Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 5, с. 308 - 314

Упругие диполи в кристаллических и стеклообразных алюминии и

высокоэнтропийном сплаве Fe₂₀Ni₂₀Cr₂₀Co₂₀Cu₂₀

Р. А. Кончаков⁺¹⁾, А. С. Макаров⁺, А. С. Аронин^+∗, Н. П. Кобелев^∗, В. А. Хоник⁺

⁺Воронежский государственный педагогический университет, 394043 Воронеж, Россия

^∗Институт физики твердого тела РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 12 января 2022 г.

После переработки 26 января 2022 г.

Принята к публикации 26 января 2022 г.

Посредством молекулярно-динамического моделирования показано, что в некристаллических струк-

турах Al и FeNiCrCoCu имеются анизотропные локальные атомные конфигурации, представляющие по

существу упругие диполи. Аргументируется утверждение о том, что эти упругие диполи, схожие по сво-

им колебательным характеристикам с межузельными гантелями в соответствующих кристаллах, фор-

мируют дефектную подсистему стеклообразного состояния. На этой основе предложен новый подход к

решению задачи идентификации дефектов в модельных некристаллических структурах.

DOI: 10.31857/S123456782205007X

Введение. Проблема описания структуры сте-

ное движение [7], так и в твердом стеклообразном

кол является, пожалуй, одной из наиболее интригу-

состоянии, получаемом закалкой расплава.

ющих в физике конденсированного состояния. Часто

Межузельные гантели и их кластеры являются

реализуемый подход заключается в выделении двух

частным случаем упругих диполей, которые в кри-

подсистем - аморфной матрицы и дефектов. Неодно-

сталлическом состоянии определяются как локаль-

значное и порой противоречивое место такого подхо-

ные нарушения точечной симметрии [8]. Пониже-

да состоит в конкретной геометрической идентифи-

ние локальной точечной симметрии приводит к ча-

кации структурных дефектов в стекле. В литературе

стичному снятию вырождения фононных состояний,

можно найти не один десяток различных представле-

что проявляется в виде характерных низкочастот-

ний разной степени эффективности о том, что счи-

ных (около 2 ТГц) и высокочастотных (выше деба-

тать структурными дефектами стекол (см., напри-

евской частоты) пиков в локальном спектре колеба-

мер, ссылки в работах [1, 2]). Можно утверждать,

тельной плотности состояний атомов, формирующих

что проблема идентификации дефектов некристал-

ядро межузельной гантели [9]. Низкочастотные осо-

лического состояния до сих пор не имеет общепри-

бенности колебательных спектров как кристаллов,

нятого решения.

так и стекол имеют важнейшее значение для описа-

Перспективный, на наш взгляд, подход к реше-

ния релаксационных процессов, связанных с дефек-

нию этой проблемы может дать межузельная тео-

тами типа упругих диполей [10].

рия (МТ) [3, 4], в основе которой лежат специфи-

Попытки использования представлений об упру-

ческие представления о микроскопическом механиз-

гих диполях ранее предпринимались, например, для

ме плавления. Согласно МТ, вблизи температуры

объяснения флуктуаций плотности [11] и некото-

плавления начинается лавинообразный рост концен-

рых низкотемпературных свойств стекол [12]. Од-

трации межузельных дефектов в гантельной кон-

нако потенциал таких представлений удалось рас-

фигурации - межузельных гантелей [3, 4, 5]. При

крыть относительно недавно в рамках МТ, объяснив,

этом энергетически выгодным оказываться процесс

в частности, взаимосвязь изменений модуля сдви-

кластеризации межузельных гантелей [6]. Кластеры

га металлических стекол с тепловыделением при их

межузельных гантелей сохраняют, в определенном

структурной релаксации и кристаллизации [13, 14, 4].

смысле, свою идентичность как в жидком состоянии

При этом конкретная процедура определения упру-

в виде групп атомов, осуществляющих струноподоб-

гих диполей в компьютерных моделях некристалли-

ческой структуры оставалась неясной. Цель настоя-

щей работы состоит в разработке способа идентифи-

¹⁾e-mail: konchakov.roman@gmail.com

кации упругих диполей в стеклообразном состоянии

308

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

Упругие диполи в кристаллических и стеклообразных алюминии. . .

309

и, на этой основе, выделении дефектной подсистемы

и представлялись в виде суммы шаровой и девиатор-

стекла.

ной компонент,

Методика моделирования. Универсальной ха-

(

)

рактеристикой дефектов любого типа, в том числе

λ_ij =

δ_ijλ_ll + λ_ij -

δ_ijλ_ll

(5)

упругих диполей, является дипольный тензор P_ij , ко-

торый в общем случае определяется как производная

где δ_ij - символ Кронекера.

тензора механических напряжений σ_ij по числу n де-

Модельные расчеты выполнялись в пакете

фектов в единице объема при поcтоянной деформа-

LAMMPS [19]. Размер модельной системы для Al и

ции ε [15, 16, 17],

Fe₂₀Ni₂₀Cr₂₀Co₂₀Cu₂₀ (ат. %) составлял 4000 атомов,



т.е. 10 × 10 × 10 трансляций ГЦК решетки. Системы

∂σ_ij



P_ij =

(1)

достаточно маленькие, но в первом приближении



∂n

можно пренебречь взаимодействием дефектов со

Величина ∂σ_ij характеризует изменение напряже-

своими “зеркальными отражениями”, возникающими

ний, вызванное дефектами.

вследствие использования периодических гранич-

В случае компьютерной модели кристалла ди-

ных условий, так как поля упругих напряжений

польные тензоры как отдельных дефектов, так и их

дефектов хоть и являются дальнодействующими,

кластеров, можно вычислять по приближенной фор-

но по абсолютной величине достаточно быстро убы-

муле

вают обратно пропорциональной третьей степени

- σNij )/n^def,

(2)

расстояния от ядра дефекта.

Многочастичные межатомные потенциалы типа

где N - число атомов в идеальной кристаллической

eam для Al и FeNiCrCoCu были взяты из работ

решетке, n^def - число дефектов, V₀ - объем модель-

[21, 22] соответственно. Межатомный потенциал для

ной системы. В этой формуле σ^Nij (тензор напряже-

алюминия ранее нами уже был использован в рабо-

ний в бездефектном кристалле) играет роль рефе-

тах [2, 5], он удовлетворительно описывает характе-

ренсного тензора напряжений.

ристики точечных дефектов, упругие модули и осо-

Для стеклообразной системы ситуация значи-

бенности спектра колебательной плотности состоя-

тельно усложняется, так как не существует коррект-

ний. С потенциалом для FeNiCrCoCu ситуация чуть

ного определения “идеального” (бездефектного) со-

сложнее. Нам известно, что получаемые с помощью

стояния стекла. Мы предлагаем каждому m-му ато-

него результаты скорее качественные, чем количе-

му модельной системы сопоставить дипольный тен-

ственные. Тем не менее, мы полагаем, что для грубой

зор

иллюстрации предлагаемого нами метода идентифи-

P^mij = V₀(σ^Ngij - σ^mij),

(3)

кации дефектов его вполне можно использовать.

где σ^Ngij - тензор напряжений в исходной стеклооб-

Визуализация модельной системы выполнялась

разной системе, а σ^mij - тензор напряжений после уда-

в программе OVITO [20]. Колебательная плотность

ления из системы m-го атома [18]. Перед вычислени-

состояний (VDoS) g(ν) вычислялась как квадрат

ем тензора σ^Ngij осуществляется оптимизация струк-

модуля преобразования Фурье автокорреляционной

туры с изменением объема модельной системы. По-

функции скорости. При этом для каждой кофигура-

сле удаления из системы m-го атома выполняется оп-

ции модельной системы проводилось усреднение 100

тимизация структуры без изменения объема (сохра-

колебательных спектров VDoS. Для расчета колеба-

няя ε = const, согласно формуле (1)) и вычисляется

тельных спектров система предварительно уравнове-

тензор σ^mij. Таким образом, в качестве референсного

шивалась при T = 30 K и нулевом внешнем давлении.

состояния используется само исходное стеклообраз-

Мы исследовали простейшие варианты упругих

ное состояние.

диполей в кристалле - межузельные гантели и их

Безразмерной характеристикой симметрии де-

небольшие кластеры. Межузельные гантели вноси-

формационного поля упругого диполя является λ-

лись в систему при нулевой температуре. При расче-

тензор [8],

те дипольных тензоров выполнялась релаксация си-

стемы методом сопряженных градиентов. Объем в

λ_ij =

S_ijklP_kl,

(4)

расчете на атом вычислялся путем разбиения систе-

где Ω - объем в расчете на атом, S_ijkl - тензор упру-

мы на многогранники Вороного.

гой податливости.

Cтеклообразное состояние модели получалось пу-

Рассчитанные нами тензоры P_ij и λ_ij для даль-

тем закалки расплава от 3000 К до близкой к нулю

нейшего анализа приводились к диагональному виду

температуре со скоростью охлаждения 5 · 10¹³ К/с.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

310

Р. А. Кончаков, А. С. Макаров, А. С. Аронин и др.

Выбор такой высокой скорости охлаждения обуслов-

лен тем, что сплавы системы FeNiCrCoCu и чистые

металлы плохо стеклуются при более низких скоро-

стях закалки.

Результаты моделирования и обсуждение.

В первую очередь мы оценили адекватность исполь-

зования формулы (3) при оценке дипольного тензо-

ра упругого диполя. Косвенным обоснованием пред-

ложенного метода может служить следующее. Част-

ным случаем упругого диполя является межузель-

ный дефект в гантельной конфигурации - межузель-

ная гантель. Было установлено, что если формулу

(3) применить к кристаллу с межузельной гантелью,

то значения P^mij совпадают с P_ij, вычисленными по

формуле (2).

На рисунке 1 показан фрагмент модельной систе-

мы вблизи межузельной гантели ориентации [001] в

монокристаллическом алюминии. Стрелками пока-

заны направления главных осей дипольных тензо-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Фрагмент монокристалла Al

ров P^mij, вычисленных по формуле (3). Длины стре-

вблизи межузельной гантели ориентации [001]. Стрел-

лок нормированы на значения максимальных ком-

ками показаны направления главных осей дипольных

понент соответствующих дипольных тензоров P^mij,

тензоров P^mij, вычисленных по формуле (3). Длины

приведенных к диагональному виду, а направле-

стрелок нормированы на значения максимальных ком-

ния совпадают с осями, соответствующими макси-

понент дипольных тензоров P^mij, приведенных к диаго-

мальным компонентам. В случае высокоэнтропий-

нальному виду

ного сплава FeNiCrCoCu ось дипольного тензора,

в отличие от алюминия, не параллельна оси меж-

Преимуществом формулы (3) по сравнению с

узельной гантели, а для каждого узла решетки за-

формулой (2) является то, что можно сопоставить

висит от комбинации сортов атомов ближайшего

дипольный тензор не только дефекту, как целому, а

окружения.

любому атому модельной системы, в том числе из яд-

Из рисунка 1 видно, что для ядра дефекта (па-

ра дефекта или его ближайшего окружения. Это мо-

ра атомов, формирующих собственно гантель) и

жет дать дополнительную полезную информацию о

для атомов из первой и второй координационных

свойствах дефектов. Например, можно оценить раз-

сфер величина и направление осей дипольных тен-

мер дефекта, как будет показано ниже.

зоров практически совпадают. На микроскопическом

Еще одним косвенным способом проверки адек-

уровне это означает, что независимо от того, удаля-

ватности формулы (3) может служить реакция си-

ется ли атом из ядра дефекта или из его ближайшего

стемы на возвращение обратно удаленного из нее

окружения, система все равно в результате оптими-

атома. Соответствующая процедура состоит в следу-

зации структуры принимает конфигурацию идеаль-

ющем. Выполняется релаксация системы с изменени-

ной решетки.

ем объема, запоминается радиус-вектор m-го атома

Как отмечено выше, значения компонент диполь-

r^m1, атом удаляется из системы, выполняется релак-

ных тензоров межузельных гантелей, вычисленные

сация структуры без изменения объема, атом воз-

по формулам (2) и (3), одинаковы. Для алюминия

вращается в исходную точку r^m1, снова выполняет-

значения P11 = P22 = 14.2эВ, P33 = 14.9 эВ со-

ся релаксация структуры (уже без изменения объе-

гласуются с более ранними оценками для меди и

ма), запоминается конечное положение возвращен-

алюминия [15, 23, 18]. Для сплава FeNiCrCoCu, где

ного атома r^m2 и вычисляется величина смещения

усреднение дипольного тензора проводилось по всем

△r^m = |r^m2 - r^m1|.

узлам модельной решетки, P11 = P22 = 19.9 эВ,

На рисунке 2 показаны гистограммы распре-

P₃₃ = 20.2 эВ. Какие-либо соответствующие литера-

деления величин

△r^m в кристаллических Al

турные значения для этого или похожего по составу

и FeNiCrCoCu с

одним межузельным атомом

сплава нам неизвестны. В случае вакансий P_ii = -4.6

ориентации [001] в структуре. Видно, что лишь

эВ для FeNiCrCoCu и P_ii = -4.0 эВ для алюминия.

несколько десятков атомов заметно смещаются при

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

Упругие диполи в кристаллических и стеклообразных алюминии. . .

311

вышеописанной процедуре возврата. Это атомы,

формирующие ближайшее окружение межузельной

гантели. Число таких атомов составляет 32 для Al и

≈ 39 для FeNiCrCoCu (может варьироваться в зави-

симости от комбинации сортов атомов ближайшего

окружения). Эти несколько десятков атомов мож-

но считать грубой оценкой размера межузельной

гантели в кристалле.

Рис. 3. (Цветной онлайн) Максимальные девиаторные

компоненты дипольных тензоров межузельных клас-

теров в кристаллах FeNiCrCoCu (1) и Al (2), а также

λ-тензоров в кристаллах FeNiCrCoCu (3) и Al (4)

ных и высокочастотных пиков в локальном спектре

колебательной плотности состояний атомов, форми-

рущих ядро упругого диполя типа межузельной ган-

тели [9].

Кластеризация межузельных гантелей приводит

Рис. 2. (Цветной онлайн) Гистограммы распределений

△r^m в кристаллах Al и FeNiCrCoCu

к кардинальному снижению локальной точечной

симметрии. Так, кластер из двух межузельных

Как было упомянуто выше, кластеризация де-

гантелей имеет группу симметрии C_s. В случае

фектов является энергетически выгодным процес-

трех межузельных гантелей их наиболее устойчивая

сом. При этом есть основания предполагать, что кла-

конфигурация имеет примитивную группу симмет-

стеризация упругих диполей типа межузельных ган-

рии C₁, содержащую только элемент идентичности.

телей может играть важную роль в механизме фор-

Дальнейшая кластеризация гантелей приводит к по-

мирования структурных элементов жидкого и стек-

вышению локальной симметрии кластера и для 7-ми

лообразного состояния [2]. На рисунке 3 показана

межузельных дефектов их наиболее устойчивая кон-

зависимость максимальных девиаторных компонент

фигурация представляет собой идеальный икосаэдр

дипольного тензора и λ-тензора от числа n^def меж-

[2]. В последнем случае соответствующая атомная

узельных дефектов в кластере. Анализ девиаторных

конфигурация имеет изотропный дипольный тензор,

компонент дипольных тензоров представляет особый

т.е. его девиаторная компонента, согласно рис. 3,

интерес, потому что, как известно, упругие диполи

близка к нулю.

эффективно взаимодействуют именно с полем сдви-

Данные, показанные на рис.3, согласуются с на-

говых напряжений.

шим предыдущим анализом колебательных спек-

Как видно из рис.3, наибольшие значения P_ij и

тров и диаэластической поляризуемости межузель-

λ_ij имеют место для кластеров из 2-х или 3-х меж-

ных кластеров в алюминии [2], по результатам ко-

узельных гантелей, что вполне объснимо с точки зре-

торого была высказана гипотеза о межузельном ме-

ния изменения локальной точечной симметрии. Дей-

ханизме формирования дефектов и аморфной мат-

ствительно, идеальная ГЦК решетка имеет точечную

рицы стеклообразного состояния. В частности, было

группу симметрии O_h. Формирование дефектов ти-

показано, что дефекты в стеклообразном алюминии

па упругих диполей приводит к снижению локальной

могут формироваться на основе малых кластеров из

точечной симметрии. В частности, одиночная меж-

2-3 межузельных гантелей.

узельная гантель в наиболее устойчивой ориентации

На рисунке 4 показаны распределения макси-

[001] имеет точечную группу симметрии D_4h. Сни-

мальных девиаторных и сферических компонент тен-

жение локальной симметрии, как уже упоминалось

зоров P^mij, рассчитанных по формуле (3) для каждого

ранее, проявляется в виде выраженных низкочастот-

атома модельного стекла FeNiCrCoCu. Из их срав-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

312

Р. А. Кончаков, А. С. Макаров, А. С. Аронин и др.

нения видно, что распределение сферических ком-

понент близко к нормальному, тогда как для деви-

аторных компонент имеется выраженный “хвост” в

области больших значений и распределение близко

к логнормальному. Для стеклообразного алюминия

наблюдается аналогичная закономерность. Мы пола-

гаем, что именно атомы с большими девиаторными

компонентами дипольных тензоров и формируют де-

фектную подсистему стекла.

Рис. 5. (Цветной онлайн) Спектры колебательной плот-

ности состояний для стеклообразных Al и FeNiCrCoCu.

Кругами показаны колебательные спектры для всей

модельной системы, треугольниками - для ее дефект-

ной подсистемы

с окончанием распределения сферических компонент

(см. рис. 4). Это значение примерно в 2.5 раза пре-

вышает среднее значение девиаторной компоненты.

Оказалось, что в этом случае для FeNiCrCoCu оцен-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Распределение максималь-

ка концентрации дефектов в стекле, полученная из

ных девиаторных (1 - max(P^devij)) и сферических (2 -

анализа дипольных тензоров, практически совпадает

P^sphij) компонент дипольных тензоров P^mij в стекле

с оценкой концентрации дефектов по формуле Гра-

FeNiCrCoCu

нато [3]

c = ln(G^cryst/G^glass)/β,

(6)

Справедливость такого вывода можно оценить

путем анализа спектров VDoS. На рисунке 5 при-

где β - сдвиговая восприимчивость упругих диполей

ведены спектры колебательной плотности состояний

типа межузельных гантелей, G^cryst и G^glass - модули

g(ν) стекол Al и FeNiCrCoCu, как для всей системы

сдвига кристалла и стекла, соответственно, опреде-

(зеленые символы), так и для отдельных ее частей

ленные в работе [24]. То же самое справедливо и для

с наибольшими значениями девиаторных компонент

алюминия.

дипольных тензоров P^mij (красные символы). Крас-

На рисунке 6 показана реакция подсистемы де-

ные кривые, соответствующие атомам с большими

фектов в стекле FeNiCrCoCu на сдвиговую деформа-

значениями девиаторных компонент P^mij, имеют вы-

цию модельной системы. В качестве дефектной под-

раженные пики в области низких частот. Это мо-

системы были выбраны атомы, у которых девиатор-

жет служить подверждением нашей гипотезы о при-

ная компонента в 2.5 раза превышает ее среднее зна-

надлежности атомов с большими значениями девиа-

чение. Cтрелками показаны проекции направлений

торных компонент дипольных тензоров к дефектной

осей дипольных тензоров упругих диполей на пло-

подсистеме стекла, так как низкочастотные особен-

кость рисунка. Как и выше, под осью диполя понима-

ности колебательного спектра являются характер-

ется главная ось с максимальной амплитудой. Дли-

ным свойством упругих диполей [9].

ны стрелок пропорциональны максимальным компо-

Для того, чтобы определить, относится ли дан-

нентам соответствующих дипольных тензоров. Для

ный атом к дефектной подсистеме, выполнялось

удобства восприятия атомы разных сортов показаны

сравнение максимальных девиаторных компонент

одним цветом. Для стеклообразного алюминия каче-

дипольных тензоров P^mij с определенным граничным

ственно наблюдается аналогичная картина.

значением. Мы предположили, что в качестве гра-

Как видно из рис.6, при наложении сдвиговой де-

ничного можно использовать значение, совпадающее

формации (в плоскости рисунка), а также при изме-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

Упругие диполи в кристаллических и стеклообразных алюминии. . .

313

FeNiCrCoCu оказывается равной нескольким процен-

там, как и предсказывает межузельная теория [3].

Заключение. Методами молекулярной динами-

ки и статики вычислены дипольные тензоры меж-

узельных дефектов и их кластеров в кристаллах Al

и FeNiCrCoCu. Наибольшие значения девиаторных

компонент дипольных тензоров наблюдаются в слу-

чае кластеров из 2-3 межузельных гантелей.

Для стекол Al и FeNiCrCoCu установлена кор-

реляция больших значений девиаторных компонент

дипольных тензоров атомов с низкочастотными осо-

беностями спектров их локальной колебательной

плотности состояний. Это может свидетельствовать

о принадлежности указанных атомов к дефектной

подсистеме стекол. Какая-либо корреляция девиа-

торных компонент дипольных тензоров упругих ди-

полей с локальной плотностью структуры не обнару-

жена.

Предложен новый подход к проблеме выделения

Рис. 6. (Цветной онлайн) Реакция упругих диполей де-

дефектной подсистемы в модельных стеклах, осно-

фектной подсистемы стеклообразного FeNiCrCoCu на

ванный на вычислении компонент дипольных тензо-

сдвиговую деформацию в плоскости рисунка. Синие

ров атомов. Показано, что выделенная предложен-

стрелки - ориентация осей упругих диполей при от-

ным методом дефектная подсистема представляет

сутствии деформации. Красные и зеленые стрелки со-

собой разветвленную сеть упругих диполей.

ответствуют деформациям ε = +10^-3 и ε = -10^-3 со-

Работа поддержана грантом Российского науч-

ответственно

ного фонда 20-62-46003.

нении ее знака, оси дипольных тензоров большин-

1. H. Fan, Z. Fan, X. Liu, Z. Lu, and E. Ma, Mater. Horiz.

ства атомов дефектной подсистемы заметно меня-

8, 2359 (2021).

ют направление. Такая реакция дефектной подсисте-

2. R. A. Konchakov, A. S. Makarov, N. P. Kobelev,

мы свидетельствует о том, что ее можно рассматри-

A. M. Glezer, G. Wilde, and V. A. Khonik, J. Phys.:

вать как распределенную сеть упругих диполей, эф-

Condens. Matter 31, 385703 (2019).

фективно взаимодействующих с приложенным сдви-

3. A. V. Granato, Phys. Rev. Lett. 68, 974 (1992).

говым напряжением. Следует отметить, что нами

4. V. Khonik and N. Kobelev, Metals 9, 605 (2019).

не обнаружена какая-либо корреляция между рас-

5. Р. А. Кончаков, А. С. Макаров, А. С. Аронин,

пределением упругих диполей в стекле и распре-

Н. П. Кобелев, В. А. Хоник, Письма в ЖЭТФ 113,

делениями областей пониженной или повышенной

341 (2021).

плотности.

6. W. Ingle, R. C. Perrin, and H. R. Schober, J. Phys. F:

Исходя из вышеизложенного, можно предложить

Met. Phys. 11, 1161 (1981).

следующий относительно простой способ выделения

7. C. Donati, J. F. Douglas, W. Kob, S. J. Plimpton,

в модельной аморфной системе тех групп атомов, ко-

P. H. Poole, and S. C. Glotzer, Phys. Rev. Lett 80, 2338

торые являются частью дефектной подсистемы. По

(1998).

формуле (3) каждому атому системы ставится в соот-

8. A. S. Nowick and B. S. Berry, Anelastic Relaxation in

ветствие тензор P^mij, для которого выделяется девиа-

Crystalline Solids, Academic, N.Y. (1972).

торная компонента. Строится распределение макси-

9. P. H Dederichs, C. Lehman, H. R. Schober, A. Scholz,

мальных девиаторных компонент дипольных тензо-

and R. Zeller, J. Nucl. Mater. 69-70, 176 (1978).

ров и выделяются атомы, формирующие “хвост” рас-

10. A. Makarov, G. Afonin, K. Zakharov, A. Vasiliev,

пределения, в котором значения девиаторных ком-

J. Qiao, N. Kobelev, and V. Khonik, Intermetallics 141,

понент в некоторое число раз и более превышают их

107422 (2022).

среднее значение (процедура оценки этого числа про-

11. J. Jäckle and K.-L. Jüngst, Z. Phys. B 30, 243 (1978).

иллюстрирована выше). Концентрация таких атомов

12. E. R. Grannan, M. Randeria, and J. P. Sethna, Phys.

для рассмотренных примеров стеклообразных Al и

Rev. B 41, 7784 (1990).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

3^∗