Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 2, с. 74 - 79

Определение скорости нагрева и температуры ионных цепочек

в линейной ловушке Пауля по дефазировке осцилляций Раби

Н.В.Семенин^+∗1), А.С.Борисенко^+∗, И.В.Заливако⁺, И.А.Семериков⁺, М.Д.Аксенов⁺,

К.Ю.Хабарова^∗+×, Н.Н.Колачевский^+×

⁺Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН, 119991 Москва, Россия

^∗Московский физико-технический институт

(национальный исследовательский университет), 141701 Долгопрудный, Россия

^×Российский Квантовый Центр, 121205 Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 мая 2022 г.

После переработки 4 июня 2022 г.

Принята к публикации 4 июня 2022 г.

При оптимизации параметров лазерного охлаждения и исследования скорости нагрева в ионных ло-

вушках возникает задача измерения температуры ионных цепочек, для которых выполняется режим

Лэмба-Дике. В данной работе предложен метод измерения температуры ионных цепочек, основанный

на исследовании динамики осцилляций Раби на узком электронном переходе в отдельном ионе цепоч-

ки. Выведена аналитическая зависимость населенности верхнего состояния от времени возбуждения

с учетом теплового распределения фононов в колебательных модах цепочки с произвольным числом

ионов. Метод экспериментально апробирован на массиве из пяти ионов¹⁷¹Yb⁺ на квадрупольном пе-

реходе 435 нм, а также на одиночном ионе. Была измерена скорость нагрева осевой моды колебаний,

составившая для нашей ловушки 8 · 10³ фононов/с.

DOI: 10.31857/S1234567822140026, EDN: ixsnyv

1. Введение. Ультрахолодные ионы в ловушках

цепочки [8, 9], степень ее влияния на достоверность

на протяжении многих лет остаются объектом ак-

операций остается существенной.

тивных исследований в области квантовых вычис-

Используемые на данный момент методы измере-

лений. Они обладают рядом фундаментальных пре-

ния температуры и/или скорости нагрева иона вклю-

имуществ перед альтернативными платформами, та-

чают в себя измерение сигнала флуоресценции иона

ких как большое время когерентности [1], сильное

при его доплеровском охлаждении [10, 11], спектро-

кулоновское взаимодействие, позволяющее эффек-

скопии боковых колебательных частот [12], а также

тивно перепутывать состояния кубитов [2], а также

методы, основанные на когерентных эффектах, на-

высокая степень изоляции системы от внешних воз-

пример, на индуцированной прозрачности [13]. Вме-

мущений. Помимо этого, интерес к ионной платфор-

сте они покрывают достаточно большой диапазон

ме дополнительно стимулируется прогрессом в со-

поддающихся измерению температур. Однако, пер-

здании ловушек с низкими скоростями нагрева [3],

вый из них применим только для очень больших зна-

высоким оптическим доступом [4], а также в созда-

чений среднего колебательного числа (10⁴-10⁵), то-

нии ловушек с возможностью изменения конфигура-

гда как второй, наоборот, дает достаточно точные

ции цепочки [5].

результаты только при малых температурах - как

Одной из важнейших задач для реализации кван-

правило, он используется после глубокого охлажде-

товых вычислений на ионах является контроль тем-

ния, когда среднее колебательное число не превы-

пературы ионов. Для обеспечения высокой достовер-

шает нескольких единиц. Третий метод удовлетво-

ности квантовых операций (в особенности перепуты-

рительно работает в промежуточном диапазоне, но

вающих) необходимо, как правило, охладить цепоч-

требует более сложной техники, а именно, наличия

ку как можно ближе к основному колебательному

как минимум двух взаимно когерентных источников

состоянию [6, 7]. Несмотря на прогресс в разработ-

оптического излучения с разными частотами.

ке алгоритмов, менее требовательных к температуре

В данной работе предлагается метод измерения

температуры цепочки, основанный на дефазировке

¹⁾e-mail: semeninnv@gmail.com

резонансных осцилляций Раби на несущей часто-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Определение скорости нагрева и температуры ионных цепочек...

те узкого оптического перехода в ионе. Этот метод

этому в полиноме Лагерра в выражении (4) можно

менее требователен к экспериментальной установке,

учитывать только наименьшую степень η_k:

так как для его осуществления не требуется лазер-



ных источников в дополнение к тем, что используют-

⁾|n_k〉

^/2(1 - n_kη^2k) ≈

〈nk|eiηk(âk +âk

≈e-ηk

ся для управления оптическим кубитом. Получена

≈ 1 - (n_k + 1/2)η^2k.

(5)

аналитическая формула, описывающая зависимость

населенности верхнего состояния иона от времени

Тогда можно для частоты Раби записать

и обобщающая теорию, изложенную в [14], на слу-

чай произвольного числа ионов. Затем была проде-

∏

(

)

монстрирована ее применимость в эксперименте для

Ω_{n

1 - (n_k + 1/2)η^2k

≈

k} ≈Ω0

оценки скорости нагрева одиночного иона в ловушке

k=1

(

)

и для определения температуры массива из 5 ионов.

∑

2. Дефазировка осцилляций Раби. Рассмот-

≈Ω₀

1 - (n_k + 1/2)η²

(6)

рим одномерное движение цепочки из N ионов вдоль

k=1

какой-либо оси ловушки. Всего имеется N нормаль-

с точностью до членов порядка η^2k.

ных мод колебаний цепочки, характеризующихся N

Если населенность состояния |0〉|{n_k}〉 перед воз-

значениями секулярных частот ω_k, 1 ≤ k ≤ N. Каж-

действием излучения равна p_{n

то населенность

дая из этих мод представляет собой независимый ос-

k},

состояния |1〉|{n_k}〉 будет меняться со временем сле-

циллятор с частотой ω_k, так что квантовое состояние

дующим образом:

отдельного иона представится вектором

p_{n

(

)

|ψ〉 = |el〉|n₁, n₂, . . . , n_N 〉 = |el〉|{n_k}〉,

(1)

P_{n

1 - cos(Ω_{n

(7)

k}(t)=

k}t)

где |el〉 ∈ {|0〉, |1〉} - электронное состояние иона, n_k -

Общая населенность уровня |1〉 будет суммой (7) по

количество фононов в k-й колебательной моде. При

всем возможным наборам {n_k}:

приложении к иону в цепочке излучения, направлен-

ного вдоль рассматриваемой оси и резонансного с

1∑

(

)

P (t) =

p_{n

1 - cos(Ω_{n

(8)

электронным переходом |0〉 ↔ |1〉, между состояния-

k}t)

{n_k }

ми с одинаковыми наборами {n_k} будут происходить

осцилляции Раби с угловой частотой

Если бы частота Раби не зависела от номеров коле-

Ω_{n

бательных уровней n_k, то все осцилляции в сумме

k} =

*



(

)

+

выше были бы сфазированы, в результате чего зави-



∑



симость P (t) представляла бы собой чистую синусои-

=Ω₀



{n_k}exp i

η_k(â_k + â^†k)

 {nk}

 ,

(2)



k=1

ду с постоянной амплитудой и частотой. Однако, как

}. В

видно из (6), имеется слабая зависимость от {n_k

где Ω₀ - частота Раби для покоящегося иона, â_k и

этом случае колебания с разными {n_k} через некото-

â^†k - лестничные операторы для фононов k-й моды,

рое время перестанут быть в фазе (аналогично эф-

η_k - параметр Лэмба-Дике для данного иона в k-й

фекту расплывания волнового пакета), и видность

моде. Используя коммутативность лестничных опе-

осцилляций уменьшится (рис.1).

раторов для разных мод, данное выражение можно

Глубины типичных ионных ловушек намного вы-

переписать в более удобном виде:

ше величины средней тепловой энергии ионов даже



без охлаждения, поэтому сумму по {n_k} можно рас-

∏



Ω_{n



〈n_k|eiηk(âk+âk )|n_k〉

,

(3)

сматривать в виде бесконечного ряда:

k} =Ω0



k=1

∑

(

)

в котором каждый член произведения является част-

P (t) =

···

p_{n

1 - cos(Ω_{n

(9)

k}t)

ным случаем фактора Дебая-Уоллера [15].

n1=0

nN=0



⁾|n_k〉

L_n

(η^2k),

(4)

Если

〈nk|eiηk (âk+âk

=e-ηk

∑

···

p_{n

k} =

(10)

где L_n(x) - n-й полином Лагерра. Обычно для ионов,

n1=0

nN=0

охлажденных до доплеровского предела, выполняет-

√

ся режим Лэмба-Дике, при котором

n_k η_k ≪ 1, по-

т.е. населенность уровня |0〉 в начальный момент рав-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Н.В.Семенин, А.С.Борисенко, И.В.Заливако и др.

Каждая из этих сумм является суммой геометриче-

ской прогрессии:

∑

exp(-(α_k + iΩ₀η^2kt)n_k) =

1-e-αk-iΩ0η^kt

n_k=0

1-e-αk+iΩ0η^kt

(15)

1 - 2e^-α

^k cos(Ω₀η^2kt) + e^-2αk

Для характеризации всей цепочки удобно ввести па-

раметры r_k = ω_k/ω₁, где ω₁ - частота колебаний мо-

ды центра масс (моды, в которой вся ионная цепоч-

ка движется как единое целое). Изложенное выше

рассмотрение справедливо для любых значений {n_k}

Рис. 1. Иллюстрация дефазировки осцилляций Раби.

при условии нахождения цепочки в режиме Лэмба-

Серым цветом обозначены колебания населенности для

Дике. Однако на практике наиболее интересен слу-

первых 10 мод, черным взвешенная сумма по всем

чай, соответствующий состоянию после доплеровско-

модам

го охлаждения цепочки, а именно, когда температу-

ры всех мод оказываются равны. В этом случае сред-

на a, то, принимая тепловое распределение со сред-

ние колебательные числа всех мод могут быть выра-

ними для каждой моды n_k, получим для p_{n

жены через среднее число фононов в моде центра

масс n, так что n_k = n/r_k. При этом функция P (t) с

(

)

∑

учетом определения α_k примет вид

exp

α_kn_k

k=1

p_{n

(11)

P (t) =

∏

[

(

)]





(n_k + 1)

∏

(n/r_k)e^iΩ0ηkt

k=1



Re e^iΩ0^t

e-iΩ0ηkt/2





k=1

n/r_k + 1



1-





(

)



∏

(n/r_k)²



где e-αk = n_k/(n_k + 1). Подставляя вместе с (6) в (9)

(n/r_k + 1) - 2(n/r_k) cos(Ω₀η^2k t) +

k=1

(n/r_k) + 1

и используя экспоненциальную запись косинуса, по-

(16)

лучаем

и будет зависеть от трех параметров: n, a, Ω₀; коэф-

P (t) =

фициенты η_k, r_k определяются геометрией ловушки

∏

[16] и частотой колебаний ионов и могут быть из-

(n_k + 1)

k=1

мерены с высокой точностью независимо. Заметим,

[

(

∑

что в общем случае возбуждения колебаний цепочки

···

eiΩ0t exp

- (α_kn_k +

по всем трем осям формула (16) по-прежнему вер-

n1=0

nN=0

k=1

на, с той лишь разницей, что в произведения по мо-

)

]

должны входить па-

дам вместо параметров η_k, n, r_k

+ iΩ₀η^2ktn_k + iΩ₀η^2kt/2)

+ c.c. .

(12)

раметры типа η_ik, n_i, r_ik, где i = x, y, z - индекс оси, а

коэффициенты Лэмба-Дике зависят от направления

Слагаемое типа

пучка.

3. Схема измерений. Для исследования дефа-

(

∑

зировки осцилляций Раби был использован ион ит-

···

exp

- (α_kn_k +

тербия¹⁷¹Yb⁺, схема уровней которого приведена на

n1=0

nN=0

k=1

)

рис. 2. Переход²S_1/2 →²P_1/2 служит для охлажде-

ния иона и подготовки состояния. С этой целью ос-

+ iΩ₀η^2kt(n_k + 1/2))

(13)

новной лазерный пучок с длиной волны 369 нм при

помощи электрооптических модуляторов делится на

можно записать в виде произведения сумм по отдель-

3 частотные компоненты, две из которых отвечают

ным n_k как

за охлаждение, а одна - за накачку иона в основ-

[

]

ное состояние²S_1/2(F = 0). Вспомогательный пучок

∏

∑

на длине волны 935 нм осуществляет перекачку из

e-iΩ0η^kt/2

exp(-(α_k + iΩ₀η^2kt)n_k)

(14)

состояния²D_3/2. Осцилляции Раби производятся на

k=1

n_k=0

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Определение скорости нагрева и температуры ионных цепочек...

квадрупольном переходе²S_1/2(F = 0) →²D_3/2(F =

при нулевой задержке, тогда температура цепочки

= 2) с длиной волны 435 нм. Выбор данного перехода

может быть вычислена по формуле

обусловлен его малой шириной (3 Гц), так что время

ℏω₁

жизни верхнего состояния намного больше характер-

T =

(17)

k_B ln(1 + 1/n(0))

ного времени дефазировки.

где ω₁ - частота моды центра масс (см. предыдущий

раздел), k_B - постоянная Больцмана.

4. Результаты эксперимента. Для определе-

ния скорости нагрева в ловушку был пойман одиноч-

ный ион иттербия, так что произведения по модам в

формуле (16) содержат всего 1 множитель. Посколь-

ку воздействие на ион осуществлялось вдоль оси ло-

вушки, релевантная частота колебаний равна акси-

альной частоте, и параметры ловушки вычисляются

по формулам

√

η₁ =

r₁ = 1,

(18)

2mν

где λ = 435 нм, m - масса иона, ν - частота акси-

альной моды в герцах. Результаты измерений с оди-

ночным ионом представлены на рис. 3. Параметры

аппроксимации формулой (16) сведены в табл. 1. Из

Рис. 2. (Цветной онлайн) Схема уровней иона¹⁷¹Yb⁺.

Светло-синие стрелки показывают переходы, исполь-

Таблица 1. Результаты аппроксимации по измерениям дефа-

зировки осцилляций Раби для одиночного иона

зуемые для охлаждения, темно-синие - за накачку в

основное состояние, красные - за перекачку

τ, мс

Ω₀, мс^-1

53.4

200.9

0.93

Эксперимент по измерению параметров дефази-

63.9

196.2

0.91

ровки осцилляций проводится в несколько этапов.

95.3

199.2

0.91

Сначала ионная цепочка охлаждается до темпера-

132.0

197.4

0.91

туры, близкой к доплеровскому пределу. Затем про-

118.7

194.3

0.88

изводится накачка ионов в основное состояние. Да-

лее все лазерные источники выключаются, и систе-

этой таблицы видно, что значение Ω₀ остается при-

ма подвергается взаимодействию с окружением в те-

чение некоторого варьируемого времени задержки.

мерно постоянным с изменением времени задержки,

что находится в согласии с принятой моделью. Кроме

После этого на некоторый выделенный ион подает-

ся резонансный лазерный импульс на длине волны

того, коэффициент a во всех случаях близок к еди-

нице. Его отличие от единицы можно объяснить сов-

435 нм, возбуждая квадрупольный переход; длитель-

ность этого импульса также варьируется. Наконец,

местным влиянием неточности подготовки состояния

и неточности считывания; погрешность считывания

электронное состояние данного иона детектируется

методом квантовых скачков [17].

во время калибровки установки достигала величин

При фиксированном времени задержки иссле-

порядка 10-12 %.

Аппроксимируя функцию n(τ) линейной зависи-

дуется зависимость населенности верхнего состоя-

ния квадрупольного перехода от времени возбужде-

мостью (рис. 3f), находим скорость нагрева иона как

коэффициент наклона прямой:

ния. Полученная кривая аппроксимируется функци-

ей (16), и из параметров аппроксимации находится

n= (8 ± 2) · 10³ с^-1.

(19)

величина n(τ), где τ - время задержки. Данный экс-

перимент повторяется для нескольких значений τ,

При выводе (16) неявно использовалось предположе-

и полученная зависимость аппроксимируется линей-

ние о малом изменении n за время измерений. Как

ной функцией для определения темпов нагрева (в

видно из получившегося значения n, за 150 мкс уве-

фононах в секунду).

личение количества фононов составляет не более 1-2,

Чтобы определить температуру ионной цепочки,

что пренебрежимо мало по сравнению со всеми n в

достаточно провести описанный выше эксперимент

эксперименте, в том числе при нулевой задержке.

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Н.В.Семенин, А.С.Борисенко, И.В.Заливако и др.

Рис. 3. (Цветной онлайн) (a)-(e) - Зависимость населенности верхнего состояния иона от времени возбуждения при

задержках 0, 2, 5, 7 и 10 мс соответственно; (f) - зависимость среднего колебательного числа одиночного иона от

времени задержки

Определение температуры ионной цепочки про-

число, полученное путем аппроксимации, оказалось

изводилось для массива из 5 ионов. Для измерений

равным

был выбран первый ион в цепочке, так что парамет-

n(0) = 75 ± 3.

(22)

ры ловушки имели значения

Соответственно, температура цепочки, вычисленная

√

по формуле (17), равна

η_k =

{0.447, -0.486, 0.346,-0.173, 0.054},

2mν

T = 1.69 ± 0.08 мК.

(23)

(20)

Доплеровский предел для перехода²S_1/2 →²P_1/2 ра-

rk = {1, 1.73, 2.41, 3.05, 3.67}.

(21)

вен

ℏΓ

Результаты измерений для цепочки из 5 ионов пока-

T_D =

= 0.5 мК.

(24)

2k_B

заны на рис.4. Эффективное среднее колебательное

Полученная температура цепочки близка к этому

пределу, а отличие от него может быть связано с

увеличенной по сравнению с одиночным ионом ско-

ростью нагрева, в частности, аномального (нагрева

из-за флуктуаций потенциала на электродах и из-за

близкого расположения ионной цепочки относитель-

но их поверхности).

5. Заключение. В данной работе была получена

аналитически и проверена экспериментально зависи-

мость населенности возбужденного состояния иона

в цепочке от времени его возбуждения резонансным

излучением с учетом теплового распределения по ко-

лебательным степеням свободы. Результаты провер-

ки теории позволяют говорить о применимости при-

нятой модели в пределах точности измерений.

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость населенности

Предложенный метод (дефазировка осцилляций

верхнего состояния иона в цепочке от времени возбуж-

Раби), таким образом, дает возможность определить

дения

как температуру ионной цепочки, так и скорость его

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Определение скорости нагрева и температуры ионных цепочек...

нагрева в ловушке. Основными преимуществами это-

S. A. Moses, M. S. Allman, C. H. Baldwin, M. Foss-

го метода являются его общность относительно коли-

Feig, D. Hayes, K. Mayer, C. Ryan-Anderson, and

чества ионов в цепочке, а также то, что он, в отличие

B. Neyenhuis, Nature 592, 209 (2021).

от методов, упомянутых в введении, вполне приме-

B. B. Zelener, S. A. Saakyan, V. A. Sautenkov,

A. M. Akulshin, E. A. Manykin, B. V. Zelener,

ним для значений n от 50 до 100 и дает адекватные

V. E. Fortov, JETP Lett. 98, 670 (2014).

результаты даже при скоростях нагрева порядка 10⁴

L. A. Akopyan, I. V. Zalivako, K. E. Lakhmanskiy,

фононов в секунду, что существенно расширяет диа-

K. Y. Khabarova, and N. N. Kolachevsky, JETP Lett.

пазон поддающихся измерению параметров цепочек

112, 585 (2020).

и ловушек.

T. Manovitz, A. Rotem, R. Shaniv, I. Cohen,

Работы по анализу экспериментальных данных

Y. Shapira, N. Akerman, A. Retzker, and R. Ozeri,

были выполнены А. С. Борисенко при финансовой

Phys. Rev. Lett. 119, 220505 (2017).

поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

C. H. Valahu, A. M. Lawrence, S. Weidt, and

следований в рамках научного проекта

#20-32-

W. K. Hensinger, New J. Phys. 23, 113012 (2021).

90020. Все прочие исследования, включая разра-

10.

J. H. Wesenberg, R. J. Epstein, D. Leibfried,

ботку теоретической модели, были осуществлены

R. B. Blakestad, J. Britton, J. P. Home, W. M. Itano,

остальными соавторами при финансовой поддерж-

J. D. Jost, E. Knill, C. Langer, R. Ozeri, S. Seidelin,

ке Лидирующего исследовательского центра “Кван-

and D. J. Wineland, Physical Review A - Atomic,

товые вычисления” (соглашение о предоставлении

Molecular, and Optical Physics 76, 1 (2007).

гранта # 014/20).

11.

R. J. Epstein, S. Seidelin, D. Leibfried et al.

(Collaboration), Phys. Rev. A 76, 33411 (2007).

12.

C. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King, S. R. Jefferts,

1. P. Wang, C. Y. Luan, M. Qiao, M. Um, J. Zhang,

Y. Wang, X. Yuan, M. Gu, J. Zhang, and K. Kim, Nat.

W. M. Itano, D. J. Wineland, and P. Gould, Phys. Rev.

Lett. 75, 4011 (1995).

Commun. 12, 1 (2021).

13.

J. Roßnagel, K. N. Tolazzi, F. Schmidt-Kaler, and

2. J. P. Gaebler, T. R. Tan, Y. Lin, Y. Wan, R. Bowler,

A.C. Keith, S. Glancy, K. Coakley, E. Knill,

K. Singer, New J. Phys. 17, 45004 (2015).

D. Leibfried, and D. J. Wineland, Phys. Rev. Lett. 117,

14.

S. Blatt, J. W. Thomsen, G. K. Campbell, A. D. Ludlow,

1 (2016).

M. D. Swallows, M. J. Martin, M. M. Boyd, and J. Ye,

3. P. C. Holz, K. Lakhmanskiy, D. Rathje, P. Schindler,

Phys. Rev. A 80, 52703 (2009).

Y. Colombe, and R. Blatt, Phys. Rev. B 104, 64513

15.

D. J. Wineland and W. M. Itano, Phys. Rev. A 20, 1521

(2021).

(1979).

4. M. G. Blain, R. Haltli, P. Maunz, C. D. Nordquist,

16.

D. F. V. James, Appl. Phys. B 66, 181 (1998).

M. Revelle, and D. Stick, Quantum Science and

17.

N. V. Semenin, A. S. Borisenko, I. V. Zalivako,

Technology 6, 34011 (2021).

I. A.

Semerikov,

K. Y.

Khabarova,

and

5. J. M. Pino, J. M. Dreiling, C. Figgatt, J. P. Gaebler,

N. N. Kolachevsky, JETP Lett. 114, 486 (2021).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022