Письма в ЖЭТФ, том 118, вып. 10, с. 713 - 720

Природа спиновой декогеренции поляризованного пучка легких

ядер в накопительном кольце для поиска ЭДМ

А. А. Мельников^+∗1), Ю. В. Сеничев^+×, А. Е. Аксентьев^+∗◦, С. Д. Колокольчиков^+×

⁺Институт ядерных исследований РАН, 117312 Москва, Россия

^∗Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау, 142432 Черноголовка, Россия

^×Московский физико-технический институт, 141701 Долгопрудный,Россия

^◦Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ, 115409 Москва, Россия

Поступила в редакцию 2 октября 2023 г.

После переработки 12 октября 2023 г.

Принята к публикации 13 октября 2023 г.

Когерентное спин-орбитальное движение спинов есть необходимое условие для экспериментов по по-

иску электрического дипольного момента заряженных частиц в накопительном кольце. Первый шаг для

увеличения времени когерентности спинов представляет собой включение резонатора с высокочастот-

ным полем. На следующем шаге необходимо выравнивание равновесных уровней энергии, связанных

с бетатронным удлинением орбит и нелинейным коэффициентом сжатия орбит. Спиновые резонансы

также являются дополнительным источником декогеренции, особенно для протонного пучка.

DOI: 10.31857/S1234567823220020, EDN: phoegy

Введение. Одной из основных проблем совре-

вательского центра (FZJ, Германия) разрабатывает

менной физики является барионная асимметрия Все-

концепцию накопителя ProtoType Ring (PTR) спе-

ленной, которая означает преобладание материи над

циально для поиска ЭДМ дейтронов и протонов [5].

антиматерией. Космические детекторы PAMELA и

Опыт работы в Юлихе на ускорителе COSY в экс-

AMS, направленные на поиск антивещества, еще не

периментах по поиску ЭДМ показал, что эта задача

обнаружили его значительного количества во Все-

включает в себя следующие фундаментальные про-

ленной [1]. Вскоре после открытия антиматерии А.

блемы, которые необходимо решить: максимальное

Сахаров установил необходимые условия для ба-

время спиновой когерентности (SCT) частиц в сгуст-

риогенеза (первоначального образования барионов)

ке должно быть более 1000 с, особое внимание долж-

в 1967 г. [2]. Согласно этой идее, одной из при-

но быть уделено точности измерения частоты прецес-

чин барионной асимметрии является нарушение CP-

сии спина, и вклад систематических ошибок в общую

инвариантности. Для объяснения механизма CP-

частоту прецессии спина должен быть меньше, чем

нарушения было предложено множество теорий, вы-

вклад сигнала от ЭДМ.

ходящих за рамки Стандартной Модели (СМ), и все

В данной статье обсуждается природа спино-

они из так называемой “Новой физики”. Они способ-

вой декогеренции поляризованного пучка протонов и

ны устранить трудности, с которыми можно столк-

дейтронов в накопительном кольце для поиска ЭДМ.

нуться в СМ, но их экспериментальное подтвержде-

Основные причины декогеренции поляри-

ние еще не найдено. Одним из возможных аргумен-

зованного пучка. Явление спиновой декогеренции

тов нарушения CP-инвариантности является суще-

связано с неодинаковой частотой прецессии спина

ствование ненулевых электрических дипольных мо-

у разных частиц в сгустке. В экспериментах с по-

ментов (ЭДМ) элементарных частиц.

ляризованными пучками по поиску электрического

Идея поиска ЭДМ протона и дейтрона с помощью

дипольного момента решающую роль играет сохра-

поляризованных пучков в накопителе была первона-

нение когерентности спиновых колебаний частиц в

чально предложена в Брукхейвенской национальной

сгустке в течение времени, достаточного для сбора

лаборатории (BNL), США [3, 4]. В настоящее вре-

данных.

мя институт ядерной физики Юлихского исследо-

Первые исследования по декогеренции были про-

ведены на ускорителе COSY в г.Юлих с пучком дей-

¹⁾e-mail: alexei.a.melnikov@gmail.com

тронов [6]. Ансамбль спинов частиц прецессировал в

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

713

714

А. А. Мельников, Ю. В. Сеничев, А. Е. Аксентьев, С. Д. Колокольчиков

√

горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси.

γ = 1/

1 - β² - релятивистский бета и Лоренц фак-

Поляризация определялась с помощью поляриметра.

тор. B = B_⊥ + B_∥, B_∥ = (v · B)v/v². Аномальный

Изменение амплитуды сигнала полной поляризации

магнитный момент G =^g-22 , g - гиромагнитное отно-

использовалось для определения времени спиновой

шение. Безразмерный η фактор связан с величиной

когерентности.

ЭДМ d и спина s частицы: d =^ηq2mc s. При изучении

Сегодня известны три основных механизма спи-

эффектов спиновой декогеренции мы предполагаем

новой декогеренции. Первый из них - зависимость

B_∥ = 0, так как не рассматриваем элементы с про-

частоты прецессии спина от энергии частицы. По

дольным магнитным полем. Продольное электриче-

аналогии с бетатронным движением зависимость

ское поле E_∥ также не учитывается.

частоты прецессии спина от энергии частицы будем

Протонные и дейтронные накопительные

называть спиновой хроматичностью. Вторая причи-

кольца для поиска ЭДМ. В данной работе мы

на, вызывающая спиновую декогеренцию, - это изме-

рассматриваем спиновую декогеренцию в экспери-

нение длины траектории частицы в трехмерном про-

ментах по поиску ЭДМ протона и дейтрона. С точ-

странстве, что вызывает изменение частоты прецес-

ки зрения магнитооптической структуры ускорители

сии спина частицы. Мы называем это явление удли-

протонов и дейтронов имеют принципиальные раз-

нением орбиты. Третья причина связана с влияни-

личия. В частности, ускорители для изучения ЭДМ

ем спиновых резонансов на разброс спиновой час-

протона имеют чисто электростатическую структу-

тоты частиц в пучке. Первые две причины связаны

ру, а ускорители для дейтронов представляют собой

друг с другом, поскольку обе определяются зависи-

смешанную структуру с электростатическими и маг-

мостью частоты прецессии спина от параметров час-

нитостатическими элементами. В каждой структу-

тицы. Тем не менее формально их природа различна,

ре явление декогеренции имеет свои особенности. Но

и их следует рассматривать отдельно.

сначала мы рассмотрим общий подход к изучению

Для изучения поведения ансамбля спинов час-

времени спиновой когерентности.

тиц в пучке мы предполагаем справедливость тео-

В смешанной структуре используются элементы с

ремы Эренфеста, утверждающей, что средние значе-

магнитным и электрическим полями, которые связа-

ния квантовомеханического оператора, а также дей-

ны между собой соотношением, следующим из силы

ствующие силы подчиняются законам классической

Лоренца, удерживающей частицу на орбите радиу-

механики.

са R: q (cβ × B + E) =mγv2R^ex^.Здесьex^{-единич-}

Ю. Узиков (ОИЯИ) специально обосновал этот

ный радиальный вектор. Угловая частота вращения

переход для спина, согласно которому в представле-

частицы на орбите ускорителя определяет скорость

ниях классической физики “спин” означает среднее

вращения импульса Ω^pE,B =qγβ×Emγ2

значение квантовомеханического оператора спина.

Вычитая частоту Ω^pE,B из частоты Ω_MDM (1b)

Основной принцип измерения ЭДМ в кольце сле-

получаем частоту прецессии спина относительно им-

дует из уравнения “Томаса-Баргмана, Мишеля, Те-

пульса Ω^pMDM :

легди”. В соответствии с теоремой Эренфеста оно

описывает классическое поведение спина частицы S

Ω^pMDM = ω^pE + ω^pB,

(2)

в сгустке с учетом предполагаемого ЭДМ:

где

(

= S × (Ω_MDM + Ω_EDM),

(1a)

)E×β

ω^pE =

G-

; ω^pB =

GB_⊥.

(3)

[

γ² - 1

Ω_MDM =

(γG + 1) B_⊥ + (1 + G) B_∥ -

mγ

Для исследования электрического дипольного мо-

(

мента протона предлагается использовать полностью

)β×E]

-γ G+

(1b)

электростатическое накопительное кольцо. Преиму-

γ+1

[

]

щество чисто электростатических структур (магнит-

qη

γ β

ное поле B = 0) особенно проявляется на “магиче-

Ω_EDM =

β×B+

(β · E)

(1c)

γ+1 c

ской” энергии, когда вектор спина, изначально ори-

ентированный в продольном направлении, вращает-

Здесь Ω_MDM есть частота спин-прецессии за счет

ся в горизонтальной плоскости с частотой ω^pE.

магнитного дипольного момента (далее - МДМ пре-

При “магической” энергии

цессия), Ω_EDM есть частота спин-прецессии за счет

электрического дипольного момента (далее - ЭДМ

= 0,

(4)

прецессия). m, q масса и заряд частицы; β = v/c,

G- γ2mag -1

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Природа спиновой декогеренции поляризованного пучка. . .

715

таким образом, для референсной частицы ω^pE,B = 0

G-

= 0. Раскладывая G -

в ряд Тейлора

γ²-1

(3), и ориентация спина относительно импульса опре-

вблизи p = p_mag, получим:

деляется только сигналом ЭДМ^dSdt = S ×ΩEDM.

(

)

Δp

Это отличительное свойство структуры было пред-

G-

= 0 + 2G

ложено использовать для исследования ЭДМ, и та-

γ² - 1

p_mag

p=pmag +Δp

(

)₂

(

)₂

кую структуру назвали структурой “замороженного

Δp

спина” [3].

- 3G

(8)

p_mag

Далее примем следующую индексацию проекций

спин-вектора S = (S_x, S_y, S_z) и пространственных

Для дейтронного пучка условие “замороженного спи-

переменных: z ориентировано по импульсу, x и y - го-

на” означает, что полная частота спин-прецессии в

ризонтальное и вертикальное направления соответ-

магнитном и электрическом поле равна нулю ω^pE +

ственно.

ω^pB = 0. Раскладывая ω^pE + ω^pB в ряд Тейлора вблизи

Теперь введем определение спин-тьюна. Спин-

p₀, при котором условие (6) выполнено, получим:

тьюн в электростатическом кольце ν^Es определяет-

ся как нормированная частота прецессии спина на

(ω^pE + ω^pB)_p

(E × β) ×

(9)

0+Δp

орбитальную частоту частицы ν^Es = ω^pE /Ω^pE и пред-

[

]

)₂

Δp

1 + 3γ²

( Δp

( Δp)2

ставляется в виде:

× 0+

(

)

γ² - 1 p₀

γ²(γ² - 1) p₀

p₀

ν^Es = G -

γβ².

(5)

γ² - 1

Разница между условиями (8) и (9) для протонного и

дейтронного колец состоит лишь в том, что в протон-

В случае дейтронов с G = -0.142 единственно воз-

ном накопителе используется выражение для маги-

можной структурой для поиска ЭДМ является нако-

ческой энергии (4), а для дейтронного кольца - усло-

пительное кольцо с электрическим и магнитным по-

вие сохранения направления спина в E+B дефлекто-

лями [4]. Его можно реализовать, применив радиаль-

ре (6) используется совместно с условием устойчиво-

ное электрическое поле E_x, чтобы сбалансировать

го движения по орбите под действием силы Лоренца:

вклад вертикального магнитного поля B_y в Ω^pMDM ,

как показано в уравнении (2):

e (cβ × B + E) =mγv2R^ex^.

Учитывая, что вертикальная компонента элек-

GB_y cβγ

трического поля мала, и β_x,y ≪ β_z, можно упростить

E_x =

(6)

1 - Gβ²γ²

уравнение (1), чтобы понять поведение спина каче-

ственно:

Частота прецессии вектора импульса в магнитном B-

поле есть Ω^pB =^eBmγ . Аналогично мы находим спин-

dS_x

Δp

·E_xS_z,

cβ_zdt

mγc² γ² - 1 p₀

тьюн ν^Bs = ω^pB/Ω^pB, в магнитном поле относительно

(10)

импульса:

dS_z

Δp

·E_xS_x.

ν^Bs = γG.

(7)

cβ_zdt

mγc² γ² - 1 p₀

Таким образом, и для протонов, и для дейтронов су-

В терминах нормализованной координаты dφ = 2π ×

ществует общее представление о том, как построить

×dn = 2πcβiLcr^dt,гдеLcir^{естьдлинаорбиты,получим:}

накопительное кольцо, и реализуется оно с помощью

)₂

разных типов дефлекторов: E или E + B.

d²S_z

(eE_xL_cir

Δp

· S_z = 0.

(11)

Спиновая хроматичность в протонных и

dφ²

2πmc²γ γ² - 1 p₀

дейтронных накопителях для поиска ЭДМ.

Основная проблема при измерении ЭДМ состоит в

При этом спин осциллирует в горизонтальной плос-

Δp

том, чтобы обеспечить когерентное колебание спи-

кости с тьюном ν_sz

= eExL^cir

, и S_z

πmc²γ γ²-1 p0

нов всех частиц для наблюдения роста поляризации,

= S^maxzcos(2πν_szφ), где

E_x есть средняя компонен-

вызванного ЭДМ. Здесь мы рассматриваем спиновое

та отклоняющего электрического поля, связанная с

движение ансамбля частиц в плоскости ускорителя

магнитной компонентой в E + B дефлекторе соотно-

для полностью электростатического или комбиниро-

шением (6).

ванного E + B кольца.

Таким образом, благодаря спиновой хроматично-

В полностью электростатическом протонном

сти и разбросу импульса^Δp мы обнаруживаем, что_p

кольце [7] для частицы с энергией, отличной от

спин каждой частицы колеблется со своей частотой,

“магической”, p

= p_mag нарушается условие (4):

что, очевидно, приводит к спиновой декогеренции и

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

716

А. А. Мельников, Ю. В. Сеничев, А. Е. Аксентьев, С. Д. Колокольчиков

полной деполяризации пучка в определенный пери-

Итак, во втором приближении спин действительно

од, называемый временем спиновой когерентности.

совершает быстрые колебания с синхротронной час-

Например, примем максимальный относитель-

тотой относительно среднего положения, которое,

ный разброс по импульсам, равный 10^-4, при этом

в свою очередь, колеблется с очень низкой часто-

разброс частот спин-прецессии Δν_sz = 1.588 · 10^-4,

той ν_sz ∼ (Δp/p)², определяемой средним значением

или SCT = 6300 оборотов, что соответствует 1 мс.

(15).

Использование высокочастотного резона-

Но даже для относительно малого разброса по

тора для увеличения SCT. Сначала рассмотрим

импульсам (Δp/p) ∼ 10^-4, простые оценки показы-

спин-прецессию (9) в линейном приближении отно-

вают, что время спиновой когерентности SCT∼ 200 с.

сительно импульса:

Этот результат был проверен с помощью программы

COSY Infinity [9], и хорошо согласуется с нашей ана-

(ω^pE + ω^pB)_p

(E × β)

Δp.

(12)

литической оценкой. Анализируя выражения (5) и

0+Δp

γ² - 1 p₀

(7), можно заключить, что члены нелинейной спино-

вой хроматичности существуют только в электроста-

Идея использования высокочастотного (ВЧ) ре-

тических дефлекторах. Это означает, что время спи-

зонатора для уменьшения разброса частот спин-

новой когерентности в основном определяется элек-

прецессии частиц, имеющих энергию, отличную

трическими дефлекторами. И в протонном, и в дей-

от магической, была предложена некоторое время

тронном кольцах источником спиновой хроматично-

назад другими авторами, например [8].

сти является только электростатическое поле E, а

Очевидно, частица, колеблющаяся около уровня

магнитное поле B не влияет на спиновую хроматич-

магической энергии с синхротронной частотой ν_syn

ность.

также изменяет поведен(е )пина. Это следует из

Δp

Удлинение орбиты как источник спиновой

уравнения (11) с^Δpp =

cos(ν_synφ), описы-

p max

декогерентности. Первые работы, посвященные

вающего колебания спина в присутствии ВЧ полей:

влиянию длины орбиты на частоту спин-прецессии,

были посвящены изучению этого эффекта с це-

d²S_z

(eE_xL_cir

( Δp)

лью достижения точной настройки энергии частиц

dφ²

πmc²γ γ²

-1

p max

в электрон-позитронных коллайдерах [10]. В рабо-

)₂

те [11] анализировалось влияние бетатронной хрома-

× cos(ν_synφ)

· S_z = 0.

(13)

тичности на декогеренцию спина.

Теперь мы обсудим второй источник спиновой

Это уравнение описывает колебания маятника в

декогеренции в ускорителях, связанный с влияни-

быстро осциллирующем поле. Теперь, вместо осцил-

ем различной длины орбиты частиц на так называ-

ляций с частотой ν_sz, спин колеблется в пределах уз-

емую эффективную энергию, которая, в свою оче-

кого угла Φ_max с ВЧ частотой Φ ∼ Φ_max sin(ν_synφ).

редь, определяет спиновую частоту [12-14].

Величина Φ_max ∼ (ν_sz/Ω_syn)² зависит от отношения

Основной

“принцип синхронного ускорения”

частот. При отношении ν_sz /Ω_syn ∼ 1 : 150 спиновая

Векслера и Макмиллана сформулирован в виде

аберрация составляет Φ_max ∼ 10^-4, что пренебрежи-

системы уравнений:

мо мало.



dφ

Разложение второго порядка спин-тьюна



= -ω_rfηδ,



относительно Δp/p. Из выражения (9) можно най-

(16)

ти частоту колебаний спина во втором приближении



eV_rfω_rf

^d

sin φ.

относительно импульса:

2πhβ²E

d²S_x

eExL_cir [

( Δp)

Здесь δ

= Δp/p есть относительное отклонение

dφ²

2πmc²γ γ² - 1 p

по импульсу от равновесного синхронного значения,

Δp = p - p_s, φ есть отклонение по фазе от синхрон-

1 + 3γ

( Δp)2 ]²

· S_z = 0,

(14)

ного значения (нет ускорения в накопительном ре-

γ²

γ² - 1

жиме), η есть слип-фактор, E - полная энергия, β

есть нормализованная скорость, eV_rf - набор энер-

и при наличии ВЧ поля спин-тьюн имеет ненулевое

гии за один оборот с напряжением на зазоре V_rf ,

среднее значение:

ω_rf

= 2πhf_rev есть угловая частота ВЧ поля, h -

eExL_cir 1 + 3γ

( Δp)2

номер гармоники поля, f_rev = 1/T_rev - частота обра-

νsz =

(15)

2πmc²γ γ²

2γ²

-1

щения.

p max

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Природа спиновой декогеренции поляризованного пучка. . .

717

Первое уравнение системы (16) вытекает непо-

Предположим, что φ ≪ 1, что соответствует cos φ ∼

средственно из “принципа синхронного ускорения”:

∼ 1, и на основании системы (22) запишем уравнение

частица с меньшим временем обращения прилетает

для отклонения по импульсу δ:

раньше и попадает в более раннюю фазу ВЧ поля:

(

)

d²δ

eV_rfω

eV_rfω_rf

α₀ -

·δ=-

dt²

2πhβ²E

γ²

2πhβ²E

Δφ

ΔT_rev

(17)

[(

)

T_rev

3β²

α₀

( ΔL)]

× α₁ +

·δ² +

(23)

2γ²

γ²

γ⁴

L β

В первом приближении изменение длины орбиты C

относительно импульса определяется как ΔC/C =

Из (21) следует, что среднее значение ΔT_rev/T_rev = 0,

(_ΔL)

= α₀ · δ, и можно записать:

и определяется α₀, α₁, γ и

L β

(

)

(

)

ΔT_rev

Δ(C/v)

ΔC

Δv

ΔT_rev

3β²

α₀

( ΔL)

= α₀ -

(18)

= α₁ +

·δ²+

(24)

T_rev

C/v

γ²

T_rev

2γ²

γ²

γ⁴

L β

Как следует из уравнения (23), удлинение орбиты

Слип-фактор η = α₀ - 1/γ² вводится как соотноше-

приводит к повышению равновесного уровня им-

ние между отклонениями по времени обращения и

пульса, чтобы соответствовать основному “принци-

импульсу:

пу синхронного ускорения”. Решая (23) с помощью

ΔT_rev

= η · δ.

(19)

асимптотических методов [15], мы можем определить

T_rev

влияние бетатронных колебаний, квадратичного чле-

Очевидно, что в случае сбанчированного пучка

на фактора сжатия орбит α₁ и слип-фактора η на

среднее за одно синхротронное колебание изме-

сдвиг равновесного уровня энергии Δδ_eq:

нение времени обращения равно нулю. В первом

)

γ^2s

[δ^2m (

3β^2s

α₀

приближении это следует из решения системы

Δδ_eq =

α₁ +

γ^2sα₀ - 1

2γ^2s

γ^2s

γ⁴

(16). Однако с использованием разложения бо-

лее высокого порядка коэффициента сжатия

( ΔL)].

(25)

орбит α = α₀ + α₁ · δ[и отклонения по скорост]

L β

(v_s + Δv)^-1

= v^-1

1 - Δv/v_s + (Δv/v_s)² - ...

Из выражения (25) следует, что равновесная энер-

можно записать следующее выражение для откло-

гия различна для каждой частицы в сгустке. Этот

нения по времени обращения:

уровень энергии, относительно которого колеблется

частица, мы называем эффективной энергией.

ΔT_rev

ΔC

Δv

ΔC Δv

В качестве примера представлены результаты

( Δv)2 =

(20)

T_rev

v_s

C v_s

v_s

расчета COSY Infinity [9] в электростатическом коль-

(

) (

)

3β²

α₀

це (см. рис. 1), где равновесный уровень энергии по-

= α₀ -

·δ+ α₁ +

·δ².

γ²

2γ²

γ²

γ⁴

Кроме того, мы должны учесть слагаемое, отвечаю-

щее за бетатронное удлинение орбиты (ΔL/L)_β:

(

)

ΔT_rev

= α₀ -

·δ+

T_rev

γ²

(

)

3β²

α₀

( ΔL)

Рис. 1. (Цветной онлайн) Фазовая траектория в про-

+ α₁ +

δ² +

(21)

2γ²

γ²

γ⁴

дольной плоскости для начальных координат x = 0,

L β

y = 0 (a) и x = 3мм, y = 0 (b); начальное отклонение

Следовательно, уравнения для продольного движе-

dp/p = 1.2 · 10^-4

ния могут быть записаны в форме:

вышается за счет бетатронного движения. В то же



[(

)



dφ

время из-за ненулевого коэффициента сжатия орбит

= -ω_rf α₀ -¹

·δ+



γ²



второго порядка α₁ = 0 фазовые траектории теря-

]

(

)

(_ΔL)

(22)

ют симметрию в продольной плоскости по направле-

+ α₁ +3β2γ2

·δ² +



− α²γ+γ1

L β



нию импульса, что приводит к смещению равновес-

_dδ

sin φ.

ного значения импульса.

hβ²E

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

718

А. А. Мельников, Ю. В. Сеничев, А. Е. Аксентьев, С. Д. Колокольчиков

Бетатронное движение. Ниже мы определим

Следовательно, удлинение орбиты благодаря откло-

(_ΔL)

параметры α₀, α₁ и

, основываясь на простых

нению по импульсу есть:

L β

геометрических соображениях. Считаем, что удли-

ΔC

l₂ - C

нение орбиты может происходить из-за относитель-

=α₀δ + α₁δ² + . . . ;

ного отклонения по импульсу δ и бетатронных ос-

(32)

(_ΔL)

D₀

D₁

цилляций

. Сначала рассмотрим случай удли-

α₀ =

; α₁ =

〈D^′20〉.

L β

нения орбиты из-за бетатронных осцилляций. Пред-

положим, что частица характеризуется параметрами

В итоге мы получим выражение для отклонения рав-

(x_β , x^′β ) в конкретный момент времени. Из-за боль-

новесных уровней энергии из-за бетатронного движе-

шего радиуса ρ + x_β орбита удлиняется на фактор

ния и ненулевого нелинейного коэффициента сжатия

(ρ + x_β)/ρ и, благодаря x^′β, удлиняется на фактор

орбит:

1/ cos(x^′β). Вместе с вертикальным движением фак-

)

√

γ^2s

[δ^2m (

3β^2s

α₀

Δδ_eq =

α₁ +

тор удлинения есть 1/ cosθ, где θ = x^′2β + y^′2β. Сле-

γ^2sα₀ - 1

2γ^2s

γ^2s

]

довательно, удлинение орбиты из-за бетатронных ос-

(ǫ_xν_x + ǫ_yν_y)

(33)

цилляций есть:

∮ (

)

( ΔL)

ρ+x

Рассмотрим на примере магнитного кольца, как

-1

ds =

ρ cosθ

удлинение орбиты влияет на декогеренцию спина в

L β

(

)

∮

ускорителе. Как мы знаем, спин-тьюн νs = γG в

x_β

x^′2β + y^′2β

ds.

(26)

магнитном накопителе. Если отклонение равновесно-

го уровня энергии Δγ_eq зависит от параметров час-

тиц, разброс частот спин-прецессии за N_t оборотов

=¹² 〈ǫy 〉, и_β

составляет:

Так как 〈xβρ〉=0,〈xβ2〉

=¹² 〈ǫxβx〉,〈yβ2〉

〈1/β_x,y〉 = ν_x,y/R, удлинение орбиты благодаря бета-

2π〈Δν_s〉 = 2πG〈Δγ_eq〉N_t.

(34)

тронному движению есть:

Разброс частот спин-прецессии уменьшает время

( ΔL)

[ǫ_xν_x + ǫ_yν_y] .

(27)

спиновой когерентности. Например, рассмот-

L β

рим случай, когда время спиновой когерент-

ности ограничено

1000 с

(∼

10⁹

оборотов), и

Отклонение по импульсу. Вернемся к вопро-

〈Δγ_eq/γ〉

1 рад/2πγGN_t

= 7 · 10^-11. Тогда,

су удлинения орбиты из-за отклонения по импульсу.

используя выражение (33), мы можем найти огра-

Сперва определим линейную и угловую дисперсию:

ничение по разбросу по импульсам:

D(s, δ) = D₀(s) + D₁(s) · δ;

Δγ_eq

γ^2s · (γ^2sα₀ - 1)

(28)

〈δ^2m〉 <

(35)

D^′(s, δ) = D^′0(s) + D^′1(s) · δ.

β²

γ^4sα₁ +³² β^2sγ^2s - γ^2sα₀ + 1

Например, для ускорителя COSY α₀ = 0.2, γ_s =

В произвольной точке вдоль ds = ρdθ:

= 1.248, α₁ = 2. Пренебрежем вкладом бетатрон-

(

)

ного движения (ǫ_x,y ∼ 0), тогда среднеквадратич-

dl₁ =

ρ+D₀ ·δ+D₁ ·δ²

dθ =

(

)

ный разброс по импульсам не должен превышать ве-

D₀

D₁

личину 〈δ_m〉 < 10^-5. Уменьшая коэффициент сжа-

·δ+

·δ²

ds,

(29)

тия орбит второго порядка до α₁ = 0.01, получим

〈δ_m〉 < 2 · 10^-5. Для полного исключения влияния

√

(

)

разброса по импульсам на удлинение орбит выра-

D₀

D₁

dl₂ = dl₁

1 + (D^′0δ)² =

·δ+

·δ²

жение для Δδ_eq в уравнении (25) должно равняться

нулю:

(

)

3β^2s

α₀

× 1+

(D^′0δ)2

ds.

(30)

α₁ +

= 0.

(36)

2γ^2s

γ^2s

Теперь оценим ограничение на величину

В результате мы имеем:

эмиттанса:

∮ [

)

]

D₀

(D₁

Δγ_eq

γ^2sα₀ - 1

l₂ =

·δ+

D^′2

·δ²

ds.

(31)

ǫ^rmsx,y <

(37)

β^2s

γ^2s

πν_x,y

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Природа спиновой декогеренции поляризованного пучка. . .

719

Для ускорителя COSY предположим, что

Результат может быть верифицирован с помощью

〈δ_m〉

≪ 10^-5, тогда эмиттансы должны быть

спин-трекинга.

ǫ^rmsx,y

1.4 мм·мрад. Следовательно, мы можем

Для одиночного резонанса Q_i отклонение спин-

заключить, что вклад в спиновую декогеренцию

тьюна Δν_s при отстройке δ = Q_i -ν₀ можно оценить

одинаков для ǫ^rmsx,y ≈ 1 мм · мрад и δ_rms ≈ 10^-5.

для известного значения силы ǫ_i:

Влияние спиновых резонансов на разброс

√

частот спиновых колебаний. В упомянутых вы-

Δν_s(ν₀) = δ - sign(δ) · δ² + ǫ²ⁱ.

(39)

ше результатах по оптимизации SCT было показано,

что в отсутствие спиновых резонансов спиновая де-

Используя оценку ǫ_i ∼ 10^-3 для накопителя в диапа-

когеренция может быть полностью объяснена сдви-

зоне ГэВ [16] с частотой обращения f_rev ∼ 1 МГц, мы

гом равновесного уровня энергии. Для частиц, со-

можем предсказать разброс частот спин-прецессии

вершающих движение в вертикальной плоскости, на

Δf_s = Δν_s · f_rev. Для предполагаемой отстройки от

разброс частот спиновых колебаний дополнительно

резонанса |δ| = 0.1 получим, что Δν_s ∼ 5·10^-6. Пусть

влияют спиновые резонансы [16]. Последние приво-

SCT есть τ ∼ 1/Δf_s, тогда τ ∼ 0.2 с. Эта оценка соот-

дят к дополнительным зависящим от положения в

ветствует предварительным экспериментальным ре-

фазовом пространстве/когерентным спин-кикам и,

зультатам, полученным в ходе сеансов на ускорителе

наконец, также влияют на SCT. Оба эти эффекта

COSY с протонами энергии γG = 2.06. Данная ве-

необходимо учитывать для оптимизации SCT пучка.

личина SCT не достаточна для проведения экспери-

Внутренние резонансы представлены даже в ма-

ментов по поиску ЭДМ, требующих τ ∼ 1000 с.

шине без ошибок выставки элементов, характеризу-

Для получения высоких значений SCT необхо-

емой периодичностью P для γG = KP ± Q_y, K ∈ Z.

димо изучить общую картину спиновых резонан-

Они вызваны спиновым возмущением из-за верти-

сов. Из предсказанных результатов для COSY (см.

кального бетатронного движения. Резонансы несо-

рис. 2) [14] очевидно, что точка, в которой частицы

вершенств возникают при целых значениях спин-

тьюна из-за возмущения спина на несовершенной за-

мкнутой орбите.

Сравнивая поляризованные протонные машины с

дейтронными, можно отметить, что высокое соотно-

шение аномальных магнитных моментов протона и

дейтрона G_p/G_d ∼ 13 означает быструю спиновую

декогеренцию протона и высокую чувствительность

к спиновым резонансам. Последнее также объясня-

ется уменьшением расстояния между резонансами с

шагом по энергии Δγ ∼ 1/G.

Рис. 2. (Цветной онлайн) Отклонения от референсно-

Один из способов предсказать влияние спиновых

го значения спин-тьюнов частиц с различными верти-

кальными бетатронными амплитудами для внутренних

резонансов на SCT сначала рассчитать их силу.

и целочисленных резонансов; вертикальная хроматич-

Силы внутренних резонансов, ǫ, можно рассчи-

ность ξy = 0. η = 0 есть точка нулевого слип-фактора

тать, используя определение: ǫ = 1/N_flip, где N_flip -

без продольной группировки пучка

количество оборотов, за которое спин совершает пол-

ный поворот от начального вертикального направле-

с разными бетатронными амплитудами имеют оди-

ния. Энергия частицы должна быть фиксированной

наковый спин-тьюн, является наиболее подходящей

и равной резонансному значению. В этой ситуации

для эксперимента по поиску ЭДМ. Местоположение

инвариантная ось вращения n лежит в плоскости

этой “точки пересечения” зависит от энергии пучка и

кольца.

для COSY соответствует γG ∼ 3. Аналогичные резо-

Силы целочисленных резонансов можно рассчи-

нансные диаграммы можно получить и для других

тать как Фурье гармоники спиновых возмущений,

накопителей, чтобы предсказать необходимые пара-

вызванных горизонтальными полями на замкнутой

метры машины с точки зрения спиновой когерентно-

орбите:

сти.

Заключение. Спиновая когерентность является

∮

∂B_x

ключевым свойством поляризованного пучка в экс-

ǫ_K =

(1 + Gγ)

ye^iKθ dz.

(38)

периментах по поиску ЭДМ. Высокое SCT можно

2π

χ_m

∂y

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

720

А. А. Мельников, Ю. В. Сеничев, А. Е. Аксентьев, С. Д. Колокольчиков

получить, сначала группируя пучок с помощью ВЧ-

4. D. Anastassopoulos, V. Anastassopoulos, D. Babusci

резонатора, а затем выравнивая равновесные уров-

et al. (Collaboration), BNL Report, Brookhaven (2008).

ни энергии, сводя к минимуму разброс длин бета-

5. F. Abusaif, A. Aggarwal, A. Aksentev et al. (CPEDM

тронных орбит для частиц в сгустке и нелинейный

collaboration), CERN Yellow Reports: Monographs,

2021-003, CERN, Geneva (2021).

коэффициент сжатия структуры. Эффективная рав-

6. G. Guidoboni, E. Stephenson, S. Andrianov et al. (JEDI

новесная энергия является скалярной характеристи-

collaboration), Phys. Rev. Lett. 117, 054801 (2016).

кой спинового движения пучка с распределением в

7. Yu. Senichev, A. Lehrach, R. Maier, and D. Zyuzin, in

6D фазовом пространстве. Для достижения высоко-

Proc. IPAC2011, San Sebastián, Spain (2011), p. 2175.

го SCT она должна быть одинаковой для всех частиц

8. A. P. Lysenko, A. A. Polunin, and Y. M. Shatunov, Part.

в пучке. Это видно из решения нелинейных уравне-

Accel. 18, 215 (1986).

ний продольного движения.

9. COSY Infinity, http://cosyinfinity.org.

Спиновые резонансы действуют как еще один ис-

10. J. Wenninger, preprint CERN SL-note

97-06

OP,

точник спиновой декогеренции. Их влияние необхо-

CERN, Geneva (1997).

димо учитывать особенно для протонного пучка во

11. I. A. Koop and Ju. M. Shatunov, in Proc. EPAC1988,

всем энергетическом диапазоне накопителя.

Rome, Italy (1988), p. 738.

Исследование выполнено при поддержке гран-

12. Yu. Senichev, R. Maier, and D. Zyuzin, in Proc.

та Российского научного фонда

#22-42-04419,

IPAC2013, Shanghai, China (2013), p. 2579.

https://rscf.ru/project/22-42-04419/.

13. A. A. Melnikov, A. E. Aksentyev, Yu. V. Senichev, and

E. Syresin, in Proc. IPAC-22, Bangkok, Thailand

(2022), p. 1832.

1. M. Aguilar, G. Alberti, B. Alpat et al. (AMS

14. A. A. Melnikov, A. E. Aksentyev, Y. Senichev, and

collaboration), Phys. Rev. Lett. 110, 141102 (2013).

S. Kolokolchikov, in Proc. IPAC’23, Venezia, Italy

2. A. Sakharov, Pis’ma v ZhETF

(1967)

(2023), p. 2350.

[A. Sakharov, JETP Lett. 5, 24 (1967)].

15. N. Bogolyubov and Yu. Mitropolsky, Asymptotic

3. F. J. M. Farley, K. Jungmann, J. P. Miller, W. M. Morse,

Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations,

Y.F. Orlov, B. L. Roberts, Y. K. Semertzidis, A. Silenko,

Hindustan Publishing Corpn., Delhi (1961).

and E. J. Stephenson, Phys. Rev. Lett. 93, 052001

16. S. Y. Lee, Spin Dynamics and Snakes in Synchrotrons,

(2004).

World Scientific, New Jersey (1997).

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023