Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 6, с. 401 - 403

Качественное рассмотрение эффекта Шарнхорста

А. М. Ишханян^+∗, В. П. Крайнов^×1)

⁺Российско-Армянский университет, 0051 Ереван, Армения

^∗Институт физических исследований НАН Армении, 0203 Аштарак, Армения

^×Московский физико-технический институт, 141700 Долгопрудный, Россия

Поступила в редакцию 29 декабря 2021 г.

После переработки 21 января 2022 г.

Принята к публикации 17 февраля 2022 г.

Эффект Шарнхорста состоит в том, что фотон, летящий поперек щели между большими параллель-

ными друг другу проводящими пластинами, имеет скорость, немного превышающую скорость света в

вакууме вследствие поляризации системы. В статье приводится качественное рассмотрение этого эф-

фекта.

DOI: 10.31857/S123456782206009X

1. Введение. Флуктуационное поле электромаг-

параллельными проводящими пластинами (расстоя-

нитного вакуума проявляет себя в самых различ-

ние между пластинами равно a). Используем систему

ных задачах [1-5]. Так, ван-дер-ваальсово притяже-

единиц c = ℏ = m = 1. Рассмотрим кубик с длиной

ние между атомами и молекулами на расстояниях

грани L ≫ a, ограниченный со всех сторон проводя-

R, больших по сравнению с размерами атомов и мо-

щими пластинами. Без ограничения общности можно

лекул, есть следствие различных электромагнитных

считать L = 1. Все осцилляторы поля электромаг-

сил между телами. Эти силы обусловлены как непо-

нитного вакуума находятся в основном состоянии и

средственным взаимодействием зарядов, так и полем

энергия каждого осциллятора равна ω/2. Обсудим

электромагнитного вакуума. В случае R ≫ a_B/α, где

возможные длины стоячих волн в этом кубике. Мак-

a_B - боровский радиус, а α = e²/ℏc = 1/137 посто-

симальная длина волны, например, вдоль направле-

янная тонкой структуры, притяжение между атома-

ния X, равна 2 (т.е., на длине грани кубика укла-

ми создается именно полем электромагнитного ваку-

дывается полволны поперечного электрического по-

ума, которое производит поляризацию атомов [2, 3],

ля осциллятора, чтобы оно обращалось в нуль на

а не кулоновскими силами.

проводящих пластинах по известному условию для

Другой пример - это лэмбовский сдвиг в ато-

тангенциальных компонент поля). А произвольная

ме водорода [4]. Сдвиг энергии основного состояния

длина волны в этом направлении равна λ_n = 2/n_x,

атома водорода в α³ раз меньше его энергии из-за

где n_x - целое неотрицательное число. Соответству-

“дрожания” электрона [5] в поле электромагнитно-

ющее волновое число равно k_x

= 2π/λ_n = πn_x,

го вакуума (если не учитывать слабый логарифми-

n_x = 0, 1, 2, 3 . . . Следовательно, частота осциллято-√

ческий фактор). Квадрат напряженности электриче-

ра ω = π n^2x + n^2y + n^2z. Полная энергия поля элек-

ского поля вакуума оценивается как отношение лэм-

тромагнитного вакуума в кубике равна сумме энер-

бовского сдвига к объему атома водорода. Эта напря-

гий осцилляторов

женность имеет порядок величины 10⁶ В/см.

∑

√

Третий пример - это притяжение проводящих

ε₀ = π

n^2x + n^2y + n^2z =

пластин, параллельных друг другу, силами электро-

nx,ny ,nz

магнитного вакуума (сила Казимира [4]). Поляриза-

∫

∞

∫

∞

∫

∞

ция системы в этой задаче и рассматривается в дан-

dk_x

dk_y

dk_z √

ной статье.

k^2x + k^2y + k^2z.

(1)

2. Флуктуационное поле в задаче Казими-

ра. Сначала приведем упрощенный вывод энергии

Дополнительный фактор 2 возник из-за двух попе-

Казимира электромагнитного вакуума между двумя

речных поляризаций каждого фотона.

Теперь поместим еще одну проводящую пластину

¹⁾e-mail: vpkrainov@mail.ru

перпендикулярно оси Z на малом расстоянии a ≪ 1

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

401

402

А. М. Ишханян, В. П. Крайнов

от верхней плоскости рассматриваемого кубика. Вы-

Для вычисления суммы в (7) используем формулу

числим энергию ε(a) электромагнитного вакуума, за-

Эйлера-Маклорена

ключенную в малой области между этой пластиной

∞

∫

∑

и верхней плоскостью кубика. Аналогично (1) имеем

f (n_z) ≈ f(n_z)dn_z +

f (0)-

f^′(0)+

f^′′′(0).

720

∫∞

∫

∞

√

∑

)₂

nz =0

dk_x

(πn_z

ε(a) =

k^2x + k^2y +

(8)

nz =1

В данном случае

∫∞

)₃

dk_x

dk_y √

(πn_z

k^2x + k^2y.

(2)

f (n_z) = A^3/2 -

(9)

Следовательно,

Второе слагаемое в (2) отвечает значению n_z = 0.

Фактор 1/2 в этом слагаемом обусловлен тем, что

f (0) = A^3/2; f^′(0) = f^′′(0) = 0; f^′′′(0) = -6π³/a³.

при движении в двухмерной плоскости имеется толь-

(10)

ко одна поляризация фотона. Вводя полярные коор-√

Изменение энергии поля при внесении в кубик про-

динаты в плоскости (x, y) и обозначая κ = k^2x + k^2y,

водящей пластины равно Δε = ε(a) - ε₀(a). Оно обу-

перепишем выражение (2) в виде

словлено квантованием поля вдоль оси Z и порож-

дает силу, действующую между внесенной пластиной

∞

{

√

}

∫

∑

)₂

(πn_z

и пластиной на верхней плоскости кубика. Из фор-

ε(a) =

κdκ

κ² +

(3)

2π

мул (6)-(10) видно, что при вычитании происходит

nz =1

∫

взаимоуничтожение слагаемых

f (n_z)dn_z +¹² f(0) в

В соответствии с (3) характерная длина волны фо-

формуле Эйлера-Маклорена. При этом исчезает про-

тона в задаче Казимира порядка размера щели a.

извольное большое число A. Получаем

Коротковолновые фотоны устраняются при последу-

ющем вычитании энергии в отсутствие пластин.

π²cℏL²

Δε = -

(11)

Если проводящая пластина отсутствует, то энер-

720a³

гия поля электромагнитного вакуума в том же малом

Плотность энергии Казимира согласно (11) равна

объеме, очевидно, равна ε₀(a) = aε₀. Подставляя (1)

и заменяя κ² = u, получим

π²cℏ

W =-

(12)

∞

720a⁴

∫

√

ε₀(a) =

dk_z du

u+k^2z.

(4)

Далее в качественном подходе мы опустим все

4π²

численные факторы в зависимостях, сохраняя знаки

равенства вместо знака “равно по порядку величи-

Заменяя k_z = πn_z/a, перепишем (4) в виде

ны”. Плотность энергии Казимира (12) равна квад-

∫

∞

∫

∞

√

рату напряженности E флуктуационного электриче-

)₂

(πn_z

ε₀(a) =

dn_z du u +

(5)

ского поля электромагнитного вакуума. Таким обра-

√

4π

зом, получаем E =

cℏ/a². Например, для полости

с шириной a = 1 мкм, восстанавливая размерности,

Вычисляя элементарный интеграл в (5), находим

получим E = 100 В/см. Конечно, электрическое поле

∫

∞

{

}

различно на разных длинах волн. В соответствии со

)₃

(πn_z

ε₀(a) =

dn_z A^3/2 -

; A → ∞.

(6)

сказанным выше эта оценка относится к длине волны

6π

порядка размера щели.

3. Ненулевые температуры. Теперь обратимся

Величина A - верхний предел интегрирования по

к случаю ненулевой температуры [6]. В этом случае

переменной u. Аналогично вычисляем интеграл (3)

энергия осциллятора равна

по u:

)

∫

∞

{

√

∑

)₂

ε(ω) =

ω.

(13)

(πn_z

√u}

exp(ω/T) - 1

ε(a) =

4π

nz =0

Она получается из квантово-механической энергии

{

}

осциллятора (n + 1/2)ω подстановкой ее в распреде-

[

]

∑

)₃

(πn_z

A^3/2

ление Гиббса и суммированием по квантовым чис-

A^3/2 -

−

(7)

6π

лам n.

nz =0

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022

Качественное рассмотрение эффекта Шарнхорста

403

Мы рассматриваем идеальный газ фотонов ваку-

во втором порядке теории возмущений для основно-

ума с нулевым химическим потенциалом как сово-

го состояния. Определяем поляризацию (дипольный

купность независимых частиц, помещенных в тер-

момент единицы объема) P = ∂(δW )/∂E = -e⁴E³

мостат с температурой T . Под этими частицами мы

и диэлектрическую восприимчивость χ = ∂P/∂E =

понимаем частицы бозе-газа, находящихся в данном

= -e⁴E². Показатель преломления равен корню из

одночастичном квантовом состоянии, а под термо-

диэлектрической проницаемости. Поэтому получен-

статом - остальной газ. Таким образом, малая тем-

ная величина представляет собой малое отклонение

пературная поправка к энергии при T ≪ 1/a на ос-

показателя преломления от единицы: Δn = -e⁴E² =

нове (4) определяется вторым слагаемым в (13), т.е.

= -e⁴/a⁴.

∞

√

Речь идет о показателе преломления поперек ще-

∫

κ² + k^2z

ли. Вдоль щели показатель преломления строго ра-

δε₀(a, T) =

dk_z dκ

{

√

}

2π²

ℏc

вен единице в соответствии с лоренцевой инвариант-

exp

κ² + k²

-1

ностью к трансляции. Восстанавливая обычные еди-

(14)

Переходим в (14) к новым полярным координатам

ницы, получим:

)₄

κ = ksinα; k_z = kcosα. Тогда получаем

(e²)²( ℏ

Δn = -

(18)

∫

∞

∫

ℏc

mca

k³dk

δε₀(a, T) =

{_ℏck}

sin αdα.

(15)

Для ширины щели в полости a = 1 мкм отсюда полу-

2π²

exp

-1

чим оценку Δn = -10^-34. В расчетe всех поправок

второго порядка теории возмущений Шарнхорстом

Вычисляя, находим температурную поправку к энер-

гии:

[1] и (другим способом) Бартоном [8] численный фак-

π²aT⁴

тор в (18) оказался равным 0.013.

δε₀(a, T) =

(16)

Из (18) получаем, что фотон, летящий поперек

Для (безразмерной) теплоемкости электромагнитно-

щели, имеет скорость несколько больше, чем ско-

го вакуума, заключенного в области между пласти-

рость света в вакууме (эффект Шарнхорста), хотя

нами, получаем:

это превышение ничтожно мало. Конечно, речь идет

)₃ (

)₂

2π

ℏc

здесь о фазовой скорости. Для фактического распро-

C(T ) =

; T ≪T₀ =

(17)

T₀

странения такой волны ее длина должна быть мень-

ше ширины щели a, но, разумеется, много больше,

Отметим аналогию (17) с теплоемкостью кри-

чем для комптоновской волны.

сталла при низких температурах. Величина a в кри-

Работа выполнена при поддержке Российско-

сталле - это постоянная решетки, а T₀ - дебаевская

го фонда фундаментальных исследований (грант

температура.

#20-52-05012), Комитета по науке Армении (грант

4. Поляризация вакуума. Под действием низ-

#20RF-171) и Армянского национального фонда на-

кочастотного флуктуационного электрического поля

уки и образования (грант # PS-5701). Работа поддер-

электромагнитного вакуума электроны могут вир-

жана Министерством науки и Высшего образования

туально переходить из нижнего континуума (“моря

РФ (# FSMG-2021-0005).

Дирака”) в верхний континуум через щель в спек-

тре и обратно. В результате релятивистски инва-

1. K. Scharnhorst, Phys. Lett. B 236, 354 (1990).

риантная плотность лагранжиана электромагнитно-

2. Ю. С. Бараш, Силы Ван-дер-Ваальса, Наука, М.

го поля L = (E² - H²)/8π приобретает малую до-

(1988).

бавку (так называемый эффективный лагранжиан

3. А. М. Ишханян, В. П. Крайнов, ЖЭТФ 159, 1013

Гейзенберга-Эйлера [4, 7]). Эта добавка квадратична

(2021).

по релятивистским инвариантам, т.е. содержит ли-

4. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский,

нейную комбинацию (E² - H²)² и (EH)². Она носит

Квантовая электродинамика, 4-е изд., Физматлит,

общий характер и не связана с конкретными задача-

М. (2002).

ми.

5. А. Б. Мигдал, В. П. Крайнов, Приближенные мето-

Качественно такую малую радиационную поправ-

ды квантовой механики, Наука, М. (1966).

ку к плотности энергии Казимира (12) из-за поляри-

6. Sh.-I. Tadaki and Sh. Takagi, Progress of Theoretical

зации вакуума можно записать в виде δW = -e⁴E⁴.

Physics 75, 262 (1986).

Остальные факторы порядка единицы в использу-

7. W. Heisenberg and H. Euler, Z. Phys. 98, 714 (1936).

емой системе единиц c = ℏ = m = 1. Она отри-

8. G. Barton, Phys. Lett. B 237, 559 (1990).

цательна из-за отрицательности поправки к энергии

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 5 - 6

2022