Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 12, с. 762 - 768

Всегда ли существует форм-фактор в излучении Смита-Парселла?

Д.Ю.Сергеева^+∗, А.А.Тищенко^+×◦1)

⁺Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”, 115409 Москва, Россия

^∗Международная научно-образовательная лаборатория радиационной физики,

Национальный исследовательский университет “БелГУ”, 308034 Белгород, Россия

^×Национальный исследовательский университет “ИТМО”, 197101 С.-Петербург, Россия

^◦Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Поступила в редакцию 30 апреля 2022 г.

После переработки 30 апреля 2022 г.

Принята к публикации 4 мая 2022 г.

Общепринятый подход учета когерентности от сгустков заряженных частиц состоит в умножении

интенсивности излучения от одной частицы на форм-фактор сгустка, учитывающий его размеры, форму

и распределение частиц. В настоящей работе мы показываем, что в поляризационном излучении для ши-

рокого класса структур, таких как фотонные кристаллы и метаповерхности, этот подход, вообще говоря,

некорректен. Построена теория когерентного излучения Смита-Парселла от таких структур. Показано,

что общепринятый подход работает только при выполнении двух условий: 1) точка наблюдения лежит

в плоскости, содержащей траекторию движения сгустка и нормаль к поверхности мишени; 2) радиус

сгустка намного меньше эффективного радиуса действия собственного поля движущегося электрона.

DOI: 10.31857/S1234567822120035, EDN: imkkgv

1. Введение. Когерентность в излучении пучков

и частотам для одного электрона и последующем

заряженных частиц - это основное отличие синхро-

умножении одночастичной интенсивности на форм-

тронов 3-го и особенно 4-го поколения от более ран-

фактор сгустка. Последний есть сумма двух слагае-

них, и ключевое явление в физике самых ярких ис-

мых - когерентного и некогерентного [6] - и содер-

точников излучения, построенных на сегодня челове-

жит всю информацию о форме и размерах сгуст-

чеством - лазеров на свободных электронах. Кроме

ка. Обычно некогерентное слагаемое принимается

того, именно когерентность излучения лежит в ос-

равным числу электронов сгустка, а когерентный -

нове работы систем диагностики размеров электрон-

квадрату числа электронов, умноженному на квад-

ных сгустков на современных ускорителях и коллай-

рат модуля фурье-образа функции распределения

дерах. Действительно, при постановке любых экс-

электронов в сгустке. В работе [6] было показано,

периментов по регистрации переходного излучения

что для краевых типов излучения, например, ИСП,

[1], дифракционного излучения и более известного

дифракционного черенковского и дифракционного

его частного случая - излучения Смита-Парселла

излучения когерентное и некогерентное слагаемые

(ИСП), излучения Вавилова-Черенкова [2-4] исполь-

форм-фактора другие. В частности, показано, что

зуются сгустки заряженных частиц, и на этапе срав-

некогерентный форм-фактор также содержит ин-

нения измеренных кривых с расчетными при обра-

формацию о поперечных размерах сгустка, а коге-

ботке данных необходимо учитывать, как размеры и

рентное отличается от просто фурье-образа функции

форма сгустка влияют на распределение интенсив-

распределения. Существенно, что, как мы указывали

ности по углам и частотам. Кроме того, в существу-

в работе [6], эти выводы верны для мишеней, одно-

ющих источниках электромагнитного излучения за-

родных вдоль поверхности в направлении, попереч-

действующих механизм генерации ИСП (например,

ном движению электронного сгустка.

оротрон [5]) эффекты когерентности также важны.

В этой статье мы покажем, что если мишень име-

Существует общепринятый подход в теории, как

ет неоднородность в направлении, перпендикуляр-

учесть эффекты когерентности. Он заключается

ном движению электронного сгустка, то в ИСП и ди-

в расчете распределения интенсивности по углам

фракционном излучении идеология умножения одно-

частичной интенсивности на форм-фактор не всегда

¹⁾e-mail: tishchenko@mephi.ru

неверна и укажем пределы ее применимости. Для

762

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Всегда ли существует форм-фактор в излучении Смита-Парселла?

763

этого проведем расчет поля ИСП от электронного

где

∫

сгустка от мишени, периодической в двух направле-

F_inc = d³r_e| exp(-iqr_e)|²f(r_e),

(4)

ниях - вдоль и перпендикулярно движению сгустка.

Мишени такого рода - метаповерхности, фотонные

∫



²

кристаллы - сегодня стали предметом активных ис-

F_coh =



³re exp(-iqr_e)f(r_e)

(5)

 d



следований ввиду возможности конструировать оп-

√

тические свойства поверхности, управляя спектром

и q = (β^-1,n_y,-iγ^-1β^-1

1 + γ²β²n^2y)ω/c, где c -

плазмонных резонансов, ИСП, конструируя микро-

скорость света в вакууме, ω - частота излучения,

и наноантенны [7], разрабатывать новые типы оп-

β = v/c, v - скорость электронов сгустка, γ - Лоренц-

тических модуляторов [8] и фильтров [9], и т.д. В

фактор электронов, n_y - y-компонента единичного

физике генерации излучения свободными электрона-

волнового вектора излучения.

ми структуры такого типа также вызывают большое

В работе [6] было показано, что такое отличие

внимание [10-12], как в плане диагностики реляти-

формулы от формулы обусловлено разбросом рассто-

вистских электронных пучков, так и в плане кон-

яний от электронов до мишени, см. рис. 1. Собствен-

струирования новых источников излучения.

ное поле электронов убывает с расстоянием, поэто-

2. Общепринятый подход. ИСП возбуждается

му электроны, находящиеся на разном расстоянии от

при пролете заряженных частиц вблизи мишени, ко-

мишени, по-разному поляризуют мишень. Коротко

торая имеет периодичность в направлении движения

можно сказать, что разница обусловлена наличием

заряда. ИСП было экспериментально зарегистриро-

разных импакт-параметров. Импакт-параметр - это

вано в 1953 г. [13] и позже детально изучено тео-

кротчайшее расстояние между траекторией электро-

ретически и экспериментально для дифракционных

на и мишенью, см. h₁ и h₂ на рис. 1.

решеток разных профилей и из разных материалов

[14-16]. Дифракционным излучение называют, если

неоднородность вдоль движения пучка произвольная

или непериодическая.

Часто, для учета эффектов когерентности, обу-

словленных наличием электронного сгустка, пользу-

ются следующим алгоритмом. Рассчитывается ин-

тенсивность излучения от одного электрона I₁, а

затем она умножается на форм-фактор сгустка F.

Форм-фактор берут в виде [1]:

F = N_e + N_e(N_e - 1)F_coh,

(1)

Рис. 1. (Цветной онлайн) Генерация дифракционного

излучения или излучения Смита-Парселла. Сгусток

где N_e - число электронов в сгустке, F_coh - квадрат

движется вдоль оси OX с постоянной скоростью v.

модуля фурье-образа функции распределения элек-

Электроны сгустка e1 и e2 находятся на разных рас-

тронов в сгустке f(r_e):

стояниях от мишени h1 и h2, вносят разный вклад в

∫



поляризацию мишени собственным полем



²

F_coh =



d³r_e exp(-ikr_e)f(r_e)

(2)



В качестве примера рассмотрим дву-периодичес-

k - волновой вектор излучения. Такой вид форм-

кую мишень - двумерный фотонный кристалл. Час-

фактора годится для синхротронного излучения,

то такого рода мишени также называют метаповерх-

включая излучение на отдельных магнитах и в он-

ностями. Строго говоря, приставка “мета” должна бы

дуляторах, или излучения от мишеней, размер ко-

означать, что длина волны значительно превышает

торых можно считать бесконечными в направлении,

не только размеры отдельных элементов, но и рас-

поперечном движению сгустка (вдоль оси OY ). Ин-

стояние между ними [17], однако сегодня, особенно

тегрирование ведется по радиус-векторам электрона

в западной литературе, этим условием пренебрега-

относительно центра сгустка r_e.

ют, имея в виду под метаповерхностями искуственно

Для дифракционного излучения или ИСП форм-

собираемые двумерные структуры с возможностью

фактор имеет вид [6]:

конструирования нужных оптических свойств. Мы,

для некоторой строгости, здесь все же будем придер-

F = N_eF_inc + N_e(N_e - 1)F_coh,

(3)

живаться термина двумерный фотонный кристалл

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

6^∗

764

Д.Ю.Сергеева, А.А.Тищенко

(2D photonic crystal, или photonic crystal slab). Кри-

Это значит, все электроны будут описываться таким

сталл будем рассматривать именно двумерным, что-

же вектором скорости. Центр сгустка при движении

бы не вдаваться в вопрос о влиянии запрещенных зон

находится на постоянном расстоянии h от плоскости

внутри кристалла на характеристики ИСП (этот во-

мишени.

прос был с помощью численного анализа рассмотрен

Для рассматриваемой геометрии выражение

в серии работ Ohtaka с соавторами, см. [18-22]).

для спектрально-углового распределения излучения

На рисунке 2 изображена схема возбуждения

от одного электрона I₁ было получено в работе

ИСП при пролете электронного сгустка (синяя

[23]. Умножим это выражение на форм-фактор

и для удобства выпишем полную формулу для

спектрально-углового распределения излучения от

сгустка:

I =I_inc +I_coh,

(7)

где

∫∫

e²ω²|α(ω)|²

Iinc =

Sk⁴Ne dyedze ×

π²c³β⁴γ²

√

×e^-2

γv

1+γ²β²n^2y f_tr ×







Рис. 2. (Цветной онлайн) Система координат и схе-







∑



∑



kP_m

ма возбуждения излучения Смита-Парселла электрон-



e-idym^yk^y P_m

e-idym^yk^y



×



ным пучком от метаповерхности

_m



_m



(8)

стрелка) над поверхностью двумерного фотонного

e²ω²|α(ω)|²

кристалла. Поверхность представляет собой упоря-

Icoh =

k⁴ ×

π²c³β⁴γ²

доченный набор субволновых частиц, т.е. частиц,

∫∫

√



характерный размер которых L много меньше



²

-iky ye-ze

1+γ²β²n^2y



γv



dy_edz

f_tr

длины волны излучения λ: L ≪ λ. Частицы рас-



положены в плоскости, параллельной траектории

электронов. Выберем систему координат таким об-

× N_e(N_e - 1)SF_l ×





разом, чтобы эта плоскость совпадала с плоскостью









XY , начало координат лежало в центре мишени, а

∑



∑



kP_m



e-idym^yk^y P_m

e-idym^yk^y

сгусток двигался вдоль оси OX с постоянной ско-



×



_m



_m



ростью. Частицы расположены периодично в двух

направлениях: вдоль траектории движения сгустка

(9)

с периодом d_x и перпендикулярно траектории с

Для получения этих выражений мы пренебрег-

периодом d_y. Суммарное число частиц конечно и

ли корреляциями между электронами и разделили

равно N.

функцию распределения электронов в сгустке f(r_e)

Радиус-векторы частиц мишени, изображенной

на две функции распределения в продольном направ-

на рис. 2, можно представить в виде:

лении (вдоль оси OX) f_l ≡ f(x_e) и в поперечном на-

правлении f_tr ≡ f(y_e, z_e):

R_m = d_xm_xe_x + d_ym_ye_y ≡ X_me_x + Y_me_y,

(6)

f (r_e) = f_l(x_e)f_tr(y_e, z_e).

(10)

где индексы m_x и m_y - целые числа, отсчитывающие

частицы мишени вдоль осей OX и OY , соответствен-

Это позволило выделить продольный форм-фактор

но. Например, можно задать частицы таки образом,

в виде отдельного множителя

чтобы m_x и m_y принимали значения от -(N_x,y -1)/2

∫

до (N_x,y - 1)/2. Тогда общее число элементов вдоль

(



x_e

F_l =



x_ef_l exp

-iω

)2

(11)

осей OX и OY равно N_x и N_y, а полное число эле-

 d



ментов решетки есть N = N_xN_y.

В выбранной системе координат скорость задает-

Функции f(r_e), f_l(x_e) и f_tr(y_e, z_e) нормированы

ся величиной v = (v, 0, 0). Для сгустков ультрареля-

на единицу. Продольный форм-фактор (11) входит

тивистских электронов в первом приближении мож-

только в слагаемое, описывающее когерентное излу-

но не учитывать дисперсию по скоростям и энергиям.

чение.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Всегда ли существует форм-фактор в излучении Смита-Парселла?

765

В выражениях (8)-(9) e - заряд электрона, α(ω) -

плотностью тока (16) и его фурье-образ выражается

функция поляризуемости частиц, составляющих ми-

формулой:

[

]

шень, k - модуль волнового вектора излучения,

ieω

x-x_e

)

E^0e(r, ω) = -

exp iω

πv²γ

( ω

ρ_m

( ω

P_m =

K₀

ρ_m

K₁

ρ_m

(12)

{

vγ

ρ_m

vγ

(ωρ_e )

ρ_e

(ωρ_e )}

K₀

K₁

(17)

vγ

ρ_e

vγ

ρ_m = Y_me_y - he_z.

(13)

√

где ω - частота, γ = 1/

1 - β² - Лоренц-фактор

Здесь K_0,1 - модифицированные функции Бесселя

электронов, β = v/c, c - скорость света в вакууме,

(функции Макдональда) нулевого и первого поряд-

K₀ и K₁ - модифицированные функции Бесселя ну-

ков. Отметим, что векторы P_m и ρ_m не зависят от пе-

левого и первого порядков, и введен вектор

ременной интегрирования r_e, т.е. от положения элек-

трона в сгустке. Суммирование по индексу m_x в ре-

ρ_e = (y - y_e)e_y + (z - z_e - h)e_z.

(18)

зультате математических преобразований привело к

Под действием внешнего поля типа (17) в части-

возникновению множителя S:

цах мишени наводится динамическая поляризация, и

sin²(d_xN_x(k_x - ω/v)/2)

как следствие происходит излучение. В условиях ма-

S =

(14)

лости размера частиц по сравнению с длиной волны

sin²(d_x(k_x - ω/v)/2)

излучения и пренебрежимо малого взаимодействия

Фактор S - характерный множитель для ИСП, в ос-

между частицами наведенную плотность тока в час-

новном определяющий вид спектрального и углового

тицах мишени можно описывать выражением

распределения излучения. Условие максимальности

∑

∂

фактора S дает дисперсионное соотношение:

j(r, t) =

d(R_m, t)δ(r - R_m).

(19)

∂t

λs = d_x(β^-1 - n_x),

(15)

Здесь суммирование ведется по всем частицам ми-

шени, R_m - координата m-й частицы мишени, а

где s - целое число (s > 0). Выражение (15) совпа-

d(R_m, t) - дипольный момент в точке R_m, фурье-

дает с классическим дисперсионным соотношением

образ которого определяется выражением:

ИСП от обычной дифракционной решетки [13].

∑

Последовательный подход. Найдем

d(r, ω) = α(ω)

E^0e(r, ω),

(20)

спектрально-угловую плотность излучения последо-

вательным подходом: рассчитаем поле излучения от

где суммирование ведется по всем N_e электронам

каждого электрона и усредним по положениям всех

сгустка, а функция α(ω) является поляризуемостью

электронов сгустка. Схема возбуждения излучения

частиц и характеризует отклик частицы на внеш-

и мишень такие, как и выше, см. рис. 2.

нее воздействие (все частицы мишени для упрощения

Одночастичная теория ИСП от рассматриваемых

предполагаются идентичными, что не ограничивает

структур была подробно описана нами в недавних

общности рассмотрения).

работах [23, 24]. Для расчета характеристик излуче-

Фурье-образ поля излучения является решени-

ния от сгустка необходимо аналогично вычислить по-

ем системы уравнений Максвелла и определяется

ля излучения для каждого электрона, а затем усред-

фурье-образом плотности тока (19):

нить их суперпозицию по положениям электронов.

(

)

4πi

[q, [q, j(q, ω)]]

Несмотря на сходство выражений с одночастичной

E^rad(q, ω) = -

j(q, ω) +

(21)

q² - k²

теорией, для целостности изложения кратко приве-

дем здесь схему вычисления поля излучения для N_e

где k = ω/c. На далеких расстояниях, т.е. когда

электронов.

kr ≫ 1, фурье-образ поля излучения примет вид:

Плотность токов, соответствующая одному элек-

(2π)³ e^ikr

трону, который в начальный момент времени нахо-

E^rad(r, ω) = -i

[k, [k, j(k, ω)]].

(22)

ω r

дится в точке с координатами r_e + he_z = (x_e, y_e, z_e +

Собирая окончательно все приведенные выше

+ h), может быть записана в виде:

формулы, получим явный вид выражения для по-

ля излучения электронного сгустка от двупериоди-

j^0e(r, t) = evδ(r - vt - r_e - he_z),

(16)

ческой мишени:

где e - заряд электрона, δ - дельта-функция. Соб-

ieω

e^ikr

E^rad(r, ω) =

α(ω)

ственное поле движущегося электрона определяется

πv²γ

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

766

Д.Ю.Сергеева, А.А.Тищенко

∑

× e-iωxve

eⁱ(

-k)Rm[k, [k, P_me]],

(23)

а когерентное слагаемое запишется в виде:

d²W_coh

(n, ω)

e²ω²c

где введены обозначения:

|α(ω)|² ×

dωdΩ

π²v⁴γ²

)

(ωρ_me

ρ_me

(ωρ_me )

)

P_me =

K₀

K₁

(24)

(∑

∑

vγ

ρ_me

vγ

e-iωxve

eⁱ(

-k)Rm[k, [k, P_me]]

ρ_me = (Y_m - y_e)e_y - (h + z_e)e_z.

(25)





∑

Такие образом, поле излучения, генерируемое

× e^iω

e^-i(

-k)Rm[k, [k, P^∗me]] ,

(28)

сгустком, зависит от всех возможных разностей ко-

e′=e

ординат электронов и частиц мишени ρ_me. Эти

где верхний индекс ∗ означает комплексное сопряже-

векторы ρ_me имеют смысл эффективного импакт-

ние.

параметра: кратчайшее расстояние от траектории e-

Далее необходимо провести усреднение выраже-

го электрона до m-го элемента мишени, см. рис.3.

ний (27)-(28) по координатам всех электронов сгуст-

ка с некоторой весовой функцией - функцией рас-

пределения электронов в сгустке f(r_e). Усреднение

сведется к интегрированию выражений (27)-(28) по

d³r_e. Таким образом, спектрально-угловое распреде-

ление излучения от сгустка принимает вид:

d²W(n, ω)

d²W_inc(n, ω)

d²W_coh(n, ω)

dωdΩ

(29)

где угловые скобки означают усреднение, или в более

короткой форме:

Рис. 3. (Цветной онлайн) Геометрический смысл векто-

ра ρ_me как эффективного импакт-параметра

I^′ = I^′inc + I^′coh.

(30)

Здесь некогерентное слагаемое определяется выра-

Спектрально-угловое распределение энергии из-

жением:

лучения на далеких расстояниях определяется квад-

∫∫

ратом модуля поля излучения (23) и принимает вид:

e²ω²c

I^′inc =

k⁴|α(ω)|²SNe dyedzeftr ×

(31)

π²v⁴γ²

d²W(n, ω)

e²ω²c

|α(ω)|² ×







dωdΩ

π²v⁴γ²







∑



∑



kP_me



e-ikyd^ym^y P_me



e-ikyd^ym^y



∑



×



_m



_m



∑



e^-iωv

eⁱ(

-k)Rm[k, [k, P_me]]



(26)



а когерентное имеет вид:

Пользуясь известным свойством сумм, разделим

e²ω²c

квадрат модуля суммы по всем электронам на два

I^′coh =

k⁴|α(ω)|²SN_e(N_e - 1)F_l ×

π²v⁴γ²

слагаемых: первое, содержащее все диагональные





члены, и второе, содержащее все недиагональные



∫∫



∑



члены. Тогда спектрально- угловое распределение



e-ikyd^ym^y

dy_edz_ef_trP_me



энергии излучения также представится в виде суммы

×

_m



некогерентного и когерентного слагаемых, где неко-



герентное слагаемое принимает вид:



∫∫





∑



−



e-ikyd^ym^y

dy_edz_ef_trP_me



(32)

d²W_inc(n, ω)

e²ω²c





|α(ω)|² ×

_m



dωdΩ

π²v⁴γ²



В формулах (31)-(32) N_e

- число электронов в сгуст-



∑

∑



ке. Как и ожидалось, интенсивность когерентного



eⁱ(

-k)Rm[k, [k, P_me]]



(27)



излучения пропорциональна N^2e, а некогерентного -

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Всегда ли существует форм-фактор в излучении Смита-Парселла?

767

N_e. Из анализа общих выражений (31)-(32), без кон-

траекторию электрона и нормаль к мишени n_y = 0

кретизации формы сгустка и геометрии мишени,

и для пучков, поперечные размеры которых мно-

можно заключить, что, вопреки общепринятому мне-

го меньше, чем эффективный радиус действия соб-

нию, некогерентное излучение содержит информа-

ственного поля электронов γβλ/(2π). Первое усло-

цию о размерах сгустка, причем только о попереч-

вие не существенно ограничивает общность, так как

ных. В свою очередь когерентное излучение опреде-

в плоскости n_y = 0 интенсивность излучения мак-

ляется как поперечными, так и продольными разме-

симальна или сравнима с другими направлениями.

рами сгустка. Отметим, что в отличие от рассмотрен-

Второе условие, довольно строгое, физически озна-

ного выше подхода, здесь векторы P_me и ρ_me зависят

чает, что размеры сгустка должны быть настолько

от положения электронов в сгустке, т.е. от перемен-

малы, что вклад в поляризацию мишени всех элек-

ной интегрирования.

тронов одинаков. Это означает, что на эксперимен-

4. Сравнение двух подходов. Найдем условия,

те вклад поперечных размеров сгустка в распреде-

при которых совпадают интенсивности, полученные

ление излучения по углам и частотам пренебрежи-

с помощью двух описанных выше подходов. Отбра-

мо мал. При выполнении условия (38) поперечные

сывая одинаковые множители, видим, что выраже-

форм-факторы

ние (8) совпадает с (31), а (9) с (32), если

∫∫



²



√

F_coh,tr =

dy_edz_e exp(-iqr_e)f_tr

(39)



γv

P(ρ_m)e-ikyy^e e^-z

1+γ²β²n^2y ≈ P(ρ_m - r_e⊥),

(33)

∫∫

где r_e⊥ = y_ee_y + z_ee_z. Заметим, что левая часть за-

F_inc,tr =

dy_edz_e |exp(-iqr_e)|² f_tr,

(40)

висит от углов наблюдения, а правая нет.

практически неотличимы от единицы: F_coh,tr

≈

Убывающая экспонента в левой части выражения

≈ F_inc,tr ≈ 1 [6]. Заметим, что сравнение теории с

(33) максимальна при n_y = 0. Положив n_y = 0, по-

экспериментом показало хорошее совпадение теоре-

лучим, что условие (33) можно разбить на два:

тических и экспериментальных кривых [25] именно в

)

( ω

этих условиях.

K₀

ρ_m e-zeγ

≈K₀

|ρ_m - r_e⊥

(34)

vγ

Если такая мишень используется для диагности-

)

(

)

ки поперечных размеров сгустка или условия тако-

ρ_m

(ω

ρ_m - r_e⊥

K₁

ρ_m e^-z

^γv ≈

K₁

|ρ_m - r_e⊥|

вы, что поперечные размеры вносят вклад в пол-

ρ_m

vγ

|ρ_m - r_e⊥|

vγ

ные распределения интенсивности, то подход с умно-

(35)

жением одночастичного распределения на форм-

Эти условия выполнены, если

фактор некорректен.

Заключение. Исследован вопрос об учете эф-

ρ_m.

(36)

z_e γv≪1,re⊥ ≪

фектов когерентности в излучении Смита-Парселла

от электронных ультрарелятивистских сгустков.

Данные неравенства должны быть выполнены

Проведен расчет поля излучения, возбуждаемого

для любого m_y. Можно заменить второе из нера-

сгустком от двумерного фотонного кристалла. На

венств (36) на более жесткое, содержащее макси-

этом примере показано, что общепринятый подход

мальное значение ρ_m. Тогда для сгустка с радиусом

учета эффектов когерентности, основанный на

вместо r₀ получим:

умножении интенсивности излучения от одного

√(

)₂

электрона на форм-фактор сгустка, работает для

γβλ

L_y

z_e ≪

, r₀ ≪

+h².

(37)

неоднородных в поперечном направлении мишеней

2π

только при выполнении двух условий:

1) точка

Здесь L_y = d_yN_y - ширина мишени. Для эффектив-

наблюдения лежит в плоскости, содержащей траек-

ной генерации ИСП импакт-параметр должен быть

торию движения сгустка и нормаль к поверхности

меньше, чем эффективный радиус действия соб-

мишени; 2) радиус сгустка намного меньше эф-

ственного поля электронов: h < γβλ/(2π). Тогда два

фективного радиуса действия собственного поля

условия (37) дают одно:

движущегося электрона γβλ/(2π).

Первое из этих условий не является критичным,

γβλ

r₀ ≪

(38)

поскольку в этой плоскости интенсивность излуче-

2π

ния наибольшая, и оно выполняется в большинстве

Таким образом, общий подход справедлив только

экспериментов. Второе условие сильно ограничива-

при регистрации излучения в плоскости, содержащей

ет область применимости общепринятого подхода: он

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

768

Д.Ю.Сергеева, А.А.Тищенко

остается верным только в том случае, когда размеры

Z. Miao, Q. Wu, X. Li, Q. He, K. Ding, Z. An, Y. Zhang,

сгустка не влияют на распределение интенсивности

and L. Zhou, Phys. Rev. X 5, 041027 (2015).

по углам и частотам. Если эти два условия не вы-

A. C. Overvig, S. C. Malek, and N. Yu, Phys. Rev. Lett.

полнены, то необходимо последовательно рассчиты-

125, 017402 (2020).

вать поля излучения от каждого электрона, а потом

10.

Y. Kurman and I. Kaminer, Nature Phys. 16, 868

усреднять его по положениям электронов в сгустке.

(2020).

Расчет изложен в части 3 данной статьи.

11.

A. Pizzi, G. Rosolen, L. J. Wong, R. Ischebeck,

Такая разница в двух подходах объясняется воз-

M. Soljačić, T. Feurer, and I. Kaminer, Adv. Sci. 7,

никновением целого набора импакт-параметров да-

1901609 (2020).

же для одного электрона - каждый электрон сгуст-

12.

Y. Kurman, R. Dahan, H. H. Sheinfux, K. Wang,

ка находится на разных расстояниях от разных эле-

M. Yannai, Y. Adiv, O. Reinhardt, L. H. Tizei,

ментов мишени, по- разному их поляризует, что дает

S. Y. Woo, and J. Li, Science 372, 1181 (2021).

разный вклад в распределение интенсивности по уг-

13.

S. J. Smith and E. M. Purcell, Phys. Rev. 92,

1069

лам и частотам.

(1953).

Сделанные выводы справедливы для дифракци-

14.

V. P. Shestopalov, The Smith-Purcell effect, Nova

онного излучения или излучения Смита-Парселла

Science Publishers, N.Y. (1998).

от мишеней, которые имеют неоднородности в пер-

15.

P. Rullhusen, X. Artru, and P. Dhez, Novel Radiation

пендикулярном направлении к траектории сгустка;

Sources Using Relativistic Electrons, World Scientific,

именно такого рода мишенями являются широко

Singapore (1998).

исследуемые сегодня метаповерхности и фотонные

16.

A. P. Potylitsyn, M. I. Ryazanov, M. N. Strikhanov,

кристаллы.

and A. A. Tishchenko, Diffraction Radiation from

Исследование выполнено при поддержке

Relativistic Particles, Springer Tracts in Modern

Российского научного фонда, грант # 21-72-00113

Physics, Springer-Verlag, Berlin (2010), v. 239.

(Д. Сергеева, части

2, 3) и грант

#17-72-20013

17.

В. Г. Веселаго, УФН 181, 1201 (2011).

(А. Тищенко, части 1, 4).

18.

N. Horiuchi, T. Ochiai, J. Inoue, Y. Segawa, Y. Shibata,

K. Ishi, Y. Kondo, M. Kanbe, H. Miyazaki, F. Hinode,

S. Yamaguti, and K. Ohtaka, Phys. Rev. E 74, 056601

1. А. П. Потылицын, Письма в ЖЭТФ 103, 762 (2016).

(2006).

2. А. П. Потылицын, Б. А. Алексеев, А. В. Вуколов,

19.

S. Yamaguti, J. Inoue, O. Haeberlé, and K. Ohtaka,

М. В. Шевелев, А. А. Балдин, В. В. Блеко, П. В. Ка-

Phys. Rev. B 66, 195202 (2002).

ратаев, А. С. Кубанкин, Письма в ЖЭТФ 115, 474

20.

T. Ochiai and K. Ohtaka, Phys. Rev. B 69, 125106

(2022).

(2004).

3. R. Kieffer, L. Bartnik, M. Bergamaschi, V. V. Bleko,

21.

K. Yamamoto, R. Sakakibara, S. Yano, Y. Segawa,

M. Billing, L. Bobb, J. Conway, M. Forster, P. Karataev,

Y. Shibata, K. Ishi, T. Ohsaka, T. Hara, Y. Kondo,

A.S. Konkov, R.O. Jones, T. Lefevre, J. S. Markova,

H. Miyazaki, F. Hinode, T. Matsuyama, S. Yamaguti,

S. Mazzoni, Y. Padilla Fuentes, A. P. Potylitsyn,

and K. Ohtaka, Phys. Rev. E 69, 045601(R) (2004).

J. Shanks, and S. Wang, Phys. Rev. Lett. 121, 054802

22.

T. Ochiai and K. Ohtaka, Opt. Express 13, 7683 (2005).

(2018).

23.

D. Yu.

Sergeeva,

A. A.

Tishchenko,

and

4. P. Karataev, G. Naumenko, A. Potylitsyn, M. Shevelev,

and K. Artyomov, Results in Physics 33, 105079 (2022).

M. N. Strikhanov, Nucl. Instrum. and Methods B

402, 206 (2017).

5. В. П. Шестопалов, Дифракционная электроника, Ви-

ща школа, Харьков (1976).

24.

D. I. Garaev, D. Yu. Sergeeva, and A.A. Tishchenko,

Phys. Rev. B 103, 075403 (2021).

6. А. А. Тищенко, Д. Ю. Сергеева, Письма в ЖЭТФ

110, 636 (2019).

25.

D. Yu. Sergeeva, A. S. Aryshev, A.A. Tishchenko,

7. П. Тонкаев, Ю. Кившарь, Письма в ЖЭТФ 112, 658

K. E. Popov, N. Terunuma, and J. Urakawa, Opt. Lett.

(2020).

46, 544 (2021).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022