Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 12, с. 857 - 862

Спектр возбуждений в ансамбле бозонов Хаббарда

В.В.Вальков¹⁾

Институт физики им. Л. В. Киренского, Федеральный исследовательский центр

“Красноярский научный центр Сибирского отделения Российской академии наук”, 660036 Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 27 октября 2022 г.

После переработки 6 ноября 2022 г.

Принята к публикации 6 ноября 2022 г.

На основе атомного представления и метода Дайсона с введением индефинитной метрики развит

подход, позволяющий в режиме сильных корреляций (U ≫ |t_fm|) корректно вывести уравнения, описы-

вающие бозе-конденсацию и спектр элементарных возбуждений бозонного ансамбля Хаббарда. В такой

системе существенную роль играет кинематическое взаимодействие Дайсона, обусловленное свойствами

коммутационных соотношений динамических переменных. В рамках операторной формы теории возму-

щений при конечных U получен эффективный гамильтониан и показано, что свойства ансамбля бозонов

Хаббарда, кроме кинематического взаимодействия, определяются также коррелированными перескока-

ми и притяжением между хаббардовскими бозонами. Численные расчеты продемонстрировали влияние

этих взаимодействий на характеристики энергетического спектра возбуждений ансамбля бозонов Хаб-

барда, а также на зависимости концентрации конденсатных частиц от концентрации бозонов в системе.

DOI: 10.31857/S1234567822240089, EDN: neukuu

1. Введение. Статические и кинетические свой-

кинетическую энергию, то метод Боголюбова [10]

ства однокомпонентной бозе-системы [1-3], а так-

нуждается в корректировке. Этого можно достичь,

же многокомпонентных смесей ультрахолодных ато-

например, посредством применения атомного пред-

мов [4-6] в значительной степени определяются кон-

ставления [11], которое активно используется в тео-

куренцией между конденсацией Бозе-Эйнштейна и

рии сильно коррелированных электронных систем

межатомным взаимодействием. Подобные эффек-

[12-17]. При таком подходе оператор взаимодействия

ты могут наблюдаться также и в ультрахолод-

бозонов на одном узле приобретает диагональный

ных молекулах [7]. В последнее время актуальны-

вид, что дает возможность корректно учесть вклады

ми стали исследования, связанные с наблюдением

в наблюдаемые характеристики от этого оператора

в сильно вырожденных полупроводниках индуциро-

при любом значении параметра взаимодействия.

ванной электромагнитным полем Бозе конденсации

В данной работе применение атомного представ-

электронно-дырочных пар [8]. Поскольку величиной

ления [11] и метода Дайсона [18], использующего

межатомного взаимодействия можно управлять по-

индефинитную метрику, позволило рассмотреть кон-

средством изменения условий резонанса Фешбаха, то

денсацию Бозе-Эйнштейна в режиме, когда взаимо-

ультрахолодный Бозе ансамбль атомов, молекул, или

действие бозонов значительно превосходит их кине-

электронно-дырочных пар представляет собой пер-

тическую энергию. В этом случае конденсация силь-

спективную платформу для изучения многочастич-

но коррелированных бозонов происходит при уча-

ных эффектов и развития теоретических представ-

стии кинематического взаимодействия Дайсона [18],

лений [9].

являющегося результатом особых коммутационных

Аналитические методы исследования бозе-

соотношений для операторов Хаббарда.

эйнштейновской конденсации хорошо разработаны

2. Бозоны в оптической решетке. В работе

для относительно слабого взаимодействия бозонов

[19] было показано, что система ультрахолодных ато-

[10]. В этом случае использование свойства мак-

мов в оптической решетке описывается гамильтони-

роскопической заселенности состояния с нулевым

аном Бозе-Хаббарда

значением квазиимпульса и среднеполевого при-

∑

ближения для оператора взаимодействия позволяет

H =

[(ε - µ)n_f +

n_f (n_f - 1)] -

t_fmc^+fc_m, (1)

получать удовлетворительные результаты.

Если же взаимодействие бозонов превосходит их

в котором суммирование происходит по решеточным

узлам, нумеруемым индексами f и m. Бозевские опе-

¹⁾e-mail: vvv@iph.krasn.ru

раторы c_f и c^+m удовлетворяют обычным перестано-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022

857

8^∗

858

В.В.Вальков

вочным соотношениям: [c_f , c^+m]_- = c_f c^+m - c^+mcf =

Физическим следствием

“цветности” бозонов

= δ_fm, δ_fm - символ Кронекера, n_f = c+f c_f - опера-

Хаббарда является кинематическое взаимодействие

тор числа бозонов на узле f. Энергия атома на уз-

между ними, которое в математическом отноше-

ле f обозначена как ε, а µ - химпотенциал системы.

нии проявляется как результат коммутационных

Интенсивность перескока атома между ближайшими

соотношений для операторов Хаббарда

узлами m и f описывается параметром t_fm. Энергия

[X^n,mf, X^p,qg]_- = δ_fg(δ_mpX^n,qf - δ_nqX^p,mf),

(6)

парного взаимодействия бозонов, находящихся на од-

ном узле, обозначена через U.

соответствующих алгебре Ли.

В дальнейшем рассматриваем режим сильных

Следует подчеркнуть, что впервые на существо-

корреляций U ≫ |t_fm|. В этом случае естественно ис-

вание особого взаимодействия в системах, динами-

пользовать формализм, в котором оператор взаимо-

ческие переменные которых описываются оператора-

действия включается в гамильтониан нулевого при-

ми, подчиняющимися алгебре Ли, обратил внимание

ближения, а перескоки в оператор возмущения.

Дайсон [18]. Он же назвал это взаимодействие кине-

3. Атомное представление, бозоны Хаббар-

матическим.

да и кинематическое взаимодействие. Реали-

Важная роль кинематического взаимодействия в

зация сформулированной концепции, как известно,

сильно коррелированных электронных системах от-

достигается посредством перехода к атомному пред-

мечалась ранее в работах [12-17].

ставлению. Введем собственные состояния |n〉 опера-

С учетом полученных выражений гамильтониан

тора c⁺c:

принимает необходимую форму

c⁺c |n〉 = n |n〉, n = 0, 1, 2, ...

(2)

H =H₀ +

(7)

Здесь временно опущен индекс узла f, который в

в которой оператор

дальнейшем легко восстанавливается, n обозначает

∑

H₀ =

E_nX^n,nf,

(8)

число бозонов в состоянии |n〉. Поскольку

f n=0

c|n〉 =

√n|n - 1〉, c⁺|n〉 =√n + 1|n + 1〉,

(3)

E_n = (ε - µ)n + Un(n - 1)/2,

(9)

то операторы c и c⁺ в атомном представлении запи-

имеет диагональный вид и точно учитывает одно-

сываются следующим образом

узельное взаимодействие бозонов.

∑

√

∑

√

Второе слагаемое (7) определяется выражением:

c⁺ =

n + 1X^n+1,n, c =

n + 1X^n,n+1. (4)

∑

n=0

T = -t

∑ √nmX^n,n-1fX^m-1,mf+Δ

(10)

fΔ n,m=1

В этих выражениях операторы Хаббарда

и описывает процессы перескоков бозонов Хаббарда

X^n+1,n = |n + 1〉〈n|, X^n,n+1 = |n〉〈n + 1|,

(5)

между ближайшими узлами.

Подчеркнем, что несмотря на квадратичную по

действуя на состояния с n и n + 1 числом бозонов пе-

X^rtl форму, оператор H_int неявно отражает наличие

реводят их соответственно в состояния, с числом бо-

отмеченного выше кинематического взаимодействия

зонов n+1 и n. Поэтому операторы X^n+1,n и X^n,n+1

между бозонами Хаббарда.

можно рассматривать соответственно как операторы

4. Предел сильного взаимодействия. Вли-

рождения и уничтожения такого бозона (в дальней-

яние кинематического взаимодействия на свойства

шем будем называть его бозоном Хаббарда по анало-

системы бозонов Хаббарда проведем прежде всего

гии с введенными ранее для сильно коррелирован-

в режиме, когда это взаимодействие проявляется в

ных электронных систем фермионов Хаббарда), ко-

чистом виде. С этой целью рассмотрим предельный

торый жестко связан с конкретным переходом. Имея

случай U → ∞, n < 1, для которого актуальный сек-

это в виду, можно сказать, что бозоны Хаббарда яв-

тор гильбертова пространства формируется на осно-

ляются цветными.

ве прямого произведения подпространств, определя-

Это обстоятельство определяет важнейшее отли-

емых базисными векторами |0, f〉 и |1, f〉.

чие исходного бозона, описываемого операторами c

Возникающая в отмеченном пределе система бо-

и c⁺, от “цветных” бозонов Хаббарда. Из (4) видно,

зонов Хаббарда описывается гамильтонианом

что первоначальному бозону соответствует суперпо-

∑

зиция цветных бозонов Хаббарда со своими весовы-

H_∞ = (ε - µ) X^11f - t X^10fX^01f+Δ.

(11)

ми множителями.

fΔ

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022

Спектр возбуждений в ансамбле бозонов Хаббарда

859

Решение задачи о бозе-конденсации и спектре

получим, что в квазиимпульсном представлении

возбуждений проведем на основе метода Дайсона

система описывается гамильтонианом:

[18].

∑

H = (ε - µ - t_k)a

a_k -

(16)

Введем новые бозевские операторы a_f и a^+f, через

которые определим псевдохаббардовские операторы

1∑

(ε - µ - t₁ - t₄)a⁺¹a⁺²a₃a₄Δ(1 + 2 - 3 - 4),

X 11

=a^+fa_f,

X 00

=1-a^+fa_f,

1-4

X 10

X 01

=a^+f,

= (1 - a+f a_f )a_f ,

(12)

где фурье-образ t_k связан с параметрами t_fm обыч-

∑

ным соотношением t_fm = (1/N)_k exp[ik(f - m)]t_k.

удовлетворяющие тем же самым коммутационным

Во втором слагаемом правой части уравнения

соотношениям, что и операторы Хаббарда X^nmf.

(16) для краткости квазиимпульсы обозначены циф-

X nm

Если формально отождествить операторы

рами. Символ Кронекера Δ(1+2-3-4) отражает за-

X^nmf, то формулы (12) соответствуют преобразова-

кон сохранения квазиимпульса при взаимодействии.

ниям Дайсона-Малеева [18, 20] для спиновых опера-

Заметим, что учет метрического оператора

F в

торов со спином S = 1/2.

(13) приводит к ренормировке матричного элемента

X nm

В действительности,

и X^nmf разные опера-

взаимодействия бозонов.

торы. Прежде всего, они действуют в гильбертовых

При вычислении спектра элементарных возбуж-

пространствах разной размерности. Во-вторых, из

дений необходимо учесть бозе-конденсацию при ну-

X 01

X 10

(12) видно, что операторы

не являются

левом значении квазиимпульса [10]. Для этого про-

эрмитовыми по отношению друг к другу.

ведем операцию “сдвига” [23]

Поскольку свойство эрмитовой сопряженности

√

непосредственно связано с определением скалярно-

a₀ -→

N₀ + α₀, a⁺⁰ -→

N₀ + α⁺⁰,

(17)

го произведения, то Дайсон [18] предложил ввести

в которой N₀ - среднее число частиц в конденсате, а

новую метрику (оказавшейся индефинитной), в ко-

α₀ и α⁺⁰ - новые операторы, обусловленные флукту-

торой эрмитовая сопряженность отмеченных опера-

ациями числа конденсатных частиц.

торов будет иметь место.

После подстановки преобразования (17) в (16)

Реализация такой программы приводит к алго-

гамильтониан принимает вид:

ритму получения точных бозе-аналогов квантовых

SU(2) и SU(3) гамильтонианов [21, 22]

H =E₀ +H₍₂₎ +H₍₄₎,

(18)

H (a_f , a^+f) =

FH(

X ),

(13)

где

F - метрический оператор. В нашем случае [21]

E₀ = (1 - n₀)(ε - µ - t₀)N₀ + t₀n₀N₀

(19)

∏

∑

есть энергия находящихся в конденсате частиц, по-

F =

f = 1 + An(a^f)ⁿa^f,

(14)

n=2

лученная без учета флуктуационных ренормировок.

Через n₀ = N₀/N обозначена узельная плотность бо-

A₂ = -1/2, A₃ = 1/3, A₄ = -1/8, ...,

(15)

зонного конденсата.

При записи (18) учтено требование равенства ну-

а оператор H(

X) получается из (11) посредством за-

лю линейной по операторам α₀ и α⁺⁰ формы. Это дает

мены в нем операторов Хаббарда на псевдохаббар-

первое уравнение системы для нахождения n₀ и µ:

довские (12). Заметим, что наличие метрического

оператора не только решает проблему эрмитовости

(1 - 2n₀)(ε - µ - t₀) = -2n₀t₀.

(20)

бозевского гамильтониана, но и позволяет коррект-

но отсечь вклады от так называемых нефизических

Оператор H₍₂₎ имеет стандартную структуру

состояний. Последнее обстоятельство связано с тем,

∑

что в атомном представлении одноузельное гильбер-

H₍₂₎ =

[A_ka^+ka_k +

B_k(a^+ka^+-k + a_-ka_k)],

(21)

тово пространство определяется двумя базисными

k=0

векторами, тогда как размерность одноузельного бо-

в которой

зевского базиса бесконечна.

Используя приведенные выше выражения и

A_k = (1 - 4n₀)Γ_k + t₀, B_k = -2n₀Γ_k,

оставляя в бозе-аналоге слагаемые не выше четвер-

Γ_k = ε - µ - t₀ - t_k.

(22)

той степени по операторам вторичного квантования,

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022

860

В.В.Вальков

Диагонализация (21) посредством преобразова-

ния Боголюбова

a_k = cosh(ϕ_k)b_k + sinh(ϕ_k)b^+-k,

(23)

в котором: cosh(2ϕ_k) = A_k/ω_k, sinh(2ϕ_k) = -B_k/ω_k

приводит к выражению для энергии возбуждения

√

ω_k =

(1 - 2n₀)(1 - 6n₀)ε^2k + 4n₀t₀ε_k,

(24)

в котором ε_k = t₀ - t_k.

При этом второе уравнение системы для вычис-

ления n₀ и µ имеет вид:

∑

A_k - ω_k

n=n₀ +

(25)

ω_k

Рис. 1. (Цветной онлайн) Квазиимпульсные зависимо-

Совместное решение уравнений (20) и (25) при ис-

сти энергий возбуждений в ансамбле бозонов Хаббар-

да при U = ∞ в направлении главной диагонали зо-

пользовании выражения (24) позволяет проследить

ны Бриллюэна (kx = ky = k). Красная пунктирная

за изменением спектра возбуждений при возраста-

линия: n = 0.25, n0 = 0.164; зеленая штриховая ли-

нии концентрации частиц в системе.

ния: n = 0.6, n0 = 0.282; синяя сплошная линия: n =

Численные расчеты проводились для двумерной

= 0.98, n0 = 0.341

решетки при учете перескоков только между бли-

жайшими узлами. Соответствующий интеграл пере-

сектор гильбертова пространства определяется пря-

скока обозначен через t. В этом случае

мым произведением одноузельных подпространств,

построенных на базисных векторах |f, 0〉 и |f, 1〉.

t₀ = 4t, t_k = 4tγ_k, γ_k = (cos(k_x) + cos(k_y))/2.

Определив проекционный оператор на этот сек-

∏

На рисунке 1 представлены результаты численных

тор в виде

P =_f(X^00f + X^11f), получим, что с точ-

расчетов энергетического спектра элементарных воз-

ностью до членов второго порядка малости по пара-

буждений в ансамбле бозонов Хаббарда в режиме

метру |t_fm|/U эффективный гамильтониан рассмат-

предельно сильных одноузельных корреляций. Ки-

риваемого ансамбля определяется выражением

нематическое взаимодействие хаббардовских бозонов

H_eff =

PHP +

P -

P ),

(26)

проявляется в двух отношениях. Во-первых, появля-

H₀ - E₀

ются надконденсатные частицы, поскольку n₀ < n,

в котором E₀ - энергия нулевого приближения.

а спектр элементарных возбуждений на малых зна-

Проводя несложные вычисления, находим

чениях квазиимпульса приобретает линейный харак-

тер. При этом относительная доля надконденсатных

H_eff = H_∞ -

частиц возрастает с возрастанием n, когда вклад ки-

∑

V =V( X^11f+ΔX^11f +

X^10f+ΔX^11fX⁰¹

нематического взаимодействия увеличивается. Кро-

f +Δ1

fΔ

fΔ=Δ1

ме того, увеличение n сопровождается возрастани-

(27)

ем жесткости элементарных возбуждений при малых

значениях квазиимпульса.

где H_∞ определен формулой (11), а параметр вза-

5. Режим больших, но конечных U. Если

имодействия V = 2t²/U. Суммирование по Δ и Δ₁

|t_fm| ≪ U < ∞, то даже при n < 1 перескоки бо-

означает суммирование по ближайшим узлам.

зонов Хаббарда сопровождаются появлением состо-

Применяя тот же метод перехода к бозевскому

яний с двукратным заполнением. Поскольку такие

представлению для гамильтониана, что и в преды-

состояния обладают большой энергией, то их генери-

дущем параграфе, находим, что в рассматриваемом

рование носит виртуальный характер и проявляется

приближении A_q и B_q получаются заменой:

в виде возникновения эффективного межузельного

(t²⁰)

взаимодействия хаббардовских бозонов.

A_q -→ A_q - 2n₀

(1 + γ_q)²,

Для получения вида этого взаимодействия вос-

(t²⁰)

пользуемся операторной формой теории возмуще-

B_q -→ B_q - 4n₀

γ_q.

(28)

ний [24, 25]. В рассматриваемом случае актуальный

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022

Спектр возбуждений в ансамбле бозонов Хаббарда

861

При этом первое уравнение системы для n₀ и µ при-

ростом квазиимпульса. Качественно такая картина

нимает вид

соответствуетпоявлению ротонного участка спектра.

На рисунке 3 показаны зависимости концентра-

(1 - 2n₀)(ε - µ) = [1 - 4n₀(1 - t₀/U)]t₀,

(29)

ции частиц, находящихся в конденсате, от полной

а второе уравнение имеет тот же вид (25).

концентрации бозонов в системе. Видно, что раз-

Из приведенных формул следует аналитическое

ность n - n₀ увеличивается с ростом n. Наибольшее

выражение для квадрата спектра элементарных воз-

значение эта разность имеет место при U = ∞. Для

буждений ансамбля бозонов Хаббарда при учете ки-

конечных значений U эта разность меньше. Физиче-

нематического взаимодействия Дайсона, межузель-

ски это является следствием того, что на фоне кине-

ного притяжения между хаббардовскими бозонами,

матического взаимодействия бозонов Хаббарда начи-

а также коррелированных перескоков:

нает проявляется притяжение между ними ∼ t²/U,

которое растет при уменьшении U.

ω^2k = [1 - 2n₀(1 - l_k)][1 - 2n₀(3 - r_k)]ε^2k +

t₀

2n₀

+ 4n₀t₀[1 - 2

][1 +

l_k]ε_k,

(30)

1 - 2n₀

где

t₀ + t_k

5t₀ + t_k

l_k =

rk =

(31)

На рисунке 2 представлены результаты числен-

ных вычислений спектра бозевских возбуждений в

ансамбле бозонов Хаббарда при U = 10t в том же

приближении ближайших соседей. В данном слу-

чае, кроме кинематического взаимодействия между

хаббардовским бозонами реализуется притяжение, а

также коррелированные перескоки. Это следует из

вида оператора (27).

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимости конденсатных

концентраций n0 от полной концентрации частиц n в

2D решетке при различных значениях U: U = 10t -

красная штрих-пунктирная линия; U = 25t - зеленая

штриховая линия; U = 50t - синяя пунктирная линия;

U = ∞ - черная сплошная линия

Из представленных зависимостей следует, что да-

же при n ∼ 1, когда взаимодействие наиболее эффек-

тивно, доля конденсатных бозонов не меньше 30 %.

В этой связи заметим, что в He-4 эта доля не превы-

шает 10 %. Такое расхождение является естествен-

ным следствием используемого приближения, когда

игнорируются флуктуационные вклады. Их учет мо-

жет быть реализован на основе диаграммной фор-

мы теории возмущений. При этом существенно, что

Рис. 2. (Цветной онлайн) Квазиимпульсные зависимо-

предложенный метод позволяет находить затравоч-

сти энергий возбуждений в ансамбле бозонов Хаббар-

ные функции Грина, необходимые для вычисления

да при U = 10t в направлении главной диагонали зоны

петлевых ренормировок. Соответствующие вычисле-

Бриллюэна. Красная пунктирная линия: n = 0.25, n0 =

ния составят предмет отдельной работы.

= 0.2235; зеленая штриховая линия: n = 0.6, n0 =

= 0.40315; синяя сплошная линия: n = 0.98, n0 = 0.4558

6. Заключение. Развитый в работе метод изу-

чения свойств сильно коррелированного бозонного

Видно, что возрастание концентрации бозонов в

ансамбля заключается в последовательном примене-

системе приводит к увеличению вклада, связанно-

нии известных в теории конденсированного состоя-

го с притяжением бозонов. В результате в квазиим-

ния концепций.

пульсной зависимости ω_q появляется особенность, ха-

Прежде всего это идеология атомного представ-

рактеризуемая уменьшением энергии возбуждения с

ления, позволяющая сильное бозонное взаимодей-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022

862

В.В.Вальков

ствие учитывать точно в гамильтониане нулевого

характеристиках системы. В частности, в квазиим-

приближения, а оператор кинетической энергии рас-

пульсной зависимости энергии элементарных воз-

сматривать по теории возмущений.

буждений появляется особенность, соответствующая

В атомном представлении динамическими пе-

ротонному участку спектра.

ременными являются операторы Хаббарда, описы-

вающие внутриузельные переходы. Соответственно

этому по узлам решетки перемещаются не перво-

G. Grynberg, B. Lounis, P. Verkerk, J.-Y. Courtois, and

начальные бозоны, а “цветные” бозоны Хаббарда.

C. Salomon, Phys. Rev. Lett. 70, 2249 (1993).

“Цветность” обусловлена тем, что каждому внутри-

P. S. Jessen and I. H. Deutsch, Adv. At., Mol., Opt.

узельному переходу однозначно соответствует свой

Phys. 37, 95 (1996).

бозон Хаббарда. При этом исходные бозоны пред-

A. J. Kerman, V. Vuletic, C. Chin, and S. Chu, Phys.

ставляются в виде линейной суперпозиции “цветных”

Rev. Lett. 84, 439 (2000).

бозонов Хаббарда со своими весовыми вкладами.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 113, 539 (2021).

Поскольку коммутационные соотношения для

В. П. Рубан, ЖЭТФ 160, 912 (2021).

операторов Хаббарда соответствуют алгебре Ли, то

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 115, 450 (2022).

между бозонами Хаббарда реализуется кинематиче-

А. П. Зинган, О. Ф. Васильева, П. И. Хаджи, ЖЭТФ

ское взаимодействие Дайсона.

156, 843 (2019).

Вторая концепция основана на методе Дайсона и

П. П. Васильев, Письма в ЖЭТФ 115, 35 (2022).

заключается в получении точного бозевского аналога

Van Thu Nguyen, ЖЭТФ 162, 177 (2022).

гамильтониана ансамбля хаббардовских бозонов по-

10.

Н. Н. Боголюбов, Изв. Ан. СССР, Сер. физ. VI(1), 77

средством введения псевдохаббардовских операто-

(1947).

ров и индефинитной метрики. Применение такой

11.

J. Hubbard, Proc. Roy. Soc., A 285, 542 (1965).

метрики позволяет восстановить эрмитовость полу-

12.

Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975).

чаемого бозевского гамильтониана, а также отсечь

13.

Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 70, 1100 (1976).

вклады от нефизических состояний.

14.

Ю. А. Изюмов, УФН 161, 1 (1991).

В пределе бесконечно большого параметра U

15.

Ю. А. Изюмов, УФН 165, 403 (1995).

и n

< 1 изучено влияние кинематического вза-

16.

Ю. А. Изюмов УФН, 167, 465 (1997).

имодействия бозонов Хаббарда на характеристики

17.

В. В. Вальков, С. Г. Овчинников, Квазичастицы в

бозе-конденсации и спектра элементарных возбуж-

сильно коррелированных системах, Изд-во СО РАН,

дений. В аналитическом виде получено выражение

Новосибирск (2001) [S. G. Ovchinnikov, V. V. Val’kov,

для спектра и вычислена зависимость концентрации

Hubbard Operators in the Theory of Strongly Correlated

бозонного конденсата от концентрации бозонов.

Electrons, Imperial College Press, London (2004)].

Третья концепция связана с использованием опе-

18.

F. Dyson, Phys. Rev. 102(1217), 1230 (1956).

раторной формы теории возмущений, позволяющей

19.

D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, and

получить эффективный гамильтониан при конеч-

P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 81, 3108 (1998).

ных, но больших значениях U. В этом случае, кроме

20.

С. В. Малеев, ЖЭТФ 33, 1010 (1957).

кинематического взаимодействия бозонов Хаббарда,

21.

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, Письма в ЖЭТФ 52,

возникают коррелированные перескоки таких бозо-

1179 (1990).

нов, а также межузельное взаимодействие между

22.

В. В. Вальков, Т. А. Валькова, ЖЭТФ

99,

1881

ними, имеющее характер притяжения. Его интенсив-

(1991).

ность в приближении ближайших соседей определя-

23.

D. van Oosten, P. van der Straten, and H. T. C. Stoof,

ется выражением V = 2t2/U, где t - параметр пе-

Phys. Rev. A 63, 053601 (2001).

рескока между ближайшими узлами. В результате в

24.

Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статисти-

ансамбле бозонов Хаббарда в режиме t ≪ U кон-

ке, Наукова думка, Киев (1949).

куренция двух видов взаимодействия значительно

25.

С. В. Тябликов, Методы квантовой теории магне-

сказывается на спектральных и термодинамических

тизма, Наука, М. (1965).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12

2022