Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 4, с. 207 - 212

Оптические солитоны с наклонными волновыми фронтами

С. В. Сазонов¹⁾

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 10 января 2022 г.

После переработки 10 января 2022 г.

Принята к публикации 11 января 2022 г.

Исследовано распространение нерезонансных солитонов с наклонными по отношению друг к другу

фазовыми и групповыми волновыми фронтами. Показано, что наклон фронтов приводит к переопреде-

лению параметра дисперсии групповой скорости, внося в него дополнительный аномальный вклад. След-

ствием этого является возможность формирования светлых временных и пространственно-временных

солитонов при нормальной дисперсии групповой скорости и фокусирующей нелинейности, включая слу-

чаи отсутствия данной дисперсии. Пространственно-временной солитон представляет собой структуру,

вытянутую вдоль групповых фронтов, нормально к плоскости поляризации, и локализованную во всех

направлениях, перпендикулярных к направлению вытянутости солитона.

DOI: 10.31857/S1234567822040012

Введение. Оптические солитоны бывают про-

рования в однородной среде необходимо присутствие

странственными и временными. Пространственные

фокусирующей нелинейности, аномальной ДГС и ди-

солитоны представляют собой непрерывные пучки

фракции.

световой энергии, бесконечно вытянутые в направле-

В настоящее время в лабораторных условиях для

нии распространения и ограниченные в поперечных

различных целей используются лазерные импульсы

направлениях. Они формируются в результате вза-

с наклонными волновыми фронтами [1-8]. Фазовые

имной компенсации нелинейной поперечной самофо-

и групповые волновые фронты в таких импульсах

кусировки и дифракционной расходимости. Времен-

неколлинеарны по отношению друг к другу, образуя

ные солитоны - это короткие импульсы, локализо-

между собой угол θ. Понятно, что такой же угол об-

ванные в направлении распространения и бесконеч-

разуется между направлениями фазовой v_ph и груп-

но вытянутые в поперечных направлениях. Данные

повой v_g скоростей импульса.

солитоны являются результатом взаимной компенса-

Влияние дифракции сводится к искривлению фа-

ции нелинейного самосжатия и дисперсионного рас-

зовых волновых фронтов. Это, в свою очередь, при-

плывания. Важно, что при фокусирующей нелиней-

водит к поперечному уширению импульса. Из-за на-

ности временной солитон формируется, если диспер-

клона фазовых волновых фронтов проекция дифрак-

сия групповой скорости (ДГС) является аномальной.

ционного уширения на направление групповой ско-

Если же нелинейность носит дефокусирующий ха-

рости сигнала приводит к его расплыванию в на-

рактер, ДГС должна быть нормальной. Таким обра-

правлении распространения. Такое расплывание ана-

зом, в формировании пространственных солитонов

логично влиянию дисперсии. Таким образом, изме-

принимают участие фокусирующая нелинейность и

няя угол между фазовыми и групповыми волновы-

дифракция, а в формировании временных солито-

ми фронтами, за счет дифракции можно управлять

нов - нелинейность и дисперсия.

эффективной дисперсией, включая ее знак. Способ-

Пространственно-временной солитон (или свето-

на ли в таком случае дифракция заменить диспер-

вая пуля) представляет собой распространяющийся

сию и выступить, таким образом, одним из механиз-

в пространстве устойчивый локализованный во всех

мов формирования временных и пространственно-

направлениях сгусток энергии. Рассматривая свето-

временных солитонов? Ответу на этот вопрос посвя-

вую пулю как симбиоз пространственного и времен-

щена данная работа.

ного солитона, приходим к выводу, что для ее форми-

2. Уравнение для огибающей нерезонанс-

ного импульса. Пусть фазовые волновые фрон-

¹⁾e-mail: sazonov.sergey@gmail.com

ты импульса с несущей частотой ω, подаваемого на

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

207

208

С. В. Сазонов

изотропную нерезонансную среду, распространяются

ными от ψ выше второй степени, будем иметь (см.,

вдоль оси z^′. При этом групповая скорость направле-

например, [9])

на вдоль оси z, лежащей в плоскости (z^′, x^′) декарто-

)

(∂ψ

1 ∂ψ

(∂²ψ

∂²ψ

вой системы координат и образующей угол θ с осью

∂z^′

v_g ∂t

2nω

∂z^′2

v²

∂t²

z^′ (рис.1). Плоскость поляризации импульса будем

∂²ψ

+ F(|ψ|²)ψ +

Δ^′⊥ψ.

(3)

∂t²

2nω

Здесь n - показатель преломления, соответствующий

частоте ω, β = ∂(1/v_g)/∂ω - коэффициент ДГС вто-

рого порядка, F (|ψ|²) - функция, описывающая оп-

тическую нелинейность.

Перейдем к системе координат z, x, повернутой

относительно системы z^′, x^′ на угол θ, используя

формулы преобразования z = z^′ cosθ + x^′ sinθ, x =

= -z^′ sinθ + x^′ cosθ. Тогда (3) примет вид

(

)

∂ψ

1 ∂ψ

∂ψ

i cosθ

= isinθ

∂z

v_g ∂t

∂x

2nω

)

(∂²ψ

∂²ψ

β∂²ψ

+Δ_⊥ψ

+ F(|ψ|²)ψ, (4)

∂z

v²

∂t²

2 ∂t²

Рис. 1. Схематическое изображение пространственно-

где Δ_⊥ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² - лапласиан, поперечный

временного солитона с наклонными по отношению друг

по отношению к оси z.

к другу под углом θ фазовыми (пунктирные линии) и

Правая часть уравнения (4) содержит относи-

групповыми волновыми фронтами

тельно малые слагаемые в виде производных по по-

перечным к направлению групповой скорости коор-

считать параллельной оси y. В соответствии со ска-

динатам, а также слагаемые, малые по параметру

занным представим электрическое поле E импульса

(ωτ_p)^-1, где τp - временная длительность импуль-

в виде

са. В этих условиях применимо приближение одно-

E=ψei(ωt-kz′) +ψ^∗e^-i(ωt-kz),

(1)

направленного распространения вдоль оси z [10], что

соответствует, в частности, учету поперечной дина-

где ψ(z, x, y, t) - медленно меняющаяся огибающая

мики импульса в параксиальном приближении. Как

(ММО) поля импульса, k - волновое число.

видно из левой части (4), скорость такого распро-

Из-за быстрых осцилляций в (1) мнимых экспо-

странения равна v_g cosθ. Поэтому в правой части (4)

∂ψ

нент относительно координаты z^′ выделим в волно-

можно положить приближенно^∂ψ∂z ≈ -

. В

vg cos θ ∂t

вом уравнении вторую производную по данной коор-

результате придем к уравнению

динате:

(

)

∂ψ

i cosθ

- sinθ

∂z

∂x

∂²E

1 ∂²E

4π ∂²P

-Δ^′⊥E.

(2)

∂z^′2

c² ∂t²

c2 ∂t2

β_ef

∂²ψ

+ F(|ψ|²)ψ +

Δ_⊥ψ,

(5)

∂τ²

2nω

Здесь c

- скорость света в вакууме, Δ^′⊥

где τ = t - z/v,

= ∂²/∂x^′2 + ∂²/∂y^′2 - поперечный по отношению к

v = v_g cosθ,

(6)

оси z^′ лапласиан, P - поляризационный отклик сре-

ды, индуцированный электрическим полем импуль-

β_ef = β -

tan² θ.

(7)

nωv²

са.

Далее стандартным образом представим поляри-

Второе, слагаемое в (7), возникшее из-за дифрак-

зационный отклик P в виде суммы его линейной

ции, вносит вклад в ДГС второго порядка. Так

и нелинейной частей, учтем по теории возмущений

как данный вклад отрицателен, дифракция импуль-

временную дисперсию его линейной части и прене-

са с наклонными волновыми фронтами способствует

брежем дисперсией нелинейной части. В результате

формированию аномальной ДГС. Ниже второе сла-

после подстановки (1) в (2), пренебрегая производ-

гаемое в (7) будем называть дифракционной ДГС.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

Оптические солитоны с наклонными волновыми фронтами

209

Похожая ситуация отмечалась ранее в [1, 11] при рас-

4. Пространственно-временной солитон.

смотрении оптического метода генерации терагерцо-

Так как дифракционная ДГС является аномаль-

вого излучения.

ной, то она должна способствовать формированию

3. Временной солитон. Рассмотрим (5) при

пространственно-временного солитона [14-20]. Для

керровской нелинейности, когда F (|ψ|²) = α|ψ|², где

соответствующего исследования, следуя стандарт-

α = 6πωχ⁽³⁾/cn, χ⁽³⁾ - нелинейная оптическая вос-

ному подходу [14, 18], представим огибающую ψ в

приимчивость третьего порядка. В этом случае (5)

виде

принимает вид

ψ=

√ρe^iqx-nωϕ/c,

(13)

(

)

∂ψ

i cosθ

- sinθ

где ρ и ϕ - неизвестные функции переменных z, y и

∂z

∂x

√

β_ef ∂²ψ

ξ=

τ.

(14)

+ α|ψ|²ψ +

Δ_⊥ψ.

(8)

nω|β_ef|

∂τ²

2nω

Положив здесь ∂ψ/∂x = Δ_⊥ψ = 0, получим реше-

При этом эффективная ДГС считается аномальной

ние уравнения (8) в виде одномерного (временного)

(β_ef < 0).

солитона

Очевидно, что величина ρ пропорциональна ло-

βefz

кальной интенсивности импульса.

(t - z/v),

ψ=ψ_me

2τ2p cos θ sech

(9)

Подставляя (13) в (5) с учетом (14), после отде-

τ_p

ления действительной и мнимой частей придем к си-

где амплитуда

стеме уравнений

√

β_ef

ψ_m =

(10)

∂ρ

τ_p

+ ∇₂(ρ∇₂ϕ) = 0,

(15)

∂ζ

а скорость распространения определяется выраже-

(

)

нием (6).

)₂

∂ϕ

(∇₂ϕ)²

1( c

2nω

F (ρ)+

q² +

q sinθ

Отсюда видно, что светлый временной солитон

∂ζ

nω

(9) существует, если β_ef/α < 0. В большинстве твер-

дых диэлектриков керровская нелинейность имеет

1( c

)₂ Δ₂√ρ

(16)

фокусирующий характер (α ∼ χ(3) > 0). Следо-

nω

√ρ

вательно, должно быть βef < 0. Пусть, в частно-

Здесь ζ = z/ cos θ, ∇₂ - дифференциальный оператор

сти, несущая частота такова, что β = 0. Например,

“набла” в плоскости переменных y и ξ, Δ₂ - лапла-

для плавленого кварца данное равенство выполняет-

сиан в плоскости этих же переменных.

ся при ω ≈ 1.0·10¹⁵ c^-1 [12]. Тогда, воспользовавшись

Пусть функция оптической нелинейности имеет

(7), (10) и выражением для α, запишем

вид

c tan θ

F (|ψ|)²) = α|ψ|² - σ|ψ|⁴ = αρ - σρ².

(17)

ψ_m =

√

(11)

v_gωτ_p

6πχ⁽³⁾

Здесь σ = -20πωχ⁽⁵⁾/cn, χ⁽⁵⁾ - нелинейная оптиче-

Для пиковой интенсивности I = cψ^2m/2π солитона

ская восприимчивость пятого порядка, а коэффици-

имеем

ент α был определен выше и связан с керровской

( ctanθ )

нелинейностью.

I =

(12)

nn₂

nv_gωτ_p

Если χ⁽⁵⁾ < 0, что встречается довольно часто

Здесь n2 - нелинейный показатель преломления,

[14], то оптическая нелинейность имеет характер на-

определяющий аддитивную добавку n₂I к линейно-

сыщения. В этом случае σ > 0.

му показателю n и связанный с χ⁽³⁾ соотношением

Рассматривая аксиально-симметричное решение

cn²n₂ = 12π²χ⁽³⁾ [13].

системы (15), (16) с учетом (17), используем цилин-

√

Взяв для плавленого кварца nn₂

≈

5 ×

дрические координаты r =

y² + ξ² и ζ. Полагая

× 10^-16 см²/Вт [13], при длительности τ_p ∼ 10^-12 с

при этом

и угле наклона θ = 45^◦ найдем I ∼ 10⁹-10¹⁰ Вт/см².

ϕ=

gz =

g cosθζ,

(18)

nω

Таким образом, дифракционная ДГС в условиях

реального эксперимента вполне способна содейство-

где g - положительная постоянная, будем иметь

вать формированию временного солитона с наклон-

∇₂ϕ = 0. Тогда из (15) следует, что ∂ρ/∂ζ = 0. Таким

ными волновыми фронтами.

образом, переменная ρ зависит только от y и ξ.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

210

С. В. Сазонов

Уравнение (16) в рассматриваемом случае прини-

ряд Тейлора по параметру r²/R²: G ≈ 1 - r²/R²,

мает вид

G² ≈ 1 - 2r²/R². Приравнивая затем коэффициенты

при r⁰ и r² в левой и правой частях (16), получим

2nω

Δ₂Q =

Q-

(αQ² - σQ⁴),

(19)

R²⁰

c ( c

) 1

- αρ₀R²

σρ

dζ

nω nω

R²

nω

R⁴

где Q =

√ρ,

(

)

)₂

1( c

2nω

−

q² +

q sinθ

(23)

=q² +

(g cos θ + q sin θ) ≈

nω

R²⁰

d²R

∂U

(24)

2nω

dζ²

∂R

≈

(g cos θ + q sin θ).

(20)

( c

) 1

R⁴⁰

U =

- 2αρ₀R²

σρ²

(25)

Здесь мы пренебрегли q², так как по смыслу парак-

2nω nω

R²

nω

⁰R⁴

сиального приближения и приближения ММО спра-

Уравнение (24) формально схоже с уравнением

ведливы неравенства q, g ≪ nω/c (см. (13) и (20)).

движения ньютоновской частицы единичной массы

Уравнение (19) при R²⁰ > 0 имеет локализован-

во внешнем силовом поле с потенциальной энергией

ные, исчезающие на бесконечности (r → ∞), реше-

(25).

ния [14]. При этом R₀ имеет смысл характерного раз-

Устойчивому пространственно-временному соли-

мера области локализации в плоскости (y, ξ). Вдоль

тону должен соответствовать локальный минимум

поперечной оси x локализация световой энергии не

в зависимости U(R). Как видно из (25), при нали-

происходит из-за наклона волновых фронтов (см.

чии только фокусирующей керровской нелинейно-

второе слагаемое в скобках уравнения (5)). Таким

сти (σ = 0) такого минимума нет. Следовательно,

образом, пространственно-временной солитон урав-

в этом случае, как и в отсутствие наклона волно-

нения (5) с наклонными волновыми фронтами имеет

вых фронтов [14], формирование пространственно-

форму “сигары”, вытянутой вдоль направления, ор-

временного солитона невозможно. Если σ = 0, то

тогонального к скорости и к плоскости поляризации

при 2αρ₀R²⁰ > c/nω возникает самофокусировка им-

солитона (рис.1).

пульса, в противоположном случае - дефокусировка.

Перейдем к рассмотрению вопроса об устой-

Использовав выражение для α и связь между χ⁽³⁾ и

чивости данного солитона. Для этого использу-

n₂, перепишем данное неравенство в виде условия на

ем аксиально-симметричное автомодельное решение

интенсивность импульса

уравнения (15) [21-23]

c²

IR²⁰ >

(26)

R²⁰

(r)

r² dR

2n³ω²n₂

ρ=ρ₀

, ϕ = f(ζ) +

(21)

R²

2R dζ

Заметим, что левая часть (26) отнюдь не пропор-

циональна мощности солитона, как это имеет место

Здесь ρ₀ - величина, пропорциональная интенсивно-

в случае световых импульсов без наклона волновых

сти световой энергии на центральной оси (r = 0)

фронтов. Дело в том, что R₀ - это радиус сечений им-

пространственно-временного солитона (рис. 1) при

пульса не поперек, а вдоль распространения импуль-

равновесном значении R₀ его радиуса, R - радиус

са (рис.1). Данный радиус можно оценить, исполь-

данного солитона, зависящий от координаты ζ, f(ζ)

зуя (14) и (7) при β = 0. Тогда имеем R₀ ∼ v_gτ_p cot θ.

и G(r/R) - произвольные гладкие функции своих ар-

Взяв θ = 45^◦ и τ_p ∼ 10^-12 с, найдем R₀ ∼ 10^-2 см. Ис-

гументов.

пользуя, кроме того, приведенные выше оценки па-

Так как решение локализовано в плоскости (y, ξ),

раметров для плавленого кварца, из (26) будем иметь

аппроксимируем функцию гауссовой экспонентой

для интенсивности I > 10¹⁰ Вт/см².

[14]:

Из (25) легко видеть, что функция U(R) имеет

G=e-r2/R2.

(22)

локальный минимум при σ > 0, т.е при насыщающей

Тогда в правой части (16) имеем

нелинейности. Используя это, мы можем выразить

√

Δ₂

√ρ

Δ₂

r²

параметр σ через α и интенсивность насыщения I_s.

√

√ρ

R²

R⁴

Действительно, при насыщающей нелинейности

(

)

α|ψ|

При подстановке (21) и (22) при учете (17) в

F (|ψ|²) =

≈ α|ψ|²

левую часть (16) используем приосевое приближе-

1 + I/I_s

(

)

ние [21], согласно которому в выражении для G су-

c|ψ|²

= α|ψ|²

= α|ψ|² - σ|ψ|⁴.

щественны только первые два члена разложения в

2πnI_s

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

Оптические солитоны с наклонными волновыми фронтами

211

Отсюда

частного случая можно рассматривать возможность

cα

σ=

(27)

солитонного режима при β

= 0. Здесь мы гово-

2πnI_s

рим о бездисперсионных солитонах с наклонными

Используя условие минимума (∂U/∂R)R=R0

= 0,

волновыми фронтами.

придем из (25) к квадратному уравнению ρ²⁰ -^α2σ ρ₀ +

Наклон волновых фронтов приводит к тому, что

+ c

= 0. Отсюда и из (27) видно, что данное

4nωσR²

пространственно-временные солитоны представляют

уравнение имеет вещественные корни при условии

собой структуры, по форме напоминающие “сигары”,

2c²

R²⁰ >

. После использования выражения для

πn²ωαIs

сильно вытянутые вдоль групповых фронтов, пер-

α перепишем это условие в виде

пендикулярно к плоскости поляризации. В то же вре-

мя они локализованы во всех направлениях, перпен-

R₀ > R_min =

√

(28)

nω

nn₂I_s

дикулярных к направлению вытянутости солитона.

Взяв I_s ∼ 10¹² Вт/см² [14] и другие приведенные вы-

Здесь

не

исследована

устойчивость

ше параметры для плавленого кварца, будем иметь

пространственно-временных солитонов по отно-

R_min ∼ 10^-3 см.

шению к азимутальным возмущениям [24], а также

Условия

(26) и

(28) играют ключевую роль

по отношению к возмущениям изгибного типа, со-

ответствующим искривлениям групповых волновых

в возможности формирования пространственно-

временных солитонов с наклонными волновыми

фронтов [25-28]. Эти важные вопросы мы планируем

рассмотреть отдельно.

фронтами в виде “сигар”, вытянутых поперек их

распространения.

В настоящей работе рассмотрена возможность

При R₀ = R_min из (26) имеем I > I_s/8. Если

формирования нерезонансных квазимонохроматиче-

R₀ > R_min, условие на интенсивность (26) являет-

ских солитонов с наклонными волновыми фронтами.

ся менее жестким. Таким образом, приведенные вы-

В дальнейшем также представляет интерес анало-

ше условия вполне удовлетворительно согласуются с

гичное исследование резонансных солитонов в режи-

использованными приближениями.

ме самоиндуцированной прозрачности. Особенно это

Заключение. Проведенное в настоящей рабо-

касается исследования возможности формирования

те исследование показывает, что наклон волновых

резонансных световых пуль с наклонными волновы-

фронтов оптического импульса может существенным

ми фронтами.

образом влиять на характер формирования и распро-

С укорочением временной длительности оптиче-

странения как временных, так и пространственно-

ских солитонов возникает необходимость учета ДГС

временных солитонов. Дифракционное уширение

высших порядков. Следует ожидать, что наклон вол-

импульса вдоль фазовых волновых фронтов в

новых фронтов должен играть существенную роль и

проекции на направление групповой скорости вы-

в этих случаях вплоть до световых импульсов дли-

глядит подобно его дисперсионному расплыванию.

тельностью в несколько периодов колебаний.

Формально это приводит к переопределению коэф-

фициента ДГС второго порядка в виде соотношения

1. J. Hebling, G. Almasi, I. Z. Kozma, and J. Kuhl, Opt.

(7). Таким образом, появляется возможность управ-

Express 10, 1161 (2002).

ления дисперсией групповой скорости изменением

2. А. Г. Степанов, А. А. Мельников, В. О. Компанец,

угла наклона волновых фронтов. Важно, что адди-

С. В. Чекалин, Письма в ЖЭТФ 85, 279 (2007)

тивная добавка, вызванная дифракционной ДГС,

[A. G. Stepanov, A. A. Mel’nikov, V. O. Kompanets, and

является отрицательной. Как результат, эффек-

S. V. Chekalin, JETP Lett. 85, 227 (2007)].

тивная ДГС может стать аномальной. Это, в свою

3. G. Kh. Kitaeva, Laser Phys. Lett. 5, 559 (2008).

очередь, способствует формированию солитонов в

4. M. I. Bakunov, S. B. Bodrov, and V. V. Tsarev, J. Appl.

средах с фокусирующей керровской нелинейностью

Phys. 104, 073105 (2008).

при β

> 0, когда временные и пространственно-

временные солитоны с волновыми фронтами без

5. J. Hebling, K.-L. Yeh, M. C. Hoffmann, B. Barta, and

наклона образоваться не могут. Такая ситуация

K. A. Nelson, JOSA B 25, 6 (2008).

имеет место, например, при распространении ла-

6. S. W. Huang, E. Granados, W. R. Huang, K. H. Hong,

зерных импульсов видимого частотного диапазона

L. E. Zapata, and F. X. Kaertner, Opt. Lett. 38, 796

(2013).

в плавленом кварце. Подобрав в этих случаях угол

наклона так, чтобы выполнилось условие β_ef < 0,

7. M. A. Porras, Phys. Rev. A 104, L061502 (2021).

можно создать благоприятные условия для со-

8. А. Н. Бугай, ЭЧАЯ 50,

185

(2019)

[A. N. Bugay,

литонных режимов распространения. В качестве

Physics of Particles and Nuclei 50, 210 (2019)].

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022

212

С. В. Сазонов

9. С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин, Оп-

17. А. Е. Дормидонов, Е. Д. Залозная, В. П. Кандидов,

тика фемтосекундных лазерных импульсов, Наука,

В. О. Компанец, С. В. Чекалин, Письма в ЖЭТФ

М. (1988), 312 с. [S. A. Akhmanov, V. A. Vysloukh,

115, 15 (2022).

and A. S. Chirkin, Optics of Femtosecond Laser Pulses,

18. Y. Silberberg, Opt. Lett. 15, 1282 (1990).

Nauka, Moscow (1988) [in Russian]].

19. S. V. Sazonov, M. S. Mamaikin, M. V. Komissarova, and

10. С. А. Ахманов, А. П. Сухоруков, А. С. Чир-

I. G. Zakharova, Phys. Rev. E 96, 022208 (2017).

кин, ЖЭТФ

55,

1430

(1968)

[S. A. Akhmanov,

20. С. В. Сазонов, М. В. Комиссарова, Письма в ЖЭТФ

A.P. Sukhorukov, and A. S. Chirkin, Sov. Phys. JETP

111, 355 (2020) [S. V. Sazonov and M. V. Komissarova,

28, 748 (1969)].

JETP Lett. 111, 320 (2020)].

11. А. Н. Бугай, С. В. Сазонов, А. Ю. Шашков, Кван-

21. С. А. Ахманов, А. П. Сухоруков, Р. В. Хохлов, УФН

товая электроника

42,

1027

(2012)

[A. N. Bugay,

S. V. Sazonov, and A. Yu. Shashkov, Quantum Electron.

93, 19 (1967) [S. A. Akhmanov, A. P. Sukhorukov, and

42, 1027 (2012)].

R. V. Khokhlov, Sov. Phys.-Uspekhi 10, 609 (1968)].

12. С. А. Козлов, С. В. Сазонов, ЖЭТФ 111, 404 (1997)

22. С. В. Сазонов, ЖЭТФ 130, 145 (2006) [S. V. Sazonov,

[S. A. Kozlov and S. V. Sazonov, JETP 84, 221 (1997)].

JETP 103, 126 (2006)].

13. Д. В. Сизмин, Нелинейная оптика, Саровский

23. S. V. Sazonov, Laser Phys. Lett. 17, 095401 (2020).

физико-технический институт-филиал НИЯУ

24. D. V. Petrov, L. Torner, J. Martorell, R. Vilaseca,

МИФИ, Саров (2015).

J. P. Torres, and C. Cojocaru, Opt. Lett. 23,

1444

14. Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал, Оптические со-

(1998).

литоны: от волоконных световодов к фотонным

25. B. A. Malomed, D. Mihalache, F. Wise, and L. Torner,

кристаллам, Физматлит, М. (2005) [Yu. S. Kivshar

J. Opt. B: Quantum Semiclassical Opt. 7, R53 (2005).

and G. P. Agrawal, Optical Solitons: From Fibers to

26. В. Е. Захаров, А. М. Рубенчик, ЖЭТФ 65, 99 (1973)

Photonic Crystals, Academic Press, N.Y. (2003)].

[V. E. Zakharov and A. M. Rubenchik, Sov. Phys. JETP

15. Ya. V. Kartashov, G. E. Astrakharchik, B. A. Malomrd,

38, 494 (1974)].

and L. Torner, Nat. Rev. Phys. 1, 185 (2019).

16. Е. Д. Залозная, А. Е. Дормидонов, В. О. Компанец,

27. D. E. Pelinovsky, Math. Comput. Simul. 55, 585 (2001).

С. В. Чекалин, В. П. Кандидов, Письма в ЖЭТФ

28. С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 112, 305 (2020)

113, 787 (2021).

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 112, 283 (2020)].

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 3 - 4

2022