Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 4, с. 199 - 203

Распад τ → K^-ην_τ в расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио

с учетом взаимодействия мезонов в конечном состоянии

М. К. Волков¹⁾, А. А. Пивоваров¹⁾

Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова,

Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

Поступила в редакцию 23 июня 2021 г.

После переработки 20 июля 2021 г.

Принята к публикации 21 июля 2021 г.

Ширина распада τ → K^-ηντ вычислена в рамках расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио с

учетом взаимодействия мезонов в конечном состоянии. При этом были учтены как контактный член,

так и канал с промежуточным основным состоянием K^∗(892) и его первым радиальным возбуждением

K^∗(1410). Для описания взаимодействия в конечном состоянии была рассмотрена треугольная диаграм-

ма с тремя мезонами. Причем парметр обрезания расходящихся интегралов по мезонной петле брался

равным значению соответствующего параметра, использованного в нашей предыдущей работе при описа-

нии распада τ → K^-π⁰ντ . Таким образом, в данной работе не появилось дополнительных произвольных

параметров. При этом получено удовлетворительное согласие с экспериментальными данными.

DOI: 10.31857/S1234567821160011

1. Введение. Как показали многочисленные рас-

роль. Поэтому данный процесс, будучи схожим по

четы, модель Намбу-Иона-Лазинио (НИЛ) [1-4] поз-

структуре с процессом τ^- → K^-π⁰ν_τ , оказывается

воляет удовлетворительно описать многие основные

более полезным для изучения возбужденных состоя-

распады тау лептона. В рамках этой модели в со-

ний мезонов.

гласии с экспериментальными данными были опи-

В настоящей работе мы рассматриваем процесс

саны целые серии распадов тау лептона: τ → Mν_τ ,

τ^- → K^-ην_τ с учетом взаимодействия мезонов в ко-

τ → V Pντ, где V - векторный мезон, P - псевдо-

нечном состоянии. По структуре он схож с распадом

скалярный мезон, M - псевдоскалярный или век-

τ^- → K^-π⁰ν_τ , однако из-за большой роли резонанса

торный мезон [4-11]. Однако некоторые процессы

K^∗(1410) для его исследования применяется расши-

тау-распадов на псевдоскалярные мезоны не удает-

ренная модель НИЛ [14, 15], позволяющая описать

ся описать в рамках модели НИЛ в согласии с экс-

первые радиально возбужденные состояния мезонов

периментом. Это может быть связано с необходимо-

без нарушения U(3) × U(3) киральной симметрии, и

стью учета взаимодействия мезонов в конечном со-

также производится выход за ее рамки для учета

стоянии. Такой учет требует более высокого порядка

взаимодействия в конечном состоянии. Для описа-

разложения по 1/N_c, чем тот, в котором сформули-

ния этого взаимодействия в данном случае требуется

рована модель НИЛ. Взаимодействие в конечном со-

учесть лишь одну треугольную диаграмму с обменом

стоянии с небольшим выходом за рамки данной мо-

заряженным векторным мезоном K^∗±(892). Однако

дели было рассмотрено в недавних работах в про-

сами мезонные вершины в этом треугольнике более

цессах τ^- → π^-π⁰ν_τ [12] и τ^- → K^-π⁰ν_τ [13]. У

сложны из-за особенностей структуры η мезона. Ин-

данных распадов порог рождения конечных мезонов

тересным является тот факт, что величины обреза-

находится ниже масс промежуточных основных со-

ния мезонных треугольников процессов τ^- → K^-ην_τ

стояний ρ(770) и K^∗(892) соответственно. Поэтому

и τ^- → K^-π⁰ν_τ оказываются одинаковыми.

возбужденные состояния здесь не вносят существен-

Процесс τ- → K-ηντ изначально исследовал-

ный вклад. В отличие от них, процесс τ^- → K^-ην_τ

ся экспериментально коллаборациями CLEO

[16]

имеет порог рождения конечных мезонов выше мас-

и ALEPH [17]. Позже коллаборации Belle [18] и

сы основного состояния K^∗(892), в результате чего

Babar [19] провели более точные измерения этого

этот процесс становится чувствительным к резонан-

процесса.

су K^∗(1410), который начинает играть существенную

Данный процесс также исследовался теоретиче-

ски. Например, в работе [20] он рассматривается с по-

¹⁾e-mail: volkov@theor.jinr.ru; tex_k@mail.ru

мощью модели векторной доминантности и эффек-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

199

200

М. К. Волков, А. А. Пивоваров

(kp)p

тивной киральной теории. В работе [21] для его рас-

k_⊥ = k -

(5)

смотрения используется киральная теория возмуще-

p²

ний с резонансами.

где p - импульс мезона. В системе покоя мезона

2. Лагранжиан расширенной модели НИЛ.

Фрагмент кирального кварк-мезонного лагранжиана

k_⊥ = (0, k).

(6)

расширенной модели НИЛ, содержащий нужные нам

Поэтому данный импульс может быть использован в

вершины, принимает следующий вид [4]:

трехмерном виде.



∑

(

)

Параметры θ_M - углы смешивания, которые фик-

ΔL_int = q1γµ

λ^Kj A_K∗K^∗jµ + B_K∗K∗′j

сируются в результате диагонализации свободного

j=±

лагранжиана с основными и первыми радиально воз-

∑

(

)

бужденными состояниями [4, 15]:

+ iγ⁵

λ^Kj

A_KK^j + B_KK^′j

j=±

θ_K = 58.11^◦, θ_K∗ = 84.74^◦.

(7)



∑

+ iγ⁵

λ^ηjA_ηj

η^jq,

(1)

Вспомогательные величины θ^0M вводятся для удоб-

j=u,s

ства:

√

(

)

sin

θ^0M

где q и q - поля u-, d- и s-кварков с составляющими

1+R^M2^,

массами m_u ≈ m_d = 280 МэВ, m_s = 420 МэВ, воз-

R_K∗

√

(8)

бужденные мезонные состояния отмечены штрихом.

I11Ifus11

ZKI11I^fus

Множители A и B для странных мезонов имеют вид:

где

(

)_-1

A_M =

3 (m_u + m_s)

sin(2θ^0M )

Z_K =

[

]

M²

K1A

× g_M sin(θ_M + θ^0M) + g^′MfM(k⊥ )sin(θM - θM ) ,

(

)_-1/2

sin² α

cos² α

-1

MK1A =

(9)

B_M =

M^2K

M²

sin(2θ^0M )

1(1270)

(1400)

[

]

Здесь Z_K

- дополнительная константа пере-

× g_M cos(θ_M + θ^0M) + g^′MfM(k⊥ )cos(θM - θ^M) . (2)

нормировки, появляющаяся в K - K₁ переходах,

Индекс M обозначает соответствующий мезон.

M_K

= 1253 ± 7 МэВ - масса мезона K₁(1270),

1(1270)

Для η-мезона множитель A принимает несколько

M_K

1(1400)

= 1403 ± 7 МэВ - масса мезона K₁(1400)

другую форму. Это связано с тем, что в случае η-

[22]. В указанном выражении для Z_K учтено рас-

мезона смешиваются не два, а четыре состояния [4]:

щепление состояния K_1A на два физических мезона

K₁(1270) и K₁(1400) с углом смешивания α = 57◦ [6].

A_ηu = 0.71g_ηu + 0.11g^′ηufuu(k^⊥),

Интегралы, появляющиеся в кварковых петлях

(3)

как результат перенормировки лагранжиана:

A_ηs = 0.62g_ηs + 0.06g^′ηs fss(k^⊥).

(

)

(

)

k^2⊥

1 + dk^2⊥

Θ(Λ² - k^2⊥) - формфактор,

Ifmn1n2^=-

2π)⁴

описывающий первые радиально возбужденные ме-

∫

f^m(k²)

зонные состояния. Параметр наклона d однозначно

Θ(Λ² - k²)d⁴k,

(10)

фиксируется из требования неизменности кварково-

(m^2u - k²)ⁿ1 (m^2s - k²)ⁿ2

го конденсата после включения радиально возбуж-

где Λ = 1.03 ГэВ - параметр трехмерного обрезания.

денных состояний и зависит только от кваркового

Тогда

состава соответствующего мезона:

θ^0K = 55.52^◦, θ^0K

∗

= 59.56^◦.

(11)

d_uu = -1.784 × 10^-6 МэВ^-2,

Матрицы λ - линейные комбинации матриц Гелл-

d_us = -1.761 × 10^-6 МэВ^-2,

(4)

Мана:

d_ss = -1.737 × 10^-6 МэВ^-2.

λ₄ + iλ₅

λ₄ - iλ₅

λ^K+ =

√

λ^K- =

√

Поперечный относительный импульс внутренней

√

кварк-антикварковой системы может быть представ-

2λ₀ +

3λ₈

2λ₀ +

6λ₈

лен в виде

λ^ηu =

λ^ηs =

(12)

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Распад τ → K^-ην_τ в расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио. . .

201

где λ₀ - единичная матрица.

где Gf - константа Ферми, Vus - элемент матри-

Константы связи:

цы Кабиббо-Кобаяши-Маскава, L_µ - лептонный ток,

)_-1/2

выражение f(q²) принимает вид:

g_K∗ =

I₁₁

If2

g^′K∗ =

3 (m_s - m_u)²

f (q²) = 1 -

(16)

(

)_-1/2

(

)_-1/2

q²

g_K =

I₁₁

g^′K =

Z_K

(

)_-1/2

(

)_-1/2

g_ηu =

I₂₀

g^′ηu =

Z_ηu

(

)_-1/2

(

)-1/2

g_ηs =

I₀₂

(13)

g^′ηs =

Z_ηs

где

(

)_-1

m^2u

Z_ηu ≈ Z_π =

1-6

M²

(

)_-1

m^2s

Z_ηs =

1-6

(14)

M^2fs

Рис. 1. Контактная диаграмма

Здесь Z_ηs - дополнительная константа перенор-

мировки, появляющаяся в переходах между аксиаль-

но векторным мезоном f₁(1420) и s-кварковой ча-

стью η мезона, M_fs = 1426 ± 0.9 МэВ [22]. Параметр

Z_ηu в модели НИЛ обычно принимается приблизи-

тельно равным параметру Z_π, возникающему в ре-

зультате a₁ - π переходов, Ma1 = 1230 ± 40 МэВ -

масса мезона a₁(1260) [22].

3. Процесс τ^- → K^-ην_τ в расширенной мо-

дели НИЛ. Процесс τ^- → K^-ην_τ в расширенной

модели НИЛ может быть описан диаграммами, изоб-

Рис. 2. Диаграмма с промежуточными мезонами

раженными на рис. 1, 2.

Амплитуда этого процесса принимает вид:

Множители T описывают переходы между акси-

(

√

)

ально векторными и псевдоскалярными мезонами:

2IKηs

√

[(

)_µ

m_s + m_u

T^(c)K = 1 - 2ms

√

IK1K

×L_µ T^(c)Kp_K -T^(c)ηp_η

C_K∗ ×

M²

g_K∗

K1A

√

KK^∗η^u

I^Kf11

m_u (3m_u - m_s)

I₁

T^(c)η = 1 - 2

√

2IKηs

M^2fu

2IKηs

Kf^s

g^µνq²f(q²) - q^µq^νf(M^2K∗ )

√

I₁

m_s (3m_s - m_u)

√

−2

√

M^2K∗ - q² - i

q²Γ_K∗

2IKηs

M^2fs

√

(

)

× T(K∗)Kp_K - T(K∗)

p_η

C_K∗′ ×

T(K∗)K = 1 - 2ms

√

g_K∗

2IKK∗η^s

m_s + m_u

√

KK^∗′η^u

×IK1K11

I₁₁

M²

√

K1A

IKηu

2IKηs

IK∗Kf11

m_u (3m_u - m_s)

T(K∗)η = 1 - 2

√

gµν q2f(q2) - qµqν f(M2

)

K^∗′

2IK∗Kηs

M^2fu

√

M²

-q² -i

q²Γ_K∗′

K^∗′

√

m_s (3m_s - m_u)

(

)

]

−2

√

2IK∗Kηs

M^2fs

× T(K∗′)Kp_K -T(K∗′)

p_η

(15)

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

202

М. К. Волков, А. А. Пивоваров

√

K^∗′ K1η^u

Первое слагаемое амплитуды в квадратных скоб-

T(K∗′)K = 1 - 2msI¹¹

√

ках соответствует контактной диаграмме, второе и

2IKK∗′η^s

третье слагаемые - диаграммам с промежуточны-

m_s + m_u

×IK1K

ми основным и возбужденным векторными мезонами

M²

K1A

K^∗(892) и K^∗(1410).

K^∗′ Kf^u

Данная амплитуда приводит к следующему зна-

I₁₁

T(K∗′ )η = 1 - 2

√

чению парциальной ширины этого распада:

2IK∗′ Kηs

m_u (3m_u - m_s)

Br(τ^- → K^-ην_τ )_tree = 1.35 × 10^-4.

(20)

M^2fu

K^∗′ Kf^s

Экспериментальное значение [22]:

√

I₁₁

m_s (3m_s - m_u)

-2

√

(17)

M^2fs

Br(τ^- → K^-ην_τ )_exp = (1.55 ± 0.08) × 10^-4.

(21)

Интегралы с вершинами из лагранжиана в чис-

лителе, также используемые в амплитуде:

Как видно, полученный результат несколько ни-

N_c

же экспериментального значения. Это может гово-

^′,...

I^M,...,M

= -i

n1n2

рить о необходимости учета дополнительных эффек-

(2π)⁴

∫

тов, таких как взаимодействие мезонов в конечном

A_M . . .B_M . . .

Θ(Λ² - k²)d⁴k,

(18)

состоянии.

(m^2u - k²)ⁿ1 (m^2s - k²)ⁿ2

с учетом взаимо-

4. Процесс τ^- → K^-ην_τ

где A_M , B_M определены в (2) и в (3).

действия в конечном состоянии. Взаимодействие

Константы C_K∗ и C_K∗′

в конечном состоянии в данном процессе может быть

учтено через обмен заряженным мезоном K^∗ меж-

C_K∗ =

sin (2θ^0K∗ )

ду конечными каоном и η-мезоном, в результате че-

[

(

)

(

)]

sin

θ_K∗ + θ^0K∗

+ R_K∗ sin

θ_K∗ - θ^0K∗

го они меняются местами. Это приводит к треуголь-

нику, изображенному на рис. 3. Мезонная верши-

-1

C_K∗′ =

на лагранжиана, необходимая для построения это-

sin (2θ^0K∗ )

[

(

)

(

)]

го треугольника в расширенной модели НИЛ, имеет

cos

θ_K∗ + θ^0K∗

+ R_K∗ cos

θ_K∗ - θ^0K∗

(19)

вид:

возникают в переходах между W-бозоном и проме-

(

)

√

жуточным векторным мезоном. Здесь θ - угол сме-

- i2

2IKK∗η^s

шивания основных и возбужденных состояний, опре-

(

)

деленный в (7). Величины θ⁰ и R определены в (8).

×K^∗-µ T(K∗)K∂^µK⁺η-TηK∗

K⁺∂^µη

(22)

Данный мезонный треугольник приводит к интегралу

(

)

(

)

(

)

((

)

∫

T^(K∗

k- T^(K∗)K+T^(K∗)

pη

T^(K∗)ηk+ T^(K∗)K+T^(K∗)

T^(K∗)K+T^(K∗)

k+T^(K∗)ηpK -T^(K∗)pη

g^νλ-^kνkλ

K∗

F_µ =

[k² -M2K∗ ][(k+pK )²-M^η][(k-pη )²-M^2K ]

× d⁴k(2π)4.

(23)

Как видно, данный интеграл по структуре схож с интегралом по мезонному треугольнику для процесса

τ → Kπν_τ [13].

В итоге амплитуда дополнительного вклада от мезонной петли процесса τ^- → K^-ην_τ принимает вид:

(

)₃

[

√

(

√

)₃

C_K∗

L_µ g^µν +

√

g_K∗

2IKηs





√

]

KK^∗′η^u

³ g^µνq²f(q²) - q^µq^νf(M²

)

g^µνq²f(q²) - q^µq^νf(M^2K∗ )

C_K∗′ I11



K^∗′

√

F_ν.

(24)

M^2K∗ - q² - i

q²Γ_K∗

g_K∗

2IKηs

M²

-q² -i

q²Γ_K∗′

K^∗′

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Распад τ → K^-ην_τ в расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио. . .

203

допускает применение модели НИЛ, хоть и требует

небольшого выхода за ее рамки.

Как было указано во Введении, нами были вы-

числены многочисленные распады тау лептона с уча-

стием векторных мезонов без учета взаимодействия

в конечном состоянии. Тем не менее, для них были

получены удовлетворительные результаты. Поэтому

до сих пор остается вопрос, при каких условиях этот

учет взаимодействия мезонов в конечном состоянии

играет важную роль, и когда им можно пренебречь.

Эту проблему авторы собираются рассматривать в

будущих работах.

Авторы выражают благодарность А. Б. Арбузову

Рис. 3. Мезонный треугольник

за интерес к данной работе и полезные обсуждения.

Если использовать параметр обрезания, равный

M. K. Volkov, Sov. J. Part. Nucl. 17, 186 (1986).

тому, который применялся в процессе τ

→ Kπν_τ

M. K. Volkov, Phys. Part. Nucl. 24, 35 (1993).

при сравнении с результатами из Particle Data Group

M. K. Volkov and A. E. Radzhabov, Phys.-Uspekhi 49,

(PDG) [13] (Λ_M = 950 МэВ), то парциальная ширина

551 (2006).

M. K. Volkov and A. B. Arbuzov, Phys.-Uspekhi 60(7),

данного процесса согласуется с экспериментальным

643 (2017).

значением:

M. K. Volkov, K. Nurlan, and A. A. Pivovarov, JETP

Br(τ^- → K^-ην_τ ) = 1.56 × 10^-4.

(25)

Lett. 106(12), 771 (2017).

M. K. Volkov, K. Nurlan, and A. A. Pivovarov, Int. J.

5. Заключение. В данной, а также в предыду-

Mod. Phys. A 34(24), 1950137 (2019).

щей [13] нашей работе были рассмотрены процессы

M. K. Volkov, A. A. Pivovarov, and K. Nurlan, Eur.

τ → K^-ην_τ и τ → K^-π⁰ν_τ соответственно. Эти про-

Phys. J. A 55(9), 165 (2019).

цессы уже рассматривались нами ранее с использова-

M. K. Volkov and A. A. Pivovarov, Pisma ZhETF

нием модели НИЛ [4]. Однако в тех работах были до-

109(4), 219 (2019); Erratum: JETP Lett. 109(12), 821

(2019).

пущены существенные неточности: в константе пере-

M. K. Volkov and A. A. Pivovarov, JETP Lett. 110(4),

нормировки Z_K , определенной в (9), не учитывалось

237 (2019).

расщепление мезона K₁ на два состояния, кроме то-

10.

M. K. Volkov, A. A. Pivovarov, and K. Nurlan, Int. J.

го, не учитывались переходы между аксиально век-

Mod. Phys. A 35(06), 2050035 (2020).

торным и псевдоскалярным мезонами, а также при-

11.

M. K. Volkov, A. A. Pivovarov, and K. Nurlan, Nucl.

сутствовал ряд других недостатков. Поэтому преды-

Phys. A 1000, 121810 (2020).

дущие результаты не следует принимать во внима-

12.

M. K. Volkov, A. B. Arbuzov, and A. A. Pivovarov,

ние. В работе [13] мы заново исследовали процесс

JETP Lett. 112(8), 457 (2020).

τ → K^-π⁰ν_τ, а в данной работе процесс τ → K^-ην_τ

13.

M. K. Volkov and A. A. Pivovarov, Pis’ma v ZhETF

113(12), 777 (2021).

без этих недостатков. В результате учета взаимодей-

14.

M. K. Volkov and C. Weiss, Phys. Rev. D 56, 221 (1997).

ствия в конечном состоянии появился новый пара-

15.

M. K. Volkov, Phys. Atom. Nucl. 60, 1920 (1997).

метр - обрезание по мезонной петле, который при

16.

J. E. Bartelt, S. E. Csorna, and V. Jain et al. (CLEO),

сравнении с данными из PDG оказался одинаковым

Phys. Rev. Lett. 76, 4119 (1996).

для обоих процессов.

17.

D. Buskulic, I. De Bonis, D. Decamp et al. (ALEPH),

Рассмотренный здесь распад также исследовался

Z. Phys. C 74, 263 (1997).

и в других теоретических работах. Например, можно

18.

K. Inami, T. Ohshima, H. Kaji et al. (Belle), Phys. Lett.

выделить работу [21]. В ней рассматривались раз-

B 672, 209 (2009).

ные способы учета взаимодействия в конечном со-

19.

P. del Amo Sanchez, J. P. Lees, V. Poireau et al.

стоянии в рамках киральной теории возмущейний с

(BaBar), Phys. Rev. D 83, 032002 (2011).

резонансами. Непосредственное использование этих

20.

B. A. Li, Phys. Rev. D 55, 1436 (1997).

21.

R. Escribano, S. Gonzalez-Solis, and P. Roig, JHEP 10,

способов в сочетании с моделью НИЛ невозможно

039 (2013).

в силу несогласованности соответствующих подхо-

22.

P. A. Zyla, R. M. Barnett, J. Beringer et al. (Particle

дов. Вариант учета взаимодействия мезонов в конеч-

Data Group), PTEP 2020(8), 083C01 (2020).

ном состоянии, использованный в настоящей работе,

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021