Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 8, с. 563 - 569

Униполярные локализованные автоволны сдвиговой деформации

в неравновесном парамагнетике

С. В. Сазонов¹⁾

Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, 191991 Москва, Россия

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия

Поступила в редакцию 12 сентября 2022 г.

После переработки 18 сентября 2022 г.

Принята к публикации 18 сентября 2022 г.

Показано, что в кубическом парамагнитном кристалле, подвергнутом в направлении внешнего маг-

нитного поля продольной статической деформации, может сформироваться наносекундный униполяр-

ный солитоноподобный импульс типа локализованной автоволны сдвиговой деформации, которая рас-

пространяется перпендикулярно к магнитному полю. Приток в импульс запасенной в парамагнитных

ионах энергии за счет неравновесной начальной населенности их стационарных квантовых состояний

компенсируется необратимыми потерями, вызванными затуханием импульса из-за его взаимодействия с

тепловыми колебаниями кристаллической решетки, дефектами и микронеоднородностями.

DOI: 10.31857/S1234567822200101, EDN: kpgogg

1. Введение. Одной из тенденций развития фи-

Отдельной строкой следует выделить исследова-

зической акустики является поиск и предсказание

ния диссипативных оптических солитонов [18-24].

явлений, аналогичных тем, что были обнаружены

Здесь изучены свойства как квазимонохроматиче-

или предсказаны в нелинейной оптике [1]. В зна-

ских, так и униполярных солитонов. В согласии с

чительной степени это касается нелинейных явле-

отмеченной выше тенденцией рассмотрены акустиче-

ний, связанных с солитонной динамикой. Так, вслед

ские аналоги оптических диссипативных солитонов

за открытием и теоретическим объяснением резо-

[25, 26].

нансного оптического эффекта самоиндуцированной

Следует отметить, что солитоноподобные реше-

прозрачности (СИП) [2] была обнаружена и всесто-

ния, исследованные в [25, 26], а также в [27-29] нель-

ронне исследована теоретически акустическая СИП

зя в строгом смысле назвать диссипативными соли-

(АСИП) на парамагнитных примесях в твердых те-

тонами. Дело в том, что в отличие от диссипатив-

лах [3-5]. Довольно активно исследовались также

ных солитонов, описанных, например, в монографии

акустические аналоги нерезонансных оптических со-

[18], данные солитоноподобные решения могут быть

литонов [6].

реализованы в течение короткого времени, ограни-

Временные длительности исследованных акусти-

ченного характерным временем T₁ релаксации на-

ческих солитонов лежат в широком интервале зна-

селенностей квантовых уровней. Поэтому такие ре-

чений от микро- до субпикосекунд [7, 8]. При этом

шения названы солитоноподобными диссипативны-

несущие частоты заполняют дальний ультразвуко-

ми структурами (объектами) [25, 26], имеющими свои

вой диапазон от единиц до сотен гигагерц.

аналоги в оптике [27-29]. Таким образом, чем длин-

Отмеченная выше тенденция также имеет место

нее T₁, тем больше время жизни данных солитоно-

в исследовании оптических и акустических солито-

подобных объектов.

нов все более коротких длительностей, содержащих

В работе [30] в качестве долгоживущих кван-

порядка одного и даже половины периода колебаний

товых состояний предложено использовать возбуж-

соответствующей физической природы [9-17]. На се-

денные рамановские подуровни. Непосредственный

годняшний день можно с уверенностью говорить об

квантовый переход между рамановскими подуров-

оптических и акустических униполярных (полупери-

нями запрещен. Такой переход возможен только че-

одных) импульсах [15, 16].

рез вышележащий по энергетической шкале проме-

жуточный квантовый уровень. Таким образом, раз-

¹⁾e-mail: sazonov.sergey@gmail.com

решенный переход является двухфотонным. В таких

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022

563

564

С. В. Сазонов

условиях при инверсной населенности рамановских

подуровней возможно формирование униполярных

солитоноподобных объектов [30]. При этом усиление

таких объектов за счет притока запасенной на рама-

новских подуровнях энергии компенсируется потеря-

ми в результате необратимой релаксации в системе

других квантовых переходов.

Целью настоящей работы является исследование

принципиальной возможности и условий формиро-

вания униполярных локализованных объектов аку-

стической природы из-за двухфононных переходов в

системе неравновесно населенных штарковских и зе-

Рис. 1. Расщепление квантового состояния эффектив-

емановских подуровней примесных парамагнитных

ного спина в сильном поле продольной статической де-

ионов.

формации εzz и параллельном ему слабом магнитном

2. Постановка задачи и основные урав-

поле. Магнитное поле, направленное вдоль оси z, сни-

нения. Будем считать, что кубический кристалл,

мает вырождение по проекции эффективного спина на

данное направление, а поле статической деформации -

содержащий примесные парамагнитные ионы, поме-

по модулю данной проекции

щен во внешнее магнитное поле B и в поле продоль-

ной статической деформации. Оба поля направле-

ны вдоль оси z, параллельной кристаллической оси

Здесь ℏ - постоянная Планка, ω₀ = gµ_BB/ℏ - часто-

четвертого порядка. Статическая деформация созда-

та зеемановских расщеплений спиновых подуровней,

ет градиент внутрикристаллического электрического

µ_B- магнетон Бора, g - фактор Ланде, G_∥ и G_⊥ - по-

поля, вызывающий квадрупольное штарковское рас-

стоянные взаимодействия, соответственно, продоль-

щепление квантовых уровней парамагнитных ионов.

ных и поперечных деформаций кристалла с эффек-

В свою очередь, магнитное поле вызывает зееманов-

тивным спином, ε_zx = 0.5∂u_z/∂x - компонента тен-

ское расщепление данных уровней. При этом в пер-

зора сдвиговой деформации кристалла, u_z - компо-

пендикулярном направлении, вдоль оси x, на кри-

нента вектора сдвига униполярного импульса, пода-

сталл подается униполярный импульс поперечного

ваемого на кристалл,

S_z и

S_x - спиновые матрицы,

ультразвука (импульс сдвиговой деформации). Дан-

имеющие вид [32]:

ный импульс создает в кристалле локальные гради-









енты внутреннего электрического поля, вызывающие









за счет механизма ван Флека [31,32] квадрупольные

S_z =

 0

,

S_x =

√

 1

. (2)

квантовые переходы между образовавшимися в упо-

-1

мянутых выше статических полях подуровнями па-

рамагнитных ионов.

Представляя матрицу плотности ρ эффективного

Опыт показывает, что наиболее сильное взаимо-

спина в виде

действие с полем деформации кристаллической ре-





шетки испытывают парамагнитные ионы с эффек-

ρ₊₊ ρ₊₀ ρ_+-





тивным спином S = 1 [32]. Магнитное поле снимает

ρ=

 ρ^∗+0

ρ₀₀

ρ_0-

,

(3)

вырождение по проекции S_z данного спина на ось

ρ^∗+- ρ^∗0- ρ_--

z. Из-за квадрупольного эффекта Штарка в стати-

ческом поле деформации снимается вырождение по

после использования операторного уравнения

модулю проекции S_z данного спина на ось z. Как ре-

фон Неймана с учетом (1) и (2) будем иметь

зультат, внутри парамагнитного иона формируется

∂ρ₊₀

неэквидистантная трехуровневая система, показан-

= -ω₊ρ₊₀ + Ω(ρ₀₀ - ρ₊₊ + ρ_+-),

∂t

ная на рис. 1. При этом считается, что штарковское

расщепление доминирует над зеемановским.

∂ρ_0-

= ω_-ρ_0- + Ω(ρ₀₀ - ρ_-- + ρ_+-),

(4)

Оператор Гамильтона эффективного спина, взаи-

∂t

модействующего с отмеченными выше статическими

∂ρ_+-

полями и локальным полем сдвиговой деформации

= 2ω₀ρ_+- + Ω(ρ^∗0- - ρ_0-),

(5)

∂t

ультразвукового импульса, имеет вид [32]

∂ρ₊₊

∂ρ_--

Ĥ_s = ℏω₀

S_z +G_∥ε^(0)zz

S^2z +0.5G_⊥ε_zx

S_zSx +Sx

S_z). (1)

= Ω(ρ^∗+0 - ρ₊₀), i

= Ω(ρ^∗0- - ρ_0-),

(6)

∂t

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022

Униполярные локализованные автоволны сдвиговой деформации в неравновесном парамагнетике

565

∂ρ₀₀

p_z - объемная плотность импульса локальной сдви-

= Ω(ρ₊₀ - ρ^∗+0 + ρ_0- - ρ^∗0-).

(7)

∂t

говой деформации в направлении оси z, ρ и a - со-

Здесь

ответственно равновесная плотность кристалла и ли-

G_⊥ε_zx

G_⊥

∂u_z

нейная скорость поперечного звука в нем, а интегри-

Ω=

√

(8)

рование ведется по всему объему кристалла.

2ℏ

2ℏ ∂x

Отсюда, а также из (1)-(3) и (8) будем иметь

нижние индексы +, 0 и - у элементов матрицы плот-

ности обозначают значения проекции S_z эффектив-

∂²Ω

∂³Ω

-a²

- 2qa

ного спина +1, 0 и -1 соответственно (рис. 1), ω₊ =

∂t²

∂x²

∂t³

= ω_S+ω₀ и ω_- = ω_S-ω₀ - частотыквантовых перехо-

дов + ↔ 0 и - ↔ 0 соответственно, ω_S = |G_∥εzz |/ℏ -

nG^2⊥ ∂²

(ρ₊₀ + ρ^∗+0 - ρ_0- - ρ^∗0-),

(9)

частота квадрупольного штарковского расщепления

32ℏρ ∂x²

из-за статической деформации кристалла.

где n - концентрация парамагнитных ионов.

Населенности квантовых состояний удовлетворя-

В левой части (9) добавлено последнее эмпириче-

ют условию нормировки ρ₊₊ + ρ₀₀ + ρ_-- = 1.

ское слагаемое, описывающее затухание ультразвука

В материальных уравнениях (4)-(7) мы прене-

при его взаимодействии с тепловыми колебаниями

брегли релаксационными слагаемыми, так как счита-

кристаллической решетки, дефектами, микронеодно-

ем, что длительность τ_p импульса значительно коро-

родностями и т.п. [37, 38], где q - параметр, характе-

че всех времен релаксации. Такое условие с хорошим

ризующий данное затухание.

запасом выполняется для наносекундных импульсов,

Таким образом, самосогласованная система урав-

так как характерные время T₂ фазовой релаксации и

нений (4)-(7) и (9) описывает нелинейное распро-

время T₁ релаксации населенностей квантовых уров-

странение поперечного ультразвука в намагничен-

ней порядка 10^-5 с и 10^-3 с соответственно [3].

ном и статически деформированном парамагнитном

Здесь важно выполнение неравенства G_∥ε^z

< 0.

кристалле.

Именно в этом случае состояния с S_z = ±1 лежат

Затухание ультразвука, описываемое последним

ниже по энергии, чем состояние с S_z = 0 (рис. 1).

слагаемым в левой части, может быть компенсиро-

Например, для ионов Fe²⁺, внедренных в кубический

вано запасом энергии при неравновесной населенно-

кристалл MgO, имеем G_∥ > 0 [3]. Следовательно, в

сти зеемановских состояний парамагнитных ионов.

этом случае ε^z

< 0. Таким образом, статическая де-

Например (ниже это мы будем предполагать), состо-

формация должна быть деформацией сжатия.

яние с S_z = +1 может вначале быть более заселен-

Условие доминирования квадрупольного штар-

ным, чем состояние с S_z = -1 (рис. 1).

ковского расщепления над зеемановским имеет вид

Из приведенных выше оценок видно, что выпол-

неравенства ω_S ≫ ω₀. Взяв для только что рассмот-

няется условие

ренного примера G_∥ ∼ 10^-13 эрг [3, 31], |εzz | ∼ 10-4,

ω_Sτ_P ≫ 1,

(10)

будем иметь ω_S ∼ 10¹⁰ с^-1. Величину B магнитно-

которое можно использовать для упрощения мате-

го поля можно подобрать таким, чтобы частота зе-

риальных уравнений (4)-(7) . Тогда в левых ча-

емановского расщепления ω₀ была порядка 10⁸ с^-1.

стях уравнений (4) можно положить приближенно

В этих условиях можно пренебречь неоднородным

∂ρ₊₀/∂t = ∂ρ_0-/∂t = 0. Выражая в этих случаях из

уширением δω задействованных квантовых перехо-

(4) ρ₊₀ и ρ_0-, после подстановки получившихся вы-

дов, для которых δω ∼ 10⁷ с^-1 [33].

ражений в (5) и (6) при учете неравенства ω_S ≫ ω₀

Используя полуклассический подход, запишем

придем к системе вида

одномерные уравнения для поля сдвиговой дефор-

мации [13]:

∂U

∂V

= 2ω₀V,

= -2ω₀U + QW,

∂t

∂u_z

(H_a + Sp(ρĤs)),

∂t

δp_z

∂W

= -QV,

(11)

∂t

∂p_z

(H_a + Sp(ρĤs)),

где Q = Ω²/ω_S и введены вещественные блоховские

∂t

δu_z

переменные

где

∫

[

]

ρ_+- + ρ^∗+-

ρ_+- - ρ^∗+-

ρ₊₊ - ρ_--

H_a = 0.5

p^2z/ρ + ρa²(∂u_z/∂x)²

d³r,

U =

, V =

, W =

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022

566

С. В. Сазонов

Совершая аналогичные преобразования в правой

где

∫

∫t

части (9), будем иметь

θ=

Qdt^′ =

Ω²dt^′.

(16)

∂²Ω

∂Ω

∂²

∂³Ω

ω_S

-a²

= 2a²η

(ΩU) + 2qa

(12)

-∞

−∞

∂t²

⁰∂x²

∂x²

∂t³

В этом случае из первого выражения (11) будем

⊥

где a²⁰ = a²[1 - η(1 - 3w₀)], η =^nG

, w₀ - началь-

16ℏωS ρa²

иметь

ная населенность верхнего квантового состояния с

∂U

= 2ω₀W_-∞ sinθ.

(17)

S_z = 0.

∂t

При выводе (12) использовано условие нормиров-

Подставляя (17) в (13) с учетом первого вы-

ки населенностей квантовых уровней, в котором из-

ражения

(15), придем к нелинейному интегро-

за условия (10) было положено ρ₀₀ ≈ w₀.

дифференциальному волновому уравнению

Система материальных уравнений (11) аналогич-

на системе, описывающей двухквантовые переходы

∂Ω

1∂Ω

∂²Ω

= µΩ sin θ + q

(18)

между рамановскими подуровнями при вынужден-

∂x

a ∂t

∂t²

ном комбинационном рассеянии света [36]. В (11)

где µ = 2ω₀ηW_-∞/a.

роль рамановских подуровней и частоты нормальной

При инверсной начальной населенности зеема-

колебательной моды молекулы выполняют, соответ-

новских подуровней имеем W_-∞ > 0. Следователь-

ственно, зеемановские подуровни, характеризуемые

но, µ > 0. Данный запас энергии, как было замече-

проекциями эффективного спина S_z = ±1, и частота

но выше, способен компенсировать потери, описыва-

2ω₀ перехода между ними (рис.1).

емые последним слагаемым в правой части (18).

Взяв n ∼ 10¹⁹ см^-3, G_⊥ ∼ 10^-14 эрг, ρ ≈ 5 г/см³

Инверсная населенность зеемановских подуров-

[3, 31, 32], a ≈ 5 · 105 см/c, ωS ∼ 1010 с-1, найдем

ней может быть создана, например, предваритель-

η ∼ 10^-5 ≪ 1. По этой причине в (12) можно по-

ным импульсным воздействием на парамагнитные

ложить a₀ ≈ a и считать малой правую часть дан-

ионы резонансным импульсом продольного ультра-

ного уравнения. Тогда можно редуцировать волно-

звука [3,28]. В этом случае ответственным за ре-

вое уравнение от второго порядка к первому с помо-

зонансный квантовый переход -

→ + является

щью приближения однонаправленного распростра-

отмеченный выше механизм ван Флека. Для допол-

нения импульса со скоростью, близкой к линейной

нительного уменьшения населенности основного со-

скорости a [37]. В результате получим

стояния, характеризующегося проекцией эффектив-

∂Ω

1∂Ω

η ∂

∂²Ω

ного спина S_z = -1, может быть задействован так-

(ΩU) + q

(13)

же квантовый переход - → 0 за счет резонансного

∂x

a ∂t

a∂t

∂t²

магнитно-дипольного взаимодействия с электромаг-

Таким образом, условие (10) позволило нам фор-

нитным импульсом частоты ω₊ (рис. 1).

мально исключить из рассмотрения возбуждение

Уравнение (18) (см. также (16)) формально сов-

квантовых переходов - ↔ 0 и + ↔ 0. Исследование

падает с уравнением (12) из статьи [30]. Поэтому про-

свелось к рассмотрению динамики поля импульса и

ведем здесь анализ, воспользовавшись найденным

возбуждения запрещенного перехода - ↔ + квадра-

в [30] приближенным солитоноподобным решением

том поля через промежуточное состояние с S_z = 0 на

уравнения (18):

основе самосогласованной системы уравнений (11) и

(13).

(t - x/v),

Ω = Ω_msech

(19)

3. Униполярная автоволна. Из приведенных

τ_p

выше численных оценок следует, что с хорошей точ-

где

ностью выполняется условие

√

ω₀τ_p ≪ 1.

(14)

2πω_s

√3πq

Ω_m =

, τ_p =

(20)

3τ_p

τ_p

8µ

Используя (14), можно из системы (11), (13) ис-

ключить материальные переменные. Для этого в (11)

На первый взгляд, данное решение обладает

положим в нулевом приближении по малому пара-

всеми свойствами диссипативного солитона. Дей-

метру (14) ω₀ = 0. Тогда, считая, что до импульсно-

ствительно, в данном локализованном решении

го воздействия на среду (при t = -∞) U = V = 0,

отсутствуют непрерывные свободные параметры.

W = W_-∞, из (11) найдем

Амплитуда Ω_m солитоноподобного униполярного им-

U = 0, V = W-∞ sinθ, W = W-∞ cosθ,

(15)

пульса, его скорость v и временная длительность τ_p

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022

Униполярные локализованные автоволны сдвиговой деформации в неравновесном парамагнетике

567

принимают фиксированные значения, зависящие от

Здесь τ₀ и Ω₀ - соответственно длительность и вре-

параметров среды, которые определяются коэффи-

менной профиль импульса деформации на входе

циентами уравнения (18). В то же время состояния

в среду, величина A₀, очевидно, пропорциональна

среды до и после прохождения импульса отличаются

входной энергии импульса.

друг от друга и обладают конечными временами

Приняв к сведению, что I = 0.5ρa³ε^2zx есть интен-

жизни, т.е. являются метастабильными. Из (15), (16)

сивность импульса, приходим к выводу, что величина

и (19) следует, что при t → +∞ динамические пара-

σ = ρa³ε^2zxτ_p имеет смысл энергии импульса на еди-

метры W и V принимают соответственно значения

ницу площади его поперечного сечения. Тогда можно

√

W_+∞ = -W_-∞/2 < 0 и V_+∞ = -

3W_-∞/2. В то же

записать A₀ = σ₀/σ_c, где σ₀ - входная энергия им-

время параметр U остается пренебрежимо малым.

пульса на единицу площади, а σ_c = 4ℏ²ω_sρa³/G^2⊥ -

Таким образом, приток энергии в импульс сдвиго-

характерное для рассматриваемой среды значение

вой деформации от каждого парамагнитного иона

такой удельной энергии.

составляет 2ℏω₀(W_-∞ -W_+∞) = 3ℏω₀W_-∞. Данный

Униполярный импульс на входе в среду может

приток компенсируется необратимыми потерями, не

быть создан за счет электрострикции с помощью воз-

связанными с парамагнитными ионами.

действия на кристалл мощным наносекундным им-

Так как W_+∞ = 0, на запрещенном переходе

пульсом [6, 7].

с частотой 2ω₀ остается индуцированная прошед-

При этом легко видеть, что введенная выше энер-

шим импульсом когерентность. Однако данная ко-

гия на единицу поперечной площади сформировав-

герентность, как видно из (11) и (12), неспособна

шейся локализованной автоволны (19) равна A ≡

без дополнительного затравочного поля стимулиро-

∫

≡ω^-1

Ω²dt = σ/σ_c = 4π/3.

вать генерацию колебаний сдвиговой деформации в

-∞

кристалле. Время жизни в данном суперпозицион-

Приведем некоторые численные оценки. Для ги-

ном состоянии порядка времени необратимой фа-

гагерцовых частот имеем qω² = 0.3 см^-1 [40]. Взяв

зовой релаксации T₂ на рассматриваемом переходе.

ω = 5 · 109 с^-1, найдем отсюда q ∼ 10-20 с2/см.

При ω₀ ∼ 10¹¹ c^-1 для ионов Fe²⁺ в кристалле MgO

При принятых выше параметрах среды имеем µ ∼

T₂ ∼ 10^-5 с [3]. В нашем случае для ω₀ ∼ 10⁸ c^-1 и

∼ 10^-2 см^-1. Тогда из последнего выражения (20) по-

температурах T жидкого гелия выполняется условие

лучим τ_p ∼ 10^-9 с. Из последнего выражения (20) бу-

ℏω₀ ≪ k_BT, где k_B - постоянная Больцмана. При

дем иметь, q/τ_p ∼ 10^-11 с/см ≪ 1/a. Отсюда, в част-

такой ситуации T₂ ∼ ω^-20 [38]. Тогда в рассматри-

ности, следует, что скорость автоволны практически

ваемом нами случае имеем T₂ ∼ 10 с. Время жизни

равна линейной скорости волны сдвиговой деформа-

начального состояния парамагнитных ионов, харак-

ции в рассматриваемом кристалле.

теризующегося инверсной населенностью зееманов-

Для характерной удельной энергии σ_c при ис-

ских подуровней и нулевой когерентностью на соот-

пользованных выше значениях параметров имеем

ветствующем квантовом переходе, порядка времени

оценку σ_c

∼ 10 мкДж/см². Так как σ

∼ σ_c, то

энергетической релаксации T₁, которое на два поряд-

для интенсивности I импульса находим I ∼ σ/τ_p ∼

ка превышает время T₂.

∼ 10⁴ Вт/см². Тогда его относительная деформация

√

Итак, при прохождении солитоноподобного им-

ε_zx ∼

I/ρa³ ∼ 10^-4 - 10^-3. Считая, что характер-

пульса (19) среда совершает переход между дву-

ный поперечный размер упругого импульса d ∼ 1 мм,

мя долгоживущими метастабильными состояниями.

для его мощности P и энергии w найдем соответ-

Следуя терминологии, принятой в [39], назовем со-

ственно P ∼ Id² ∼ 10² Вт и w ∼ Pτ_p ∼ 0.1 мкДж.

литоноподобный сигнал (19) локализованной авто-

Таким образом, локализованная униполярная ав-

волной.

товолна сдвиговой деформации представляет собой

Воспользовавшись результатами работы [30], за-

достаточно мощный сигнал наносекундной длитель-

пишем пороговые условия на входные параметры им-

ности.

пульса сдвиговой деформации, при которых данный

4. Заключение. Проведенное исследование по-

униполярный импульс способен преобразоваться в

казало, что в парамагнитном кристалле, помещен-

локализованную автоволну (19):

√

ном во внешнее магнитное поле и поле продоль-

ной статической деформации, могут быть созданы

τ₀ > τ_c ≡

τ_p ≈ 0.63τ_p,

условия для двухквантовых спин-фононных перехо-

(

√

)

∫

дов, аналогичных рамановским двухфотонным пере-

3π

τ^2c

A₀ ≡

Ω²⁰dt > A_c ≡

(21)

ходам в оптике. Роль частоты данных переходов иг-

ω_s

τ²

рает частота зеемановского расщепления состояний

-∞

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022

568

С. В. Сазонов

эффективных спинов. При инверсной начальной на-

11.

Э. М. Беленов, А. В. Назаркин, Письма в ЖЭТФ 51,

селенности зеемановских подуровней в кристалле мо-

252 (1990) [E. M. Belenov and A. V. Nazarkin, JETP

жет сформироваться наносекундный униполярный

Lett. 51, 288 (1990)].

солитоноподобный импульс сдвиговой деформации,

12.

D. H. Auston, K. P. Cheung, J. A. Valdmanis, and

который мы назвали локализованной автоволной.

D. A. Kleinman, Phys. Rev. Lett. 53, 1555 (1984).

Здесь приток энергии из парамагнитных ионов ком-

13.

S. V. Sazonov, J. Phys.: Condens. Matter 6, 6295 (1994).

пенсируется необратимыми потерями, обусловлен-

14.

А. А. Заболотский, Письма в ЖЭТФ 76, 709 (2002)

ными затуханием импульса из-за его рассеяния на

[A. A. Zabolotskii, JETP Lett. 76, 607 (2002)].

тепловых колебаниях кристаллической решетки, де-

15.

S. V. Sazonov and N. V. Ustinov, Phys. Rev. E 73,

фектах и микронеоднородностях. Важно отметить,

056614 (2006).

что при прохождении импульса парамагнитные ионы

16.

Р. М. Архипов, Письма в ЖЭТФ 113, 636 (2021)

переходят из неравновесного состояния с инверсной

[R. M. Arkhipov, JETP Lett. 113, 611 (2021)].

населенностью зеемановских подуровней в другое

17.

Р. М. Архипов, М. В. Архипов, А. В. Пахомов,

метастабильное состояние. Поэтому время, в течение

М. О. Жукова, А. Н. Цыпкин, Н. Н. Розанов,

которого такие объекты могут наблюдаться в экспе-

Письма в ЖЭТФ 113, 237 (2021) [R. M. Arkhipov,

риментальных условиях, ограничены сверху харак-

M. V. Arkhipov, A. V. Pakhomov, M. O. Zhukova,

A. N. Tcypkin, and N. N. Rosanov, JETP Lett. 113, 242

терными временами жизни ионов в этих состояниях.

(2021)].

Как показали проведенные выше оценки, это время

18.

Н. Н. Розанов, Диссипативные оптические и род-

достаточно велико и составляет порядка десятков се-

ственные солитоны, Физматлит, М. (2021).

кунд.

19.

N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo, and

Пороговые условия (21) отражают существенно

Ph. Grelu, International Journal of Bifurcation and

нелинейный характер формирования рассмотренной

Chaos 19, 2621 (2009).

здесь локализованной автоволны.

20.

N. A. Veretenov, N. N. Rosanov, and S.V. Fedorov,

Phys. Rev. Lett. 117, 183901 (2016).

21.

С. В. Федоров, Н. Н. Розанов, Н. А. Веретенов,

1. Ф. В. Бункин, Ю. А. Кравцов, Г. А. Ляхов, УФН

Письма в ЖЭТФ 107, 342 (2018) [S. V. Fedorov,

149, 391 (1986) [F. V. Bunkin, Yu. A. Kravtsov, and

N. N. Rosanov, and N.A. Veretenov, JETP Lett. 107,

G. A. Lyakhov, Sov. Phys.-Uspekhi 29, 607 (1986)].

327 (2018)].

2. S. L. McCall and E. L. Hahn, Phys. Rev. Lett. 18, 908

22.

С. К. Турицын, Н. Н. Розанов, И. Я. Яруткина,

(1967).

А. Е. Беднякова, С. В. Федоров, О. В. Штырина,

3. N. S. Shiren, Phys. Rev. B 2, 2471 (1970).

М. П. Федорук, УФН 186, 713 (2016) [S. K. Turitsyn,

4. Г. А. Денисенко, ЖЭТФ

60,

2270

(1971)

N. N. Rosanov, I. A. Yarutkina, A. E. Bednyakova,

[G. A. Denisenko, JETP 33, 1220 (1971)].

S. V. Fedorov, O. V. Shtyrina, and M. P. Fedoruk,

Phys.-Uspekhi 59, 642 (2016)].

5. В. В. Самарцев, Б. П. Смоляков, Р. З. Шарипов,

Письма в ЖЭТФ 20, 644 (1974) [V. V. Samartsev,

23.

Н. А. Веретенов, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, УФН

B. P. Smolyakov, and R. Z. Sharipov, JETP Lett. 20,

192, 143 (2022) [N. A. Veretenov, N. N. Rosanov, and

296 (1974)].

S. V. Fedorov, Phys.-Uspekhi 65, 131 (2022)].

6. В. Э. Гусев, А. А. Карабутов, Лазерная оптоакусти-

24.

V. E. Lobanov, N.M. Kondratiev, and I.A. Bilenko,

ка, Наука, М. (1991).

Opt. Lett. 46, 2380 (2021).

25.

С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 113, 612 (2021)

7. С. А. Ахманов, В. Э. Гусев, УФН

162,

(1992)

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 113, 592 (2021)].

[S. A. Akhmanov and V. E. Gusev, Sov. Phys.-Uspekhi

35, 153 (1992)].

26.

С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 114, 102 (2021)

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 114, 104 (2021)].

8. С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин, Опти-

ка фемтосекундных лазерных импульсов, Наука, М.

27.

S. V. Sazonov, Phys. Rev. A 103, 053512 (2021).

(1988).

28.

С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 114, 160 (2021)

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 114, 132 (2021)].

9. F. Krausz and M. Ivanov, Rev. Mod. Phys. 81, 163

(2009).

29.

S. V. Sazonov, Laser Physics Lett. 18, 105401 (2021).

10. Э. М. Беленов, П. Г. Крюков, А. В. Назаркин,

30.

С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 116,

(2022)

А.Н. Ораевский, А. В. Усков, Письма в ЖЭТФ

[S. V. Sazonov, JETP Lett. 116, 22 (2022)].

47,

442

(1988)

[E. M. Belenov, P. G. Kryukov,

31.

В. А. Голенищев-Кутузов, В. В. Самарцев, Н. К. Со-

A.V. Nazarkin, A.N. Oraevskii, and A.V. Uskov, JETP

ловаров, Б. М. Хабибуллин, Магнитная квантовая

Lett. 47, 523 (1988)].

акустика, Наука, М. (1977).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 7 - 8

2022