Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 4, с. 269 - 272

Расщепление сверхтекучего перехода в жидком

³He нематическим аэрогелем

И.А.Фомин¹⁾

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы РАН, 119334 Москва, Россия

Поступила в редакцию 9 июля 2021 г.

После переработки 14 июля 2021 г.

Принята к публикации 14 июля 2021 г.

Рассмотрено влияние неоднородных возмущений, создаваемых нематическим аэрогелем в жидком

³He на вид параметра порядка, возникающего при переходе жидкости в сверхтекучее состояние. По-

казано, что граница устойчивости полярно искаженной АБМ (Андерсон-Бринкман-Морела) фазы в

зависимости от свойств нематического аэрогеля может начинаться непосредственно от линии сверхте-

кучего перехода. Приведен симметрийный аргумент для отбора аэрогелей, наиболее подходящих для

стабилизации полярной фазы.

DOI: 10.31857/S1234567821160102

1. Введение. В последние годы в жидком³He

нологические коэффициенты. В общем случае у этой

были успешно стабилизированы новые сверхтеку-

комбинации много экстремумов и среди них несколь-

чие фазы [1] (см. также обзор [2]). Возможность

ко минимумов [3, 4]. При тех значениях коэффици-

образования разных фаз - это типичное проявле-

ентов β₁, ..., β₅, которые реализуются в³He, факти-

ние необычного куперовского спаривания. В случае

чески используются только два минимума. Они со-

³He - это спаривание в состоянии с орбитальным

ответствуют фазам Андерсона-Бринкмана-Морела

моментом l = 1 и спином s = 1. Соответствую-

(АБМ) и Бальяна и Вертхаммера (БВ) [4].

щий параметр порядка пропорционален комплексной

Среди других минимумов имеется полярная фаза.

3×3 матрице A_µj, ее первый индекс нумерует од-

Эта фаза соответствует куперовскому спариванию с

ну из трех возможных проекций спина, а второй -

проекцией орбитального момента l_z = 0 и ее пара-

из трех возможных проекций орбитального момен-

метр порядка имеет вид A_µj = Δ exp (iϕ)d_µm_j , где

та. Согласно теории Ландау фазовый переход про-

Δ - общая амплитуда, d_µ - единичный спиновый век-

исходит, когда меняет знак коэффициент при ин-

тор, а m_j - единичный вектор в пространстве волно-

варианте второго порядка в разложении выигрыша

вых векторов. В свободном от примесей объеме жид-

свободной энергии по степеням параметра поряд-

кого³He этот минимум по энергии сильно проигры-

ка. В³He член второго порядка в этом разложе-

вает двум другим и не может реализоваться. Вместе

нии - δf ∼ a(P, T )A^∗µj A_µj . Температура перехода T_c

с тем соответствующая ему фаза обладает интерес-

при заданном давлении P определяется из условия

ными физическими свойствами, такими как тополо-

a(P, T_c) = 0. Найденная таким образом температура

гически устойчивая линия нулей в спектре фермиев-

“вырождена” в том смысле, что при этой темпера-

ских возбуждений [5], возможность существования в

туре нормальная фаза неустойчива по отношению к

этой фазе полуквантовых вихрей [6] (и ссылки в ста-

образованию куперовских пар с тремя возможными

тье) и т.п.

проекциями спина s_z = 0, s_z = ±1 и тремя проекция-

Аояма и Икеда [7] предложили теоретически ме-

ми орбитального момента: l_z = 0, l_z = ±1. Надлежа-

тод, позволяющий стабилизировать полярную фазу в

щая комбинация этих базисных функций находится

некотором интервале температур вблизи T_c. Идея ме-

путем минимизации вклада инвариантов четверто-

тода состоит в том, чтобы понизить симметрию нор-

го порядка в выигрыш энергии. В³He таких инва-

мальной фазы от сферической до аксиальной. Тогда

риантов 5: I₁ = A_µj A_µj A^∗νlA^∗νl, I₂ = A_µj A^∗µj A_νlA^∗νl,

возможные сверхтекучие фазы и соответствующие

I₃

= A_µjA_νjA^∗µlA^∗νl, I₄

= A_µjA^∗νjA_νlA^∗µl, I₅

им температуры переходов будут классифицировать-

= A_µjA^∗νjA_µlA^∗νl. В свободную энергию они входят в

ся не по абсолютной величине орбитального момента

∑₅

виде комбинации

β_sI_s, где β₁, ..., β₅ - феноме-

l, а по его проекции l_z на ось симметрии. Если теперь

s=1

добиться того, чтобы самой высокой была темпера-

¹⁾e-mail: fomin@kapitza.ras.ru

тура перехода для l_z = 0, то в некотором интервале

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

269

270

И.А.Фомин

температур ниже этой T_c должна быть устойчивой

правую и левую ориентации. В этом случае член

полярная фаза. Для понижения орбитальной сим-

второго порядка в разложении выигрыша свободной

метрии жидкого³He Аояма и Икеда предложили ис-

энергии по степеням параметра порядка можно за-

пользовать ориентированные анизотропные приме-

писать как δf ∼ Λ_jl(P, T )A^∗µj A_µl, где Λ_jl(P, T ) - это

си. Конкретно они рассмотрели ансамбль примесей,

вещественная симметричная матрица. Такую мат-

для которых среднее сечение рассеяния фермиевских

рицу можно диагонализовать, причем ее диагональ-

квазичастиц имеет вид: σ(k) ∼ [1 + δ(k · z)²]. Здесь

ные элементы τ_x(P, T ), τ_y(P, T ), τ_z(P, T ) веществен-

z - это направление анизотропии, а

k - передача им-

ны. Направления ее собственных векторов, которые

пульса при рассеянии. Следуя рассуждениям теории

также вещественны и взаимно ортогональны, мож-

сверхпроводящих сплавов [8], Аояма и Икеда пришли

но выбрать в качестве направлений координатных

к выводу, что температура перехода расщепится на

осей. Формально можно определить три темпера-

две - T_c0, соответствующую проекции l_z = 0 и T_c1 -

туры перехода, когда один из диагональных эле-

проекциям l_z = ±1. Если δ < 0, то T_c0 > T_c1 и даже

ментов меняет знак. Фактически переход происхо-

при небольших значениях δ для каждого давления

дит при наибольшей из трех температур. В цити-

существует конечный интервал температур, начина-

рованных выше статьях аэрогель считался аксиаль-

ющийся от T_c, в котором куперовские пары имеют

но симметричным, таким что z - ось симметрии, а

l = 1 и l_z = 0, т.е. в этом интервале температур долж-

τ_x(P, T) = τ_y(P, T). Такое “среднеполевое” описание

на реализовываться полярная фаза³He. Этот резуль-

влияния аэрогеля не учитывает эффекты, связанные

тат стимулировал эксперименты по стабилизации по-

с дискретной структурой аэрогеля, в частности, воз-

лярной фазы (см. обзор [2]). Глобальная анизотро-

можное пространственное изменение параметра по-

пия в этих экспериментах создавалась с помощью

рядка на масштабах порядка расстояния между ни-

различных образцов так называемых нематических

тями.

аэрогелей. Эти аэрогели образованы длинными и по-

В соответствии с результатами работы [14] нити

чти параллельными нитями. В первых эксперимен-

аэрогеля возмущают конденсат вблизи себя на рас-

тах использовались образцы “обнинского” аэрогеля

стояниях порядка длины корреляции ξ₀. В сверхте-

[9]. Нити этого аэрогеля имеют диаметры d ≈ 9 нм,

кучем³He в зависимости от давления эта длина из-

они состоят из аморфного AlOOH. Степень анизо-

меняется в интервале 20÷80 нм. Конденсат реагирует

тропии этого аэрогеля, если судить по отношению

на это возмущение на расстояниях порядка завися-

длин свободных пробегов фермиевских квазичастиц

щей от температуры длины когерентности, которая

вдоль и поперек нитей l_∥/l⊥ ≈ 1.4, намного пре-

вблизи T_c удовлетворяет условию ξ(T) ≫ ξ₀. При та-

вышает ту, которую предполагали в своих расчетах

ком условии произведенное нитью возмущение мож-

Аояма и Икеда. Тем не менее при переходе гелия

но считать локальным и описывать дополнитель-

в сверхтекучее состояние возникала не полярная, а

ным членом в разложении свободной энергии вида

полярно-искаженная АБМ-фаза, которая содержит

f_ag = N(0)Λ_jl(r)A^∗µjA_µl. Здесь N(0) - плотность со-

компоненты всех трех проекций орбитального мо-

стояний на уровне Ферми. Матрица Λ_jl(r) зависит от

мента. Когда в последующих экспериментах для со-

координаты r и должна быть эрмитовой, поскольку

здания анизотропии в³He был использован другой

плотность свободной энергии - вещественна. Пред-

нематический аэрогель нафен, имеющий еще боль-

полагается, что нити аэрогеля не взаимодействуют

шую анизотропию, была успешно стабилизирована

непосредственно со спинами квазичастиц. В экспери-

полярная фаза, которая впоследствии наблюдалась

менах [2] такое взаимодействие исключалось путем

и в других экспериментах [10, 6].

покрытия нитей тонкой пленкой⁴He. Удобно пред-

Цель настоящей работы - попытаться понять,

ставить матрицу Λ_jl(r) в виде суммы ее среднего по

какие именно свойства и характеристики заданно-

ансамблю τ_jl = 〈Λ_jl〉 и флуктуирующей локальной

го нематического аэрогеля, погруженного в жидкий

анизотропии η_jl(r) = Λ_jl(r) - τ_jl так, что 〈η_jl〉 = 0. В

³He, определяют вид среднего параметра порядка

дальнейшем будет считаться, что рассматриваемые

той фазы, которая возникает при переходе³He в

аэрогели в среднем не обладают киральностью, т.е.

сверхтекучее состояние.

не различают правую и левую ориентации. В этом

2. Локальная анизотропия. В большинстве

случае матрица τ_jl - симметричная и вещественная,

теоретических работ, где обсуждается в рамках тео-

ее главные значения τ_x, τ_y, τ_z - вещественные функ-

рии Ландау фазовая диаграмма сверхтекучего³He

ции температуры, а главные направления, как было

[11-13], аэрогель считается непрерывной средой, ани-

объяснено выше, можно принять за направления ко-

зотропной, но не киральной, т.е. не различающей

ординатных осей (x, y, z): τ_jl = τ_x x_j x_l +τ_y ŷ_j ŷ_l +τ_z z_j z_l.

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

Расщепление сверхтекучего перехода в жидком³He нематическим аэрогелем

271

В этих обозначениях разложение плотности свобод-

Подстановка этого решения в

ной энергии в окрестности температуры неустойчи-

∫

d³k

вости нормальной фазы можно записать как:

〈η_jla_l〉 = η_jl(-k)a_l(k)

(7)

(2π)³

f_S - f_N

= [τ_jl + η_jl(r)]A^∗µj A_µl +

N (0)

дает линейное уравнение для параметра порядка в

точке неустойчивости нормальной фазы:

)

(∂A^∗

∑

µl

∂A_µl

+ξ²

β_sI_s.

(1)

(τ_jl - V_jl)Al = 0,

(8)

∂x_n

s=1

Чтобы избежать несущественных усложнений для

где

вклада градиентных членов, здесь принято модель-

∫

ное изотропное выражение. Равновесный параметр

d³k

V_jl =

η^∗mj(k)(τ_mn + δ_mnξ²k²)^-1η_nl(k)

порядка находится из уравнений

(2π)³

(9)

)

∑

(∂²A_µj

∂I_s

Здесь было использовано соотношение η_jl(-k)

[τ_jl +η_jl(r)]A_µl -ξ²

= 0. (2)

∂x²ⁿ

β_s ∂A^∗

= η^∗lj(k). Уравнение (8) имеет решение, если

s=1

µj

При решении системы уравнений (2) ограничимся

det (τ_jl - V_jl) = 0.

(10)

случаем, когда случайную анизотропию η_jl(r) можно

считать возмущением. Решение уравнения (2) будем

Таким образом, это - задача на собственные значе-

ния по отношению к температуре перехода T = T_c,

искать в виде A_µj (r) =

A_µj + a_µj(r), где

A_µj - это

усредненный по ансамблю параметр порядка. Это

от которой зависит τ_jl. Для решения задачи можно

использовать стандартную теорию возмущений (см.,

среднее значение следует рассматривать как пара-

метр порядка рассматриваемой фазы³He в аэроге-

например, [15]). В нулевом приближении τ_jlAl = 0

имеются три собственных значения τ_x = 0, τ_y = 0,

ле, оно описывает термодинамические свойства жид-

кости. Флуктуирующая часть параметра порядка

τ_z = 0 с соответствующими им собственными векто-

рами (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Допустим, что τ_x ≥

a_µj(r) при усреднении исчезает. Условие неустойчи-

вости нормальной фазы³He следует выразить непо-

≥ τ_y > τ_z и при понижении температуры первым

происходит переход в точке τ_z(T = T_c) = 0. В духе

средственно через

A_µj. Для этого надо подставить

теории Ландау τ_z(T) можно разложить в окрестно-

A_µj =

A_µj + a_µj(r) в уравнение (2) и усреднить его,

удерживая члены не выше второго порядка по a_µj и

сти T_c. Можно выбрать нормировку так, что τ_z =

= (T - T_c)/T_c. Поправка первого порядка к темпе-

η_jl(r) и линейные по

A_µj. В результате получится:

ратуре перехода имеет вид (T - T_c) = T_cV_zz. Возни-

τ_jlAµl + 〈ηjl(r)aµl(r)〉 = 0.

(3)

кающий при переходе параметр порядка в этом при-

ближении имеет следующие компоненты

A_x =V13 ,_τ

Греческий индекс µ входит в написанное уравнение

A_z = 1. Согласно определению (9) матри-

как параметр. Для фаз, обсуждавшихся в связи с

A_y =V23τy

ца V_jl эрмитова. Это значит, что ее симметричная

экспериментами [2] параметр порядка факторизуется

часть (V_jl + V_lj )/2 вещественна, а антисимметрич-

на спиновую и орбитальную части. Спиновая часть -

ная - (V_jl - V_lj )/2 - чисто мнимая. Если элементы

это вещественный вектор d_µ. Орбитальная анизотро-

V₁₃ и V₂₃ вещественны, то их возникновение можно

пия влияет на ориентацию d_µ только через слабое

рассматривать как изменение направления

A_l. Воз-

дипольное взаимодействие, которое здесь не учиты-

никающая фаза - полярная, но с измененной ориен-

вается. В дальнейшем будет рассматриваться только

тацией. Мнимые добавки к поперечным компонентам

орбитальная часть A_µj и индекс µ будет опускаться:

нельзя включить в параметр порядка полярной фа-

τ_jlAl + 〈ηjlal〉 = 0.

(4)

зы. Вместе с z-компонентой

A_z = 1 они образуют

параметр порядка полярно-искаженной АБМ-фазы,

Флуктуирующая часть a_l находится из линейного

которая при дальнейшем понижении температуры

уравнения

переходит в АБМ-фазу непрерывно, без дальнейших

)

(∂²a_j

фазовых переходов. Чисто полярная фаза образует-

τ_jla_l - ξ²

= -η_jlAl,

(5)

∂x²

ся, если V13 = V31 и V23 = V32. Это условие вы-

полняется для обсуждавшихся в литературе [7, 16]

оно решается переходом к фурье-образам

модельных выражений η_jl(k). Рассмотренные моде-

a_l(k) = -(τ_ln + δ_lnξ²k²)^-1η_nm(k)

A_m.

(6)

ли основаны на обобщениях теории сверхпроводящих

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021

272

И.А.Фомин

сплавов [8], где аэрогель считается ансамблем неза-

висимых примесей, причем тензор η_jl(r) в них - ве-

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A.A. Soldatov, and

щественный симметричный. Это требование обеспе-

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

чивает отсутствие мнимой части V_jl, но ему трудно

найти физическое обоснование. Симметрийные аргу-

V. V. Dmitriev, A. A. Soldatov, and A. N. Yudin,

менты позволяют понять, каким должен быть иде-

ЖЭТФ 158, 6 (2020).

альный для стабилизации полярной фазы аэрогель.

В. И. Марченко, ЖЭТФ 93, 141 (1987) [JETP 66, 79

Это - нематический аэрогель с бесконечно длинными

(1987)].

и гладкими нитями. Такой аэрогель обладает сим-

D. Vollhardt and P. Woelfle, The superfluid Phases of

метрией по отношению к отражению в плоскости,

Helium 3, London, N.Y., Taylor and Francis (1990).

ортогональной нитям. В этом случае при преобра-

V. B. Eltsov, T. Kamppinen, J. Rysti, and G. E. Volovik,

зовании z → (-z) компоненты V_xz и V_yz тензора V_jl

arXiv:1908.01645.

должны изменить знак, но в силу предположенной

S. Autti, V. V. Dmitriev, J. T. Mäkinen, A.A. Soldatov,

симметрии они не могут измениться, т.е. эти компо-

G. E. Volovik, A. N. Yudin, V. V. Zavjalov, and

ненты должны быть равными нулю. Согласно обзору

V. B. Eltsov, Phys. Rev. Lett. 117, 255301 (2016).

[2] аэрогели нафен и муллит имеют структуру более

K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504

близкую к идеальной, чем обнинский аэрогель. Этим

(2006).

может объясняться то, что полярную фазу наблю-

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 35, 1558

дают в двух первых случаях и не наблюдали в по-

(1958) [Sov. Phys. JETP 9, 220 (1959)].

следнем. Полезно также иметь в виду, что идеальный

R. Sh. Askhadullin, V. V. Dmitriev, D. A. Krasnikhin,

нематический аэрогель не должен понижать темпе-

P. N. Martynov, A. A. Osipov, A. A. Senin, and

ратуру перехода³He в сверхтекучее состояние [17] и

A. N. Yudin, Письма в ЖЭТФ 95, 355 (2012).

величина понижения T_c в аэрогеле может служить

10.

N. Zhelev, M. Reichl, T. S. Abhilash, E. N. Smith,

индикатором качества образца.

K. X. Nguen, E. J. Mueller, and J. M. Parpia, Nat.

В заключение, средняя одноосная анизотропия,

Commun. 7, 12975 (2016).

наведенная в жидком

³He погруженным в него

11.

J. A. Sauls, Phys. Rev. B 88, 214503 (2013).

аэрогелем еще не гарантирует стабилизации поляр-

12.

I. A. Fomin and E. V. Surovtsev, Письма в ЖЭТФ 97,

ной фазы. Пространственные флуктуации локальной

742 (2013).

анизотропии в зависимости от структуры аэрогеля

13.

И. А. Фомин, ЖЭТФ 145, 871 (2014).

могут способствовать возникновению мнимых ком-

14.

D. Rainer and M. Vuorio, J. Phys. C: Solid State Phys.

понент параметра порядка и образованию вблизи T_c

10, 3093 (1977).

полярно-искаженной АБМ фазы. Наиболее надеж-

ным для стабилизации чисто полярной фазы явля-

15.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,

ется использование идеального нематического аэро-

Наука, М. (1963), гл. VI.

геля.

16.

R. C. Regan, J. J. Wiman, and J. A. Sauls, arXiv:

Автор благодарен В. В. Дмитриеву, А. А. Солда-

2105.01257 v1.

тову и А.Н.Юдину за полезные дискуссии и кон-

17.

И. А. Фомин, ЖЭТФ 154, 1034 (2018) [JETP 127, 933

структивную критику.

(2018)].

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 3 - 4

2021