Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 3, с. 159 - 170

Уплощение зон и слияние уровней Ландау в сильно

коррелированных двумерных электронных системах

(Миниобзор)

В.Т.Долгополов⁺ , М.Ю.Мельников⁺, А.А.Шашкин⁺¹⁾, С.В.Кравченко^∗1)

⁺Институт физики твердого тела, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Physics Department, Northeastern University, Boston, Massachusetts 02115, USA

Поступила в редакцию 27 апреля 2022 г.

После переработки 10 июня 2022 г.

Принята к публикации 21 июня 2022 г.

В этом обзоре мы обсуждаем недавние экспериментальные результаты, указывающие на уплощение

зон и слияние уровней Ландау на уровне химического потенциала в сильно коррелированных двумерных

(2D) электронных системах. В сверхчистой сильно взаимодействующей двумерной электронной системе

в квантовых ямах SiGe/Si/SiGe эффективная масса электрона на уровне Ферми монотонно возрастает во

всем диапазоне электронных плотностей, в то время как усредненная по энергии масса насыщается при

низких плотностях. Качественно различное поведение двух масс в этой электронной системе указывает

на вызванное межэлектронным взаимодействием уплощение одночастичного спектра на уровне хими-

ческого потенциала, при котором происходит “коденсация” электронов на уровне Ферми в диапазоне

импульсов, в отличие от конденсации бозонов. В сильных магнитных полях, перпендикулярных дву-

мерному электронному слою, аналогичный эффект разного заполнения квантовых уровней на уровне

химического потенциала слияние расщепленных по спину и долине уровней Ландау наблюдается

в инверсионных слоях на поверхности кремния и в двухслойных двумерных электронных системах на

основе GaAs. Эксперименты также указывают на слияние квантовых уровней композитных фермионов

с разными долинными индексами в сверхчистых квантовых ямах SiGe/Si/SiGe.

DOI: 10.31857/S1234567822150058, EDN: jfpnmo

I. Введение. В системе невзаимодействующих

ка одночастичного спектра на уровне химического

фермионов с непрерывным спектром вероятность за-

потенциала по мере того как увеличивается энер-

полнения квантового состояния при фиксированных

гия фермион-фермионного взаимодействия (верхняя

химическом потенциале и температуре зависит толь-

вставка на рис.1). Этот переход связан с уплощени-

ко от одночастичной энергии [1]. Если температу-

ем зоны или распуханием поверхности Ферми в им-

ра стремится к нулю, энергетический интервал, раз-

пульсном пространстве, которому предшествует воз-

деляющий заполненные и пустые квантовые состоя-

растающая эффективная масса квазичастиц m_F на

ния, также стремится к нулю. Для свободных частиц

уровне Ферми, которая расходится в квантовой кри-

в импульсном пространстве возникает поверхность

тической точке. Создание и исследование матери-

Ферми размерности d - 1, где d - размерность фер-

алов с плоскими зонами в настоящее время явля-

мионов.

ется передовым направлением современной физики

В общем случае это рассуждение неверно для

[9-12]. Интерес вызывает, в частности, тот факт, что

взаимодействующих фермионов [2-8], когда одноча-

из-за аномальной плотности состояний уплощение

стичная энергия зависит от распределения электро-

зоны может быть важно для создания сверхпроводи-

нов, а числа заполнения квантовых состояний на

мости при комнатной температуре. Появление плос-

уровне химического потенциала могут различаться,

кой зоны теоретически предсказано [13-15] в ряде си-

попадая в диапазон от нуля до единицы. Был пред-

стем, включая тяжелые фермионы, высокотемпера-

сказан топологический фазовый переход при темпе-

турные сверхпроводящие материалы,³He и двумер-

ратуре T

= 0 в сильно коррелированных ферми-

ные электронные системы.

системах, связанный с появлением плоского участ-

Роль электрон-электронных взаимодействий в по-

ведении двумерных электронных систем возраста-

¹⁾e-mail: shashkin@issp.ac.ru; s.kravchenko@northeastern.edu

ет по мере уменьшения электронной плотности.

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

159

160

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

Качественно различное поведение двух масс указы-

вает на вызванное взаимодействием уплощение од-

ночастичного спектра на уровне Ферми в этой элек-

тронной системе.

В системе взаимодействующих фермионов, поме-

щенной в сильное перпендикулярное магнитное поле,

можно ожидать аналогичный эффект разного запол-

нения квантовых уровней на уровне химического по-

тенциала. Если энергии двух квантовых уровней пе-

ресекаются друг с другом при изменении внешнего

параметра, они могут совпадать с химическим потен-

циалом в диапазоне значений параметра, т.е. кван-

товые уровни могут сливаться на уровне химическо-

го потенциала в этом диапазоне [17]. Слияние уров-

ней подразумевает наличие притяжения между дву-

мя частично заполненными квантовыми уровнями.

Рис. 1. (Цветной онлайн) Произведение фактора Ланде

Интервал слияния определяется возможностью пе-

и эффективной массы в квантовых ямах SiGe/Si/SiGe

в зависимости от плотности электронов, определен-

рераспределения квазичастиц между уровнями. Эф-

ное по измерениям поля полной спиновой поляриза-

фект слияния находится в контрасте с простым пе-

ции (квадраты) и по осцилляциям Шубникова-де Гааза

ресечением квантовых уровней при некотором значе-

(кружки) при T ≈ 30 мК. Пустые и заполненные сим-

нии электронной плотности/магнитного поля. Экс-

волы соответствуют двум образцам. Эксперименталь-

периментально такое слияние уровней Ландау обна-

ная неопределенность соответствует разбросу данных

ружено в кремниевых полевых транзисторах металл-

и составляет около 2 % для квадратов и около 4 % для

кружков (g0 = 2 и m0 = 0, 19 me - значения для невза-

окисел-полупроводник (МОП) [18] и двухслойных

имодействующих электронов). На верхней вставке схе-

структурах на основе GaAs [19]. Кроме того, сооб-

матично показан одночастичный спектр электронной

щалось об указании на слияние уровней композит-

системы в состоянии, предшествующем уплощению зо-

ных фермионов с разными долинными индексами в

ны на уровне Ферми (сплошная черная линия). Штри-

сверхчистых квантовых ямах SiGe/Si/SiGe [20]. Ни-

ховая фиолетовая линия соответствует обычному па-

раболическому спектру. Заштрихованная область соот-

же мы рассмотрим соответствующие недавние экспе-

ветствует заполненным электронным состояниям при

риментальные данные.

T = 0. Нижняя вставка: эффективная масса mF в зави-

II. Уплощение зон на уровне Ферми. Нач-

симости от плотности электронов, определенная путем

нем с указания на уплощение зоны на уровне Фер-

анализа температурной зависимости амплитуды осцил-

ми, о котором сообщалось в работе [16]. Необработан-

ляций Шубникова-де Гааза аналогично тому, как это

ные экспериментальные данные, полученные в силь-

было сделано в работе [38]. Пунктирная линия показы-

но коррелированных двумерных электронных систе-

вает ожидаемое по эксперименту поведение. Из рабо-

мах, можно разделить на две группы: данные, описы-

ты [16]

вающие электронную систему как целое (такие, как

Энергия взаимодействия характеризуется радиусом

магнитное поле, необходимое для полной поляриза-

Вигнера-Зейтца, r_s = 1/(πn_s)^1/2a_B (здесь n_s - элек-

ции электронных спинов, термодинамическая плот-

тронная плотность и a_B - эффективный боровский

ность состояний или намагниченность электронной

радиус в полупроводнике), который в однодолинном

системы) и данные, относящиеся исключительно к

случае равен отношению кулоновской и кинетиче-

электронам на уровне Ферми (такие как амплиту-

ской энергий.

да осцилляций Шубникова-де Гааза, дающая эффек-

Экспериментально было показано, что с умень-

тивную массу m_F и g-фактор Ланде g_F на уровне

шением электронной плотности (или с увеличением

Ферми). Как правило, данные первой группы интер-

энергии взаимодействия) в сверхчистых квантовых

претируются на языке квазичастиц, в котором ис-

ямах SiGe/Si/SiGe масса электронов на уровне Фер-

пользуются усредненные по энергии значения эф-

ми монотонно возрастает во всем диапазоне элек-

фективной массы m и g-фактора Ланде g. Для опре-

тронных плотностей [16]. Напротив, масса, усреднен-

деления этих величин используются формулы, спра-

ная по энергии, насыщается при низких плотностях.

ведливые в случае невзаимодействующих электро-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

Уплощение зон и слияние уровней Ландау. . .

161

нов. Хотя такой подход идеологически неверен, ре-

зультаты для m и g часто оказываются такими же,

как и результаты для m_F и g_F. В частности, об одно-

временном увеличении усредненной по энергии эф-

фективной массы и массы на уровне Ферми в дву-

мерной электронной системе в кремниевых МОП-

транзисторах сообщалось в более ранних публикаци-

ях [21-27]; было обнаружено, что эффективная масса

сильно увеличена при низких плотностях, в то время

как g-фактор остается близким к своей величине в

объеме кремния, что не подтвердило существование

Стонеровской нестабильности в двумерной электрон-

ной системе в кремнии. Перенормировка массы не

зависит от беспорядка, будучи определяемой только

электрон-электронным взаимодействием [28]. Силь-

но увеличенная эффективная масса в кремниевых

МОП-структурах была интерпретирована в пользу

формирования Вигнеровского кристалла или пред-

шествующей промежуточной фазы, чье происхожде-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость поля полной

ние и существование может зависеть от уровня бес-

спиновой поляризации Bc от электронной плотно-

порядка в электронной системе.

сти при температуре

мК для двух образцов

SiGe/Si/SiGe (точки и квадраты). Черная пунктирная

Экспериментальные результаты, представленные

линия представляет собой линейную аппроксимацию

в этом разделе, были получены в сверхчистых (001)

данных при высокой плотности, которые экстраполи-

квантовых ямах SiGe/Si/SiGe, подробно описанных

руются в ноль при плотности ns ≈ 0.14 × 10¹⁵ м^-2.

в работах [29, 30]. Максимальная подвижность элек-

Сплошная красная линия соответствует расчету [33]

тронов в этих образцах достигала 240 м²/Вс, что

для чистого предела. Верхняя вставка: область низ-

является самым высоким показателем подвижно-

кой плотности из основного рисунка в увеличенном

сти для этой электронной системы и примерно на

масштабе. Также красной пунктирной линией показан

два порядка выше, чем максимальная подвижность

расчет [33] с учетом рассеяния электронов. Нижняя

электронов в наиболее чистых кремниевых МОП-

вставка: магнитосопротивление в параллельном поле

структурах. Магнитосопротивление в параллельном

при температуре 30 мК при различных концентраци-

магнитном поле позволяет определить поле пол-

ях электронов в единицах 10¹⁵ м^-2. Поле поляризации

ной спиновой поляризации B_c, которое соответству-

Bc, определяемое пересечением касательных, отмечено

стрелками. Из работы [16]

ет отчетливому “излому” экспериментальных зависи-

мостей с последующим насыщением сопротивления

[31, 32] (см. нижнюю вставку к рис. 2). Магнитное

(здесь kF - волновой вектор Ферми и l - длина

поле, в котором наступает полная спиновая поляри-

свободного пробега), если считать g-фактор Ланде,

зация, показано как функция электронной плотно-

перенормированный электрон-электронным взаимо-

сти на рис.2 для двух образцов. В диапазоне кон-

действием, равным 2.4. Хотя в работе [33] g-фактор

центраций электронов 0.7 × 10¹⁵ м-2 < ns < 2 ×

Ланде был равен 2, причина 20 % расхождения меж-

10¹⁵ м^-2 данные хорошо описываются линейной за-

ду теорией и экспериментом может быть связана с

висимостью, которая экстраполируется к нулю при

конечным размером волновой функции электрона в

n_s ≈ 0.14 × 10¹⁵ м^-2 (штриховая черная линия). Од-

направлении, перпендикулярном интерфейсу. Кроме

нако при более низких плотностях электронов вплоть

того, произведение k_Fl уменьшается с уменьшением

до n_s ≈ 0.2×10¹⁵ м^-2 (до r_s ≈ 12) экспериментальная

электронной плотности, что приводит к отклонению

зависимость B_c(n_s) отклоняется от прямой и линей-

теоретической зависимости вниз, как показано крас-

но экстраполируется в начало координат.

ной пунктирной линией на верхней вставке к рис. 2.

Сплошной красной линией на рис. 2 показано по-

Чтобы проверить, влияет ли остаточный беспоря-

ле поляризации B_c(n_s), рассчитанное с использова-

док на результаты для магнитного поля полной спи-

нием метода квантового Монте-Карло [33]. Экспери-

новой поляризации, мы сравним наши данные с дан-

ментальные результаты хорошо согласуются с теоре-

ными, полученными ранее на образцах Si/SiGe с по-

тическими расчетами для чистого предела k_Fl ≫ 1

движностью электронов на порядок ниже, чем в на-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

162

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

ших образцах [34]. При высоких концентрациях элек-

произведению g_Fm_F. Качество подгонки показано на

тронов зависимость B_c(n_s) в работе [34] также явля-

рис. 3. Нормированное на ρ₀ магнитосопротивление

ется линейной и экстраполируется к нулю при конеч-

ной плотности. При этом наклон зависимости равен

6×10^-15 Tл· м² и близок к наклону 5.4×10^-15 Tл· м²,

который наблюдался в нашем эксперименте. Однако

электронная плотность, в которую экстраполируется

зависимость B_c(n_s), равна примерно 0.3 × 10¹⁵ м^-2 в

[34], что заметно выше, чем в нашем случае. Таким

образом, беспорядок влияет на поведение поля поля-

ризации B_c в соответствии с работами [33, 35]. Хоро-

шее соответствие наших экспериментальных данных

для B_c и расчетов для чистого предела [33] свиде-

тельствует о том, что электронные свойства наших

образцов слабо чувствительны к остаточному беспо-

рядку, и чистый предел в наших образцах достигнут.

Произведение g_Fm, характеризующее всю дву-

мерную электронную систему, в чистом пределе

может быть определено из равенства зеемановско-

го расщепления и энергии Ферми полностью спин-

поляризованной электронной системы

2πℏ²n_s

g_Fµ_BB_c =

(1)

mg_v

где g_v = 2 - долинное вырождение и µ_B - магнетон

Бора.

С другой стороны, g-фактор Ланде g_F и эффек-

тивная масса m_F на уровне Ферми могут быть опре-

делены из анализа осцилляций Шубникова-де Гааза

Рис. 3. (Цветной онлайн) Подгонка нормированно-

в относительно слабых магнитных полях, как это бы-

го магнитосопротивления δρxx/ρ0 в квантовой яме

ло сделано в работе [16]:

SiGe/Si/SiGe при температуре ≈ 30 мК (точки) с ис-

[

(

)]

пользованием уравнения (2) с (а) gFmF/me = 0.905,

∑

ℏcπn_s

A^LKi cos πi

-1

Z^siZ^vi,

TD = 0.12 K, mF = 0.25 me и γ = 2.5 % и (b) gFmF/me =

eB_⊥

= 1.11, TD = 0.15 K, mF = 0.33 me и γ = -0.5 %. Ука-

(

)

2π²ik_BT_D

2π²ik_BT/ℏω_c

заны факторы заполнения ν = nshc/eB⊥ в миниму-

A^LKi = 4 exp

мах. Вставка: коэффициент асимметрии γ [36], кото-

ℏω_c

sinh (2π²ik_BT/ℏω_c)

(

)

(

)

рый описывает немного разные температуры Дингла

Δ_Z

g_Fm_F

Z^si = cos πi

= cos πi

T^u,dD = TD(1±γ) для двух спиновых подзон, в зависимо-

ℏω_c

2m_e

сти от плотности электронов для двух образцов. Тем-

(

)

Δ_v

пература Дингла для энергетически выгодного направ-

Z^vi = cos πi

(2)

ления спина меньше в диапазоне электронных плотно-

ℏω_c

стей 0.6 × 10¹⁵ м^-2 < ns < 2 × 10¹⁵ м^-2, тогда как при

где T_D - температура Дингла, T - температура, ℏω_c -

меньших плотностях величина γ меняет знак. Из рабо-

циклотронное расщепление, Δ_Z - зеемановское рас-

ты [16]

щепление, Δ_v - долинное расщепление. Из соотно-

шения (2) видно, что если задать Z^vi

= 1 в ис-

δρ_xx = ρ_xx - ρ₀ (где ρ₀ - монотонное изменение дис-

следуемом диапазоне магнитных полей, подгоночны-

сипативного сопротивления с магнитным полем) хо-

ми параметрами являются T_Dm_F, m_F и g_Fm_F [36].

рошо описывается уравнением (2).

Значения T_Dm_F и m_F получены в области темпера-

Основной результат, показанный на рис.1, состо-

тур, где спиновое расщепление незначительно. Бу-

ит в том, что произведения усредненного значения

дучи слабо чувствительной к этим двум подгоноч-

g_Fm и g_Fm_F на уровне Ферми ведут себя анало-

ным параметрам, форма подгонки при самых низких

гично при высоких плотностях электронов, когда

температурах оказывается очень чувствительной к

электрон-электронные взаимодействия относитель-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

Уплощение зон и слияние уровней Ландау. . .

163

но слабы, но качественно отличаются при низких

рис. 1. В критической области рост m_F ограничива-

плотностях, где взаимодействия становятся особенно

ется предельным значением, определяемым темпе-

сильными [37]. Произведение g_Fm_F монотонно воз-

ратурой: m_F < p_FΔp/4k_BT . В наших эксперимен-

растает с уменьшением электронной плотности во

тах увеличение m_F достигает примерно двух раз при

всем диапазоне концентраций электронов, а произ-

n_s = 0.3 × 10¹⁵ м^-2 и T ≈ 30 мК, что позволяет оце-

ведение g_Fm выходит на насыщение при малых n_s.

нить отношение Δp/p_F ∼ 0.06. Именно малость ин-

Подчеркнем, что важна качественная разница в по-

тервала Δp обеспечивает хорошее согласие расчета

ведении двух наборов данных, а не сравнение абсо-

[33] с нашим экспериментом.

лютных значений. Принимая во внимание слабость

Следует отметить, что эффективная масса на

обменных эффектов в двумерной электронной си-

уровне Ферми имеет тенденцию расходиться при

стеме в кремнии [21, 22], это различие можно объ-

плотности n_m, выше критической плотности элек-

яснить только разным поведением двух эффектив-

тронов n_c перехода металл-изолятор, что свидетель-

ных масс. Качественно различное их поведение сви-

ствует о качественном различии между квантовыми

детельствует о вызванном взаимодействием уплоще-

ямами SiGe/Si/SiGe со сверхнизким беспорядком и

нии зоны на уровне Ферми в этой электронной систе-

наименее разупорядоченными кремниевыми МОП-

ме. Для большей уверенности в наших результатах и

структурами, в которых наблюдается обратное со-

выводах на нижней вставке к рис. 1 приведены дан-

отношение n_c ≥ n_m [39]. Это указывает на то, что

ные для эффективной массы m_F, определенной из

эти две плотности не связаны напрямую, а ферми-

анализа температурной зависимости амплитуды ос-

онная конденсация и переход металл-изолятор явля-

цилляции Шубникова-де Гааза, как это было сдела-

ются двумя разными переходами.

но в работе [38]. Аналогичное поведение m_F и g_Fm_F

III. Слияние уровней Ландау в сильно вза-

как функции электронной плотности позволяет ис-

имодействующей двумерной электронной си-

ключить возможное влияние g-фактора на поведение

стеме. Другим примером нетривиального проявле-

произведения эффективной массы и g-фактора, что

ния межфермионных взаимодействий в сильно кор-

согласуется с ранее полученными результатами для

релированных Ферми-жидкостях является слияние

двумерной электронной системы в кремнии.

квантовых уровней в Ферми-системе с дискретным

Экспериментальные результаты естественным об-

спектром, когда заполнения двух квантовых уровней

разом интерпретируются в рамках концепции фер-

на уровне химического потенциала различны [18].

мионной конденсации [2, 4, 8], происходящей на

Приложение перпендикулярного магнитного по-

уровне Ферми в диапазоне импульсов, в отличие

ля B к однородной двумерной электронной систе-

от конденсации бозонов. С увеличением энергии

ме создает две подсистемы уровней Ландау с но-

электрон-электронного взаимодействия одночастич-

мерами i, отличающиеся ±-проекциями спина элек-

ный спектр становится все более плоским в обла-

трона на направление поля. Энергетические уровни

сти Δp вблизи импульса Ферми p_F (верхняя встав-

ε^±i в каждом наборе разделены циклотронным рас-

ка к рис. 1). При относительно высоких концентра-

щеплением ℏω_c = ℏeB/m^∗c, а два набора уровней

циях электронов n_s > 0.7 × 10¹⁵ м^-2 этот эффект

Ландау сдвинуты относительно друг друга спиновым

несущественен, так как одночастичный спектр не

расщеплением Δ_Z = gµ_BB, где m^∗ и g - значения

меняется заметным образом в интервале Δp, и по-

массы и Ланде g-фактора, перенормированные элек-

ведение усредненной по энергии эффективной мас-

тронным взаимодействием (долинным вырождением

сы и массы на уровне Ферми практически одинако-

для простоты пока пренебрегается). Уровни Ландау

вы. Уменьшение электронной плотности в диапазоне

с противоположными направлениями спина долж-

ns < 0.7 × 1015 м-2 приводит к уплощению спек-

ны пересекаться при изменении электронной плот-

тра, так что эффективная масса на уровне Ферми,

ности, что обусловлено сильной зависимостью эф-

m_F = p_F/v_F, продолжает возрастать (здесь v_F - ско-

фективной массы от n_s при слабой зависимости g-

рость Ферми). Напротив, с усредненной по энергии

фактора от n_s. В частности, при больших плотностях

эффективной массой этого не происходит, посколь-

электронов циклотронное расщепление обычно пре-

ку она не особенно чувствительна к этому уплоще-

вышает спиновое, тогда как при малых плотностях

нию. Ожидается, что в критической области, где

должно иметь место противоположное соотношение

эффективная масса на уровне Ферми расходится,

ℏω_c < Δ_Z из-за резко возрастающей массы.

m_F будет зависеть от температуры. Слабое умень-

Как термодинамические, так и кинетические

шение величины g_Fm_F с температурой действитель-

свойства электронной системы определяются по-

но наблюдается в точке наименьшей плотности на

ложением химического потенциала относительно

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

164

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

квантовых уровней, которое, в свою очередь,

и f = min(1 + Γ(i)/(Γ^--i+1,i+1 - Γ^+-i,i+1),2). Вне обла-

определяется магнитным полем и плотностью элек-

сти слияния реализуется обычная диаграмма уров-

тронов. Фактор заполнения равен ν = ns/n0, где

ней Ландау. Отметим, что щель между соседними

n₀ = eB/hc - вырождение уровня. Когда ν является

уровнями Ландау ε⁺ⁱ и ε^-i+1 оказывается невидимой

дробным, химический потенциал совпадает с частич-

в транспортных и термодинамических эксперимен-

но заполненным квантовым уровнем. Вероятность

тах. Верхняя граница области слияния n_m(B) может

найти электрон на уровне химического потенциала

быть записана

определяется дробной частью фактора заполнения

ℏω_c - Δ_Z = 0.

(6)

и может варьироваться от нуля до единицы. При

Электронная система в (100) кремниевых МОП-

целочисленном факторе заполнения наблюдается

структурах характеризуется наличием в спектре

скачок химического потенциала. В эксперименте

двух долин, так что каждый энергетический уровень

скачок проявляется как минимум продольного

ε^±i расщепляется на два уровня, как схематично по-

электрического сопротивления. Минимумы сопро-

казано на рис. 4. Легко видеть, что долинное расщеп-

тивления в плоскости (B, n_s) соответствуют веерной

диаграмме уровней Ландау.

При фиксированном внешнем магнитном поле и

заполнении многих квантовых уровней изменение

электронной плотности на квантовом уровне мало по

сравнению с n_s. Изменение энергии ε_λ оценивается с

помощью соотношения Ландау

∑

δε_λ =

Γ_λσδn_σ,

(3)

где Γ_λσ - амплитуда электрон-электронного взаимо-

действия, являющаяся феноменологической компо-

нентой теории ферми-жидкости [1]. Выбирая маг-

нитное поле, при котором разность между соседними

уровнями Ландау ε⁺ⁱ и ε^-i+1

Рис. 4. (Цветной онлайн) Схема слияния расщепленных

D = ε⁺ⁱ - ε^-i+1 = Δ_Z(n_s,B) - ℏω_c(n_s,B)

(4)

по спину и долине уровней Ландау на уровне хими-

ческого потенциала. Занятые уровни обозначены точ-

зануляется при факторе заполнения ν = n_shc/eB =

ками. Заполнения двух квантовых уровней на уровне

= 2i + 2, стартуем с более высокой плотности, где

химического потенциала изменяются при изменении

оба уровня (i + 1)^- и i⁺ полностью заполнены при

электронной плотности. Из работы [18]

ν = N = 2i + 3, причем разность D(N) отрица-

тельна. Удаление электронов с уровня (i + 1)^- озна-

ление Δ_v способствует слиянию квантовых уровней.

чает уменьшение электронной плотности и увели-

Чем больше долинное расщепление, тем выше плот-

чение D. Пересечение уровней происходит в точке

ность электронов, при которой уровни (i + 1)^- и i⁺

ν = 2i + 2, т.е. уровень i+ становится пустым, а

с разными долинными индексами должны сливать-

уровень (i + 1)^- полностью заполнен при условии

ся на уровне химического потенциала при факторе

Γ(i) = (Γ^--i+1,i+1 - Γ^+-i,i+1) - (Γ^-+i+1,i - Γ^++i,i) ≤ 0.

заполнения ν = 4i+4. Верхняя граница области сли-

В противоположном случае

яния n_m(B) определяется соотношением

Γ(i) > 0

(5)

ℏω_c - Δ_Z - Δ_v = 0,

(7)

одночастичные уровни притягиваются друг к другу

и сливаются на уровне химического потенциала µ со-

которое отличается от уравнения

(6) наличием

гласно условию ε^-i+1 = ε⁺ⁱ = µ. Оба уровня частично

долинного расщепления. Поскольку распределения

заполнены с долями пустых состояний 0 < f_i < 1 и

электронной плотности, соответствующие двум

0 < f_i+1 < 1, удовлетворяющими условию нормиров-

долинам, разнесены на расстояние α в направле-

ки f_i + f_i+1 = f = N - ν. Слияние начинается, когда

нии, перпендикулярном границе раздела Si-SiO₂,

на уровне ε⁺ⁱ появляются пустые состояния, и закан-

междолинный перенос заряда создает добавочное

чивается, когда этот уровень полностью опустоша-

электрическое поле, приводящее к Γ(i) = 4πe²α/κ,

ется. Это соответствует увеличению доли пустых со-

где κ - диэлектрическая проницаемость. Γ(i) опре-

стояний f в диапазоне между f = 1 (или ν = 2i + 2)

деляет силу эффекта слияния, а нижняя граница

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

Уплощение зон и слияние уровней Ландау. . .

165

области слияния соседних уровней Ландау описыва-

ностей. Хотя такое поведение согласуется с резким

ется выражением ℏω_c + n₀Γ(i) - Δ_Z - Δ_v = 0.

ростом эффективной массы при уменьшении n_s, за-

В пределе высокой плотности, когда эффекты

висимость плотности n^∗ от фактора заполнения (или

электрон-электронного взаимодействия пренебрежи-

B) оказывается аномально сильной, что объяснить

мо малы, эффективная масса и g-фактор равны

не удается. В частности, эта зависимость не может

m₀ = 0.19 m_e и g₀ = 2, так что циклотронное расщеп-

быть объяснена вызванным примесями уширением

ление значительно превышает спиновое. При низких

квантовых уровней согласно ω_cτ ∼ 1 (где τ - вре-

плотностях электронов, когда эффекты взаимодей-

мя упругого рассеяния), когда падение подвижности

ствия сильны, эффективная масса m^∗(n_s), как обна-

eτ/m^∗ при низких плотностях электронов определя-

ружено, расходится согласно m₀/m^∗ ≃ (n_s - n_c)/n_s

ется увеличением массы [24].

в квантовой критической точке, близкой к переходу

Ожидаемая верхняя граница области слияния

металл-изолятор, который происходит при n_c ≃ 8 ×

n_m(B), показанная сплошной синей линией на рис.5,

10¹⁰ см^-2, в то время как g-фактор остается близким

определена в работе [18]. Расчетная граница согла-

к g₀, будучи равным g ≃ 1.4 g₀ [21, 22, 24, 25]. Веер-

суется с экспериментальной плотностью n^∗(B), при

ная диаграмма уровней Ландау для этой электрон-

которой исчезают минимумы осцилляций при ν =

ной системы в перпендикулярных магнитных полях

= 4i+4. Этот факт свидетельствует о слиянии уров-

представлена на рис. 5. Минимумы квантовых осцил-

ней в двумерной электронной системе в кремнии.

Описание данных n^∗(B) в сильном магнитном по-

ле улучшается в картине слияния, если учесть нели-

нейные (кубические) поправки к спектру на поверх-

ности Ферми вблизи квантовой критической точки,

которые естественным образом приводят к уменьше-

нию эффективной массы с возрастанием магнитного

поля. Скорректированная зависимость n_m(B) пока-

зана пунктирной фиолетовой линией на рис.5; по-

дробнее об этом см. [18].

IV. Вызванное взаимодействием слияние

уровней Ландау в электронной системе двой-

ных квантовых ям. Как обсуждалось в преды-

дущем разделе, спектр двумерной электронной си-

стемы, находящейся в перпендикулярном магнит-

ном поле, состоит из двух эквидистантных лест-

ниц квантовых уровней, соответствующих направ-

лениям спина вверх и вниз. Если магнитное поле

наклонено на угол β, расстояние между квантовы-

ми уровнями в каждой из спиновых лестниц равно

ℏω_c = ℏeB cos(β)/m^∗c, а сдвиг между лестницами ра-

Рис. 5. (Цветной онлайн) Положения минимумов ос-

вен gµ_BB. Увеличение угла наклона приводит к пе-

цилляций Шубникова-де Гааза в кремниевой МОП-

ресечению квантовых уровней двух лестниц. В пер-

структуре в координатах (B, ns) (квадраты) и ожида-

вый раз пересечение происходит при значении угла

емые положения циклотронного и спинового миниму-

β₁, удовлетворяющем условию cos(β₁) = gm^∗/2m_e.

мов, рассчитанные по формуле ns = νeB/hc (сплошные

При β = β₁ скачки химического потенциала при чет-

линии). Указано положение перехода металл-изолятор

ных факторах заполнения и соответствующие ли-

в B = 0. Расчетная граница слияния nm(B) показа-

на сплошной синей линией при использовании уравне-

нии веерной диаграммы должны исчезнуть. Если

ния (7) и пунктирной фиолетовой линией при учете

учесть взаимодействие между электронами сосед-

нелинейных (кубических) поправок к спектру вблизи

них квантовых уровней и увеличивать угол наклона

поверхности Ферми. Из работы [18]

в окрестности β₁, то квантовый уровень, заполнен-

ный до пересечения, должен с ростом β опустошать-

ляций при факторе заполнения ν = 4i + 4 исчезают

ся. Однако предположим, что одночастичная энер-

ниже некоторой электронной плотности n^∗, завися-

гия электронов на опустошающемся уровне умень-

щей от ν, в то время как минимумы при ν = 4i + 2

шается за счет электронного взаимодействия. В этом

сохраняются вплоть до существенно меньших плот-

случае оба уровня остаются прикрепленными к хи-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

166

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

мическому потенциалу в широком диапазоне углов

Δβ₁, определяемом силой взаимодействия. Вероят-

ность найти электрон на уровне химического потен-

циала различна для противоположных ориентаций

спина, будучи зависящей от внешнего параметра, уг-

ла наклона. Такое поведение соответствует слиянию

квантовых уровней.

В приведенном выше гипотетическом рассмот-

рении пересечение или слияние квантовых уровней

контролируется углом наклона магнитного поля. В

экспериментах с сильно взаимодействующей двумер-

ной электронной системой в (100) кремниевых МОП-

структурах анализировалось исчезновение миниму-

мов продольного сопротивления при изменении как

перпендикулярного магнитного поля, так и элек-

тронной плотности при фиксированном факторе за-

полнения ν = 4(i + 1), где i - целое число. В этом

Рис. 6. (Цветной онлайн) Веерная диаграмма уровней

случае слияние уровней происходит вблизи кванто-

Ландау для двойной квантовой ямы AlGaAs, исследо-

вой критической точки, как это контролируется эф-

ванной в работе [19]. Положения минимумов продоль-

фективной массой, зависящей от электронной плот-

ного сопротивления в плоскости (B, Vg) отмечены точ-

ности [18]. Можно было бы думать, что слияние уров-

ками. Указаны фактор заполнения ν для двухслойной

ней является предвестником распухания поверхно-

электронной системы, а также фактор заполнения ν1

сти Ферми. На самом деле, эти два эффекта не обяза-

(ν2) для заднего (переднего) слоя. В заштрихованных

тельно связаны друг с другом. Ниже продемонстри-

областях слияние квантовых уровней в перпендикуляр-

ных магнитных полях невозможно. В областях, отме-

ровано, что эффект слияния уровней имеет место

ченных овалами, минимумы сопротивления в перпен-

в двухслойной 2D-электронной системе с туннель-

дикулярном магнитном поле не наблюдаются, тогда

ным барьером между электронными слоями [19]. От-

как в наклонном магнитном поле они появляются. Из

метим, что увеличение эффективной массы несуще-

работы [19]

ственно в этом случае.

Образец, использованный в этом разделе, пред-

Рассмотрим фактор заполнения ν = 3. При V_g =

ставляет собой параболическую квантовую яму с уз-

= V_th2 магнитное поле равно Bν = n1(Vth2)hc/3e,

ким туннельным барьером, выращенную на подлож-

где n₁(V_th2) - плотность электронов в заднем слое.

ке GaAs (подробное описание см. в работе [19]). При-

Энергия ε₀ - gµ_BB_ν /2 уровня со спином вверх лест-

ложение напряжения V_g между затвором и контак-

ницы переднего слоя совпадает с энергией ε₁ -

том к квантовой яме позволяет регулировать плот-

- gµ_BB_ν/2 уровня со спином вверх лестницы задне-

ность электронов. Электроны появляются в задней

го слоя (рис.7a). Поскольку вдали от точки баланса

части квантовой ямы при напряжении на затворе вы-

плотность электронов в заднем слое практически не

ше V_th1 ≈ -0.7 В и заполняют одну подзону вплоть

меняется при увеличении V_g выше V_th2 (см., напри-

до V_g

= V_th2

≈ -0.3 В (рис.6). При V_g

> V_th2

мер, рис. 6b работы [41]), плотность электронов в пе-

электроны появляются в передней части ямы и за-

реднем слое в магнитном поле B = B_ν + ΔB вдоль

полняют вторую подзону вплоть до точки баланса

штриховой линии при ν = 3, ограниченной овалом на

V_g = V_balance ≈ 0.

рис. 6, равна n₂ ≃ Δn = 3eΔB/hc. Чтобы сбаланси-

Авторы ориентируются на диапазон затворных

ровать изменение циклотронной энергии ℏeΔB/m^∗c

напряжений между V_th2 и V_balance, где электроны в

и прикрепить оба уровня к химическому потенциалу

перпендикулярных магнитных полях заполняют две

µ, необходимо перенести небольшое количество элек-

квантовые лестницы. Положения квантовых уровней

тронов между уровнями

определяются магнитным полем и напряжением на

δn₂ = -δn₁ > 0,

(8)

затворе. В заштрихованных областях на рис.6 ще-

ли в одночастичном спектре и скачки химического

что приводит к сдвигу одночастичных уровней

потенциала защищены квантовыми эффектами [40].

δε^b1 = Γ^bb1δn₁ + Γ^bf1 δn₂,

В остальных областях слияние квантовых уровней в

принципе возможно.

δε^f0 = Γ^fb0δn₁ + Γ^ff0 δn₂,

(9)

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

Уплощение зон и слияние уровней Ландау. . .

167

Авторы подчеркивают, что в широком диапазоне

магнитных полей при фиксированном факторе за-

полнения ν вероятность найти электрон с энергией,

равной химическому потенциалу, различна для двух

слившихся уровней, как показано на рис. 7b.

Хотя для простоты выше был рассмотрен случай

фактора заполнения ν = 3, те же аргументы спра-

ведливы и для более высоких факторов заполнения.

Факт слияния квантовых уровней в эксперименте

подтверждается использованием наклонных магнит-

ных полей. С наклоном магнитного поля минимумы

магнитосопротивления и скачки химического потен-

циала возникают [42], в частности, вдоль штриховых

линий при ν = 3 и ν = 4, указанных овалами на

рис. 6. Появление скачков химического потенциала в

двухслойной электронной системе в наклонных маг-

нитных полях свидетельствует о том, что квантовые

уровни достаточно узкие.

Как упоминалось выше, скачки химического по-

тенциала могут быть защищены квантовыми эффек-

тами. В общем случае перенос электронов между

квантовыми уровнями разных подзон приводит к

смешиванию волновых функций подзон и открытию

энергетической щели, если недиагональные матрич-

ные элементы не равны нулю [40]. Это реализуется

в заштрихованных областях на рис.6. Напротив, в

областях слияния при ν = 3 и ν = 4, указанных ова-

Рис. 7. (Цветной онлайн) (a) - Расположение и запол-

лами на рис. 6, недиагональные матричные элементы

нение квантовых уровней в двухслойной электронной

в перпендикулярных магнитных полях равны нулю

системе в режиме слияния при факторе заполнения

из-за ортогональности находящейся в плоскости ча-

ν = 3. (b) - Функция распределения электронов в ре-

сти волновых функций в двухслойной электронной

жиме слияния при ν = 3. Из работы [19]

системе. Наклон магнитного поля нарушает орто-

гональность волновых функций соседних квантовых

где Γ^λσj - амплитуда электронного взаимодействия,

уровней, и возникает энергетическая щель [42, 43].

индекс b (f) относится к заднему (переднему) слою,

V. Слияние квантовых уровней композит-

и j = 0.1 - номер уровня Ландау. Оба уровня при-

ных фермионов. Наконец, рассмотрим указание на

крепляются к химическому потенциалу при условии

слияние квантовых уровней композитных фермио-

δε₀ - δε₁ = ℏeΔB/m^∗c, что дает

нов с разными долинными индексами [20]. Концеп-

ция композитных фермионов [44-48] успешно описы-

ℏeΔB

δn₂ =

(10)

вает дробный квантовый эффект Холла с нечетны-

m^∗c Γ

ми знаменателями, сводя его к обычному целочис-

где Γ = Γ^bb1+Γ^ff0 -Γ^bf1 -Γ^fb0. В приближении плоского

ленному квантовому эффекту Холла для композит-

конденсатора получаем

ных частиц. В простейшем случае композитный фер-

мион состоит из электрона и двух квантов магнит-

4πe²a

Γ≃

(11)

ного потока и движется в эффективном магнитном

поле B^∗, определяемом разностью внешнего магнит-

где a - расстояние между центрами масс распреде-

ного поля B и поля, соответствующего фактору за-

лений электронной концентрации в направлении z в

полнения электронов ν = 1/2. Фактор заполнения

обеих подзонах. Слияние уровней справедливо для

для композитных фермионов p связан с ν соглас-

фактора заполнения

но выражению ν = p/(2p ± 1). Дробная энергетиче-

ская щель, которая, как предсказано, определяется

(n₂ + δn₂)hc

ν₂ =

< 1.

(12)

кулоновским взаимодействием в виде e²/κl_B, соот-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

168

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

ветствует циклотронной энергии композитных фер-

мионов ℏω^∗c = ℏeB^∗/m_CFc, где l_B = (ℏc/eB)^1/2 -

магнитная длина и m_CF - эффективная масса ком-

позитного фермиона. Электрон-электронное взаимо-

действие входит в теорию неявно, поскольку исполь-

зуется приближение среднего поля в предположении,

что флуктуации электронной плотности малы. Тео-

рия подтверждается экспериментальным наблюдени-

ем масштаба, соответствующего фермиевскому им-

пульсу композитных фермионов в нулевом эффек-

тивном магнитном поле при ν = 1/2.

Образцы, изучаемые в этом разделе, представ-

ляют собой сверхчистые двухдолинные (001) кван-

товые ямы SiGe/Si/SiGe, аналогичные описанным в

работах [29, 30]. Продольное удельное сопротивление

ρ_xx как функция обратного фактора заполнения по-

казано для различных электронных плотностей на

рис. 8a. Минимумы сопротивления наблюдаются при

квантовых числах композитных фермионов p = 1, 2,

3, 4 и 6 вблизи ν = 1/2 в положительных и отри-

цательных эффективных полях B^∗, что свидетель-

ствует о высоком качестве образцов. Высокое каче-

ство квантовой ямы также подтверждается наличи-

ем дробей ν = 4/5 и ν = 4/11 [49], соответствую-

щих p = 4/3, которые могут быть описаны в тер-

минах второго поколения композитных фермионов.

Минимумы при p = 3 исчезают ниже определенной

электронной плотности, хотя окружающие миниму-

мы при p = 2 и p = 4 сохраняются до значительно бо-

Рис. 8. (Цветной онлайн) Магнитосопротивление в

лее низких плотностей. Ясно, что выделенность ми-

квантовой яме SiGe/Si/SiGe при T

≈ 0.03 К (а) - в

нимумов при p = 3 при низких концентрациях элек-

перпендикулярных магнитных полях при плотностях

тронов нельзя объяснить уширением уровней. С дру-

электронов (сверху вниз) 2.14, 2.81, 3.48, 3.81, 4.15, 4.82,

гой стороны, такое поведение удивительно похоже

5.49, 6.15, 6.82 и 7.49 × 10¹⁰ см^-2, и (b) - в наклонных

на эффект исчезновения циклотронных минимумов

магнитных полях при плотностях электронов (сверху

магнитосопротивления при низких плотностях элек-

вниз) 2.14, 2.81, 3.48, 4.15, 4.48, 4.82, 5.49, 6.15, 6.82,

тронов в кремниевых МОП транзисторах, в то вре-

7.49, 8.16 и 8.83×10¹⁰ см^-2. Кривые сдвинуты по верти-

мя как спиновые минимумы сохраняются вплоть до

кали на 750 Ω для ясности. Штриховыми вертикальны-

заметно более низких плотностей [50], что означает,

ми линиями отмечены ожидаемые положения наблю-

что циклотронное расщепление становится равным

даемых минимумов сопротивления, а сплошными вер-

тикальными линиями - ожидаемые, но не наблюдае-

сумме спинового и долинного расщеплений, а соот-

мые минимумы сопротивления при низких плотностях.

ветствующие долинные подуровни сливаются [18].

Из работы [20]

Измерения в наклонных магнитных полях позво-

ляют сделать выбор между спиновым и долинным

происхождением эффекта. Зависимость магнитосо-

начинает наблюдаться минимум сопротивления при

противления от обратного фактора заполнения пока-

ν = 3/5, и строим ее зависимость от угла наклона,

зана для угла наклона Θ ≈ 61^◦ при различных плот-

как показано на рис. 9b. Величина n^∗s оказывается

ностях электронов на рис. 8b. Здесь авторы ориенти-

независимой в пределах экспериментальной погреш-

руются на минимум сопротивления при ν = 3/5. По-

ности от угла наклона магнитного поля. Поскольку

ведение, наблюдаемое для минимума ν = 3/5, очень

спиновое расщепление определяется полным магнит-

похоже на поведение в перпендикулярных магнит-

ным полем Δ_s = gµ_BB_tot, можно ожидать, что значе-

ных полях, что справедливо для всех образцов и уг-

ние n^∗s должно уменьшаться с углом наклона (встав-

лов наклона. Определяем плотность n^∗s, при которой

ка к рис. 9b), что противоречит эксперименту. Авто-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

Уплощение зон и слияние уровней Ландау. . .

169

на пересечение или слияние квантовых уровней ком-

позитных фермионов с разными долинными индек-

сами, что свидетельствует о влиянии долин на дроби.

Понятно, что для пересечения или слияния уров-

ней композитных фермионов с разными долинны-

ми индексами функциональные зависимости обоих

расщеплений от магнитного поля (или электронной

плотности) при фиксированном p должны разли-

чаться. Действительно, циклотронная энергия ком-

позитных фермионов ℏω^∗c определяется энергией ку-

лоновского взаимодействия e²/κl_B, а долинное рас-

щепление Δ_v в двумерной электронной системе в

Si изменяется линейно с изменением магнитного по-

ля (или плотности электронов) [52]. В сильных маг-

нитных полях долинное расщепление сильно превы-

шает циклотронную энергию композитных фермио-

нов, так что для случая p = 3 все три заполнен-

ных уровня композитных фермионов принадлежат

одной долине (рис. 9а). При уменьшении магнитно-

го поля при фиксированном p нижайший уровень с

противоположным долинным индексом должен сов-

пасть с верхним заполненным уровнем, приводя к

исчезновению энергетической щели и исчезновению

минимума сопротивления при p = 3. При дальней-

шем уменьшении магнитного поля должно происхо-

дить либо простое пересечение уровней и повторное

Рис. 9. (Цветной онлайн) (a) - Схематическое поведе-

появление щели, либо слияние/зацепление уровней,

ние уровней композитных фермионов с учетом расщеп-

сопровождаемое постепенным изменением заполне-

ления между верхней (штриховые линии) и нижней

ний обоих уровней [18]. По аналогии с кремниевы-

(сплошные линии) долинами при изменении магнитно-

ми МОП-транзисторами весьма вероятно, что слия-

го поля B при фиксированном p. В интересной обла-

ние уровней композитных фермионов с разными до-

сти при p = 3, отмеченной кружком, происходит либо

линными индексами происходит в квантовых ямах

простое пересечение уровней, либо слияние/зацепление

SiGe/Si/SiGe со сверхнизким беспорядком.

уровней, сопровождаемое постепенным изменением за-

VI. Заключение. Мы обсудили недавние экспе-

полнений обоих уровней. (b) - Плотность n^∗s, при ко-

риментальные результаты, указывающие на уплоще-

торой начинает наблюдаться минимум сопротивления

ние зон и слияние уровней Ландау на уровне хими-

при ν = 3/5 в квантовой яме SiGe/Si/SiGe, как функ-

ция угла наклона. Штриховая горизонтальная линия

ческого потенциала в сильно коррелированных дву-

линейная апроксимация данных. На вставке схематич-

мерных электронных системах. Показано, что числа

но (с точностью до численного множителя) показа-

заполнения квантовых состояний на уровне химиче-

ны зависимости циклотронной энергии композитных

ского потенциала могут быть разными в диапазоне

фермионов (сплошная линия) и зеемановской энергии

от нуля до единицы, что свидетельствует о не ферми-

(штрих-пунктирная линия) от магнитного поля B при

жидкостном виде функции распределения.

фиксированном угле наклона. Наклон прямой линии

Группа из Института физики твердого тела бы-

увеличивается с увеличением Θ. Из работы [20]

ла поддержана в рамках госзадания. С. В. Кравченко

был поддержан грантом National Science Foundation

#1904024.

ры заключают, что спиновое происхождение эффек-

та можно исключить, выявляя его долинное проис-

хождение. Долинное расщепление Δ_v, как ожидает-

1. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics Part

ся, нечувствительно к параллельной компоненте маг-

2, Pergamon, Oxford (1980).

нитного поля [51], так что величина n^∗s не должна

2. V. A. Khodel and V. R. Shaginyan, JETP Lett. 51, 553

зависеть от угла наклона, что согласуется с экспери-

(1990).

ментом. Таким образом, эти результаты указывают

3. G. E. Volovik, JETP Lett. 53, 222 (1991).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022

3^∗

170

В.Т.Долгополов, М.Ю.Мельников, А.А.Шашкин, С.В.Кравченко

P. Noziéres, J. Phys. I (France) 2, 443 (1992).

30.

M. Y. Melnikov, V. T. Dolgopolov, A. A. Shashkin, S.-

V.A. Khodel, J. W. Clark, and M. V. Zverev, Phys. Rev.

H. Huang, C. W. Liu, and S.V. Kravchenko, J. Appl.

B 78, 075120 (2008).

Phys. 122, 224301 (2017).

V.R. Shaginyan, M. Y. Amusia, A.Z. Msezane, and

31.

T. Okamoto, K. Hosoya, S. Kawaji, and A. Yagi, Phys.

K. G. Popov, Phys. Rep. 492, 31 (2010).

Rev. Lett. 82, 3875 (1999).

J. Clark, M. Zverev, and V. Khodel, Ann. Phys. 327,

32.

S. A. Vitkalov, H. Zheng, K. M. Mertes, M. P. Sarachik,

3063 (2012).

and T. M. Klapwijk, Phys. Rev. Lett. 85, 2164 (2000).

M. V. Zverev, V. A. Khodel, and S. S. Pankratov, JETP

33.

G. Fleury and X. Waintal, Phys. Rev. B 81, 165117

Lett. 96, 192 (2012).

(2010).

34.

T. M. Lu, L. Sun, D. C. Tsui, S. Lyon, W. Pan,

T. T. Heikkila, N. B. Kopnin, and G. E. Volovik, JETP

Lett. 94, 233 (2011).

M. Mühlberger, F. Schäffler, J. Liu, and Y. H. Xie, Phys.

Rev. B 78, 233309 (2008).

10.

Ed. by K. Bennemann and J. Ketterson, Novel

35.

V. T. Renard, B. A. Piot, X. Waintal, G. Fleury,

Superfluids, Oxford University Press, Oxford (2013).

D. Cooper, Y. Niida, D. Tregurtha, A. Fujiwara,

11.

S. Peotta and P. Torma, Nat. Commun. 6, 8944 (2015).

Y. Hirayama, and K. Takashina, Nat. Commun. 6, 7230

12.

G. E. Volovik, Phys. Scr. T 164, 014014 (2015).

(2015).

13.

M. Amusia, K. Popov, V. Shaginyan, and

36.

V. M. Pudalov, M. E. Gershenson, and H. Kojima, Phys.

W. Stefanowicz, Theory of Heavy-Fermion Compounds,

Rev. B 90, 075147 (2014).

Springer International Publishing, N.Y. (2015).

37.

V. T. Dolgopolov, Phys.-Uspekhi 62, 633 (2019).

14.

A. Camjayi, K. Haule, V. Dobrosavljević, and

38.

M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov,

G. Kotliar, Nat. Phys. 4, 932 (2008).

S. V. Kravchenko, S.-H. Huang, and C. W. Liu, JETP

15.

D. Yudin, D. Hirschmeier, H. Hafermann, O. Eriksson,

Lett. 100, 114 (2014).

A.I. Lichtenstein, and M. I. Katsnelson, Phys. Rev.

39.

M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov,

Lett. 112, 070403 (2014).

A. Y.X. Zhu, S. V. Kravchenko, S.-H. Huang, and

16.

M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov, S.-

C. W. Liu, Phys. Rev. B 99, 081106(R) (2019).

H. Huang, C. W. Liu, and S. V. Kravchenko, Sci. Rep.

40.

V. T. Dolgopolov, A.A. Shashkin, E. V. Deviatov,

7, 14539 (2017).

Hastreiter,

M. Hartung, A. Wixforth,

17.

V.A. Khodel, J. W. Clark, H. Li, and M. V. Zverev,

K. L. Campman,

and A. C. Gossard, Phys. Rev.

Phys. Rev. Lett. 98, 216404 (2007).

B 59, 13235 (1999).

18.

A.A. Shashkin, V.T. Dolgopolov, J. W. Clark,

41.

A. G. Davies, C. H. W. Barnes, K. R. Zolleis,

V.R. Shaginyan, M. V. Zverev, and V. A. Khodel, Phys.

J. T. Nicholls, M. Y. Simmons, and D. A. Ritchie,

Rev. Lett. 112, 186402 (2014).

Phys. Rev. B 54, R17331 (1996).

19.

A.A. Shashkin, V.T. Dolgopolov, J. W. Clark,

42.

E. V. Deviatov, V. S. Khrapai, A. A. Shashkin,

V.R. Shaginyan, M. V. Zverev, and V. A. Khodel,

V. T. Dolgopolov, F. Hastreiter, A. Wixforth,

JETP Lett. 102, 36 (2015).

K. L. Campman, and A.C. Gossard, JETP Lett.

20.

V.T. Dolgopolov, M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, S.-

71, 496 (2000).

H. Huang, C. W. Liu, and S. V. Kravchenko, Phys. Rev.

43.

C. A. Duarte, G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas,

B 103, L161302 (2021).

A. K. Bakarov, and J. C. Portal, Phys. Rev. B 76,

21.

S. V. Kravchenko and M. P. Sarachik, Rep. Prog. Phys.

075346 (2007).

67, 1 (2004).

44.

J. K. Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199 (1989).

22.

A.A. Shashkin, Phys.-Uspekhi 48, 129 (2005).

45.

B. I. Halperin, P. A. Lee, and N. Read, Phys. Rev. B 47,

23.

V.M. Pudalov, Phys.-Uspekhi 49, 203 (2006).

7312 (1993).

24.

A.A. Shashkin, S. V. Kravchenko, V.T. Dolgopolov,

46.

J. K. Jain, Science 266, 1199 (1994).

and T. M. Klapwijk, Phys. Rev. B 66, 073303 (2002).

47.

T. Chakraborty, Adv. Phys. 49, 959 (2000).

25.

A. Mokashi, S. Li, B. Wen, S. V. Kravchenko,

48.

J. K. Jain, Composite Fermions, Cambridge University

A.A. Shashkin, V. T. Dolgopolov, and M. P. Sarachik,

Press, N.Y. (2007).

Phys. Rev. Lett. 109, 096405 (2012).

49.

V. T. Dolgopolov, M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, S.-

26.

V.T. Dolgopolov, JETP Lett. 101, 282 (2015).

H. Huang, C. W. Liu, and S. V. Kravchenko, JETP Lett.

27.

A.Y. Kuntsevich, Y. V. Tupikov, V. M. Pudalov, and

107, 794 (2018).

I. S. Burmistrov, Nat. Commun. 6, 7298 (2015).

50.

S. V. Kravchenko, A. A. Shashkin, D. A. Bloore, and

28.

A.A. Shashkin, A. A. Kapustin, E. V. Deviatov,

T. M. Klapwijk, Solid State Commun. 116, 495 (2000).

V.T. Dolgopolov, and Z. D. Kvon, Phys. Rev. B 76,

51.

V. S. Khrapai, A. A. Shashkin, and V. T. Dolgopolov,

241302 (2007).

Phys. Rev. Lett. 91, 126404 (2003).

29.

M. Y. Melnikov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov, S.-

52.

V. S. Khrapai, A. A. Shashkin, and V. T. Dolgopolov,

H. Huang, C. W. Liu, and S.V. Kravchenko, Appl. Phys.

Phys. Rev. B 67, 113305 (2003).

Lett. 106, 092102 (2015).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 3 - 4

2022