Письма в ЖЭТФ, том 118, вып. 5, с. 369 - 375

Туннельный механизм изменения направления движения

пульсирующего рэтчета. Влияние температуры

В.М.Розенбаум^+∗1), И.В.Шапочкина^+∗, Л.И.Трахтенберг^×◦

⁺Белорусский государственный университет, 220050 Минск, Беларусь

^∗Dalian University of Technology and Belarusian State University Joint Institute, Dalian University of Technology,

116024 Dalian, People’s Republic of China

^×Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова РАН, 119991 Москва, Россия

^◦Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 18 июля 2023 г.

После переработки 26 июля 2023 г.

Принята к публикации 30 июля 2023 г.

Рассматривается пульсирующий рэтчет с пространственно периодическим двухъямным потенциаль-

ным профилем, флуктуирующим на полпериода. Направление движения в таком рэтчете определяется

тем, преодоление какого из барьеров, окружающих мелкую потенциальную яму, имеет большую веро-

ятность. При относительно высоких температурах, в соответствии с законом Аррениуса, вероятности

преодоления барьеров определяются их высотами, а при температурах, близких к абсолютному нулю,

когда движение рэтчета происходит по туннельному механизму, важна также и форма барьера. Поэтому

для узкого высокого и низкого широкого барьеров механизм преодоления может оказаться различным и,

кроме того, зависящим от температуры. В результате возможно температурно-индуцированное измене-

ние направление движения рэтчета. Представлена простая интерполяционная теория, иллюстрирующая

этот эффект. Сформулированы простые критерии к форме потенциального рельефа, используя которые

можно экспериментально наблюдать обращение движения.

DOI: 10.31857/S1234567823170111, EDN: kbmmin

Среди разнообразных свойств наноразмерных си-

флуктуациями внутренних параметров самого этого

стем, в которых направленное движение наночастиц

потенциального профиля. Различные методы введе-

возникает за счет рэтчет-эффекта, одно из впечат-

ния флуктуаций в систему приводят и к различным

ляющих - возможность управления направлением

зависимостям потока частиц (средней скорости рэт-

этого движения путем изменения какого-либо пара-

чета) от коэффициентов пространственной и времен-

метра системы, например, температуры окружения

ной асимметрии потенциальной энергии наночастиц

или частоты внутренних или внешних флуктуаций

[6], а также к различному характеру его зависимости

[1-4] (см. также обзор [5] и литературу, цитируе-

от частоты флуктуаций [7,8]. Наиболее изучен пер-

мую в нем). Механизмы формирования направлен-

вый класс рэтчетов, для которых преимущественно

ного движения за счет неравновесных флуктуаций и

открывались новые свойства [3,9].

асимметрии периодического потенциального профи-

Как известно [5], рэтчеты, принадлежащие пер-

ля наночастицы существенно отличаются для двух

вому классу, легче реализовать экспериментально,

основных классов рэтчетов, называемых рэтчетами с

например, путем использования в качестве управ-

флуктуирующей силой (rocking ratchet) и рэтчетами

ляющих флуктуаций внешнеего электромагнитного

с флуктуирующим (пульсирующим) периодическим

поля. Поэтому возможность регуляции движения за

профилем потенциальной энергии или просто пуль-

счет организации конкуренции пространственной и

сирующими рэтчетами (pulsating или flashing ratchet)

временной асимметрии потенциальной энергии была

[2, 3]. В первом из них неравновесные флуктуации по-

первой продемонстрирована для рэтчетов с флукту-

тенциальной энергии наночастицы обусловлены воз-

ирующей силой [10, 11] и лишь спустя почти 10 лет -

действием внешней переменной (флуктуирующей)

для пульсирующих рэтчетов [12, 13]. Учет квантовых

силы с нулевым средним значением, а во втором -

эффектов в механизмах функционирования микро-

скопических рэтчетов идет, очевидно, в той же по-

¹⁾e-mail: vik-roz@mail.ru

следовательности.

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

369

370

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

В пионерской работе [1] было показано, что рэт-

чет с флуктуирующей силой, характеризующийся

при достаточно высоких температурах, некоторым

направлением движения, может изменить это на-

правление на противоположное при низких темпе-

ратурах, когда туннельный механизм движения пре-

валирует над классическим. Этот теоретический ре-

зультат был подтвержден экспериментально [14] (по-

дробнее см. [15]). Для пульсирующих рэтчетов эф-

фект изменения направления движения не был изве-

стен.

В данной работе показана возможность обраще-

ния движения благодаря туннельному эффекту для

пульсирующих рэтчетов. Модель высокоэффектив-

ного броуновского мотора с периодическим двухъ-

ямным потенциальным профилем, флуктуирующим

на полпериода [16, 17], взята в качестве базовой мо-

дели и расширена учетом туннелирования. Направ-

ление движения в таком рэтчете определяется тем,

для какого из барьеров, окружающих мелкую потен-

циальную яму, вероятность его преодоления больше.

Рис. 1. (Цветной онлайн) Двухъямные потенциальные

профили пульсирующего рэтчета, сдвигающиеся на

На рисунке 1 мелкая потенциальная яма огра-

полпериода (верхний и нижний профили). Мелкая и

ничена слева высоким и узким барьером, а спра-

глубокая потенциальные ямы обозначены через А и В.

ва - низким и широким. При высоких температу-

Широкий низкий и узкий высокий барьеры обозначе-

рах вероятность преодоления барьера, согласно за-

ны через α и β. Константы скоростей переходов через

кону Аррениуса, определяются только его высотой.

барьеры обозначены соответствующими символами ба-

Поэтому правый барьер преодолевается легче, и ча-

рьеров и индексами ям, последовательность которых

стица с большей вероятностью окажется в правой

указывает направление перехода. Cтрелки направо и

глубокой потенциальной яме. Дихотомные флуктуа-

налево (красные и синие) указывают направления дви-

ции потенциального профиля V (x) на половину про-

жения рэтчета, функционирующего за счет процессов

странственного периода L/2 означают, что если в од-

термоактивации или туннелирования

ном из состояний дихотомного процесса потенциаль-

ный рельеф описывается функцией V (x), то в другом

санный выше процесс функционирования пульсиру-

дихотомном состоянии он будет сдвинут на L/2 с пол-

ющего рэтчета реализуется и при низких температу-

ным сохранением формы и описываться функцией

рах, вплоть до абсолютного нуля, с тем принципи-

V (x ± L/2). Вследствие таких флуктуаций частица,

альным отличием, что направление движения обра-

находящаяся в глубокой яме к концу времени жиз-

щается с понижением температуры (см. синие стрел-

ни данного профиля, перебрасывается вертикально

ки налево на рис. 1).

в мелкую яму сдвинутого профиля. После этого про-

Описанный туннельный механизм обращения

цесс повторяется в сдвинутом профиле. За счет энер-

движения пульсирующего рэтчета не был известен

гии, приобретаемой частицей при сдвигах потенци-

ранее и составляет основное содержание данной

альных профилей, возникает среднее направленное

статьи. Он отличается от приведенного в работе

движение направо (см. красные стрелки направо на

[1] для рэтчета с флуктуирующей силой тем, что

рис. 1), являющееся сутью рэтчет-эффекта.

малая флуктуирующая сила сама приводила к

При температурах в области абсолютного нуля

нужным искажениям формы единственного барьера

термоактивационное движение рэтчета заморажива-

на периоде, тогда как для обращения движения

ется и начинает доминировать туннелирование, для

пульсирующего рэтчета требуется хотя бы два

которого становится важной как высота потенциаль-

барьера на периоде с определенным соотношением

ных барьеров, так и их ширина. При должном подбо-

их высот и ширин. Далее мы приводим количе-

ре параметров потенциального профиля вероятность

ственный анализ обсуждаемого эффекта на основе

туннелирования через узкий высокий барьер окажет-

строгого результата кинетического описания рэтчета

ся больше, чем через широкий низкий. Поэтому опи-

пульсирующего типа [17, 18], в котором фигурируют

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

Туннельный механизм изменения направления движения пульсирующего рэтчета. . .

371

константы скоростей преодоления потенциальных

обоих направлениях (рис.1), а также равными зна-

барьеров. Для высоких и предельно низких тем-

чениями τ₊ и τ_-. В отсутствие силы нагрузки, кото-

ператур эти константы могут быть представлены

рую обычно рассматривают при вычислении энерге-

простыми аналитическими соотношениями (законом

тических характеристик рэтчетов, для констант ско-

Аррениуса и формулой Гамова, соответственно

ростей, соответствующих обратным переходам, спра-

[19, 20]), позволяющими выявить условия, при кото-

ведливо соотношение детального баланса [25]

рых эффект обращения движения имеет место. В

α_BA = α_ABe-ΔE/kBT , β_BA = β_ABe-ΔE/kBT ,

(1)

области промежуточных температур представлено

простое интерполяционное описание, использующее

где k_B - постоянная Больцмана, T - абсолютная тем-

температуру, разделяющую области доминирования

пература, а ΔE - разность энергий нулевых коле-

термоактивационного и туннельного механизмов

баний в потенциальных ямах А и В, приближенно

преодоления потенциальных барьеров (crossover

равная разности минимумов энергий этих ям, если

temperature) [21-23]. Цель такого упрощенного опи-

они имеют близкую кривизну. Использование соот-

сания в области промежуточных температур состоит

ношений (1) существенно упрощает общие выраже-

в том, чтобы дать читателю понимание ключевых

ния, полученные в работе [18], и позволяет прийти

особенностей температурной зависимости средней

к простому результату для потока частиц J (сред-

скорости рэтчета (включая обращение движения).

няя скорость рэтчета 〈v〉 связана с потоком соотно-

Строгое описание температурной зависимости кон-

шением 〈v〉 = JL, где L - пространственный период

стант скоростей переходов [24] выходит за рамки

потенциального профиля):

данной статьи, ставящей целью показать только

α_AB - β_AB

J =

Γϕ(Γ)

tanh(ΔE/2k_BT ).

(2)

возможность эффекта обращения движения для

α_AB + β_AB

пульсирующих рэтчетов.

Здесь функция φ(Γ) обратного времени корреля-

Аналитические решения уравнения Смолухов-

ции Γ определяется следующими выражениями для

ского, описывающие характеристики классического

детерминистического и стохастического дихотомного

сверхзатухающего пульсирующего рэтчета с пери-

процесса:

одическим асимметричным потенциальным профи-

{

лем, сдвигающимся на полпериода, получены в ра-

tanh(Σ/Γ), deterministic,

ϕ(Γ) =

боте [16]. При относительно высоких температурах,

Σ(Σ + Γ)^-1, stochastic,

(3)

соответствующих тепловой энергии, не превышаю-

Σ = (α_AB + β_AB)(1 + e-ΔE/kBT).

щей энергетических барьеров, движение броунов-

ской частицы можно рассматривать как прыжковое

Выражение (2) допускает наглядную физическую

и воспользоваться кинетическим описанием. Такое

интерпретацию. При ΔE > 0 (т.е. когда барьеры β

описание для рассматриваемого рэтчета проводилось

и α окружают мелкую потенциальную яму соответ-

в работе [17] для стохастического дихотомного про-

ственно слева и справа, как показано на рис.1) знак

цесса флуктуаций (сдвигов) потенциального профи-

потока J определяется знаком разности α_AB - β_AB.

ля, а в работе [18] и для детерминистических флукту-

Это означает, что направление движения рэтчета

аций (детерминистического дихотомного процесса),

происходит в направлении от менее глубокой ямы

при которых каждый профиль характеризовался за-

к тому соседнему барьеру, вероятность преодоления

данным временем жизни τ₊ и τ_-. Для стохастиче-

которого больше. В случае одинаковых барьеров α

ского дихотомного процесса эти времена заменяют-

и β (α_AB = β_AB) или одинаковых потенциальных

ся средними частотами переходов между профиля-

ям А и В (ΔE = 0) рэтчет эффект отсутствует,

ми 〈τ^-1+〉 и 〈τ^-1-〉, сумма которых задает важную ха-

так как рассматриваемый потенциальный профиль

рактеристику флуктуаций - обратное время корре-

описывается симметричной периодической функци-

ляции Γ. В случае симметричного дихотомного про-

ей [26]. Сопоставление ям и барьеров исходного по-

цесса τ₊ = τ_- величина Γ связана с его периодом

тенциального профиля и сдвинутого на полпериода

(средним периодом) соотношением Γ = 4/τ.

(рис. 1) приводит к важному наблюдению: направ-

В рамках кинетического подхода дихотомные

ленное движение возникает только при одновремен-

сдвиги двухъямного потенциального профиля на

ных флуктуациях параметров потенциальных барье-

полпериода описываются антисимметричной моде-

ров и ям этого пульсирующего рэтчета [27, 28].

лью [18]. Эта модель характеризуется заданными

Явный вид выражений для констант скоростей

константами скоростей переходов α_AB, α_BA и β_BA,

переходов α_AB и β_AB через правый и левый барье-

β_AB через каждый потенциальный барьер α и β в

ры определяется типом учитываемых процессов. Для

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

372

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

√

оптимизации представления однотипных выражений

S_γ(0) = κℏ^-1Δx_γ

2mU_γ, где κ - числовой множи-

для барьеров α и β введем обозначение γ для кон-

тель, зависящий от формы барьера. Так, для пря-

станты скорости преодоления произвольного барьера

моугольного барьера κ равно 2, для параболическо-

и представим температурную зависимость этой кон-

го κ = π/2 и S_γ(0) = U_γ/k_BT^∗γ, а для треугольного

станты в виде:

κ = 4/3. Тогда соотношение (9) можно представить

√

в виде signJ = sign(Δx_β

U_β - Δx_α

√U_α), справед-

γ(T ) = k₀e-Sγ (T), γ = α, β.

(4)

ливом для барьеров разной формы .

Здесь предэкспоненциальный множитель k₀, имею-

Сопоставляя уравнения (8) и (9), приходим к вы-

щий смысл частоты соударений частицы с потенци-

воду, что условия обращения движения при переходе

альным барьером, можно, с экспоненциальной точ-

от термоактивационного к туннельному механизму

ностью, считать не зависящим от температуры, так

преодоления барьеров в пульсирующем рэтчете с по-

что вся температурная зависимость заключена в по-

тенциалом, флуктуирующем на полпериода, можно

казателе экспоненты - функции S_γ (T ).

представить в следующих двух эквивалентных фор-

При относительно высоких температурах спра-

мах:

ведлив закон Аррениуса, для которого S_γ(T)

= U_γ/k_BT. При температурах, стремящихся к аб-

)₂

( Δx_β

U_α

T^∗α

U_α

солютному нулю, функция S_γ(0) должна следовать

< 1,

< 1.

(10)

Δx_α

U_β

T^∗β

U_β

формуле Гамова

∫

√

Эти условия как раз и означают, что обращение

S_γ(0) =

2m[U_γ(x) - E],

(5)

ℏ

движения происходит, когда меньшее единицы отно-

шение высот барьеров, окружающих мелкую потен-

где ℏ - постоянная Планка, m - масса частицы, E - ее

циальную яму, будет превышать отношение соответ-

энергия, задающая границы потенциального барьера

ствующих граничных температур (6) или квадрат об-

a и b. Критерий температуры для границы, разделя-

ратного отношения ширин этих барьеров.

ющей температурную область, в которой туннельные

Рассмотрим температурную зависимость потока

переходы преобладают над аррениусовскими, для па-

(2) при термоактивационном механизме преодоле-

раболического барьера имеет вид [21-23]:

ния потенциальных барьеров. Использование арре-

√

T^∗γ = ℏΩ_γ(2πk_B)^-1, Ω_γ ≡

|U^′′γ(x_max)|/m,

(6)

ниусовского закона для констант скоростей перехо-

дов дает зависимости потока от обратной темпера-

где x_max - координата максимума барьера. Учет дис-

туры, представленные сплошными линиями в левой

сипации, характеризуемой коэффициентом трения ζ,

части графика и на вставке рис. 2. Немонотонность

приводит к замене в выражении (6) “барьерной” час-

в области высоких температур обусловлена стоха-

тоты Ω_γ фактором [1,19]

стическим резонансом, проявляющимся в нелиней-

√

ных системах, когда отклик системы имеет резонан-

ζ² + 4m|U^′′γ(x_max)| - ζ

соподобное поведение в зависимости от уровня шума

µ=

(7)

(температуры) [29].

Проявление стохастического резонанса в темпе-

стремящимся к |U^′′γ(x_max)|/ζ при m|U^′′γ(x_max)| ≪ ζ².

Таким образом, в широкой области температур,

ратурных зависимостях характеристик вращатель-

ных полярных рэтчет систем (для которых различия

удовлетворяющей неравенствам T^∗γ ≪ T < U_γ /k_B,

справедлив закон Аррениуса и знак потока J опре-

двух классов рэтчетов стираются) под действием пе-

ременного электрического поля подробно исследова-

деляется знаком разности высот барьеров, окружа-

ющих мелкую потенциальную яму:

лось в работе [28]. Характерной особенностью стоха-

стического резонанса является увеличение темпера-

sign J = sign(U_β - U_α).

(8)

туры максимума отклика системы при увеличении

частоты внешнего поля. В нашем случае такой час-

Поскольку в области предельно низких температур

тотой служит обратное время корреляции флукту-

T ≪ T^∗γ можно использовать формулу Гамова (5), то

аций Γ. На вставке к рис. 2 кривая 2 соответствует

в этой области

значению Г которое в 10 раз больше, чем значение Γ

для кривой 1. При этом максимум обратной темпера-

sign J = sign(U_β /T^∗β - U_α/T^∗α).

(9)

турной зависимости потока сдвигается влево так, что

Если ввести параметр ширины потенциального

температура максимума кривой 2 примерно в два ра-

барьера Δx_γ, то величину S_γ(0) можно записать как

за больше аналогичной температуры кривой 1. Это

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

Туннельный механизм изменения направления движения пульсирующего рэтчета. . .

373

Отметим, что область применимости используе-

мого в данной статье кинетического подхода не до-

пускает рассмотрение частот флуктуаций Γ, превы-

шающих характерные частоты внутриямного движе-

ния (предэкспоненциальный множитель k₀ в (4)). В

области частот Γ ≫ k₀ приближение прыжкового

движения уже не допустимо, а строгое рассмотрение

решений уравнения Смолуховского с непрерывны-

ми потенциалами дает исчезновение рэтчет эффекта

при Γ → ∞, как и должно быть [2] (наличие скач-

ков потенциала допускает наличие рэтчет эффекта

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость потока (лога-

в сверхзатухающем режиме движения [16]). Тем не

рифмическая шкала) от обратной температуры, рас-

менее, при низких температурах, когда Σ ≪ Γ, ис-

считанная по формуле (2). Сплошные линии в областях

пользование кинетического приближения вполне до-

высоких и предельно низких температур соответству-

пустимо ввиду того, что вероятности преодоления ба-

ют аррениусовским константам скоростей переходов и

рьеров exp[-S_γ (T )] экспоненциально малы. Поэтому

рассчитанным по формуле Гамова (5) для параболи-

Σ ∼ γ(T) ≪ k₀ и в области низких температур час-

ческих барьеров. Верхние и нижние кривые в области

тота флуктуаций должна только попасть в следую-

максимумов (оранжевые и синие) соответствуют детер-

министическим и стохастическим дихотомным флук-

щий интервал Σ ≪ Γ ≪ k₀. Отметим также, что

туациям. Пунктирной линией представлено схематиче-

явление стохастического резонанса присуще и рэтче-

ское поведение потока в области промежуточных тем-

там с флуктуирующей силой (rocking ratchets) [28].

ператур, где происходит обращение движения. При

Тем не менее, в работе [1], исследовавшей именно

расчетах использованы следующие значения парамет-

этот класс рэтчетов, стохастический резонанс не от-

ров: Uα/kB

= 1000 K, T^∗α = 50 K, U_β /kB = 2500 K,

мечался, поскольку рассматривался только адиаба-

T^∗β = 140 K, ΔE/kB = 500 K, k0 = 1 кГц, Γ = 0.1 кГц

тический (низкочастотный) режим движения.

(кривая 1), Γ = 1 кГц (кривая 2)

Сплошная линия на рис. 2 в области предель-

но низких температур соответствует отрицательно-

говорит о том, что мы действительно имеем дело со

му туннельному потоку рэтчета, рассчитанному по

стохастическим резонансом.

формуле (2) с константами скоростей переходов (4), в

Только в узкой температурной области вблизи

которых S_γ (0) = U_γ /k_BT^∗γ, где температура T^∗γ опре-

максимума стохастического резонанса наблюдается

делялась формулой (6) для параболических барье-

расщепление температурных зависимостей потока на

ров. Значения параметров выбирались такими, что-

кривые, описывающие детерминистические и стоха-

бы удовлетворялось условие (10) обращения знака

стические дихотомные флуктуации сдвигов потенци-

потока с изменением температуры.

ального профиля на полпериода. В остальной обла-

Чтобы схематически описать характерное пове-

сти температур эти зависимости вырождены.

дение температурной зависимости потока в той об-

Такое поведение легко объясняется видом функ-

ласти, где он изменяет знак, мы воспользовались

ции ϕ(Γ) (3) для детерминистического и стохасти-

несколько грубым, но часто используемым представ-

ческого дихотомного процесса. При фиксированном

лением полных констант скоростей преодоления по-

значении Γ в области высоких температур Σ ≫ Γ

тенциальных барьеров как суммы арренисовского и

функция ϕ(Γ) для обоих процессов приближенно

туннельного вкладов (см. формулу (9.1) и обсужде-

равна 1 и поток пропорционален Γ. При низких тем-

ние простой квантовой теории переходного состоя-

пературах Σ ≪ Γ функция ϕ(Γ) для обоих процес-

ния в [19]). Причина употребимости такого представ-

сов приближенно равна Σ/Γ и поток перестает за-

ления состоит в том, что оно правильно воспроиз-

висеть от Γ. Поэтому пары кривых 1 и 2 на рис. 2

водит значения констант скоростей переходов в об-

сливаются в области низких температур, сильно раз-

ластях высоких и низких температур: при высоких

личаются в области высоких температур, поскольку

температурах за счет малости туннельного вклада по

соответствуют различным значениям частот Γ, а в

сравнению с аррениусовским, а во второй - за счет

узкой области стохастического резонанса Σ ≈ Γ, где

экспоненциально быстрого стремления последнего к

функции ϕ(Γ) для стохастического и детерминисти-

нулю. Пунктирная линия на рис. 2 представляет ре-

ческого процессов различаются, происходит снятие

зультат такого описания. Обращение знака потока

вырождения внутри каждой пары.

(возникновение точки остановки рэтчета) происхо-

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

374

В.М.Розенбаум, И.В.Шапочкина, Л.И.Трахтенберг

дит при температуре T ≈ 56 K, попадающей в ин-

активационный, так и квантовый туннельный про-

тервал (T^∗α, T^∗β) и близкой к значению T^∗α = 50 K.

цессы. Асимметрия потенциального профиля обеспе-

Отметим, что для полного описания температур-

чивается разностью глубин потенциальных ям ΔE и

ной зависимости потока в области изменения его

константами скоростей α_AB и β_AB, так что знак пото-

знака и определения температуры, соответствую-

ка определяется знаками величин ΔE и (α_AB - β_AB).

щей точке остановки рэтчета, надо учитывать, что

Для классического и квантового процессов имеем

константа скорости туннелирования частиц зависит

sign(α_AB - β_AB) = sign(U_β - U_α) и sign(α_AB - β_AB) =

√

от их массы, параметров преодолеваемого барьера,

sign(Δx_β

U_β - Δx_α

√U_α), соответственно, где U_γ и

свойств среды и температуры. Известно несколько

Δx_γ - высоты и ширины правого (γ = α) и левого

механизмов экспоненциальной зависимости констан-

(γ = β) барьеров, окружающих мелкую потенциаль-

ты скорости от температуры (4). Например, для пе-

ную яму (ΔE > 0). Поэтому при выполнении условий

реноса электрона в полярной среде температурная

(10) реализуется обращение движения, схематически

зависимость определяется энергией ее реорганиза-

показанное на рис. 2 пунктирной линией.

ции, для туннелирования атомов и ионов основную

Отметим, что в отличие от рэтчета с флуктуиру-

роль играют межмолекулярные колебания, меняю-

ющей силой, аналитическое описание туннелирова-

щие величину и форму потенциального барьера, а

ния которого оказалось возможным только в адиа-

также реорганизация среды [23, 24, 30-34]. Заметную

батическом (низкочастотном) режиме [1], проведен-

роль играет и диссипация энергии при туннелиро-

ный в данной статье анализ обращения движения

вании при нулевой и произвольной температурах

пульсирующего рэтчета свободен от данного огра-

[19, 35-39].

ничения. Он также выявил стохастический резонанс

В данной статье для анализа температурной за-

и различие его характеристик для детерминистиче-

висимости потока (включая исследование возможно-

ских и стохастических флуктуаций потенциальных

сти его обращения) в высокоэффективном пульси-

рельефов. Экспериментальное наблюдение обнару-

рующем рэтчете с периодическим двухъямным по-

женного обращения движения пульсирующих рэт-

тенциальным профилем, флуктуирующим на полпе-

четов описанного типа требует создания периодиче-

риода, предложена формула (2). Эта формула при

ского потенциального рельефа определенной асим-

соблюдении условия детального баланса (отсутствия

метричной формы, флуктуирующего на полпериода.

сил нагрузки или градиентов концентрации) являет-

Источником такого рельефа, например, в органиче-

ся упрощением результата, известного для антисим-

ских пульсирующих электронных рэтчетах [40] мо-

метричной модели рэтчета с дихотомным переключе-

гут быть пальчиковые электроды, изготовленные ме-

нием двух состояний с двумя каналами реакций [18].

тодом осаждения сфокусированного ионного пучка

Ценность и привлекательность формулы (2) состо-

(focused-ion-beam-assisted deposition). При этом сдви-

ит в ее структуре, произведении нескольких сомно-

говые флуктуации рельефа на полпериода могут

жителей, каждый из которых отображает различные

быть реализованы путем переключения потенциа-

важные свойства рассматриваемого рэтчета.

лов, подаваемых на эти электроды.

В выражении для потока (2) зависящий от часто-

Работа была поддержана субсидией Мини-

ты флуктуаций Γ сомножитель Γϕ(Γ), определенный

стерства науки и высшего образования Рос-

формулой (3), во-первых, отличает пульсирующий

сийской Федерации в рамках государственного

рэтчет от рэтчета с флуктуирующей силой тем, что

задания

#122040500071-0 и Российским фон-

дает пропорциональность потока частоте Γ в адиаба-

дом фундаментальных исследований (Проект

тическом режиме движения, во-вторых, демонстри-

#21-57-52006_MNT_а).

рует наличие стохастического резонанса вне адиаба-

тического режима движения, и, в-третьих, описыва-

1. P. Reimann, M. Grifoni, and P. Hänggi, Phys. Rev. Lett.

ет отличие в потоках, индуцированных стохастиче-

79, 10 (1997).

ским дихотомным процессом и детерминистическим,

2. P. Reimann, Phys. Rep. 361, 57 (2002).

которое возникает только в узкой области темпера-

3. P. Hänggi and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 81, 387

тур вблизи максимума стохастического резонанса.

(2009).

Остальные сомножители в выражении (2) отра-

4. V. M.

Rozenbaum, T. Ye. Korochkova, I. V.

жают симметрию рассматриваемой модели, а также

Shapochkina, and L. I. Trakhtenberg, Phys. Rev.

содержат такие константы скоростей преодоления

E 104, 014133 (2021).

потенциальных барьеров, явный вид которых позво-

5. Ю. В. Гуляев, А. С. Бугаев, В. М. Розенбаум,

ляет учитывать в описании как классический термо-

Л. И. Трахтенберг, Успехи физических наук

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

Туннельный механизм изменения направления движения пульсирующего рэтчета. . .

375

190,

337

(2020)

[Yu. V. Gulyaev, A. S. Bugaev,

22.

В. И. Гольданский, Докл. АН СССР 127, 1037 (1959).

V.M. Rozenbaum, and L. I. Trakhtenberg, Phys.-

23.

В. И. Гольданский, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Фле-

Uspekhi 63, 311 (2020)].

ров, Туннельные явления в химической физике, На-

V.M. Rozenbaum, I. V. Shapochkina, Y. Teranishi, and

ука, М. (1986) [V. I. Goldanskii, L. I. Trakhtenberg,

L. I. Trakhtenberg, Phys. Rev. E 100, 022115 (2019).

and V. N. Fleurov, Tunneling phenomena in chemical

R.D. Astumian and M. Bier, Phys. Rev. Lett. 72, 1766

physics, Gordon and Breach Science Publishers, N.Y.

(1994).

(1989)].

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Л. И. Трах-

24.

L. I. Trakhtenberg, V. L. Klochikhin, and S. Ya.

тенберг, Успехи физических наук

189,

529

Pshezhetskii, Chem. Phys. 69, 121 (1982).

(2019)

[V. M. Rozenbaum, I. V. Shapochkina, and

25.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кине-

L. I. Trakhtenberg, Phys.-Uspekhi 62, 496 (2019)].

тика, Наука, М. (1979).

J. A. Fornes, Principles of Brownian and Molecular

26.

В. М. Розенбаум, И. В. Шапочкина, Ё. Тераниши,

Motors, Springer, Cham (2021).

Л. И. Трахтенберг, Письма в ЖЭТФ 107, 525 (2018)

10.

D. Dan, M. C. Mahato, and A. M. Jayannavar, Phys.

[V. M. Rozenbaum, I. V. Shapochkina, Y. Teranishi, and

Rev. E 63, 056307 (2001).

L. I. Trakhtenberg, JETP Lett. 107, 506 (2018)].

11.

B. Q. Ai, H. Z. Xie, and L. G. Liu, Eur. Phys. J. B 47,

27.

R. D. Astumian and P. Hanggi, Phys. Today 55(11), 33

109 (2005).

(2002).

12.

В. М. Розенбаум, ЖЭТФ 137, 740 (2010).

28.

V. M. Rozenbaum, O. Ye. Vovchenko, and T. Ye.

Korochkova, Phys. Rev. E 77, 061111 (2008).

13.

V.M. Rozenbaum, T. Ye. Korochkova, A. A. Chernova,

and M. L. Dekhtyar, Phys. Rev. E 83, 051120 (2011).

29.

L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni,

Rev. Mod. Phys. 70, 223 (1998).

14.

H. Linke, T. E. Humphrey, A. Löfgren, A. O. Sushkov,

R. Newbury, R. P. Taylor, and P. Omling, Science 286,

30.

R. A. Marcus, J. Chem. Phys. 20, 359 (1952).

2314 (1999).

31.

R. A. Marcus, Annu. Rev. Phys. Chem. 15, 155 (1964).

15.

H. Linke, T. E. Humphrey, P. E. Lindelof, A. Lofgren,

32.

R. R. Dogonadze, A. M. Kuznetzov, and V. G. Levich,

R. Newbury, P. Omling, A. O. Sushkov, R. P. Taylor,

Electrochim. Acta 13, 1025 (1968).

and H. Xu, Appl. Phys. A 75, 237 (2002).

33.

A. M. Kuznetsov, Charge Transfer in Physics,

16.

В. М. Розенбаум, Письма в ЖЭТФ 79, 475 (2004).

Chemistry and Biology, Gordon and Breach, N.Y.

17.

Yu. A. Makhnovskii, V. M. Rozenbaum, D.-Y. Yang,

(1995).

S. H. Lin, and T. Y. Tsong, Phys. Rev. E 69, 021102

34.

G. K. Ivanov, M. A. Kozhushner, and L. I. Trakhtenberg,

(2004).

J. Chem. Phys. 113, 1992 (2000).

18.

V.M. Rozenbaum, D.-Y. Yang, S. H. Lin, and

35.

А. И. Ларкин, Н. Овчинников, Письма в ЖЭТФ 37,

T. Y. Tsong, J. Phys. Chem. B 108, 15880 (2004).

322 (1983).

19.

P. Hänggi, P. Talkner, and M. Borkovec, Rev. Mod.

36.

A. J. Leggett, Prog. Theor. Phys. Suppl. 69, 80 (1980).

Phys. 62, 251 (1990).

37.

A. O. Calderia and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 46,

20.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механи-

21l (1981).

ка. Нерелятивистская теория, Наука, М.

(1989)

38.

A. J. Leggett, Phys. Rev. B 30, 1208 (1984).

[L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum mechanics.

39.

А. И. Ларкин, Н. Овчинников, ЖЭТФ 86, 719 (1984).

Non-relativistic theory, Pergamon Press, Oxford (1965)].

40.

O. Kedem, B. Lau, M. A. Ratnera, and E. A. Weiss,

21.

В. И. Гольданский, Докл. АН СССР 124, 1261 (1959).

PNAS 114, 8698 (2017).

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 5 - 6

2023

5^∗