Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 10, с. 643 - 649

Физические процессы при формировании стационарной

ультрахолодной неидеальной плазмы

С. Я. Бронин⁺, Е. В. Вихров⁺, Б. Б. Зеленер^+∗×, Б. В. Зеленер⁺¹⁾

⁺Объединенный институт высоких температур РАН, 127412 Москва, Россия

^∗Национальный исследовательский ядерный университет Московский инженерно-физический институт, 115409 Москва, Россия

^×Национальный исследовательский университет Московский энергетический институт, 111250 Москва, Россия

Поступила в редакцию 17 сентября 2021 г.

После переработки 6 октября 2021 г.

Принята к публикации 12 октября 2021 г.

Мы представляем результаты прямого моделирования формирования двухкомпонентной стационар-

ной неидеальной ультрахолодной плазмы при помощи непрерывного ионизирующего лазера. Показано,

что формирование стационарной плазмы так же, как и в случае импульсной ионизации, определяется

электрическим полем, создаваемым покидающими плазму быстрыми электронами. Это поле ускоряет

ионы и удерживает оставшиеся электроны в плазме. При этом за счет непрерывной ионизации в опре-

деленный момент времени, зависящий от начальной энергии электронов и ионов, а также от плотности

плазмы, достаточно быстро устанавливается стационарное распределение частиц плазмы по плотности

и температуре частиц, которое может существовать в течение длительного времени.

DOI: 10.31857/S1234567821220031

Введение. Исследования ультрахолодной плаз-

электрон-ион может достигать единицы, а для вза-

мы (УХП), которая последние 20 лет эксперимен-

имодействия ион-ион - десятки. Вырождение в этой

тально и теоретически интенсивно изучается [1, 2],

плазме отсутствует и все процессы в ней рассмат-

представляют большой интерес для понимания фи-

риваются классически. В работах [4-8] показано,

зических процессов в классической невырожденной

что свойства этой плазмы, выраженные в безразмер-

плазме. УХП получается при однократной иониза-

ном виде: такие как коэффициенты диффузии заря-

ции ультрахолодного газа (обычно щелочного или

дов, проводимость, теплопроводность, вязкость, ди-

щелочно-земельного металла), находящегося в маг-

электрическая проницаемость, коэффициенты пре-

нитооптической ловушке в глубоком вакууме, при

ломления, поглощения, отражения, а также веро-

помощи импульсного [1, 2] или непрерывного лазе-

ятность распределения ионного микрополя соответ-

ра [3]. Так как температура газа в этой ловушке

ствуют любой классической неидеальной невырож-

составляет несколько милликельвинов, а плотность

денной плазме.

10⁷-10¹¹ см^-3, то плазма достаточно разрежена и

Еще один аспект интереса к исследованию УХП

при этом взаимодействием заряд-нейтрал по срав-

связан с физикой разлета этой плазмы в вакуум по-

нению с кулоновским взаимодействием можно пре-

сле ее создания. Вообще явление быстрого ускоре-

небречь, т.е. рассматривать ее отдельно как полно-

ния ионов при свободном расширении разреженной

стью ионизованную. Начальная кинетическая энер-

плазмы - одна из интересных особенностей кинетики

гия электронов определяется величиной отстройки

плазмы. Оно было обнаружено еще в 1930 г. Танбер-

ионизирующего лазера от потенциала ионизации и

гом [9] в импульсном газовом разряде. Качественное

обычно лежит в интервале 0-200 К. Начальная тем-

объяснение этого эффекта, основанное на механизме

пература ионов практически равна температуре ато-

амбиполярного ускорения ионов электронами, было

мов. Эта плазма является термически неравновес-

дано только в начале 1960-х гг. Плютто [10], а также

ной и может быть неидеальной, если взаимодей-

Хенделем и Ребулом [11]. Оно состоит в том, что из-

ствие зарядов между собой на среднем расстоянии

за более высокой подвижности электронов создается

будет сравнимо или больше их кинетической энер-

электрическое (амбиполярное) поле, которое предот-

гии. Параметр неидеальности для взаимодействия

вращает вылет электронов и в то же время ускоряет

ионы в направлении вакуума или менее плотной сре-

¹⁾e-mail: bzelener@mail.ru

ды. В дальнейшем это явление наблюдали в поляр-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021

643

5^∗

644

С. Я. Бронин, Е. В. Вихров, Б. Б. Зеленер, Б. В. Зеленер

ном ветре, в катодных вспышках, в вакуумных ду-

стей на реальные эксперименты позволила провести

гах, а также во взрывающихся проволоках, в лабора-

сравнение различных экспериментальных данных с

торной плазме, в лазерной искре. Кроме того, недав-

результатами моделирования. На основании резуль-

ние эксперименты по созданию струй высокоэнерге-

татов моделирования были сформулированы уравне-

тических ионов от короткоимпульсного взаимодей-

ния для функций распределения и получены автомо-

ствия с твердотельными мишенями возродили инте-

дельные решения для различных этапов разлета.

рес к описанию процесса свободного разлета плазмы

Другой вариант создания УХП реализуется при

в вакуум [12-17].

использовании непрерывного ионизующего лазера

Новые возможности для изучения разлета плаз-

[3]. В этом случае атомы, непрерывно поступающие и

мы в вакуум возникли с созданием УХП. Расшире-

охлаждаемые в магнитооптической ловушке, непре-

ние УХП характеризуется хорошо контролируемы-

рывно ионизуются. Так как заряды не удерживают-

ми начальными условиями и относительно медлен-

ся в ловушке, то они ее покидают с течением вре-

ной динамикой, что создает явные преимущества для

мени. Но за счет непрерывной ионизации в опре-

изучения проблемы. Также УХП является классиче-

деленный момент времени, зависящий от начальной

ской в широком диапазоне параметров и может быть

энергии электронов и ионов, а также от плотности

неидеальной, что дает возможность изучения влия-

плазмы, достаточно быстро устанавливается стацио-

ния неидеальности на ее разлет. В настоящее вре-

нарное распределение частиц плазмы по плотности и

мя получен достаточно большой экспериментальный

температуре, которое может существовать в течение

материал по расширению УХП различных элементов

длительного времени. До настоящего времени этот

(Xe, Sr, Rb, Ca) [1, 2, 18, 19] в зависимости от плот-

режим подробно не исследовался.

ности, числа частиц, начальных температур электро-

В настоящей работе представлены некоторые ре-

нов и ионов.

зультаты, выполненные ММД расчетов формирова-

Одним из лучших способов, позволяющих мак-

ния УХП при ионизации непрерывным лазером. Так

симально точно и детально изучить процесс разлета

же, как и в случае разлета при создании плазмы им-

УХП является его моделирование методом молеку-

пульсным лазером при стационарном режиме, обра-

лярной динамики. В наших работах [20, 21] мы пред-

зуется дисбаланс заряда, который формирует элек-

ставили результаты, полученные прямым модели-

трическое поле, удерживающее электроны и ускоря-

рованием методом молекулярной динамики (ММД)

ющее ионы. Напряженность поля в облаке плазмы

процесса разлета двухкомпонентной плазмы в ва-

при этом соответствует поведению напряженности

куум, происходящего при ее создании импульсным

поля однородно заряженного шара. Получено стаци-

лазером, который выключается после ее возникно-

онарное распределение частиц плазмы в зависимо-

вения. В работе [21] представлены результаты раз-

сти от параметров. Показано отличие разлета частиц

лета сферического облака двухкомпонентной плаз-

в стационарной плазме от разлета при импульсном

мы Sr в вакуум в широком диапазоне числа частиц,

способе ее создания.

плотности и начальных температур электронов. Бы-

Физическая модель. Для моделирования ММД

ли последовательно рассмотрены все этапы разле-

образования стационарной ультрахолодной плазмы

та в зависимости от параметров плазмы. Показано,

была использована следующая физическая модель.

что, при всех рассмотренных условиях, имеет место

Возникновение заряженных частиц осуществлялось

одинаковый характер процесса разлета. После выле-

равномерно по паре зарядов (электрон и ион Ca⁴⁰)

та быстрых электронов из облака плазмы избыточ-

каждые 5 · 10^-8 с. В нулевой момент времени ско-

ный положительный заряд локализуется на внешней

рости частиц обоих типов распределены по Макс-

границе в узком слое. Этот слой имеет характер-

веллу c заданной начальной кинетической энергией.

ную форму фронта с резким спадом концентрации

Начальные координаты задаются так, что плотность

заряда. По мере расширения плазмы скорость пе-

частиц подчиняется нормальному закону распреде-

ремещения заряженного слоя становится постоянной

ления, дисперсия которого зависит от распределе-

и значительно превышает звуковую скорость ионов.

ния интенсивности лазерного излучения. Для инте-

При этом зависимость радиальной скорости ионов

грирования уравнений движения используется схе-

от радиуса имеет автомодельный характер задолго

ма Верле в скоростной форме. Минимальный шаг

до финальной стадии разлета. На основе проведен-

по времени при расчете движения электронов δt =

ных расчетов удалось определить зависимость всех

= 10^-12 с. Так как массы частиц существенно раз-

характеристик разлета от числа частиц и других на-

личаются, шаг по времени выбран различным для

чальных параметров. Экстраполяция этих зависимо-

ионов и электронов (пропорционально корню квад-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021

Физические процессы при формировании стационарной ультрахолодной неидеальной плазмы

645

Рис. 1. (Цветной онлайн) Зависимость концентрации ионов от радиуса и от времени: (а) - σ = 0.02 см; (b) - σ = 0.07 см.

Синие кружки - t = 10 мкс; красные треугольники - t = 30 мкс; фиолетовые квадраты - t = 180 мкс; черный пунктир -

t = 220мкс

Рис. 2. (Цветной онлайн) Разность чисел ионов и электронов внутри сферы радиуса r в зависимости от времени: (а) -

σ = 0.02см: синий пунктир - r = 0.05см; красная сплошная - r = 0.1см; (b) - σ = 0.07см: синий пунктир - r = 0.1см;

красная сплошная - r = 0.2 см

ратному из отношения масс). Такой прием позволяет

щих расчетов алгоритм распараллеливания расчетов

ускорить вычисления без ущерба для точности. При

(parallelization techniques). В процессе расчетов обес-

решении уравнений движения учитывалось кулонов-

печивалось сохранение энергии с точностью до 1 %.

ское взаимодействие между частицами (все частицы

Влияние рекомбинации на результаты расчетов

со всеми). Так как число частиц в расчетах составля-

не существенно. Это связано с тем, что рекомбина-

ет больше 10000, то для уменьшения времени счета

ция в ультрахолодной плазме носит столкновитель-

используется специально разработанный для настоя-

ный характер. Все остальные процессы рекомбина-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021

Физические процессы при формировании стационарной ультрахолодной неидеальной плазмы

647

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость кинетической энергии различных групп частиц, и потенциальной энергии, от-

несенных к полной энергии, от времени: (а) - σ = 0.02 см; (b) - σ = 0.07 см. Красная сплошная линия - кинетиче-

ская энергия электронов плазмы Epe/E; синий штрих-пунктир - кинетическая энергия ионов плазмы Ei/E; зеленая

штриховая линия - кинетическая энергия свободных электронов, покинувших область плазмы (Ee - Epe)/E; черный

пунктир - полная потенциальная энергия всех частиц U/E

ции в ней практически отсутствуют, так как концен-

на основании рассчитанного коэффициента рекомби-

трация зарядов составляет n = 10⁵ - 10¹⁰ см^-3, а

нации составляет менее 1 % от количества электро-

температура электронов T_e = 1-30 K. При этом пер-

нов в стационарном состоянии при t = 200 мкс.

воначальный захват электрона происходит на уро-

Рассмотрено два варианта, отличающиеся разме-

вень энергии, равный k_bT_e (k_b - постоянная Больц-

ром области, в которой происходит ионизация ато-

мана). Этому уровню энергии соответствует глав-

мов. В обоих вариантах координаты возникающих

ное квантовое число в диапазоне k = 70-400. Веро-

частиц имеют гауссово распределение с дисперсия-

ятность радиационного перехода высоковозбужден-

ми σ = 0.07 см и 0.02 см.

ных состояний в основное пропорционально k^-5 и

Все эти условия выбирались на основании анали-

для этих состояний значительно меньше вероятности

за экспериментальных данных [3].

столкновительной рекомбинации. Вклад других ре-

Результаты. На рисунках 1-5 приведен при-

комбинационных процессов мал из-за низкой концен-

мер расчетов для начальных температур электронов

трации частиц. Коэффициент трехчастичной реком-

T_e0 = 5 K и ионов T_i0 = 10^-3 K. На рисунке 1 пред-

бинации был рассчитан нами методом молекуляр-

ставлено распределение плотности ионов в зависимо-

ной динамики для параметра неидеальности Γ_ei =

сти от радиуса облака плазмы для разных значений

= e²(4πn_i/3)^1/3/k_bT_e < 1.5. Эти результаты, а также

времени и для двух значений размеров области иони-

совпадающие с ними в этом диапазоне результаты

зации σ = 0.02 см (рис.1а) и σ = 0.07 см (рис.1b). Из

работ других авторов приведены в [22]. В настоящей

рисунка 1 видно, что установление стационарного ре-

работе значение параметра неидеальности Γ_ei ≈ 0.1.

жима наступает при t ≈ 200 мкс. Плотность ионов в

При его определении нужно учитывать то, что плот-

центре достигает при заданных начальных услови-

ность электронов меняется с течением времени от ну-

ях n_i = 3 · 10⁶ см^-3 (σ = 0.02 см) и n_i = 10⁵ см^-3

ля до некоторого значения, которое в несколько раз

(σ = 0.07 см), что примерно соответствует экспери-

меньше плотности ионов при r = 0 за счет вылета

ментальным оценкам.

электронов из облака плазмы. Для этого параметра

На рисунке 2 показана разность между числами

неидеальности доля рекомбинировавших электронов ионов и электронов внутри сферы радиуса r в зави-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021

648

С. Я. Бронин, Е. В. Вихров, Б. Б. Зеленер, Б. В. Зеленер

Рис. 5. (Цветной онлайн) Зависимость кинетической энергии на одну частицу и средней температуры ионов от вре-

мени: (а) σ = 0.02 см; (b) - σ = 0.07 см. Красная сплошная линия - средняя температура ионов плазмы 〈Ti〉; синий

штрих-пунктир - кинетическая энергия ионов плазмы Ei(t)

симости от времени для двух значений радиуса. С

Как было показано в этих работах, этот разлет осу-

течением времени устанавливается постоянный дис-

ществлялся также за счет образования дисбаланса

баланс заряда, что приводит к образованию стацио-

заряда вследствие вылета части электронов. Однако

нарного электрического поля.

формирование поля носило другой характер и приво-

На рисунке 3a,b приведены результаты расчета

дило к образованию ионного фронта. На рисунке 3с

напряженности электрического поля в зависимости

представлены безразмерные значения электрическо-

от радиуса для разных моментов времени. Приведен-

го поля E в зависимости от ξ = r/σ_r (σ_r = (〈r²〉)^1/2),

ные значения поля представляют собой усредненные

для установившегося стационарного режима и для

по угловым координатам при фиксированном значе-

варианта импульсной ионизации. Значения поля нор-

∫

нии радиуса радиальные компоненты напряженно-

мированы таким образом, что

E(ξ)dξ = 1. Раз-

сти поля, рассчитанной как сумма вкладов всех за-

личие в поведении электрического поля обусловле-

ряженных частиц. Следует отметить немонотонное

но тем, что в импульсном варианте избыточный за-

изменение напряженности поля с изменением време-

ряд сосредоточен в узком слое на периферии плаз-

ни. Вид кривых напряженности поля при различных

мы, тогда как в стационарном случае заряд в области

моментах времени имеет подобный характер: моно-

плазмы распределен равномерно. Как показано в ра-

тонный рост при малых r после максимума сменя-

боте [21], зависимость безразмерных значений элек-

ется спадом 1/r². Такое поведение напряженности

трического поля от параметра ξ = r/σ_r практически

поля означает, что избыток заряда равномерно рас-

одинакова в широком диапазоне определяющих па-

пределен внутри облака. Полученному распределе-

раметров.

нию электрического поля соответствует потенциаль-

На рисунке 4 представлены все составляющие

ная яма для электронов с глубиной, достигающей

полной энергии системы.

10 К при t ≥ 150 мкс, радиус которой можно оце-

На рисунке 4 представлены, в частности, зави-

нить в 1 мм (σ = 0.02 см) и 2 мм (σ = 0.07 см). Элек-

симости кинетической энергии электронов плазмы и

трическое поле ускоряет ионы плазмы и не позво-

свободных электронов, отнесенные к полной энер-

ляет оставшимся электронам покинуть плазменное

гии. Под свободными электронами понимаются те

облако.

электроны, которые покинули облако плазмы и на-

В предыдущих работах [20, 21] моделировался

ходятся на расстоянии большем, чем самый дальний

разлет УХП при ее создании импульсным лазером.

ион. Кинетическая энергия электронов плазмы пада-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021

Физические процессы при формировании стационарной ультрахолодной неидеальной плазмы

649

ет примерно в три раза за 200 мкс. Также на рис.4

показана кинетическая энергия ионов, которая за 200

T. S. Killian, T. Pattard, T. Pohl, and J. M. Rost, Phys.

мкс за счет их ускорения полем сближается с энер-

Rep. 449, 7 (2007).

гией улетевших электронов. На рисунке 5 представ-

лена зависимость кинетической энергии на одну ча-

M. Lyon and S. L. Rolston, Rep. Prog. Phys. 80, 017001

стицу и средней температуры ионов от времени для

(2017).

двух размеров области ионизации. Как видно из это-

Б. Б. Зеленер, Е. В. Вильшанская, С. А. Саакян,

го рисунка, доля поступательной энергии в кинети-

В. А. Саутенков, Б. В. Зеленер, В. Е. Фортов, Письма

ческой энергии ионов является подавляющей, а сред-

в ЖЭТФ 113, 92 (2021).

няя температура ионов с течением времени остается

A. A. Bobrov, A. M. Bunkov, S.Ya. Bronin,

примерно постоянной.

A. B. Klyarfeld, B. B. Zelener, and B. V. Zelener,

Заключение. Таким образом, при формирова-

Phys. Plasmas 6, 082102 (2019).

нии стационарной УХП, происходящего в результа-

T. S. Strickler, T. K. Langin, P. McQuillen, J. Daligault,

те непрерывной ионизации лазерным излучением, в

and T. C. Killian, Phys. Rev. X 6, 021021(2016).

определенный момент времени, который зависит от

A. A. Bobrov, A. M. Bunkov, S.Ya. Bronin,

начальной энергии электронов и ионов, а также от

A. B. Klyarfeld, B. B. Zelener, and B. V. Zelener,

размера области ионизации σ, устанавливается ста-

Phys. Plasmas 27, 010701 (2020).

ционарное распределение плотности и температуры

A. A. Bobrov, S. Ya. Bronin, D. S. Korchagin,

частиц плазмы, которое может существовать в те-

B. B. Zelener, and B. V. Zelener, Phys. Plasmas

чение длительного времени. При этом плазма мо-

27, 122103 (2020).

жет быть в зависимости от параметров существенно

S. Ya. Bronin, B. B. Zelener, and B. V. Zelener, J. Quant.

неидеальна. Как следует из расчетов для расмотрен-

Spectrosc. Radiat. Transf. 268, 107621 (2021).

ных вариантов с разными размерами области, в кото-

R. Tanberg, Phys. Rev. 35, 1080 (1930).

рой происходит ионизация атомов, начальная кине-

10.

A. A. Plyutto, ЖЭТФ 39, 15891 (1960).

тическая энергия электронов уменьшается в несколь-

11.

H. W. Hendel and T. T. Reboul, Phys. Fluids 5, 360

ко раз, а температура ионов, несмотря на увеличе-

(1962).

ние, остается достаточно низкой. Можно ожидать,

12.

P. Mora, Phys. Rev. E 91, 013107 (2015).

что при определенных начальных условиях удаст-

13.

C. Sack and H. Schamel, Phys. Rep. 156, 311 (1987).

ся получить значительные параметры неидеальности

14.

P. Mora, Phys. Plasmas 12, 112102 (2005).

как для электронов так и для ионов. Полученные ре-

15.

D. Bennaceur-Doumaz, D. Bara, E. Benkhelifa, and

зультаты пока недостаточны для того, чтобы опреде-

M. Djebli, J. Appl. Phys. 117, 043303 (2015).

лить зависимости всех характеристик формирования

16.

I. S. Elkamash and I. Kourakis, Phys. Rev. E 94, 053202

стационарной неидеальной плазмы от начальных па-

(2016).

раметров. Предполагается дальнейшее продолжение

17.

Y. Hu and J. Wang, Phys. Rev. E 98, 023204 (2018).

расчетов для формулировки на их основе этих зави-

симостей, а также для сравнения с экспериментом.

18.

T. C. Killian, S. Kulin, S. D. Bergeson, L. A. Orozco,

C. Orzel, and S. L. Rolston, Phys. Rev. Lett. 83, 4776

Работа выполнена при финансовой поддержке

(1999).

Российского научного фонда (грант # 18-12-00424).

Работа также поддержана Министерством науки

19.

M. K. Warrens, G. M. Gorman, S. J. Bradshaw, and

и высшего образования Российской Федерации

T. C. Killian, Phys. Plasmas 28, 022110 (2021).

(Государственное задание # 075-00460-21-00) в части

20.

E. V. Vikhrov, S. Ya. Bronin, A. B. Klyarfeld,

разработки программы с использованием алгорит-

B. B. Zelener, and B. V. Zelener, Phys. Plasmas

мов параллельных вычислений для проведения

27, 127702 (2020).

расчетов в Объединенном суперкомпьютерном

21.

E. V. Vikhrov, S. Ya. Bronin, A. B. Klyarfeld,

центре РАН.

B. B. Zelener, and B. V. Zelener, Phys. Rev. E

Авторы выражают благодарность Межведом-

104, 015212 (2021).

ственному суперкомпьютерному центру РАН за

22.

A. A. Bobrov, B. B. Zelener, B. V. Zelener, and

предоставленные вычислительные ресурсы.

D. R. Khikhlukha, High Temp. 51, 615 (2013).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 9 - 10

2021