Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 6, с. 399 - 400

Комментарий к статье

“Теория вращающегося двумерного вигнеровского кластера”

(Письма в ЖЭТФ 115(10), 642 (2022))

К.В.Чукбар¹⁾

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Поступила в редакцию 1 июля 2022 г.

После переработки 1 июля 2022 г.

Принята к публикации 16 августа 2022 г.

DOI: 10.31857/S1234567822180112, EDN: kgnwoo

В работе [1] изучалось поведение двумерного

го поля понимается малость циклотронной частоты

кластера взаимодействующих электронов в перемен-

в сравнении с собственными частотами системы, а у

ном магнитном поле. Полученные результаты весь-

жесткого кластера такие частоты стремятся к беско-

ма интересны и актуальны, однако, как представля-

нечности.

ется, в тексте недостаточно прослежен общефизиче-

Вообще, ларморовы частоты проявляются в са-

ский контекст решаемых задач.

мых разных случаях. Наряду с разобранным эффек-

В частности, авторы пишут, что изменение одно-

том, можно сослаться на указанную в [3] (§ 64, с.310)

родного магнитного поля, перпендикулярного плос-

эквивалентность задачи об определении переменного

кости жесткого кластера, с B₁ на B₂ вызывает его

магнитного поля вокруг неравномерно вращающего-

вращение как целого с частотой, равной разности

ся тела задаче об определении магнитного же поля

“циклотронных получастот”: Ω = (ω_B1-ω_B2)/2, ω_B =

вокруг неподвижного тела, находящегося в однород-

= eB/(mc). Эта получастота имеет стандартное на-

ном внешнем поле с B = -2mcΩ/e или на “класси-

именование в физической номенклатуре, а сам эф-

ческое” объяснение эффекта Зеемана в томсоновской

фект является прямым следствием так называемой

модели атома - см. задачу к § 21 на с. 79 в [2]. Да до-

теоремы Лармора. Вот как она формулируется в

статочно просто сравнить выражения для двух ги-

классическом курсе [2] (§ 45, с. 142): “...в нереляти-

роскопических сил: магнитной составляющей силы

вистском случае поведение системы зарядов с оди-

Лоренца mω_B × v и силы Кориолиса m2Ω × v.

наковыми отношениями e/m, совершающих финит-

Далее, утверждение авторов [1], что свободные

ное движение в центрально-симметричном электри-

электроны в аналогично изменяющемся магнитном

ческом поле и в слабом однородном магнитном по-

поле “будут вращаться вокруг некоторых положе-

ле B, эквивалентно поведению этой же системы за-

ний” также не вполне корректно. По крайней мере,

рядов в том же электрическом поле в системе ко-

если под свободой понимать отсутствие взаимодей-

ординат, вращающейся с угловой скоростью Ω =

ствия не только с параболическим потенциалом, но и

= eB/(2mc). . ., а угловая скорость Ω = eB/(2mc)

между собой и при не слишком быстром переключе-

называется ларморовой частотой”.

нии от B₁ до B₂ за время τ, удовлетворяющее нера-

В случае кластера роль внешнего электрическо-

венству ω_Bτ ≫ 1, их поведение не таково. Следует

го поля, обеспечивающего финитность эволюции си-

заметить, что даже если магнитное поле очень мало

стемы, играет внешний же параболический потен-

(∼ 1 Гс), то время переключения должно превышать

циал. Как можно увидеть из доказательства теоре-

всего лишь половину микросекунды (для ω_Bτ ∼ 10),

мы Лармора в [2], ни электрическая его природа,

т.е. в реальном эксперименте при создании B маг-

ни центральная симметрия не требуются, использу-

нитными катушками указанное соотношение будет

ется только зависимость этого потенциала лишь от

выполняться с большим запасом.

расстояний частиц до центра системы, так что акси-

В таком режиме основным эффектом будет ради-

альной симметрии и направленности как магнитно-

го поля, так и частоты вращения вдоль оси класте-

альное смещение электронов к центру или от центра

ра вполне достаточно. Под слабостью же магнитно-

системы в зависимости от того, растет или падает

внешнее поле. Согласно гл. III в [4] при выполнении

¹⁾e-mail: Chukbar_KV@nrcki.ru

этого неравенства в уравнении движения электрона

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 5 - 6

2022

399

400

К.В.Чукбар

(при B > 0, в противном случае под корнем стоит

=F-

v×B

-B, и знак правой части меняется). Иными словами,

под воздействием какой-либо перпендикулярной к

мягкий кластер не только сжимается/расширяется,

внешнему магнитному полю силы F можно прене-

но и слегка проворачивается, однако смещение по уг-

бречь инерцией в левой части в сравнении с послед-

лу много меньше радиального. “Вращаются вокруг

ним членом в правой части. В результате эта сила

некоторых положений” только электроны, помещен-

приводит к так называемому дрейфовому движению

ные в магнитное поле с исходно ненулевой скоро-

со скоростью, направленной вдоль -F × B (аналог

стью (но и при этом дрейф неизбежен) или испы-

прецессии гироскопа). В данном случае в цилиндри-

тавшие “скачок” этого поля с ω_Bτ ≪ 1, при котором

ческой системе координат в задаче наличествует пе-

уже инерция доминирует над магнитной составляю-

ременное во времени, но однородное в пространстве

щей силы Лоренца. Однако, как указано выше, реа-

магнитное поле B = B(t)e_z с вектор-потенциалом

лизовать такой режим на практике, а не в расчетах

крайне непросто.

A = Br/2·e_ϕ, порождающее индукционное электри-

И в заключение следует отметить, что и вращение

ческое поле E = -1/c · ∂A/∂t.

жесткого, и сжатие мягкого кластера являются три-

Согласно сказанному выше, исходно покоящийся

виальным следствием закона сохранения обобщенно-

в таком B электрон в первом приближении будет ис-

го углового импульса (момента импульса) системы

пытывать дрейф в скрещенных полях v_E = cE ×

вследствие нетеровой симметрии ее лагранжиана:

B/B². Его скорость равна v_E

= r = -

Br/(2B),

∑[

]

т.е. движение происходит с сохранением интеграла

mr²ⁱϕ˙_i -

A(t, r_i)r_i

= const.

r²B = const (смена знака магнитного поля в та-

ком подходе не описывается, поскольку вблизи B →

→ 0 дрейфовое приближение неизбежно нарушает-

Просто в первом случае ввиду невозможности ра-

ся). Иными словами, при изменении B, скажем, в

диального движения компенсация переменной по-

два раза, кластер “свободных” электронов как про-

левой составляющей происходит за счет механиче-

стая совокупность невзаимодействующих (например,

ской, а во втором все решается внутри члена с

из-за большой разреженности) частиц сожмется или

вектор-потенциалом (инерция дрейфового движения

√

расширится в

2 раз. Поскольку данный вариант со-

ничтожна). Лагранжев и гамильтонов подход позво-

ответствует другой крайности - случаю предельно

ляет сделать очень многое, например, проанализиро-

мягкой системы (с нулевыми собственными частота-

вать, как модифицируется дрейфовый интеграл r²B

ми), то не удивительно, что в реалистичных расче-

при прохождении B(t) через 0.

тах [1] наблюдалось и вращение, и сжатие класте-

Автор благодарен А. С. Иоселевичу и В. П. Пасту-

ра. В принципе, в движении можно учесть и следую-

хову за ценные обсуждения.

щий член разложения по параметру (ω_Bτ)^-1 - дрейф

под воздействием силы инерции -m v_E , который из-

1. М. М. Махмудиан, М. М. Махмудиан, М. В. Энтин,

за связи с переменностью уже электрического поля

Письма в ЖЭТФ 115, 642 (2022).

принято называть “поляризационным” [4]. Нетрудно

2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика,

видеть, что он приводит к угловому смещению элек-

т.II. Теория поля, Наука, М. (1973), 504 с.

трона по закону rϕ˙ = vE/ωB, или, если угодно, с

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика,

учетом указанного закона сохранения

т.VIII. Электродинамика сплошных сред, Наука, М.

(

)

(1982), 624 с.

dϕ

d²

√

4. Д. А. Франк-Каменецкий, Лекции по физике плазмы,

B dt²

Атомиздат, М. (1968), 288 с.

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 5 - 6

2022