Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 1, с. 41 - 45

О сильном влиянии нерезонансных трехволновых взаимодействий

на насыщение низкопороговой параметрической распадной

неустойчивости

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов¹⁾

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 26 апреля 2022 г.

После переработки 11 мая 2022 г.

Принята к публикации 13 мая 2022 г.

Показано, что нерезонансное трехволновое взаимодействие между запертыми в плазме дочерни-

ми волнами, сопровождающееся возбуждением сильнозатухающих вынужденных колебаний, оказывает

значительное влияние на нелинейную эволюцию низкопороговой параметрической распадной неустой-

чивости, приводя к ее насыщению в результате каскада последовательных низкопороговых распадов. В

результате может существенно снижаться аномальное поглощение СВЧ волны накачки при электронном

циклотронном нагреве плазмы в тороидальных установках с магнитным удержанием.

DOI: 10.31857/S1234567822130067, EDN: iwwtee

1. Введение. В преддверие физического пус-

ют в области нелинейного взаимодействия распад-

ка токамака ITER, который, как ожидается, про-

ным условиям. В общем случае, одна из дочерних

демонстрирует возможность осуществления управ-

волн - это локализованная в локальном максимуме

ляемого термоядерного горения, фокус исследова-

плотности верхняя гибридная (ВГ) волна, для кото-

ний в области термоядерного синтеза смещается

рой конвективный вынос энергии вдоль направления

в сторону детального анализа методов, необходи-

неоднородности полностью подавлен и сохраняются

мых для успешного управления разрядом. В част-

только слабые дифракционные потери в плоскости

ности, проводятся подробные исследования поведе-

локализации нагревного пучка [7, 8]. Адекватность

ния мощных пучков СВЧ волн, которые используют-

этого сценария низкопорогового распада подтвер-

ся при электронном циклотронном резонансном на-

ждена в численных расчетах [9] и недавних ЭЦРН

греве (ЭЦРН) плазмы для локальной модификации

экспериментах на ведущих тороидальных установ-

профиля тока с целью стабилизации неоклассиче-

ках для удержания плазмы ASDEX-Upgrade [10] и

ской тиринг-неустойчивости. К настоящему времени

Wendelstein 7-X [11], где обнаружена ПРН пучка

в экспериментах по ЭЦРН накоплено большое коли-

СВЧ волн при его прохождении через область плаз-

чество данных, указывающих на нелинейный харак-

мы с немонотонным профилем плотности, возник-

тер поведения СВЧ волн. А именно, в ЭЦРН экспе-

шим в силу различных причин. В работах [12-16] бы-

риментах наблюдались аномальное рассеяние назад

ло изучено насыщение этой низкопороговой ПРН за

пучков накачки [1], явное уширение профиля энер-

счет каскада последовательных низкопороговых рас-

говыделения СВЧ мощности [2,3], а также сопут-

падов первичной ВГ волны, приводящего к появле-

ствующее присутствию СВЧ волн ускорение ионов

нию вторичных локализованных ВГ волн и ионных

[4] и излучение плазмы на субгармониках частоты

бернштейновских (ИБ) волн. Было показано, что в

внешнего генератора (гиротрона) [5]. Обнаруженные

случае нечетного числа ступеней каскада вторич-

аномальные явления оказалось возможным интер-

ных распадов неустойчивость насыщается на срав-

претировать как результат развития низкопороговой

нительно невысоком уровне, что приводит к умерен-

параметрической распадной неустойчивости (ПРН)

ному аномальному поглощению мощности накачки

волны накачки в области плазмы с немонотонным

на уровне, меньшем 25 %. Предложенный сценарий

профилем плотности [6-8]. В результате этого рас-

насыщения первичной ПРН позволил, в частности,

пада резонансно возбуждаются две дочерние волны,

воспроизвести частотные спектры аномального рас-

волновые вектора и частоты которых удовлетворя-

сеяния СВЧ волн на разных установках [12,17], а

также интерпретировать частотные полосы рассеян-

ного сигнала, сдвинутые в красную и синюю область

¹⁾e-mail: a.popov@mail.ioffe.ru

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов

[10, 17]. Кроме того, оказалось возможным предска-

- собственные функции, описывающие локализацию

зать и спектр излучения плазмы на субгармониках

волны в окрестности локального максимума плот-

гиротрона [18], обнаруженный позднее в экспери-

ности вдоль направления неоднородности x; z и

ментах [5]. Тем не менее, парадоксальным образом

y - координаты вдоль магнитной силовой линии

в случае четного числа ступеней каскада вторич-

и перпендикулярно к ней на магнитной поверх-

ных распадов этот механизм не приводит к насы-

ности; a_m(y, z) - безразмерное распределение по-

щению неустойчивости [14-16]. При этом, насыще-

тенциала на магнитной поверхности; T_e и w

ние неустойчивости может достигаться из-за значи-

температура и поперечный размер пучка накачки,

тельного истощения волны накачки при очень высо-

распространяющегося вдоль x в области распада;

ком уровне возбужденных плазменных волн и коэф-

q^±mx = q^±x(ω_m) - решение дисперсионного уравне-

фициенте аномального поглощения порядка 80-90 %.

ния ВГ волны D_UH (q)

= 0 при q_y,z

= 0 [16];

∫_x

Кроме того, наибольшую амплитуду в режиме на-

L^±m(x) = |D^±mq(x)|

dx^′(|D^+mq(x^′)|^-1 +|D^-mq(x^′)|^-1);

xmr

сыщения имеют первичная ВГ волна и дочерние ВГ

D^±mq = ∂D_UH/∂q_x|_q±

; D_mω

= 〈∂D_UH /∂ω|_ω

m,q^m x 〉;

волны, относящиеся к четным шагам каскада ее рас-

〈. . .〉 - усреднение по области локализации моды;

падов [15, 16]. Количество шагов вторичных распа-

собственная частота ω_m является решением урав-

∫_x

дов определяется конкретными экспериментальны-

нения

(q^+x(ω_m, x) - q^-x(ω_m, x))dx = π(2m + 1),

x_ml

ми условиями: шириной и высотой локального мак-

x_ml,mr - точки поворота волны. Потенциал вынуж-

симума плотности, который неоднократно наблюдал-

денных гармонических колебаний ϕ(Ω, r) на частоте

ся во вращающихся и статических магнитных остро-

Ω = ω_m-ω_r является решением уравнения Пуассона,

вах, на периферии плазменного шнура при развитии

где источником выступает нелинейная плотность за-

ELM колебаний, в центре плазменного шнура, а так-

ряда [16]. В рамках ВКБ приближения решение этого

же степенью пространственной неоднородности маг-

уравнения имеет вид

нитного поля в установке [5, 17, 20].

T_e κ(x)

В настоящем письме мы покажем, что нерезо-

ϕ(Ω, r) =

a_m(y, z)a_r(y, z)^∗ exp(-iΩt) + c.c,

w²B

нансное трехволновое взаимодействие между дочер-

(1)

ними ВГ волнами с наибольшей амплитудой, которое

где

√

ведет, казалось бы, к слабому эффекту, а именно, к

ω_mω_r

κ(x) =

возбуждению сильнозатухающих вынужденных ко-

|ω_ce|ω²

D_mωD

rω

лебаний, может оказывать сильное влияние на про-

∑

q^jmx(x)q^krx(x)(q^jmx(x) - q^krx(x))²

цесс насыщения неустойчивости, определяя уровень

аномального поглощения мощности накачки при чет-

D(Ω, q^mx(x) - q^krx(x))

j,k=±

ном числе вторичных распадов. При этом насыщение

(

)

∫_x

ПРН происходит на существенно меньшем уровне,

exp i

(q^jmx(ξ) - q^krx(ξ))dξ

x_ml

√

[16];

чем при учете только истощения волны накачки.

L^m(x)L^kr(x)

2. Влияние нерезонансных биений ВГ волн

на каскадное насыщение низкопороговой

ω_ce и ω_pe - ЭЦ и электронная плазменная частоты.

параметрической распадной неустойчиво-

Поскольку частота Ω значительно превосходит ион-

сти. Нерезонансное взаимодействие двух ВГ волн

ную циклотронную, ионный вклад в дисперсионное

с близкими частотами приводит к возбужде-

уравнение для колебаний конечной амплитуды ста-

нию низкочастотных вынужденных колебаний на

новится “незамагниченным” (режим стохастического

разностной частоте. В рамках ВКБ (Вентцеля-

поглощения [19]). В этом случае, мы можем запи-

Крамерса-Бриллюэна) приближения потенциалы

сать соответствующую этим колебаниям дисперси-

ВГ волн, запертых в окрестности локального мак-

онную функцию в виде D(Ω, q_I ) = q^2I(1 + ω^2pe/ω^2ce) +

симума плотности плазмы, могут быть записаны в

2ω^2pi/v^2ti(1+Z(Ω/q_Iv_ti)), где ReD - невязка линейного

виде [16]

дисперсионного уравнения для колебаний на частоте

√

Ω с волновым вектором q_I = q^jmx-q^krx; ImD - описы-

4T_e a_m(y, z)

ϕ_m(r) =

φ_m(x)exp(-iω_mt) + c.c.,

вает стохастическое затухание вынужденных колеба-

ω_mD_mω w

ний; Z(λ) - плазменная дисперсионная функция; ω_pi

где

и v_ti - ионная плазменная частота и тепловая ско-

( ∫_x

)

рость. Действительная часть функции κ(x) (она про-

∑

порциональна ∼ ReD/|D|²) приводит к нелинейному

φ_m(x) =

exp i

q^jmx(ξ)dξ - i

·j

L^m(x)^1/2

x_ml

смещению частоты взаимодействующих ВГ волн, а

j=±

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

О сильном влиянии нерезонансных трехволновых взаимодействий...

∫

мнимая часть (∼ ImD/|D|²) обеспечивает “перекач-

∑

q^jmx(x)²q^krx(x)²(q^jmx(x) - q^krx(x))⁴

dx, (3)

ку” мощности от ВГ волны с большей частотой и

D(Ω, q^mx(x) - q^krx(x))L^m(x)L^kr(x)

j,k=±

меньшим собственным числом (ω_m и m) к ВГ волне с

x_ml

меньшей частотой ω_r < ω_m и большим собственным

где B - локальное значение магнитного поля. Как по-

числом r > m. Далее, учтем эффект возбуждения

казал анализ и подтвердили численные расчеты, при

вынужденных низкочастотных колебаний при опи-

четном числе вторичных распадов без учета обсуж-

сании ПРН гауссовского пучка волн накачки, име-

даемого эффекта первичная и третичные ВГ волны

ющего поперечный диаметр w и распространяюще-

имеют наибольшую амплитуду [16]. По этой причине

гося вдоль x. Рассмотрим случай, когда в результа-

мы учли слабый эффект возбуждения вынужденных

те первичной неустойчивости необыкновенной волны

колебаний только под действием биений этих дочер-

накачки возбуждаются запертая в плазме ВГ вол-

них волн. Отметим также, что в системе уравнений

на и свободно распространяющаяся необыкновенная

(2) не учтен эффект истощение волны накачки.

волна. Поскольку при четном количестве вторичных

Далее, решим систему уравнений (2) численно,

распадов для заданных параметров ЭЦРН экспери-

предполагая тепловой начальный уровень всех ВГ

ментов их конкретное число не приводит сильному

волн и накладывая периодические граничные усло-

изменению уровня аномального поглощения [15], для

вия на границах бокса. Размер бокса выбирается та-

иллюстрации модели мы сосредоточимся на услови-

ким, чтобы для наиболее низко-пороговых мод рас-

ях, когда число вторичных распадов наименьшее из

чет требовал промежутка времени, который много

четных, и проанализируем насыщение этой неустой-

меньше времени возвращения ВГ волны обратно в

чивости в результате двухшагового распадного про-

область распада при циркуляции в этом боксе. Та-

цесса. Пусть в результате вторичных неустойчиво-

ким образом, полученное решение будет промежу-

стей возбуждаются локализованные вторичные ВГ

точной асимптотикой, которая, однако, будет пра-

волны и свободные вторичные ИБ волны, покида-

вильно описывать экспериментальные наблюдения и

ющие область взаимодействия вдоль направления

механизм насыщения неустойчивости. Мы проиллю-

неоднородности x. Тогда для распределения поперек

стрируем обсуждаемый эффект, используя при чис-

направления неоднородности x амплитуд локализо-

ленном решении параметры, типичные для экспе-

ванных ВГ волн (моды m < n < r, рождающиеся

риментов по ЭЦР нагреву (пучок необыкновенных

одна за другой) можно получить систему уравнений,

волн f₀ = 140 ГГц в экваториальной плоскости уста-

подробный вывод которой приведен в [16]

новки) на токамаке TEXTOR (R₀ = 175 см, a =

= 46 см - большой и малый радиус установки). Це-



лью этих экспериментов было изучение возможно-



(

)

∂z²

сти контроля неоклассической тиринг-моды (T_e =





= γ_pam exp

- γ_s|a_n|²a_m - v|a_r|²a_m,

= 600 эВ, T_i = 400 эВ и B = 2 Т в области маг-

-y2w2^-w

нитного острова) [1]. Профиль плотности в магнит-



= γ_s|a_m|²a_n - γ_t|a_r|²a_n,



y²

z²

ном острове (m = 2/n = 1) был немонотонным, с



локальным максимумом в O-точке этой магнитной

= γ_t|a_n|²a_r + v|a_m|²a_r,

∂a^r∂t - iΛry

∂y²

z²

структуры [20]. В процессе полоидального вращения

(2)

ширина и максимум возмущения плотности в эква-

где Λ_m,n,ry и Λ_m,n,rz

- коэффициенты дифрак-

ториальной плоскости менялись. В частности, был

ции, усредненные по областям локализации собствен-

возможен распад волны накачки и каскадное воз-

ных мод; γ_p,s,t - коэффициенты усиления дочерних

буждение локализованных ВГ волн, которые описы-

ВГ волн за счет первичной, вторичной и третич-

ваются системой (2). Коэффициенты этой системы

ной неустойчивостей. Коэффициент нелинейной свя-

уравнений предполагались постоянными. Результа-

зи между дочерними ВГ волнами v, приводящий к

ты численного решения системы (2) при мощности

нелинейной перекачке мощности от первичной к тре-

и диаметре пучка накачки P₀ = 1 МВт, w = 1 см, а

тичной ВГ волне (v^′), а также нелинейному изме-

именно, эволюция энергии первичных (сплошная ли-

нению фазы этих волн (v^′′), получается с помощью

ния), вторичных (пунктирная линия) и третичных

подстановки выражения (1) в нелинейные уравнения

(штрих-пунктирная линия) ВГ волн в области рас-

для амплитуд ВГ волн (см. [16]) и имеет вид

∫

пада ε_j = (πw²)^-1

dydz|a_j(z)|² exp(-(y² + z²)/w²),

j = m,n,r показаны на рис.1 и 2. На рисунке 1 по-

T_e c²ω_mω_r

√ω_mω_r

казан результат расчета без учета эффекта биений

v = v^′ + iv^′′ = i

w²B² ω^2ceω⁴

D_mωD_rω

(v = 0). Видно, что система не имеет стационарного

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов

Рис. 1. (Цветной онлайн) Эволюция энергии первичных

Рис. 2. (Цветной онлайн) Те же зависимости, что и на

(сплошная линия), вторичных (пунктирная линия) и

рис.1, полученные при решении системы уравнений (2)

третичных (штрих пунктирная линия) ВГ волн в об-

с теми же параметрами, но при учете эффекта биений.

ласти распада при v = 0 в полулогарифмическом мас-

Тонкие горизонтальные линии - оценки уровней насы-

штабе, полученная в результате численного решения

щения (4) и (5)

системы уравнений (2). Мощность и диаметр пучка на-

качки - P0 = 1 МВТ, w = 1 см

баланс параметрической накачки ВГ волн на тре-

тьей ступени каскада и их дифракционных потерь

решения, что находится в согласии с выводами ра-

τ_r = min(w²/Λ_ry, w²/Λ_rz), что позволяет найти оцен-

бот [14-16]. Амплитуды дочерних волн неограничен-

ку для уровня насыщения первичных ВГ волн

но растут, а, значит, насыщения первичной неустой-

ε^satm = 1/(v^′τ_r).

(4)

чивости не происходит. При этом доминируют ВГ

волны, возбуждаемые в первичном распаде и на по-

В этом случае уровень насыщения ВГ волн на тре-

следнем шаге каскада последовательных распадов, а

тьей ступени каскада будет определяться балансом

рост вторичной ВГ волны прекращается. Результа-

параметрической накачки первичных ВГ волн и их

ты, приведенные на рис. 2, получены с учетом эф-

потерь за счет нерезонансного взаимодействия

фекта биений между первичными и третичными ВГ

волнами (v = 0) и обратного влияния на них вы-

ε^satr = γ_p/v^′.

(5)

нужденных низкочастотных колебаний. Видно, что

система после сложного переходного процесса эво-

Стационарные уровни первичной и третичной волн,

люционирует к стационарному состоянию, в котором

т.е. их уровни насыщения (5), показаны тонкими го-

вторичная ВГ волна в конце концов подавляется.

ризонтальными линиями на рис. 2. Они находятся в

Проанализируем аналитически возможность су-

разумном согласии с результатами численного реше-

ществования обнаруженного стационарного реше-

ния системы нелинейных уравнений в частных про-

ния, а значит и насыщения неустойчивости, при уче-

изводных. Это позволяет с доверием относиться к

те обсуждаемого в работе эффекта биений v = 0.

результатам численного решения. Отметим, что уро-

Предположим, что стационарный режим волнового

вень возбуждения вторичных волн ε^satn = 1, что в

взаимодействия, описываемого системой уравнений

размерных единицах соответствует тепловому уров-

(2), существует. В этом случае мы можем оценить

ню. Это эквивалентно “выпадению” второго уравне-

уровни насыщения ВГ волн в пределах пучка из со-

ния в системе (2) и малости по сравнению с осталь-

ображений баланса различных слагаемых в уравне-

ными членами в правых частях первого и третьего

ниях, входящих в (2), и, соответственно, процессов

уравнений членов, которые пропорциональны |a_n|².

ими описываемых. В частности, если потери энергии

Таким образом, эффективно система (2) сводится к

ВГ волн на второй ступени каскада превосходят их

случаю каскада вторичных распадов с нечетным чис-

параметрическую накачку γ_sε_m < γ_tε_r, то вторич-

лом шагов, при котором стационарное решение и на-

ные ВГ волны на стационарной стадии взаимодей-

сыщение неустойчивости существует [14-16]. В этом

ствия будут полностью подавлены. Для существо-

случае, расчет аномальных потерь мощности вол-

вания стационарного решения (2) будет необходим

ны накачки дает значительную величину 40 %, ко-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

О сильном влиянии нерезонансных трехволновых взаимодействий...

торая, тем не менее, меньше, чем уровень 80 %, най-

M. R. Nurgaliev, G. F. Subbotin, N. A. Solovev,

денный в [15] при учете истощения волны накачки,

D. Yu. Sychugov, and S. V. Cherkasov, Plasma Phys.

как единственного механизма насыщения неустойчи-

Control. Fusion 63, 055012 (2021).

вости. Заметим, что определенный уровень эффек-

А. И. Мещеряков, И. Ю. Вафинa, И.А. Гришина, Фи-

зика плазмы 47, 22 (2021).

тивности аномальных потерь представляется доста-

точным для объяснения уширения области выделе-

S. Coda, Nucl. Fusion 55, 104004 (2015).

ния энергии при ЭЦР нагреве плазмы, наблюдаемого

S. K. Hansen, S.K. Nielsen, J. Stober, J. Rasmussen,

M. Stejner, M. Hoelzl, T. Jensen, and the ASDEX

в ряде экспериментов [2, 3].

Upgrade team, Nucl. Fusion 60, 106008 (2020).

3. Выводы. В работе показано, что сравнитель-

A. Yu. Popov and E. Z. Gusakov, Plasma Phys. Control.

но слабый эффект нерезонансного взаимодействия

Fusion 57, 025022 (2015).

между различными дочерними ВГ волнами с наи-

A. Yu. Popov and E. Z. Gusakov, Europhys. Lett. 116,

большей амплитудой, сопровождающийся возбужде-

45002 (2016).

нием сильнозатухающих вынужденных коротковол-

А. Ю. Попов, Е. З. Гусаков, Письма ЖЭТФ 105, 64

новых колебаний в промежуточном частотном диа-

(2017).

пазоне, может оказывать существенное влияние на

M. G. Senstius, S. K. Nielsen, and R. G. L. Vann, Plasma

нелинейную динамику и уровень насыщения первич-

Phys. Control. Fusion 63, 065018 (2021).

ной низкопороговой параметрической неустойчиво-

10.

S. K. Hansen, A. S. Jacobsen, M. Willensdorfer,

сти по каскадному механизму. Обнаружено, что бие-

S. K. Nielsen, J. Stober, K. Höfler, M. Maraschek,

ния между различными дочерними ВГ волнами при-

R. Fischer, M. Dunne, and the EUROfusion MST1

водят к насыщению первичной неустойчивости да-

team, Plasma Phys. Control. Fusion 63, 095002 (2021).

же при четном числе шагов в каскаде распадов при

11.

A. Tancetti, S. K. Nielsen, J. Rasmussen, D. Moseev,

вторичной неустойчивости. Полученные результаты

E. Z. Gusakov, A. Yu. Popov, T. Stange, S. Marsen,

свидетельствуют о важности учета не только резо-

M. Zanini, C. Killer, M. Vecsei, H. P. Laqua, and W7-X

нансных, но и нерезонансных взаимодействий дочер-

Team, 47^th EPS Conference on Plasma Physics 21-25

них волн при анализе перехода ПРН СВЧ волн в

June 2021, Sitges, Spain, 45A, P4. 1048 (2021).

режим насыщения и при расчете эффективности их

12.

E. Z. Gusakov and A. Yu. Popov, Phys. Plasmas 23,

аномального поглощения.

082503 (2016).

Аналитическое рассмотрение неустойчивости и ее

13.

E. Z. Gusakov and A. Yu. Popov, Nucl. Fusion 59,

насыщения выполнены при поддержке гранта Рос-

104003 (2019).

сийского научного фонда 22-12-00010, численное мо-

14.

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов, Письма в ЖЭТФ 109,

делирование - в рамках государственного контракта

723 (2019).

15.

E. Z. Gusakov and A. Yu. Popov, Plasma Phys. Control.

ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН 0040-2019-0023, а код для

Fusion 62, 025028 (2020).

моделирования насыщения неустойчивости был раз-

16.

Е. З. Гусаков, А. Ю. Попов, УФН 190, 396 (2020).

работан в рамках государственного контракта ФТИ

им. А.Ф. Иоффе РАН 0034-2021-0003.

17.

A. Tancetti, S. K. Nielsen, J. Rasmussen et

al.

(Collaboration), the W7-X Team, Nucl. Fusion

074003 (2022).

1. E. Westerhof, S. K. Nielsen, J. W. Oosterbeek,

18.

E. Z. Gusakov, A. Yu. Popov, and P. V. Tretinnikov,

M. Salewski, M. R. De Baar, W. A. Bongers, A. Bürger,

Nucl. Fusion 59, 106040 (2019).

B. A. Hennen, S. B. Korsholm, F. Leipold, D. Moseev,

19.

C. F. F. Karney and A. Bers, Phys. Rev. Lett. 39, 550

M. Stejner, and D. J. Thoe, Phys. Rev. Lett. 103,

(1977).

125001 (2009).

20.

M. Yu. Kantor, A. J. H. Donne, R. Jaspers,

2. Yu. N. Dnestrovskij, A. V. Danilov, A. Yu. Dnestrovskij,

H. J. van der Meiden, and TEXTOR Team, Plasma

S. E. Lysenko, A. V. Melnikov, A.R. Nemets,

Phys. Control. Fusion 51, 055002 (2009).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022