Письма в ЖЭТФ, том 117, вып. 7, с. 543 - 549

Ультразвуковое спиновое эхо,

обусловленное необратимой фазовой релаксацией

С. В. Сазонов¹⁾

⁺Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия

^∗Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 февраля 2023 г.

После переработки 1 марта 2023 г.

Принята к публикации 1 марта 2023 г.

Предсказана возможность генерации первичного ультразвукового эха в системе эквидистантных зе-

емановских триплетов благодаря наличию необратимой фазовой релаксации. Исчезновение фазовой ре-

лаксации влечет за собой исчезновение сигнала эха. Механизм данного эффекта заключается в деструк-

тивной интерференции излучающих в противофазе двух разрешенных квантовых переходов. Различие

времен фазовой релаксации на данных переходах приводит к неполному гашению результирующей ко-

герентности, вследствие чего порождается сигнал эха.

DOI: 10.31857/S1234567823070108, EDN: kdpzna

1. Введение. Физические явления типа эха воз-

но в то же время парадоксальный вопрос: способ-

никают благодаря когерентности атомных состоя-

ны ли некогерентные процессы, происходящие в сре-

ний, которая наводится в среде импульсами различ-

де, быть причиной появления когерентных сигналов

ной физической природы. Для фотонного эха речь

эха?

идет о лазерных импульсах видимого и инфракрас-

Хорошо известно, что атомные когерентные со-

ного диапазонов [1-4]. В случае эффектов спинового

стояния разрушаются под действием необратимой

эха ядерной и электронной природы диапазон зонди-

фазовой релаксации. Например, в двухуровневых

рующих электромагнитных импульсов простирается

атомах фазовая релаксация приводит к очевидно-

от радио- до микроволновых частот [5,6]. Этот же

му уменьшению интенсивности эхо-откликов [3, 4].

частотный диапазон ультразвуковых импульсов за-

В многоуровневых средах процессы фазовой релак-

действован в формировании фононного эха в пара-

сации могут дополняться квантовой внутриатомной

магнитных кристаллах [7-10].

интерференцией различных квантовых переходов.

Сигналы эха демонстрируют сохранение памяти о

Поэтому здесь следует ожидать нетривиальных яв-

предыстории воздействия на различные среды [3, 11].

лений, связанных с влиянием фазовой релаксации на

Поэтому эффекты эха могут найти приложения в си-

свойства эхо-сигналов после воздействия на среду ко-

стемах хранения и обработки информации.

герентными резонансными импульсами.

Обычно для формирования эхо-сигналов на среду

Настоящая работа посвящена исследованию ро-

подаются когерентные классические импульсы, ха-

ли необратимой фазовой релаксации в формирова-

рактеризуемые очень узким частотным спектром. С

нии сигналов спин-фононного эха при воздействии

появлением фемтосекундных лазеров появилась воз-

на парамагнитный кристалл когерентными ультра-

можность использовать широкополосные зондирую-

звуковыми импульсами.

щие импульсы с шумовым спектральным распреде-

2. Основные уравнения. Рассмотрим помещен-

лением энергии по спектру [12, 13]. Такие некоге-

ный в магнитное поле B кубический кристалл, содер-

рентные сигналы также способны наводить когерент-

жащий в качестве примесей парамагнитные ионы.

ность в атомных состояниях различных сред [14-16].

Известно, что наиболее сильное взаимодействие с

Эхо-отклики, порождаемые данными сигналами, на-

колебаниями кристаллической решетки испытыва-

зываются некогерентным эхо [17-21]. В данном слу-

ют парамагнитные ионы, обладающие эффективным

чае некогерентностью обладают подаваемые на сре-

спином S

= 1 [22]. В этом случае зеемановское

ду импульсы. В этой связи возникает естественный,

расщепление приводит к формированию триплета -

трех стационарных состояний, различающихся про-

¹⁾e-mail: sazonov.sergey@gmail.com

екцией S_z = 0, ±1 эффективного спина на направ-

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

543

544

С. В. Сазонов

шетки на направление B,

S_x и

S_z - трехрядные мат-

рицы, соответствующие спину S = 1 [22]:

















S_x =

√

 1

,

S_z =

 0

. (3)

-1

Спин-фононное взаимодействие здесь возникает

благодаря механизму ван Флека [10, 22]. Согласно

данному механизму локальные искажения кристал-

лической решетки, порождаемые ультразвуковыми

импульсами, приводят к появлению градиентов внут-

рикристаллического электрического поля. В свою

очередь данные градиенты вызывают электрические

квадрупольные переходы между зеемановскими под-

уровнями парамагнитного иона.

Рис. 1. Расщепление квантового уровня на три зеема-

новских подуровня парамагнитного иона с эффектив-

В соответствии со значениями проекций эффек-

ным спином S = 1. Разрешенные спин-фононные пе-

тивного спина на ось z для различных квантовых со-

реходы для волн поперечного ультразвука εzx, поля-

стояний парамагнитного иона (рис.1) матрицу плот-

ризованных параллельно магнитному полю B, обозна-

ности представим в виде

чены жирными стрелками. Спин-фононные переходы





для продольных εxx и поперечных εyx ультразвуковых

ρ₊₊ ρ₊₀ ρ_+-

волн, поляризованных перпендикулярно к B, обозна-





ρ=

 ρ0+ ρ00 ρ0-

.

(4)

чены пунктирной стрелкой

ρ_-+ ρ_-0 ρ_--

ление B (рис. 1). Пусть при этом магнитное поле на-

Здесь нижние индексы “+”, “0” и “-” обозначают со-

правлено вдоль оси z, являющейся одной из осей сим-

ответственно проекции эффективного спина +1, 0

метрии четвертого порядка кубического кристалла.

и -1. При этом выполняется условие нормировки

В то же время подаваемые на среду ультразвуковые

ρ₊₊ + ρ₀₀ + ρ_-- = 1.

импульсы распространяются вдоль оси x, перпенди-

Используя (1)-(4), запишем уравнения для эле-

кулярной к z. Данные импульсы сдвиговой дефор-

ментов ρ_µν (µ, ν = -, 0, +) матрицы плотности ρ в

мации, являясь поперечными, поляризованы вдоль

виде

магнитного поля.

[

]

∂ρ_µν

В описанной выше ситуации гамильтонов опера-

= -i(ω^′µν - i/T_µν)ρ_µν -

Ĥ_int, ρ

(5)

∂t

ℏ

µν

тор для выделенного иона, взаимодействующего с

локальными деформациями кубического кристалла,

Здесь ω^′+0 = ω^′0- = ω^′0, ω^′+- = 2ω^′0, ω^′++ = ω^′00 =

запишем следующим образом [22]:

= ω^′-- = 0, T_µν = T_νµ - время необратимой фазовой

релаксации на квантовом переходе µ ↔ ν.

Ĥ= ℏω^′0

S_z +

Ĥ_int,

(1)

В (5) мы пренебрегли релаксацией населенностей

стационарных квантовых зеемановских состояний,

так как соответствующие времена значительно ко-

где ℏ - постоянная Планка, ω^′0 - частота расщепления

роче времен T_µν фазовой релаксации [23]. Кроме то-

в зеемановском триплете (рис.1),

Ĥ_int - оператор Га-

го, мы полагаем, что характерное время Δt прове-

мильтона, описывающий спин-фононное взаимодей-

дения эхо-эксперимента также значительно больше,

ствие, имеет вид

чем времена релаксации населенностей зеемановских

подуровней.

∂u_z

Используя далее стандартный полуклассический

Ĥ_int =

G_⊥

S_x

S_z +

S_z

S_x)

(2)

∂x

подход, дополним (1) и (2) классическим гамильто-

нианом для поля упругих деформаций поперечных

∫

G_⊥ - постоянная спин-фононной связи, u_z - проек-

ультразвуковых импульсов H_a =

H_ad³r, где инте-

ция локального смещения узлов кристаллической ре-

грирование ведется по всему объему образца среды,

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

Ультразвуковое спиновое эхо, обусловленное необратимой фазовой релаксацией

545

а плотность гамильтониана H_a определяется выра-

ρ_-0 = R_-0eiω0(t-x/a⊥),

(10)

жением

ρ₀₊ = R₀₊eiω0(t-x/a⊥),

p^2z

(∂u_z)

H_a =

a²

⊥

(6)

2ρ

∂x

где ψ и R_µν - комплексные ММА импульсов сдвиго-

вой деформации и недиагональных элементов мат-

где ρ - плотность среды, p_z - декартова компонен-

рицы плотности соответственно (µ, ν = -, 0, +), несу-

та плотности импульса поперечных локальных сме-

щая частота ω₀ данных импульсов совпадает с цен-

щений кристалла, a_⊥ - скорость поперечного звука

тральной частотой контуров неоднородного ушире-

в среде, окружающей рассматриваемый парамагнит-

ния для переходов - ↔ 0 и 0 ↔ +.

ный кристалл.

При учете (9), (10) и приближения ММА из (8)

При экспериментальном детектировании эхо-

придем к волновому уравнению для комплексной ам-

сигналов эффекты распространения ультразвука в

плитуды излучаемых возбужденной средой сигналов

рассматриваемом парамагнитном кристалле не яв-

ляются существенными. Регистрация эхо-откликов

∫

∂ψ

1 ∂ψ

nG_⊥ω₀

обычно происходит вдали от данного кристалла. По-

√

(R₀₊ - R_-0)g(Δ)dΔ.

∂x

a_⊥ ∂t

2ρa³

этому гамильтониан (6) содержит параметры среды,

⊥-∞

находящейся между парамагнитным кристаллом и

(11)

датчиком эхо-сигналов.

В свою очередь из (2)-(5), (9) и (10) после прене-

Используем уравнения Гамильтона для механики

брежения в материальных уравнениях быстро осцил-

сплошных сред [24]

лирующими слагаемыми, считая заданную амплиту-

ду ψ воздействующих на среду импульсов веществен-

∂p_z

∂u_z

(H_a + 〈

Ĥ_int〉),

(H_a + 〈

Ĥ_int〉).

ной, получим

∂t

δu_z

∂t

δp_z

[

]

(7)

∂R_µν

G_⊥ψ

= -i(ω^′µν - ω_µν - i/T_µν)R_µν + i

√

Здесь 〈

Ĥ_int〉 = Sp(ρĤint) - квантовое среднее опера-

∂t

2ℏ

µν

тора Гамильтона, описывающего взаимодействие эф-

(12)

фективного спина с полем поперечных деформаций.

где





Отсюда, а также из (2)-(4) приходим к волновому

ρ₊₊ R₊₀ R_+-



уравнению

R=R0+ ρ₀₀ R_0-

,

∂²ε_zx

-a²

R_-+ R_-0 R_--

∂t²

^⊥ ∂x²





∫

nG_⊥

∂



Q=1

√

(ρ₊₀ + ρ₀₊ - ρ_0- - ρ_-0)g(Δ)dΔ, (8)

-1

.

(13)

2ρ ∂x²

-∞

-1

где εzx = 0.5∂uz/∂x - относительная деформация

Из (13) видно, что в выбранной геометрии подава-

сдвига, n - концентрация парамагнитных ионов,

емые на среду поперечные ультразвуковые импульсы

g(Δ) - функция контура неоднородного уширения

формируют каскадную схему квантовых переходов

на квантовом переходе - ↔ +, центрированная на

- → 0 → + (рис.1). При этом переход - ↔ + ока-

частоте ω₀, Δ = ω^′0 - ω₀ - отстройка квантовых пере-

зывается запрещенным.

ходов - ↔ 0 и 0 ↔ + выделенного парамагнитного

3. Режимы эха. Для исследования режимов эха

иона от центральной частоты спектральной линии.

разделим динамику эффективных спинов парамаг-

Неоднородное волновое уравнение (8) описыва-

нитных ионов на периоды возбуждения и периоды

ет распространение поперечного ультразвука в сре-

свободной эволюции.

де, окружающей парамагнитный кристалл, который

Будем считать ниже, что длительности τ_p воздей-

является источником излучения эхо-откликов. Пара-

ствующих импульсов удовлетворяют условию τ_p ≪

метры данного источника содержатся в правой части

≪ T_µν,T^∗µν (µ,ν = 0,+,-), где T^∗µν - времена об-

(8).

ратимой фазовой релаксации, обусловленной неод-

Используем теперь стандартное приближе-

нородным уширением квантовых переходов µ ↔ ν.

ние медленно меняющихся амплитуд (ММА) [25],

Как результат, ширины δω_p ∼ 1/τ_p импульсных спек-

записывая

тров значительно превышают неоднородные шири-

данных переходов. Поэтому при опи-

ны δω ∼ 1/T^∗µν

ε_zx = ψeiω0(t-x/a⊥) + c.c.,

сании возбуждения парамагнитных ионов пренебре-

(9)

ρ_-+ = R_-+e2iω0(t-x/a⊥),

жем в (12) частотными отстройками ω^′µν - ω_µν от

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

546

С. В. Сазонов

соответствующих резонансов и положим формально

ε_yx, поляризованными перпендикулярно магнитному

T_µν = ∞. В этом случае систему (12) можно записать

полю. Такие фононы связаны с переходом - ↔ +

в символическом виде

[23, 26] (рис. 1), который может оказывать влияние

на времена фазовой релаксации T_-0 и T₀₊. Неболь-

[

]

∂R

G_⊥ψ

шое отличие во временах релаксации T_-0 и T₀₊ мо-

√

(14)

∂t

2ℏ

жет быть вызвано еще тем, что переход 0 ↔ + лежит

выше по энергии, чем переход - ↔ 0. Суммируя ска-

Решение операторного уравнения (14) можно за-

занное, предположим, что выполняется неравенство

писать в виде

|T_-0 - T₀₊| ≪ T_-0, T₀₊.

(20)

R(t) =

Û (t, t₀)R(t₀)Û+(t, t₀),

(15)

где

Пусть в момент времени t = 0 на среду воз-

∫

действует первый ультразвуковой импульс длитель-

Û (t, t₀) = e^-

^S,

Q √

ψdt^′,

(16)

ности τ₁. Затем, спустя промежуток времени τ, со-

2ℏ

ответствующий первому этапу свободной эволюции,

среда подвергается воздействию второго импульса,

t₀ - время начала воздействия импульса.

длительность которого равна τ₂. После этого, при

Возводя последовательно в степень матрицу

t = τ + τ1 + τ2, начинается второй этап свободной

легко для целых значений k придти к соотношениям

эволюции, во время которого формируются сигналы

Q2k+1 = 2^k Q,

Q2k+2 = 2^k Q². Тогда, разлагая в ряд

первичного эха (рис. 2). При этом с хорошей точно-

Тейлора экспоненту от матрицы e^-

^S, после его сум-

стью выполняется неравенство τ ≫ τ₁, τ₂.

мирования с учетом второго выражения (16) будем

иметь для оператора эволюции

Û (t, t₀) =

I-

Q² sin² θ

-i√ sinθ,

(17)

где

I - единичная матрица,

∫

G_⊥

θ=

ψdt^′.

(18)

2ℏ

Для периодов свободной эволюции из (12) при

ψ = 0 после интегрирования получим

R_-0(t) = R_-0(t₁)eiΔ(t-t1)e-(t-t1)/T-0 ,

Рис. 2. Схематическое изображение временной после-

R₀₊(t) = R₀₊(t₁)eiΔ(t-t1)e-(t-r1)/T0+ ,

(19)

довательности воздействия на парамагнетик двух по-

перечных ультразвуковых импульсов с огибающей ψ

R_-+(t) = R_-+(t₁)e2iΔ(t-t1)e-(t-t1)/T-+ ,

и длительностями τ1 и τ2, разделенных промежутком

времени τ , а также появления двух эхо-сигналов в мо-

где t₁ - время начала этапа свободной эволюции.

менты времени 2τ и 3τ . Возникновение 3τ -эха возмож-

При этом диагональные элементы ρ_--, ρ₀₀ и ρ₊₊

но только при различии времен необратимой фазовой

остаются постоянными.

релаксации на квантовых переходах - ↔ 0 и 0 ↔ +

Важно заметить, что времена T_-0 и T₀₊ фазовой

релаксации на переходах - ↔ 0 и 0 ↔ + соответ-

Будем считать, что при t = 0 матрица

R опреде-

ственно не могут сильно отличаться друг от друга,

ляется только начальными населенностями w₊, w₀ и

так как равны друг другу частоты данных перехо-

w_- стационарных спиновых состояний парамагнит-

дов, а также эти переходы обладают одной и той же

ных ионов и поэтому имеет вид

постоянной G_⊥ спин-фононной связи. Отличие меж-

ду отмеченными временами может быть обусловлено





w₊

каналами релаксации, вызванными взаимодействи-



R(0) =

w₀

.

ем квантовых переходов с полем продольной дефор-

мации ε_xx, а также с поперечными деформациями

w_-

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

Ультразвуковое спиновое эхо, обусловленное необратимой фазовой релаксацией

547

Применяя в обозначенной последовательности

(11) является умноженная на l его правая часть, в ко-

формулы (15), (17) и (19), найдем выражения для

торой произведена замена t → t - x/a_⊥. В качестве

элементов матрицы

R в моменты времени t > τ +

среды, окружающей парамагнитный кристалл, мо-

+τ₁ +τ₂.

жет быть использована любая среда, в которой спо-

Из правой части волнового уравнения (11) видно,

собны распространяться поперечные ультразвуковые

что вклад в ультразвуковые сигналы откликов среды

волны. Удобнее всего здесь использовать изотропное

дают разности R₀₊ - R_-0. Тогда для соответствую-

твердое тело, в котором скорость a_⊥ не зависит от

щих выражений, вносящих вклады в эхо, найдем

направления распространения поперечной волны.

Суммируя сказанное в предыдущем абзаце, а так-

(R₀₊ - R_-0)_echo = (R₀₊ - R_-0)^2τecho + (R₀₊ - R_-0)^3τecho,

же используя (22)-(24), для моментов времени 2τ +

(21)

+x/a_⊥ и 3τ +x/a_⊥ в месте их регистрации, на рассто-

где эхо-отклики в моменты времени 2τ и 3τ имеют

янии x от парамагнитного кристалла, получим соот-

соответственно вид

ветственно

(R₀₊ - R_-0)^2τecho = if_2τ e-iΔ(t-2τ-τ1-τ2)e-(t-τ1-τ2)/T2 ,

nG_⊥ω₀l

sinh ζ

θ₂

ψ_2τ = -

sin θ₁ sin²

e-2τ/T2 ,

(22)

32ρa³

coshζ + 1/2

⊥

(25)

(R₀₊ - R_-0)^3τecho = if_3τ e-τ/T-+ ×

(

)

nG_⊥ω₀l

coshζ - 1

ψ_3τ = -

× e-(t-τ-τ1-τ2)/T0+ - e-(t-τ-τ1-τ2)/T-0

128ρa³

coshζ + 1/2

⊥

θ₂

×e-iΔ(t-3τ-τ1-τ2).

(23)

× sin² θ₁ sinθ₂ sin²

e-τ/T-+ (e-2τ/T0+ - e-2τ/T-0),

Здесь

(26)

w_- - w₊

θ₂

где ζ = ℏω₀/k_BT , k_B - постоянная Больцмана, T -

f_2τ =

√

sin θ₁ sin²

температура парамагнитного кристалла.

Здесь мы использовали больцмановский закон

w_- - 2w₀ + w₊

θ₂

f_3τ =

√

sin² θ₁ sin θ₂ sin²

(24)

распределения начальных населенностей спиновых

подуровней.

∫

Сосредоточим основное внимание на сигнале 3τ-

θ₁

ψdt и θ₂ =G⊥

ψdt - “площади”

ℏ

2ℏ

эха. Как было сказано выше, для возникновения сиг-

τ +τ1

первого и второго возбуждающих импульсов соот-

нала эха в момент времени 3τ +x/a_⊥ принципиально

ветственно.

необходимо наличие фазовой релаксации. При этом

При записи выражения для (R₀₊ - R_-0)^2τecho, вос-

времена релаксации на переходах - ↔ 0 и 0 ↔ +,

пользовавшись неравенством (20), мы в целях про-

как видно из (26), должны отличаться друг от дру-

стоты положили приближенно T_-0

≈ T₀₊ = T₂.

га. Нетривиальность данного вывода заключается

Если данным приемом воспользоваться в выраже-

в том, что для генерации эхо-сигналов любой фи-

нии для (R₀₊ - R_-0)^3τecho, то придем к равенству

зической природы необходима когерентность внут-

(R₀₊ - R_-0)3τecho = 0. Поэтому для возникновения

риатомных состояний. В свою очередь фазовая ре-

3τ-эха необходимо выполнение условия T_-0 = T₀₊.

лаксация подавляет данную когерентность. С дру-

Если в (23) вовсе пренебречь фазовой релаксацией,

гой стороны, в рассматриваемом здесь случае имен-

т.е. положить формально T_-0 = T₀₊ = ∞, то данный

но благодаря фазовой релаксации способен генери-

эхо-сигнал также исчезает.

роваться когерентный сигнал эха.

Для решения волнового уравнения (11) будем

Физический механизм возникновения 3τ-эха со-

считать, что дистанции x, на которых регистриру-

стоит в деструктивной интерференции квантовых пе-

ются эхо-сигналы, значительно превышают размер l

реходов - ↔ 0 и 0 ↔ + при t = 3τ + x/a_⊥. При

парамагнитного кристалла в направлении их распро-

абсолютной идентичности параметров данных пере-

странения, а среда вне данного кристалла не содер-

ходов происходит полное гашение эхо-отклика. Од-

жит парамагнитных ионов. В этом случае парамаг-

нако в нашем случае идентичность нарушается раз-

нитный кристалл можно представить как сосредото-

ницей во временах фазовой релаксации данных пе-

ченный в точке x = 0 источник. Поэтому в правой

реходов. Как результат, когерентность, порождаемая

части (11) с хорошей точностью справедлива заме-

одним из переходов, затухает быстрее, что приводит

на n → nlδ(x), где δ(x) - дельта-функция Дирака.

к неполной компенсации когерентностей обоих пере-

Тогда решением неоднородного волнового уравнения

ходов.

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

548

С. В. Сазонов

Важно отметить, что частоты переходов - ↔ 0

образом, эхо-сигналы можно фиксировать, установив

и 0 ↔ + равны друг другу, т.е. трехуровневая сре-

соответствующие датчики, на расстояниях несколь-

да при каскадной схеме разрешенных квантовых пе-

ких сантиметров от рабочего образца.

реходов является эквидистантной (рис. 1). Это при-

Для постоянной спин-фононной связи име-

водит к тому, что противофазные когерентности на

ем оценку G_⊥

∼

10^-14 эрг. Тогда амплитуды

обоих переходах достигают максимумов в один и

относительных деформаций подаваемых на сре-

тот же момент времени t = 3τ + x/a⊥. При от-

ду импульсов ψ

∼ ℏ/G_⊥τ_p

∼ 10^-5. Пусть, в

сутствии эквидистантности соответствующие време-

свою очередь, l ∼ 1мм, T ∼ 1К, n ∼ 1019 см-3,

на были бы разделены интервалом, определяемым

3.6 г/см³

[10, 22, 23]. Учитывая небольшую

разностью частот рассматриваемых переходов [14].

разницу между временами T_-0 и T₀₊, положим

Заметим, что интерференция квантовых перехо-

e-τ/T-+ (e-2τ/T0+ - e-2τ/T-0)

∼ 10^-2, а также ис-

дов - ↔ 0 и 0 ↔ + в момент времени t = 2τ + x/a_⊥

пользуя приведенные выше оценки для ω₀, a_⊥ и l,

является конструктивной (когерентности, порожда-

из (25) и (26) для амплитуд 2τ- и 3τ-эха будем иметь

емые обоими переходами, синфазны). Поэтому дан-

соответственно |ψ_2τ | ∼ 10^-5, |ψ_3τ | ∼ 10^-7 ≪ |ψ_2τ |.

ные переходы не гасят, а усиливают друг друга при

Такие амплитуды относительной деформации

генерации 2τ-эха. Именно в силу этого обстоятель-

вполне могут быть зафиксированы в условиях

ства в (22) мы без потери общности положили T_-0 ≈

реального эксперимента [10, 22].

≈T₀₊ =T₂.

Здесь возникает вопрос о принципиальной воз-

Из (26) следует, что амплитуда сигнала 3τ-эха

можности того, что времена необратимой фазо-

максимальна при площадях возбуждающих импуль-

вой релаксации на двух переходах отличаются друг

сов θ₁ = π/2 и θ₂ = 2π/3. Подбором площадей воз-

от друга при том, что собственные частоты дан-

буждающих импульсов никоим образом не удается

ных переходов одинаковы, как и постоянные спин-

подавить сигнал 2τ-эха, чтобы наблюдался только

фононной связи. Именно в этом случае здесь воз-

сигнал 3τ-эха. Более того, как следует из (25) и (26)

можно возникновение сигнала 3τ-эха. Поэтому об-

при учете (20), интенсивность 3τ-эха значительно

наружение в возможном эксперименте обсуждаемо-

меньше интенсивности 2τ-эха (см. рис. 2).

го относительно слабого эхо-сигнала может дать от-

Приведем численные оценки для возможной ре-

вет на вопрос о соотношении между временами ре-

ализации рассмотренного варианта спин-фононного

лаксации когерентности разрешенных квантовых пе-

эха в экспериментальных условиях. В качестве ра-

реходов. Если данный эхо-сигнал не будет обнару-

бочего образца рассмотрим кристалл MgO при тем-

жен в эксперименте, это будет серьезным аргументом

пературах жидкого гелия с внедренными в него па-

в пользу утверждения, что соответствующие разре-

рамагнитными ионами Fe²⁺ [22, 23]. Времена обра-

шенным переходам времена релаксации не отлича-

тимой фазовой релаксации для квантовых перехо-

ются друг от друга. При обнаружении же данного

дов между зеемановскими подуровнями ионов Fe²⁺

сигнала по его интенсивности можно будет опреде-

в кристалле MgO, как и характерные длительно-

лить разницу между обсуждаемыми временами ре-

сти эхо-сигналов, составляют T^∗µν ∼ 10^-7 с [23,27].

лаксации.

Для того, чтобы удовлетворить использованному вы-

4. Заключение. Проведенное в настоящей ра-

ше условию τ_p

≪ T^∗µν, длительности возбуждаю-

боте исследование демонстрирует принципиальную

щих импульсов должны быть порядка τ_p ∼ 10^-8 с.

возможность генерации когерентного эхо-сигнала,

Взяв для времен необратимой фазовой релаксации

обусловленного необратимой фазовой релаксацией в

T-0 ∼ T-+ ∼ 10-5 с [10,22,23], примем для вре-

эквидистантной трехуровневой системе с каскадной

менной скважности между двумя возбуждающими

схемой разрешенных переходов. В этой связи заме-

импульсами τ ∼ 10^-5 с. При этом несущая частота

тим, что обсуждаемый эхо-сигнал вряд ли облада-

импульсов ω₀ ∼ 10¹¹ с^-1 [10, 22, 23]. Взяв для ско-

ет оптическим аналогом. Дело в том, что в оптиче-

рости поперечного ультразвука a_⊥

= 3 · 105 см/с

ском диапазоне, видимо, не существует физических

[10, 28], а для апертуры D возбуждающих импуль-

реализаций трехуровневых эквидистантных систем с

сов и сигналов эха D ≈ l ∼ 1 мм, найдем харак-

каскадной схемой квантовых переходов. Здесь в ка-

терную длину дифракционного уширения импульсов

честве физической реализации рассмотрено ультра-

l_D ∼ ω₀D²/a_∥ ∼ 10²-10³ см. Это значительно пре-

звуковое эхо на системе парамагнитных ионов, внед-

восходит рассматриваемые нами пространственные

ренных в кубический кристалл.

масштабы и поэтому хорошо согласуется с исполь-

Важным представляется то, что некогерентные

зованным в (11) одномерным приближением. Таким

процессы, происходящие в среде, являются основной

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023

Ультразвуковое спиновое эхо, обусловленное необратимой фазовой релаксацией

549

причиной возникновения одного из когерентных от-

85, 440 (2007) [N. V. Znamenskii and S. V. Sazonov,

кликов среды на внешнее резонансное воздействие.

JETP Lett. 85, 358 (2007)].

В двухуровневой системе такой эффект невозможен,

16.

Р. М. Архипов, М. В. Архипов, Н. Н. Розанов,

так как он является результатом деструктивной ин-

Письма в ЖЭТФ 111, 586 (2020) [R. M. Arkhipov,

M. V. Arkhipov, and N. N. Rosanov, JETP Lett. 111,

терференции двух различных излучающих в проти-

484 (2020)].

вофазе квантовых переходов.

17.

J. E. Golub and T. W. Mossberg, JOSA B 3, 554 (1986).

18.

V. V. Samartsev, A. M. Shegeda, A. V. Shkalikov,

У. Х. Копвиллем, В. Р. Нагибаров, Физ. металлов и

K. R. Karimullin, T. G. Mitrofanova, and V. A. Zuikov,

металловед. 15, 313 (1963).

Laser Phys. Lett. 4, 534 (2007).

N.A. Kurnit, I. D. Abella, and S. R. Hartmann, Phys.

19.

В. Н. Лисин, А. М. Шегеда, В. В. Самарцев, Е. П. Чу-

Rev. Lett. 6, 567 (1964).

калина, Письма в ЖЭТФ 107, 360 (2018) [V. N. Lisin,

В. В. Самарцев, В. А. Зуйков, Л. А. Нефедьев,

A. M. Shegeda, V.V. Samartsev, and E. P. Chukalina,

Журнал прикладной спектроскопии 59, 395 (1993).

JETP Lett. 107, 345 (2018)].

Э. А. Маныкин, В. В. Самарцев, Оптическая эхо-

20.

В. В. Федянин, К. Р. Каримуллин, Известия РАН.

спектроскопия, Наука, М. (1984).

Сер. Физическая 84, 361 (2020).

E. L. Hahn, Phys. Rev. 80, 580 (1950).

21.

V. V. Fedyanin and K.R. Karimullin, Laser Phys. 29,

Н. М. Померанцев, УФН 65, 87 (1958).

124008 (2019).

В. Р. Нагибаров, У. Х. Копвиллем, ЖЭТФ 52, 936

22.

Дж. Такер, В. Рэмптон, Гиперзвук в физике твер-

(1967)

[V. R. Nagibarov and U. Kh. Kopvillem, Sov.

дого тела, Мир, М.

(1975)

[J. W. Tucker and

Phys. JETP 25, 618 (1967)].

V. W. Rampton, Microwave Ultrasonics in Solid

N.S. Shiren and I. G. Kazyaka, Phys. Rev. Lett. 28,

State Physics, North-Holland Publishing Company,

1304 (1972).

Amsterdam (1972)].

D. R. Taylor and I.G. Bartlet, Phys. Rev. Lett. 30, 96

23.

N. S. Shiren, Phys. Rev. B 2, 2471 (1970).

(1973).

24.

S. V. Sazonov, J. Phys.: Condens. Matter 6, 6295 (1994).

10.

В. А. Голенищев-Кутузов, В. В. Самарцев, Н. К. Со-

25.

Л. Аллен, Дж. Эберли, Оптический резонанс и двух-

ловаров, Б. М. Хабибуллин, Магнитная квантовая

уровневые атомы, Мир, М.

(1978)

[L. Allen and

акустика, Наука, М. (1977).

J. H. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms,

11.

А.М. Шегеда, С. Л. Кораблева, О. А. Морозов,

John Wiley and Sons, N.Y. (1975)].

В. Н. Лисин, Н. К. Соловаров, В. Ф. Тарасов, Письма

26.

С. В. Сазонов, ЖЭТФ 144, 1016 (2013) [S. V. Sazonov,

в ЖЭТФ 117, 264 (2023).

JETP 117, 885 (2013)].

12.

R. Beah and S. R. Hartmann, Phys. Rev. Lett. 53, 663

27.

У. Х. Копвиллем, В. Р. Ризаев, ЖЭТФ

65,

2297

(1984).

(1973) [U. Kh. Kopvillem and V. R. Rizaev, Sov. Phys.

13.

S. Asaka, H. Nakatsuka, M. Fujiwara, and M. A. Matsu-

JETP 38, 1147 (1974)].

oka, Phys. Rev. A 29, 2286 (1984).

28.

Г. Кайно, Акустические волны: устройства, визуа-

14.

А.Ю. Пархоменко, С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ

лизация и аналоговая обработка сигналов, Мир, М.

67, 887 (1998) [A. Yu. Parkhomenko and S. V. Sazonov,

(1990) [G. Kino, Acoustic Waves: Devices, Imaging, and

JETP Lett. 67, 934 (1998)].

Analog Signal Processing, Prentice-Hall Inc., New Jersey

15.

Н. В. Знаменский, С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ

(1987)].

Письма в ЖЭТФ том 117 вып. 7 - 8

2023