Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 3, с. 160 - 166

Униполярные солитоноподобные структуры в неравновесных средах

с диссипацией

С. В. Сазонов¹⁾

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 191991 Москва, Россия

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия

Поступила в редакцию 28 июня 2021 г.

После переработки 3 июля 2021 г.

Принята к публикации 4 июля 2021 г.

Предсказана возможность формирования униполярных солитоноподобных метастабильных объек-

тов электромагнитной природы в неравновесных диссипативных средах. Показано, что после прохожде-

ния данных объектов среда переходит из неравновесного в короткоживущее метастабильное состояние,

сохраняя на масштабах времени его жизни память о входных условиях.

DOI: 10.31857/S1234567821150040

1. Введение. Одной из тенденций развития со-

ны в системах оптической связи. Кроме того, дисси-

временной нелинейной оптики и лазерной физики яв-

пативные оптические солитоны представляют фун-

ляется создание в лабораторных условиях световых

даментальный интерес. Такие солитоны формируют-

импульсов все более коротких длительностей. Осо-

ся из-за взаимной компенсации притока запасенной

бое место здесь занимают предельно короткие им-

в неравновесной среде энергии и оттока данной энер-

пульсы (ПКИ), содержащие порядка одного периода

гии в результате необратимых потерь.

электромагнитных колебаний [1-8]. Очевидно, при

Обобщая сказанное выше, приходим к выводу

теоретических исследованиях взаимодействия ПКИ

о том, что приобретают актуальность исследования

с веществом несправедливо приближение медленно

возможностей формирования в неравновесных дис-

меняющихся огибающих [9].

сипативных средах униполярных солитоноподобных

В самое последнее время значительно возрос ин-

объектов. Этому и посвящена настоящая работа.

терес к нелинейной оптике униполярных импульсов

2. Вывод уравнения типа “реакция - диф-

(УПИ) [10-12]. Такие сигналы состоят всего из по-

фузия”. Рассмотрим распространение УПИ в двух-

ловины периода электромагнитных колебаний. Сле-

уровневой среде. В данном случае модель двухуров-

дует заметить, что теоретические работы, связан-

невой среды является достаточно грубой. С дру-

ные с динамикой униполярных импульсов в нели-

гой стороны, данная модель обладает относительной

нейных средах, начали появляться еще в 1990-х гг.

простотой, что придает ей привлекательность. Бо-

[4, 5, 13-15]. Однако именно в настоящее время дан-

лее того, двухуровневая модель при определенных

ные исследования приобретают все большую акту-

условиях вбирает в себя основные оптические свой-

альность [10-12, 16-18]. Здесь важно отметить, что

ства любой изотропной среды, включая ее нелиней-

нелинейное взаимодействие УПИ с веществом ино-

ные и дисперсионные характеристики [13]. В нашем

гда приводит к эффектам, которые не имеют места в

случае будем считать, что остальные квантовые со-

нелинейной оптике квазимонохроматических сигна-

стояния удалены от двух рассматриваемых состоя-

лов [11, 19]. УПИ могут найти приложения в динами-

ний настолько, что их влиянием можно пренебречь.

ческой голографии, а также в современных системах

Такая ситуация может выполняться в случае тун-

передачи и обработки информации.

нельных квантовых переходов [31, 32]. Здесь имеются

Другой современной тенденцией в развитии нели-

основное симметричное и возбужденное асимметрич-

нейной оптики является бурный рост исследований,

ное состояния, разделенные частотой ω₀.

посвященных диссипативным оптическим солитонам

Материальные уравнения, описывающие взаимо-

[20-30]. Эти солитоны также могут быть использова-

действие двухуровневого атома с электрическим по-

лем E линейно поляризованного электромагнитного

¹⁾e-mail: sazonov.sergey@gmail.com

импульса, имеют хорошо известный вид [33]

160

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Униполярные солитоноподобные структуры в неравновесных средах с диссипацией

161

∂U

∂V

этой системы материальных переменных будем счи-

= -ω₀V -

=ω₀U -

+ ΩW,

(1)

∂t

T₂

∂t

T₂

тать, что временная длительность τ_p импульса удо-

∂W

W + 1/2

влетворяет условию τ_p ≫ T₂. С другой стороны, для

= -ΩV -

(2)

∂t

T₁

двухуровневых атомов в конденсированных средах

где T₁ и T₂ - времена энергетической и фазовой ре-

времена релаксации T₁ и T₂ очень сильно разнятся

между собой. При этом T₂/T₁ ∼ 10^-3-10^-9 [35]. Та-

лаксации соответственно, Ω = 2µE/ℏ, µ - матрич-

ный элемент дипольного момента рассматриваемого

ким образом, с хорошим запасом выполняется нера-

венство T₂ ≪ T₁. Данное обстоятельство дает нам

квантового перехода, ℏ - постоянная Планка, U, V и

основания полагать, что

W - безразмерные переменные Блоха; при этом пе-

ременная U имеет смысл нестационарного диполь-

T₂ ≪ τ_p ≪ T₁.

(7)

ного момента, индуцируемого электрическим полем

импульса, V - это быстрота изменения данного ди-

Полагая также, что длительность Δt наблюдения

польного момента, W - разность населенностей кван-

всего процесса удовлетворяет условию

товых состояний двухуровневого атома.

При полной заселенности основного состояния

Δt ≪ T₁,

(8)

W = -1/2. Если же заселен только возбужденный

уровень, то W = +1/2.

мы можем положить в уравнении (2) T₁ = ∞.

Дополним систему (1) волновым уравнением, счи-

Введя динамическую переменную S = U + iV , из

тая, что импульс распространяется вдоль оси z:

(1) будем иметь

∂²Ω

n^2m ∂²Ω

8πµ ∂²P

∫

∞

(3)

∂z²

c²

∂t²

ℏc2 ∂t2

S(z, t) = i

Ω(z, t-τ)W (z, t-τ)e-(1/T2-iω0)τ dτ. (9)

где c - скорость света в вакууме, n_m - показатель

преломления среды, содержащей примесные двух-

Так как длительность импульса значительно пре-

уровневые атомы, P - поляризационный отклик си-

вышает характерное время релаксации дипольного

стемы двухуровневых атомов, определяемый выра-

момента, то дисперсия является слабой. Тогда мы

жением

можем использовать разложение, формально схожее

P = 2µnU,

(4)

с разложением Криспа [13, 36]

n - концентрация двухуровневых атомов.

Ниже, следуя работе [34], будем предполагать,

∑

(-1)^k

Ω(z, t-t^′)w(z, t-t^′) =

t^′k ∂^k

(Ω(z, t)w(z, t)).

что концентрация n мала, так что выполняется нера-

∂t^k

k=0

венство

(10)

8πµ²n

η=

≪ 1.

(5)

Подставляя (10) в (9), получим

ℏω₀n_m

Это обстоятельство позволяет нам редуцировать

(

)_k+1

∑

T₂

∂^k

порядок волнового уравнения (3) относительно про-

S(z, t) = i

(-1)^k

(Ωw).

(11)

1 - iT₂ω₀

∂t^k

изводных. Для этого перепишем данное уравнение в

k=0

виде

Сохранив здесь только первые три члена разло-

(

)(

)

∂

n_m ∂

∂

n_m ∂

8πµ ∂²P

жения, после разделения действительной и мнимой

Ω=

∂z

c ∂t

∂z

c ∂t

ℏc2 ∂t2

частей и учета неравенства

Так как импульс распространяется вдоль оси z, а

T₂ω₀ ≫ 1

(12)

правая часть уравнения мала, то с хорошей точно-

стью запишем c∂/∂z ≈ -n_m∂/∂t. Применив это ра-

найдем

венство в левой скобке, после использования (4), (5),

∂

∂²

интегрирования по времени и учета первого уравне-

U =-

W +

(ΩW ) +

(ΩW ),

(13)

ния (1) будем иметь

ω₀

T₂ω³

∂t

ω³

∂t²

(

)

∂Ω

n_m ∂Ω

ω₀

∂

∂²

η ω₀V +

(6)

V =

W +

(ΩW ) -

(ΩW ).

(14)

∂z

∂t

T₂

T₂ω²⁰

ω²

∂t

T₂ω⁴

∂t²

Таким образом, мы имеем самосогласованную си-

При условиях (7), (8) и (12) разность населенно-

стему уравнений (1), (2) и (6). Для исключения из

стей W под действием электромагнитного импульса

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

162

С. В. Сазонов

в среде изменяется незначительно. Учитывая это, пе-

В обоих рассмотренных случаях имеются два

репишем (13) и (14) в виде

конкурирующих процесса, способных при некоторых

условиях уравновесить друг друга. Это может при-

∂

W_-∞

∂²Ω

вести к формированию локализованных солитонопо-

U =-

W +

(ΩW ) +

(13a)

ω₀

T₂ω³

∂t

ω³

∂t²

добных структур.

Важно заметить, что использованные приближе-

∂

3W_-∞

∂²Ω

V =

W +

(ΩW ) -

(14a)

ния при выводе уравнения (16) не нарушают следу-

T₂ω²⁰

ω²

∂t

T₂ω⁴

∂t²

ющего из точных уравнений Максвелла правила со-

где W_-∞ - начальная разность населенностей (при

∫

хранения электрической площади S ≡

Ωdτ УПИ

t = -∞).

-∞

Подставляя разложение

(14а) с сохранением

[38]. Действительно, интегрируя (16) по τ от -∞ до

только первого члена в уравнение (2) при T₁ = ∞,

+∞ и учитывая, что электрическое поле импульса

получим

со всеми его производными стремится к нулю при

∫

∂W

Ω²W

W_-∞Ω²

τ → ±∞, а энергия импульса ∼ Ω²dτ имеет ко-

≈-

-∞

∂t

T₂ω²⁰

T₂ω²

нечное значение, придем к равенству dS/dz = 0. От-

сюда следует, что S = const.

После интегрирования будем иметь

3. Солитоноподобное решение и его физи-





∫t

ческий анализ. Уравнение (16) имеет решение в

W = W-∞ 1 -

Ω²dt^′ .

(15)

виде бегущего униполярного солитоноподобного им-

T₂ω²

0 -∞

пульса:

Ω = ±Ω_msechξ,

(17)

Подставляя (13а) и (14а) в (6) с учетом (15), при-

дем к уравнению

где ξ = (t - z/v)/τ_p, а амплитуда Ω_m и скорость v

связаны с временной длительностью τ_p импульса со-





∫

отношениями

∂Ω

∂

=α

Ω Ω²dτ^′ + β∂2Ω,

(16)

√

∂z

∂τ

∂τ²

−∞

Ω_m =

(18)

τ_p

v₀

τ_p

где τ

= t - z/v₀, 1/v₀

= (n_m - W_-∞η)/c, α =

Используя (15), (17) и (18), а также выражения

= -W_-∞cT

, β = 2α.

2ω⁰

для α и β, найдем изменение разности населенностей

Уравнение (16) можно отнести к классу уравне-

в виде бегущего фронта, сопровождающего импульс

ний типа “реакция - диффузия” [37].

(17), (18):

В случае равновесной начальной заселенно-

сти квантовых состояний двухуровневых атомов

[

]

(W_-∞ < 0) имеем α > 0 и β > 0. Тогда второе слага-

W =W_-∞ 1-

(1 + tanh ξ)

(19)

ω²⁰T₂τ_p

емое в правой части (16) описывает диффузионное

(

)

(вязкое) затухание импульса. Первое слагаемое

Отсюда имеем W_+∞ = W_-∞

. Тогда

в правой части

(16) соответствует нелинейному

ω²⁰T2τp

легко видеть, что выражение (18) для скорости мож-

усилению импульса за счет тенденции к выравнива-

но переписать в виде

нию разности населенностей квантовых состояний

(

)

(см. (15)).

W_-∞ + W_+∞

Если до импульсного воздействия двухуровневая

n_m - η

(20)

среда обладает инверсной разностью населенностей

(W_-∞ > 0), то α < 0 и β < 0. В этом случае второе

Рассматриваемое солитоноподобное решение со-

слагаемое в правой части (16) соответствует отрица-

держит один непрерывный свободный параметр, в

тельной диффузии (вязкости). Таким образом, дан-

качестве которого здесь выбрана временная длитель-

ное слагаемое описывает линейную стадию самосжа-

ность τ_p импульса. Таким свойством обычно обла-

тия импульса, сопровождаемого его пиковым усиле-

дают консервативные солитоны, сохраняя в непре-

нием. В свою очередь первое слагаемое в правой ча-

рывном свободном параметре память об условиях на

сти (16) описывает нелинейный процесс насыщения

входе в среду. Однако в нашем случае явно при-

данного усиления из-за уменьшения разности насе-

сутствует диссипация в виде фазовой релаксации. К

ленностей квантовых уровней.

тому же длительность солитоноподобного импульса

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Униполярные солитоноподобные структуры в неравновесных средах с диссипацией

163

значительно превышает время фазовой релаксации.

Это является отличительным свойством волн пере-

Поэтому диссипативные процессы проявляют себя

ключения в бистабильных системах [20, 27, 39].

достаточно отчетливо, что и следует из уравнения

Рассмотрим по отдельности два случая.

(16).

а) Двухуровневые атомы с инверсной населенно-

Для выяснения физического механизма форми-

стью (W_-∞ > 0). Система в целом - среда и со-

рования локализованного импульса (17), (18) умно-

держащиеся в ней двухуровневые атомы - является

жим обе части уравнения (6) на 2Ω. Используя затем

неравновесной. Второе слагаемое в скобках выраже-

(2) при T₁ = ∞, после интегрирования по t от -∞

ния (15) описывает малую поправку к W_-∞, поэтому

до +∞ будем иметь

оно заведомо меньше единицы. Следовательно, раз-

ность населенностей при условиях (7) и (8) не изме-

∫

няет своего знака. Второе и третье слагаемые в раз-

Ω²dt =

ложении (13а) представляют собой малые поправки

-∞

к первому слагаемому данного разложения. Поэтому





при W_-∞ > 0 динамические переменные U и Ω (P и

∫

ω₀

E) имеют разные знаки. Тогда, как следует из (22),

= 2η

ω0(W_-∞ - W_+∞) +

ΩUdt ,

(21)

T₂

Q > 0. В свою очередь из (21а) следует, что в состо-

-∞

янии равновесия (w_e = const) имеем W_+∞ < W_-∞

где W_+∞ - разность населенностей после прохожде-

(рис. 1).

ния импульса.

Таким образом, поглощая часть энергии, запасен-

С учетом (4), а также выражений для Ω и η ра-

ной в усиливающей среде, импульс необратимо теря-

венство (21) можно переписать в виде

ет ее в виде тепла, выделяющегося из-за затухания

индуцированного дипольного момента за счет фазо-

∫

dw_e

вой релаксации. Результатом такого баланса прито-

= nℏω₀(W_-∞ - W_+∞) - Qdt.

(21a)

ка и оттока энергии является формирование унипо-

-∞

лярного солитоноподобного сигнала (17), (18). Как

∫

видно из (20), в этом случае скорость распростране-

Здесь w_e =

Iedt - световая энергия импульса,

ния униполярного солитоноподобного импульса пре-

-∞

проходящая через единицу площади поперечного се-

вышает фазовую скорость света в среде: v > c/n_m.

чения среды, I_e = cn_mE²/4π - интенсивность им-

Механизм распространения здесь связан с процес-

пульса,

сом переформирования и обусловлен протяженным

характером импульсных фронтов. Подробности см.,

Q≡-

PE.

(22)

T₂

например, в [40-43]. Так как в рассматриваемом слу-

Первое слагаемое в правой части (21a) представ-

чае α < 0 и β < 0, то из (18) видно, что с укорочением

ляет собой взятое с обратным знаком изменение

длительности импульса его амплитуда возрастает, а

плотности энергии, запасенной в двухуровневых ато-

скорость уменьшается.

мах.

b) Двухуровневые атомы с нормальной населен-

Очевидно, что Q - это есть количество теплоты,

ностью (W_-∞ < 0). В этом случае Q < 0. Следо-

выделяемой за единицу времени в единице объема

вательно, в стационарном режиме распространения

среды за счет необратимой релаксации индуцирован-

W_+∞ > W_-∞ (рис.1). Таким образом, после про-

ного дипольного момента рассматриваемого кванто-

хождения импульса в системе двухуровневых ато-

вого перехода.

мов образуется запасенная энергия. Такая ситуация

Так как энергия стационарного импульса (17),

возможна, если, как и в предыдущем случае, рас-

(18) при его распространении не изменяется, то

сматриваемая безграничная среда и содержащиеся

dw_e/dz = 0. Тогда в консервативном случае (T₂ = ∞)

в ней двухуровневые атомы исходно находятся в

имеем W_+∞ = W_-∞. Таким образом, консерватив-

неравновесном состоянии. При этом, в согласии со

ный стационарный солитон, как хорошо известно,

вторым началом термодинамики, температура сре-

своим передним фронтом возбуждает среду, а зад-

ды превышает температуру двухуровневых атомов.

ним фронтом переводит среду в исходное состояние.

В этом случае приток в импульс тепла из окружаю-

В нашем же случае, как видно из (21a), справедли-

щей среды компенсируется оттоком энергии из им-

во условие W_+∞ = W_-∞. Таким образом, состояние

пульса к двухуровневым атомам. Среда с показате-

среды изменяется после распространения в ней ста-

лем преломления n_m, являясь безграничной, высту-

ционарного солитоноподобного импульса (17), (18).

пает здесь в роли термостата. Поэтому изменением ее

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

2^∗

164

С. В. Сазонов

W_+∞ отрицательны, то, как видно из (20), скорость

распространения импульса меньше фазовой скоро-

сти света в среде.

Сделаем некоторые численные оценки. Взяв, на-

пример, для туннельных переходов протона в кри-

сталле KDP [31, 32] ω0 ∼ 1013 c-1, T1 ∼ 10-8 с и

T₂ ∼ 10¹¹ с, для удовлетворения неравенству (7) при-

мем τ_p ∼ 10^-10 с. Тогда, как видно из (18) при β = 2α,

Ω_m ∼ 1/τ_p ∼ 10¹⁰ c^-1. Учитывая, что µ ∼ 10^-18

СГСЭ, найдем для электрического поля импульса

E ∼ ℏΩ/µ ∼ 10 СГСЭ. Следовательно, интенсив-

ность I ∼ cE²/4π ∼ 10⁴ Вт/см².

Пусть концентрация двухуровневых переходов

n ∼ 1019 см^-3. Тогда η ∼ 10^-2, т.е. условие (5) вы-

полняется с хорошим запасом. Отсюда и из (20) при-

ходим к выводу, что скорость распространения рас-

смотренных здесь солитоноподобных структур отли-

чается от скорости света на величины порядка одно-

го процента.

4. Заключение. Таким образом, в настоящей

работе на основе выведенного уравнения

(16) и

его солитоноподобного решения (17), (18) выявле-

на принципиальная возможность формирования в

неравновесных средах солитоноподобных униполяр-

ных объектов электромагнитной природы. Длитель-

ность этих объектов превышает время фазовой ре-

лаксации двухуровневых переходов, но короче вре-

мени энергетической релаксации. По всей видимо-

сти, именно этим обстоятельством обусловлено то,

что рассмотренные солитоноподобные объекты обла-

дают как свойствами консервативных солитонов, так

и свойствами волн переключения в диссипативных

средах. Консервативное свойство здесь заключается

в наличии у данных объектов непрерывного свобод-

ного параметра. Это означает, что такие объекты со-

храняют в себе память об условиях на входе в нерав-

новесную среду. Свойство волн переключения здесь

проявляется в том, что после их прохождения в среде

Рис. 1. Бегущий профиль электрического поля соли-

состояние последней изменяется, становясь ближе к

тонопдобного импульса (a) и сопровождающие его

равновесному состоянию. При этом конечное состо-

профили разности населенностей в системе двухуров-

невых атомов с инверсной (b) и нормальной (c) насе-

яние среды отнюдь не является термодинамически

ленностями

равновесным, которое устанавливается на временах,

превышающих время T₁ энергетической релаксации.

состояния при данном процессе можно пренебречь. В

Скорее, здесь следует говорить о переходе среды из

свою очередь униполярный электромагнитный сиг-

неравновесных к метастабильным состояниям, кото-

нал стимулирует установление термодинамического

рые разрушаются на временах порядка T₁. Таким об-

равновесия между двухуровневыми атомами и двух-

разом, рассмотренные здесь солитоноподобные объ-

уровневой средой. В рассматриваемом случае пара-

екты, способные формироваться только в неравно-

метры α и β положительны. Тогда из (18) следует,

весных средах, являются достаточно короткоживу-

что с укорочением временной длительности τ_p унипо-

щими.

лярного импульса его амплитуда и скорость возрас-

Использованная здесь модель двухуровневых

тают. Так как знаки разностей населенностей W_-∞ и

атомов для исследования взаимодействия униполяр-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Униполярные солитоноподобные структуры в неравновесных средах с диссипацией

165

ных импульсов с веществом является, на первый

13.

Э. М. Беленов, А. В. Назаркин, В. А. Ущаповский,

взгляд, весьма грубой. Однако можно показать,

ЖЭТФ 100, 762 (1991) [E. M. Belenov, A. V. Nazarkin,

что при условиях (7), (8) и (11) данная модель,

and V. A. Ushchapovskii, JETP 73, 57 (1991)].

являясь наиболее простой, в качественном отно-

14.

С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ

53,

400

(1991)

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 53, 420 (1991)].

шении адекватно описывает нелинейную динамику

15.

А. Ю. Пархоменко, С. В. Сазонов, ЖЭТФ 114, 1595

широкополосных сигналов.

(1998) [A. Yu. Parkhomenko and S. V. Sazonov, JETP

Результаты наших исследований по формиро-

87, 864 (1998)].

ванию униполярных солитоноподобных структур в

16.

S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Rev. A 98,

многоуровневых неравновесных средах с диссипаци-

063803 (2018).

ей мы планируем опубликовать отдельно.

17.

S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Rev. A 100,

Работа выполнена при финансовой поддержке

053807 (2019).

Российского научного фонда (проект # 17-11-01157).

18.

С. В. Сазонов, ЖЭТФ 146, 483 (2014) [S. V. Sazonov,

JETP 119, 423 (2014)].

19.

Н. В. Знаменский, С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ

F. Krausz and M. Ivanov, Rev. Mod. Phys. 81, 163

85, 440 (2007) [N. V. Znamenskii and S. V. Sazonov,

(2009).

JETP Lett. 85, 358 (2007)].

А.И. Маймистов, Квантовая электроника 30, 287

20.

Н. Н. Розанов, Диссипативные оптические и

(2000) [A. I. Maimistov, Quantum Electron. 30, 287

родственные солитоны, Физматлит, М. (2021).

(2000)].

21.

С. К. Турицын, Н. Н. Розанов, И. Я. Яруткина,

H. Leblond and D. Mihalache, Phys. Rep. 523, 61

А. Е. Беднякова, С. В. Федоров, О. В. Штырина,

(2013).

М. П. Федорук, УФН 186, 713 (2016) [S. K. Turitsyn,

Э. М. Беленов, П. Г. Крюков, А. В. Назаркин,

N. N. Rosanov, I. A. Yarutkina, A. E. Bednyakova,

А.Н. Ораевский, А. В. Усков, Письма в ЖЭТФ

S. V. Fedorov, O. V. Shtyrina, and M. P. Fedoruk,

47,

442

(1988)

[E. M. Belenov, P. G. Kryukov,

Phys.-Uspekhi 59, 642 (2016)].

A.V. Nazarkin, A.N. Oraevskii, and A.V. Uskov, JETP

22.

N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo, and

Lett. 47, 523 (1988)].

Ph. Grelu, International Journal of Bifurcation and

Chaos 19, 2621 (2009).

Э. М. Беленов, А. В. Назаркин, Письма в ЖЭТФ 51,

252 (1990) [E. M. Belenov and A. V. Nazarkin, JETP

23.

N. A. Veretenov, N. N. Rosanov, and S.V. Fedorov,

Lett. 51, 288 (1990)].

Phys. Rev. Lett. 117, 183901 (2016).

24.

С. В. Федоров, Н. Н. Розанов, Н. А. Веретенов,

С. А. Козлов, С. В. Сазонов, ЖЭТФ 111, 404 (1997)

Письма в ЖЭТФ 107, 342 (2018) [S. V. Fedorov,

[S. A. Kozlov and S. V. Sazonov, JETP 84, 221 (1997)].

N. N. Rosanov, and N.A. Veretenov, JETP Lett. 107,

H. Leblond, S. V. Sazonov, I.V. Mel’nikov,

327 (2018)].

D. Mihalache, and F. Sanchez, Phys. Rev. A 74,

25.

V. E. Lobanov, O.V. Borovkova, and B. A. Malomed,

063815 (2006).

Phys. Rev. A 90, 053820 (2014).

С. В. Сазонов, Н. В. Устинов, Письма в ЖЭТФ 112,

26.

V. E. Lobanov, N.M. Kondratiev, and I.A. Bilenko,

30 (2020) [S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, JETP Lett.

Opt. Lett. 46, 2380 (2021).

112, 24 (2020)].

27.

Н. Н. Розанов, Диссипативные оптические солито-

Л. Аллен, Дж. Эберли, Оптический резонанс и двух-

ны. От микро- к нано- и атто-, Физматлит, М.

уровневые атомы, Мир, М.

(1978)

[L. Allen and

(2011).

J. H. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms,

28.

D. A. Dolinina, A. S. Shalin, and A.V. Yulin, Письма

John Wiley and Sons, N.Y. (1978)].

в ЖЭТФ 111, 303 (2020) [D. A. Dolinina, A.S. Shalin,

10.

Р. М. Архипов, М. В. Архипов, А. А. Шимко,

and A. V. Yulin, JETP Lett. 111, 268 (2020)].

А.В. Пахомов, Н. Н. Розанов, Письма в ЖЭТФ

29.

D. A. Dolinina, A. S. Shalin, and A.V. Yulin, Письма

110,

(2019)

[R. M. Arkhipov, M. V. Arkhipov,

в ЖЭТФ 112, 79 (2020) [D. A. Dolinina, A.S. Shalin,

A.A. Shimko, A. V. Pakhomov, and N.N. Rosanov,

and A. V. Yulin, JETP Lett. 112, 71 (2020)].

JETP Lett. 110, 15 (2019)].

30.

S. V. Sazonov, Phys. Rev. A 103, 053512 (2021).

11.

Р. М. Архипов, Письма в ЖЭТФ 113, 636 (2021).

31.

В. Г. Вакс, Введение в микроскопическую теорию

12.

Р. М. Архипов, М. В. Архипов, А. В. Пахомов,

сегнетоэлектриков, Наука, М. (1983).

М. О. Жукова, А. Н. Цыпкин, Н. Н. Розанов,

32.

Р. Блинц, Б. Жекш, Сегнетоэлектрики и ан-

Письма в ЖЭТФ 113, 237 (2021) [R. M. Arkhipov,

тисегнетоэлектрики, Мир, М.

(1975)

[R. Blinc

M. V. Arkhipov, A. V. Pakhomov, M. O. Zhukova,

and B.

Žekš, Soft Modes in Ferroelectrics and

A.N. Tcypkin, and N.N. Rosanov, JETP Lett. 113, 242

Antiferroelectrics, North-Holland Publishing Company,

(2021)].

Amsterdam (1974)].

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

166

С. В. Сазонов

33. Дж. Лэм, Введение в теорию солитонов, Мир, М.

(2009) [N. N. Rosanov, Optics and Spectroscopy 107,

(1983) [G. L. Lamb, Jr., Elements of Soliton Theory,

721 (2009)].

Wiley, N.Y. (1980)].

39. В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно,

34. P. J. Caudrey, J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, and

Автоволновые процессы, Наука, М. (1987).

R.K. Bullough, J. Phys. A: Math., Nucl. Gen. 6, L53

40. Н. Г. Басов, Р. В. Амбарцумян, В. С. Зуев, П. Г. Крю-

(1973).

ков, В. С. Летохов, ЖЭТФ 50, 23 (1966) [N. G. Basov,

35. П. Г. Крюков, В. С. Летохов, УФН 99, 169 (1969)

R. V. Ambartsumyan, V. S. Zuev, P. G. Kryukov, and

[P. G. Kryukov and V. S. Letokhov, Sov. Phys. Usp. 12,

V. S. Letokhov, Sov. Phys. JETP 23, 14 (1966)].

641 (1970)].

41. А. Н. Ораевский, УФН

168,

1311

(1998)

36. M. D. Crisp, Phys. Rev. A 8, 2128 (1973).

[A. N. Oraevsky, Phys.-Uspekhi 41, 1199 (1998)].

37. V. Danilov, V. Maslov, and K. Volosov, Mathematical

42. С. В. Сазонов, УФН 171, 663 (2001) [S. V. Sazonov,

Modelling of Heat and Mass Transfer Processes, Kluwer,

Phys.-Uspekhi 44, 631 (2001)].

Dordrecht (1995).

43. A. N. Bugay and S. V. Sazonov, J. Opt. B: Quant. and

38. Н. Н. Розанов, Оптика и спектроскопия 107, 761

Semiclassical Optics 6, 328 (2004).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021