Письма в ЖЭТФ, том 117, вып. 7, с. 487 - 491

Новые объекты в теории рассеяния с симметриями¹⁾

А. С. Лосев^+∗2), Т. В. Сулимов^×2)

⁺Wu Wen-Tsun Key Lab of Mathematics, Chinese Academy of Sciences, Hefei, 230026 Hefei, China

^∗Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, 119048 Москва, Россия

^×Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 191023 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 20 февраля 2023 г.

После переработки 3 марта 2023 г.

Принята к публикации 3 марта 2023 г.

Рассматривается одномерная квантовомеханическая задача рассеяния, определяемая гамильтониа-

ном с симметриями. Показывается, что рассмотрение симметрий в духе гомологической алгебры при-

водит к новым объектам, обобщающим T - и K-матрицы. Эти новые объекты объединены со стары-

ми внутри дифференциала, порождаемого гомотопическим трансфером взаимодействия и симметрий,

действующих на решениях свободной задачи. Таким образом, новые и старые объекты удовлетворяют

интересным квадратичным уравнениям, нетривиальность которых демонстрируется на примере супер-

симметричной задачи на окружности.

DOI: 10.31857/S1234567823070017, EDN: jfgnqc

1. Введение и результаты. Рассмотрим нере-

стояниями непрерывного спектра с энергией E

лятивистскую одномерную квантовомеханическую

|ϕ_α〉, |ϕ_β 〉 ∈ ker H_0,E определяется как

задачу о частице со внутренними степенями свободы,

такими как спин или изоспин. Пространство состоя-

T_β,α = 〈ϕ_β|T|ϕ_α〉 =

(1)

ний частицы описывается тензорным произведением

= 〈ϕ_β |V + V G_causV + V G_causV G_causV + . . . |ϕ_α〉,

пространства функций на прямой (R) или на окруж-

где G_caus - причинная функция Грина

ности радиуса R (S^1R) и конечномерного простран-

ства внутренних степеней свободы I. Гамильтониан

G_caus = lim

(E - H₀ + iε)^-1.

(2)

представим в виде H = H₀ + V , где H₀ - свобод-

ε→0+

ный гамильтониан, действующий на функции как

Как известно, T является пертурбативным решени-

-∂^2x, а на I действующий тривиально; и V - взаимо-

ем уравнения Липмана-Швингера на (непертурба-

действие, меняющее I, и как обобщенная функция

тивную) T-матрицу T^np:

имеющее

T^np = V + V G_causT^np.

(3)

• ограниченный носитель (для задачи на R);

В свою очередь T^np, как и функция Грина полной

• носитель с мерой меньше 2πR (для задачи на

задачи

S^1R).

G^fullcaus = lim (E - H + iε)^-1,

(4)

ε→0+

Мы будем решать задачу пертурбативно, т.е. начнем

содержит в себе всю информацию о рассеянии час-

с решения свободной задачи и рассмотрим соответ-

тиц, а также связных состояниях (см., например, [1]).

ствующее решение полной задачи как ряд по взаимо-

Пусть g - (супер)алгебра симметрий H с генера-

действию. Поскольку нас интересуют решения сво-

торами S_a:

бодной задачи с фиксированной энергией E, удобно

определить сдвинутый гамильтониан H_0,E = H₀ - E.

[S_a, H] = 0,

{S_a, S_b} = f^dabS_d,

(5)

Рассмотрим задачу на R. Матричный элемент

где {, } обозначает суперкоммутатор. Заметим, что

пертурбативной T-матрицы между двумя со-

сам гамильтониан тоже является симметрией, по-

скольку [H, H] = 0. Логично спросить, как симмет-

¹⁾См. дополнительный материал к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru

рии гамильтониана отражены в симметриях T^np или,

²⁾e-mail: aslosev2@yandex.ru; optimus260@gmail.com

по крайней, мере в симметриях T .

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

487

488

А. С. Лосев, Т. В. Сулимов

В этой работе мы постараемся ответить на этот

секции 2.1, подробнее см. [3] и [4]). В виде ряда по

вопрос. Для формулировки довольно нетривиально-

духам дифференциал имеет вид

го ответа нам потребуется ввести новые объекты, не

рассмотренные ранее в теории рассеяния, насколько

Q_ind =¹² f^dabc^ac^b∂_cd + c^aS_a(R^-1) + c^ac^bS_ab(R^-1) + . . .

нам известно. Мы также покажем, что эти объекты

(11)

связаны квадратичными соотношениями. В нашем

В нулевом порядке по R^-1 второе слагаемое в раз-

текущем понимании, эти объекты можно получить

ложении содержит все симметрии H₀, суженные на

из задачи на S^1R в пределе R → ∞. Мы предполага-

ker H_0,E

ем, что их можно определить и сразу на R, но над



этим способом мы еще работаем.

Q^(0)ind =¹² f^dabc^ac^b∂_cd + c^aS_0,a

(12)

ker H0,E

Для начала, от T-матрицы мы перейдем к K-

матрице (см., например, [2]), определяемой соотно-

В первом порядке по R^-1 имеем

шением

K =T +

√ TK.

(6)

Q^(1)ind = c^aS^(1)a + c^ac^bS^(1)ab + . . . =

= cK + c^aS^(1)a + c^ac^bS^(1)ab + . . .

(13)

Пример. Рассмотрим V (x) = λδ(x). T -матрицу

легко вычислить по любой из формул выше:

Как было заявлено выше, K-матрица появляет-

ся как коэффициент при выделенном духе c, в то

T (p, q) =

(7)

1-^λ

время как остальные члены разложения это новые

2iκ

√

объекты (операторы на ker H_0,E ). Насколько нам из-

где κ =

E, а от внешних импульсов зависимости

вестно, высшие порядки по R^-1 также не встреча-

нет. По формуле (6) мы получаем

лись раньше в литературе. Все эти новые объекты,

а также квадратичные уравнения, связывающие их

K(p, q) = λ.

(8)

между собой и с K-матрицей, составляют главный

K оказалась равна V , что в общем случае, разумеет-

результат данной работы.

ся, будет не так.

2. Теория.

Ряд теории возмущений для K получается из (1)

2.1. Гомотопический трансфер. Суть гомотопи-

заменой причинной функции Грина на функцию

ческого трансфера состоит в следующем. Пусть да-

Грина стоячей волны.

ны два комплекса, цепное отображение между ни-

Затем мы введем духи, соответствующие симмет-

ми и гомотопия в первом из них. Тогда по деформа-

риям. Духи c^a - это координаты на g с изменен-

ции дифференциала в первом комплексе можно по-

ной четностью. Проще говоря, если S_a четная, то

строить соответствующую деформацию во втором.

c^a нечетный, и наоборот. Нечетный дух, отвечающий

Вместо того, чтобы формулировать эту процедуру

гамильтониану, обозначим c, а остальные духи обо-

во всей общности (см. [4]), мы рассмотрим ее на кон-

значим c^a.

кретном примере.

Оказывается, K суть одна из компонент диф-

Мы проиллюстрируем идеи секции 1 на простей-

ференциала Q_ind, действующего на пространстве

шем нетривиальном примере N

= 1 суперсиммет-

ker H_0,E ⊗C[[c^a, R^-1]]. Переменная R^-1 четная и при-

ричной квантовой механики на S^1R. Кроме того, мы

ходит из задачи на S^1R, разбираемой в секциях 3.2

рассмотрим алгебру, состоящую только из гамиль-

и 3.3. Квадратичные уравнения же имеют вид

тониана и одной симметрии, квадрат которой равен

нулю:

Q^2ind = 0.

(9)

[S, H] = 0,

S² = 0.

(14)

Перейдем к построению Q_ind из симметрий. Мы

Таким образом, все структурные константы f^dab рав-

предполагаем, что, подобно гамильтониану, каждая

ны нулю, и первое слагаемое в разложении (11) про-

симметрия S_a разделяется на две части:

падет.

S_a = S_0,a + S_1,a,

(10)

Соответствующие духи обозначим c и c. Их свой-

ства:

где S_0,a - симметрия свободной задачи, а S_1,a - обоб-

щенная функция с теми же условиями, что и на V .

1. c - нечетный, c четный;

Теперь мы конструируем Q_ind с помощью про-

цедуры гомотопического трансфера (применяется в

2. c антикоммутирует с S.

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

Новые объекты в теории рассеяния с симметриями

489

С их помощью построим дифференциалы

S_R = π (S + V G_stS + V G_stV G_stS + . . .)i,

(25)

S_L = π (S + SG_stV + SG_stV G_stV + . . .)i,

(26)

Q₀ = cH_0,E + cS₀, Q₁ = cV + cS₁, Q = Q₀ + Q₁.

(15)

S_LR =

(27)

Из соотношений (14) и свойств духов следует, что

S + ...)i.

= π (SG_stS + SG_stV G_stS + SG_stV G_stV G_st

Q²⁰ = Q² = 0,

(16)

Теперь мы можем воспользоваться главным ре-

а Q₁ решает уравнение Мауэра-Картана

зультатом гомотопического трансфера. Поскольку

Q² = 0, по теореме Кадеишвили имеем

{Q₀, Q₁} + Q²¹ = 0.

(17)

Q^2ind = 0.

(28)

Пусть H обозначает исходное гильбертово про-

странство. Определим U = H ⊗ C[c, c] и разобьем

В развернутой форме это уравнение имеет вид

это пространство на два

Q^2ind = cc[V_ind, S₀] + c∂_cc²{S₀, S_R} +

U =U₀ ⊕U_ac,

U₀ = kerH_0,E ⊗ C[c, c].

(18)

+ ∂_ccc²{S₀, S_L} + ∂_cc³[S₀, S_LR] +

Введем естественные операции проекции и вклю-

+ cc(V_indS_L - S_RV_ind) +

(

)

чения

+ c² c∂_c(S^2R - V_indS_LR) + ∂_cc(S^2L - S_LRV_ind) ,

(29)

π:U →U₀,

i : U₀ → U.

(19)

из чего следует

Также построим гомотопию



{

[V_ind, S₀] + V_indS_L - S_RV_ind = 0,

(30)



(E - H₀)^-1|ϕ〉,

|ϕ〉 ∈ U₀,



h = G_st∂_c, G_st|ϕ〉 =

{S₀, S_R} + S^2R - V_indS_LR = 0,

(31)

|ϕ〉 ∈ U₀,



{S₀, S_L} + S^2L - S_LRV_ind = 0,

(32)

(20)



где ∂_c =^∂∂c .

[S₀, S_LR] = 0.

(33)

Замечание. В физике G_st иногда называют функ-

Уточним, что S_L, S_R и SLR - операторы на

цией Грина стоячей волны, но в духе гомологической

ker H_0,E , описывающие симметрии K-матрицы, ко-

алгебры надо было бы назвать ее гомотопической

торая входит в V_ind. Насколько нам известно, это но-

функцией Грина.

вые объекты в теории рассеяния. Кроме того, V_ind

Проекцию на U₀ можно записать двумя способа-

содержит, помимо K-матрицы, и другие слагаемые,

ми:

которые появятся в конце секции 3.2. Эти слагае-

ΠU0 = iπ = 1 + {h, Q₀}.

(21)

мые играют важную роль в описании симметрий K-

Теперь мы можем явно указать, к чему мы приме-

матрицы и тоже раньше не описывались.

няем гомотопический трансфер. Первый комплекс -

3. Примеры новых объектов и их связь с

это (U, Q₀) с гомотопией h и деформацией Q₁. Вто-

данными рассеяния.

рой комплекс - это (U₀, πQ₀i), а цепное отображе-

3.1. Суперсимметричная квантовая механика.

ние - это π. Тогда соответствующий деформирован-

N = 1 суперсимметричная квантовая механика опре-

ный или индуцированный дифференциал, согласно

деляется набором следующих операторов:

гомотопическому трансферу, равен

Q₊ = d + dW, Q_- = (d - dW)^∗, H = {Q₊, Q_-},

Q_ind = πQ₀i + πQ₁i + πQ₁hQ₁i + πQ₁hQ₁hQ₁i +

(34)

(22)

где W - функция, d = ψ∂_x - дифференциал де Рама,

Подставляя и приводя подобные слагаемые, неслож-

ψ^∗ = -∂_ψ и ψ - грассманова переменная, ассоцииро-

но привести это к виду

ванная с суперсимметрией (общий обзор и историю

предмета см. в [5]).

Q_ind = cS₀ + cV_ind + c∂_ccS_R + ∂_cccS_L - ∂_cc²S_LR, (23)

Замечание. И Q₊, и Q_- - симметрии полного га-



мильтониана, но не отдельных его частей.



где S₀, строго говоря, стоит вместо S₀

, но

ker H0,E

Выпишем гамильтониан и его симметрии явно:

поскольку [S₀, H₀] = 0, мы упростили обозначения.

Кроме того,

H = -∂^2x + W^′2 - W^′′(1 - 2ψ∂_ψ),

(35)

V_ind = π (V + V G_stV + V G_stV G_stV + . . .)i,

(24)

Q₊ = ψ(∂_x + W^′),

Q_- = ∂_ψ(-∂_x + W^′).

(36)

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

490

А. С. Лосев, Т. В. Сулимов

Замечание. Данную формулировку нетрудно рас-

перенесем его в “свободную часть” задачи, чтобы

ширить на случаи, когда W и W^′ - обобщенные

носитель взаимодействия был ограничен в пределе

функции. Это можно сделать с помощью последо-

R → ∞:

вательности функций, сходящейся к требуемой обоб-

λ²

H_0,E = -∂^2x - E -

щенной функции. Например, W^′ = sgnx можно по-

(39)

лучить как предел W^′A = tanh Ax (и, соответственно,

V (x) = (-1)^F λ(δ(x - a) - δ(x + a)).

W_A = A^-1 lncoshAx) при A → ∞.

Аналогично поступаем и для симметрии:

Примем S = Q₊. Ясно, что S_LR ∼ ψ² = 0, поэто-

му уравнения (31)-(33) не будут представлять инте-

S₀ = ψ(∂_x -^λ2), S₁ = ψλθ(a² - x²).

(40)

реса. Уравнение (30) же описывает интересную сим-

Условие периодичности волновых функций дела-

метрию V_ind, который, как мы показывали ранее, на-

ет спектр свободной задачи дискретным:

прямую связан с K-матрицей.

Замечание. Если бы мы рассмотрели S = Q₊ +

λ²

E_n = k²ⁿ -

k_n =

n ∈ Z.

(41)

+ Q_-, S_LR непременно бы возникла.

Далее мы изучим это уравнение для конкретного

Зафиксируем отношение κ =n0R^>0.

потенциала на S^1R и получим результат для задачи

Замечание. Это означает, что в дальнейшем R

на R как предел R → ∞.

должно быть кратно^1κ .

3.2. Два δ-потенциала на S^1R. Сразу отметим, что

Каждый уровень с положительным n дважды вы-

на S^1R нельзя поставить задачу рассеяния в обычном

рожден, поэтому ker H_0,E имеет размерность четыре.

смысле. Вместо этого, V_ind можно использовать, на-

Замечание. Мы не забываем, что бозонные и фер-

пример, для пертурбативного вычисления сдвигов и

мионные степени свободы нужно учитывать отдель-

расщеплений уровней энергии. Но это мы оставим

но. Однако матрицы операторов получатся размера

для последующих работ, а сейчас рассмотрим V_ind

2×2, а не 4×4, потому что мы используем для этого

само по себе.

учета грассманову переменную ψ.

В дальнейшем станет ясно, почему мы рассмат-

Нормированные волновые функции свободной за-

риваем задачу на S^1R, а не сразу на R. Пока лишь

дачи - это

скажем, что эта задача проще для понимания бла-

eiknx

годаря своему дискретному спектру. При работе с

ϕ_n(x) = 〈x|n〉 =

√

(42)

2πR

непрерывным спектром проекция на ker H_0,E , состо-

а функция Грина стоячей волны имеет вид

ящее из двух точек на оси импульса, требует более

∑

аккуратного рассмотрения.

|n〉〈n|

G_st =

(43)

Причина же рассматривать два δ-потенциала

En0 - E_n

κ² - k²

|n|=n0

вместо одного в том, что один δ-потенциал нельзя

Нам понадобятся матричные элементы следующих

породить периодической W^′.

операторов:

На S^1R мы используем координату x ∈ [-πR, πR).

Рассмотрим

i(-1)^F λ

V_n,m =

sin a(k_m - k_n),

πR

W^′(x) =

sgn(a² - x²),

(37)

(44)

n,m

G_h,n,m =

где λ и a - фиксированные параметры, причем 0 <

κ² - k²

(

)

<a<πR.

Замечание. Внимательный читатель заметит, что

S_0,n,m = ψ ik_n -

δ_n,m,

такая W^′ соответствует непериодическому W . Но это

(45)

λ sina(k_m - k_n)

лишь означает, что суперсимметрия спонтанно нару-

S_1,n,m = ψ

πR k_m - k_n

шена, т.е. e^-W не является волновой функцией связ-

Сужение на массовую поверхность тривиально: опе-

ного состояния (см. [5]).

ратору A мы сопоставляем 2 × 2 матрицу

Согласно (35), такая W^′ порождает взаимодей-

(

)

ствие



An0,n0

An0,-n0

= πAi =

(46)

λ²

ker H0,E

+ (-1)^F λ(δ(x - a) - δ(x + a)),

(38)

A-n0,n0

A-n0,-n0

где F - фермионное число, т.е. (-1)^F = 1 - 2ψ∂_ψ.

Замечание. Еще раз заметим, что элементы мат-



Ясно, что в таком виде потенциал неудобен для

рицы A

могут зависеть от ψ и ∂_ψ, как видно

ker H0,E

для V и S.

задачи рассеяния из-за постоянного сдвигаλ24^.Мы

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

Новые объекты в теории рассеяния с симметриями

491

Эти выражения позволяют нам вычислить V_ind,

S^RR = 2πR(S^(1,1)R + S^(2,1)R + S^(3,1)R + . . .).

(56)

S_L и S_R в виде ряда по λ. Используя систему компью-

терной алгебры, нам удалось произвести вычисления

Слагаемые, приведенные в дополнительном матери-

до порядка λ³. Результаты вычислений приведены в

але, согласуются с точными формулами для V^Rind, S^RL

дополнительном материале.

и S^RR, которые нам удалось получить. Эти формулы

Важно отметить, что n-й член ряда оказывается

также представлены в дополнительном материале.

многочленом по R^-1 степени n. Поскольку соотноше-

Однако для S₀ предел в формуле (53) не суще-

ния суперсимметрии выполняются для произвольно-

ствует. Это ожидаемо, поскольку попытка сузить

го радиуса R, каждой степени λ отвечают несколько

S₀(p, q) = (ip -^λ2 )δ(p - q)

(57)

уравнений. Обозначим слагаемое, пропорциональное

λ^αR^-β, индексом (α, β). Теперь уравнение (30) мож-

на массовую поверхность приводит к сингулярности,

но проверить пертурбативно:

и хорошо известно, что при регуляризации методом

“ящика конечного размера” δ(0) ∼ R.

(1, 1) :

[V^(1,1)ind, S^(0,0)0] = 0,

(47)

Кроме того, слагаемые степеней (·, β), β > 1 не

(2, 1) :

[V^(2,1)ind, S^(0,0)0] + [V^(1,1)ind, S^(1,0)0] = 0,

(48)

появились бы, если бы мы проводили вычисления

сразу на R, без помощи S^1R.

(2, 2) :

[V^(2,2)ind, S^(0,0)0] + V^(1,1)indS^(1,1)L - S^(1,1)RV^(1,1)ind = 0,

В итоге, на R нельзя простым образом записать

(49)

такие уравнения, как (49), поскольку первое слагае-

(3, 1) :

[V^(3,1)ind, S^(0,0)0] + [V^(2,1)ind, S^(1,0)0] = 0,

(50)

мое является неопределенностью вида “0×∞”. Имен-

(3, 2) :

[V^(3,2)ind, S^(0,0)0] + [V^(2,2)ind, S^(1,0)0]

но поэтому мы начали с задачи на S^1R, а не на R.

3.4. Заключительное предположение. Мы пред-

+V^(1,1)indS^(2,1)L - S^(2,1)RV^(1,1)ind

(51)

ind

полагаем, что слагаемые степеней (·, β), β > 1 в Q

+ V ^(2,1)indS^(1,1)L - S^(1,1)RV ^(2,1)ind = 0,

могут быть получены и без рассмотрения задачи на

S^1R, по крайней мере, пертурбативно по λ, как в фор-

(3, 3) :

[V^(3,3)ind, S^(0,0)0]

муле (24).

+V^(1,1)indS^(2,2)L - S^(2,2)RV^(1,1)ind

(52)

Исследование финансировалось в рамках Про-

граммы фундаментальных исследований НИУ

+ V ^(2,2)indS^(1,1)L - S^(1,1)RV ^(2,2)ind = 0,

ВШЭ.

(4, 1) :

1. J. R. Taylor, Scattering Theory: The Quantum Theory

3.3. Предел R → ∞. Чтобы глубже понять урав-

of Nonrelativistic Collisions, John Wiley and Sons, Inc.,

нения выше, полезно перейти к пределу окружности

N. Y. (1972), ch. 3 and 14 (section e).

бесконечного радиуса. При R → ∞ дискретизация

2. R. G. Newton, Scattering Theory of Waves and

уровней становится равной нулю и задача совпада-

Particles, Springer, Berlin, Heidelberg (1982), § 11.3.2.

ет с задачей на R. Чтобы восстановить стандартную

3. A. Losev, TQFT, homological algebra and elements of

нормировку состояний на δ-функцию, нужно домно-

√

K. Saito’s theory of Primitive form: an attempt of

жить каждый |n〉 на

2πR, что приводит к следу-

mathematical text written by mathematical physicist,

ющему соотношению на матричные элементы опера-

in Primitive Forms and Related Subjects-Kavli IPMU

торов:

2014, Mathematical Society of Japan (2019), p. 269;

A^R(k_n, k_m) = lim 2πRAnŖ

(53)

e-Print: 2301.01390.

R→∞

4. A. S. Arvanitakis, O. Hohm, C. Hull, and

Выражение (43) становится интегралом в смысле

V. Lekeu, Fortsch. Phys. 70(2-3),

2200003

(2022);

главного значения и

doi:10.1002/prop.202200003; arXiv:2007.07942 [hep-th].

5. F. Cooper, A. Khare, and U. Sukhatme, Phys. Rep.

V^Rind = 2πR(V^(1,1)ind + V^(2,1)ind + V^(3,1)ind + . . .),

(54)

251,

267

(1995); doi:10.1016/0370-1573(94)00080-M;

S^RL = 2πR(S^(1,1)L + S^(2,1)L + S^(3,1)L + . . .),

(55)

arXiv:hep-th/9405029 [hep-th].

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023