Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 8, с. 469 - 473
© 2022 г. 25 апреля
Тормозное излучение при нерезонансном неупругом рассеянии
фотона атомным ионом
А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский1)
Ростовский государственный университет путей сообщения, 344038 Ростов-на-Дону, Россия
Поступила в редакцию 26 февраля 2022 г.
После переработки 20 марта 2022 г.
Принята к публикации 21 марта 2022 г.
Теоретически предсказаны аналитическая структура, абсолютные значения и угловая анизотропия
дважды дифференциального сечения тормозного излучения при нерезонансном неупругом рассеянии
рентгеновского фотона многозарядным гелиоподобным атомным ионом.
DOI: 10.31857/S1234567822080110, EDN: fmaddl
1. Введение. В рамках квантовой теории, на-
ческой симметрией основного состояния иона Si12+
чиная с работ Зоммерфельда, Бете и Гайтлера [1, 2]
и его предполагаемой доступностью в газовой фа-
и до настоящего времени, продолжаются исследова-
зе для проведения высокоточных экспериментов. В
ния (см., например, монографии [3, 4] и обзоры [5, 6])
частности, таким экспериментом может быть комби-
фундаментального в микромире эффекта тормозно-
нирование методов генерации многозарядных ионов
го излучения при рассеянии свободного электрона в
и их захвата в “ловушке” с последующим рассеянием
электрическом поле атома (атомного ядра). Наряду
излучения рентгеновского лазера на свободных элек-
с этим эффектом, фундаментальный интерес (напри-
тронах (XFEL; см., например, [17] и обзор [18]).
мер, для физики лабораторной [7] и астрофизиче-
2. Теория. Рассмотрим процессы нерезонансного
ской [8] плазмы) представляют эффекты тормозного
неупругого рассеяния фотона электронами гелиопо-
излучения, инициированные неупругим рассеянием
добного атомного иона:
фотона атомом (атомным ионом). В этом случае ам-
ω + [0] → 1sεl(1LJ) + ωC,
(1)
плитуды вероятности тормозного излучения [напри-
{
}
мер, излучение фотона электроном сплошного спек-
Ks
тра (рис. 1b) [4-6] и поляризация атома (атомного
ω + [0] → 1sxp(1P1) →
+ωC,
(2)
Kd
иона) электроном сплошного спектра с последующим
излучением фотона (рис. 1d) [3]] возникают как под-
Ks = 1sεs(1S0), Kd = 1sεd(1D2).
(3)
структуры полных амплитуд вероятности рассеяния.
В (1), (2) и далее принята атомная система единиц
Первое такое исследование проведено в работах ав-
(e = ℏ = me = 1), l ≥ 0, J = L, ω (ωC ) - энергия пада-
торов [9,10] для процесса однократного резонансного
ющего (рассеянного) фотона, x(ε) - энергия электро-
неупругого рассеяния [11-13] фотона многоэлектрон-
на сплошного спектра промежуточного (конечного)
ным атомом. В данном Письме мы проводим пер-
состояния рассеяния, x ∈ [0; ∞), ε = ω - I1s - ωC и
вое теоретическое исследование эффекта тормозного
I1s - энергия порога ионизации 1s2-оболочки иона.
излучения, инициированного однократным нерезо-
Рассеянию по каналу (1) соответствует нерезонанс-
нансным неупругим рассеянием [14-16] фотона мно-
ное комптоновское рассеяние (рис. 1a) по оператору
гозарядным атомным ионом. Такие исследования
контактного взаимодействия:
необходимы, в частности, для интерпретации фоно-
вых (континуальных) структур спектров рентгенов-
1
∑
Q=
An ·
An).
(4)
ской эмиссии многозарядных атомных ионов горя-
2c2
n=1
чей плазмы. В качестве объекта исследования взят
гелиоподобный ион атома кремния (Si12+; заряд яд-
Рассеянию по каналам (2) соответствует иницииро-
ра иона Z = 14; конфигурация и терм основного
ванное тормозное излучение (рис.1b) по оператору
состояния [0] = 1s2[1S0]). Выбор обусловлен сфери-
радиационного перехода:
∑
1
R
(pn ·
An),
(5)
1)e-mail: amnrnd@mail.ru
=-c
n=1
Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8
2022
469
470
А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский
Рис. 1. Амплитуды вероятности нерезонансного неупругого рассеяния фотона гелиоподобным атомным ионом (Si12+)
в представлении диаграмм Фейнмана: (a) - нерезонансное комптоновское рассеяние; (b) - тормозное излучение; (c) -
рассеяние “по-времени-назад”; (d) - поляризационное тормозное излучение. Стрелка вправо - электрон, стрелка вле-
во - вакансия. Двойная линия - состояние получено в Хартри-Фоковском поле 1s-вакансии. Волнистая линия - элек-
тростатическое взаимодействие. Черный (светлый) кружок - вершина взаимодействия по оператору радиационного
(контактного) перехода. ω (ωC ) - падающий (рассеянный) фотон. Направление времени - слева направо (t1 < t2 < t3)
где
An - оператор электромагнитного поля в пред-
комптоновского рассеяния (CS; рис. 1a, 2b) вне
ставлении вторичного квантования, pn - оператор
рамок дипольного приближения для
Q-оператора
импульса n-электрона иона, c - скорость света в ва-
получаем [15]:
кууме и N - число электронов в ионе. В данном
d2σCS
Письме при построении амплитуд вероятности рас-
≡σ(2)CS =r2ωC0
ηµC,
(6)
сеяния принято приближение Тамма-Данкова [19] с
dωC dΩC
ω
ограничением на число “частиц” (фотонов, электро-
∑
нов, вакансий) в рассечениях диаграмм Фейнмана
C =
(4l + 2)〈1s0|jl(qr)|εl+〉2,
(7)
максимальным значением N0 = 2. Например, ампли-
l=0
туда вероятности поляризационного тормозного из-
где ΩC - пространственный угол вылета рассеян-
лучения (рис. 1d) с N0 = 5 отброшена. Амплитуда ве-
ного фотона, r0 - классический радиус электрона,
роятности спонтанного рождения “частиц” до момен-
η = 〈1s0|1s+〉2/(27.21),
jl - сферическая функция
та поглощения падающего фотона (рис. 1c с N0 = 4)
Бесселя первого рода l-порядка, q = |k - kC| и k
в приближении Тамма-Данкова игнорируется. Заме-
(kC ) - волновой вектор падающего (рассеянного) фо-
тим, что проблема аналитического обоснования при-
тона. Индексы “0” и “+” соответствуют радиальным
ближения Тамма-Данкова и границ его применимо-
частям волновых функций электронов, полученных
сти остается открытой (см., например, [20] и ссылки
решением уравнений Хартри-Фока для конфигура-
там). Однако в нашем случае учет диаграмм Фейн-
ций начального ([0]) и конечного ([1s+]) состояний
мана лишь с N0 ≤ 2 в приближении Тамма-Данкова
иона. Как показал расчет, для иона Si12+ сумма в (7)
соответствует методу квантовомеханической теории
практически ограничена лишь слагаемым с l = 1, то-
возмущений. Именно отбрасывание, например, диа-
гда как вклад состояний с l = 1 исчезающе мал. Как
граммы Фейнмана на рис. 1d формально математи-
результат, квантовая интерференция каналов (1) и
чески обусловлено более высоким порядком мало-
(2) отсутствует. Аксиально-симметричный (относи-
сти этой диаграммы по сравнению с диаграммой на
тельно вектора k) параметр µ в (6) определяет (на-
рис. 1b. Конечно, можно предположить, что учет ре-
ряду с параметром q в
jl-функции Бесселя) эффект
зонансного рождения виртуальных электрона и ва-
угловой анизотропии нерезонансного комптоновско-
кансии в момент времени t2 < t3 (рис. 1d) даст описа-
го рассеяния. Он конкретизирован в соответствии с
ние физически значимого эффекта резонансного по-
тремя схемами предполагаемого эксперимента. Пер-
ляризационного тормозного излучения.
вая схема - векторы поляризации фотонов перпен-
Установим аналитические структуры дважды
дикулярны плоскости рассеяния (e, eC ⊥ P ). Вторая
дифференциальных сечений рассеяния по каналам
схема - векторы поляризации фотонов параллельны
(1) и
(2), используя методы алгебры операто-
плоскости рассеяния (e, eC ∥P ). Третья схема - схе-
ров рождения (уничтожения) фотонов, теории
ма с неполяризованными (NP) фотонами. Здесь P -
неприводимых тензорных операторов, теории неор-
плоскость рассеяния, проходящая через векторы k и
тогональных орбиталей (см., например, [20] и ссылки
kC. Как результат, имеем:
там) и приближение нулевой естественной ширины
распада 1s-вакансии. Для сечения нерезонансного
µ⊥ = 1,
(8)
Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8
2022
Тормозное излучение при нерезонансном неупругом рассеянии фотона атомным ионом
471
Рис. 2. (Цветной онлайн) Дважды дифференциальное сечение нерезонансного неупругого рассеяния фотона ионом
Si12+ для ⊥-схемы эксперимента: (a) - сечение тормозного излучения (ρ⊥ = 1); (b) - сечение нерезонансного компто-
новского рассеяния (µ⊥ = 1). Угол рассеяния θ = 90◦. ℏω (ℏωC ) - энергия падающего (рассеянного) фотона
µ∥ = cos2 θ,
(9)
следующие известные результаты. Первый. В при-
ближении нулевой естественной ширины распада 1s-
1
µNP =
(µ⊥ + µ∥),
(10)
вакансии для нулевой энергии рассеянного фото-
2
на возникает “инфракрасная расходимость” сечения
где θ - угол рассеяния (угол между векторами k и
тормозного излучения [11,12]:
kC). Для сечения тормозного излучения (BS; рис.1b,
рис. 2a) в дипольном приближении для
R-оператора
lim
σ(2)BS = ∞.
(17)
ωC→0
получаем:
σ(2)BS = r2 ωC0
ηρB,
(11)
Второй. При нулевой энергии электрона сплошно-
ω
го спектра конечного состояния рассеяния имеем
(
)2
4
ω
[рис. 2a; прямая ωC = ω - I1s на плоскости (ω; ωC )]:
B =
ε
1-
〈1s0|r|εp+〉2,
(12)
5
ωC
lim
σ(2)BS = 0.
(18)
ε→0
где параметр ρ определяет эффект угловой анизо-
тропии тормозного излучения и имеет вид:
Равенство (18) соответствует результату борновского
приближения для нерелятивистского дифференци-
ρ⊥ = 1,
(13)
ального сечения тормозного излучения электроном
в кулоновском поле ядра [21, 22]:
1
ρ∥ =
(1 + 2 cos2 θ),
(14)
3
dσ
(v1 +v2)
∼ ln
→0
(19)
1
dωC
v2 - v2
ρNP =
(ρ⊥ + ρ∥).
(15)
2
) - скорость налетающего (ухо-
при v2 → 0, где v1(v2
Сингулярная одноэлектронная амплитуда вероятно-
дящего) электрона. Как и следовало ожидать, наря-
сти тормозного излучения получена в форме ско-
ду с (17) и (18), сечение (11) удовлетворяет асимп-
рости в приближении плоских волн для радиаль-
тотическому условию: при ω → ∞ одноэлектронная
ных частей волновых функций электронов сплошно-
(
)1/4
√
амплитуда вероятности перехода 〈1s0|r|εp+〉 ∼ ω-7/4
2
го спектра: |x〉=
sin(r
2x) и, как результат,
π2x
и, как результат,
√
(x - ε)〈xp+|r|ε(s, d)+〉= i
2xδ(x - ε),
(16)
lim
σ(2)BS = 0.
(20)
ω→∞
где δ
- дельта-функция Дирака. Аналитическая
3. Результаты и обсуждение. Результаты рас-
структура сечения (11) качественно воспроизводит
чета представлены на рис. 2, 3. Для энергии порога
Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8
2022
472
А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский
Рис. 3. (Цветной онлайн) Индикатриса тормозного излучения для иона Si12+ с полярным радиусом σ(2)BS и полярным
углом θ при фиксированных значениях энергий падающего (ℏω = 6.70 кэВ) и рассеянного (ℏωC = 2.88 кэВ) фотонов.
Схема эксперимента: ⊥ (сплошная кривая), ∥ (штрих-пунктирная кривая), неполяризованные фотоны (пунктирная
кривая)
ионизации 1s2-оболочки иона Si12+ принято значе-
сеяние в направлении углов θ = 0◦, 180◦) тормозного
ние I1s = 2437.650 эВ [23]. Для энергий падающе-
излучения для ∥-схемы эксперимента и эксперимен-
го фотона рассмотрен диапазон ω ∈ (4.5; 15.0)кэВ.
та с неполяризованными фотонами. Этот результат
В этом диапазоне при расчете сечения тормозно-
качественно воспроизводит таковой работы [10] для
го излучения выполнен критерий применимости ди-
случая резонансного неупругого рассеяния фотона
польного приближения для
R-оператора: λω /〈r1s〉 ≫
многоэлектронным атомом. Отметим, что Ks- и Kd-
≫ 1 при, например, длине волны падающего фотона
состояния рассеяния в (3) дают сравнимые вклады в
λω = 1.852Å (ω = 6.70 кэВ; энергия Kα-линии эмис-
полное сечение рассеяния. При этом, игнорирование
сии Fe24+ [24]) и среднем радиусе 1s-оболочки иона
Kd-состояния приводит к обращению в нуль сечения
Si12+ 〈r1s〉 = 0.058Å.
тормозного излучения при угле рассеяния θ = 90◦
Результаты на рис. 2a демонстрируют тенден-
для ∥-схемы эксперимента.
цию сечения тормозного излучения к “инфракрасной
4. Заключение. Теоретически исследовано
расходимости” (17), выполнению асимптотического
дважды дифференциальное сечение нерезонансно-
условия (20) и его лидирующую роль в ближней за-
го неупругого рассеяния рентгеновского фотона
пороговой области (I1s < ω < 15 кэВ) полного сече-
многозарядным гелиоподобным атомным ионом.
ния рассеяния. При ω ≥ 15 кэВ лидирующим стано-
Установлены (a) лидирующая роль эффекта тор-
вится сечение нерезонансного комптоновского рассе-
мозного излучения в ближней запороговой области
яния (рис. 2b). Заметим, однако, что в ∥-схеме экс-
рассеяния и (b) ярко выраженный эффект угловой
перимента для угла рассеяния θ = 90◦ сечение нере-
анизотропии тормозного излучения в соответ-
зонансного комптоновского рассеяния обращается в
ствующих схемах предполагаемого эксперимента.
нуль (µ∥ = 0 ⇒ σ(2)CS = 0) и полное сечение рассеяния
Полученные результаты носят предсказательный
определено лишь эффектом тормозного излучения
характер. Их возможное обобщение, например, на
(ρ∥ = 1/3). Результаты на рис. 3 демонстрируют эф-
многозарядные ионы другого типа и многоэлек-
фект угловой анизотропии (преимущественное рас-
тронные атомы, переход к следующим порядкам
Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8
2022
Тормозное излучение при нерезонансном неупругом рассеянии фотона атомным ионом
473
приближения Тамма-Данкова, а также учет нену-
M. Szlachetko, J. Hoszowska, R. Barrett, M. Pajek, and
левой ширины спектрального разрешения XFEL-
A. Kubala-Kukus, Phys. Rev. A 75, 022512 (2007).
эксперимента (Γbeam
= 0.15-0.50 эВ [25]) являются
14. L. A. LaJohn, Phys. Rev. A 81, 043404 (2010).
предметом будущих исследований.
15. А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, ЖЭТФ 142,
453 (2012).
16. Ch.-K. Qiao, J.-W. Wei, and L. Chen, arXiv: 2103.
1. A. Sommerfeld, Ann. Phys. 11, 257 (1931).
04634 [cond-mat. other].
2. H. A. Bethe and W. Heitler, Proc. R. Soc. (London) Ser.
17. S. W. Epp, J. R. C. López-Urrutia, G. Brenner,
A 146, 83 (1934).
V. Mackel, P. H. Mokler, R. Treusch, M. Kuhlmann,
3. М. Я. Амусья, Тормозное излучение, Энергоатомиз-
M. V. Yurkov, J. Feldhaus, J. R. Schneider, M. Welhofer,
дат, М. (1990).
M. Martins, W. Wurt, and J. Ulrich, Phys. Rev. Lett.
4. E. Haug and W. Nakel, The Elementary Process of
98, 183001 (2007).
Bremsstrahlung, World Scientific, Singapure (2004).
18. P. Indelicato, J. Phys. B 52, 232001 (2019).
5. П. А. Крачков, Р. Н. Ли, А. И. Мильштейн, УФН 186,
19. A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory of
689 (2016).
Many-Particle Systems, McGraw-Hill, N.Y. (1971).
6. D. H. Jakubassa-Amundsen, arXiv:
2103.
06034
20. A. N. Hopersky, A. M. Nadolinsky, and S. A. Novikov,
[physics. atom-ph].
Phys. Rev. A 98, 063424 (2018).
7. P. Beiersdorfer, J. Phys. B 48, 144017 (2015).
21. H. W. Koch and J. W. Motz, Rev. Mod. Phys. 31, 920
8. S. Zhekov, M. Gagné, and S. L. Skinner, Mon. Not. R.
(1959).
Astron. Soc. 510, 1278 (2022).
22. V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii,
9. А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров,
Quantum Electrodynamics, Butterwort-Heinemann,
Письма в ЖЭТФ 111, 61 (2020).
Oxford (2008).
10. А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, И. Д. Петров,
23. W. C. Martin and R. Zalubas, J. Phys. Chem. Ref. Data
Р. В. Конеев, ЖЭТФ 158, 1032 (2020).
12, 323 (1983).
11. T.Åberg and J. Tulkki, in Atomic Inner-Shell Physics,
24. A. V. Malyshev, Y. S. Kozhedub, D. A. Glazov,
ed. by B. Crasemann, Plenum, N.Y. (1985), ch. 10,
I. I. Tupitsyn, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 99,
p. 419.
010501 (R) (2019).
12. P. P. Kane, Phys. Rep. 218, 67 (1992).
25. V. M. Kaganer, I. Petrov, and L. Samoylova, Acta
13. J. Szlachetko, J.-Cl. Dousse, M. Berset, K. Fennane,
Crystallogr. A 77, 1 (2021).
5
Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8
2022
