Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 10, с. 681 - 685

Двумерная система Юкавы: поведение дефектов вблизи области

плавления

Б.А.Клумов¹⁾

Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 сентября 2022 г.

После переработки 28 сентября 2022 г.

Принята к публикации 5 октября 2022 г.

Рассматривается поведение дефектов и кластеров из дефектов вблизи области плавления двумерной

системы Юкавы в широком диапазоне значений параметра экранировки κ. Такие характеристики, как

концентрация дефектов, их спектр по размерам и ряд других метрик оказываются квазиуниверсаль-

ными и не зависят от величины κ. Предлагаются простые индикаторы плавления плотноупакованных

двумерных систем.

DOI: 10.31857/S1234567822220062, EDN: lylkhd

Поведение двумерных систем вблизи области их

кой атомов. Парное взаимодействие частиц в системе

плавления - одна из важнейших проблем физики

Юкавы описывается потенциалом:

конденсированного состояния. Двумерные и квази-

U (r) = (Q/r) exp(-r/λ),

(1)

двумерные системы интенсивно исследуются, начи-

ная с пионерских теоретических работ [1-7], когда

где Q - заряд частицы (заряд и масса всех микроча-

было обнаружено, что физика двумерного плавления

стиц считаются одинаковыми), а λ - длина экраниро-

гораздо богаче, чем трехмерного, в частности, из-за

вания. Известно, что фазовое состояние такой систе-

наличия промежуточной гексатической фазы, в ко-

мы описывается двумя параметрами - параметром

торой разрушен трансляционный порядок, но суще-

неидеальности Γ = Q² × exp(-κ)/(T D) и парамет-

ствует квазидальный ориентационный порядок (на-

ром экранировки κ = D/λ, где D - среднее межча-

пример, [8]). Дополнительно, интерес к двумерным

стичное расстояние в системе, а T - температура час-

материалам значительно вырос после открытия гра-

тиц. Система Юкава часто используется для описа-

фена [9, 10] и наблюдения двумерного плавления в

ния экспериментов в пылевой (комплексной) плазме

системе квазичастиц - скирмионов [11]. При этом,

и в коллоидных системах (см., например, [14, 15]).

при изучении топологических дефектов в двумер-

В настоящей работе основным инструментом полу-

ных системах, основное внимание уделялось свой-

чения конфигураций частиц является метод класси-

ствам дислокаций и дислокационных пар, а изуче-

ческой молекулярной динамики, реализованный для

ние свойств кластеров из дефектов и их влияние

канонического ансамбля (NVT) с термостатом Нозе-

на переход “кристалл-жидкость” только начинается

Хувера (Nose-Hoover) и периодическими граничны-

[12, 13]). Целью настоящей работы является изуче-

ми условиями [16]. Типичное число микрочастиц в

ние свойств дефектов и кластеров из дефектов вбли-

исследуемой двумерной системе порядка N ∼ 10⁵,

зи области плавления плотноупакованных двумер-

это связано с необходимостью изучения дефектов в

ных систем (т.е. систем, имеющих в твердотельном

кристаллической фазе, где их концентрация мала;

состоянии треугольную (гексагональную) решетку),

такие значения N являются рекордными на сего-

используя в качестве примера, модельную систему

дняшний день.

с отталкивательным потенциалом Юкавы (Дебая-

При нулевой температуре двумерная система

Хюккеля). Отметим, что класс плотноупакованных

Юкавы при всех значениях параметра экранировки

двумерных систем очень широк. К ним, в частно-

κ представляет из себя кристалл с треугольной (гек-

сти, относятся кулоновские системы, системы мяг-

сагональной решеткой) и 6-ю ближайшими соседя-

ких сфер, Леннард-Джона и др., а результаты, по-

ми у каждого атома, которые расположены в вер-

лученные для системы Юкавы, могут быть распро-

шинах правильного шестиугольника. При конечной

странены на весь класс систем с плотной упаков-

температуре в такой системе появляются топологи-

ческие дефекты, в которых число ближайших сосе-

¹⁾e-mail: klumov@ihed.ras.ru

дей отличается от шести. Как правило, при низких

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

681

682

Б.А.Клумов

температурах доминируют дислокации (пары из де-

фектов (5-7)) (в такой паре у одной частицы пять

ближайших соседей, а у другой - семь) и/или ре-

зультат их объединения - дислокационная пара, со-

стоящая из четырех дефектов различной формы.

С повышением температуры в системе появляются

кластеры из дефектов, которые возникают в резуль-

тате их объединения и распределение дефектов и

кластеров из дефектов становится значительно более

сложным. Ближайшие соседи для плотноупакован-

ных двумерных систем легко определяются с помо-

щью метода Вороного [17], при этом двумерное про-

странство, занятое частицами, разбивается на мно-

гогранники, а каждой частице системы соответству-

ет выпуклый многоугольник, число сторон которого

равно числу ближайших соседей n_nb. Здесь все час-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы

тицы с числом n_nb = 6 считаются дефектными, а

вблизи области плавления. Представлены относитель-

их относительная концентрация n_d = N_d/N (где N_d

ные концентрации n_d дефектных частиц (т.е. частиц

и N - число дефектных частиц и полное число час-

с числом ближайших соседей N_nb = 6) в зависимо-

тиц, соответственно) является важной характеристи-

сти от приведенной температуры T^∗ = T /Tm, где Tm -

кой двумерной системы [18, 19].

температура плавления для двух значений параметра

экранировки: κ = 2 (синяя кривая) и κ = 4 (красная

На рисунке 1 показано, как относительные кон-

кривая). Видно, что данные кривые практически сов-

центрации n_d зависят от приведенной температуры

падают, что означает квазиуниверсальность зависимо-

системы T^∗ = T/T_m, где T_m - температура плав-

сти n_d(T^∗) в рассмотренном диапазоне значений T^∗.

ления. Представлены зависимости для двух значе-

Резкий рост n_d, который наблюдается в узком интер-

ний параметра экранировки: κ = 2 (синяя кривая)

вале температур, соответствует переходу “кристалл-

и κ = 4 (красная кривая). Хорошо видно, что дан-

жидкость”, с характерной величиной n_d ≃ 0.2 у рас-

ные кривые практически совпадают. Это означает,

плава. На вставках показаны фрагменты трех фаз:

что концентрация дефектов n_d практически не за-

кристаллической (a) (n_d

≃ 0.05), гексатической (b)

висит вблизи области плавления от значения пара-

(n_d ≃ 0.15) и жидкостной (c) (n_d ≃ 0.2). Цвет частиц

метра κ, т.е. является универсальной характеристи-

соответствует числу ближайших соседей, меняясь от

синего к красному при его увеличении: дефектным час-

кой системы, которая зависит только от параметра

тицам соответствуют синие частицы, у которых пять

T^∗. Этот важный результат позволяет, в частности,

ближайших соседей и красные - у которых их семь,

определить фазовое состояние системы и величину

зеленым цветом выделены кристаллические частицы с

параметра T^∗ в эксперименте, зная лишь концен-

6-ю ближайшими соседями. Дополнительно, на встав-

трацию дефектов, которая достаточно легко опреде-

ках (a) и (c) показаны дислокации и дислокационные

ляется по пространственному расположению частиц.

пары (а) и дисклинации с 5-ю и 7-ю ближайшими со-

Для жидкостной фазы подобный результат был по-

седями в реальном кристалле рядом с парной дислока-

лучен недавно в [19]. Резкий рост n_d, который на-

цией (c). Видно, что параметр n_d заметно отличается

блюдается в узком интервале приведенных темпера-

для всех указанных фаз, что позволяет использовать

тур T^∗, соответствует плавлению системы, с харак-

его для их идентификации; зная n_d, легко определяет-

терной величиной n_d ≃ 0.2 у расплава. На вставках

ся приведенная температура системы T^∗

к рис. 1 показаны фрагменты трех фаз: кристалли-

ческой (a) (с n_d ≃ 0.05), гексатической [20] (b) (с

ной фаз от кристаллической по виду и концентра-

n_d ≃ 0.15) и жидкостной (c) (n_d ≃ 0.2). Цвет час-

ции дефектов и кластеров из дефектов, что силь-

тиц определяется числом ближайших соседей и ме-

но упрощает их идентификацию в экспериментах

няется от синего к красному при его увеличении: де-

с комплексной и коллоидной плазмой. На вставках

фектным частицам соответствуют синие и красные

(a, c) также показано, как выглядят дислокации и

частицы (с 5-ю и 7-ю ближайшими соседями соот-

дислокационные пары (на вставке (а)) и точечные

ветственно), а зеленым цветом выделены кристалли-

дефекты (дисклинации) с 5-ю и 7-ю ближайшими

ческие частицы с 6-ю ближайшими соседями. Вид-

соседями (на вставке (c)) в реальном плазменном

но значительное отличие гексатической и жидкост-

кристалле.

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Двумерная система Юкавы: поведение дефектов вблизи области плавления

683

Рис. 2. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы вблизи области плавления. Показаны относительные концентра-

ции nN /nd кластеров, состоящих из N дефектов в зависимости от приведенной температуры T^∗ = T/Tm. Здесь nd -

концентрация всех дефектных частиц в системе (зависимость n_d(T^∗) является квазиуниверсальной и представлена на

вставке в двойном логарифмическом масштабе для иллюстрации степенного роста n_d в диапазоне T^∗ ≃ 0.6 ÷ 0.95).

Разным цветом показаны относительные концентрации дефектов: дисклинаций (N = 1, лиловый), дислокаций (N = 2,

синий) и дислокационных пар (N = 4, зеленый), а также кластеров из дефектов с N = 3 (бирюзовый), N = 5 (оранже-

вый) и N = 6 (красный) соответственно. Кумулятивная доля всех дефектных частиц, входящих в кластеры с N > 4,

показана черным цветом. Видно, что в кристаллической фазе доминируют дефекты - дислокации и дислокационные

пары, хотя вклад остальных кластеров довольно значительный (≃ 30 % в кристалле вблизи области плавления). При

температурах T^∗ ≤ 0.6 в системе превалируют дислокации (N = 2), в дальнейшем с ростом температуры начинают

доминировать дислокационные пары (N = 4), концентрация которых резко уменьшается при переходе “кристалл-

жидкость” в результате их диссоциации на пару дислокаций. Хорошо видно, что при плавлении резко увеличивается

доля относительно крупных кластеров (с N > 4), которая в расплаве составляет ≃ 70 %

Кроме величины n_d, важную роль в двумерных

тельный (например, для кристалла вблизи области

системах могут играть кластеры из дефектов раз-

плавления доля таких кластеров составляет ≃ 0.3,

личного размера. Это иллюстрирует рис. 2, где по-

что может оказывать заметное влияние на плавле-

казана их концентрация вблизи области плавления

ние такой системы. При температурах T^∗ ≤ 0.6 в

для двумерной системы Юкавы с параметром κ = 3.

системе превалируют дислокации (с N = 2), в даль-

На нем показаны относительные концентрации (до-

нейшем с ростом температуры начинают доминиро-

ли) n_N /n_d кластеров, состоящих из N дефектных

вать дислокационные пары (N = 4) (их доли срав-

частиц для разных температур T^∗. Представлены за-

ниваются: n₂ ≈ n₄ при T^∗ ≃ 0.6), концентрация ко-

висимости для дисклинаций (N = 1), дислокаций

торых резко уменьшается при переходе “кристалл-

(N = 2) и дислокационных пар (N = 4), а также для

жидкость” в результате диссоциации дислокацион-

наиболее распространенных кластеров из дефектов

ных пар на две дислокации, что, по-видимому, го-

с N = 3, N = 5 и N = 6. Дополнительно приводится

ворит в пользу KTHNY сценария перехода (напри-

кумулятивная доля всех дефектных частиц, входя-

мер, [8]). Хорошо видно, что и в гексатической фа-

щих в кластеры с N > 4, которая показана черным

зе и в расплаве доля относительно крупных клас-

цветом. Видно, что в кристаллической фазе доми-

теров (с N > 4) значительно выше, чем в кристал-

нируют дефекты - ислокации и дислокационные па-

ле, что в значительной степени определяет свойства

ры, хотя вклад остальных кластеров довольно значи-

указанных фаз. На вставке к рис. 2 показана зави-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

684

Б.А.Клумов

симость n_d от T^∗ в двойном логарифмическом мас-

ному при ее увеличении. Кривые охватывают диа-

штабе для иллюстрации почти степенного роста n_d

пазон T^∗ ≃ 0.8 ÷ 1.1 и построены так, что сосед-

в диапазоне T^∗ ≃ 0.6 ÷ 0.95 с показателем степени

ним кривым отвечает малое изменение температу-

α ∼ 5 (n_d ∝ (T^∗)^α).

ры δT^∗ ∼ 10^-3. Резкое увеличение расстояния меж-

ду соседними кривыми соответствует плавлению си-

стемы. Видно, что в кристаллической фазе распре-

деление P (N) быстро затухает с ростом N, в слу-

чае жидкостной фазы ситуация обратная - в зави-

симости P (N) появляются степенные хвосты. Кроме

того, при плавлении сильно меняется форма P(N):

доминирование дислокаций и дислокационных пар

(N = 2, 4) в кристаллической фазе сменяется слож-

ным спектром кластеров, в котором превалируют

дислокации (N

= 2). Можно показать [21], что в

гексатической фазе P(2) ∼ P(4). Это, в частности,

позволяет различать указанные фазы в эксперимен-

тах с коллоидной и комплексной плазмой. На встав-

ке к рис. 3 показано, как меняется при нагреве си-

стемы безразмерный параметр n_2/4 = n₂/n₄, опреде-

ляемый как отношение концентрации дислокаций к

Рис. 3. (Цветной онлайн) Двумерная система Юкавы

концентрации дислокационных пар. В кристалличе-

вблизи области плавления. Распределение кластеров из

ской фазе вблизи области плавления n^cr2/4 ≃ 0.5 (при

дефектов P (N) по числу N дефектов, входящих в клас-

тер, вычисленное для разных приведенных температур

T^∗ ≈ 0.9), для расплава n^melt2/4 ≃ 2.5 и эта величина

T^∗. Цвет кривых определяется величиной T^∗ и меня-

не зависит от параметра экранировки κ, т.е. является

ется от синего к красному при ее увеличении. Кривые

универсальной характеристикой двумерного распла-

охватывают диапазон T^∗ ≃ 0.8 ÷ 1.1 и построены так,

ва системы Юкавы. В заключение отметим, что все

что соседним кривым отвечает малое изменение тем-

полученные выше результаты относятся к однород-

пературы δT^∗ ∼ 10^-3. Резкое увеличение расстояния

ным системам, например, они могут быть применены

между ними соответствует плавлению системы. Видно,

к описанию коллоидной плазмы, плавлению скирми-

что в кристаллической фазе распределение P (N) быст-

онных решеток и др. В комплексной (пылевой) плаз-

ро затухает с ростом N, в случае жидкостной фазы

ме эксперименты, как правило, проводятся с микро-

ситуация обратная - в зависимости P (N) появляются

степенные хвосты. Кроме того, при плавлении сильно

частицами, находящимися в газоразрядной плазме.

меняется форма P (N): доминирование дислокаций и

В такой плазме очень важную роль играет внешнее

дислокационных пар (N = 2, 4) в кристаллической фа-

удерживающее электрическое поле (конфайнмент),

зе сменяется сложным спектром кластеров, в котором

которое, в частности, приводит к тому, что у ква-

превалируют дислокации (N = 2). Это, в частности,

зидвумерных систем микрочастиц плотность макси-

позволяет легко различать указанные фазы. На встав-

мальна в центре системы и монотонно спадает к пе-

ке показано, как меняется при нагреве системы без-

риферии [22, 23, 24], что делает плавление таких си-

размерный параметр n_2/4 = n2/n4, определяемый как

стем более сложным [24], хотя все основные резуль-

отношение концентрации дислокаций к концентрации

таты статьи могут быть применены и в этом случае.

дислокационных пар. В кристаллической фазе вблизи

В настоящей работе впервые рассмотрена кине-

области плавления n^cr2/4 ≃ 0.5 (при T^∗ ≈ 0.9), для рас-

тика дефектов и кластеров из дефектов вблизи об-

плава n^melt2/4 ≃ 2.5 и эта величина не зависит от пара-

метра экранировки κ, т.е. является универсальной ха-

ласти перехода “кристалл-жидкость” для двумерной

рактеристикой двумерного расплава системы Юкавы

системы Юкавы. Показано, что относительная кон-

центрация дефектов n_d зависит только от приведен-

Концентрации дефектов и кластеров из дефектов

ной температуры T^∗ и не зависит от параметра экра-

n_N дают важную характеристику двумерной систе-

нировки κ в широком диапазоне величин T^∗, т.е яв-

мы - спектр дефектов по их “массе” P (N). Такое

ляется универсальной характеристикой системы. Та-

распределение кластеров из дефектов P (N) по чис-

кими же универсальными характеристиками двумер-

лу N дефектов, входящих в кластер, показано на

ной системы Юкавы являются распределения дефек-

рис. 3 для разных температур T^∗. Цвет кривых опре-

тов по размерам P(N) и их кумулятивные метрики.

деляется величиной T^∗ и меняется от синего к крас-

Отношение концентраций дислокаций и дислокаци-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Двумерная система Юкавы: поведение дефектов вблизи области плавления

685

онных пар n₂/n₄ также зависит только от параметра

10. J. H. Los, Phys. Rev. B 91, 045415 (2015).

T^∗, а величину n₂/n₄ ≈ 2.5 предлагается использо-

11. P. Huang, T. Schoonenberger, M. Cantoni, L. Heinen,

вать как удобный индикатор расплава у всех двумер-

A. Magrez, A. Rosch, F. Carbone, and H.M. Ronnow,

ных плотноупакованных систем.

Nat. Nanotechnol. 15, 761 (2020).

Работа выполнена при финансовой поддержке

12. M. Mazars and R. Salazar, EPL 126, 56002 (2019).

Министерства науки и высшего образования РФ

13. P. Digregorio, D. Levis, L. F. Cugliandolo, G. Gonnella,

(соглашение с ОИВТ РАН

#075-15-2020-785 от

and I. Pagonabarraga, Soft Matter 18, 566 (2022).

23 сентября 2020 г.).

14. V. Fortov and G. Morfill, Complex and Dusty Plasmas:

From Laboratory to Space, CRC Press, Boca Raton, FL

(2009).

1. V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971).

15. C. N. Likos, Phys. Rep. 348(4-5), 267 (2001).

2. V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 34, 610 (1972).

16. S. Plimpton, J. Comput. Phys. 117(1), 1 (1995).

3. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C: Solid

17. G. Voronoi, J. Reine Angew. Math. 134, 198 (1908).

State Phys. 6, 1181 (1973).

18. B. A. Klumov, Phys.-Uspekhi 53(10), 1053 (2010).

4. B. I. Halperin and D. R. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41,

121 (1978).

19. B. A. Klumov, JETP Lett. 115(2), 108 (2022).

5. D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev. B 19, 2457

20. B. J. Lin and L. J. Chen, J. Chem. Phys. 126, 34706

(1979).

(2007).

6. A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979).

21. Б. А. Клумов, УФН (2022);

10.3367/UFNe.2022.09.039237.

7. S. T. Chui, Phys. Rev. B 28, 178 (1983).

22. H. Totsuji, C. Totsuji, and K. Tsuruta, Phys Rev. E 64,

8. В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Ю. Д. Фомин, Е. Н. Циок,

УФН 187, 921 (2017).

066402 (2001).

9. K. V. Zakharchenko, M. I. Katsnelson, and A. Fasolino,

23. D. H. E. Dubin, Phys. Rev. E 55(4), 4017 (1997).

Phys. Rev. Lett. 102, 046808 (2009).

24. B. A. Klumov, JETP Lett. 110, 715 (2019).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022