Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 2, с. 117 - 122

Структурные универсальности в двумерной жидкости Юкавы

Б.А.Клумов¹⁾

Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия

Поступила в редакцию 18 ноября 2021 г.

После переработки 30 ноября 2021 г.

Принята к публикации 9 декабря 2021 г.

На примере системы Дебая-Хюккеля (Юкавы) рассматриваются структурные свойства двумерной

жидкости в широком диапазоне значений параметра экранировки κ. Поведение ряда структурных ин-

дикаторов оказывается универсальным и не зависит от величины κ. Это, в частности, позволяет легко и

неинвазивно определить ключевые параметры межчастичного взаимодействия по конфигурации частиц,

наблюдаемой в экспериментах с комплексной (пылевой) и коллоидной плазмой.

DOI: 10.31857/S1234567822020094

Поведение сильно коррелированных двумерных

чения конфигураций частиц является метод класси-

систем - одна из важнейших проблем физики кон-

ческой молекулярной динамики, реализованный для

денсированного состояния. Такие двумерные и ква-

канонического ансамбля (NVT) с термостатом Нозе-

зидвумерные системы интенсивно исследуются, на-

Хувера (Nose-Hoover) и периодическими граничны-

чиная с пионерских теоретических работ [1-6], за

ми условиями [17]. Типичное число микрочастиц в

которые недавно была вручена Нобелевская премия

исследуемой системе порядка N ∼ 10⁵.

по физике. При этом основное внимание уделялось

При нулевой температуре двумерная система

типу и свойствам двумерного перехода “кристалл-

Юкавы при всех значениях параметра экранировки

жидкость”, физика которого оказалась гораздо бо-

κ представляет из себя кристалл с треугольной (гек-

гаче физики плавления трехмерных систем, в част-

сагональной решеткой) и 6-ю ближайшими соседями

ности, из за наличия промежуточной гексатиче-

у каждого атома, которые расположены в вершинах

ской фазы, которая характеризуется наличием ква-

правильного шестиугольника. При конечной темпе-

зидальнего ориентационного порядка [7-14]. Свой-

ратуре в такой системе появляются дефекты, в кото-

ства же двумерной жидкости (и особенно, жидко-

рых число ближайших соседей отличается от шести.

сти вдали от кривой плавления) оказались изучены

Как правило, при низких температурах доминируют

значительно слабее. В настоящей работе рассматри-

дислокационные пары из дефектов (5-7) (в которой

ваются структурные свойства двумерной жидкости,

у одной частицы пять ближайших соседей, а у дру-

используя в качестве примера модельную двумерную

гой - семь) и/или результат их объединения - дис-

систему с отталкивательным потенциалом Юкавы

локационная четверка, состоящая из четырех дефек-

(Дебая-Хюккеля). Парное взаимодействие частиц в

тов различной формы. Возможно также образование

системе Юкавы описывается потенциалом:

одиночных дефектов - дисклинаций (с 5-ю или 7-ю

ближайшими соседями), но их концентрация обычно

U (r) = (Q/r) exp(-r/λ),

(1)

заметно ниже, чем у дислокационных пар и четверок,

поскольку они создают сильное локальное упругое

где Q - заряд частицы, а λ - длина экранирова-

натяжение в системе, при котором им энергетически

ния. Известно, что фазовое состояние такой систе-

выгодно превратиться в дислокацию.

мы описывается двумя параметрами - параметром

На рисунке 1 показаны три фазовых состояния

неидеальности Γ = Q² × exp(-κ)/(T D) и парамет-

двумерной системы Юкавы: фрагменты кристалла

ром экранировки κ = D/λ, где D - среднее межча-

(а), гексатической фазы (b), которая наблюдалась в

стичное расстояние в системе, а T - температура час-

эксперименте с коллоидной плазмой [18] и равновес-

тиц. Система Юкава часто используется для описа-

ной жидкости вблизи линии плавления (c). Дефек-

ния экспериментов в пылевой (комплексной) плазме

ты выделены синим и красным цветом; зеленый цвет

и в коллоидных системах (см., например, [15, 16]).

соответствует кристаллическим кластерам с шестью

В настоящей работе основным инструментом полу-

ближайшими соседями у центральной частицы. На

¹⁾e-mai: klumov@ihed.ras.ru

вставке к рис.1a показано, как выглядят наиболее

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022

117

118

Б.А.Клумов

Рис. 1. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы. Представлены фрагменты трех фаз: кристаллической, гексати-

ческой и жидкостной. Результаты численного моделирования показаны на панелях (a), (c), а результаты эксперимента

на панели (b). Панель (a) соответствует кристаллической фазе, (c) - равновесной жидкости вблизи линии плавления,

(b) - гексатической фазе, наблюдавшейся в эксперименте с коллоидной плазмой [18]. Цвет частиц соответствует чис-

лу ближайших соседей, меняясь от синего к красному при их увеличении: дефектам соответствуют синие частицы,

у которых пять ближайших соседей и красные - у которых их семь, зеленым цветом выделены кристаллиты с 6-ю

ближайшими соседями. На панели (а) вставка демонстрирует, как выглядят наиболее распространенные вблизи линии

плавления кластеры из дефектов: дислокационные пары и четверки. Для каждой конфигурации над ней приводит-

ся соответствующий двумерный статический структурный фактор, который наглядно демонстрирует структурные

различия указанных фаз

распространенные вблизи линии плавления класте-

гут быть использованы для количественного описа-

ры из дефектов: дислокационные пары и четверки.

ния фазового состояния ансамбля частиц, как и в

Сравнивая рис. 1b и c, видно, что визуально очень

трехмерном случае (например, [21, 22]). На рисун-

сложно различить гексатическую фазу и расплав,

ке 2 показано, как меняются вид g(r) при плавле-

однако вычисляя двумерный структурный фактор

нии системы Юкавы, а также параметры g_max и

(которой приведен для каждой фазы), это делает-

g_min двумерной жидкости вблизи линии плавления

ся достаточно легко, поскольку у двумерной жидко-

для разных значений параметра экранировки κ. На

сти пропадают тонкие детали углового распределе-

вставке к рис.2 показаны типичные функции g(r)

ния ближайших соседей и структурный фактор ста-

вблизи линии перехода кристалл-жидкость, при этом

новится изотропным в пространстве волновых век-

цвет кривых определяется безразмерной темпера-

торов (например, [7, 19, 20]).

турой T^∗ ≡ T/T_m, где T_m - температура плавле-

Простейшей характеристикой двумерных систем

ния системы: синим кривым соответствует кристал-

является парная корреляционная функция (ПКФ)

лическое состояние, а красным - жидкостное. Хо-

∑

g(r), которая определяется из: g(r) = 1/N〈_j=k δ(r-

рошо видно разрушение трансляционного порядка

- |r_j - r_k|)〉, a такие ее характеристики, как пер-

(исчезновение далеких корреляций) при плавлении

вый пик g_max и первый ненулевой минимум g_min мо-

системы.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022

Структурные универсальности в двумерной жидкости Юкавы

119

Рис. 2. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы вблизи линии плавления. Показаны параметры gmax (красная

линия, панель (a)) и gmin (зеленая линия, панель (b)) расплава в зависимости от параметра экранировки κ. На вставке

к панели (a) показаны функции g(r) вблизи линии перехода кристалл-жидкость для κ = 3. Цвет кривых определяется

безразмерной температурой системы T /Tm, где Tm - температура плавления двумерной системы Юкавы. Синим кри-

вым соответствует кристаллическое состояние частиц, а красным - жидкостное. Хорошо видна квазиуниверсальность

параметра gmin в широком диапазоне значений κ. Монотонное увеличение gmax с ростом жесткости взаимодействия

(параметра κ) и квазиуниверсальность параметра gmin позволяют неинвазивно определять ключевые параметры вза-

имодействия в экспериментах с комплексной и коллоидной плазмой. Число частиц в системе N = 8 × 10⁴

Зависимости параметров g_max и g_min от величи-

сти от жесткости парного взаимодействия наблю-

ны κ обнаруживают для расплавов системы Юка-

далось и для трехмерных расплавов системы с об-

вы интересный эффект: пик ПКФ g_max растет с

ратным степенным отталкиванием [22]. Это делает

ростом жесткости межчастичного взаимодействия

параметры g_max и g_min важными характеристиками

(т.е. с увеличением κ), а параметр g_min практиче-

двумерной жидкости, одну из которых (g_min) мож-

ски не меняется на линии плавления в рассмотрен-

но использовать как квазиуниверсальный индикатор

ном диапазоне изменений параметра экранировки и

плавления широкого класса систем, по крайней ме-

g_min ≈ 0.27 (для κ ≃ 0 ÷ 8). Отметим, что подоб-

ре, для двумерных систем Юкавы и кулоновских

ное поведение параметров g_max и g_min в зависимо-

систем.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022

120

Б.А.Клумов

Дополнительно, использование параметров g_max

ных систем Юкавы такая универсaльность была об-

и g_min позволяет легко и неинвазивно определить

наружена в [25].

ключевые параметры парного взаимодействия в дву-

Отметим, что интегральные характеристики

мерных экспериментах с расплавами комплексной и

ПКФ, такие как, например, парная энтропия s₂ [26]

коллоидной плазмы: по величине g_min определяется,

и кумулятивная парная энтропия C_s2 также могут

что исследуемая жидкость - расплав, а из парамет-

использоваться для характеризации двумерной

ра g_max находится жесткость взаимодействия (пара-

жидкости [27-30]. Функции s₂ и C_s2 определяются

метр экранировки κ). Для этого вполне достаточно

из:

∫ ∞

одной конфигурации с N ∼ 10³ ÷ 10⁴ частиц в си-

s₂ = -

[g(r) ln g(r) - g(r) + 1] dr,

(2)

стеме. Такие значения N легко достижимы в экспе-

∫ r

риментах с двумерной коллоидной (например, [11])

C_s2(r) = -π

[g(x) ln g(x) - g(x) + 1] xdx,

(3)

и комплексной плазмой (например, [23, 24]). Можно

показать, что для двумерной жидкости Юкавы при

где n - плотность частиц. Можно показать [27], что

T/T_m > 1 параметр g_min зависит только от одного па-

для двумерных систем s₂ расходится для кристал-

раметра - безразмерной температуры T^∗. Это иллю-

лической и гексатической фаз и сходится для жид-

стрирует рис.3, на котором показаны такие зависи-

кости, при этом кумулятивная функция C_s2 служит

характеристикой указанной сходимости (поскольку

C_s2(∞) ≡ s₂) и довольно легко позволяет отличить

жидкость от других, упомянутых выше, фаз двумер-

ной материи. На рисунке 4 показано поведение s₂ в

Рис. 3. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы

вблизи линии плавления. Зависимость параметра gmin

от безразмерной температуры T^∗ для ряда значений

параметра экранировки κ. Цвет кривых зависит от ве-

личины κ и меняется от синего (κ = 1) к красному

Рис. 4. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы

(κ = 8), охватывая широкий диапазон жесткости меж-

вблизи линии плавления. Парная энтропия s2 в зави-

частичного взаимодействия. Хорошо видно, что после

симости от приведенной температуры T^∗ ≡ T /Tm для

перехода “кристалл-жидкость” (для T^∗ > 1) все кри-

двух значений параметра экранировки κ. Резкое умень-

вые практически совпадают, т.е. gmin зависит только

шение s2 с ростом температуры T^∗ соответствует плав-

от T^∗, а зависимость от параметра экранировки прак-

лению системы. Вставка показывает поведение кумуля-

тически пропадает, по крайней мере, до температур

тивной парной энтропии Cs2(r) для разных температур

T ≃ 2.5Tm

системы, охватывая твердотельную и жидкостную фа-

зы. Функция Cs2(r) сходится только для жидкостной

мости g_min(T^∗) для ряда значений параметра экрани-

фазы, поэтому зависимость s2(T^∗) имеет физический

ровки κ. Хорошо видно, g_min(T^∗) практически не за-

смысл только при T^∗ > 1

висит от κ в широком диапазоне значений κ ≃ (0÷8)

и T^∗ ≃ (1÷2.5). Это делает параметр g_min простым и

зависимости от безразмерной температуры системы

удобным индикатором, позволяющим (вместе с g_max)

T^∗ для двух значений параметра κ, а вставка иллю-

определить место исследуемой двумерной жидкости

стрирует поведение кумулятивной парной энтропии

на фазовой диаграмме, даже если такая жидкость

C_s2(r) для разных значений T^∗ и разных фазовых

находится вдали от кривой плавления. Для трехмер-

состояний вещества и, в частности, ее расходимость

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022

Структурные универсальности в двумерной жидкости Юкавы

121

для твердотельной фазы. Видно, что s₂ определена

только для жидкости и на рис.4 имеет физический

смысл только часть кривой с T^∗ > 1. Квазиунивер-

сальность s₂ для жидкости вблизи кривой плавления

продемонстрирована для двух значений κ, однако с

практической точки зрения использование парамет-

ра g_min предпочтительнее.

Очень важной характеристикой двумерных си-

стем является концентрация дефектов n_d и геомет-

рические свойства кластеров из дефектов [31]. Де-

фекты для треугольной решетки легко определяют-

ся разбиением Вороного области, занятой частицами

(например, [31-33]). При этом каждой частице си-

стемы соответствует выпуклый многоугольник чис-

ло сторон которого равно числу ближайших соседей

n_nn. Дефектами считаются частицы с n_nn = 6, а

Рис. 5. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы

их число в системе равно n_d. Кластеры из дефек-

вблизи линии плавления. Показана относительная кон-

тов определяются как объединение дефектных час-

центрация дефектов n_d как функция безразмерной

тиц при условии, что указанные частицы являются

температуры T^∗ ≡ T /Tm для ряда значений параметра

ближайшими соседями (подробнее в [31]).

экранировки κ (указаны на графике). Резкое увеличе-

ние n_d при T^∗ ≈ 1 соответствует плавлению системы,

Здесь мы рассмотрим только поведение n_d вбли-

дальнейшее (T^∗ > 1) поведение функции n_d(T^∗) ква-

зи кривой плавления для разных значений парамет-

зиуниверсально и практически не зависит от величи-

ра экранировки κ. Такие зависимости представлены

ны параметра экранировки κ. Отметим, что на линии

на рис. 5, где показаны относительные концентрации

плавления n_d ≃ 0.25, что означает, что двумерный рас-

дефектов n_d в зависимости от температуры T^∗ для

плав системы Юкавы состоит в основном из кристал-

ряда значений κ. Резкое увеличение n_d при T^∗ ≈ 1

литов (кластеров из частиц с 6-ю ближайшими сосе-

соответствует плавлению системы, дальнейшее (при

дями). На вставке показано распределение дефектов в

T^∗ > 1) поведение функции n_d(T^∗) квазиуниверсаль-

двумерной жидкости при T /Tm ≈ 5. Частицы с 5-ю,

но и практически не зависит от величины парамет-

6-ю, 7-ю ближайшими соседями показаны синим, зеле-

ра экранировки κ, по крайней мере, вплоть до тем-

ным и красным цветом, соответственно

ператур T/T_m ≃ 10. Важной особенностью двумер-

ной жидкости является то, что с ростом температу-

метры, ассоциированные с парной корреляционной

ры концентрация дефектов растет медленно (лога-

функцией g(r), как ее первый пик g_max и первый

рифмически), например, при T/T_m ≃ 10 только по-

ненулевой минимум g_min, являются важными мет-

ловина атомов являются дефектами. Это иллюстри-

риками, характеризующими двумерные системы. В

рует вставка на рис. 5, где показан фрагмент дву-

частности, обнаружена квазиуниверсальность пара-

мерной жидкости Юкавы при T/T_m ≈ 5, демонстри-

метра g_min для расплавов двумерной системы Юка-

рующий распределение дефектов в системе. Части-

вы в широком диапазоне жесткости межчастичного

цы с 5-ю, 6-ю, 7-ю ближайшими соседями показа-

взаимодействия (т.е. значений параметра экраниров-

ны синим, зеленым и красным цветом, соответствен-

ки κ), что делает параметр g_min простым индикато-

но. Видно значительное количество кристаллических

ром двумерного плавления и позволяет легко иден-

кластеров. На линии плавления n_d ∼ 0.25 для всех

тифицировать расплав такой системы. Указанная

рассмотренных величин κ, что, в частности, означа-

квазиуниверсальность параметра g_min, по-видимому,

ет, что двумерный расплав системы Юкавы состоит в

отражает универсальность расплавов всех двумер-

основном из кристаллитов (т.е. кластеров, состоящих

ных плотно упакованных систем, к которым, поми-

из частиц с 6-ю ближайшими соседями). Это карди-

мо систем Юкавы, относятся кулоновские системы,

нально отличает двумерные системы от трехмерных

мягкие сферы (системы с обратным степенным от-

(у которых расплав практически не содержит кри-

талкиванием) и др.

сталлических кластеров).

Монотонный рост параметра g_max с увеличени-

В настоящей работе на примере системы Юка-

ем κ вместе с универсальностью индикатора g_min

вы рассмотрены структурные особенности двумер-

позволяет легко и неинвазивно определить ключе-

ной жидкости. Показано, что такие простые пара-

вые характеристики межчастичного взаимодействия

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022

122

Б.А.Клумов

в экспериментах с расплавами комплексной (пыле-

15.

V. Fortov and G. Morfill, Complex and Dusty Plasmas:

вой) и коллоидной плазмы, прежде требовавших зна-

From Laboratory to Space, CRC Press, Boca Raton, FL

чительных усилий. Установлена универсальность от-

(2009).

носительной концентрации дефектов n_d в двумерной

16.

C. N. Likos, Phys. Rep. 348(4-5), 267 (2001).

жидкости Юкавы, которая зависит в широком диа-

17.

S. Plimpton, J. Comput. Phys. 117(1), 1 (1995).

пазоне значений κ только от приведенной температу-

18.

B. J. Lin and L. J. Chen, J. Chem. Phys. 126, 34706

ры T^∗ = T/T_m. Наконец, двумерные расплавы состо-

(2007).

ят в основном (ca 75 %) из кристаллитов, что карди-

19.

Z. Krebs, A. B. Roitman, L. M. Nowack, C. Liepold,

B. Lin, and S. A. Rice, J. Chem. Phys. 149, 034503

нально отличает двумерные системы от трехмерных.

(2018).

Работа выполнена при финансовой поддержке

20.

X. Sun, Y. Li, Y. Ma, and Z. Zhang, Sci. Rep. 6, 24056

Министерства науки и высшего образования РФ (со-

(2016).

глашение с ОИВТ РАН # 075-15-2020-785 от 23 сен-

21.

R. Agrawal and D.A. Kofke, Mol. Phys. 85, 23 (1995).

тября 2020 г.)

22.

S. Khrapak, B. Klumov, and L. Couedel, Sci. Rep. 7,

7985 (2017).

1. V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971).

23.

G. E. Morfill, A. V. Ivlev, S. A. Khrapak, B. A. Klumov,

2. V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 34, 610 (1972).

M. Rubin-Zuzic, U. Konopka, and H. M. Thomas,

Contrib. Plasmas Phys. 44(5-6), 450 (2004).

3. J. M. Kosterlitz and D. J. J. Thouless, Phys. C 6, 1181

(1973).

24.

G. E. Morfill, S. A. Khrapak, A. V. Ivlev, B. A. Klumov,

M. Rubin-Zuzic, and H. M. Thomas, Phys. Scr. T 107,

4. B. I.Halperin and D. R.Nelson, J. Phys. Rev. Lett. 41

59 (2004).

121 (1978).

25.

S. Khrapak and B. Klumov, Phys Plasmas. 27, 0245017

5. D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev. B 19, 2457

(2020).

(1979).

26.

A. Baranyai and D. J. Evans, Phys. Rev. A 40, 3817

6. A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979).

(1989).

7. В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Ю. Д. Фомин, Е. Н. Циок,

27.

B. A. Klumov and S. A. Khrapak, Res. Phys. 17, 103020

УФН 187, 921 (2017).

(2020).

8. S. T. Chui, Phys. Rev. B 28, 178 (1983).

28.

Z. Wang, W. Qi, Y. Peng, A. M. Alsayed, Y. Chen,

9. V. M. Bedanov, G. V. Gadiyak, and Yu. E. Lozovik,

P. Tong, and Y. Han, J. Chem. Phys. 134, 034506

Phys. Lett. A 109(6), 239 (1985).

(2011).

10. K. Zahn, R. Lenke, and G. Maret, Phys. Rev. Lett.

29.

A. L. Thorneywork, R. E. Rozas, R. P. A. Dullens, and

82(13), 2721 (1999).

J. Horbach, Phys. Rev. Lett. 115, 268301 (2015).

11. U. Gasser, C. Eisenmann, G. Maret, and P. Keim,

30.

A. L. Thorneywork, J. L. Abbott, D. Aarts, P. Keim, and

ChemPhysChem 11, 963 (2010).

R. P. A. Dullens, J. Phys. Condens. Matter 30, 104003

12. Z. Wang, A. M. Alsayed, A. G. Yodh, and Y. Han,

(2018).

J. Chem. Phys. 132, 154501 (2010).

31.

B. A. Klumov, Phys.-Uspekhi 53(10), 1053 (2010).

13. S. C. Kapfer and W. Krauth, Phys. Rev. Lett. 114,

32.

W. Qi, Z. Wang, Y. Han, and Y. Chen, J. Chem. Phys.

035702 (2015).

133, 234508 (2010).

14. P. Hartmann, G. J. Kalman, Z. Donko, and K. Kutasi,

33.

E. V. Vasilieva, O. F. Petrov, and M. M. Vasiliev, Sci.

Phys. Rev. E 72, 026409 (2005).

Rep. 11, 523 (2021).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 1 - 2

2022