Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 3, с. 163 - 169

Mагнитоплазмон-поляритоны в двумерной электронной системе

с тыловым затвором

А. А. Заболотных¹⁾, В. А. Волков

Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН, 125009 Москва, Россия

Поступила в редакцию 6 декабря 2021 г.

После переработки 17 декабря 2021 г.

Принята к публикации 17 декабря 2021 г.

Теоретически исследованы магнитоплазмон-поляритонные возбуждения в двумерной (2D) электрон-

ной системе с тыловым затвором. Последний представляет собой металлический слой, параллельный

слою 2D электронов и отделенный от них диэлектрической подложкой. В отсутствие магнитного по-

ля взаимодействие 2D плазмонов с модами волновода, роль которого играет подложка, ограниченная

с одной стороны затвором, приводит к формированию семейства волноводных плазмон-поляритонных

мод, две нижние из которых являются TM модами и обладают бесщелевой дисперсией. Постоянное

магнитное поле B, ортогональное плоскости системы, как известно, гибридизирует разные моды. В ра-

боте найдены спектры и магнитодисперсия полученных 2D мод. Разделение всех мод на продольные и

поперечные (ТМ-ТЕ классификация), обычно справедливое лишь в отсутствие B, восстанавливается

в пределе сильных полей B. На результаты существенно влияет магнитополевая зависимость частот

отсечки рассматриваемых мод. Даже слабое магнитное поле открывает частотную щель, линейную по

величине B, в спектре одной из нижних магнитоплазмон-поляритонных мод. С ростом поля величина

щели насыщается, а мода становится чисто волноводной.

DOI: 10.31857/S1234567822030053

Введение. Известно, что плазменные колебания

или плазмоны в двумерной (2D) электронной систе-

ме (ЭС), помещенной в диэлектрическую среду с

проницаемостью κ в квазистатическом пределе, т.е.

без учета электромагнитного запаздывания, имеют

корневой закон дисперсии [1] (здесь и далее исполь-

зуется система единиц СГС)

√

2πne²q

ω_p(q) =

(1)

κm

Рис. 1. (Цветной онлайн) Экранированная 2D элек-

где n - 2D концентрация электронов, e и m - их заряд

тронная система в случае структуры с тыловым рас-

и эффективная масса, q - модуль волнового вектора

положением затвора (“back-gated” structure). Предпо-

плазмона, лежащий в плоскости 2D ЭС.

лагается κ_d > κ0, где κd - диэлектрическая проница-

емость подложки, которая в данном случае является

Если вблизи 2D ЭС, параллельно ей на расстоя-

подзатворным диэлектриком, κ0 относится к внешней

нии d, расположен металлический электрод (затвор),

среде

см. рис. 1, то говорят об экранированной 2D ЭС и, со-

ответственно, экранированных (gated) плазмонах. В

отсутствие внешнего магнитного поля, в длинновол-

рость экранированных плазмонов, κ_d - диэлектриче-

новом пределе (qd ≪ 1) и в пренебрежении электро-

ская проницаемость подзатворного диэлектрика.

магнитным запаздыванием закон дисперсии экрани-

Если система помещена во внешнее постоянное

рованных плазмонов имеет линейный вид [2]

магнитное поле B, ортогональное плоскости 2D ЭС,

то плазменные колебания в этом случае часто назы-

ω_g(q) = V_p q,

(2)

вают магнитоплазмонами, а их спектр ω^mp(q) в ква-

√

где V_p =

4πne²d/(mκ_d) - (квазистатическая) ско-

зистатическом пределе определяется выражением

√

¹⁾-mail: andrey.zabolotnyh@phystech.edu

ω^mpp,g(q) = ω^2c + ω^2p,g(q),

(3)

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

163

164

А. А. Заболотных, В. А. Волков

где ω_p,g(q) - частоты обычного (1) и экранирован-

Однако, к настоящему времени плазмон-поляри-

ного (2) плазмонов в отсутствие магнитного поля,

тоны в экранированных 2D ЭС исследовались отно-

ω_c = |e|B/(mc) - циклотронная частота вращения

сительно мало. Причина, как было отмечено в рабо-

электронов в магнитном поле B, c - скорость света в

те [40], состоит в следующем. Вспомним, что мерой

вакууме.

запаздывания для плазмонов в таких системах яв-

Экспериментально плазмоны впервые наблю-

ляется безразмерный параметр, равный отношению

дались в 2D системе электронов на поверхности

(квазистатической) скорости плазменных колебаний

жидкого гелия [3], а также в кремниевых инверси-

V_p (2) к скорости света в подзатворном диэлектри-

онных слоях [4, 5]. В настоящее время плазменные

ке c/√κd. В стандартных экранированных структу-

колебания исследуются экспериментально в раз-

рах с d ≃ 100 нм это отношение мало, и, соответ-

личных структурах, включая квантовые ямы

ственно, влияние электромагнитного запаздывания

GaAs/AlGaAs [6, 7], графен [8, 9] и др.

на экранированные плазменные колебания пренебре-

Интерес к плазмонам в 2D ЭС на основе полу-

жимо мало. Под стандартными структурами под-

проводниковых структур связан с тем, что их часто-

разумеваются структуры с фронтальным затвором

ты соответствуют характерным частотам резонанс-

(“gated” structures).

ного отклика системы на электромагнитное излуче-

Тем не менее, совсем недавно экранированные

ние, которые, кроме того, лежат в гигагерцовом и

плазмоны в режиме существенного запаздывания,

терагерцовом диапазонах, интересных с точки зре-

когда V_p того же порядка, что и c/√κd, удалось

ния приложений [10-21]. Однако отметим, что для

исследовать экспериментально

[41]. Для этого

определения частот плазменных колебаний в реаль-

использовались структуры с тыловым затвором

ных системах необходимо понимать, чем определя-

(“back-gated” structures), рис. 1, в которых величина

ется волновой вектор, входящий в формулы (1)-(3).

d, равная толщине подложки, достигала величины

Как правило, волновой вектор определяется харак-

640 мкм. Важно, что при этом был реализован

терным размером “неоднородностей”: периодом воз-

режим сильной экранировки qd ≪ 1. В работе [41]

буждающей металлической решетки [4], размером

было показано, что экспериментальные результаты

металлических затворов при их близком расположе-

можно описывать с помощью перенормированных

√

нии к 2D ЭС [22-24], размером структуры [25], дли-

плазмонной скорости V_p/

1 + A² [40] и циклотрон-

ной ультразвуковой волны, распространяющейся по

ной частоты ω_c/(1 + A²) [42], где

системе [26] и т.д.

√

V_p

√κ_d

4πe²nd

В последнее время в связи с развитием техноло-

(4)

mc²

гии стало возможным получение высококачествен-

ных полупроводниковых 2D ЭС макроскопических

уже упоминавшийся выше безразмерный параметр

размеров, например, 2D дисков на основе кванто-

запаздывания для плазмонов в экранированной 2D

вых ям GaAs/AlGaAs диаметром D ≃ 5 мм с кон-

ЭС. Формула

(3) для частоты магнитоплазмон-

центрацией n ≃ 3 · 10¹¹ см^-2 [27]. Для плазмонов в

поляритонов ω^mppg в бесконечной экранированной 2D

таких структурах (q ≈ 2/D = 4 см^-1, ω_p(2/D) ≈

ЭС принимает вид

≈ 4.8 · 10¹⁰ рад/c для κ = 12.8) уже нельзя использо-

√

вать квазистатический подход и, в частности, фор-

ω^2c

V^2pq²

ω^mppg(q) =

(5)

мулу (1), так как она справедлива при условии ω_p ≪

(1 + A²)²

1+A²

≪ cq/√κ ≈ 3.4 · 1010 рад/c, которое перестает выпол-

няться. Поэтому для описания плазмонов и отклика

Ниже показано, что это выражение применимо в

√

таких систем важен учет электромагнитного запаз-

длинноволновом пределе |d

q² - ω²κ_d/c²| ≪ 1 и ма-

дывания.

лости частоты по сравнению с частотой света во

Электромагнитное запаздывание для плазмонов

“внешней” части системы: ω ≪ cq/√κ0. Отметим, что

в неэкранированной 2D ЭС без внешнего магнитного

уравнение, из которого может быть получено выра-

поля и при его наличии было теоретически рассмот-

жение (5), рассматривалось в работе [43], но подроб-

рено еще в первых работах по этим темам [1, 28].

но не исследовалось.

Позже влияние эффектов запаздывания на плаз-

Мотивацией для данной работы является упомя-

менные колебания исследовалось довольно деталь-

нутая выше статья [41], в которой уже был развит

но в работах [29-39]. Отметим, что плазмоны при

аналитических подход к описанию магнитоплазмон-

учете электромагнитного запаздывания называют

поляритонов, но только для режима относительно

плазмон-поляритонами.

слабого запаздывания ω ≪ cq/√κ0, кроме того, была

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

Mагнитоплазмон-поляритоны в двумерной электронной системе с тыловым затвором

165

κ(z)

4π

рассмотрена только нижняя по частоте мода, более

∂_zE_x(z)|^z=+0z=-0 =

j_x,

(6)

высокие (“волноводные”) моды не рассматривались.

q² - ω²κ(z)/c²

-iω

В данной работе детально исследуется вся структу-

4πiω

∂_zE_y(z)|^z=+0z=-0 = -

j_y.

(7)

ра магнитоплазмон-поляритонных мод в бесконеч-

c²

ной экранированной 2D ЭС, в том числе и в режиме

Используя граничные условия, находим диспер-

сильного запаздывания ω ≲ cq/√κ0.

сионное уравнение для искомых магнитоплазмон-

Также отметим, что в отличие от статьи [43] в

поляритонных мод

данной работе, как и в [41], исследуется 2D ЭС, экра-

)

нированная лишь одним металлическим затвором,

(κ₀

κ_d

4πσ_xx

cotq_zdd -

см. рис. 1, что качественно влияет на спектр иско-

β₀

q_zd

iω

мых мод в режиме сильного запаздывания.

(

)

)₂

4πiωσ_xx

(4π

Основные уравнения и подход. Рассмотрим

× β₀ + qzd cotq_zdd -

σ_xy

= 0,

c²

2D ЭС, занимающую плоскость z = 0, поверхность

(8)

идеально проводящего затвора расположена при z =

= -d, диэлектрическая проницаемость среды между

где σ_xx и σ_xy - продольная и поперечная (холлов-

2D ЭС и тыловым затвором (-d < z < 0) равна κ_d,

ская) проводимости 2D ЭС.

вне системы (z > 0) - κ₀. Далее будем считать, что

Отметим, что уравнение (8) получено для 2D

κ_d > κ₀. Система помещена во внешнее постоянное

ЭС с произвольной проводимостью σ, единствен-

магнитное поле B, ортогональное плоскости 2D ЭС,

ным условием является применимость закона Ома

см. рис. 1.

j(q, ω) = σ(q, ω)E(q, ω). Далее для получения яв-

Ищем решения в виде волн, распространяющих-

ного вида дисперсионных кривых ограничимся про-

ся вдоль 2D ЭС, exp(iqr - iωt), где r - радиус-

стой бездиссипативной изотропной моделью Друде

вектор в плоскости 2D ЭС, q - двумерный волновой

для проводимости. Однако, уравнение (8) при соот-

вектор плазмон-поляритона. Будем интересоваться

ветствующем выборе тензора проводимости описы-

спектром в длинноволновом пределе q ≪ k_F , где

вает магнитоплазмон-поляритоны в намного более

ℏk_F - импульс Ферми, так как именно в этом пределе

широком классе 2D ЭС, включая 2D ЭС в сильном

влияние электромагнитного запаздывания наиболее

магнитном поле [28], графен [45, 46] и др.

сильное.

В рамках модели Друде в “чистом” пределе, ко-

Для поиска спектра воспользуемся классическим

гда частоты ω велики по сравнению с обратным вре-

подходом, основанном на решении уравнений Макс-

менем релаксации электронов в 2D ЭС, компоненты

велла для самосогласованных электромагнитных по-

тензора проводимости σ_xx и σ_xy имеют вид

лей плазмон-поляритона, а также локального закона

Ома для связи электрического поля E и тока j в 2D

e²n

-iω

e²n

-ω_c

σ_xx =

σ_xy =

(9)

ЭС j = σE, где σ - тензор динамической проводи-

m -ω² + ω^2c

m -ω² + ω²

мости 2D ЭС в магнитном поле, для которого будем

использовать модель Друде. Также, далее будем счи-

Подставляя выражения для проводимости (9) в дис-

тать, что волновой вектор плазмон-поляритона на-

персионное уравнение (8), получаем спектры элек-

правлен вдоль оси x: q = (q, 0).

тромагнитных мод в экранированной 2D ЭС в маг-

Для получения дисперсионного уравнения вос-

нитном поле. Отметим, что в рассматриваемом слу-

пользуемся стандартной процедурой [28, 44, 45]. Ре-

чае бездиссипативной 2D ЭС, частота этих мод дей-

шения уравнений Максвелла для компонент электри-

ствительная, а следовательно, величина β₀ - дей-

ческого поля плазмон-поляритона E_x и E_y в обла-

ствительна и положительна, в то время как значение

стях z > 0 и 0 > z > -d имеют вид, соответственно,

q_zd может быть как действительным, если cq/√κd <

Ex,y exp(-√z) и Ex,y exp(iqzdz√ Ex,y exp(-iqzdz),

ω < cq/√κ0, так и чисто мнимым, если ω < cq/√κd.

где q_zd =

ω²κ_d/c² - q², β₀ =

q² - ω²κ₀/c², при-

Спектры и магнитодисперсия экранирован-

чем должно выполняться условие Re β₀ ≥ 0, так как

ных магнитоплазмон-поляритонов. Прежде чем

ищем только спадающие при z → +∞ решения. Да-

переходить к анализу спектров в магнитном поле,

лее используем обычные электродинамические гра-

рассмотрим предельные случаи нулевого и сильного

ничные условия для E_x,y(z): (i) равенство нулю на

магнитных полей. В нулевом магнитном поле σ_xy = 0

поверхности металла z = -d; (ii) непрерывность в

и происходит разделение на ТМ и ТЕ моды. Спектр

плоскости 2D ЭС z = 0; (iii) разрыв производной по

ТМ моды, которая имеет компоненты (E_x, H_y, E_z),

z при z = 0, связанный с наличием тока j в 2D ЭС

определяется нулем первой скобки в уравнении (8),

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

166

А. А. Заболотных, В. А. Волков

спектр ТЕ моды с компонентами (H_x, E_y, H_z) опре-

моды, а затем будем увеличивать магнитное поле.

деляется нулем второй скобки уравнения (8). Важ-

Каким образом произойдет переход в режим сильно-

но, что в системе присутствуют две бесщелевых ТМ

го поля, когда этому же волновому вектору соответ-

моды: первая - плазмонная, имеющая при qd ≪ 1

ствует только одна мода? Для ответа проанализиру-

асимптотику (5) при ω_c = 0 [40], вторая - волно-

ем спектры в конечных магнитных полях.

водная, расположенная между световыми конусами

Спектр плазмон-поляритонов в конечном магнит-

cq/√κd < ω < cq/√κ0 и имеющая асимптотику при

ном поле представлен на рис. 2c. В этом случае су-

qd ≪ 1

ществует только одна бесщелевая мода, имеющая в

самом низкочастотном ω ≪ ω_c и длинноволновом

d²q

ω=

(10)

qd ≪ 1 пределах асимптотику (10) при A = 0. Асимп-

√κ₀ -

2√κ0 ·

(A² + κ_d/(κ_d - κ₀))²

тотика (5) описывает эту моду при выполнении усло-

вий q_zdd ≪ 1 и ω ≪ cq/√κ0. Следующая по частоте

где параметр A определяется формулой (4).

мода является щелевой, величина щели ω₀ зависит

Более высокие по частоте ТМ моды, а также все

от ω_c:

ТЕ моды, являются щелевыми, они имеют частоты

и волновые вектора отсечки и начинаются на “внеш-

ω_c

ω₀d

ω₀ =

√

при

√κ_d - κ₀ ≪ 1.

(13)

ней” световой ветке (как и, например, электромаг-

1+A²

нитные моды в диэлектрическом волноводе [47]). ТМ

В отсутствие магнитного поля ω_c = 0, и частота от-

моды существуют при ω > ω_TM,N и q > q_TM,N , где

сечки зануляется, как и должно быть.

πNc

πN

Из формулы (13) видно, что действительно, нали-

ω_TM,N =

q_TM,N =

√

(11)

чие магнитного поля приводит к открытию частот-

d√κd - κ0 ,

κ_d/κ₀ - 1

ной щели в спектре и, следовательно, изменению чис-

N = 1,2,... - номер ТМ моды.

ла мод при данном волновом векторе при изменении

Частоты точек отсечки для ТЕ мод определяются

величины магнитного поля.

неявным уравнением

На рисунке 3 представлена магнитодисперсия

)

частоты точек отсечки. Частоты отсечки, которые

ω_TE,Nd

(ω_TE,Nd

√

√κ_d - κ₀ cot

κ_d - κ₀

+ A² = 0,

соответствовали волноводным ТМ модам в отсут-

ствие магнитного поля (11), не меняются с маг-

(12)

нитным полем, см. рис. 2 точку отсечки с частотой

N = 1,2,...

ω_TM,1, где ω_TM,1d√κd/c = π/√1 - κ0/κd ≈ 3.27. По-

При больших волновых векторах все волновод-

ложение остальных точек изменяется как функция

ные моды стремятся к дисперсии света в подложке

магнитного поля, подчиняясь неявному уравнению

ω = cq/√κd. Характерный спектр мод в нулевом маг-

)

нитном поле приведен на рис. 2a.

ω_cutd

(ω_cutd

√

A²ω^2cut

√κ_d - κ₀ cot

κ_d - κ₀

= 0.

Теперь обсудим формальный предельный случай

ω^2cut - ω²

сколь угодно сильного магнитно поля ω_c → ∞ (пред-

(14)

полагая, что формулы Друде (9) еще применимы). В

Вблизи ω ≈ ω_c необходимо учитывать конечность

этом случае компоненты проводимости 2D ЭС стано-

времени релаксации, которое не даст обратиться в

вятся сколь угодно малыми (σ → 0), а сама 2D ЭС

нуль знаменателям формул Друде (9).

перестает влиять на моды. Соответственно, в этом

Обсудим кратко магнитодисперсионные зависи-

пределе опять происходит формальное разделение на

мости частот рассмотренных мод, которые актуаль-

ТМ и ТЕ моды, но теперь они все являются модами

ны для эксперимента [6, 7, 41]. Характерный гра-

волноводного типа, их параметры определяются ве-

фик магнитодисперсии для длинноволнового преде-

личинами d, κ_d и κ₀. Дисперсионные уравнения ТМ и

ла, qd

≪ 1, представлен на рис.4. Для выбран-

ТЕ мод определются нулями первой и второй скобок

ных параметров построения (A = 1 и qd = 0.3,

уравнения (8) при нулевых σ_xx и σ_xy. Характерный

см. вертикальные пунктиры на рис. 2a, b) в слабых

вид спектра в сильном магнитном поле приведен на

магнитных молях есть две ветки магнитоплазмон-

рис. 2b. Важно, что в этом пределе есть только одна

ных волн. Верхняя по частоте мода сильно при-

бесщелевая мода при малых волновых векторах.

жата к внешнему световому конусу, поэтому ее

Возникает следующий вопрос. Рассмотрим систе-

частота почти не реагирует на изменение магнит-

му в нулевом магнитном поле. Фиксируем величину

ного поля, и, как и ожидалось из анализа спек-

волнового вектора так, чтобы ему соответствовали,

тров, данная мода пропадает в достаточно силь-

например, только две нижние по частоте бесщелевые

ных магнитных полях из-за увеличения частоты от-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

Mагнитоплазмон-поляритоны в двумерной электронной системе с тыловым затвором

167

Рис. 2. (Цветной онлайн) Спектры электромагнитных мод в экранированной 2D ЭС, помещенной в нулевое B = 0

(a), очень сильное (b) и конечное ωcd√κd/c = 1 (c) магнитное поле, обозначены синими (сплошными) линиями. Спек-

тры построены для A = 1, κ_d/κ0 = 12.8. Световые конуса ω = cq/√κ0 и ω = cq/√κd обозначены красными (штрих-

пунктирными) линиями. Зеленый пунктир- асимптотическая формула (5). Частота ω0 на рис. (c) определяется фор-

мулой (13). На вставке - увеличенная часть рис. (c) для 0 ≤ qd ≤ 0.25

сечки. Для выбранных параметров мода пропада-

Обсуждение результатов и заключение. Об-

ет в магнитном поле ω_cd√κd/c ≈ 1.73 (при часто-

судим случай одинаковых диэлектрических прони-

те ω_cutd√κd/c ≈ 1.07, см. рис. 3). Нижняя по час-

цаемостей вне системы и между 2D ЭС и затвором

тоте (“магнитоплазмон-поляритонная”) ветка хоро-

κ₀ = κ_d = κ. В этом режиме световые конуса, см.

шо описывается асимптотикой (5), пока ω ≪ cq/√κ0,

рис. 2, сливаются, а все волноводные моды, существо-

т.е. в достаточно слабых магнитных полях. В силь-

вавшие в этой области спектра, превращаются в свет

ных магнитных полях, как уже было отмечено вы-

в среде со спектром ω = cq/√κ и, строго говоря, не

ше, 2D ЭС не играет роли и зависимость от маг-

являются локализованными вблизи 2D ЭС. Нижняя

нитного поля пропадает. Частота в этом преде-

по частоте (соответствовавшая плазмон-поляритону

ле определяется частотой волноводной моды, см.

в отсутствие магнитного поля) мода по-прежнему

рис. 2b.

описывается асимптотикой (5) и имеет точку отсечки

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

168

А. А. Заболотных, В. А. Волков

но проследить взаимодействие основной по частоте

(магнитоплазмонной) моды с волноводными модами.

Отметим также, что в поглощении экранирован-

ной 2D ЭС в магнитном поле электромагнитной вол-

ны, нормально падающей на систему (что формаль-

но соответствует q

= 0 с точки зрения спектров

рис. 2) возникает пик на частоте ω_c/(1 + A²) [42],

отвечающий циклотронному резонансу в экраниро-

ванной 2D ЭС. Таким образом, можно считать, что

формула (5) правильно описывает частоту резонанс-

ного отклика системы в области над световым кону-

√

κ₀ при q = 0.

сом ω = cq/

Заключение. В работе проанализированы спек-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Синими линиями обозначе-

тры и магнитодисперсия электромагнитных мод, бе-

ны положения точек отсечки ωcut разных мод в зави-

гущих вдоль 2D ЭС с тыловым затвором, помещен-

симости от величины магнитного поля. Черная (пунк-

ной в перпендикулярное магнитное поле. Важно, что

тирная) линия соответствует низкочастотной форму-

параметр запаздывания (4) в таких структурах не

ле (13). Голубым (коротким пунктиром) обозначена ли-

является малым. Особое внимание уделено учету

ния ωcut = ωc, вблизи которой, в диапазоне порядка 1/τ

взаимодействия магнитоплазмонов с модами волно-

(здесь τ - время электронной релаксации), вычисле-

вода, роль которого играет диэлектрическая подлож-

ния неприменимы, так как использована модель Друде

при τ → ∞ (9). Подписями TM и TE указывается ка-

ка, ограниченная с одной стороны затвором. Без маг-

кой по типу моде соответствует частота отсечки в ну-

нитного поля в такой системе существует две бесще-

левом и сильном магнитном поле. Параметры постро-

левых моды (помимо волноводного семейства щеле-

ения: A = 1, κ_d/κ0 = 12.8

вых мод ТЕ и ТМ типа). Включение магнитного поля

приводит к открытию частотной щели для одной из

мод, причем в слабых магнитных полях и длинно-

волновом пределе щель линейно растет с магнитным

полем (13). С ростом поля величина щели насыща-

ется, и мода становится чисто волноводной. Кроме

того, магнитное поле приводит к изменению частот

отсечки остальных (более высоких по частоте) мод,

рис. 3.

Авторы признательны И. В. Кукушкину и

В.М.Муравьеву за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке Российско-

го фонда фундаментальных исследований (проект

#20-02-00817) и в рамках государственного зада-

ния. Работа А. А. Заболотных была поддержана Фон-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Синие (сплошные) ли-

дом развития теоретической физики и математики

нии

- магнитодисперсия экранированных плазмон-

“БАЗИС” (грант #19-1-4-41-1).

поляритонов, построенная из дисперсионного уравне-

ния (8) с учетом (9); зеленой (пунктирной) линией обо-

значена асимптотика (5), красной (штрих-пунктир) -

1. F. Stern, Phys. Rev. Lett. 18, 546 (1967).

предельное значение частоты в сильном магнитном по-

2. А. В. Чаплик, ЖЭТФ 62, 726 (1972).

ле, см. вертикальный пунктир на рис. 2b. Параметры

3. C. C. Grimes and G. Adams, Phys. Rev. Lett. 36, 145

построения: A = 1, κ_d/κ0 = 12.8, qd = 0.3

(1976).

4. S. J. Allen, Jr., D. C. Tsui, and R. A. Logan, Phys. Rev.

(13) на световой ветке. Таким образом, важно отме-

Lett. 38, 980 (1977).

тить, что случай κ_d > κ₀ намного богаче случая оди-

5. T. N. Theis, J. P. Kotthaus, and P. J. Stiles, Solid State

наковых диэлектрических проницаемостей, так как

Commun. 26, 603 (1978).

в последнем фактически пропадает вся структура

6. В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин, УФН 190, 1041

волноводных мод и становится невозможным деталь-

(2020).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

Mагнитоплазмон-поляритоны в двумерной электронной системе с тыловым затвором

169

А.М. Зарезин, П. А. Гусихин, И.В. Андреев,

24.

V. Kaydashev, B. Khlebtsov, A. Miakonkikh,

В. М. Муравьев, И. В. Кукушкин, Письма в ЖЭТФ

E. Zhukova, S. Zhukov, D. Mylnikov, I. Domaratskiy,

113, 740 (2021).

and D. Svintsov, Nanotechnology 32, 035201 (2020).

A.N. Grigorenko, M. Polini, and K. S. Novoselov, Nat.

25.

A. L. Fetter, Phys. Rev. B 33, 5221 (1986).

Photonics 6, 749 (2012).

26.

I. V. Kukushkin, J. H. Smet, K. von Klitzing, and

D. N. Basov, M. M. Fogler, and F. J. Garc´ıa de Abajo,

W. Wegscheider, Nature (London) 415, 409 (2002).

Science 354, 195 (2016).

27.

P. A. Gusikhin, V. M. Muravev, A. A. Zagitova, and I. V.

10.

M. Dyakonov and M. Shur, Phys. Rev. Lett. 71, 2465

Kukushkin, Phys. Rev. Lett. 121, 176804 (2018).

(1993).

28.

K. W. Chiu and J. J. Quinn, Phys. Rev. B 9, 4724

11.

W. Knap, M. Dyakonov, D. Coquillat, F. Teppe,

(1974).

N. Dyakonova, J. Lusakowski, K. Karpierz,

29.

A. О. Говоров, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 95, 1976 (1989).

M. Sakowicz, G. Valusis, D. Seliuta, I. Kasalynas,

30.

В. И. Фалько, Д. Е. Хмельницкий, ЖЭТФ 95, 1988

A. El Fatimy, Y. M. Meziani, and T. Otsuji, J. Infrared

(1989).

Millim. Terahertz Waves 30, 1319 (2009).

31.

В. В. Попов, Т. В. Теперик, Г. М. Цымбалов, Письма

12.

X.G. Peralta, S. J. Allen, M. C. Wanke, N.E. Harff,

в ЖЭТФ 68, 200 (1998).

J. A. Simmons, M. P. Lilly, J. L. Reno, P. J. Burke, and

32.

V. V. Popov, G. M. Tsymbalov, and T. V. Teperik,

J. P. Eisenstein, Appl. Phys. Lett. 81, 1627 (2002).

Nanotechnology 12, 480 (2001).

13.

A. Satou, I. Khmyrova, V. Ryzhii, and M. S. Shur,

33.

В. А. Волков, В. Н. Павлов, Письма в ЖЭТФ 99, 99

Semicond. Sci. Technol. 18, 460 (2003).

(2014).

14.

E. A. Shaner, M. Lee, M. C. Wanke, A. D. Grine,

34.

V. A. Volkov and A. A. Zabolotnykh, Phys. Rev. B 94,

J. L. Reno, and S. J. Allen, Appl. Phys. Lett. 87, 193507

165408 (2016).

(2005).

35.

M. Cheremisin, Solid State Commun. 268, 7 (2017).

15.

G. R. Aizin, V. V. Popov, and O. V. Polischuk, Appl.

36.

Д. А. Родионов, И. В. Загороднев, Письма в ЖЭТФ

Phys. Lett. 89, 143512 (2006).

109, 124 (2019).

16.

V.V. Popov, D. V. Fateev, T. Otsuji, et al., Appl. Phys.

37.

D. O. Oriekhov and L. S. Levitov, Phys. Rev. B 101,

Lett. 99, 243504 (2011).

245136 (2020).

17.

V.M. Muravev and I. V. Kukushkin, Appl. Phys. Lett.

38.

I. V. Zagorodnev, D.A. Rodionov, and A. A. Zabolot-

100, 082102 (2012).

nykh, Phys. Rev. B 103, 195431 (2021).

18.

S. Rumyantsev, X. Liu, V. Kachorovskii, and M. Shur,

39.

E. Nikulin, D. Mylnikov, D. Bandurin, and D. Svintsov,

Appl. Phys. Lett. 111, 121105 (2017).

Phys. Rev. B 103, 085306 (2021).

19.

J. Lusakowski, Semicond. Sci. Technol. 32, 013004

40.

А. В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 101, 602 (2015).

(2017).

41.

I. V. Andreev, V.M. Muravev, N.D. Semenov, and

20.

D. Svintsov, Phys. Rev. Appl. 10, 024037 (2018).

I. V. Kukushkin, Phys. Rev. B 103, 115420 (2021).

21.

S. Boubanga-Tombet, W. Knap, D. Yadav,

42.

A. A. Zabolotnykh and V. A. Volkov, Phys. Rev. B 103,

125301 (2021).

A. Satou, D. B. But, V. V. Popov, I. V. Gorbenko,

V. Kachorovskii, and T. Otsuji, Phys. Rev. X 10,

43.

Y. A. Kosevich, A. M. Kosevich, and J. C. Granada,

031004 (2020).

Phys. Lett. A 127, 52 (1988).

22.

D. A. Iranzo, S. Nanot, E. J. C. Dias, I. Epstein, C. Peng,

44.

M. Nakayama, J. Phys. Soc. Jpn. 36, 393 (1974).

D. K. Efetov, M. B. Lundeberg, R. Parret, J. Osmond,

45.

D. Jin, L. Lu, Z. Wang, C. Fang, J. D. Joannopoulos,

J.-Y. Hong, J. Kong, D. R. Englund, N. M. R. Peres, and

M. Soljačić, L. Fu, and N. X. Fang, Nat. Commun. 7,

F. H. L. Koppens, Science 360, 291 (2018).

13486 (2016).

23.

A. Bylinkin, E. Titova, V. Mikheev, E. Zhukova,

46.

S. A. Mikhailov and K. Ziegler, Phys. Rev. Lett. 99,

S. Zhukov, M. Belyanchikov, M. Kashchenko,

016803 (2007).

A. Miakonkikh, and D. Svintsov, Phys. Rev. Applied

47.

А. А. Барыбин, Электродинамика волноведущих

11, 054017 (2019).

структур, ФИЗМАТЛИТ, М. (2007), с. 65.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022