Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 8, с. 520 - 525

Лазерная микроскопия рассеивающих сред на основе

регуляризируемого минимально диффузного восстановления

изображений

M. С. Почечуев⁺, И. В. Федотов^+∗, Е. А. Степанов⁺, М. С. Андреева⁺, А. Б. Федотов^+∗, A. M. Желтиков^+∗×1)

⁺Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 119992 Москва, Россия

^∗Российский квантовый центр, 143025 Сколково, Россия

^×Department of Physics and Astronomy, Texas A&M University, College Station TX 77843, USA

Поступила в редакцию 20 сентября 2021 г.

После переработки 21 сентября 2021 г.

Принята к публикации 21 сентября 2021 г.

Представлена физическая реализация регуляризируемого по Тихонову решения обратной задачи

рассеяния с использованием подстраиваемого непосредственно по ходу эксперимента базиса спеклов,

обеспечивающего минимизацию обусловленной процедурой регуляризации диффузии изображений. На

этой основе реализуется устойчивое, минимально диффузное восстановление изображений в схеме мик-

роскопии рассеивающих сред с субмикронным пространственным разрешением.

DOI: 10.31857/S1234567821200039

Рассеяние является ключевым фактором, огра-

ния обратной задачи рассеяния с использованием

ничивающим использование оптических методов для

адаптивно настраиваемого базиса спеклов как осно-

решения широкого класса задач, связанных с дистан-

ва для лазерной микроскопии рассеивающих сред,

ционным зондированием атмосферы, астрономиче-

обеспечивающей устойчивое восстановление изобра-

скими наблюдениями, исследованием фундаменталь-

жений микрообъектов на фоне картины рассеяния

ных физических процессов в твердом теле, диа-

с субмикронным пространственным разрешением.

гностикой плазмы, микроскопией биологических си-

Ключевые идеи нашего эксперимента иллюстриру-

стем, лазерной биомедициной, а также оптической

ются на рис. 1 и 2. В качестве источника излуче-

кардио- и нейростимуляцией [1-6]. Разработанные в

ния используется непрерывный лазер на основе кри-

последние годы новые подходы в оптике рассеиваю-

сталла Nd : YAG с диодной накачкой и удвоением

щих сред, основанные на использовании методов ста-

частоты. Излучение с длиной волны 532 нм мощно-

тистической оптики, оптики сверхкоротких импуль-

стью 5 мВт, генерируемое этим лазерным источни-

сов, нелинейной оптики и адаптивной оптики, поз-

ком, фокусируется с помощью сканирующей линзы

воляют значительно продвинуться в решении задач

(SL на рис. 1) объектива микроскопа с увеличени-

этого класса [7-10]. Ввиду того, что применимость

ем 10× и числовой апертурой 0.25 (МО1 на рис.1)

методов прямого переноса изображений в условиях

для широкопольного освещения поверхности рассеи-

сильно рассеивающих сред оказывается ограничен-

вающей пластины, изготовленной из матового стекла

ной, многие из активно развиваемых в последние го-

(D на рис. 1). Изображение формируемой при этом

ды подходов обращаются, в том или ином виде, к вос-

спекл-картины с помощью аналогичного объектива

становлению изображений путем решения обратной

(МО2 на рис. 1) из плоскости Σ (рис. 1) на ПЗС-

задачи рассеяния [8,11-13]. Трудности, возникающие

камеру, установленную в плоскости Σ^′, для анализа

при практической реализации таких походов, носят

распределения интенсивности светового поля a_i(x, y)

фундаментальный характер и обусловлены тем, что

этой картины. В плоскости Σ затем размещается

обратная задача рассеяния относится к классу некор-

прозрачный слайд, на который нанесены микрокри-

ректно поставленных [14].

сталлы алмаза с NV-центрами окраски (рис. 1, 2), а

Целью настоящей работы является физическая

ПЗС-камера располагается в плоскости Σ^′, оптиче-

реализация регуляризируемого по Тихонову реше-

ски сопряженной с плоскостью Σ 4f-системой L-

МО2 (рис. 1). Возбуждение NV-центров лазерным

излучением с длиной волны 532 нм вызывает излу-

¹⁾e-mail: zheltikov@physics.msu.ru

520

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Лазерная микроскопия рассеивающих сред ...

521

дов микроскопии оказывается невозможным, так как

изображение не может быть выделено на фоне карти-

ны рассеяния. Возникает необходимость восстанов-

ления изображения на основе решения обратной за-

дачи рассеяния.

В реализованной нами экспериментальной схеме

эта задача решается путем освещения системы

люминесцентных микрокристаллов полем спеклов

(рис. 1, 2), формируемым рассеивающим элемен-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Лазерная микроскопия рассе-

том (матовое стекло D, рис.1), и регистрации

ивающих сред на основе регуляризируемого минималь-

но диффузного восстановления изображений: Nd: YAG

интегрального сигнала люминесценции фотопри-

532 нм - непрерывный лазер накачки на основе кри-

емником PMT, установленным за плоскостью Σ

сталла Nd : YAG с диодной накачкой и удвоением час-

(рис. 1). Новые схемы лазерной микроскопии, ос-

тоты; GS - гальваносканер; SL - сканирующая линза;

нованные на использовании структурированных

TL - тубусная линза; DM - дихроичное зеркало; BPF -

световых пучков и лазерных спеклов, активно

полосовой фильтр; PMT - фотоэлектронный умножи-

развиваются в последние годы

[17-19]. В схеме

тель; МО1, МО2 - микроскопные объективы; D - рас-

микроскопии, реализованной в наших эксперимен-

сеивающая пластина; Σ - плоскость образца и изобра-

тах, система люминесцентных микрокристаллов

жения; L - линза; Σ^′ - плоскость, оптически сопряжен-

алмаза с распределением ρ(x, y), освещаемая по-

ная с Σ 4f-системой L-МО2, и находящаяся на матрице

лем спеклов с распределением интенсивности

ПЗС-камеры

a_i(x, y), приводит к интегральному сигналу лю-

∫

минесценции b_i

a_i(x, y)ρ(x, y)dxdy. Полагая,

что каждый из микрокристаллов алмаза, центры

окраски которого возбуждаются лазерным из-

лучением, может быть приближенно описан как

точечный излучатель, представим пространственное

распределение люминесцентных центров в виде

∑

ρ(x, y)

ρ_jδ(x - x_j, y - y_j), где (x_j, y_j) -

j=1

координаты j-го излучающего микрокристалла

в плоскости Σ. Выражение для интегрального

сигнала люминесценции при этом принимает вид

∑

b_i =

ρ_ja_ij, где a_ij = a_j(x_i, y_i).

j=1

Изменяя угол наклона лазерного излучения от-

носительно поверхности матового стекла с помощью

Рис. 2. (Цветной онлайн) Лазерная микроскопия на ос-

автоматически управляемой быстрой гальваномет-

нове прямого переноса изображений (а) и на основе

рической сканирующей системы, встроенной в схе-

анализа изображения на фоне картины рассеяния (b)

му конфокальной микроскопии (рис. 1), получаем но-

вую спекл-картину с распределением интенсивности

чение, максимум спектра которого, соответствую-

a_k(x, y). Используя эту спекл-картину для освещения

щий фононному крылу NV-дефекта в решетке алма-

той же системы алмазов с NV-центров, получаем ин-

∑_N

за [15,16], приходится на длину волны 670 нм (рис.3).

тегральный сигнал люминесценции b_k =

ρ_ja_kj,

j=1

На рисунке 4а представлено изображение обла-

где a_kj = a_j (x_k, y_k). Имея N спекл-картин, каждая

сти размером 10 × 10 мкм на поверхности предмет-

из которых имеет свое распределение интенсивности

ного стекла с нанесенными микрокристаллами алма-

a_i(x, y), i = 1, ..., N, и используя их для освещения

за, полученное методом прямого переноса изображе-

системы алмазов с NV-центрами с распределением

ния предметной плоскости на видеокамеру (рис. 1)

ρ(x, y), получаем вектор B = {b₁, ..., b_N }, i-ая состав-

без внесения в лазерный луч матового стекла или

ляющая которого является интегральным сигналом

иных рассеивающих элементов (рис. 1). В условиях

люминесценции системы NV-центров, освещаемой i-

сильного рассеяния, моделируемого в наших экспе-

й спекл-картиной.

риментах внесением в лазерный луч матового стекла

Если бы все распределения интенсивности a_ij =

D (рис. 1, 2), получение изображения системы люми-

= a_j(x_i,y_i) были известны точно, то распределе-

несцентных микрочастиц с помощью прямых мето-

ние люминесцентных центров в плоскости Σ, ρ =

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

522

M. С. Почечуев, И. В. Федотов, Е. А. Степанов и др.

Риc. 3. (Цветной онлайн) Схема возбуждения (а) и спектр излучения (b) NV-центров в алмазе

Рис. 4. (Цветной онлайн) (а) - Изображение системы люминесцентных микрочастиц алмаза, полученное путем прямого

переноса и (b) его пикселированный вариант с общим числом пикселей, равным Nx ∗ Ny = 50 ∗ 50 = 2500. Изображе-

ния системы люминесцентных микрочастиц алмаза, восстановленные путем решения обратной задачи с параметром

регуляризации α = 0 (c), 1 (d), 5 (e), 10 (f)

= {ρ₁, ..., ρ_N }, можно было бы найти путем решения

Регуляризация решения этой задачи может быть

системы линейных уравнений Aρ = B, где A - мат-

выполнена с помощью процедуры регуляризации Ти-

рица, элементами которой являются интенсивности

хонова [20], т.е. путем минимизации функционала

a_ij. Однако, так как вместо матрицы A точных зна-

G_α = ∥Aρ - B∥² + α∥Lρ∥², где α - параметр регу-

чений интенсивности известна лишь матрица A, эле-

ляризации, L - регуляризирующая матрица. Регуля-

ментами которой являются приближенные значения

ризованное решение ρ_α может быть найдено из соот-

a_ij, решение уравнения Aρ = B оказывается некор-

ветствующего функционалу G_α уравнения Эйлера-

ректно поставленной задачей.

Лагранжа [14,21,22] (A^∗A+ αL^∗L)ρ_α = A^∗B. В опе-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Лазерная микроскопия рассеивающих сред ...

523

раторной форме A и L в выражении для G_α пони-

цей, имеет вид ∥Aρ^σα - B∥ = σ. Оптимальный выбор

маются как операторы, действующие в гилбертовом

параметра регуляризации α, таким образом, может

пространстве ρ. На практике, однако, компоненты

быть осуществлен лишь на основе уже имеющегося

вектора B также неизвестны. Вместо них известны

массива экспериментальных данных, позволяющего

лишь их приближенные значения, образующие век-

определить матрицу оператора A и вектор B.

тор B, так что ∥B - B∥ ≤ σ. В реализованной на-

Ключевое преимущество реализованной в данной

ми экспериментальной схеме компонетами вектора B

работе схеме микроскопии заключается в обеспечи-

являются интегральные значения интенсивности, из-

ваемой автоматической системой гальванометриче-

меренные с конечной точностью с помощью различ-

ского сканирования (рис. 1, 2) возможности быстрой

ных спекл-картин. Обобщение процедуры регуляри-

подстройки размерности N базиса спеклов, исполь-

зации Тихонова на этот случай приводит к уравне-

зуемого для восстановления распределения люми-

нию [21, 22] (A^∗A+αL^∗L)ρ^ρα = A^∗B. Искомый вектор

несцентных центров ρ(x, y) в предметной плоскости.

ρ^ρα при этом оказывается зависящим как от погреш-

Возможность подстройки N непосредственно по хо-

ности измерения σ, так и от выбора параметра регу-

ду эксперимента позволяет за счет некоторого увели-

ляризации α.

чения времени восстановления изображения умень-

В условиях микроскопии рассеивающих сред, ко-

шить погрешность измерения σ, которая при боль-

гда устойчивости решения обратной задачи необхо-

ших N оказывается пропорциональной 1/N^1/2. При

димо достичь при минимальных возможных поте-

меньших погрешностях измерения σ снижаются тре-

рях пространственного разрешения, выбор парамет-

бования к параметру регуляризации α, который мо-

ра регуляризации α оказывается непростой задачей.

жет быть при этом уменьшен без потери устойчиво-

При слишком малых α изображения оказываются

сти процедуры восстановления изображения. Умень-

сильно зашумленными. В некоторых достаточно об-

шение α, в свою очередь, приводит к уменьшению

ширных областях, меняющихся по условиям экспе-

диффузии изображения в процессе регуляризации.

риментов параметров, восстановление изображения

На рисунках 4c-f представлены изображения си-

при этом может терять устойчивость. При слиш-

стемы люминесцентных микрочастиц алмаза, вос-

ком больших значениях α операция фильтра (A^∗A+

становленные путем решения обратной задачи. Раз-

αL^∗L)^-1A^∗B = ρ^σα приводит к потере важных про-

мерность базиса спеклов для этих измерений, N =

странственных деталей изображений, размытию гра-

= 2500, выбрана на основе анализа обширного масси-

ниц, неприемлемому ухудшению пространственного

ва восстановленных изображений. Цель этого анали-

разрешения. Все эти эффекты, приводящие к потере

за заключалась в выяснении баланса между устойчи-

качества изображения, отражают диффузионный ха-

востью процедуры восстановления изображения на

рактер преобразования ρ(x, y), диктуемый процеду-

фоне картины рассеяния с одной стороны и степенью

рой регуляризации решения обратной задачи [14, 22].

диффузии изображения в процессе регуляризации,

Для частного случая регуляризации по Тихонову ре-

приводящей к потере пространственного разрешения

гуляризованное решение обратной задачи рассеяния

и размытию границ изображений с другой стороны.

может быть описано изотропным уравнением диф-

На рисунке 4c представлен результат нерегуляри-

фузии [22] с коэффициентом диффузии, пропорцио-

зованного решения обратной задачи рассеяния (α =

нальным параметру регуляризации α.

= 0) для характерного массива данных, позволяю-

Теория регуляризации решения обратной задачи

щего определить матрицу оператора A и вектор B

рассеяния не предлагает удовлетворительных с точ-

для реализованной схемы микроскопии. Как видно

ки зрения микроскопии рассеивающих сред рецептов

из рис. 4c, в отсутствие регуляризации решение пол-

выбора параметра регуляризации α по наперед за-

ностью теряет устойчивость.

данному значению погрешности измерения σ. Наи-

На рисунке 4d приведено изображение системы

лучшим решением на практике является выбор α

люминесцентных микроскристаллов алмаза, полу-

непосредственно в процессе эксперимента на осно-

ченное путем решения обратной задачи рассеяния

ве одного из апостериорных критериев [21]. Приме-

с параметром регуляризации α = 1. Изображение

ром такого подхода является широко используемый

этой же системы микрокристаллов, полученное в

в практике машинного восстановления изображений

схеме прямого переноса изображения без внесения

метод апостериорного выбора параметра регуляри-

в лазерный луч рассеивающей пластины (рис. 2а),

зации α на основе критерия Морозова [23], который

представлено на рис. 4а. Для корректности сравне-

для случая L = I, где I - оператор тождественного

ния результатов, получаемых методом прямого пе-

преобразования, представляемый единичной матри-

реноса изображения и изображений, восстанавлива-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

524

M. С. Почечуев, И. В. Федотов, Е. А. Степанов и др.

Рис. 5. (Цветной онлайн) Профили интенсивности на изображениях микроалмазов 1 (а) и 2 (b), построенные вдоль

оси, показанной на рис. 4а. Изображения восстановлены путем решения обратной задачи с параметром регуляризации

α = 1 (красная линия), 5 (синяя линия), 10 (зеленая линия). Черная линия соответствует изображениям, полученным

прямым методом

емых на основе решения обратной задачи рассея-

явления диффузии изображений без потери устой-

ния, на рис. 4b приведено пикселированное изобра-

чивости решения. Восстановленные на основе ана-

жение этой же группы микроскристаллов алмаза,

лиза картины рассеяния изображения люминесцент-

полученное в схеме прямого переноса изображения

ных микрокристаллов при этом оказываются прак-

(рис. 2а). Количество пикселей на этом изображении,

тически идентичными изображениям, получаемыми

N_x ∗ N_y = 50 ∗ 50 = 2500, выбрано равным числу

прямыми методами (рис. 4b).

независимых спекл-картин, N = 2500, используемых

Таким образом, реализованная в настоящей ра-

в качестве базиса для восстановления изображений

боте экспериментальная схема регуляризируемого

на фоне рассеяния (рис. 4c-f).

по Тихонову решения обратной задачи рассеяния

Как показывает сравнение рис.4b и d, регуляри-

представляет собой мощный ресурс лазерной микро-

зация с параметром α = 1 оказывается недостаточ-

скопии рассеивающих сред. Разработанная методи-

ной для адекватного подавления шумов. Уровень за-

ка обеспечивает возможность быстрой автоматиче-

шумленности получаемых в результате такой регу-

ской подстройки размерности спекл-базиса для ми-

ляризации изображений оказываются настолько вы-

нимизации, обусловленной процедурой регуляриза-

соким, что различить на этих изображениях мож-

ции диффузии изображений. На этой основе реали-

но лишь наиболее интенсивные из люминесцентных

зуется устойчивое, минимально диффузное восста-

микрокристаллов. Увеличение параметра регуляри-

новление изображений в схеме микроскопии рассе-

зации до α = 10 (рис.4f) позволяет полностью по-

ивающих сред с субмикронным пространственным

давить шумы. При этом оказывается возможным

разрешением.

надежно зарегистрировать большое число люминес-

Исследование выполнено при поддержке Россий-

центных микрокристаллов, которые хорошо разли-

ского фонда фундаментальных исследований (про-

чимы и на изображениях, полученных прямыми ме-

екты 19-02-00473, 18-29-20031, 19-29-12062), Россий-

тодами (рис. 4а, b) и которые были полностью скры-

ского научного фонда (проект 20-12-00088), а так-

ты за шумами на изображениях, восстановленных с

же Министерства науки и высшего образования РФ

параметром регуляризации α = 1.

(госконтракт 075-15-2020-801 от 9 октября 2020).

Сравнение рис. 4b и f, а также рис. 5a, b позво-

ляет выявить характерные проявления обусловлен-

1. A. Ishimaru, Wave Propagation and Scattering in

ной процедурой регуляризации диффузии изображе-

Random Media, Academic, N.Y. (1978).

ний - значительную потерю пространственного раз-

2. S. Chandrasekhar, Radiative Transfer, Dover, N.Y.

решения и сильное размытие границ микрокристал-

(1960).

лов на изображении, полученном путем решения об-

3. L. V. Doronina-Amitonova, I. V. Fedotov, A. B. Fedotov,

ратной задачи. Уменьшение параметра регуляриза-

K. V. Anokhin, and A. M. Zheltikov, Phys.-Uspekhi 58,

ции до α = 5 позволяет существенно ослабить про-

345 (2015).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Лазерная микроскопия рассеивающих сред ...

525

4. M. S. Pochechuev, M. A. Solotenkov, I. V. Fedotov,

V. Emiliani, and M. Guillon, Nat. Commun. 10, 1327

O. I. Ivashkina, K. V. Anokhin, and A. M. Zheltikov,

(2019).

J. Biophotonics 13, e202000081 (2020).

14. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения

5. Y. G. Ermakova, A. A. Lanin, I. V. Fedotov et al.

некорректных задач, Наука, М. (1979).

(Collaboration), Nat. Commun. 8, 15362 (2017).

15. M. W. Doherty, N. B. Manson, P. Delaney, F. Jelezko,

6. А. В. Митрофанов, Д. А. Сидоров-Бирюков, А. А. Во-

J. Wrachtrup, and L. C. L. Hollenberg, Phys. Rep. 528,

1 (2013).

ронин, М. В. Рожко, П. Б. Глек, М. М. Назаров,

Е. Е. Серебрянников, А. Б. Федотов, А. М. Желтиков,

16. M. A. Смирнов, M. M. Миннегалиев, И. В. Федотов,

С. А. Моисеев, A. M. Желтиков, Письма ЖЭТФ 113,

Письма в ЖЭТФ 113, 304 (2021).

3 (2021).

7. S. Popoff, G. Lerosey, M. Fink, A. Boccara, and

17. D. Li, L. Shao, B.-C. Chen, X. Zhang, M. Zhang,

S. Gigan, Nat. Commun. 1, 81 (2010).

B. Moses, D. E. Milkie, J. R. Beach, J. A. Hammer III,

8. A. Mosk, A. Lagendijk, G. Lerosey, and M. Fink, Nat.

M. Pasham, T. Kirchhausen, M. A. Baird,

Photon 6, 283 (2012).

M. W. Davidson, P. Xu, and E. Betzig, Science

9. C. Moretti and S. Gigan, Nature Photonics 14, 361

349, aab3500 (2015).

(2020).

18. Y. Wu and H. Shroff, Nat. Methods 15, 1011 (2018).

10. D. Bouchet, S. Rotter, and A. P. Mosk, Nature Phys.

19. A. Classen, X. Liu, A. M. Zheltikov, and G. S. Agarwal,

17, 564 (2021).

Opt. Lett. 46, 1554 (2021)

11. G. Lerosey, J. de Rosny, A. Tourin, A. Derode,

20. А. Н. Тихонов, Докл. АН СССР 151, 501 (1963).

G. Montaldo, and M. Fink, Phys. Rev. Lett. 92, 193904

21. M. T. Nair, M. Hegland, and R. A. Anderssen, Math.

(2004).

Comput. 66, 193 (1997).

12. Z. Yaqoob, D. Psaltis, M. S. Feld, and C. Yang, Nature

22. G. W. Groetsch, The Theory of Tikhonov Regularization

Photon. 2, 110 (2008).

for Fredholm Equations, Pitman, Boston (1984).

13. M. Pascucci, S. Ganesan, A. Tripathi, O. Katz,

23. В. А. Морозов, Докл. АН СССР 175, 1225 (1967).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021