Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 9, с. 628 - 634

Квантовая обратная связь вне контролируемой системы

В.А.Томилин¹⁾, Л.В.Ильичев

Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 25 июля 2022 г.

После переработки 8 сентября 2022 г.

Принята к публикации 20 сентября 2022 г.

Предложен новый метод управления квантовыми системами при помощи обратной связи. Обратная

связь не затрагивает параметры самой управляемой системы, а меняет информационное содержание ее

контактов с окружением (меняет так называемое “распутывание” квантовой операции, описывающей эти

контакты). В качестве примера рассмотрена задача об управлении состоянием двухмодового атомарно-

го конденсата Бозе-Эйнштейна, одна из мод которого подвергается фазо-контрастному зондированию в

интерферометре Маха-Цандера. Различные “распутывания” операции фотодетектирования осуществля-

ются при помощи изменения фазового сдвига в свободном от конденсата плече интерферометра. Выве-

дено кинетическое уравнение, описывающее эволюцию состояния конденсата с учетом обратной связи, и

на основе его стационарного решения рассчитано расхождение Кульбака-Лейблера между распределе-

ниями атомов по модам с обратной связью и в ее отсутствие. Показано, что это расхождение достигает

максимума при нетривиальных значениях задающих распутывание параметров.

DOI: 10.31857/S123456782221011X, EDN: lirimb

1. Введение. Каноническое определение кибер-

взаимодействие рассматриваемой системы с другой

нетики как науки об общих закономерностях полу-

квантовой системой. При этом стадия извлечения

чения, хранения, преобразования и передачи инфор-

из системы классической информации отсутствует

мации в сложных управляющих системах [1] можно

[7, 8]. В работе [9] предложен эффективный способ

несколько сузить на класс самоуправляемых систем.

контроля состояния атомарного бозе-конденсата с

При этом в фокусе внимания оказывается петля об-

помощью комбинации обоих типов обратной связи.

ратной связи как основа автоконтроля. С развити-

Для управления системой S при помощи пет-

ем экспериментальных техник обращения с систе-

ли обратной связи, основанной на измерениях, ис-

мами, демонстрирующими существенно квантовые

пользуется взаимодействующая с S вспомогательная

свойства, сформировалась наука о квантовой обрат-

система-контроллер C. Такая схема появилась в ра-

ной связи [2]. Первые эксперименты в этом направ-

ботах Р.Эшби [10] на самой заре кибернетики, когда

лении были проведены в 1980-х гг. [3, 4]. Некоторые

именно самоуправляемые системы были основным

ранние методы теории квантового (само)управления

объектом исследования. На рисунке 1 стрелками по-

изложены в [5, 6].

казаны каналы взаимодействия систем между собой

Все множество подходов к организации кван-

товой обратной связи может быть разделено на

две большие группы: так называемая обратная

связь, основанная на измерениях (measurement-based

feedback), и когерентная обратная связь (coherent

feedback). В первом случае непрерывно наблюдае-

мая квантовая система оказывается генератором

классической информации, например, серии фо-

торегистраций. С помощью механизма обратной

связи эта информация инициирует дополнительные

преобразования состояния системы (помимо вызван-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схема управления системой S

ного самим измерением) или условий ее эволюции. В

при помощи контроллера C. Система взаимодейству-

альтернативном подходе, коим является когерентная

ет как с контроллером, так и с более широким про-

обратная связь, управление осуществляется через

странством окружения E (стрелками обозначены кана-

лы этого взаимодействия). Петля обратной связи охва-

тывает как систему, так и контроллер

¹⁾e-mail: 8342tomilin@mail.ru

628

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Квантовая обратная связь вне контролируемой системы

629

и с внешним окружением. Обе подсистемы, S и C,

обратной связи может быть задействован (что сде-

являются классическими. Это предполагает наличие

лано в настоящей работе) корпускулярно-волновой

неконтролируемых каналов взаимодействия между

дуализм, как специфически квантовое явление, пре-

ними и окружением, что неотделимо от представле-

вращающий схему рис. 2 в весьма интересный объект

ния о параметрах систем как элементах объективно

изучения. Определенный и, возможно, простейший

существующей физической реальности.

вариант квантовой обратной связи, организованный

Иначе обстоит дело в случае квантовой природы

внутри контроллера, есть предмет настоящей рабо-

системы S. Мыслима ситуация практически полно-

ты. Она завершает цикл из трех работ, где квантовая

го контроля каналов ее взаимодействия с окружени-

обратная связь используется для контроля состоя-

ем. Элементарный акт такого взаимодействия мож-

ния атомарного конденсата Бозе-Эйнштейна (ВЕС).

но представить в виде акта измерения некоторой на-

В первой работе [12] конденсат в одной из двух ло-

блюдаемой, относящейся к системе, с последующей

кализованных мод зондируется оптическим пучком

регистрацией результата измерения (событием). При

внутреннего канала интерферометра Маха-Цандера

этом само состояние системы S в общем случае ме-

(MZI). Регистрация фотона в том или ином выход-

няется. Таким образом, получение информации от

ном канале интерферометра переключала парамет-

квантовой системы неотделимо от процесса приго-

ры удерживающего конденсат потенциала. Сохраняя

товления ее состояния. Это обстоятельство расши-

единство обозначений с работой [12], будем обозна-

ряет арсенал возможных методов контроля и форми-

чать эти события символами ±. Было показано, что

рования квантовых состояний. На схеме рисунке 2,

надлежащий выбор этих параметров приводит к ра-

дикальной перестройке состояния конденсата. Не ме-

нее эффективный инструмент его контроля предло-

жен в [9]. Прежняя схема из [12] модифицирована

дополнительной оптической петлей, создающей коге-

рентную обратную связь в зондирующем пучке. Ини-

циируемые фоторегистрациями переключения про-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Управление квантовой систе-

исходят между различными фазовыми сдвигами в

мой S при помощи обратной связи, модифицирующей

петле когерентной обратной связи. Сам конденсат

способ взаимодействия системы с окружением

уже не затронут внешней обратной связью, но еще

нельзя говорить о реализации схемы рис. 2. Это де-

где и основная система S, и контроллер C являются

лается в настоящей работе, где переключения между

квантовыми, информация, поступающая из S, пред-

фазовыми сдвигами ϕ_± происходят во втором внут-

ставляется в виде серии регистрируемых событий в

реннем канале MZI, не задействованном в зондиро-

C. Можно организовать петлю обратной связи, за-

вании конденсата. На рисунке 3 (как отсылка к схеме

мкнутую внутри контроллера и не затрагивающую

рис. 2) отмечены границы систем S и C.

систему S, как в классическом случае на рис. 1. Та-

Необходимы некоторые дополнительные коммен-

кая обратная связь будет управлять самим способом

тарии касательно мотивации такого рода исследова-

взаимодействия контроллера с системой S, основы-

ний. Организация автоконтроля систем с помощью

ваясь на истории предшествующих событий, подхо-

искусственной обратной связи радикально меняет их

дящим образом модифицируя параметры контрол-

свойства. Это в полной мере относится уже к класси-

лера. Подобное внешнее замыкание петли обратной

ческим системам [13]. Часто новые свойства оказыва-

связи целесообразно, когда включение в нее системы

ются неожиданными и труднообъяснимыми. Обыч-

S затруднено по каким-либо обстоятельствам.

ная физическая интуиция помогает не всегда. В еще

В [11] было показано, что при помощи такого ро-

большей степени сказанное касается квантовых си-

да обратной связи в виде адаптивного фотодетек-

стем. Процесс генерации событий открытой кванто-

тирования можно осуществить оптимальное измере-

вой системой обладает имманентной случайностью,

ние фазы волнового пакета. Настоящая работа по-

природа которой лежит в самых фундаментальных

священа непосредственно аспекту управления, т.е.

основах квантовой физики. Организация обратной

изучению эволюции состояния системы, подвержен-

связи на основе этой случайности способна породить

ной действию обратной связи, замкнутой внутри кон-

систему с совершенно неожиданными и потенциаль-

троллера.

но ценными свойствами, как показано в [14]. Сле-

Состояние системы S оказывается функцией ис-

довательно, вполне оправдан “свободный поиск” и

тории регистрации событий. В организации такой

накопление теоретических моделей квантовой обрат-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

630

В.А.Томилин, Л.В.Ильичев

риц плотности условных состояний: ̺ = ̺⁽⁺⁾ + ̺^(-),

а вероятность того, что последняя фоторегистрация

(

была в детекторе σ, есть pσ = Tr̺

^σ). Простран-

ственная структура конденсата предполагается в ви-

де двух локализованных мод a и b с операторами

рождения и уничтожения â^†, â и

b^†,

b соответствен-

но. Мода a зондируется оптическим пучком внут-

ри интерферометра. Частота зондирующего излуче-

ния имеет большую отстройку от частот атомных

резонансов (так называемый режим дисперсионного

взаимодействия [16]). При этом реальные переходы

с возбуждением атомов конденсата очень редки, а

зондирующее излучение приобретает фазовый сдвиг,

пропорциональный числу атомов в зондируемой мо-

де [17].

В отсутствие обратной связи эволюция состояния

конденсата в марковском приближении подчиняет-

ся управляющему уравнению (здесь и далее будем

записывать управляющие уравнения в безразмерной

форме):

(

∑

̺+ ı[

Ĥ, ̺] =

E_σ(ϕ)

E^†σ(ϕ) -

σ=±

)

Рис. 3. (Цветной онлайн) Схема управления двухъям-

E^†σ(ϕ

E_σ(ϕ), ̺}

(1)

ным атомарным конденсатом Бозе-Эйнштейна в ин-

терферометре Маха-Цандера при помощи обратной

правую часть которого образует структура Линдбла-

связи, контролирующей фазовый сдвиг в свободном

да, ответственная за необратимость эволюции. Фи-

плече интерферометра

гурными скобками здесь и далее обозначены анти-

коммутаторы. Операторами Линдблада в этой струк-

ной связи. К такого рода исследованиям относится и

туре служат амплитуды выходных полей (см. рис.3,

настоящая работа.

оба светоделителя интерферометра предполагаются

сбалансированными)

2. Модель. Действие обратной связи, рассмат-

(

)

риваемой в данном работе, зависит от типа зареги-

стрированного события - в каком из двух выходных

E_±(ϕ)

√

eıχâ†â ± eıϕ ,

(2)

каналов интерферометра был зарегистрирован фо-

тон. В соответствии с этим происходит переключе-

отвечающих событиям фоторегистраций в одном из

ние фазового сдвига, расположенного в свободном

двух детекторов на выходе MZI.

E_±(ϕ) сформирова-

от конденсата плече интерферометра. Ясно, что тип

ны выходным светоделителем как суперпозиции ам-

события может быть описан бинарной классической

плитуд внутренних пучков интерферометра. Эти ам-

переменной. Последовательность событий (история)

плитуды подверглись фазовым сдвигам: в зондирую-

оказывается связанной с эволюцией состояния самой

щем пучке сдвиг создается атомами моды a и предпо-

контролируемой системы. Существует удобный фор-

лагается пропорциональным их числу, χ - фазовый

мализм, приспособленный для описания такого ро-

сдвиг, создаваемый одним атомом; ϕ - контролируе-

да гибридов квантовой и классической систем [15].

мый фазовый сдвиг во втором пучке.

Предметом изучения в нем являются условные со-

Марковское приближение в случае обратной свя-

стояния ̺^(±), индексированные типом последнего по

зи не будет нарушено, если последняя достаточно

времени зарегистрированного события - типом фо-

быстрая. При этом следует от единого управляю-

торегистрации в детекторах D_± на выходе интерфе-

щего уравнения перейти к системе связанных урав-

рометра. В таком простейшем подходе история реду-

нений на операторы условных состояний. Это мож-

цируется до последнего по времени события. Полная

но сделать, заметив, что изменение состояния систе-

матрица плотности конденсата является суммой мат-

мы непосредственно в результате фоторегистрации

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Квантовая обратная связь вне контролируемой системы

631

описывается так называемыми сэндвичными члена-

Пользуясь (2), можно в явном виде развернуть

ми типа

E_σ(ϕ)

E^†σ(ϕ). Действие обратной связи при-

структуру правых частей в (3):

вязано к актам фоторегистрации и потому долж-

но влиять на структуру именно сэндвичных слагае-

̺(+) + ı[

Ĥ, ̺⁽⁺⁾] = eıχn ̺e^-ıχn + ̺- 4̺⁽⁺⁾ +

мых. Опираясь на эти соображения, можно записать

(

)

управляющие уравнения в следующем виде:

+e^ıχn e-ıϕ+ ̺⁽⁺⁾ +e-ıϕ- ̺^(-)

(

)

(

∑

+ eıϕ+̺⁽⁺⁾ +eıϕ-̺^(-) e^-ıχn,

̺(+) + ı[

Ĥ,̺⁽⁺⁾]=

E₊(ϕ_σ)̺^(σ)

E^†+(ϕ_σ) -

σ=±

)

̺(-) + ı[

Ĥ, ̺^(-)] = eıχn ̺e^-ıχn + ̺- 4̺^(-) -

E^†σ(ϕ₊

E_σ(ϕ₊), ̺⁽⁺⁾} ,

(

)

(

−e^ıχn e-ıϕ+ ̺⁽⁺⁾ +e-ıϕ- ̺^(-)

∑

̺(-) + ı[

Ĥ,̺^(-)]=

E_-(ϕ_σ)̺^(σ)

E^†-(ϕ_σ) -

(

)

σ=±

)

− eıϕ+̺⁽⁺⁾ +eıϕ-̺^(-) e^-ıχn.

(6)

E^†σ(ϕ_-

E_σ(ϕ_-), ̺^(-)}

(3)

Здесь n

= â^†â; ̺ - полный статистический оператор

атомарного конденсата: ̺ = ̺⁽⁺⁾ + ̺^(-). Он получа-

В отсутствие фазовых сдвигов во втором пучке

ется “забвением” информации о типе последней фо-

операторами Линдблада являются

E_±(0). Связь с ни-

торегистрации. Из (6) следует

ми дается матрицами

̺+ ı[

Ĥ, ̺] = 2e^ıχn̺e^-ıχn - 2̺.

(7)

(

)

(

)

E₊(ϕσ1 )

E₊(0)

= U(ϕσ1,ϕσ2) ·

;

В этом уравнении отсутствуют следы обратной свя-

E_-(ϕσ2 )

E_-(0)

зи, что является результатом отмеченного забвения

U (ϕσ1 , ϕσ2 ) =

информации.

(

)

3. Случай быстрого разрушения когерент-

cos(ϕσ1 /2)eıϕσ1^/2

-ı sin(ϕσ1 /2)eıϕσ1^/2

(4)

ности. “Динамический” базис в пространстве со-

-ı sin(ϕσ2 /2)eıϕσ2^/2

cos(ϕσ2

/2)eıϕσ2^/2

стояний конденсата, диагонализующий гамильтони-

ан (5), т.е. естественный при описании динамики, не

совпадает с “кинетическим” базисом. Последний наи-

В случае отсутствия обратной связи (ϕ₊ = ϕ_- =

более удобен для представления необратимой эволю-

= ϕ) матрица U унитарна. Иначе говоря, различный

ции - правых частей (6) и (7). Диагональные мат-

выбор ϕ соответствует различным “распутываниям”

ричные элементы операторов ̺ и ̺^(±) в этом бази-

(unraveling) [5] операции фотодетектирования.

се эволюционируют независимо от недиагональных,

Для описания динамики конденсата, гамильтони-

которые претерпевают затухание - разрушение коге-

ана

Ĥ, выбрана простейшая модель. В ней отсутству-

рентности. Различие динамического и кинетическо-

ет взаимодействие между атомами в локализованных

го базисов представляет основную трудность при по-

модах. Глубины потенциальных ям обеих мод пред-

лучении точных решений управляющих уравнений.

полагаются одинаковыми. Поскольку полное число

Если сильно различны характерные масштабы вре-

атомов конденсата не изменяется, соответствующие

мени гамильтоновой и диссипативной эволюции, тот

слагаемые, пропорциональные â^†â и

b†b, могут быть

или иной базис становится “главным”, что подсказы-

отброшены. В итоге оставлена только структура

вает соответствующую трансформацию и упрощение

(

)

уравнений.

Ĥ= ω â^†b +b†â ,

(5)

Мы рассмотрим ситуацию быстрого разрушения

когерентности, когда главным оказывается кинети-

ческий базис. Это базис Фока по числам атомов в

принципиально важная для дальнейшего и описы-

модах a и b. Будет предполагаться фиксированным

вающая переходы атомов между модами. Здесь ω -

полное число атомов в конденсате и использоваться

безразмерный параметр, равный отношению скоро-

краткое обозначение для векторов кинетического ба-

сти перехода атома между модами к частоте фото-

зиса: |n〉

= |n〉_a ⊗ |N - n〉_b. Зондирование конденсата

регистраций.

разрушает когерентность между разными n. Гамиль-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

632

В.А.Томилин, Л.В.Ильичев

тониан генерирует эту когерентность, но относитель-

4. Результаты и обсуждение. Нас далее бу-

но медленно: |ω| ≪ 1. Поэтому можно ограничиться

дет интересовать воздействие обратной связи на

диагональными и ближайшими к диагонали элемен-

распределение числа атомов по ямам, т.е. величи-

тами матрицы плотности:

ны pⁿ⁺⁾ и p^n-), в установившемся режиме. Удоб-

ным инструментом при исследовании распределе-

(

)

∑

ний является информация Кульбака (расхождение

̺=

p_n|n〉〈n| + q_n|n + 1〉〈n| + q_n|n〉〈n + 1|

(8)

Кульбака-Лейблера) [18]. Ее величина характеризу-

n=0

ет отклонение исследуемого распределения от неко-

аналогично для ̺^(±), однако в присутствие обрат-

торого реперного. Информация Кульбака всегда

ной связи матричные элементы также получают за-

неотрицательна и обращается в нуль при совпадении

висимость от фазовых сдвигов ϕ_±. Черта над сим-

распределений. В качестве реперных использовались

волом обозначает комплексное сопряжение. Уравне-

поочередно два распределения. В обоих случаях об-

ния dq_n/dt = ... и dq^n±)/dt = ... содержат в пра-

наруживаются интересные следствия наличия обрат-

вых частях, наряду со слагаемыми ∝ ω, также и

ной связи.

члены эволюционирующие со скоростью ∝ 1 (в ис-

В первом варианте реперным выбрано однород-

пользуемой нами безразмерной форме). В уравнени-

ное распределение полного числа атомов N между

ях dp_n/dt = ... и dp^n±)/dt = ... таких членов нет.

двумя ямами: p_n = (1 + N)^-1. Напомним, что та-

Следовательно, q_n и q^n±), как более быстрые пере-

ковым является установившееся распределение в от-

менные, оказываются подчинены медленной эволю-

сутствие информации о типе последней фотореги-

ции p_n и p^n±). Это позволяет перейти к уравнениям,

страции. Целесообразность выбора диктуется есте-

содержащим только диагональные элементы матриц

ственным ожиданием обнаружить перекос условных

плотности:

распределений pⁿ⁺⁾ и p^n-) с преимущественным за-

селением одной из ям. В сумме эти распределения,

p_n =

как своего рода “позитив”, и “негатив” должны да-

[

]

вать однородное распределение. Важно понять сте-

(n + 1)(N - n)p_n+1 + n(N - n + 1)p_n-1

пень преимущественного заселения одной из ям по-

[

]

средством используемого типа обратной связи. Ин-

формация Кульбака как функция ϕ₊ и ϕ_- для этого

(n + 1)(N - n) + n(N - n + 1) p_n,

случая имеет вид

p⁽⁺⁾ⁿ(ϕ₊, ϕ_-) + W_n(ϕ₊, ϕ_-) · n(N - n + 1) ×

∑

(

)

K^(±)(ϕ₊, ϕ_-) =

P^(±)n(ϕ₊, ϕ_-) ×

× p^(+)n-1(ϕ₊, ϕ_-) - p⁽⁺⁾ⁿ(ϕ₊, ϕ_-)

n=0

(

)

+ W_n-1(ϕ₊, ϕ_-) · (n + 1)(N - n) ×

× ln P^(±)n(ϕ₊, ϕ_-) · (N + 1)

(12)

(

)

× p⁽⁺⁾ⁿ⁺¹(ϕ₊, ϕ_-) - p⁽⁺⁾ⁿ(ϕ₊, ϕ_-)

(

)

Здесь

фигурируют

нормированные

на

единицу

распределения

n (ϕ+, ϕ-)

= 2 V_n(ϕ₊,ϕ_-) - 2 p⁽⁺⁾ⁿ(ϕ₊,ϕ_-) +

∑

(σ)

p^nσ)(ϕ₊, ϕ_-)/_n′ p

(ϕ₊, ϕ_-).

Величины

(

)

n^′

K^(±)(ϕ₊, ϕ_-) характеризуют степень неоднород-

+ 2 1 + cos(χn - ϕ_-) p_n.

(9)

(±)

n (ϕ+, ϕ-). Заметим, что

ности распределений P

эту неоднородность условные распределения могут

Здесь использована связь p^n-) = p_n - pⁿ⁺⁾;

приобрести уже при ϕ₊ = ϕ_-, т.е. когда переключе-

ний нет и обратная связь фактически отсутствует.

V_n(ϕ₊, ϕ_-)

= cos(χn - ϕ₊) - cos(χn - ϕ_-)

(10)

Поэтому целесообразно рассмотреть также вариант,

где реперными распределениями, с которыми срав-

ниваются

n (ϕ+, ϕ-) выступают

n (ϕ, ϕ), где

W_n(ϕ₊, ϕ_-)

(11)

= (ϕ₊ + ϕ_-)/2. Это ближайшая к (ϕ₊, ϕ_-) точка

cos(χ/2)V_n+1/2(ϕ₊, ϕ_-) - 2

диагонали плоскости фазовых сдвигов, в которой

=ω² ·

прекращаются их переключения и, соответственно,

V^2n+1/2(ϕ₊, ϕ_-) - 4 cos(χ/2)V_n+1/2(ϕ₊, ϕ_-) + 4

действие обратной связи. Для распределений в

В установившемся режиме p_n = 1/(N + 1).

точках диагонали далее используются обозначе-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Квантовая обратная связь вне контролируемой системы

633

ния R^n±)(ϕ++ϕ-2^{),исоответствующаяинформация}

Кульбака

K^(±)fb(ϕ₊, ϕ_-) =

∑

(P^(±)n(ϕ₊, ϕ_-)).

P^(±)n(ϕ₊, ϕ_-) · ln

(13)

n=0

R^n±)(ϕ++ϕ2

)

Расчеты сделаны для N = 10, χ = π/20, ω = 0.07.

Поскольку K^(-)(ϕ₊, ϕ_-) = K⁽⁺⁾(2π - ϕ_-, 2π - ϕ₊)

(аналогично для K^(±)fb), результаты приведены толь-

ко для K⁽⁺⁾(ϕ₊, ϕ_-) и K^(+)fb(ϕ₊, ϕ_-).

Диагонали ϕ₊ = ϕ_- квадратных полей рис. 4a, b

отвечают отсутствию обратной связи. Из ри-

сунка

4a видно упомянутое выше отклонение

n (ϕ+, ϕ-) |ϕ+=ϕ- от однородного распределения.

Однако, что весьма примечательно, максимальное

отклонение в терминах информации Кульбака

имеет место при наличии переключений фазовых

сдвигов между ϕ₊ ≃ -0.65π и ϕ_- ≃ -0.2π (выбрана

наиболее близкая к диагонали точка). K^(+)fb(ϕ₊, ϕ_-)

является показателем расхождения распределения в

точке (ϕ₊, ϕ_-) от распределения в ближайшей диа-

), где отсутствует

гональной точке (ϕ++ϕ-2,ϕ+

обратная связь. Во всех диагональных точках K^(+)fb,

естественно, обращается в нуль, и максимумы лежат

в стороне. Как видно из рис.4b, они группируются в

пары, расположенные по разные стороны диагонали

на одинаковом расстоянии от нее. Вся картина

√

инвариантна при сдвиге вдоль диагонали на 2

2π,

чему соответствует одновременное изменение ϕ₊ и

ϕ_- и, следовательно, их полусуммы на 2π. Можно

заметить, что нижний максимум из левой пары на

рис. 4b имеет координату ϕ₊ ≃ -0.65π, а верхний

Рис. 4. (Цветной онлайн) Расхождения Кульбака-

максимум - координату ϕ_- ≃ -0.2π. Точка с этими

Лейблера между: (a) - распределениями

n (ϕ+, ϕ-)

координатами - максимум K⁽⁺⁾(ϕ₊, ϕ_-). Остается

и pn =

; (b)

- распределениями

n (ϕ+, ϕ-) и

N+1

неясным - является ли это случайным совпадением

R^n±)(ϕ++ϕ-

), вычисленные при χ = π/20, ω = 0.07,

или нет.

N = 10

Вышеуказанное обстоятельство, что максимумы

расхождений Кульбака-Лейблера лежат в стороне

от главной диагонали, может быть потенциально ис-

перспективного инструмента инженерии квантовых

пользовано для приготовления состояния двухмодо-

состояний.

вого конденсата, в котором атомы преимущественно

5. Заключение. Рассмотренная модель интер-

находятся лишь в одной из ям. Заметим, что опти-

ферометрического контроля состояния атомарного

ческое зондирование уже делает распределение ато-

бозе-конденсата с помощью системы обратной свя-

мов по ямам не равномерным. Обратная связь спо-

зи демонстрирует контринтуитивное явление. Обрат-

собна усилить эту неравномерность (что следует из

ная связь не затрагивает динамику конденсата (не

большей величины максимумов на рис.4b по срав-

меняет параметры гамильтониана) и не модифици-

нению с рис. 4a). При этом нет необходимости в ре-

рует его состояние сверх того, что диктуется “стан-

альном времени изменять сам формирующий опти-

дартной” реакцией системы на очередное событие

ческую ловушку потенциал, что является несомнен-

фоторегистрации. Обратная связь инициирует пере-

ным преимуществом предлагаемой схемы как нового

ключения между различными распутываниями ин-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

634

В.А.Томилин, Л.В.Ильичев

формационных событий. Система, как генератор со-

J. H. Shapiro, G. Saplakoglu, S.-T. Ho, P. Kumar,

бытий, оказывается чувствительной к наличию та-

B. E. A. Saleh, and M. C. Teich, J. Opt. Soc. Am. B 4,

кого переключения, что странно с классической точ-

1604 (1987).

ки зрения, поскольку манипуляции производятся над

H. M. Wiseman and G. J. Milburn, Quantum

уже рассеянным системой излучением. Есть основа-

Measurement and Control, Cambridge University

ния толковать это как исключительно квантовое яв-

Press, Cambridge (2010).

ление: во-первых, понятие распутывания отсутствует

K. Jacobs, Quantum Measurement Theory and Its

в классике; во-вторых, зондирующее излучение, как

Applications, Cambridge University Press, Cambridge

(2015).

неотъемлемая часть системы обратной связи, демон-

S. Lloyd, Phys. Rev. A 62, 022108 (2000).

стрирует в нашей модели и волновые, и корпуску-

лярные свойства. Первые позволяют вносить фазо-

R. J. Nelson, Y. Weinstein, D. Cory, and S. Lloyd, Phys.

вые сдвиги в пучки, а вторые позволяют оперировать

Rev. Lett. 85, 3045 (2000).

с хорошо локализованными во времени событиями

В. А. Томилин, Л. В. Ильичев, Квантовая электрони-

фоторегистраций и привязывать к ним переключе-

ка 50, 537 (2020).

ния фазовых сдвигов (переключения распутываний).

10.

У. Росс Эшби, Схема усилителя мыслительных

И конденсат, и зондирующее излучение проявляют

способностей, в сб.

“Автоматы”, К.Э. Шеннон,

существенно квантовые свойства, что выражается в

Дж. Маккарти, ред., Издательство иностранной ли-

тературы, М. (1956), с. 281 [W. Ross Ashby, Design

формировании квантовой запутанности между чис-

for an Intelligence-Amplifier, in Automata Studies,

лом атомов в конденсате и фазой поля. Именно это

ed. by C. E. Shannon and J. McCarthy, Ann. Math.

обстоятельство и делает рассмотренную схему обрат-

Stud. Princeton University Press, Princeton, New Jersey

ной связи рабочей и эффективной.

(1956), v. 34, p. 215].

В плане дальнейших исследований представляет

11.

L. S. Martin, W. P. Livingston, S. Hacohen-Gourgy, H.

интерес переход от событий (+) и (-) как специфи-

M. Wiseman, and I. Siddiqi, Nat. Phys. 16, 1046 (2020).

каторов состояний ̺⁽⁺⁾ и ̺^(-) к более длинным исто-

12.

V. A. Tomilin and L. V. Il’ichov, Ann. Phys. (Berlin)

риям. Есть основания ожидать, что обратная связь

528, 619 (2016).

в этом случае обеспечит еще более сильный перекос

13.

G. F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini,

условных распределений полного числа атомов меж-

Feedback Control of Dynamic Systems, 6th ed., Pearson,

ду ямами.

London (1999).

Работа выполнена в рамках Государственного

14.

В. А. Томилин, Л. В. Ильичев, Письма в ЖЭТФ 94,

задания (проект

# АААА-А21-121021800168-4) в

734 (2011) [V. A. Tomilin and L. V. Il’ichov, JETP Lett.

Институте автоматики и электрометрии СО РАН.

94, 676 (2012)].

15.

L. Diósi, Preprint arXiv:1401.0476v1 (2014).

1. Н. Винер, Кибернетика, или управление и связь в

16.

D. F. Walls and G. Milburn, Quantum Optics, Springer-

животном и машинном мире, Советское радио, М.

Verlag, Berlin (1994).

(1968).

17.

M. R. Andrews, M. Mewes, N. J. van Druten, D. Durfee,

2. J. Zhang, arXiv:1407.8536v3 (2014).

D. M. Kurn, and W. Ketterle, Science 273, 5271 (1996).

3. Y. Yamamoto, N. Imoto, and S. Machida, Phys. Rev. A

18.

S. Kullback and L. A. Leibler, Information and

33, 3243 (1986).

Statistics, Wiley, N.Y. (1959).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022