Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 11, с. 685 - 691

Сверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах

с комплексной сетевой архитектурой

A. Ю. Баженов¹⁾, М. М. Никитина, А. П. Алоджанц

Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (ИТМО),

197101 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 25 марта 2022 г.

После переработки 17 апреля 2022 г.

Принята к публикации 26 апреля 2022 г.

В настоящей работе предложена новая концепция топологической организации микроструктур, под-

держивающих сверхсильное взаимодействие двухуровневых систем с фотонным полем и обладающих

топологией сети (графа) со степенным распределением степени узлов. В рамках теории среднего поля

изучен фазовый переход к состоянию сверхизлучения, который приводит к образованию двух диспер-

сионных ветвей поляритонов и сопровождается появлением ненулевой макроскопической поляризацией

двухуровневых систем. Выявлено, что специфика поведения такой системы зависит от статистических

характеристик сетевой структуры, а именно, от нормированного второго момента ζ ≡ 〈k²〉/〈k〉 распре-

деления степеней узлов. Показано, что частота Раби может быть существенно увеличена в аномальном

режиме сетевой структуры, где ζ значительно возрастает. Многомодовая (волноводная) структура вза-

имодействия вещества и поля в этом режиме может приводить к установлению сверхсильной связи,

которая в основном и обеспечивает возникновение высокотемпературного фазового перехода.

DOI: 10.31857/S1234567822110027, EDN: ikzyof

Повышение эффективности взаимодействия све-

рует увеличение параметра взаимодействия поля с

√

тового излучения с веществом является одной из

веществом в

N раз; N - это количество ДУС, взаи-

принципиальных проблем современных квантовых

модействующих с одномодовым полем резонатора. В

технологий, см., например, [1]. Доступные в настоя-

этом случае эффективный спин Дике, который мож-

щее время материалы позволяют осуществлять силь-

но приписать ансамблю ДУС, ведет себя как гигант-

ную, а также сверхсильную связь при таком вза-

ский квантовый осциллятор, эффективно связанный

имодействии [2]. Сильная связь вещества и поля

с одной квантованной модой, что описывается пара-

предполагает периодический обмен энергией между

метром g, см. [8].

двухуровневыми системами (ДУС), которыми слу-

С недавних пор усилия исследователей направле-

жат атомы, квантовые точки, экситоны и т.д., и кван-

ны на получение (коллективного) режима сверхсиль-

тованным полем резонатора [3-5].

ной связи ДУС с полем резонатора, ср. с [2, 9, 10]. В

Режим сильной связи возникает, если однофотон-

частности, сверхсильная связь образуется в результа-

ная частота Раби 2g₀ преобладает над спонтанным

те одного обхода традиционного резонатора Фабри-

распадом, скоростями дефазировки и потерями в ре-

Перо при коллективном взаимодействии ансамбля

зонаторе; современные эксперименты с холодными

ДУС с квантованным (многомодовым) полем, см.

атомами позволяют наблюдать вакуумное расщепле-

[2, 9, 11, 12].

ние Раби, достигаемое с помощью одного атома (см.,

С другой стороны, малый объем резонатора, а

например, [3]). Однако на практике улучшение пара-

также большой дипольный момент ДУС позволяют

метра коллективной связи материи и поля представ-

получать достаточно большие значения коллектив-

ляет собой более важную насущную задачу для кван-

ного параметра связи g, или даже g₀, которые мо-

товой информации, которая использует различные

гут быть сопоставимыми с частотой ω_ph поля резо-

физические системы обработки и передачи кванто-

натора, т.е. g₀/ωph ≃ 0.01 ÷ 0.1 [1]. Сверхсильный

вой информации, см. [6, 7]. Частота расщепления Ра-

режим со значением g₀/ω_ph ≡ 0.12 был эксперимен-

би в этом случае зависит от параметра коллективной

тально реализован с потоковыми сверхпроводящими

√

связи ДУС и поля g =

Ng₀, который демонстри-

кубитами, взаимодействующими с модой резонато-

ра, образованного линией передачи (transmission line

¹⁾e-mail: b.a.y@mail.ru

resonator) в микроволновом диапазоне частот [10].

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

685

686

А. Ю. Баженов, М. М. Никитина, А. П. Алоджанц

Рис. 1. (Цветной онлайн) Образцы сетевых структур, обладающих степенным законом распределения степени узлов

для: (a) - γ = 1.5, (b) - γ = 2.5 и (c) - γ = 5, которые соответствуют p(k) ∝ k^-γ для распределения степеней

узлов (фотонных каналов) представленных на (d) в двойном логарифмическом масштабе соответственно. Вставка в

(d) показывает зависимость 〈k〉 и ζ от γ (в логарифмическом масштабе по оси ординат) для сетевой архитектуры с

количеством узлов N = 100 и kmin = 2

Получение сверхсильной связи поля с атомными, или

например, [17-20]. Во-вторых, рассматривается свер-

полупроводниковыми ДУС является важной и очень

хизлучение как результат фазового перехода второ-

сложной задачей, поскольку величина g₀/ω_ph весьма

го рода, происходящего в термодинамически равно-

мала и составляет 10^-6 и 10^-3 в имеющихся экспе-

весной системе ДУС и квантованного поля, см. на-

риментах, соответственно ср. с [3, 13].

пример, [21, 22]. Разумеется, в общефизическом кон-

В данной работе для решения проблемы реа-

тексте такое деление весьма условно, поскольку до-

лизации сверхсильной связи квантованного поля

стижения полного термодинамического равновесия

и вещества впервые предлагается использовать

в среде ДУС и квантованного поля невозможно до-

вполне определенные топологические свойства

биться практически. Однако в ряде случаев все же

сетевых структур. А именно, мы предлагаем ор-

удается получить связанные состояния атомных или

ганизовать искусственную структуру (материал)

экситонных систем и квантованного поля, близкие

в виде графа (сети), позволяющего осуществить

по своим свойствам к термодинамически равновес-

сверхсильную связь между коллективным спином

ным, способные демонстрировать коллективные эф-

ДУС, расположенных в узлах, и модами волноводов,

фекты сверхизлучения и/или Бозе-Эйнштейновской

являющихся ребрами графа, ср. с [14]. При этом

конденсации (БЭК), ср. с [13, 23, 24]. В этом случае

полагаем, что топология такого графа (сети) под-

необходимо сперва приготовить среду и поле для на-

чиняется степенному закону распределения степени

блюдения фазового перехода, в котором уже неболь-

узлов (СРСУ), который хорошо известен в инфор-

шие релаксационные процессы существенного влия-

мационных науках при исследованиях различных

ния на саму суть эффекта не оказывают. Такая про-

информационных процессов в реальных сетях [15].

цедура физически основана на термализации связан-

В частности, хабы, которые могут возникать в

ных состояний вещества и поля, при которой учет

таких сетях, обеспечивают гораздо более быстрое и

релаксационных процессов играет важную роль, см.,

надежное распространение информации [16].

например, [25, 26]. В эксперименте рассматриваемый

Основной задачей работы является определение

фазовый переход хорошо различим от существенно

степени влияния архитектуры сети на величину рас-

неравновесных фазовых переходов (например, лазер-

щепления Раби и возникновения высокотемператур-

ной генерации), которые могут иметь место в той же

ного фазового перехода в сверхизлучающее (СИ) со-

системе, но при других параметрах накачки, разно-

стояние.

сти населенностей ДУС и т.д., см., например, [13, 27].

В литературе явление сверхизлучения, как пра-

В данной работе речь пойдет именно о термодина-

вило, обсуждается в двух предельных случаях. А

мически равновесном фазовом переходе к СИ в то-

именно, СИ рассматривают в существенно неравно-

пологической модели взаимодействия ДУС с кван-

весных системах ДУС и поля при реализации опреде-

тованным излучением, которая может быть реализо-

ленных условий на характерные времена релаксаци-

вана с помощью различных физических систем, об-

онных, а также коллективных процессов в среде, см.,

ладающих определенной спецификой в достижении

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Cверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах. . .

687

термализации. Исследование такой специфики пред-

поляритонов, которая может происходить при высо-

ставляет самостоятельную как теоретическую, так и

ких температурах.

экспериментальную задачу, и именно в силу своей

Наконец, еще один многообещающий способ ре-

масштабности выходит за рамки этой работы.

ализации графов, изображенных на рис. 1, связан

Предлагаемая здесь модель состоит из N локали-

с технологиями волоконной оптики, которые позво-

зованных ДУС, занимающих узлы графа, как пока-

ляют проектировать метасети для целей квантовой

зано на рис.1, и находящихся в термодинамически

коммуникации и квантового Интернета, см. [36, 37].

равновесном состоянии при температуре T . Любой

Гамильтониан H, описывающий взаимодействие

j-й узел обладает некоторым количеством ребер, ко-

фотонного поля с системой ДУС в рамках графо-

торые связывают его с другими узлами. Количество

вой структуры волноводов на рис.1 имеет следую-

ребер, которые принадлежат любому j-му узлу мо-

щий вид:

жет быть охарактеризовано степенью этого узла k_j .

∑

ω_0,iσ^zi

∑∑

Физически материал с архитектурой графа на

H =ℏ

+ ℏω_ph

a^†va_v +

рис. 1 может быть воссоздан разными путями. На-

пример, в качестве ДУС можно взять двухуровне-

ℏg

∑(

)

вые нейтральные атомы, которые можно удержи-

√

a_vσ⁺ⁱ + a^†vσ^-i

(1)

вать на поверхности двумерной (фотонокристалли-

ческой) структуры с помощью эффекта Казимира-

где a_v(a^†v) - оператор уничтожения (рождения) фо-

Полдера [28]. В этом случае соответствующие потен-

тона моды v-го волновода, σ^zi - оператор инверсии

циалы удержания отдельных атомов, образованные

населенности для i-й ДУС, ω_0,i - резонансная часто-

Ван-дер-Ваальсовыми силами притяжения, факти-

та перехода ДУС с основного в возбужденное состо-

чески формируют сеть микрорезонаторов, ср. с [29].

яние, g - это константа связи ДУС с фотонным по-

Связь между атомами можно организовать с помо-

лем, имеющим частоту ω_ph (далее для удобства запи-

щью той же (фотонокристаллической) системы вол-

си формально полагаем ℏ = k_B = 1, для постоянных

новодов [30], или, например, использовать техноло-

Планка и Больцмана, соответственно). Гамильтони-

гию прямой лазерной записи волноводных структур,

ан (1) коммутирует с оператором, характеризующим

которая в настоящее время широко используется для

число возбуждений N_ex,i i-го узла, который опреде-

создания квантовых (фотонных) чипов, см., напри-

ляется как

мер, [31]. В этом случае ребрами графа являются

волноводы, которые на практике допускают сверх-

∑

σ^z

N_ex,i =

+ a^†va_v.

(2)

низкие потери на уровне 0.1 дБ/см. Еще один ме-

тод приготовления рассматриваемых не периодиче-

ских структур основан на использовании индуциру-

В работе мы используем приближение среднего

емых лазерным излучением микроловушек для ан-

поля в рамках термодинамического подхода большо-

самбля холодных нейтральных атомов, см. напри-

го канонического ансамбля, который подразумева-

мер, [32-34].

ет наличие отличного от нуля химического потен-

Другой способ разработки микроструктуры с се-

циала µ; его можно учесть, проведя в (1) замены

тевым интерфейсом может быть основан на суще-

Ω0,i = ω0,i - µ и Ωph = ωph - µ, см. [38]. Кроме

ствующих (технологических) возможностях управ-

того, предполагаем, что все фотонные моды нахо-

ления топологией экситон-поляритонов в полупро-

дятся в когерентных состояниях |α_v〉, определяемых

водниковых микрорезонаторах Фабри-Перо с боль-

соотношением a_v|α_v〉 = α_v|α_v〉, где α_v принимаются

шой добротностью [35]. Эти возможности весьма раз-

действительными и равными для всех узлов. Такое

нообразны физически и направлены на модифика-

приближение оправдано, если моды сильно перекры-

цию общего микрорезонатора с получением требуе-

ваются и обладают схожими физическими характе-

мых топологических характеристик. Альтернативно,

ристиками, ср. с [22]. Усреднив (1) по когерентным

можно создать сеть микростолбиков (micropillars),

состояниям |α_v〉, получим:

которые представляют из себя микрорезонаторы с

∑

∑(

)

квантовыми точками и могут быть размещены в уз-

Ω_0,iσ^zi

gΛ

H =

+ Ω_ph〈k〉Λ² +

√

σ⁺ⁱ + σ^-i

(3)

лах графа, как это показано на рис. 1. Рассматрива-

емые здесь искусственные материалы представляют

большой интерес с точки зрения исследований раз-

где Λ ≡ α_v =

√N_ph есть параметр порядка для (3),

личных фазовых переходов, а также БЭК экситон-

N_ph - среднее число фотонов в сетевой структуре.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

688

А. Ю. Баженов, М. М. Никитина, А. П. Алоджанц

Далее, определим плотность возбуждений ρ

≡

с N узлами обладает более чем одним узлом с k >

∑

k_max. Из

(7) также следует, что k_max = k_minN

^γ-1 .

≡^1N 〈 N_ex,i〉, которая представляет собой норми-

Статистические свойства сети описываются с по-

рованное среднее общее число возбуждений и может

мощью первого (〈k〉) и второго (〈k²〉) моментов для

быть получена из

(2) в виде

распределения степеней узлов, которые определяют-

ся как (ср. c [14]):

〈k〉Λ

ρ=

S_z,

(4)

∫

∑

〈k^m〉 =

k^mp(k)dk, m = 1, 2.

(8)

где S_z =^1N

〈σ^zi 〉 - средняя коллективная инверсия

i=1

kmin

населенности. В рамках теории среднего поля стати-

стическая сумма Z(N, T) = Tr(e^-βH) с Гамильтони-

В работе нас интересует параметр ζ =〈k2〉〈k〉 , ко-

аном (3) имеет следующий вид:

торый определяет основные статистические свойства

выбранной сети. Показатель степени γ описывает

Z(N, T ) = e-βΩph〈k〉Λ2

три различных области, которые определяют основ-

[

√

]

∏

(5)

g²k²ⁱ

ные характеристики для 〈k〉 и ζ в аномальном (1 <

2 cosh

Ω^20,i + 4

Λ² ,

< γ < 2), безмасштабном (2 < γ < 3), и случайном

(γ > 3) режимах, соответственно. Свойства сетей,

где β ≡ 1/T - обратная температура. Далее, полага-

обладающих распределением (7) при γ = 2 и γ = 3,

ем, что количество узлов достаточно велико, N ≫ 1,

рассчитываются отдельно.

и структура сети допускает переход к непрерывно-

На рисунке 1a-c приведены примеры сетевых

му распределению p(k). Этот переход требует заме-

структур, смоделированных численно, которые от-

∑

∫

носятся к аномальному (рис. 1a), безмасштабному

ны^1N ... →

...p(k)dk, где k_min и k_max являются

(рис. 1b), и случайному (рис. 1c) режимам соответ-

kmin

минимальным и максимальным значениями степени

ственно. В настоящее время существуют различные

узла k, см. [14]. В этом случае с помощью (5) полу-

алгоритмы генерации таких сетей c распределением,

чаем

близким к (7), см., например, [16]. Так как число уз-

лов на практике всегда ограниченно (N = 100 для

∫

k²

[βΓ]

рис. 1), то конечное (получаемое численно) распре-

Ω_ph =

tanh

p(k)dk;

(6a)

〈k〉

деление степени узлов будет дискретным; оно харак-

kmin

теризуется точками на рис.1d, которые описывают

∫

вероятности того, что узлы сетей на рис.1a-c будут

Ω₀

[βΓ]

ρ = 〈k〉

tanh

p(k)dk,

(6b)

иметь степени вершин, соответствующих данной ве-

kmin

роятности. На рисунке 1d совокупность этих точек

√

аппроксимирована соответствующими пунктирными

Ω²⁰ + 4k²g²⁰Λ² и пред-

линиями, которые определяются из (7) при заданном

где Γ ≡ Ω²⁰ + 4k2Ng2Λ² =

полагается, что все ДУС идентичны друг другу, так

γ (эти линии соответствуют логарифмическим зави-

что Ω_0,i = Ω₀ в (6).

симостям для (7), приведенным по осям абсцисс и

Система (6) описывает основные свойства пара-

ординат соответственно).

метра порядка Λ (6a) и плотности возбуждений ρ

Ключевым фактором поведения сетей на рис. 1a-

(6b) в термодинамически равновесном состоянии. Ре-

c является наличие хабов, которые четко видны в

шение (6) включает также нахождение химического

виде нескольких точек, расположенных в правом уг-

потенциала µ для различной топологии сети. В этой

лу рис. 1d. Самый большой узел описывается степе-

связи мы рассматриваем СРСУ-сети, которые опре-

нью k_max. Cеть в аномальном режиме, как прави-

деляются функцией распределения p(k), [16]:

ло, демонстрирует максимальное количество хабов,

γ-1

см. рис. 1a. Напротив, в случайном режиме свойства

(γ - 1)k_m

p(k) =

(7)

СРСУ-сети близки по своим характеристикам к сети,

k^γ

которая описывается распределением Пуассона для

где γ - показатель степени. Сеть с распределением

p(k); с ростом γ количество хабов уменьшается, см.

∫

синюю линию на рис. 1d.

(7) подчиняется условию нормировки

p(k)dk =

kmax

На рисунке 2 представлены самосогласованные

=^1N , согласно которому подразумевается, что сеть

численные решения (6) для параметра порядка Λ

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Cверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах. . .

689

[29, 30]. Для расчетов нами использовалось значение

g/2π = 1 ГГц, соответствующее микроструктуре на

рис. 1, содержащей N = 100 атомов.

Как видно из рис.2а, Λ-параметр растет с ρ в

условиях резонанса Δ = 0.

Выражение для химического потенциала доста-

точно просто получить аналитически в пределе вы-

соких температур β → 0. В этом случае из (6) имеем

√

(

)

ω_ph + ω₀

〈k〉

µ_1,2 =

Δ² - 8g²ζ

ρ-

Λ²

(9)

Выражение (9) определяет один из основных ре-

зультатов данной работы. Оно устанавливает верх-

нюю (µ₁) и нижнюю (µ₂) ветви возбуждений систе-

мы связанных состояний квантованного поля и ве-

щества, ср. с [39]. Выражение (9) позволяет также

определить условие сильной связи.

В пределе малой плотности возбуждений мож-

но положить Λ → 0, S_z ≃ -1, что подразумева-

ет ρ ≃ -0.5, т.е. ансамбль ДУС безинверсионный.

При этом (9) описывает две поляритонные ветви, ко-

торые могут быть получены, например, с экситон-

поляритонами в полупроводниковых микрорезонато-

рах, ср. с [13].

При ρ = 0 ДУС достигает насыщения, когда чис-

ло частиц на нижнем и верхнем уровнях равно друг

другу, S_z ≃ 0.

В пределе ρ > 0 имеем инверсию населенностей

в ДУС, которая максимальна при ρ = 0.5 (S_z = 1).

Примечательно, что при наличии большой отстрой-

ки Δ ансамбль ДУС претерпевает структурный пе-

реход к другому (параметрическому) типу возбуж-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость (a) - параметра

дений, которые присущи сильному усилению излу-

порядка Λ, и (b) - нормированного химического потен-

чения, происходящему при ρ > 0.5, см. рис. 2 и [38].

циала µ/g от плотности возбуждений ρ при нормиро-

Условие достижения такого перехода может быть

ванной отстройке Δ/g = 9 для γ = 1.5 (коричневый),

найдено из (9) и представлено в виде |Δ| > 2g

√ζ. На

γ = 1.7 (фиолетовый), γ = 2 (красный), γ = 2.5 (зе-

рис. 2 это неравенство не выполняется для коричне-

леный) и γ = 4.5 (синий). На вставках приведены за-

вой кривой, что соответствует возрастающему значе-

висимости для резонансного случая с Δ = 0. Другие

нию ζ при γ = 1.5.

параметры: ω0/g = 3.52 · 10⁵, N = 100, kmin = 2, T = 0

Из (9) следует, что частота расщепления Раби

(последний член в (9)) существенно возрастает в за-

(рис. 2a) и нормированного на g химического потен-

висимости от ζ в аномальном режиме изменения по-

циала µ (рис. 2b) как функции плотности возбужде-

казателя степени γ, см. вставку на рис. 1d. Таким

ний ρ для двух различных значений нормированной

образом, можно усилить коллективное взаимодей-

также на g отстройки Δ ≡ ω_ph - ω₀ частоты поля в

ствие ДУС с квантованным полем, выбрав соответ-

пределе нулевой температуры, T → 0. Для числен-

ствующую γ, которая определяет топологию систе-

ных оценок на рис. 2 в качестве ДУС взяты атомы це-

мы, представленную на рис. 1.

зия с переходом, соответствующем D₂ линии на час-

Фазовый переход в состояние СИ может быть

тоте ω₀/2π ≃ 352 ТГц [7, 20, 30]. В настоящее время

определен из (6), полагая Λ = 0. Критическая тем-

удается экспериментально обеспечить сильную связь

пература фазового перехода T_c относительно просто

с квантованным излучением для таких атомов, ло-

выглядит для поляритонов нижней дисперсионной

кализованных на поверхности твердых сред, ср. с

ветви при Δ = 0 и имеет вид

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

690

А. Ю. Баженов, М. М. Никитина, А. П. Алоджанц

√

-8g²ζρ

Γ, κ ≪ g

ζ ≲ω_ph,

(13)

T_c =

(10)

4 tanh^-1(2ρ)

где κ и Γ характеризуют возможные потери фотонов

и скорость деполяризации соответственно, ср. с [1]. В

Выражение (10) демонстрирует другой важный ре-

(13) левая часть неравенства характеризует условие

зультат работы. Из (10) видно, что критическая

сильной связи, а правая - сверхсильной.

температура СИ фазового перехода T_c пропорцио-

Выполнение условий (13) для микроструктур с

нальна

√ζ, т.е. определяется топологией структуры

сетевой архитектурой на рис.1 не представляется

на рис. 1. Примечательно, что в модели Изинга со

сложным, учитывая свойства распределения узлов

спин-спиновым взаимодействием, характеризуемым

(7), а также поведение параметра ζ, см. вкладку на

функцией распределения (7), температура фазового

рис. 1d. В частности, из (13) следует, что для дости-

перехода конечна и пропорциональна ζ-параметру,

жения сверхсильной связи достаточно иметь пара-

см. [14].

метры сети, удовлетворяющие, например, оценочно-

Как видно из (10), при ρ ≃ 0 критическая темпе-

му критерию ζ ≃ 0.01ω^2ph/g², ср. с [10]. В аномаль-

ратура T_c → ∞. Этот предел соответствует насыще-

ном режиме СРСУ-сети обладают большим числом

нию ДУС. Из (10) следует, что температура СИ фа-

различных каналов взаимодействия ДУС и поля, а

зового перехода T_c может быть очень высокой даже

также хабов, что может и обеспечить выполнение

в пределе малой плотности возбуждений из-за стати-

этого критерия. В этом случае для оценки достижи-

стических свойств самой сети, которые учитывают-

мости сверхсильной связи можно использовать вы-

ся в (10) с помощью параметра ζ, и который, в свою

3-γ

2-γ N^γ-1 -1

очередь, может быть весьма большим в аномальном

ражение ζ = k_min

, получаемое из (7), (8).

3-γ

2-γ

N γ-1 -1

режиме - см. вставку на рис. 1d.

Для атомных структур, анализируемых на рис. 2, по-

Для заданной температуры T в диапазоне изме-

казатель степени равен γ = 1.219 при k_min = 2 и

нения плотности возбуждений -0.5 < ρ < 0, т.е. для

N = 100. Если же взять за основу микрострукту-

безинверсной ДУС соотношение (10) определяет кри-

ру с экситон-поляритонами, полученными на основе

тическое значение параметра ζ_c

полупроводниковых квантовых ям GaAs, то величи-

на параметра связи c квантованным полем резона-

2T²[tanh^-1(2ρ)]

ζ_c =

(11)

тора будет составлять g/2π = 1 ТГц на резонансной

|ρ|g²

длине волны λ = 767.3 нм, что приводит к значению

устанавливающего статистические свойства сети, ко-

γ = 1.588 для тех же величин k_min, N.

гда происходит СИ фазовый переход. В частности,

В Заключении предложена новая концепция мик-

сверхизлучательная фаза существует при ζ

≥ ζ_c.

роструктур с топологией сети (графа) со степенным

Поведение параметра порядка в области достаточно

распределением степени узлов, который основан на

больших ζ и высоких температур может быть полу-

кооперативном когерентном взаимодействии ДУС,

чено из (6b) в виде

занимающих узлы данной сети с квантованным оп-

√

тическим полем. Показано, что сверхсильный режим

(

)

N_cx_c

взаимодействия может быть реализован благодаря

Λ≃

-1 ,

(12)

〈k_c〉 x_c

особенностям сетевой архитектуры, обеспечивающей

связь ДУС по средством многочисленных волновод-

√

где x ≡^βg4

2ζ|ρ| представляет собой комбинацию

ных каналов (ребер графа) структуры квантован-

ключевых параметров связанной системы поля и

ным полем. Предсказана возможность гигантского

ДУС; x_c характеризует эту же комбинацию в точ-

усиления коллективного взаимодействия материи и

ке фазового перехода при ζ = ζ_c. Выражение (12)

поля в

√ζ раз, который обеспечивается преимуще-

демонстрирует характерную для фазовых переходов

ственно в аномальной области распределения степе-

второго рода зависимость исчезновения числа фото-

ни узлов сетевой структуры. Рассмотрена проблема

нов СИ вблизи точки фазового перехода.

сверхизлучательного фазового перехода, происходя-

Проведем оценки достижимости условий как

щего в рассматриваемых структурах. Предсказано,

сильной, так и сверхсильной связи ДУС с кван-

что температура фазового перехода существенно за-

тованным полем для микроструктур с сетевой

висит от параметра ζ, который определяет статисти-

архитектурой на рис. 1. В пределе возбуждений

ческие свойства (первый и второй моменты распре-

малой плотности (при выполнении неравенства

деления степени связанности) сетевой структуры, и

〈k〉Λ²/N ≪ 1) с помощью (9) такое условие можно

может быть очень высокой в пределе малой плотно-

представить в виде:

сти возбуждений для аномальной области сети. По-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Cверхизлучательный фазовый переход в микроструктурах. . .

691

лученные результаты открывают качественно новые

16.

A.-L. Barabási, Network Science, Cambridge University

перспективы для обработки квантовой информации

Press, Cambridge (2016).

сетевыми или сетеподобными системами, а также на-

17.

А. В. Андреев, В. И. Емельянов, Ю. А. Ильинский,

блюдение и изучение фазовых переходов с участием

УФН 131 653 (1980).

поляритонов в микроструктурах с сетевой топологи-

18.

В. В. Кочаровский, В. В. Железняков, Е. Р. Кочаров-

ей взаимодействия при достаточно высоких темпера-

ская, В. В. Кочаровский, УФН 187, 367 (2017).

турах, ср. с [36, 37].

19.

А. M. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155 654

Работа выполнена при поддержке гос. задания

(2019).

#2019-1339 Министерства науки и высшего образо-

20.

A. Goban, C. Hung, J. D. Hood, S. P. Yu, J. A. Muniz,

O. Painter, and H. J. Kimble, Phys. Rev. Lett. 115,

вания РФ.

063601 (2015).

21.

K. Hepp and E. H. Lieb, Ann. Phys. (N.Y.) 76, 360

A.F. Kockum, A. Miranowicz, S. De Liberato,

(1973).

S. Savasta, and F. Nori, Nat. Rev. Phys. 1, 19 (2019).

22.

Y. K. Wang and F. T. Hioe, Phys. Rev. A 7, 831 (1973).

D. Meiser and P. Meystre, Phys. Rev. A 74, 065801

23.

I. Yu. Chestnov, A. P. Alodjants, S. M. Arakelian,

(2006).

J. Nipper, U. Vogl, F. Vewinger, and M. Weitz, Phys.

A. Boca, R. Miller, K. M. Birnbaum, A. D. Boozer,

Rev. A 81, 053843 (2010).

J. McKeever, and H. J. Kimble, Phys. Rev. Lett. 93,

24.

J. Klaers, J. Schmitt, T. Damm, F. Vewinger, and

233603 (2004).

M. Weitz, Phys. Rev. Lett. 108, 160403 (2012).

C. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, and Y. Arakawa,

25.

M. H. Szymanska, P. B. Littlewood, and B. D. Simons,

Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992).

Phys. Rev. A 68, 013818 (2003).

I. Buluta, S. Ashhab, and F. Nori, Rep. Prog. Phys. 74,

26.

I. Yu. Chestnov, A. P. Alodjants, and S. M. Arakelian,

104401 (2011).

Phys. Rev. A 88, 063834 (2013).

E. Pelucchi, G. Fagas, I. Aharonovich, D. Englund,

27.

D. Snoke, Polariton Condensation and Lasing. Springer

E. Figueroa, O. Gong, H. Hannes, J. Liu, C. Lu,

Series in Solid-State Sciences 172, 307, Springer, Berlin

N. Matsuda, J. Pan, F. Schreck, F. Sciarrino,

(2012).

C. Siberhorn, J. Wang, and K. Jons, Nat. Rev. Phys.

28.

И. Е. Дзялошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаев-

4, 194 (2022).

ский, УФН 73, 381 (1961).

E. Vetsch, D. Reitz, G. Sague, R. Schmidt,

29.

Su-Peng Yu, J. A. Muniz, Chen-Lung Hung, and

S. T. Dawkins, and A. Rauschenbeutel, Phys. Rev.

H. J. Kimble, PNAS 116, 12743 (2019).

Lett. 104, 203603 (2010).

30.

C.-L. Hung, S. M. Meenehan, D. E. Chang, O. Painter,

B. M. Garraway, Philosophical Transactions of the Royal

and H. J. Kimble, New J. Phys. 15, 083026 (2013).

Society A: Mathematical, Physical and Engineering

31.

N. Skryabin, A. Kalinkin, I. Dyakonov, and S. Kulik,

Sciences 369, 1137 (2011).

Micromachines 1, 11 (2020).

A. Johnson, M. Blaha, A. E. Ulanov, A. Rauschenbeutel,

32.

S. Kuhr, National Science Review 3, 170 (2016).

P. Schneeweiss, and J. Volz, Phys. Rev. Lett. 123,

243602 (2019).

33.

D. Barredo, V. Lienhard, S. de Léséleuc, T. Lahaye, and

A. Browaeys, Nature 561, 79 (2018).

10.

T. Niemczyk, F. Deppe, H. Huebl, E. P. Menzel,

34.

D. de Mello, D. Schäffner, J. Werkmann, T. Preuschoff,

F. Hocke, M. J. Schwarz, J. J. Garcia-Ripoll, D. Zueco,

T. Hummer, E. Solano, A. Marx, and R. Gross, Nature

L. Kohfahl, M. Schlosser, and G. Birkl, Phys. Rev. Lett.

Phys. 6, 772 (2010).

122, 203601 (2019).

11.

M. N. Sundaresan, Y. Liu, D. Sadri, L. J. Szöcs,

35.

C. Schneider, K. Winkler, M. D. Fraser, M. Kamp,

D. L. Underwood, M. Malekakhlagh, H. E. Türeci, and

Y. Yamamoto, E. A. Ostrovskaya, and S. Höfling, Rep.

A.A. Houck, Phys. Rev. X 5, 021035 (2015).

Prog. Phys. 80, 016503 (2016).

12.

D. J. Egger and F. K. Wilhelm, Phys. Rev. Lett. 111,

36.

S. Brito, A. Canabarro, R. Chaves, and D. Cavalcanti,

163601 (2013).

Phys. Rev. Lett. 124, 210501 (2020).

13.

H. Deng, H. Haug, and Y. Yamamoto, Rev. Mod. Phys.

37.

S. Lepri, C. Trono, and G. Giacomelli, Phys. Rev. Lett.

82, 1489 (2010).

118, 123901 (2017).

14.

A.Yu. Bazhenov, D. V. Tsarev, and A. P. Alodjants,

38.

A. Y. Bazhenov, D.V. Tsarev, and A. P. Alodjants,

Phys. Rev. E 103, 062309 (2021).

Physica B: Condensed Matter 579, 411879 (2020).

15.

M. Newman, Networks, Oxford University Press, Oxford

39.

A. P. Alodjants, I. O. Barinov, and S.M. Arakelian,

(2018), p. 789.

J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 095502 (2010).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022