Письма в ЖЭТФ, том 117, вып. 3, с. 228 - 234

Влияние беспорядка на магнитотранспорт в полупроводниковом

искусственном графене

О.А.Ткаченко⁺¹⁾, В.А.Ткаченко^+∗, Д.Г.Бакшеев^∗, О.П.Сушков^×

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

^×School of Physics, University of New South Wales, 2052 Sydney, Australia

Поступила в редакцию 15 ноября 2022 г.

После переработки 1 декабря 2022 г.

Принята к публикации 8 декабря 2022 г.

В рамках формализма Ландауэра-Бьюттикера промоделирован магнитотранспорт в мезоскопиче-

ских образцах с полупроводниковым искусственным графеном. Модельные четырехтерминальные си-

стемы в высокоподвижном двумерном электронном газе имеют форму квадрата размером 3 ÷ 5 мкм,

который заполнен короткопериодной (120 нм) слабо разупорядоченной треугольной решеткой антиточек

при амплитуде модуляции электростатического потенциала, сравнимой с энергией Ферми. Обнаружено,

что при концентрациях носителей в решетке ниже точки Дирака n < n1D в холловском сопротивлении

Rxy(B) в диапазоне магнитных полей B = 10 ÷ 50 мТл возникает плато дырочного типа Rxy = -R0, а

при n > n1D плато электронного типа Rxy = R0, где R0 = h/2e² = 12.9 кОм. С усилением беспорядка

плато разрушаются, но тип носителей (электроны или дырки) сохраняется. При низких магнитных по-

лях длинноволновой беспорядок подавляет плато квантованных сопротивлений гораздо эффективнее,

чем коротковолновый.

DOI: 10.31857/S1234567823030084, EDN: oxgchz

В последние годы достигнут значительный про-

вносят длинноволновый беспорядок в потенциал ре-

гресс в формировании полупроводниковых решеток

шетки[2]. Размер типичных флуктуаций такого бес-

с периодом 70-130 нм в высокоподвижном двумер-

порядка охватывает несколько периодов решетки.

ном электронном газе (ДЭГ). Были минимизированы

В работе [3] для ряда атомарных решеток, вклю-

ошибки технологии, которые могут разрушать энер-

чая гексагональную и квадратную, методом сильной

гетический спектр решеток. Особое внимание уде-

связи было предсказано поведение холловской прово-

ляется разработке и тестированию устройств с тре-

димости σ_xy(E) для энергий в щелях минизон Лан-

угольной решеткой антиточек [1], которые позволят

дау. Рассматривался случай бесконечной периодиче-

создавать и изучать полупроводниковый искусствен-

ской решетки в перпендикулярном магнитном по-

ный графен. В таких устройствах с нелегированной

ле, отношение магнитного потока через элементар-

гетероструктурой GaAs/AlGaAs предусмотрено два

ную ячейку φ к кванту потока φ₀ = h/e выбира-

затвора, разделенных диэлектриком[2]. Нижний за-

лось равным рациональной дроби φ/φ₀ = p/q. Ано-

твор пронизан решеткой отверстий, он лежит на по-

мальное поведение холловской проводимости в гек-

лупроводнике и вытягивает электроны из боковых

сагональной решетке вблизи точки Дирака σxy =

контактов в рабочий слой GaAs. Верхний затвор,

= ±(2N + 1)2e²/h, где N = 0, 1, 2, . . . (здесь учтено

отделенный от нижнего тонким слоем диэлектрика,

вырождение по спину) было предсказано в еще рабо-

входит в область отверстий и создает в ДЭГ под от-

те [4] до экспериментального наблюдения аномаль-

верстиями области обеднения - барьеры конечной

ного квантового эффекта Холла (АКЭХ) в графене.

высоты (антиточки). В результате в плоскости ДЭГ

Авторы работы [3] показали, что АКЭХ существует

возникает плавный синусоподобный потенциал с гек-

вплоть до некоторых энергий для целого класса ре-

сагональной симметрией. Различия в диаметрах, в

шеток. Эти энергии связаны с сингулярностями Ван

форме, в положении отверстий нижнего затвора и

Хова и расположены по обе стороны от точки Дира-

цилиндров верхнего затвора, входящих в отверстия,

ка. Было так же выяснено, что при переходе через

сингулярности Ван Хова проводимость претерпева-

¹⁾e-mail: otkach@isp.nsc.ru

ет гигантский скачок, при этом знак проводимости

228

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023

Влияние беспорядка на магнитотранспорт в полупроводниковом искусственном графене

229

√

меняется. Таким образом, в работе [3] было показа-

g₂ = g₀(0, 2/

3),

но, что холловская проводимость, ниже первой точки

√

g₃ = g₁ - g₂ = g₀(1, -1/

3).

Ван Хова, положительная, а выше второй точки Ван

Хова - отрицательная и меняется в этих областях

Здесь g₀ = 2π/L, а L - период решетки. Зонные спек-

по энергии с шагом 2e²/h в соответствии с обыч-

тры идеальной гексагональной решетки для разных

ным квантовым эффектом Холла (КЭХ). Пример,

значений V₀ обсуждались в работе [2]. Было показа-

демонстрирующий зависимость σ_xy(E), был дан для

но, что спектр зависит только от безразмерной ам-

“низкого” магнитного потока φ = φ₀/31, для графе-

плитуды модуляции потенциала w₀ = 0.5V₀/E₀, где

на соответствующая напряженность магнитного по-

. Для эффектив-

^∗L²

ля равна B = 2538 Тл. Для искусственного графена

ной массы в GaAs m^∗ = 0.067m_e и периода решетки

с периодом 120 нм магнитное поле, отвечающее по-

L = 120нм получаем E₀ = 0.693мэВ.

току φ/φ₀ = 1/31, очень мало B = 0.011 Тл (маг-

На рисунке 1 показаны нижние минизоны, расчи-

нитные поля отличаются в квадрат отношения по-

танные для решетки с модуляцией w₀ = 0.25, пол-

стоянных решетки). Результаты работы [3] не могут

быть буквально перенесены на искусственный полу-

проводниковый графен, поскольку это совершенно

другая электронная система с плавным эффектив-

ным потенциалом и существенным беспорядком.

Ранее мы моделировали треугольную решетку ан-

титочек конечных размеров (период 100 нм, беспоря-

док отсутствовал) и обнаружили, что АКЭХ возни-

кает в окрестности точек Дирака в перпендикуляр-

ном магнитном поле несколько миллитесла [5], при-

чем ниже точки Дирака ток переносится дырками, а

выше точки Дирака - электронами. Этот результат

в основном сохраняется при коротковолновом беспо-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Нижние минизоны для иде-

рядке, который позволяет подавить интерференци-

альной решетки с периодом L = 120 нм и модуляцией

онные осцилляции, связанные с размером образца [6].

w0 = 0.25. Стрелки VH1 и VH2 указывают на положе-

Оставалось неясным, будет ли длинноволновой бес-

ния по энергии первой и второй сингулярностей Ван

порядок разрушать квантование холловского сопро-

Хова, стрелка 1D - на первую точку Дирака

тивления R_xy и может ли сохраняться дырочный и

электронный тип проводимости вблизи точек Дира-

ная амплитуда периодического потенциала от мини-

ка при подавленных значениях R_xy ≪ R₀ = h/2e² =

мального до максимального значения равна 9w₀E₀ ≈

= 12.9 кОм.

≈ 1.56 мэВ. Это довольно низкая модуляция, при

В настоящей работе мы сопоставляем влияние

которой третья минизона перекрывается со второй.

коротко- и длинноволнового беспорядка на кван-

Тем не менее, минизонные особенности уже четко

товый транспорт через гексагональную решетку.

проявляются в холловском сопротивлении. Две ниж-

Мы вычисляем холловские сопротивления R_xy для

ние минизоны пересекаются в точке Дирака с энер-

устройства в четырехтерминальной схеме измерений

гией E_1D = 0.49 мэВ. Первая и вторая сингулярно-

при фиксированной модуляции периодического по-

сти Ван Хова отвечают энергиям E_VH1 = 0.32 мэВ,

тенциала и заданном уровне беспорядка. Мы пока-

E_VH2 = 0.57 мэВ - это точки, в которых меняется

зываем, что коротковолновый беспорядок разумных

кривизна закона дисперсии. Концентрация частиц в

амплитуд не приводит к разрушению КЭХ, в то вре-

первой точке Дирака отвечает заполнению первой

√

мя как длинноволновой может существенно умень-

минизоны двумя электронами: n_1D = 2/(

3L²/2) =

шать значения холловского сопротивления, не изме-

= 1.6 · 10¹⁰ см^-2. С ростом модуляции третья зона

няя его знака.

поднимается и при w₀ ≥ 0.75 между второй и тре-

В расчетах мы используем задание потенциала по

тьей зонами возникает щель запрещенных энергий.

аналитической формуле [7]: U(r) = V₀

∑ cos(g_i · r),

Беспорядок в расчетах задавался функцией V_d(r),

где V₀ определяет амплитуду модуляции потенциа-

которая прибавляется к периодическому потенциалу

ла. Векторы обратной решетки определяются как

U (r). Это позволяет независимо менять амплитуду

модуляции и беспорядка. Поскольку потенциал чис-

√

g₁ = g₀(1, 1/

3),

ленно определялся на дискретной квадратной сетке

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023

230

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

с шагом h_x = h_y = 8 нм, проще всего было ввести

беспорядок как случайную добавку в каждом сайте

(i, j) вычислительной сетки. Реализация беспоряд-

ка V_d определялась последовательностью случайных

чисел δ_i,j в диапазоне от -0.5 до 0.5: V_d(r_i,j ) = δ_i,j ·V_r,

где коэффициент V_r задавал амплитуду беспоряд-

ка. Такой беспорядок (коротковолновый или локаль-

ный) вызывает рассеяние даже в сравнительно силь-

ных магнитных полях 1-2 Тл, при которых магнит-

ная длина остается больше шага сетки. Другой тип

беспорядка ближе к реальному. Способ его задания

вытекает из нашего опыта расчетов трехмерной элек-

тростатики структур с треугольной решеткой [2]. Из

этих расчетов следует, что при учете разброса диа-

метров отверстий в нижнем затворе самые сильные

отклонения потенциала от идеальной формы возни-

кают в области антиточек, в то время как между

антиточками в каналах, заполненных электронами,

потенциал меняется гораздо слабее за счет самоэкра-

нировки. Поэтому разумно задать беспорядок этого

типа в виде суммы гауссовых функций случайной ам-

плитуды V_r · Σ_iδ_i exp(-(r - r_i)²/σ²), центрированных

в вершинах r_i треугольников гексагональной решет-

ки. Для масштабирования беспорядка вводится об-

щий множитель V_r перед суммой, δ_i - случайные чис-

ла в диапазоне от -0.5 до 0.5. Полуширина колокола

σ = 45нм выбрана близкой к расстоянию от затвора

до плоскости с ДЭГ в моделируемой структуре. На

рисунке 2 показаны фрагменты (квадратик разме-

Рис. 2. (Цветной онлайн) Карты двумерного потенци-

ром 1 мкм) карты потенциала решетки с модуляцией

ала решетки с периодом L = 120 нм и модуляцией

w₀ = 0.25 для двух типов беспорядка с одинаковой

w0 = 0.25 при длинноволновом (верхняя карта) и ло-

амплитудой V_r = 2 мэВ, где желто-красным цветом

кальном (нижняя карта) с амплитудой Vr = 2мэВ.

изображены горбы потенциала (антиточки), а синим

Цветная шкала потенциала в миллиэлектронвольтах.

каналы между ними. Видно, что при задании бес-

Изолиния (черные колечки на верхней карте) соответ-

порядка гауссовыми функциями в потенциале воз-

ствует энергии первой точки Дирака

никают “хребты” и “ущелья”, которые охватывают

группу периодов, в то время как при сайтовом бес-

одинаковые и равны 560 нм. Потенциал в каналах

порядке потенциал на соседних периодах в среднем

был постоянным и равным минимуму потенциала

не меняется.

решетки в отсутствие беспорядка. На рисунках 3 и 4

Задача рассеяния электронов в модельном

показано распределение плотности потока частиц

квадратном образце решается в рамках пакета

с заданной энергией E, которые инжектируются в

KWANT [8], предназначенного для расчетов мно-

решетку через нижний левый канал, рассеиваются

готерминального квантового транспорта. Четырех-

на решетке и выходят через два верхних канала и

терминальные сопротивления восстанавливаются по

нижний справа. При нулевой температуре энергия

формулам Бьютиккера - по вычисляемым в системе

E имеет смысл уровня Ферми. В решетке возможны

коэффициентам прохождения между контактами [9].

два типа носителей заряда: электроны и дырки,

В моделировании подводящие каналы подходят го-

в магнитном поле их траектории разделяются.

ризонтально сверху и снизу к боковым сторонам

На рисунке 3 частицы с энергией E = 0.5 мэВ в

квадрата, на котором задана решетка. Они отмече-

магнитном поле B = 30 мТл прижимаются силой

ны серыми вертикальными полосками на правой и

Лоренца к нижнему краю решетки (тип проводимо-

левой сторонах образца (рис. 3 и 4). В обсуждае-

сти электронный). Достаточно сильный локальный

мых расчетах ширины всех четырех каналов были

беспорядок V_r = 3 мэВ не разрушает краевое состо-

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023

Влияние беспорядка на магнитотранспорт в полупроводниковом искусственном графене

231

Рис. 3. (Цветной онлайн) Распределение плотности то-

ка J(x, y) для решетки размером 3.6 мкм при w0 = 0.25,

E = 0.5мэВ, B = 0.03Тл и локальном беспорядке

Vr = 3 мэВ. Серые вертикальные полосы отмечают ме-

ста подсоединения четырех горизонтальных каналов.

Частицы входят в образец через левый нижний канал,

рассеиваются на решетке и могут выйти через левый

верхний, правый верхний и правый нижний каналы.

яние, что означает, что холловское сопротивление

имеет квантованное значение. На рисунке 4 показан

ток для энергии E

= 0.8 мэВ в магнитном поле

= 30 мТл. В отсутствие беспорядка (график

сверху) видно, что тип носителей дырочный. Поток

частиц идет вверх вдоль левой стенки, обходя центр

решетки по часовой стрелке. Длинноволновой беспо-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Плотность потока J(x, y) для

рядок (график снизу) разрушает краевое состояние

решетки размером 3.6 мкм при w0 = 0.25, E = 0.8 мэВ,

B = 0.03Тл в отсутствие беспорядка Vr = 0 (сверху)

и перемешивает частицы по всей решетке, при этом

и при длинноволновом беспорядке Vr = 2 мэВ (график

сопротивление отрицательное и мало по величине

снизу). Размеры по осям указаны в микронах

(дырочный тип проводимости доминирует).

Вычисления DoS и сопротивления Холла R_xy вы-

полнялись по следующей схеме. Для заданной w₀

В эксперименте модуляция периодического по-

при нулевом беспорядке и B

= 0 по энергетиче-

тенциала решетки, создаваемой электростатически,

ской зависимости плотности состояний определялось

может сильно уменьшаться при постепенном заселе-

положение точки Дирака (провал между линейным

нии электронами нижних минизон из-за самоэкрани-

склоном и подъемом DoS(E)) и положение сингуляр-

ровки. Однако при разных модуляциях w₀ = 0.25-2

ностей Ван Хова (точки максимумов DoS(E)). За-

поведение холловского сопротивления в окрестности

тем при энергиях ниже и выше точки Дирака про-

первой точки Дирака однотипно из-за похожего за-

водились магнитополевые расчеты сопротивлений и

кона дисперсии двух нижних подзон [2]. Различия в

DoS(B) при разных уровнях и типах беспорядка. За-

поведении R_xy проявляются при более высоких кон-

метим, что все зависимости по энергии или магнит-

центрациях n > 2n_1D и более высоких магнитных

ному полю сглаживались из-за присутствия сильных

полях [6]. Ниже все расчеты относятся к решетке с

интерференционных осцилляций. Усреднение соот-

w₀ = 0.25.

ветствовало эффективной температуре 0.05 К. Мо-

Рисунок 5 показывает энергетические зависимо-

дельные системы имели форму квадрата размером

сти холловского сопротивления R_xy(E) и плотно-

3.6 ÷ 4.8 мкм (30 ÷ 40 периодов решетки).

сти состояний DoS(E) для w₀

= 0.25 и разных

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023

4^∗

232

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

R_xy = -R₀ в отсутствие беспорядка, сопротивление

уменьшилось в разы, но тип проводимости остался

дырочным. Электронное плато R_xy = R₀ выше точки

Дирака по энергии превратилось в горб с максималь-

ным значением примерно R₀/3. При V_r = 3 мэВ воз-

никают дополнительные осцилляции R_xy(E) и точка

Дирака размывается. При V_r > 3 мэВ значения со-

противления становятся маленькими и в основном

положительными. Таким образом, при V_r ≤ 2 мэВ

есть две области отрицательных холловских сопро-

тивлений: E_VH1 < E < E_1D и E_VH2 < E < 1.2 мэВ. В

плотности состояний DoS(E) при V_r = 0 уровни Лан-

дау видны в виде пиков, причем три пика, отвечаю-

щие уровням Ландау-Дирака с N = 0, ±1 шире, чем

обычные уровни Ландау, поскольку их вырождение

в два раза больше (рис. 5b). Это связано с тем, что

вблизи точки Дирака поверхность Ферми является

двусвязной (распадается на две долины). Магнитный

поток через площадь элементарной ячейки решетки

при B = 25 мТл равен φ = 0.075φ₀. Соответствую-

щая напряженность магнитного поля в естественном

графене относится к недостижимо высоким значе-

ниям B = 5925 Тл. При φ ≈ 0.1φ₀ уровни Ландау-

Дирака с N = ±1 наползают на сингулярности Ван

Рис. 5. (Цветной онлайн) Холловское сопротивление

Хова, что согласуется с моделированием естествен-

Rxy (a) и плотность состояний DoS (b) в зависимости от

ного графена, см. рис. 5с в работе [3]. Таким обра-

энергии для w0 = 0.25, B = 25 мТл. Беспорядок длин-

зом, поле B = 25 мТл относится к режиму сильных

новолновой. Числа 0, +1, -1 на графике (b) отмечают

магнитных полей, в котором уровни Ландау-Дирака

пики нулевого и плюс/минус первого уровней Ландау-

с более высокими N отсутствуют. При значительном

Дирака. Положение точки Дирака совпадает с пиком

N = 0, а сингулярности Ван Хова при B = 25мТл сли-

беспорядке области с дырочной и электронной прово-

ваются с пиками N = ±1

димостью перекрываются по энергии, поэтому пики

DoS(E) быстро размываются и практически уже не

видны при V_r = 2 мэВ. Пики DoS(E) ниже и выше

амплитудах V_r длинноволнового беспорядка в маг-

нитном поле B = 25 мТл. В отсутствие беспоряд-

сингулярностей Ван Хова можно интерпретировать

как уровни Ландау, отстроенные от дна первой ми-

ка можно видеть квантованные плато сопротивления

низоны (электронная проводимость) и от макушки

R_xy = ±R₀, разделяющие нулевой уровень Ландау-

Дирака и уровни Ландау-Дирака с N = 0, ±1: E₀ =

второй минизоны (дырочная проводимость).

= 0.46 мэВ, E_-1 = 0.34 мэВ, E₊₁ = 0.6 мэВ. Беспоря-

На рисунке 6 показано влияние длинноволнового

док и магнитное поле немного сдвигают точку Ди-

беспорядка на магнитополевую зависимость R_xy(B)

рака и сингулярности Ван Хова по энергии по срав-

при w₀ = 0.25 и E = 0.4 мэВ. Видно, что это влияние

нению со значениями, полученными из закона дис-

очень сильное. Отрицательный наклон R_xy в нуле

персии на рис. 1. При низких магнитных полях мож-

B = 0 свидетельствует о дырочном типе проводимо-

но считать, что энергии E_1D, E_VH1, E_VH2 совпада-

сти. При магнитном поле больше B = 50 ÷ 55 мТл

ют с точками изменения знака холловского сопро-

сопротивление становится выше нуля и далее, ос-

тивления [3]. В интервале от E = 0.6 мэВ примерно

циллируя, поднимается до R_xy = R₀. Между пла-

до E = 1.2 мэВ холловское сопротивление снова ста-

то квантованных значений R = R₀, R₀/2, R₀/3, R₀/4

новится отрицательным, хотя значения сопротивле-

есть глубокие провалы, которые замываются беспо-

ния тут гораздо меньше, чем в окрестности точки

рядком.

Дирака. При V_r > 1 мэВ плато R_xy = ±R₀ разру-

На рисунке 7 показано влияние размера решетки

шаются. При V_r = 2 мэВ величина сопротивления

и типа беспорядка на зависимость R_xy(B). Если при

в окрестности точки Дирака сильно подавляется по

коротковолновом беспорядке все плато прописаны

сравнению с R₀. Там, где было отрицательное плато

очень четко, то при длинноволновом беспорядке пла-

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023

Влияние беспорядка на магнитотранспорт в полупроводниковом искусственном графене

233

B = 100мТл. Заметим, что по наклону R_xy(B) в нуле

уже нельзя определять концентрацию в образце.

Рис. 6. (Цветной онлайн) Холловское сопротивление

Rxy (B) при разных амплитудах беспорядка для w0 =

= 0.25, E = 0.4 мэВ (ниже E1D). Беспорядок длинно-

волновой

то при B < 0.05 Тл разрушено, но тип носителей со-

храняется: там, где было плато R_xy(B) = -R₀, знак

сопротивления остается отрицательным. Что касает-

ся влияния разных реализаций беспорядка, то каче-

ственно поведение кривых сопротивления для одного

типа беспорядка похожее.

Рис. 8. (Цветной онлайн) Холловское сопротивление

для w0 = 0.25 с длинноволновым беспорядком Vr =

= 2мэВ при фиксированных энергиях, указанных

числами. Кривые Rxy(B) сдвинуты по вертикали

с шагом 0.5

Рис. 7. (Цветной онлайн) Влияние разных реализаций

Таким образом, мы показали, что при измене-

беспорядка и типа беспорядка на зависимость Rxy (B)

нии энергии (концентрации) электронов в решетке

при w0 = 0.25, E = 0.4 мэВ, Vr = 1.5 мэВ для реше-

или напряженности магнитного поля холловское со-

ток, заданных на квадрате со стороной 3.6 и 4.8 мкм.

противление меняет знак. Такое чередование типов

Кривые с длинноволновым беспорядком отмечены бук-

носителей связано с минизонным спектром решет-

вой A (беспорядок в антиточках), с коротковолновым

ки. Выяснено, что в низких магнитных полях корот-

(беспорядок в сайтах) - буквой S

коволновый беспорядок практически не разрушает

Рисунке 8 показывает эволюцию R_xy(B) при по-

краевые состояния решетки, в то время как длинно-

степенном изменении энергии электронов. Синим

волновой беспорядок размешивает частицы по всей

цветом отмечены кривые R_xy(B) с положительным

структуре и подавляет значения холловского сопро-

наклоном в нуле, а красные с отрицательным. Вид-

тивления по сравнению с квантованными значения-

но, что наклон R_xy(B) в нуле меняет знак четыре

ми в отсутствие беспорядка, сохраняя при этом тип

раза: в сингулярностях Ван Хова, в точке Дирака и

носителей.

при энергии выше E = 1.3 мэВ, где минизоны на-

Данная работа выполнена с использованием

кладываются друг на друга и доминирует электрон-

ресурсов Межведомственного суперкомпьютерного

ный тип проводимости. Вторая область дырочной

центра РАН и при поддержке Российского научного

проводимости шире первой: она идет от 0 почти до

фонда, грант #19-72-30023.

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 3 - 4

2023