Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 10, с. 724 - 732

Звуковые колебания в полярной фазе сверхтекучего³He в

нематическом аэрогеле

Е. В. Суровцев¹⁾

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы РАН, 119334 Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 октября 2022 г.

После переработки 13 октября 2022 г.

Принята к публикации 14 октября 2022 г.

В работе исследован звуковой спектр полярной фазы сверхтекучего³He в нематическом аэрогеле.

Получено уравнение, определяющее дисперсию звуковых колебаний системы. Для направлений вдоль и

поперек оси анизотропии аэрогеля найдены решения системы для низкочастотных колебаний, т.е. тех, в

которых скорость распространения колебаний много меньше скорости первого звука в чистом³He. В том

же приближении найдено решение для случая чисто сдвиговых колебаний системы, возникающее при

рассмотрении специальных граничных условий, заключающихся в том, что система окружена несжи-

маемой жидкостью. Проведено сравнение температурной зависимости найденных частот с имеющимися

экспериментальными данными.

DOI: 10.31857/S1234567822220128, EDN: lzkxvf

1. Введение. Полярная фаза сверхтекучего³He

отклика системы. Наблюдение именно сверхтекучих

относится к классу топологических сверхтекучих

свойств системы возможно в экспериментах по коле-

фаз и обладает рядом уникальных свойств. Пара-

банию аэрогеля внутри объема, заполненного сверх-

метром порядка данной фазы является комплексная

текучим³He [8, 9]. Особенностью задачи является

матрица 3 × 3 вида e^iϕd_µm_j , где d_µ - единичный век-

то, что между сверхтекучей компонентой и карка-

тор в спиновом пространстве, а m_j - единичный век-

сом аэрогеля есть эффективное взаимодействие. Это

тор в орбитальном пространстве [1]. Спектр квази-

приводит к тому, что колебательный спектр системы

частиц в полярной фазе имеет топологически устой-

определяется не только сверхтекучими свойствами

чивую дираковскую линию нулей, расположенную

полярной фазы, но и упругими свойствами аэрогеля.

на экваторе ферми поверхности в плоскости, пер-

Так как упругие свойства нематического аэрогеля

пендикулярной направлению вектора m. Как след-

имеют очевидную анизотропию, то следует ожидать

ствие, сверхтекучие свойства системы описываются

возникновения интересных смешанных мод колеба-

одноосным тензором сверхтекучей плотности с мак-

ний системы, которые не могут возникнуть в изо-

симальным главным значением вдоль направления

тропном случае. В ходе указанных выше эксперимен-

m. Еще одним проявлением топологических свойств

тов по колебанию нематического аэрогеля в сверхте-

данной фазы является наличие на границе фазы в

кучем³He было обнаружено две колебательные моды

силу принципа соответствия специфической ветви

[8, 9]. Одна из мод соответствует механическим ко-

возбуждений, принадлежащей к классу майоранов-

лебаниям системы и наблюдается во всем диапазоне

ских поверхностных состояний [2]. Эксперименталь-

температур. Изменение с температурой частоты ко-

ное наблюдение полярной фазы возможно только в

лебаний в первой моде связано как с температурной

присутствии нематического аэрогеля с высокой сте-

зависимостью вязкости окружающего аэрогель³He,

пенью анизотропии, т.е. в таком, в котором нити с

так и с изменением линий тока вокруг аэрогеля в

хорошей степенью сонаправленны (нафен, мулито-

момент сверхтекучего перехода внутри аэрогеля. Ра-

вый аэрогель) [3, 4]. В присутствии нитей аэроге-

нее была произведена попытка описать температур-

ля в системе могут быть стабилизированы интерес-

ную зависимость частоты первой моды c учетом по-

ные топологические дефекты - полуквантовые вихри

тенциального протекания сверхтекучих токов сквозь

[5, 6], которые наблюдались в эксперименте [7]. По-

аэрогель при условии несжимаемости как жидкости,

мимо указанных топологических свойств полярной

так и аэрогеля [10]. Вторая ветвь колебаний возни-

фазы, интерес представляет изучение сверхтекучего

кает только в момент сверхтекучего перехода внут-

ри аэрогеля. Характерными особенностями наблюда-

¹⁾e-mail: e.v.surovtsev@gmail.com

724

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Звуковые колебания в полярной фазе сверхтекучего³He в нематическом аэрогеле

725

емой зависимости частоты от температуры для вто-

условии отсутствия проскальзывания между карка-

рой ветви колебаний является ее быстрый рост вбли-

сом аэрогеля и нормальной компонентой сверхтеку-

зи точки перехода с последующим выходом на почти

чего³He, что имеет место для низких частот движе-

постоянное значение порядка 1600 Гц. Такое неболь-

ния. В этом случае скорость нормальной компонен-

шое значение частоты колебаний исключает возмож-

ты (v_n)_i = u_i и полная плотность тока определяет-

ность зацепления в данной моде первого звука³He.

ся выражением: j_i = (ρ_aδ_ij + (ρ_n)_ij ) u_j + (ρ_s)_ij (v_s)_j ,

Масштаб температур, на котором происходит пере-

где (ρ_s)_ij , (ρ_n)_ij - тензоры сверхтекучей и нормаль-

ход к постоянному значению частоты достаточно мал

ной компонент³He ((ρ_s)_ij + (ρ_n)_ij

= ρ_lδ_ij). Так-

и составляет несколько сотых от температуры пе-

же отметим, что мы не будем рассматривать дви-

рехода T_c. Данная особенность отличает наблюдае-

жение специфических для полярной фазы гидроди-

мую моду от “медленной” моды, которая возбужда-

намических переменных - спинового вектора d_µ и

лась в экспериментах по распространению звука в

орбитального вектора m_j . Первый из векторов не

кремниевых аэрогелях [11]. Целью настоящей рабо-

участвует в движении, так как отсутствует его связь

ты является изучение спектра звуковых колебаний

с другими гидродинамическими переменными, ес-

полярной фазы и нематического аэрогеля, а также

ли пренебречь спин-орбитальным взаимодействием.

идентификация наблюдаемой в эксперименте второй

Учет второго вектора является превышением точно-

моды колебаний. Аккуратный вывод системы гид-

сти для рассматриваемого далее линейного прибли-

родинамических уравнений, необходимых для реше-

жения и длинноволнового предела, так как в этом

ния поставленной задачи, является отдельным инте-

случае энергия текстуры орбитального вектора со-

ресным вопросом и выходит за рамки представлен-

держит производные вектора смещения более высо-

ной работы. Ниже для нахождения звукового спек-

кого порядка, чем упругая энергия аэрогеля. Таким

тра системы мы будем использовать систему линей-

образом, линеаризованные уравнения для рассмат-

ных гидродинамических уравнений, которая может

риваемой системы имеют вид:

быть получена эвристически так же, как это сдела-

∂δs

но в работе [12]. Решение системы будет произведено

+ s⁽⁰⁾∇_i u_i = 0,

(1)

для актуального случая низкочастотных колебаний,

∂t

∂δρ_a

т.е. таких колебаний, скорость распространения ко-

+ ρ^(0)a∇_i u_i = 0,

(2)

торых гораздо меньше скорости первого звука в чи-

∂t

∂δρ_l

стом сверхтекучем³He. Качественно будет рассмот-

+ (ρ_s)_ij ∇_i(v_s)_j + (ρ_n)_ij ∇_i u_j = 0,

(3)

∂t

рен вопрос об эффективных граничных условиях,

∂(v_s)_i

описывающих случай, когда система окружена сна-

+ ∇_iδµ_l = 0,

(4)

∂t

ружи несжимаемой сверхтекучей жидкостью. Отме-

тим, что вывод системы линейных уравнений гидро-

(ρ^(0)aδ_ij + (ρ_n)_ij )ü_j + (ρ_s)_ij ( v_s)_j +

динамики для полярной фазы в нематическом аэро-

+ ∇_iδp - ∇_jδσ_ij = 0,

(5)

геле был произведен в работе [13], однако содержа-

щиеся в указанной статье неточности не позволяют

где δs = s - s⁽⁰⁾, δρ_l = ρ_l - ρ^(0)l, δρ_a = ρ_a - ρ^a0) - ма-

использовать ее результаты для наших целей.

лые отклонения из положения равновесия соответ-

2. Линеаризованные уравнения гидроди-

ственно энтропии, плотности³He, плотности аэроге-

намики для полярной фазы в нематическом

ля, δµ_l, δp, δσ_ij - изменения химического потенциала

аэрогеле. Система гидродинамических уравнений

жидкости (в расчете на одну частицу), давления и

для рассматриваемой системы содержит пять урав-

тензора напряжений. Дополнительную особенность

нений, описывающих законы сохранения следующих

рассматриваемой системе придает наличие тензора

величин: массы аэрогеля, массы³He, суммарного им-

напряжений аэрогеля в уравнении сохранения сум-

пульса составной системы, энтропии (затухание мы

марного импульса системы. Отметим, что если дав-

рассматривать не будем), и потенциальности сверх-

ление определить как изменение полной энергии со-

текучего движения. В качестве независимых гидро-

ставной системы при изменении ее объема, то тензор

динамических переменных мы будем использовать:

напряжений, входящий в последнее уравнение, дол-

плотность аэрогеля - ρ_a, плотность³He - ρ_l, энтро-

жен относиться к упругой энергии, не связанной с из-

пию единицы объема - s, сверхтекучую скорость -

менением объема системы. Так как изменение объе-

v_s, а также вектор локального смещения частиц

ма определяется дивергенцией вектора смещения, то

аэрогеля u. Использовать последнюю переменную

для исключения указанных членов нужно положить

в качестве независимой становится возможным при

σ_ii = 0.

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

726

Е. В. Суровцев

Чтобы замкнуть написанную систему, необходи-

нии энергии. Во-первых, для рассматриваемых си-

мо выразить величины δµ_l, δp, δσ_ij через малые от-

стем плотность³He имеет тот же порядок, что и

клонения рассмотренных гидродинамических пере-

плотность аэрогеля ρa ∼ ρl. Также известно, что

менных. Для этого запишем энергию единицы объе-

скорость первого звука в гелии гораздо больше со-

ма с точностью до членов второго порядка по относи-

ответствующих скоростей в аэрогеле, т.е.: c_l1 ≫ c_ai

тельным отклонениям из положения равновесия (без

(cl1 ∼ 300 м/c). Скорость второго звука для сверх-

учета кинетической энергии):

текучих ферми-систем также крайне мала. Последо-

вательных измерений упругих свойств нематических

(

)₂

(0)

c^2l1

δρ_l

δρ_aδρ_l

аэрогелей на настоящий момент не проведено. Одна-

δε = ε - ε₀ =

+ [ρ⁽⁰⁾c^2al]

(ρ⁽⁰⁾)²

ко, можно сделать некоторые предположения о соот-

ρ⁽⁰⁾

(

)

ношениях между феноменологическими коэффици-

δρ_l

ρ^a0)c^2a1

δρ_a

ентами c_ai: наибольшим из них является c_a5, так как

+ (ρ^(0)l(c_ul)²)ũzz

ρ^(0)l

ρa0)

он определяет упругость системы вдоль оси z, сов-

падающей с направлением нитей аэрогеля. Можно

δρ_a

δρ_lδs

δρ_aδs

+ {ρ^(0)ac²

}ũ_zz

+ρ^(0)lc²

+ρ^(0)ac²

также считать, что скорости, связанные с эффектом

ρ^a0)

^ls ρ^(0)ls⁽⁰⁾

^as ρ^a0)s⁽⁰⁾

теплового расширения малы, как относительно ско-

(0)

(

)₂

c^2l2

δs

ũ_ij ũ

рости первого звука, так и всех феноменологических

+ρ^(0)ac²

+µ_ijkl

(6)

s⁽⁰⁾

^us s⁽⁰⁾

скоростей аэрогеля. Наконец, скорости, описываю-

щие взаимодействие аэрогеля с³He, должны быть

где индекс “a” относится к величинам, связанным с

малы относительно скорости первого звука в меру

аэрогелем, индекс “l” соответственно к³He, ũij =

низкой концентрации примесей. Резюмируя все вы-

= u_ij -¹³u_llδ_ij, ось z направлена вдоль оси анизо-

шесказанное, можно утверждать, что скорость пер-

тропии аэрогеля, ρ⁽⁰⁾ = ρ^a0) + ρ^(0)l, тензоры (ρ^s0))_ij ,

вого звука в рассматриваемой системе много больше

µ_ijkl определяются выражениями:

всех остальных скоростей.

Для начала, используя написанную выше квадра-

(ρ_s)_ij = ρ^⊥sδ_ij + (ρ^∥s - ρ^⊥s)z_i z_j , ρ^∥s > ρ^⊥s,

(7)

тичную форму, найдем точные выражения для ма-

(

)

ρ^a0)c^2a2

лых изменений химического потенциала жидкости,

µ_ijkl =

δ_ikδ_jl + δ_ilδ_jk -

δ_ijδ_kl

давления и тензора напряжений, а затем упростим

результат, исходя из количественных соотношений

+ρ^(0)ac²

[δ_ik z_j z_l + δ_jl z_i z_k +

между феноменологическими коэффициентами, опи-

)

санных ранее. Согласно определению имеем:

+δ_jkz_iz_l +δ_ilz_jz_k]-z_iz_jz_kz_l

(

)(

)

∂µ^(0)l

δµ_l =

δρ_l +

δρ_a +

δũ_ij +

δs =

+ ρ^(0)a(c^2a5 + c^2a4) ·

δ_ij

δ_kl

(8)

∂ρ_l

∂ρ_a

∂ũ_ij

∂s

zi zj -

zk zl -

∂δε

δρ_l

δρ_a

δs

=c²

+c²

+c^2ulũ_zz +c²

(9)

величины c_a1, c_l1 и т.п. - феноменологические коэф-

∂δρ_l

^al ρ⁽⁰⁾

^ls s⁽⁰⁾

^l1 ρ⁽⁰⁾

фициенты, имеющие размерность скорости: c_l1, c_l2 -

скорости первого и второго звука в сверхтекучем

Так как из уравнений (1), (2) следует, что

³He; c_ai - скорости звука в аэрогеле, определяемые

δs

δρ_a

его упругими коэффициентами; c_as, c_ls, c_us - скоро-

= -u_ll,

(10)

s⁽⁰⁾

сти, связанные с эффектом теплового расширения

ρa0)

аэрогеля и³He; c_al, c_ul - наиболее интересные для

то выражение для δµ_l можно упростить до вида:

рассматриваемой задачи коэффициенты, описываю-

щие взаимодействие аэрогеля и³He. Ввиду большого

δρ_l

δµ_l = c²

+c^2ulu_zz - c^2lsu_ll,

(11)

количества переменных мы не будем далее рассмат-

^l1 ρ⁽⁰⁾

ривать условия термодинамической устойчивости си-

стемы, т.е. будем просто считать, что речь идет об

где

области параметров, где написанная квадратичная

форма положительно определена.

c^2ls = c^2al + c^2ls +

c^2ul.

(12)

Сделаем несколько замечаний по поводу количе-

ственных характеристик феноменологических коэф-

В линейном приближении изменение давления опре-

фициентов, фигурирующих в написанном разложе-

деляется выражением:

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Звуковые колебания в полярной фазе сверхтекучего³He в нематическом аэрогеле

727

δp = s⁽⁰⁾δT + ρ^(0)lδµ_l + ρ^(0)aδµ_a.

(13)

δσ_ij = iδα_ijlmk_lu_m =

(24)

(

c^2a2

Проделав аналогичные предыдущим преобразования

=i ρ⁽⁰⁾

[δ_imδ_jl + δ_ilδ_jm] +

для δT , δµ_a и δσ_ij , получим следующее выражение

для изменения давления и тензора деформаций:

ρ^a0)c^2a4

[z_iz_mδ_jl +z_jz_mδ_il +z_jz_lδ_im +z_iz_lδ_jm]+

δp=c^2l1δρ_l +ρ^(0)ac^2a3u_zz -ρ^(0)ac^2a1u_ll,

(14)

)

{

}

+z_iz_j

(δα)_⊥δ_lm + [(δα)_∥ - (δα)_⊥]z_l z_m

k_lu_m,

c^2a4

δσ_ij =ρ^(0)ac^2a2u_ij +ρ⁽⁰⁾

(z⁽⁰⁾ⁱu_zj + z^(0)ju_zi) +

(

)

где

+ ρ^(0)ac^2a5u_zz + c^2ulδρ_l - ρ^0ac²

u_ll

zi zj ,

(15)

⊥

c^2lsρ^(0)l + c^2l1ρ

(δϕ)_⊥ = -

(25)

где в δ p включен коэффициент из тензора δσ_ij , сто-

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc²

ящий перед δ_ij , а для сокращения записи введены

c^2ulρ^(0)l - c^2l1[ρⁿ - ρ^⊥n]

следующие обозначения:

(δϕ)_∥ - (δϕ)_⊥ =

(26)

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc²

(0)

c^2l1 = c^2l1 + c²

+c^2ls +

c^2ul,

(16)

(δp)_⊥ =

^al ρ⁽⁰⁾

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc²

(

)

ρ^0ac^2a3 = ρ^(0)a c^2a3 +

[c^2a4 + c^2a5]

+ρ^(0)lc^2ul +ρ⁽⁰⁾c^2us,

× (-ρ^(0)lω²[ρ⊥n c^2l1 + ρ^(0)ac^2a1] +

(27)

(17)

+ (ρ_s)_ij k_ik_j [ρ^(0)ac^2a1 - ρ^(0)lc^2ls]c^2l1),

ρ^a0)

(δp)_∥ - (δp)_⊥ =

ρ^(0)ac^2a1 = ρ^(0)ac^2a1 + ρ^(0)ac²

+ 2ρ^(0)ac^2as + ρ^(0)lc^2l2 +

^al ρ⁽⁰⁾

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc

(0)

× (ω²ρ

[ρ^(0)ac^2a3 - [ρ^∥n - ρ^⊥n]c^2l1] -

(28)

+ρ^(0)lc^2ls +

ρ^(0)ac^2us +

ρ^(0)lc^2ul -

(0)

− (ρ_s)_ij k_ik_j [ρ^(0)ac^2a3 - ρ

c^2ul]c^2l1),

ρ^(0)ac^2a2 -

ρ^(0)ac^2a3 +

ρ_a(c^2a4 + c^2a5),

(18)

(δα)_⊥ = -

(0)

(

)

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc²

c^2us = c²

+c^2a3 +

c_a42 + c^2a5

(19)

^us ρ^a0)

× (ρ^(0)lω²[ρ⊥n c^2ul + ρ^(0)ac^2us] -

Исходя из сделанных выше оценок, положим далее

- (ρ_s)_ij k_ik_j [ρ^(0)ac^2usc^2l1 - ρ^(0)lc^2lsc^2ul]),

(29)

везде:

(δα)_∥ - (δα)_⊥ =

c^2l1 ≈ c^2l1.

(20)

ω²ρ^(0)l - (ρ_s)_ijk_ik_jc^2l1

(0)

× (ω²ρ

[ρ^(0)ac^2a5 - [ρ^∥n - ρ^⊥n]c^2ul] -

3. Дисперсионное уравнение. Для решения

системы уравнений (3)-(5) используем определение

− (ρ_s)_ij k_ik_j [ρ^(0)ac^2a5c^2l1 - ρ^(0)lc^4ul]).

(30)

потенциальности сверхтекучего течения в полярной

Используя полученные выражения и введенные обо-

фазе, т.е. (v_s)_i = ∇_iδϕ, (ℏ/2m = 1). Тогда уравнение

значения, перепишем итоговое уравнение на вектор

(5) упрощается до вида:

смещения u в виде:

∂δϕ

+ δµ_l = 0.

(21)

[-ω²{ρ^(0)aδ_im + (ρ_n)_im - (ρ_s)_ij (δϕ)_lmk_j k_l} +

∂t

+ {(δα)_ijlm - δ_il(δp)_jm}k_jk_l]u_m = 0.

(31)

Будем искать решение уравнений в виде периоди-

ческой функции ∼ e^-iωt+ikr. Исключив из уравнений

Условие совместимости трех линейных уравнений

(3) и (21) переменную δρ_l, после тривиальных пре-

дает дисперсионное уравнение на частоты колеба-

образований получим выражения для δϕ, δp и δσ_ij,

ний:

записанные как функции смещения u_i:

(0)

det(-ω²{ρ

δ_im + (ρ_n)_im - (ρ_s)_ij(δϕ)_lmk_jk_l} +

δϕ = ωk_i(δϕ)_iju_j =

+ {(δα)_ijlm - δ_il(δp)_jm}k_jk_l) = 0.

(32)

{

}

= ωk_i

(δϕ)_⊥δ_ij + [(δϕ)_∥ - (δϕ)_⊥]z_i z_j

u_j,

(22)

Полученное уравнение является, вообще говоря,

уравнением четвертой степени относительно квад-

δp = ik_i(δp)_iju_j =

рата частоты, что соответствует четырем колеба-

{

}

= ik_i

(δp)_⊥δ_ij + [(δp)_∥ - (δp)_⊥]z_i z_j

u_j,

(23)

тельным модам для каждого направления волнового

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

728

Е. В. Суровцев

вектора. Понятно, что четвертая колебательная

баний - для двух поперечных (u_z = 0) и одной про-

мода должна возникать в точке сверхтекучего пере-

дольной (u_z = 0) мод:

хода внутри аэрогеля и являться аналогом второго

ρ^a0)

2c^2a2 + c^2a4

звука для рассматриваемой системы. Наличие трех

(ω^z1,2)² =

k^2z,

(33)

различных типов колебаний выше точки перехода

ρ^0a + ρ^⊥

обусловлено анизотропными упругими свойствами

ρ^(0)lρ^s

(ω^z3)² =

c^2a5k^2z,

(34)

аэрогеля.

ρ^0aρ^s + ρ^(0)lρⁿ

4. Низкочастотные моды. Точное решение

уравнения (32) слишком громоздко. Ограничимся

где c^2a5 = [c^2a1 + c^2a2 - c^2a3 + c^2a4 + c^2a5 - c^2us]ρa0)

+c^2ul-c^2ls.

ρ⁽⁰⁾

лишь некоторыми простыми пределами, имеющими

Первая колебательная мода - это очевидно попереч-

отношение к недавним экспериментам [8]. Наблюда-

ные колебания аэрогеля и нормальной компоненты

емые в экспериментах по колебанию нематического

³He, распространяющиеся вдоль оси z. Данное реше-

аэрогеля в³Не частоты резонансов имеют порядок

ние существует как в нормальной фазе, так и в сверх-

10³ Гц. Так как характерные длины возбуждаемых

текучей и связано исключительно с упругостью аэро-

волн определяются размерами аэрогеля, т.е поряд-

геля. Вторая колебательная мода - это аналог вто-

ка 1 мм, то отсюда можно заключить, что первый

рого звука в сверхтекучей системе. Действительно,

звук в³He в рассматриваемых экспериментах внут-

если устремить все скорости, связанные с аэрогелем,

ри аэрогеля не возбуждается. Исходя из этого, будем

и плотность аэрогеля к нулю, то получим обычное

искать решение уравнения (32) только для низкоча-

выражение для частоты второго звука в сверхтеку-

стотных мод колебаний системы, т.е с учетом малого

чей системе:

параметра ω²/(c^2l1k²) в нашем уравнении. Более того,

считая, что скорость звука в³He порядка 300 м/c, а

ρ^s

(ω^z3 )² →

c^2l2k^2z.

(35)

точность измерения сверхтекучей плотности ограни-

ρⁿ

чена условиемρs

> 10^-4, то можно утверждать, что

ρ(0)l

во всем доступном диапазоне температур выполнено

Отметим, что для данной моды взаимодействие с

даже более сильное условие: ω² ≪ρs

k²c^2l1. Таким

аэрогелем приводит к тому, что скорость распро-

ρ⁽⁰⁾

странения колебаний определяется теперь упруго-

образом, в нулевом порядке по рассматриваемому

стью аэрогеля вдоль оси z.

малому параметру в знаменателях выражений для

Для колебаний в направлениях, перпендикуляр-

δϕ_⊥,∥, δp_⊥,∥, δα_⊥,∥ можно пренебречь первым слага-

ных оси z, получим следующие результаты:

емым, а также отношением всех скоростей к скоро-

сти первого звука c_l1. В данном приближении компо-

ρ^a0)

2c^2a2 + c^2a4

ненты тензоров (δϕ)_ij , (δp)_ij , (δα)_ijkl имеют крайне

(ω^xy1)² =

(k^2x + k^2y),

(36)

ρ^0a + ρⁿ

простой вид:

ρ^a0)

c^2a2

(ω^xy2)² =

(k^2x + k^2y),

(37)

ρ⁰

+ρ^⊥

ρ^⊥n

(δϕ)_⊥ =

(ρ_s)_ij k_ik_j

ρ^(0)lρ^⊥s

(ω^xy3)² =

(0)

[ρⁿ - ρ^⊥n]

ρ^0aρ^⊥s + ρ

ρ^⊥

(δϕ)_∥ - (δϕ)_⊥ =

(

)

(ρ_s)_ij k_ik_j

ρ^a0)

[c^2a1 + c^2a2]

-c²

(k^2x + k^2y).

(38)

(0)

ρ^⊥n

ρ⁽⁰⁾

(δp)_⊥ = ω²

-ρ^(0)ac^2a1 +ρ^(0)lc^2ls,

(ρ_s)_ij k_ik_j

Первая колебательная мода аналогична первым

(0)

[ρⁿ - ρ^⊥n]

двум модам, найденным ранее (ω^z1,2), но в ней ко-

(δp)_∥ - (δp)_⊥ = ω²

+ρ^(0)ac^2a3 -ρ^(0)lc^2ul,

(ρ_s)_ij k_ik_j

леблется z компонента вектора смещения. Различие

(δα)_⊥ = -ρ^(0)ac^2us,

частот в данных модах связано с анизотропией

нормальной компоненты плотности полярной фазы

(δα)_∥ - (δα)_⊥ = ρ^(0)ac^2a5.

сверхтекучего 3He. Появление второй поперечной

моды, в свою очередь, связано с анизотропией

Рассмотрим два частных случая направления

упругих свойств аэрогеля. Наконец, третья колеба-

распространения волн в аэрогеле: параллельно оси

тельная мода включает в себя совместные колебания

анизотропии аэрогеля и перпендикулярно. В первом

нормальной компоненты³He и аэрогеля относитель-

случае, когда k_x,y = 0, получим две частоты коле-

но сверхтекучей компоненты, т.е. это опять аналог

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Звуковые колебания в полярной фазе сверхтекучего³He в нематическом аэрогеле

729

второго звука только уже для поперечного направ-

u_y ≈ u^(0)y sinγ_ye-kyuty cos(k_xx)cos(k_zz),

(43)

ления распространения колебаний.

√

Спектр собственных колебаний системы зависит

где k^outy =

k^2x + k^2z - (k^out1)² ≈

k^2x + k^2z. На гра-

от граничных условий на поверхности аэрогеля. В

нице аэрогеля, определяемой нормалью n_i, должны

применении к рассматриваемой экспериментальной

быть непрерывны компоненты тензора потока им-

ситуации, когда аэрогель в форме прямоугольного

пульса Π_ij n_j . В частности, должна быть непрерывна

параллелепипеда находится в ячейке и окружен сна-

компонента тензора Π_yy. Так как колебания давле-

ружи³He, необходимо дополнительно решить гидро-

ния во втором звуке в окружающей аэрогель сверх-

динамические уравнения снаружи аэрогеля для со-

текучей жидкости крайне малы, то основной вклад в

ответствующей сверхтекучей фазы, наложив усло-

Π^outyy будет давать затухающая волна первого звука:

вия отсутствия тока на бесконечности. Качественное

обсуждение данного вопроса содержится в следую-

ρ^(0)lω²

Π^outyy ≈ ρ^(0)lc^2l1∂_iu_i =

u_y.

(44)

щем разделе.

out

5. Сдвиговые колебания. Рассмотрим теперь

приближенно колебания, в которых все компонен-

Внутри аэрогеля имеем соответственно:

ты вектора смещения и волнового вектора не равны

нулю. Для нас существенно, что снаружи аэрогеля

ρ^(0)lρ^⊥n

Π^inyy ≈ ρ^(0)ac^2ay∂_yu_y - ω²

∂_iu_i,

(45)

находится сверхтекучий³Не. Покажем с помощью

(ρ_s)_ij kⁱⁿⁱkⁱⁿ

простых оценочных рассуждений, что в этом случае

в системе возможно возбуждение сдвиговых колеба-

где c^2ay = c^2a1 +c^2a2 - продольная скорость звука вдоль

ний. Будем искать пространственную часть решения

направления y в аэрогеле. Вблизи T_c, когда ρ_s ≪ ρ_n,

внутри аэрогеля в виде:

положим ρ^a0)c^2ay ≪ ω2ρl0) ρⁿ (область параметров_(ρ

s )ij kikj

аэрогеля, где данное утверждение можно использо-

u_x = u^(0)x sin(k_xx + γ_x)cos(k_yy + γ_y)cos(k_zz + γ_z),

(39)

вать, будет рассмотрена ниже), и поэтому первым

членом в Π^inyy можно пренебречь. Приравняв Π^inyy и

u_y = u^(0)y cos(k_xx + γ_x)sin(k_yy + γ_y)cos(k_zz + γ_z),

Π^outyy на границе, получим следующее соотношение:

(40)

u_z = u^(0)z cos(k_xx + γ_x)cos(k_yy + γ_y)sin(k_zz + γ_z).

(ρ_s)_ij kⁱⁿⁱk^inj

(u⁽⁰⁾ⁱkⁱⁿⁱ) = -

(u^(0)yk^iny) tan γ_y.

(46)

(41)

ρ^⊥nk^inyk^out

Колебания аэрогеля могут возбуждать волны перво-

Во-первых, заметим, что так как k^inx, k^iny, k^outy в за-

го и второй звука снаружи. Так как скорость второ-

го звука гораздо меньше упругих скоростей аэроге-

даче имеют одинаковый порядок, то(ρs)^ijkⁱⁿk^jn

∼

ρ^⊥nk^inyk^out

ля, то второй звук будет излучаться в окружающее

∼ ρ^sρn^{≪1.Вовторых,изнепрерывностиΠ}xy^мож-

пространство, давая при этом вклад в затухание соб-

но оценить sin γ_y как sin γy ∼ δ(ω) · kx ≪ 1, где

ственных мод системы. Скорость первого звука, на-

δ(ω) ∼ 0.1 мм - глубина вязкого проникновения в

оборот, гораздо больше скоростей звука в аэрогеле,

³He для частот порядка 1000 Гц. Таким образом, по-

что приводит к затуханию волн первого звука вдали

лучим, что |u^inyk_y | ≫ |u_ikⁱⁿⁱ|. Аналогичным образом

от границы аэрогеля. Действительно, квадрат волно-

можно рассмотреть другую боковую грань аэроге-

вого вектора для колебаний первого звука снаружи

ля (параллельную оси анизотропии), откуда следует,

будет:

что |u^inxk_x| ≫ |u_ikⁱⁿⁱ|. Нас в дальнейшем будут ин-

тересовать колебания, в которых u^x0) и u^y0) имеют

(k^out1)² =

(42)

c²

одинаковый знак (одновременное сжатие или растя-

жение в боковых направлениях). Для таких колеба-

где ω - частота собственных колебаний системы

ний с необходимостью следует, что |k_iu_i| ≪ |k_zu_z|,

(аэрогель и³He). Длина волны первого звука да-

что верно, если выполнено дополнительное условие

же для максимальных частот колебаний (порядка

1600 Гц) составляет примерно 20-25 см, что во много

ρ^a0)c^2a5 ≪ ω2ρl0)ρⁿ

. Таким образом, в нулевом по-

(ρs)ij kikj

раз превышает размеры образца. Рассмотрим плос-

рядке по отношению ρ_s/ρ_n можно положить k_iu_i ≈ 0.

кость xz, разделяющую аэрогель (y < 0) и жидкость

В итоге мы получили, что вблизи T_c из-за нали-

(y > 0). Вблизи поверхности решение для нормаль-

чия снаружи аэрогеля несжимаемой жидкости рас-

ной компоненты смещения снаружи аэрогеля при-

сматриваемые колебания должны быть чисто сдви-

ближенно будет иметь вид:

говыми. Найдем теперь как соотносятся k^inx, k^iny и

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

730

Е. В. Суровцев

(

)

k^inz в данном типе колебаний. Как было сказано вы-

где c^2a⊥ =ca

- c^a4

. Первой час-

c^2a3 -ρl0)ρ_a cul

ше, жесткость аэрогеля вдоль оси z гораздо больше,

тоте колебаний соответствует собственный вектор,

чем в поперечном направлении. Поэтому, считая, что

в котором колебания вдоль осей x и y происходят

продольная скорость звука вдоль оси z в аэрогеле в

в противофазе и удовлетворяют уравнению k_xu_x +

несколько раз больше, чем поперечная, из уравне-

+ k_yu_y = 0. Поэтому данное решение должно быть

ния на u_z следует, что k^2z ∼ ω²/c^2a5 ≪ k^2x, k^2y, (здесь

отброшено как не удовлетворяющее исходному пред-

мы предположили, что итоговая частота колебаний

положению. Наибольший интерес представляет вто-

определяется поперечной скоростью звука в аэро-

рая мода, для которой k_xu_x + k_y u_y = 0. Отметим,

геле). Рассматриваемые колебания представляют из

что скорость c_a⊥, вообще говоря, не зависит от c_ul,

себя двухстороннее сжатие в поперечном направле-

что видно после подстановки выражения для c_a3. Та-

нии при одновременном растяжении в продольном,

ким образом, c_a⊥ полностью определяется упруги-

сохраняющем полный объем аэрогеля, т.е. это коле-

ми свойствами аэрогеля. В полученном выражении

бания формы аэрогеля.

можно выделить две асимптотические зависимости:

Найдем спектр системы с учетом дополнитель-

ного требования k_iui = 0. Для этого рассмотрим

(ρ^⊥sρ^0a)

c^2a⊥

〈ρ_s〉

c^2ul

c^2l1k²,

≪

(51)

первые два уравнения для u_x, u_y, подставив в них

c^2ul

c²

(ρ^(0)l)2

ρ^(0)l

значение u_z из нулевого приближения, т.е. u_z

= -uxk^x+uyk^y . Таким образом, эффективная система_k

ρ^a0)

〈ρ_s〉

c^2ul

c^2a⊥k²,

≫

(52)

уравнений имеет вид:

c²

ρ^a0) + ρnρs

ρ^(0)l

[

ρ^⊥

(ρ^0ac^2a2

ρ^0ac^2a4

- (ρ^0a + ρ^⊥n)ω² +

(0)

где 〈ρ_s〉 = ρ^s +^ρ

ρ^⊥s. При относительно малых зна-

)

ρ(0)l

чениях сверхтекучей плотности выражение (51) про-

- ρ⊥s [(δϕ)_∥ - (δϕ)_⊥]ω² + [δp_∥ - δp_⊥] k^2x +

порционально ρ^⊥sc²¹, что совпадает с зависимостью

)

]

ρ^0ac^2a2

(ρ^0ac^2a2

ρ^0ac^2a4

для четвертого звука, распространяющегося в пер-

k^2y +

k2z

u_x +

пендикулярном к оси анизотропии аэрогеля направ-

[

лении. В противоположном пределе квадрат частоты

- ρ⊥s [(δϕ)_∥ - (δϕ)_⊥]ω² +

стремится к асимптотическому предельному значе-

(

)]

нию, определяемому частотой сдвиговых колебаний

ρ^0ac^2a4

+ δp_∥ - δp_⊥ -

k_xk_yu_y = 0,

(47)

аэрогеля с учетом дополнительной массы³He.

6. Сравнение с экспериментом. Проведем

где второе уравнение получается из первого заменой

сравнение полученной зависимости с эксперимен-

индексов x ↔ y. Чтобы исследовать интересующий

тальными данными на начальном участке, т.е. вбли-

нас эффект связи колебаний аэрогеля и сверхтекучей

зи температуры сверхтекучего перехода, где справед-

компоненты³He, выражение для (δp_∥ - δp_⊥) необхо-

ливо разложение Гинзбурга-Ландау [8] (см. рис. 1).

димо писать с точностью до первого неисчезающего

В пределе Гинзбурга-Ландау анизотропия тензора

члена по малому параметру ω²/(c^2l1k²), т.е.:

сверхтекучей плотности не зависит от давления и

(0)

отношение диагональных компонент тензора ρ^s/ρ^⊥s

[ρⁿ - ρ^⊥n]

равно 3. В этом же приближении сверхтекучая плот-

δp_∥ - δp_⊥ = ω²

+ρ^(0)ac^2a3 -

(ρ_s)_ij k_ik_j

ность в направлении, перпендикулярном орбиталь-

(

)

(0)

ω²

ному вектору m, определяется выражением:

-ρ^(0)lc²

(48)

(ρ_s)_ij k_ik_j c²

(1 -^T )ρ(0)

Tca

ρ^⊥s =

(53)

Согласно сделанному выше предположению во всех

β₁₂₃₄₅

(1 +

)

уравнениях можно опустить члены, пропорциональ-

где T_ca - температура сверхтекучего перехода в по-

ные k^2z. Условие совместимости двух линейных урав-

лярную фазу, β₁₂₃₄₅ = β₁ + β₂ + β₃ + β₄ + β₅, β_i -

нений дает две частоты колебаний:

коэффициенты разложения свободной энергии³He

ρ^0a

c^2a2

ω²¹ =

(k^2x + k^2y),

(49)

в теории Гинзбурга-Ландау, F^s1 - параметр Ландау

ρ_a + ρ^⊥

ферми-жидкости. Все коэффициенты, которые вхо-

ρ^a0)ρ^⊥s(k^2x + k^2y)c^2a⊥

дят в написанное выше выражение, зависят от давле-

ω²² =

[

(50)

ния. Для оценки положим волновые вектора в пер-

(ρ^⊥nρ^s + ρ^a0)ρ^⊥s) + ρ^(0)lρ⊥ncul

c²

пендикулярном направлении k_x ∼ k_y ∼ π/a. Срав-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Звуковые колебания в полярной фазе сверхтекучего³He в нематическом аэрогеле

731

чтобы анизотропия скоростей в аэрогеле была не

слишком большой.

7. Заключение. Остановимся на некоторых вы-

водах работы относительно экспериментального при-

менения полученных результатов. Во-первых, отме-

тим, что найденные в разделе 4 колебательные моды

³He и нематического аэрогеля вряд ли могли быть

возбуждены в экспериментах по колебанию аэроге-

ля внутри сверхтекучего³He [8]. Это связано со спе-

цифическими граничными условиями в которых на-

ходится рассматриваемая система. Сравнение теоре-

тической кривой с экспериментальной зависимостью

представлено на рис. 1. Отметим, что полученные в

статье продольные колебательные моды (для двух

Рис. 1. Пунктирная линия - схематичное изображение

направлений распространения колебаний) аналогич-

температурной зависимости частоты продольной коле-

ны полученной теоретически и найденной экспери-

бательной моды (34). Кружки, кресты, плюсы - зави-

ментально “медленной” моде в изотропном кремние-

симость от температуры частоты второй колебатель-

ной моды, наблюдаемой в эксперименте [8], для давле-

вом аэрогеле [11]. Поэтому, по всей видимости, для

ний 7.1, 15.6, 29.3 бар соответственно. Сплошные ли-

наблюдения данных мод в рассматриваемой системе

нии - подгонка теоретической зависимостью для сдви-

полезным было бы использование методики возбуж-

говой колебательной моды (50). Зависимость ρ^⊥s взята

дения колебаний посредством пропускания обычно-

из (53), где использовались значения коэффициентов

го звука через аэрогель в различных направлениях.

βi чистого³He

В то же время найденная в статье зависимость часто-

ты сдвиговых колебаний от температуры достаточно

хорошо согласуется с экспериментально наблюдае-

мой, а подгоночные параметры в виде соответству-

нение теоретической и экспериментальной зависимо-

стей частоты второй моды от температуры для дав-

ющих упругих коэффициентов укладываются в оце-

ночные рамки. С одной стороны, возможность воз-

лений 7.1, 15.6 и 29.3 бар представлено на рис. 1.

Для наглядности значения частоты для 7.1 бар умно-

никновения такого рода колебаний возникает вслед-

ствие очень слабой сжимаемости жидкости как сна-

жены на 1.2, а для 15.6 бар на 1.1. При построе-

ружи системы, так и внутри нее, по отношению к

нии теоретической зависимости использовались три

сжимаемости аэрогеля. Это приводит к тому, что

подгоночных параметра: T_ca, c_a⊥ и c_ul. Для всех

при колебаниях объем системы не изменяется. С дру-

трех зависимостей наилучшее согласие достигается

гой стороны, возбуждение таких колебаний являет-

при c_a⊥ ≈ 17 м/с, что согласуется с утверждением,

ся спецификой рассматриваемой системы, связанной

что данная скорость определяется исключительно

упругими свойствами аэрогеля, которые не зависят

с анизотропными свойствами нематического аэроге-

ля. Взаимодействие³He и анизотропного аэрогеля

от давления. Одновременно с этим феноменологиче-

приводит к тому, что химический потенциал жидко-

ский коэффициент c^2ul зависит от давления, но его

сти становится функцией u_zz. Появление такой свя-

отношение к c^2l1 от давления практически не зави-

зи описывается упругим коэффициентом c^2ul = 0 в

сит и равно примерно 0.01. По всей видимости, этот

разложении энергии системы по степеням u_zz. Из-за

результат указывает на то, что данное отношение яв-

низкой концентрации примесей данный коэффици-

ляется функцией только от концентрации примесей.

ент мал по отношению к квадрату скорости первого

Вернемся теперь к вопросу о сделанном в нача-

звука c^2l1. Наличие дополнительного члена приводит

ле раздела предположении, что близи T_c можно счи-

(0)

к тому, что даже при условии, что u_ll = 0, оказыва-

тать ρ^a0)c^2a5 ≪ ω2ρl ρⁿ

. Подставив для частоты

(ρs )ij kikj

ется возможной связь между колебаниями нормаль-

асимптотическое решение (51) и найденные числен-

ной компоненты системы и колебаниями сверхтеку-

но значения параметров, получим, что c_a5 ≪ 150 м/c.

чей компоненты. В полученной зависимости часто-

Температурная же область применимости получен-

ты от температуры можно выделить два участка: в

a⊥

ных результатов ограничена условием ρ^⊥s/ρ^⊥n ≪^c

начале зависимость совпадает с частотой четверто-

c2a5

Поэтому можно заключить, что для возможности

го звука, уменьшенной на величину связи c_a⊥/c_ul, а

применения построенного приближения необходимо,

на конечном сводится к частоте сдвиговых колеба-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

732

Е. В. Суровцев

ний системы с учетом только ее нормальной компо-

этого, при проверке выполнения теоремы Андерсона

ненты плотности. Как следует из подгонки экспери-

необходимо исключить из рассмотрения указанный

ментальных кривых, отношение c^2ul/c^2l1 не зависит от

выше эффект.

давления. Поэтому полученное выражение для час-

Автор признателен

Л.А.Мельниковскому,

тоты сдвиговых колебаний можно было бы исполь-

А. А. Солдатову и И. А. Фомину за полезные ком-

зовать для исследования температурной зависимо-

ментарии и конструктивную критику.

сти сверхтекучей плотности и степени ее анизотро-

Исследование выполнено при финансовой под-

пии в области температур, пока выполнено условие

держке Российского научного фонда (проект

⊥

#18-12-00384).

ρ^⊥s/ρ^⊥n ≪^c

. На настоящий момент упругие свой-

c²

ства нематических аэрогелей систематически не изу-

чались. Для возможности правильной интерпрета-

1. D. Vollhardt and P. Wölfle, The Superfluid Phases of

ции полученных из сравнения с экспериментов ре-

³He, Taylor and Francis, London (1990).

зультатов необходимо, чтобы отношениеc⊥

было не

2. T. T. Heikillä and G. E. Volovik, JETP Lett. 93, 59

c²

(2011).

больше 0.1 (так как из (53) ρ^⊥s/ρ^(0)l ∼ 0.1[1- T/T_ca]).

3. K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504(R)

Отметим, что для системы примесей, состоящей из

(2006).

идеально сонаправленных и зеркально отражающих

4. V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov and

квазичастицы нитей справедлива теорема Андерсо-

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

на, согласно которой данный тип примесей не ме-

5. V. P. Mineev, Low Temp. Phys. 177, 48 (2014).

няет сверхтекучих свойств полярной фазы, таких

6. G. E. Volovik, Pis’ma v ZhETF 115, 306 (2022).

как температура сверхтекучего перехода и зависи-

7. S. Autti, V. V. Dmitriev, J. T. Mäkinen, A. A. Soldatov,

мость щели в спектре возбуждений от температуры

G. E. Volovik, A. N. Yudin, V. V. Zavjalov, and

[14]. Поэтому, измерение температурной зависимости

V. B. Eltsov, Phys. Rev. Lett. 117, 255301 (2016).

сверхтекучей плотности позволяет произвести оцен-

8. В. В. Дмитриев, М. С. Кутузов, А. А. Солдатов,

ку степени выполнения данной теоремы для реаль-

Е. В. Суровцев, А. Н. Юдин, Письма в ЖЭТФ 112,

820 (2020).

ных аэрогелей. Здесь следует заметить, что для рас-

9. V. V. Dmitriev, M. S. Kutuzov, A. A. Soldatov, and

сматриваемой системы вклад примесей в сверхтеку-

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 127, 265301 (2021).

чую плотность не связан только с рассеянием ква-

10. Е. В. Суровцев, ЖЭТФ, 160, 553 (2021).

зичастиц на нитях. Есть еще эффект присоединен-

11. A. Golov, D. A. Geller, and J. M. Parpia, Phys. Rev.

ной массы, которая возникает при потенциальном

Lett. 82, 3492 (1999).

обтекании нитей сверхтекучим потоком в направ-

12. M. J. McKenna, T. Slawecki, and J. D. Maynard, Phys.

лении, перпендикулярном направлению нитей. Дан-

Rev. Lett. 66, 1878 (1991).

ный вклад не может быть посчитан в рассмотрен-

13. H. R. Brand and H. Pleiner, Phys. Rev. B 102, 094510

ном гидродинамическом приближении, однако ко-

(2020).

нечность эффекта не вызывает сомнений. Исходя из

14. И. А. Фомин, ЖЭТФ 154, 1034 (2018).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022