Письма в ЖЭТФ, том 118, вып. 10, с. 754 - 760

Возбуждение джозефсоновских токов колебаниями аэрогеля

в сверхтекучем³He

Е. В. Суровцев¹⁾

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы РАН, 119334 Москва, Россия

Поступила в редакцию 18 октября 2023 г.

После переработки 18 октября 2023 г.

Принята к публикации 18 октября 2023 г.

В работе решена задача о механических колебаниях аэрогеля, прикрепленного к упругой нити, про-

исходящих в сверхтекучем³He для случая, когда внутри аэрогеля также реализуется сверхтекучее со-

стояние. Рассмотренные в работе гидродинамические граничные условия на поверхности аэрогеля поз-

воляют объяснить аномально быстрый рост частоты механических колебаний системы с понижением

температуры. Найденное соотношение между скачком фазы на границе аэрогеля и протекающим через

границу сверхтекучим током указывает на его джозефсоновский характер.

DOI: 10.31857/S1234567823220093, EDN: ogqlif

1. Введение. Эксперименты с колеблющимся в

щей нити, помещался в ячейку, заполненную³He,

сверхтекучем³He аэрогелем широко применяются

и на систему накладывалось постоянное магнитное

для исследования влияния примесей (магнитных или

поле. Далее по нити пропускался переменный элек-

немагнитных) на сверхтекучие свойства³He. Как

трический ток, который за счет силы Лоренца, дей-

известно, в случае p-спаривания даже немагнитные

ствующей на нить, приводил к возбуждению механи-

примеси могут приводить к подавлению сверхтеку-

ческих колебаний системы. При самом простом рас-

чести системы [1]. Помимо простого подавления па-

смотрении данных колебаний квадрат частоты дол-

раметра порядка, симметрия аэрогеля позволяет ре-

жен быть обратно пропорционален суммарной массе

ализовывать сверхтекучие фазы, существование ко-

системы ω² ∼

¹ , которая, в свою очередь, склады-

MΣ

торых было энергетически невыгодно в чистом³He

вается из массы нити, массы аэрогеля, массы нор-

[2-4]. Одной из таких фаз является полярная фаза

мальной компоненты³He внутри аэрогеля, и, нако-

сверхтекучего³He, для которой при некоторых усло-

нец, присоединенной массы³He снаружи аэрогеля,

виях выполнен аналог теоремы Андерсона [5], т.е.

т.е. той, которая участвует в движении системы. Воз-

примеси не влияют на ее термодинамические свой-

никновение сверхтекучей фазы внутри аэрогеля при-

ства. Первые эксперименты указанного выше типа,

водит к изменению линий тока сверхтекучей компо-

в которых использовались кремниевые аэрогели, т.е.

ненты внутри и снаружи аэрогеля, что, в свою оче-

состоящие из нитей SiO₂, были описаны в работах

редь, меняет полную присоединенную массу системы

[6-8]. Одним из результатов указанных работ было

и, как следствие, частоту колебаний. Для вычисле-

указание на то, что сверхтекучий³He внутри аэро-

ния токов, которые возникают при колебаниях си-

геля находится в состоянии Ларкина-Имри-Ма для

стемы, необходимо знать граничные условия на по-

А-фазы [9]. В настоящее время важным направлени-

верхности аэрогеля. Ранее в работах [7, 12, 13] рас-

ем исследований с помощью данной методики явля-

сматривались два типа граничных условий. В част-

ется изучение свойств сверхтекучего³He в так на-

ности, в работах [12, 13] предполагалось, что на по-

зываемых нематических аэрогелях, которые состоят

верхности аэрогеля непрерывны сверхтекучий ток,

из сонаправленных нитей [10]. В ходе экспериментов

а также фаза конденсата куперовских пар внутри

с данным типом аэрогеля была обнаружена β-фаза

и снаружи аэрогеля. Последнее условие не являет-

сверхтекучего³He [4], а также исследовано влияние

ся всегда верным и может быть обосновано толь-

магнитных примесей на фазовую диаграмму сверх-

ко при условии непрерывности параметра порядка

текучего³He [11].

на границе аэрогеля [13]. Отметим также существен-

Во всех экспериментах указанного типа аэрогель

ную для дальнейшего деталь, что в указанной ра-

прикреплялся к тонкой П-образной сверхпроводя-

боте аэрогель считался абсолютно жестким телом.

Несмотря на существенные различия в граничных

¹⁾e-mail: e.v.surovtsev@gmail.com

условиях, рассмотренных в работах [7, 12], асимпто-

754

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Возбуждение джозефсоновских токов колебаниями аэрогеля в сверхтекучем³He

755

тическая зависимость частоты колебаний от темпе-

лен. Сразу оговоримся, что точное решение постав-

ратуры вдали от точки сверхтекучего перехода внут-

ленной задачи требует аккуратного вычисления на-

ри аэрогеля получается практически одинаковой в

пряжений внутри аэрогеля и проволочки, которое,

обоих случаях. Это связано с тем, что рассмотрен-

в частности, зависит от способа крепления аэроге-

ные граничные условия приводят к тому, что при

ля. Мы же будем рассматривать составную систему в

достаточно низких температурах сверхтекучая ком-

виде простого осциллятора с заданной эффективной

понента как внутри аэрогеля, так и снаружи в основ-

жесткостью. Так как для рассматриваемых частот

ном не увлекается движением аэрогеля, и вся темпе-

колебаний глубина вязкого проникновения гораздо

ратурная зависимость связана лишь с уменьшением

больше расстояния между нитями аэрогеля, то бу-

массы нормальной компоненты, участвующей в дви-

дем считать, что нормальная компонента³He внутри

жении. Удивительно, что посчитанная в рамках рас-

аэрогеля движется совместно с каркасом аэрогеля.

смотренных моделей сверхтекучая плотность внут-

Для начала рассмотрим движение системы без уче-

ри аэрогеля оказывается существенно больше, чем

та эффектов вязкости, которые возникают снаружи

сверхтекучая плотность чистого³He при тех же тем-

аэрогеля. Так как движение сверхтекучей жидкости

пературах, что явно противоречит предположению о

потенциально, то введем соответствующие потенци-

подавлении параметра порядка примесями. В рабо-

алы внутри и снаружи аэрогеля: ϕ^ins и ϕ^outs. Гради-

те [12] было сделано предположение, что указанное

енты данных функций определяют векторное поле

несоответствие связано с взаимодействием механи-

сверхтекучих скоростей внутри и снаружи аэрогеля.

ческой моды колебаний со второй модой колебаний,

Движение нормальной компоненты снаружи аэро-

которая также возбуждается в рассмотренных экс-

геля в первом приближении (при малых амплиту-

периментах и описывается как аналог второго звука

дах колебаний и без учета вязкости) также можно

для данной сложной системы [14]. Тем не менее, тот

рассматривать как потенциальное и заданное полем

факт, что в работе [8] вторая ветка колебаний не на-

ϕ^outn. Пусть u⁽⁰⁾ⁱ - средний вектор смещения аэроге-

∫

блюдалась, а вычисленная сверхтекучая плотность

ля из положения равновесия, т.е. u⁽⁰⁾ⁱ =

dV u_i(r),

оказалась также большой, говорит о том, что дан-

где u_i(r) - поле смещений в аэрогеле, интеграл берет-

ное взаимодействие не является существенным при

ся по объему аэрогеля, V₀ - объем аэрогеля в равно-

объяснении наблюдаемого эффекта.

весии. Тогда проинтегрированное по объему гидро-

В данной работе будет показано, что более быст-

динамическое уравнение, выражающее закон сохра-

рый рост частоты механических колебаний системы

нения суммарного импульса аэрогеля и³He [15], даст

при понижении температуры может быть объяснен

эффективное уравнение движения системы в виде:

при рассмотрении гидродинамических граничных

∫

∂ϕ^ins

условий на поверхности аэрогеля, которые заклю-

V₀(ρ_aδ_ij + (ρⁱⁿⁿ)_ij)ü^(0)j + (ρⁱⁿ

)_ij

∇_j

dV +

∂t

чаются в непрерывности гидродинамических пото-

∮

ков. Таким образом, сравнивая с работой [13], усло-

+ V₀ · ρ_aω²⁰u⁽⁰⁾ⁱ + n_jδσ^outijdS = 0,

(1)

вие непрерывности фазы параметра порядка должно

быть заменено на непрерывность компонент тензора

где ρ˜_a - эффективная плотность аэрогеля (с учетом

потока импульса в направлении нормали к поверх-

конечной массы нити, к которой крепится аэрогель),

ности аэрогеля. Как будет показано ниже, из резуль-

ρ_l - плотность жидкости, (ρ^ins,n)_ij - тензоры плотно-

татов решения гидродинамических уравнений следу-

сти нормальной и сверхтекучей компонент жидкости

ет, что в узком слое на границе аэрогеля возникает

внутри аэрогеля, δσ^outij изменение тензора потока им-

разность фаз между двумя сверхтекучими состояни-

пульса снаружи аэрогеля, связанное с потоком жид-

ями, а сверхтекучий ток, протекающий через грани-

кости, n_i - внешняя нормаль к поверхности аэрогеля,

цу, пропорционален этой разности фаз. Данный вид

ω₀ - частота колебаний системы в вакууме, в послед-

связи между током и скачком фазы соответствует

нем члене интеграл берется по поверхности аэрогеля.

случаю джозефсоновского контакта между сверхте-

Первые два члена в уравнении определяют измене-

кучими состояними внутри и снаружи аэрогеля, т.е.

ние импульса выделенного объема системы, а вто-

случаю слабой связи.

рые два - силу, действующую на систему со сторо-

2. Уравнение движения аэрогеля в сверх-

ны проволочки и со стороны окружающей аэрогель

текучей жидкости. В данном разделе будет рас-

жидкости. Описание силы, действующей на выделен-

смотрено эффективное уравнение движения аэроге-

ный объем системы со стороны нити, в виде члена

ля в форме шара в сверхтекучем³He, колеблюще-

V₀ · ρ_aω²⁰u⁽⁰⁾ⁱ является упрощением, которое оговари-

гося за счет упругости нити, к которой он прикреп-

валось в начале раздела.

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

756

Е. В. Суровцев

Для начала вычислим силу, действующую на ша-

из уравнения сохранения массы следует связь между

рик со стороны нормальной компоненты окружаю-

δρ_l и u^(1)ll: δρ_l ≈ -ρ_lu^(1)ll. Для дальнейшего важно, что

щей аэрогель жидкости. Из условия потенциально-

скорость первого звука много больше всех остальных

сти движения снаружи аэрогеля тензор потока им-

упругих скоростей системы (в частности, скоростей

пульса можно определить соотношением:

звука в аэрогеле), поэтому можно записать следую-

щее приближенное равенство:

∂ϕ^outs

∂ϕ^outn

δσ^outij = -(ρ^out

)_ij

- (ρ^out

)_ij

(2)

(1)

∂t

δµ^inl ≈ -c^2l1u

(6)

где второе слагаемое определяет искомый вклад нор-

В главном приближении тензор потока импульса си-

мальной компоненты. В силу того, что нормальная

компонента жидкости не протекает сквозь аэрогель,

стемы изотропен и описывается одной скалярной ве-

личиной - давлением, которое внутри аэрогеля в рас-

на поверхности аэрогеля выполнено граничное усло-

вие: (ρ^outn)_ij (∇_j ϕ^outn - u^(0)j)n_i = 0, которое для случая

сматриваемом приближении также определяется вы-

ражением:

изотропной B-фазы или А-фазы с текстурой орби-

тального вектора l по типу “ежа” (вектор l везде пер-

δpⁱⁿ ≈ -c^2l1ρ_lu^(1)ll,

(7)

пендикулярен поверхности) сводится к обычному вы-

ражению: u⁽⁰⁾ⁱn_i = (∇_iϕ^outn)n_i. Так как для рассмат-

где коэффициент c^2l1 дается суммой нескольких упру-

риваемых частот колебаний жидкость можно счи-

гих констант, но в дальнейшем ее отличием от c^2l1,

тать несжимаемой, то используем хорошо известное

можно пренебречь. Исключив из последних двух ра-

решение для ϕ^outn уравнения Δϕ^outn = 0, удовлетворя-

венств u^(1)ll, можно получить связь между изменени-

ющее данным граничным условиям у шара радиуса

ем давления внутри аэрогеля и изменением потенци-

(0)

R [16]: ϕ^outn(r, t) = -R32r2∂∂itⁿi^{.Сила,действующая}

ала сверхтекучего движения:

на шарик со стороны нормальной компоненты жид-

∂ϕ^ins

кости, получается интегрированием по поверхности

δpⁱⁿ

≈ ρ_lδµ_l = -ρ_l

(8)

тела:

∂t

∮

Из непрерывности тензора потока импульса следует,

∂ϕ^outn

2π

∂²u^(0)j

- n_j(ρ^out)ij

dS =

R³(ρ^out

)_ij

(3)

что изменение давления снаружи и внутри аэроге-

∂t

∂t²

ля должно быть одинаковым: δpⁱⁿ = δp^out. Заметим

где величина¹² (ρ^outn)_ij V₀ - задает тензор присоеди-

так же, что в достаточно широком интервале тем-

ненной массы нормального движения жидкости во-

ператур компоненты тензора сверхтекучей плотно-

круг аэрогеля.

сти малы не только внутри аэрогеля, но и снаружи

В уравнение (1) входят две неизвестные функции

(ρ^outs)_ij ≪ ρ_l. Поэтому в написанном выше равенстве

ϕ^ins и ϕ^outs, которые мы определим из следующих со-

давлений можно считать, что давление снаружи в

ображений. Вначале найдем фазу сверхтекучей жид-

основном определяется обтеканием нормальной ком-

кости внутри аэрогеля из уравнения сохранения по-

поненты жидкости с изотропным тензором плотно-

тенциальности сверхтекучего движения:

. Резюмируя сказанное, мож-

но получить следующее приближенное соотношение,

∂ϕ^ins

= -δµinl ,

(4)

справедливое на границе аэрогеля:

∂t

∂ϕ^ins

∂ϕ^outn

где δµ^inl - изменение химического потенциала жид-

≈

(9)

кости внутри аэрогеля при колебательном движении

∂t

системы. Пусть u_i(r, t) = u⁽⁰⁾ⁱ(t)+u⁽¹⁾ⁱ(r, t) - поле сме-

Данному граничному условию удовлетворяет функ-

щений внутри аэрогеля, u⁽¹⁾ⁱ ≪ u⁽⁰⁾ⁱ. Тогда, как было

ция:

показано ранее для анизотропного аэрогеля [14]:

∂u⁽⁰⁾ⁱ

δρ_l

ϕ^ins(r, t) = -

ri,

(10)

δµ^inl = c²

+c^2ulu^(1)zz - c^2lsu^(1)ll,

(5)

∂t

^l1 ρ⁽⁰⁾

соответствующая протеканию сверхтекучей компо-

где c_l1 - скорость первого звука в системе, c^2ul, c^2ls -

ненты с одинаковой во всем объеме аэрогеля сверх-

комбинации упругих коэффициентов системы, δρ_l -

текучей скоростью (Δϕ_s = 0). Таким образом, мы

изменение плотности жидкости, u^(1)ll = ∂_lu^(1)l, u^z

получили, что создаваемая движением нормальной

= ∂_zu^z1). Заметим, что при условии, что ρ_l ≫ ρⁱⁿ

компоненты снаружи аэрогеля разность давлений

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Возбуждение джозефсоновских токов колебаниями аэрогеля в сверхтекучем³He

757

(вдоль или поперек оси анизотропии аэрогеля),

ρouts - компонента тензора сверхтекучей плотности

снаружи аэрогеля вдоль нормали к поверхности

(для двух рассмотренных выше фаз). Отметим, что

в области температур, где ρ^ins

≃ ρ^outs, движения

сверхтекучей и нормальной компонент жидкости

снаружи аэрогеля вблизи его поверхности происхо-

дят в противоположных направлениях.

После нахождения всех неизвестных функций

можно записать эффективное уравнение колебаний

системы в виде:

(ρ_a +

ρ_l -

ρ^ins)ü⁽⁰⁾ⁱ + ρ_aω²⁰u⁽⁰⁾ⁱ = 0.

(14)

γ-1

Рис. 1. При движении шарика аэрогеля со скоростью

Выразим из последнего уравнения частоту колеба-

∂u₀

в сверхтекучем³Не внутри объема, занимаемого

ний системы, как функцию от ρ^ins:

∂t

аэрогелем, создается градиент давления и химическо-

ω_n

го потенциала жидкости в направлении движения. Со-

ω(T ) =

√

(15)

(

гласно уравнению сохранения сверхтекучей скорости

1-γγ-1ρsn(T)ρ

1-ωn

ω²

это приводит к возникновению сверхтекучего потока в

противоположном направлении. Из закона сохранения

ρa

суммарного импульса системы при появлении данного

где введено обозначение ω²ⁿ = ω²

- частота ко-

0 ρa+³

ρ_l

движения на аэрогель начинает действовать дополни-

лебаний системы в³He в пределе нулевого затуха-

тельная сила вдоль направления движения, увеличи-

ния. При температурах больших, чем температура

вающая итоговую частоту колебаний

сверхтекучего перехода внутри аэрогеля, T

> T_ca,

частота колебаний (без учета вязкости окружающего

между его концами приводит к втеканию сверхте-

³He) не зависит от температуры ω(T ) = ω_n = const,

кучей компоненты внутрь аэрогеля в направлении,

а при T

< T_ca, в области применимости теории

противоположном движению тела (рис. 1).

Гинзбурга-Ландау, должен наблюдаться линейный

Далее, функцию ϕ^outs определим из условия

рост частоты при понижении температуры, так как

непрерывности сверхтекучего тока через границу

ρ^ins

∼ (1 -^T ). Стоящий под корнем в правой ча-_T

аэрогеля. Будем искать для функции ϕ^outs убыва-

сти выражения множитель^γγ-1 является геометри-

ющее на бесконечности решение, удовлетворяющее

ческим фактором, т.е. зависит от формы образца, и

условию несжимаемости сверхтекучей компонен-

может быть записан в более общем виде как 1 + α,

ты жидкости (∇_i(j_s)i = 0, js - ток сверхтекучей

α =^γγ-1 для шарика. Отметим также, что данный

компоненты относительно нормальной) [13]:

множитель зависит и от вида наружной сверхтеку-

чей фазы: в случае шарика для B-фазы α = 0.5, а для

γ+1

∂u⁽⁰⁾ⁱ

R⁴ ∂u⁽⁰⁾ⁱ

ϕ^outs = b

n_i -

n_i,

(11)

А-фазы с текстурой “ежа” α ≈ 0.4, т.е. при переходе

r^γ

∂t

2r³

∂t

из А в В-фазу скорость роста частоты с понижением

√

температуры должна немного увеличиться. Именно

где γ = 3 для изотропной B-фазы и γ =³² +

для

наличие данного постоянного множителя, большего

А-фазы с текстурой типа “ежа”. Условие непрерыв-

единицы, может объяснять более быстрый, чем пред-

ности потока массы на границе аэрогеля (в данном

полагалось, рост частоты при понижении темпера-

случае сверхтекучего тока) запишем в виде:

туры, который наблюдается в эксперименте. В сле-

(ρ^ins)_ij (∇_j ϕ^ins - u^0j)n_i = (ρ^outs)_ij (∇_j ϕ^outs - u^0j)n_i.

(12)

дующем разделе для обработки экспериментальных

данных для аэрогеля произвольной формы частоту

Подставив (10), (11) в (12), найдем коэффициент b:

колебаний будем описывать более общей формулой:

ρ^ins

ω_n

(13)

ω(T ) =

√

(16)

(

2γ-1ρ^out

1 - (1 + α)ρsn(T)ρ

1-ωn

ρins - компонента тензора сверхтекучей плотности

внутри аэрогеля вдоль направления колебаний

с неизвестным параметром α > 0.

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

9^∗

758

Е. В. Суровцев

3. Сравнение с экспериментом. В качестве

щения, рассмотрим модель взаимодействия мод, ко-

проверки полученных соотношений рассмотрим экс-

торое описывается матричным элементом, задавае-

периментальные данные для случая, когда внутри

мым частотой ω₁₂, так что:

нематического аэрогеля образуется полярная фаза

√

ω⁽⁰⁾¹ + ω⁽⁰⁾²

[12]. Имеющийся массив экспериментальных данных

ω₁ =

(ω⁽⁰⁾¹ - ω⁽⁰⁾²)² + 4ω²¹²,

(17)

включает в себя зависимости от температуры час-

√

ω⁽⁰⁾¹ + ω⁽⁰⁾²

тот двух возбуждаемых мод колебаний ω_1,2(T), а

ω₂ =

(ω⁽⁰⁾¹ - ω⁽⁰⁾²)² + 4ω²¹²,

(18)

также зависимость от температуры ширин резонанс-

ных линий ζ_1,2(T ). Затухание первой колебательной

где ω(0)1,2 - частоты двух мод без учета взаимо-

моды (механической) связано в основном с вязко-

действия. Температурная зависимость частоты ω⁽⁰⁾¹

стью окружающего аэрогель³He. Помимо этого, су-

задается формулой (16), а температурная зависи-

ществует также вклад вязкости (отличия от потен-

мость частоты второй моды была найдена в пределе

циальности движения жидкости вблизи поверхно-

Гинзбурга-Ландау в работе [14]:

сти аэрогеля) в присоединенную массу системы и

ω_a⊥

как следствие в частоту колебаний. В рассуждениях

ω⁽⁰⁾²(T) =

(19)

√[

c^2ul

предыдущего пункта мы данный вклад не рассмат-

ρ^⊥s(T)ρa

c²

ривали. Помимо этого, мы не учитывали вклад этой

дополнительной инерциальной вязкой силы в ϕ^ins,

где ρ^⊥s - компонента тензора сверхтекучей плотно-

так как это потребовало бы решения задачи по на-

сти полярной фазы перпендикулярно оси анизотро-

хождению u^(1)ll и uzz внутри аэрогеля, чего в нашем

пии аэрогеля, ω_a⊥ ∼ 2000 Гц, отношение скоростей

c^2ul

приближении можно было не делать. Результат бо-

∼ 0.01 и практически не зависит от давления.

c²

лее аккуратного вычисления показывает, что вклад

По аналогии со вторым звуком действительная часть

вязкости в потенциал сверхтекучего движения внут-

в частоте данных колебаний возникает только при

ри аэрогеля мал в меру отношения δ/R, где δ - глу-

T < T_ca. Наличие в знаменателе выражения (19) ма-

бина вязкого проникновения для жидкого³He. Дан-

лого множителяcul

приводит к быстрому корнево-

ное отношение ниже температуры объемного сверх-

c2l1

му росту частоты колебаний в интервале температур

текучего перехода быстро убывает с температурой,

1 -^TTca ∼ 0.01, с последующим выходом на постоян-

что оправдывает сделанное приближение. Таким об-

ную частоту порядка 1700 Гц. Так как частота меха-

разом, для более точного сравнения с эксперимен-

нической моды порядка 550 Гц, то пересечение мод и

том необходимо исключить вклад вязкости в экспе-

их взаимодействие существенно только в узкой обла-

риментально наблюдаемую частоту колебаний систе-

сти температур вблизи T_ca. Исходя из предположен-

мы, связанный с изменением присоединенной массы

ных температурных зависимостей частот двух мод

жидкости снаружи аэрогеля из-за вязкого вклада.

колебаний, следует, что с учетом взаимодействия ме-

Для колеблющегося в вязкой жидкости шарика это

ханическая мода описывается выражением (17) при

легко сделать, так как, если затухание мало, то суще-

T ≳ T_ca и выражением (18) при T ≲ T_ca.

ствует простая связь между соответствующей добав-

Результаты численной подгонки температурной

кой к частоте колебаний и шириной линии резонанса:

зависимости частоты колебаний механической моды

- частота колебаний

для трех давлений 7.1, 15.6 и 29.3 бар представлены

системы c учетом небольшого вклада от непотенци-

на рис. 2. Так как скорость роста частоты с пониже-

альности движения нормальной компоненты вблизи

нием температуры зависит от формы параметра по-

поверхности аэрогеля, ζ₁ - ширина резонансной кри-

рядка, окружающего аэрогель сверхтекучего состоя-

вой, ζ₁ ≪ ω₁. Как и ранее, коэффициент 1/2 в на-

ния, то для единообразия мы ограничились рассмот-

писанном выражении является геометрическим фак-

рением случая, когда снаружи существует A-фаза, а

тором и может отличаться для тела другой формы.

таже выбрали не слишком широкий интервал темпе-

То, что для рассматриваемой системы данная зави-

ратур вблизи T_c, чтобы можно было отбросить нели-

симость вполне согласуется с экспериментальными

нейные по T - T_ca эффекты. В качестве зависимо-

данными при T > T_ca, было продемонстрировано в

сти сверхтекучей плотности полярной фазы от тем-

работе [12].

пературы использовалось выражение, справедливое

Вторая трудность, которая возникает при обра-

в приближении Гинзбурга-Ландау:

ботке экспериментальных данных состоит в эффек-

(1 -^TT

)

ρ_l

тивном взаимодействии двух наблюдаемых мод коле-

ρ^⊥s =

(20)

баний, природа которого не совсем ясна. Для упро-

β₁₂₃₄₅

(1 +

)

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

Возбуждение джозефсоновских токов колебаниями аэрогеля в сверхтекучем³He

759

ну полученного коэффициента α^′ от теоретического

значения 0.4, найденного для случая шара, вполне

естественно.

4. Заключение. Физическая картина рассмот-

ренного в статье эффекта достаточно проста: при

движении аэрогеля в³He происходит обтекание нор-

мальной компоненты жидкости вокруг него. Это со-

здает разность давлений между концами аэрогеля,

что приводит к протеканию сверхтекучей компонен-

ты через аэрогель в направлении, противоположном

направлению изначального движения (рис. 1). Воз-

никающая при этом реактивная сила, действующая

на аэрогель, направлена так, что приводит к до-

полнительному увеличению частоты колебаний си-

стемы. Другой отличительной чертой рассмотренной

модели является то, что на границе аэрогеля возни-

кает разность фаз между двумя сверхтекучими со-

Рис. 2. Кружки, кресты, плюсы - зависимость от тем-

стояниями внутри и снаружи аэрогеля:

пературы частоты механической колебательной моды,

наблюдаемой в эксперименте [12], для давлений 7.1,

15.6, 29.3 бар соответственно. Сплошные линии - под-

ρ^ins

∂u⁽⁰⁾ⁱ

гонка теоретическими зависимостями (17), (18), в кото-

ϕ^outs - ϕ^ins =

n_i,

(21)

2γ-1

ρ^rout

∂t

рых использовались выражения (16), (19). Зависимость

ρ^⊥s(T) взята из (20), где использовались значения коэф-

фициентов βi чистого³He. Подгонка произведена для

коэффициент³

связан со сферической формой

случая, когда снаружи аэрогеля существует А-фаза

2 γ-1

аэрогеля. Рассмотрим токи, которые втекают через

элемент поверхности аэрогеля в точке А и вытекают

где β12345 = β1 + β2 + β3 + β4 + β5, βi - коэффи-

через элемент поверхности в точке B (см. рис. 1). В

циенты разложения свободной энергии³He в теории

силу симметрии задачи токи через данные поверх-

Гинзбурга-Ландау, F^s1 - параметр Ландау ферми-

n^Ai|, а дополни-

жидкости. Все коэффициенты, которые входят в на-

тельный набег фазы вдоль отрезка AB из-за пере-

писанное выше выражение, зависят от давления и

сечения двух границ аэрогеля составляет δϕABs =

были взяты для чистого³He. Для всех трех дав-

∂u⁽⁰⁾ⁱ

лений величина частоты взаимодействия двух мод

= -3^1γ-1R^ρ

n^Ai, n^Ai - внешняя нормаль к по-

ρ^outs

∂t

ω₁₂

оказалась равной примерно

80 Гц. Уменьше-

верхности в точке А. Так как амплитуда парамет-

ние величины частоты колебаний с ростом давле-

ра порядка наружной фазы в точках А и В оди-

ния для области температур T

> T_ca полностью

накова, то можно сделать вывод, что сверхтеку-

описывается увеличением плотности³He [12]. Ко-

чий ток, протекающий через аэрогель между дву-

эффициент α^′, который зависит от формы аэро-

мя данными точками, соответствует линейному ре-

геля и обуславливает более быстрый рост часто-

жиму джозефсоновского тока, j^ABs ∼ Δ_AΔ_B δϕ^ABs ∼

ты с понижением температуры, оказался равным

ρ^outsδϕ^ABs, где Δ_A,B - амплитуды параметра поряд-

0.71, 0.86, 0.74 для давлений 7.1, 15.6, 29.3 бар со-

ка в соответствующих точках, ρ_s

∼ Δ². Сделан-

ответственно. Некоторый разброс в значении дан-

ное утверждение о джозефсоновском характере про-

ного коэффициента может быть связан с исполь-

текания тока через границу аэрогеля верно, разу-

зованием значений коэффициентов β_i для чистого

меется, только в пределе маленьких скоростей, ко-

³He, которые в присутствие нематического аэроге-

гда разность фаз мала. Для аэрогеля с характер-

ля могут иметь другую зависимость от давления.

ными размерами порядка 1 мм скорость движения

Помимо этого, рассмотренное приближение учиты-

должна быть много меньше 0.1 мм/c, что в принци-

вает только линейные по (1 -^T ) члены, что так-_T

пе соответствует экспериментальным условиям [12].

же может несколько ограничивать подгоночные зна-

Отметим также, что согласно результатам работы

чения коэффициентов. Аэрогель, который использо-

[13] для шарика аэрогеля макроскопических разме-

вался в описанном выше эксперименте имел фор-

ров разница фаз на границе аэрогеля определяется

му кубоида, поэтому отличие в большую сторо-

выражением:

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023

760

Е. В. Суровцев



∫

(0)

∂u

Δϕ_s = [(v^outs -

) · n]ρs(r) - ρsutdr +

∂t

ρ_s(r)

E. V. Thuneberg, S.-K. Yip, M. Fogelstrom, and

-∞



J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett. 80, 2861 (1998).

∫

∂u

(0)

ρ_s(r) - ρ^ins

K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504(R)

+ [(v^ins -

) · n]

dr .

(22)

(2006).

∂t

ρ_s(r)

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A.A. Soldatov, and

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

Изменение сверхтекучей плотности на границе аэро-

V. V. Dmitriev, M. S. Kutuzov, A. A. Soldatov, and

геля происходит на длине когерентности сверхтеку-

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 127, 265301 (2021).

чего³He - ξ(τ), которая много меньше радиуса ша-

И. А. Фомин, ЖЭТФ 154, 1034 (2018).

рика. В связи с этим, для того, чтобы написанное

P. Brussaard, S. N. Fisher, A. M. Guénault, A. J. Hale,

, что следует из вы-

and G. R. Pickett, J. Low Temp. Phys. 121, 555 (2000).

ражения (21), сверхтекучая плотность ρ_s(r) долж-

P. Brussaard, S. N. Fisher, A. M. Guénault, A. J. Hale,

на иметь особенность на границе аэрогеля. Данный

N. Mulders, and G. R. Pickett, Phys. Rev. Lett. 86, 4580

(2001).

факт опять указывает на случай слабой связи между

D. I. Bradley, S.N. Fisher, A. M. Guénault, R. P. Haley,

двумя объемами с разными сверхтекучими состояни-

N. Mulders, O’Sullivan, G. R. Pickett, J. Roberts, and

ями. Таким образом, опосредованно по результатам

V. Tsepelin, Phys. Rev. Lett. 98, 075302 (2007).

рассмотренных в статье экспериментов можно также

G. E. Volovik, J. Low Temp. Phys. 150, 453 (2008).

качественно судить о характере поведения парамет-

10.

V. E. Asadchikov, R.Sh. Askhadullin, V. V. Volkov,

ра порядка на границе аэрогеля. Для более точно-

V. V. Dmitriev, N. K. Kitaeva, P. N. Martynov,

го выяснения характера изменения параметра поряд-

A. A. Osipov, A.A. Senin, D. I. Chekrygina,

ка на границе аэрогеля требуется микроскопическое

A. A. Soldatov, and A. N. Yudin, JETP Lett. 101, 556

описание в рамках теории Абрикосова-Горькова. В

(2015).

заключение отметим, что рассмотренная в работе

11.

V. V. Dmitriev, M. S. Kutuzov, A. A. Soldatov, and

A. N. Yudin, Phys. Rev. B 107, 024507 (2023).

полярная фаза относится к классу нетривиальных

топологических фаз, на границе которых возмож-

12.

В. В. Дмитриев, М. С. Кутузов, А. А. Солдатов,

Е. В. Суровцев, А. Н. Юдин, Письма в ЖЭТФ 112,

но существование топологически устойчивых крае-

820 (2020).

вых токовых состояний [17, 18]. Интересным пред-

13.

Е. В. Суровцев, ЖЭТФ 160, 553 (2021).

ставляется вопрос изучения взаимодействия данных

14.

Е. В. Суровцев, Письма в ЖЭТФ 116, 724 (2022).

токов с колебаниями системы, которое может стать

15.

Е. В. Суровцев, ЖЭТФ 162, 917 (2022).

существенным при достаточно низких температурах,

16.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, Наука,

когда объемная нормальная компонента плотности

М. (2005).

жидкости системы будет мала.

17.

T. T. Heikillä and G. E. Volovik, JETP Lett. 93, 59

Автор признателен В. В. Дмитриеву, В. И. Мар-

(2011).

ченко, А. А. Солдатову, И. А. Фомину и А. Н. Юдину

18.

T. T. Heikillä, N. B. Kopnin, and G. E. Volovik, JETP

за полезные комментарии и помощь.

Lett. 94, 252 (2013).

Письма в ЖЭТФ том 118 вып. 9 - 10

2023