Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 10, с. 629 - 635

К вопросу об аномальной диссипации в плазме запыленной

экзосферы Луны

С. И. Попель¹⁾, А. П. Голубь

Институт космических исследований РАН, 117997 Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 марта 2022 г.

После переработки 14 апреля 2022 г.

Принята к публикации 14 апреля 2022 г.

Одной из основных особенностей, отличающих пылевую плазму от обычной (не содержащей заря-

женных пылевых частиц) плазмы, является аномальная диссипация, связанная с эффектом зарядки

пылевых частиц, приводящая к новым физическим явлениям, эффектам и механизмам. Рассматри-

вается процесс аномальной диссипации в контексте описания динамики пылевых частиц в пылевой

плазме лунной экзосферы. Получено уравнение, описывающее колебания пылевой частицы над лунной

поверхностью, затухание которых определяется частотой зарядки пылевых частиц, характеризующей

аномальную диссипацию. Проведено сравнение результатов, полученных в рамках разработанной ана-

литической модели динамики пылевых частиц и численных расчетов. Показано, что для пылевых частиц

с размерами порядка 0.1 мкм, т.е. наиболее крупных частиц, поднимающихся над поверхностью Луны в

результате электростатических процессов, аналитическая модель, описывающая процессы аномальной

диссипации в пылевой плазме, позволяет получить вполне адекватные результаты. Тем самым, проведе-

но доказательство важности процессов аномальной диссипации для случая пылевой плазмы в экзосфере

Луны.

DOI: 10.31857/S1234567822100056, EDN: dyrwkg

Основными особенностями, отличающими пыле-

обмен энергией пылевой компоненты с плазмой.

вую плазму от обычной (не содержащей заряженных

Однако, во всех перечисленных выше случаях, когда

пылевых частиц) плазмы, является возможность

делаются утверждения об аномальной диссипации,

самоорганизации, приводящей к формированию

связанной с процессами зарядки пылевых частиц,

макроскопических структур таких, как плазменно-

имеются проявления этого эффекта, характеризую-

пылевой кристалл, плазменно-пылевые облака,

щие поведение пылевой плазмы. Схожая ситуация

капли и т.д. [1-4], и, кроме того, возникновение

возникает в контексте описания динамики пылевых

аномальной диссипации, приводящей к новым фи-

частиц в пылевой плазме в лунной экзосфере, когда

зическим явлениям, эффектам и механизмам [5-8].

аномальная диссипация, связанная с процессами

В природных условиях формирование плазменно-

зарядки пылевых частиц, может приводить к зату-

пылевых кристаллов, как правило, невозможно, и

ханию осцилляций при движении пылевой частицы

основное внимание следует уделять аномальной дис-

над лунной поверхностью, о чем упоминалось в

сипации, связанной с процессами зарядки пылевых

работе [11]. При этом подход, применяемый в [11] и

частиц. Именно такого рода аномальная диссипация

использующий исключительно численные методы,

ответственна за образование нового вида ударных

не позволяет выделить в явном виде этот эффект и,

волн, которые важны в физике комет, атмосфере

соответственно, доказать утверждение о важности

Земли во время активных экспериментов, при описа-

аномальной диссипации при формировании траек-

нии первичной Земли и т.д. [9]. Эффекты, связанные

торий пылевых частиц. Целью настоящей работы

с процессами зарядки пылевых частиц важны при

является разработка аналитического описания дви-

описании модуляционной неустойчивости в пылевой

жения пылевых частиц над лунной поверхностью,

плазме [5], при рассмотрении слабозатухающих со-

иллюстрирующего важность аномальной дисси-

литонов [10]. Хорошо известно, что в пылевой плазме

пации, связанной с процессами зарядки пылевых

электроны и ионы поглощаются на поверхности пы-

частиц, а также позволяющего проведение аналити-

левой частицы, поэтому, естественно, происходит

ческих оценок, характеризующих свойства пылевой

плазмы над лунной поверхностью. В работе будет

использовано несколько упрощенное (по сравнению

¹⁾e-mail: popel@iki.rssi.ru

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022

629

630

С. И. Попель, А. П. Голубь

с работой [11]) описание, но позволяющее при этом

разрежена [18, 25], поэтому влиянием соседних пы-

получение качественных результатов, характери-

левых частиц друг на друга можно пренебречь. Та-

зующих движение заряженной пылевой частицы и

ким образом, динамика заряженной пылевой части-

свойства пылевой плазмы над Луной.

цы над поверхностью Луны определяется уравнени-

Важность и своевременность данного исследова-

ем, описывающим второй закон Ньютона, в котором

ния связана с тем фактом, что одной из ключевых

учтены электростатическая сила и сила тяжести:

проблем физики пылевой плазмы в настоящее вре-

d²r_d

мя является ее исследование в окрестностях Луны

m_d

=q_dE + m_dg₀.

(1)

dt²

[12-18]. В 2013 году в Соединенных Штатах Амери-

ки была осуществлена миссия NASA LADEE (“Lunar

Здесь m_d - масса пылевой частицы, r_d - ее радиус-

Atmosphere and Dust Environment Explorer” - “Ис-

вектор, t - время, E - электрическое поле, q_d - заряд

следователь лунной атмосферы и пылевой среды”)

пылевой частицы, g₀ - ускорение свободного паде-

[19, 20], в рамках которой лунная пыль изучалась

ния вблизи лунной поверхности. При этом плазма,

посредством наблюдений с орбиты. У поверхности

окружающая пылевую частицу, влияет на парамет-

Луны пыль изучалась в рамках миссии Китайской

ры, содержащиеся в правой части уравнения (1), и

Народной Республики Chang’E-3 [21]. В России го-

прежде всего на заряд пылевой частицы. Уравнение,

товятся лунные миссии “Луна-25”, “Луна-26”, “Луна-

описывающее ее зарядку, имеет вид:

27” [18, 22] (причем запуск “Луны-25” планируется

dq_d

на июль 2022 г.), в задачи которых входят иссле-

= I_e(q_d) + I_i(q_d) - I_ph(q_d) + I_e,ph(q_d),

(2)

дования свойств пыли и пылевой плазмы над лун-

ной поверхностью и на орбите вокруг Луны. Про-

где I_e(q_d) и I_i(q_d) - микроскопические токи элек-

тронов и ионов солнечного ветра на пылевую части-

ект Международной лунной исследовательской стан-

ции (International Lunar Research Station), в котором

цу, I_ph(q_d) - фототок электронов с пылевой части-

цы, обусловленный взаимодействием ее поверхности

участвуют, в частности, китайские и российские уче-

ные, также предполагает исследования лунной пы-

с солнечным излучением, I_e,ph(q_d) - ток фотоэлек-

ли. Соответственно проводятся и теоретические ис-

тронов, окружающих пылевую частицу, на нее. Вы-

следования, в рамках которых обычно в качестве пы-

ражения для указанных токов имеют вид:

левой компоненты над поверхностью Луны рассмат-

√

(

)

8T_eS

Z_de²

ривают частицы лунного реголита [23], поднятые ли-

Ie ≈ -πa²eneS

(3)

πm_e

aT_eS

бо в результате электростатических процессов, либо

вследствие ударов метеороидов [18]. И те, и другие

√

пылевые частицы вносят вклад в “запыленную” экзо-

T_iS

u_Ti

Ii ≈ πa²eniS

сферу Луны. Наиболее “мощная” плазменно-пылевая

2πm_i u_i

{

экзосфера сосредоточена над обращенной к Солн-

(

)

u_i + u₀

(u_i - u₀)²

цу стороной Луны, которая находится под действием

exp

u_Ti

2u²

солнечного излучения. В ней важную роль приобре-

(

)}

тает фотоэффект, за счет которого освещенная сол-

u_i - u₀

(u_i + u₀)²

exp

нечным светом поверхность Луны приобретает поло-

u_Ti

2u²

жительный заряд [24]. В результате пылевая плазма

{

√

)

T_iS

u_Ti

(u_i + u₀

над освещенной стороной Луны содержит левитиру-

+ πa²eniS

erf

√

ющие пылевые частицы, фотоэлектроны, поступаю-

4m_i u_i

2u_Ti

)

щие в экзосферу в результате фотоэмиссии с лунной

)}(

(u_i - u₀

2Z_de²

u²ⁱ

поверхности и с поверхностей левитирующих пыле-

+ erf

√

(4)

2u_Ti

aT_iS

u²

вых частиц. Определенную роль при формировании

пылевой плазмы могут также играть электроны и

√

ионы солнечного ветра.

T_e,ph

Iph ≈ -πa²eN0

Рассмотрим ситуацию, когда Луна не находится в

2πm_e

(

) (

)

хвосте магнитосферы Земли, что соответствует при-

Z_de²

× 1+

exp

(5)

мерно трем четвертям движения Луны вдоль ее ор-

aT_e,ph

биты. В этом случае влияние магнитного поля на

√

(

)

движение пылевых частиц учитываться не должно.

e,ph

Z_de²

Ie,ph ≈ -πa²

en_e,ph

(6)

Приповерхностная пылевая плазма у Луны довольно

πm_e

aT_e,ph

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022

К вопросу об аномальной диссипации в плазме запыленной экзосферы Луны

631

Здесь a - размер пылевой частицы, Z_d - ее заря-

Аномальную диссипацию в пылевой плазме ха-

довое число (qd = Zde), e - элементарный заряд,

рактеризует так называемая частота зарядки пыле-

n_e(i)S - концентрация электронов (ионов) солнечно-

вых частиц, определяемая из соотношения:

го ветра, Te(i)S - температура электронов (ионов)



dδq_d

∂(I_e(q_d)+I_i(q_d)-I_ph(q_d)+I_e,ph(q_d))



солнечного ветра, me(i) - масса электрона (иона),

≈



√

∂q_d



q_d=q_d0

u₀ =

2Z_de²/am_i, u_Ti =

T_iS/m_i - тепловая ско-

× δq_d ≡ -ν_qδq_d,

(8)

рость ионов солнечного ветра, u_i - скорость сол-

нечного ветра, T_e,ph - температура фотоэлектронов,

где q_d0 - равновесный заряд пылевой частицы, яв-

N₀ - концентрация фотоэлектронов у поверхности

ляющийся решением уравнения I_e(q_d0) + I_i(q_d0) -

Луны на экваторе, а n_e,ph - концентрация фотоэлек-

-I_ph(q_d0)+I_e,ph(q_d0) = 0, δq_d = q_d-q_d0. Фактически,

тронов в зависимости от высоты над лунной поверх-

частота ν_q определяет время релаксации зарядов к

ностью для данной лунной широты. Выражения (3)-

равновесным значениям при малых отклонениях от

(6) справедливы для случая положительных заря-

равновесных значений.

дов пылевых частиц. Выражение (5) для тока I_ph не

Используя выражения (3)-(6), находим

содержит множителя, содержащего характеристики

(

) (

)

спектров излучения, что оказывается возможным в

av_Te,ph

Z_d0e²

ν_q ≈

√

exp

ситуации, когда поверхности пылевых частиц и по-

2π λ^2D

aT_e,ph

верхность Луны имеют одинаковую работу выхода

av_TeS

√

(9)

фотоэлектронов W. В этой ситуации указанный мно-

2π λ²

DeS

житель удается выразить через значение N₀. Систе-

√

где v_Te,ph =

T_e,ph/m_e, v_TeS =

T_eS/m_e, λ_DeS =

ма уравнений (1)-(6) впервые использовалась для

√

T_eS/4πn_eSe². Для того, чтобы не слишком

изучения пылевой плазмы над освещенной частью

усложнять выражение для ν_q, при выводе (9) прене-

Луны в работе [15]. Выражения для токов электро-

брегали током ионов солнечного ветра (4), что ока-

нов и ионов в этой системе уравнений получены

зывается возможным, поскольку для условий пыле-

в рамках вычислений, основанных на методах зон-

вой плазмы над поверхностью Луны данный ток, как

довой модели (orbital motion limited (OML) model)

правило, наименьший по абсолютной величине среди

[26, 27].

токов (3)-(6).

При решении уравнений (1)-(2) необходимо учи-

С помощью уравнения (8) можно получить сле-

тывать следующее выражение для вертикальной

дующее соотношение:

компоненты электрического поля E, формируемого

заряженной поверхностью Луны, в зависимости от

q_d(a, t) = q_d0(a) + δq_d0(a)exp(-ν_q(a)t).

(10)

высоты h над ее поверхностью:

Подставляя это соотношение в (1), получаем

√

²h

2T_e,ph

cosθ/2

(11)

E(h, θ) =

√

(7)

m_d dt2⁼

e λ_D +h

cosθ/2

= q_d0(a)E(h) - m_dg₀ + δq_d0(a)E(h)exp(-ν_q(a)t).

√

Введем равновесное значение высоты h₀, соответ-

где λ_D =

T_e,ph/4πN₀e² - дебаевский радиус фо-

тоэлектронов у поверхности Луны, θ - угол между

ствующее уравнению q_d0(a)E(h₀)-m_dg₀ = 0, а также

отклонение высоты от этого значения δh = h - h₀.

местной нормалью и направлением на Солнце. Отме-

тим, что угол θ для гладкой лунной поверхности (без

Рассмотрим малые значения δh (|δh| ≪ h₀) и зна-

чения δq_d0, удовлетворяющие следующим неравен-

холмов и впадин) примерно равен лунной широте.

Это вызвано тем, что угол, образованный осью Луны

ствам:

√

и плоскостью эклиптики, составляет всего 1.5424^◦.

1 ≫ |δq_d0/q_d0| ≫ |δh

cosθ/2/λ_D|.

(12)

Выражение (7) получено в результате совместно-

го решения кинетического уравнения для фотоэлек-

Тогда имеем

тронов и уравнения Пуассона. Зависимость электри-

d²h

ческого поля от угла θ в выражении (7) обусловле-

(13)

m_d dt2≈δqd0(a)E(h0)exp(-νq(a)t).

на изменением числа фотонов, которые поглощаются

Следствием соотношения (13) является:

единицей поверхности Луны, в зависимости от угла

θ. Распределение электрического поля, аналогичное

δq_d0(a)E(h₀)exp(-ν_q(a)t)

≈-

(14)

(7), получено в работах [28, 29].

m_dν_q(a)

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022

632

С. И. Попель, А. П. Голубь

Комбинируя (11) и (14), а также учитывая только

аналитический подход, приведенный в данной рабо-

линейные слагаемые по возмущениям δh, получаем

те, позволяет качественно описать траекторию дви-

следующее уравнение:

жения пылевой частицы. При этом в рамках указан-



ного аналитического подхода удается наглядно про-

d²δh

dδh

q_d0(a) ∂E(h)



демонстрировать природу затухания осцилляций пы-

+ ν_q(a)

δh.

(15)



dt²

m_d

∂h

левой частицы, связанную с аномальной диссипаци-

h=h0

ей в пылевой плазме, обусловленной процессами за-

Используя выражение (7) для электрического поля

рядки пылевых частиц.

E(h), находим

Характерное время t_d0 затухания колебаний пы-

левой частицы можно определить как время, начи-

d²δh

dδh

+ ν_q(a)

+ ω²⁰δh = 0,

(16)

ная с которого все последующие колебания зависи-

dt²

мости h_d(t) имеют максимальные значения высоты

где

подъема пылевой частицы над поверхностью Луны,

Z_d0T_e,ph cosθ

ω²⁰ =

√

(17)

меньшие величины h^∗, определяемой из соотноше-

m_d(λ_D + h₀

cosθ/2)²

ния:

)

(h_d,max -h_d0

где Z_d0 = q_d0/e - равновесное зарядовое число пыле-

= 1,

(19)

h^∗ - h_d0

вой частицы.

Уравнение (16) является уравнением, описываю-

где h_d,max - максимум функции h_d(t) для первого

щим затухающие колебания пылевой частицы. Его

колебания. На рисунке 2 приведено сравнение зави-

решение, удовлетворяющее условию h(0) = 0, имеет

симости от радиуса пылевой частицы времени t_d0

вид:

затухания колебаний пылевой частицы, вычислен-

h = h₀(1 - exp(-ν_q(a)t/2)cos(ωt)),

(18)

ной на основе решения системы уравнений (1)-(2),

√

и величины 2/ν_q, фактически соответствующей это-

где ω = ω²⁰ - (1/4)ν^2q. Из (16) и (9) видно, что за-

му же времени, но в рамках уравнения (16). Из ри-

тухание колебаний пылевой частицы связано с про-

сунка 2 видно, что кривая 2/ν_q(a) смещена влево от-

цессами зарядки пылевых частиц.

носительно кривой t_d0(a). Данный факт обусловлен

В проводимых ниже вычислениях используются

тем, что предложенный аналитический подход спра-

значения T_eS

= 12 эВ, T_iS

= 6эВ, n_eS

= n_iS

ведлив лишь при достаточно больших значениях раз-

= 8.7 см^-3, u_i = 468 км/с, характеризующие солнеч-

мера частиц a. Действительно, данный подход пред-

ный ветер, а также величины N₀ и T_e,ph, рассчитан-

полагает достаточно большие значения вариации за-

ные [30] для условий приповерхностного слоя осве-

рядов пылевых частиц δq_d0 (см. (12)). Заметные ва-

щенной части Луны при солнечной активности, соот-

риации зарядов частиц возможны лишь на не очень

ветствующей солнечному максимуму: N₀ = 290 см^-3,

больших высотах, когда существенный вклад в пра-

T_e,ph = 1.9 эВ. На рисунке 1 представлены зависимо-

вую часть уравнения (2) вносит слагаемое I_e,ph(q_d),

сти, характеризующие траекторию движения пыле-

представляющее собой ток фотоэлектронов, окружа-

вой частицы радиуса a = 0.105 мкм с переменным

ющих пылевую частицу, на нее. На рисунке 3 пред-

зарядом при θ = 87^◦, вычисленные на основе реше-

ставлена зависимость от радиуса пылевой частицы

ния системы уравнений (1)-(2) (a) и уравнения (16)

отношения тока электронов солнечного ветра I_e(q_d)

(b). Размер 0.105 мкм выбран в связи с тем, что этот

к току I_e,ph(q_d), вычисленному для равновесных за-

размер близок к максимальному размеру пылевых

рядов пылевых частиц. Видно, что вклад тока фото-

частиц, которые могут подниматься над освещенной

электронов существенен лишь при достаточно боль-

частью поверхности Луны за счет электростатиче-

ших значениях a. С уменьшением размера пыле-

ских процессов в рассматриваемых условиях (так,

вой частицы влияние фотоэлектронов от поверхно-

например частицы с размерами, большими или рав-

сти Луны уменьшается, и ее заряд определяется, в

ными 0.106 мкм, в этих условиях уже не могут под-

основном, током электронов солнечного ветра I_e(q_d)

ниматься за счет электростатических процессов над

и фототоком I_ph(q_d) электронов с пылевой частицы,

поверхностью Луны). Именно поднимающиеся час-

обусловленным взаимодействием поверхности пыле-

тицы с максимально возможными размерами важны

вой частицы с солнечным излучением. При этом за-

с точки зрения будущих наблюдений на спускаемых

ряд пылевой частицы при ее движении практически

аппаратах миссий “Луны-25” и “Луны-27”.

не меняется. В этом случае уравнение, являющееся

Период колебаний на рис.1a составляет 26.8 с, то-

следствием (1) и описывающее малые колебания пы-

гда как на рис. 1b - 11.3 с. Видно, что упрощенный

левой частицы, имеет вид:

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022

634

С. И. Попель, А. П. Голубь

можности использования приближения левитирую-

щих пылевых частиц для описания окололунной пы-

левой плазмы, т.е. частиц, для которых можно счи-

тать, что имеет место баланс между действующи-

ми на частицу электростатической и гравитационной

силами (см., например, [11, 31, 32]), или же прояв-

ления динамических эффектов (например, осцилля-

ций) существенны. Поскольку здесь рассматривает-

ся формирование пылевой плазмы над освещенной

частью Луны, приведенный здесь подход позволяет

получить достаточно простое условие, при котором

можно рассматривать пылевые частицы над Луной

левитирующими:

2/ν_q(a) ≪ T_M,

(21)

где T_M ∼ 10⁶ с - половина синодического месяца,

т.е. около 14 земных суток и 18 ч. Время T_M харак-

Рис. 2. Зависимости от радиуса a пылевой частицы вре-

теризует продолжительность светлого времени су-

мени t_d0 и величины 2/νq

ток на Луне. Условие (21) означает, что осцилля-

ции частицы успевают затухнуть гораздо быстрее,

чем закончится лунный день, т.е. можно рассмат-

ривать пылевую частицу, левитирующей большую

часть времени существования пылевой плазмы над

освещенной частью Луны. В рассматриваемых усло-

виях неравенство (21) выполнено для размеров час-

тиц ∼ 0.001 ≤ a ≤ 0.105 мкм, т.е. подавляющее число

пылевых частиц над лунной поверхностью становят-

ся левитирующими за время лунных суток. Соглас-

но численным вычислениям с помощью более точной

модели (1)-(2) количество таких частиц составляет

около 83 % [11].

Рис. 3. Зависимость от радиуса a пылевой частицы от-

Итак, рассмотрен процесс аномальной диссипа-

ношения тока электронов солнечного ветра Ie(qd) к то-

ции в пылевой плазме, связанный с эффектом за-

ку фотоэлектронов от поверхности Луны I_e,ph(q_d), вы-

рядки пылевых частиц, в контексте описания дина-

численному для равновесных зарядов пылевых частиц

мики пылевых частиц в лунной экзосфере. Получе-

но уравнение, описывающее колебания пылевой час-

соответствует ситуации, когда ток фотоэлектронов

тицы над лунной поверхностью, затухание которых

от лунной поверхности становится меньше примерно

определяется частотой зарядки пылевых частиц, ха-

одной десятой тока электронов солнечного ветра (см.

рактеризующей аномальную диссипацию. Проведено

рис. 3). Таким образом, с помощью уравнения (16)

сравнение результатов, полученных в рамках разра-

возможно качественное описание осцилляций пыле-

ботанной аналитической модели динамики пылевых

вых частиц, имеющих достаточно крупные размеры

частиц и численных расчетов. Показано, что для пы-

(a ∼ 0.1 мкм). Отметим, что в этой области размеров

левых частиц с размерами порядка 0.1 мкм, т.е. наи-

a величины t_d0 и 2/ν_q достаточно близки. И именно

более крупных (и важных) частиц, поднимающих-

частицы таких размеров подвержены осцилляциям,

ся над поверхностью Луны в результате электроста-

природа которых связана с аномальной диссипацией

тических процессов [11, 18, 25], аналитическая мо-

в пылевой плазме, обусловленной процессами заряд-

дель, описывающая процессы аномальной диссипа-

ки пылевых частиц.

ции в пылевой плазме, позволяет получить вполне

Отметим, что приведенный подход в ряде случа-

адекватные результаты. Тем самым, проведено дока-

ев оказывается полезным для качественного описа-

зательство важности процессов аномальной диссипа-

ния свойств пылевой плазмы над лунной поверхно-

ции для случая пылевой плазмы в экзосфере Луны.

стью. Так, например, проводятся дискуссии о воз-

Методика, развитая в настоящей работе, полезна для

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022

К вопросу об аномальной диссипации в плазме запыленной экзосферы Луны

635

анализа плазменно-пылевых систем в окрестностях

17.

Т. М. Буринская, Физика плазмы 40, 17 (2014).

других безатмосферных тел Солнечной системы та-

18.

S. I. Popel, A. P. Golub’, L. M. Zelenyi, and A. Yu.Du-

ких, как спутники Марса (см., например, [33]), Мер-

binskii, Planet. Space Sci. 156, 71 (2018).

курий, кометы и т.д.

19.

M. Horányi,

Z. Sternovsky, M. Lankton, C. Dumont,

S. Gagnard, D.Gathright, E. Grün, D.Hansen,

D. James,

S. Kempf,

B. Lamprecht,

R. Srama,

В. Н. Цытович, УФН 167, 57 (1997).

J. R. Szalay, and G. Wright, Space Sci. Rev.

185,

В. Е. Фортов,

А. Г. Храпак,

С. А. Храпак,

93 (2014).

В. И. Молотков, О. Ф. Петров, УФН

174,

495

20.

M. Horányi, J. R. Szalay, S. Kempf, J. Schmidt, E. Grün,

(2004).

R. Srama, and Z. Sternovsky, Nature 522, 324 (2015).

V.N. Tsytovich, G. E. Morfill, S. V.Vladimirov, and

21.

D. Li, Y.Wang, H.Zhang et al. (Collaboration),

H.M. Thomas, Elementary Physics of Complex

Geophys. Res. Lett. 47, e2020GL089433 (2020).

Plasmas, Springer, Berlin (2008).

22.

I. A. Kuznetsov, S.L. G. Hess, A. V. Zakharov, F. Cip-

В. Е. Фортов,

Ю. М. Батурин,

Г. О. Морфилл,

riani, E. Seran, S. I. Popel, E. A. Lisin, O. F. Petrov,

О. Ф. Петров, Плазменный кристалл, Космические

G. G. Dolnikov, A. N. Lyash, and S. I. Kopnin, Planet.

эксперименты, Физматлит, М. (2015).

Space Sci. 156, 62 (2018).

S. Benkadda and V. N. Tsytovich, Phys. Plasmas 2, 2970

23.

J. E. Colwell, S. Batiste, M. Horányi, S. Robertson, and

(1995).

S. Sture, Rev. Geophys. 45, RG2006 (2007).

S. I.Popel, M. Y.Yu, and V. N. Tsytovich, Phys.

Plasmas 3, 4313 (1996).

24.

E. Walbridge, J. Geophys. Res. 78, 3668 (1973).

V.N. Tsytovich, Aust. J. Phys. 51, 763 (1998).

25.

С. И. Попель, С. И. Копнин, А. П. Голубь, Г. Г. Доль-

С. И. Попель, А. П. Голубь, Т. В. Лосева, Письма в

ников, А.В. Захаров, Л.М. Зеленый, Ю. Н. Извекова,

ЖЭТФ 74, 396 (2001).

Астрономический вестник 47, 455 (2013).

S. I.Popel and A.A. Gisko, Nonlinear Process. Geophys.

26.

F. F. Chen, in Plasma Diagnostic Techniques, ed. by

13, 223 (2006).

R. H.Huddlestone and S. L. Leonard, Academic, N.Y.

10.

S. I.Popel, A.P. Golub’, T. V. Losseva, A. V. Ivlev,

(1965), ch. 4.

S. A.Khrapak, and G. Morfill, Phys. Rev. E 67, 056402

27.

M. S. Barnes, J. H. Keller, J. C. Forster, J. A. O’Neill,

(2003).

and D. K. Coultas, Phys. Rev. Lett. 68, 313 (1992).

11.

S. I.Popel, A. P. Golub’, A. I. Kassem, and L. M. Zelenyi,

28.

R. J. L. Grard and J. K.E. Tunaley, J. Geophys. Res. 76,

Phys. Plasmas 29, 013701 (2022).

2498 (1971).

12.

T. J. Stubbs, R. R. Vondrak, and W. M. Farrell, Adv.

29.

Е. К. Колесников, А. С. Мануйлов, Астрономический

Space Res. 37, 59 (2006).

журнал 59, 996 (1982).

13.

Z. Sternovsky, P. Chamberlin, M. Horányi, S. Robertson,

30.

С. И. Попель, А. П. Голубь, Ю. Н. Извекова,

and X. Wang, J. Geophys. Res. 113, A10104 (2008).

В. В. Афонин, Г. Г. Дольников, А. В. Захаров,

14.

T. J. Stubbs, D. A. Glenar, W. M. Farrell, R. R. Vondrak,

Л. М. Зеленый, Е. А. Лисин, О. Ф. Петров, Письма

M. R. Collier, J. S. Halekas, and G. T. Delory, Planet.

в ЖЭТФ 99, 131 (2014).

Space. Sci. 59, 1659 (2011).

31.

J. E. Colwell, S. R. Robertson, M. Horányi, X. Wang,

15.

А.П. Голубь, Г. Г. Дольников, А. В. Захаров, Л. М. Зе-

A. Poppe, and P. Wheeler, J. Aerosp. Eng. 22, 2 (2009).

леный, Ю. Н. Извекова, С. И. Копнин, С. И. Попель,

32.

S. K. Mishra and A. Bhardwaj, Astrophys. J. 884, 5

Письма в ЖЭТФ 95, 198 (2012).

(2019).

16.

Е. А. Лисин, В. П. Тараканов, О. Ф. Петров, С. И. По-

33.

А. П. Голубь, С. И. Попель, Письма в ЖЭТФ 113, 440

пель, Г. Г. Дольников, А. В. Захаров, Л. М. Зеленый,

В. Е. Фортов, Письма в ЖЭТФ 98, 755 (2013).

(2021).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 9 - 10

2022