика в случае с под-

∫

косом на подрешетках. Далее мы должны вы-

Cлагаемое, пропорциональное

dV (∇m)² в форму-

числить возрастание магнитной энергии субстрата

ле (36), отвечает за возрастание энергии, связанное

за счет возникновения подкашивающей деформации

с подкосом.

идеальной ферромагнитной намагниченности. Для

Нам необходимо найти функцию m(r) такую, что

этого воспользуемся молекулярной теорией Вайса. В

она удовлетворяет условию (25) на поверхности, и

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

830

Д.Н.Дресвянкин, А.В.Рожков, А.О.Сбойчаков

при этом доставляет минимум функционалу энер-

Подставляя сюда выражение для скорости Ферми

гии (36). Поступая стандартным образом, мы варьи-

v_F =³² a₀t, получим окончательный результат:

руем m под знаком интеграла. Проделав эту мате-

(

)

матическую операцию, получим уравнение Лапласа

π²t²J

Δ = 4τM exp

(44)

для величины m:

τM

3τ³M

∇²m = 0 .

(38)

Кроме этого, в некоторых случаях удобно использо-

вать и другую форму выражения для Δ:

Решая это дифференциальное уравнение с гранич-

)

ными условиями, выводим следующее выражение

π²t²T_C

Δ = 4hexp

(45)

для m в подложке (x < 0):

6h³

(

)∑

m(r) = -

√

m_⊥ exp

ξ^-1x

sin (KR) ,

(39)

Для гетероструктуры, описанной в эксперименталь-

ной статье [5] (графен на подложке из ферромагнит-

ного EuS, T_C = 16 K), авторы предполагали, что зее-

где

мановское расщепление, индуцированное субстратом

4π

ξ^-1 = |K| =

(40)

в графене, может достигать сотен тесла, что соот-

3a₀

ветствует h ≳ 6 мэВ. При таких параметрах вели-

Как мы видим, подкос максимально силен непосред-

чина щели оказывается чрезвычайно малой и несу-

ственно у поверхности, соприкасающейся с графеном

щественной. Это главным образом связано с тем, что

(x = 0), и быстро спадает при удалении вглубь под-

амплитуда перескока в графене t ≈ 3 эВ намного пре-

ложки.

восходит h. Более развернутое обсуждение возмож-

Подставляя найденную функцию m(r) в форму-

ности экспериментального обнаружения магнитно-

лу (36) и производя интегрирование, получим по-

электронной неустойчивости будет проведено в сле-

правку к энергии, которая возникает в результате

дующем разделе.

подкоса намагниченности подложки:

7. Обсуждение и выводы. В данной работе мы

теоретически показали, что основное состояние гра-

4π Jm^2⊥M²S

4π Jh^2⊥S

δE_m =

(41)

фена, находящегося на ферромагнитной подложке,

a²⁰

27 a²⁰τ²

неустойчиво по отношению к спонтанному возник-

Как мы видим, магнитная энергия, связанная с под-

новению подкашивающей деформации намагничен-

косом, квадратична по m_⊥ и не содержит неанали-

ности. В результате развития неустойчивости ком-

тических членов.

бинированной магнитно-электронной природы про-

исходит фазовый переход. Он сопровождается ис-

6. Расчет щели в случае наличия подкоса.

Далее мы посмотрим, какая из структур намагничен-

чезновением идеальной однородной ферромагнитной

намагниченности подложки вблизи поверхности кон-

ности обладает меньшей полной энергией: структура

с подкосом или без подкоса. Разница в энергии систе-

такта с графеном, а также появлением диэлектриче-

ской щели в одноэлектронном спектре графена. Для

мы “подложка плюс графен” в состояниях с подкосом

и без него, очевидно, равна δE = E₂ - E₁ + δE_m, где

этой щели нами были выведены формулы (43), (44)

E₁ и E₂ даются формулами (22) и (33), соответствен-

и (45).

В случае гетероструктуры, описанной в рабо-

но. Минимизируя δE по h_⊥, получим уравнение:

те [5], эта щель пренебрежимо мала. Однако не сто-

∂δE

{4π J

ит упускать из внимания ряд обстоятельств, которые

= 2Sh_⊥

∂h_⊥

27 a²⁰τ²

могут позволить нашей неустойчивости проявить се-

[

( 2h)]} = 0.

бя более явным образом. Во-первых, наша модель не

W - h + hln

(42)

πv^2F

h_⊥

включала эффекты электрон-электронного взаимо-

действия в графене. Учет взаимодействия, безуслов-

Оно имеет два решения: h_⊥ = 0 (нет подкоса) и

но, будет влиять на конечный ответ: известно, что

h_⊥ = h^∗⊥ = 0 (есть подкос). Можно показать, что

кулоновское взаимодействие приближает графен к

минимуму энергии всегда соответствует решение с

порогу магнитной неустойчивости. Во-вторых, при-

подкосом h_⊥ = h^∗⊥ = 0. При этом щель в спектре

веденные теоретические рассуждения распространя-

будет равна:

ются на любую другую гетероструктуру, в которой

)

4π²v^2FJ

графен замещен на какой-то иной двумерный дира-

Δ = 2h^∗⊥ = 4hexp

(43)

ковский материал. Если у дираковского материала

27a²⁰τ2h

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

Магнитно-электронная неустойчивость графена на ферромагнитной подложке

831

на ферромагнитной подложке параметр t будет мень-

одноэлектронных возбуждений графена на магнит-

ше, чем у графена, щель сразу увеличится. Анало-

ной подложке происходит снятие вырождения по

гичную роль играет понижение скорости Ферми [дей-

спиновой проекции. При этом часть электронов ме-

ствительно, как следует из ур.(43) и (44), именно

няет ориентацию спинов на противоположную, что

большие значения амплитуды перескока t или ско-

приводит к образованию дырочных носителей в обед-

рости Ферми v_F = 3ta₀/2, входящие в показатель

ненной зоне и появлению электронных носителей

экспоненциальной функции как t² и v^2F, приводят

в обогащенной зоне. Дырочная и электронная по-

к подавлению Δ]. В качестве примера интересного

верхности Ферми будут совпадать, т.е. возникнет

для нас материала можно указать двумерный под-

нестинг поверхности Ферми, и, как следствие, утра-

крученный графен. Подкрученный графен является

тится устойчивость исходного многочастичного со-

дираковским материалом, скорость Ферми которого

стояния. В итоге, в приповерхностном слое подлож-

зависит от угла подкрутки. В образце с малой ско-

ки будет спонтанно нарушаться идеальная однород-

ростью Ферми можно ожидать усиления магнитно-

ная ферромагнитная поляризация, и намагничен-

электронной неустойчивости. Кроме того, открытие

ность приобретет пространственно-модулированную

новых двумерных дираковских материалов, которые

подкашивающую деформацию. После перехода си-

будут обладать значительно меньшим интегралом

стемы в устойчивое состояние в спектре графена

перескока, способствовало бы экспериментальной ве-

будет возникать диэлектрическая щель, выражение

рификации наших выводов.

для которой было найдено нами.

В дополнение к этому, возможна оптимизация си-

стемы за счет подбора материала подложки. Как

W. Han, R. K. Kawakami, M. Gmitra, and J. Fabian,

видно из формулы (44), уменьшение обменного ин-

Nature Nanotechn. 9, 794 (2014).

теграла J в веществе субстрата приводит к увели-

S. Roche, J.

Åkerman, B. Beschoten et al.

чению щели, ведь высокие значения обменного ин-

(Collaboration), 2D Mater. 2, 030202 (2015).

теграла препятствуют искажению идеального фер-

ромагнитного порядка в веществе подложки. Из той

C. Cardoso, D. Soriano, N. A. Garcia-Mart´inez, and

J. Fernández-Rossier, Phys. Rev. Lett. 121, 067701

же формулы также можно увидеть, что, чем силь-

(2018).

нее магнитный эффект близости между субстратом

S. S. Gregersen, S. R. Power, and A.-P. Jauho, Phys.

и графеном (чем выше τ), тем больше значение ди-

Rev. B 95, 121406(R) (2017).

электрической щели. Это вполне естественно, ведь

P. Wei, S. Lee, F. Lemaitre, L. Pinel, D. Cutaia, W. Cha,

чем лучше графен “чувствует” намагниченность под-

F. Katmis, Y. Zhu, D. Heiman, J. Hone, J. S. Moodera,

ложки, тем сильнее будет проявлять себя неустойчи-

and C.-T. Chen, Nature Materials 15, 711 (2016).

вость в рассматриваемой системе.

K. Zollner, M. Gmitra, T. Frank, and J. Fabian, Phys.

Давайте попробуем оценить желательные пара-

Rev. B 94, 155441 (2016).

метры гетероструктуры, гарантирующие уверенное

H. X. Yang, A. Halla, D. Terrade, X. Waintal, S. Roche,

экспериментальное наблюдение неустойчивости. Для

and M. Chshiev, Phys. Rev. Lett. 110, 046603 (2013).

этого потребуем, чтобы в формуле (45) показатель

I. S. Sokolov, D.V. Averyanov, O. E. Parfenov,

экспоненты был близок к нулю:

I. A. Karateev, A. N. Taldenkov, A. M. Tokmachev, and

V. G. Storchak, Mater. Horiz. 7, 1372 (2020).

0.8t

π²t²T_C

∼

(46)

6h³

D. V. Averyanov, I. S. Sokolov, A.M. Tokmachev,

O. E. Parfenov, I.A. Karateev, A. N. Taldenkov, and

Для ферромагнитной подложки с T_C = 1 K это усло-

V. G. Storchack, ACS Appl. Mater. Interfaces 10, 20767

вие будет выполнено при h ≈ 20 мэВ, что соответ-

(2018).

ствует зеемановскому полю B_Z = h/µ_B ≈ 300 Tл.

10.

J. B. S. Mendes, O. Alves Santos, L. M. Meireles,

Если же T_C = 16 K, как, например, у EuS, то h ≈

R. G. Lacerda, L. H. Vilela-Leao, F. L. A. Machado,

≈ 80 мэВ или B_Z ≈ 1300 Tл. По мнению авторов ра-

R. L. Rodr´iguez-Suarez, A. Azevedo, and S. M. Rezende,

боты [5], подложка из EuS способна индуцировать

Phys. Rev. Lett. 115, 226601 (2015).

обменные поля в графене, достигающие сотен тесла.

11.

J. C. Leutenantsmeyer, A. A. Kaverzin, M. Wojtaszek,

Возможно ли усилить эти поля до тысяч тесла, пока-

and B. J. van Wees, 2D Mater. 4, 014001 (2016).

жут дальнейшие экспериментальные исследования.

12.

I. L. Aleiner, D. E. Kharzeev, and A. M. Tsvelik, Phys.

Подводя итоги, мы можем сказать, что из пред-

Rev. B 76, 195415 (2007).

лагаемой нами теоретической модели следует, что

13.

J. E. Drut and T. A. Lähde, Phys. Rev. Lett. 102,

вследствие магнитного эффекта близости в спектре

026802 (2009).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021

832

Д.Н.Дресвянкин, А.В.Рожков, А.О.Сбойчаков

14. J. Sabio, F. Sols, and F. Guinea, Phys. Rev. B 82,

25. A. Rozhkov, A. Sboychakov, A. Rakhmanov, and

121413 (2010).

F. Nori, Phys. Rep. 648, 1 (2016).

15. D. V. Khveshchenko, Phys. Rev. Lett.

87,

246802

26. R. Nandkishore and L. Levitov, Phys. Rev. Lett. 104,

(2001).

156803 (2010).

16. D. Khveshchenko, J. Phys.: Condens. Matter 21, 075303

27. R. Nandkishore and L. Levitov, Phys. Rev. B 82, 115124

(2009).

(2010).

17. V. Gamayun, E. V. Gorbar, and V. P. Gusynin, Phys.

28. M. Kharitonov, Phys. Rev. B 86, 195435 (2012).

Rev. B 81, 075429 (2010).

29. L. Brey and H. A. Fertig, Phys. Rev. B 87, 115411

18. W. Armour, S. Hands, and C. Strouthos, Phys. Rev. B

(2013).

81, 125105 (2010).

30. Y. Lemonik, I. Aleiner, and V. I. Fal’ko, Phys. Rev. B

19. S. Sorella and E. Tosatti, Europhys Lett. 19, 699 (1992).

85, 245451 (2012).

20. J. Sabio, F. Sols, and F. Guinea, Phys. Rev. B 81,

31. А. В. Рожков, А. О. Сбойчаков, Д. А. Хохлов,

045428 (2009).

А. Л. Рахманов, К. И. Кугель, Письма в ЖЭТФ 112,

21. A. L. Rakhmanov, A. V. Rozhkov, A. O. Sboychakov,

764 (2020).

and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 109, 206801 (2012).

32. A. L. Rakhmanov, A. O. Sboychakov, K. I. Kugel,

22. A. O. Sboychakov, A. L. Rakhmanov, A. V. Rozhkov,

A. V. Rozhkov, and F. Nori, Phys. Rev. B 98, 155141

and F. Nori, Phys. Rev. B 87, 121401 (2013).

(2018).

23. A. O. Sboychakov, A. V. Rozhkov, A. L. Rakhmanov,

33. A. V. Rozhkov, A. L. Rakhmanov, A. O. Sboychakov,

and F. Nori, Phys. Rev. B 88, 045409 (2013).

K. I. Kugel, and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 119, 107601

(2017).

24. R. S. Akzyanov, A. O. Sboychakov, A. V. Rozhkov,

A.L. Rakhmanov, and F. Nori, Phys. Rev. B 90, 155415

34. D. A. Khokhlov, A. L. Rakhmanov, A. V. Rozhkov, and

(2014).

A. O. Sboychakov, Phys. Rev. B 101, 235141 (2020).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12

2021