ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 45, № 1, с. 45-54

РАСПАД КРУПНОМАСШТАБНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТРУБКИ

У ОСНОВАНИЯ КОНВЕКТИВНОЙ ЗОНЫ СОЛНЦА

¹Институт Солнечно-Земной физики СО РАН, Иркутск, Россия

Поступила в редакцию 13.04.2018 г.; после доработки 14.08.2018 г.; принята к публикации 04.09.2018 г.

Подавление турбулентной теплопроводности магнитным полем приводит к неустойчивости круп-

номасштабного поля с образованием изолированных в пространстве областей усиленного поля. К

такому выводу приводит линейный анализ устойчивости в рамках магнитной гидродинамики средних

полей с учетом зависимости теплопроводности от напряженности поля. Характерное время развития

неустойчивости мало по сравнению с 11-летним периодом солнечной активности. Размер областей

усиленного поля составляет десятки тысяч километров. Данная неустойчивость может создавать

магнитные неоднородности, всплывание которых на солнечную поверхность создает активные области

Солнца. Магнитная энергия образующихся сгустков поля совпадает по порядку величины с энергией

активных областей.

Ключевые слова: Солнце: магнитные поля, динамо, конвекция.

DOI: 10.1134/S0320010819010042

ВВЕДЕНИЕ

ных полей порядка 10⁵ Гс (Дасилва, Чудури 1993;

Калигари и др., 1995; Вебер и др., 2011). Точнее,

Глобальные магнитные поля Солнца и относи-

такую напряженность поля должны иметь трубки

тельно мелкомасштабные поля активных областей

у основания конвективной зоны, в начале своего

взаимосвязаны. Бэбкок (1961), вероятно, первым

пути к солнечной поверхности. Необходимость на-

отметил, что правило Джоя (Хейл и др., 1919)

столько сильных полей для соответствия теории

для групп солнечных пятен может быть причи-

солнечным наблюдениям особенно ясно объяснил

ной 11-летних циклических изменений глобально-

Чудури (2015). Ни одна модель солнечного дина-

го поля. Оценки по данным о солнечных пятнах

мо не дает столь сильных полей. Это и понятно:

подтверждают присутствие предсказанного Бэбко-

конвективное динамо не может усилить поле до

ком механизма на Солнце (Ерофеев, 2004; Даси-

напряженности, при которой плотность магнитной

Эспиг и др., 2010; Кичатинов, Олемской, 2011).

энергии превышает плотность кинетической энер-

В то же время магнитные поля активных обла-

гии генерирующих это поле течений. Напряжен-

стей связывают с выходом фрагментов глобаль-

ность поля равнораспределения

ного тороидального поля — магнитных трубок —

√

B_eq =

4πρ u

(1)

на солнечную поверхность¹ . Такая картина под-

тверждается наблюдениями формирующихся ак-

(ρ — плотность, u — среднеквадратичная ско-

тивных областей (см., например, Цван, 1992; Лайтс

рость конвекции) достигает наибольшей величины

и др., 1998; Хлыстова, Ториуми, 2017). Расчеты

≲10⁴ Гс вблизи основания солнечной конвективной

всплывающих трубок тороидального поля объяс-

зоны. Ситуация усугубляется тем, что наиболее

няют правило Джоя для активных областей (Даси-

успешные на настоящее время модели динамо

лва, Чудури, 1993).

основываются на механизме Бэбкока-Лейтона

Проблему, однако, представляет то обстоятель-

(Бэбкок, 1961; Лейтон, 1969) и тем самым неявно

ство, что расчеты всплывающих трубок согласуют-

предполагают присутствие полей высокой напря-

ся с наблюдениями только для достаточно силь-

женности у основания зоны конвекции.

Это кажущееся противоречие устраняют, пред-

^*Электронный адрес: kit@iszf.irk.ru

полагая, что среднее крупномасштабное поле ди-

¹ Речь, разумеется, не идет об идеальных трубках постоян-

намо с напряженностью в несколько килогаусс

ного сечения в виде окружности. Термин “магнитная труб-

состоит из изолированных трубок гораздо боль-

ка” используется для краткого обозначения ограниченных

шей напряженности. Однако какой-либо меха-

в пространстве областей усиленного, преимущественно

азимутального, магнитного поля.

низм, способный усилить поле до ∼100 кГс, опре-

КИЧАТИНОВ

делен не был. Изолированные области усиленного

тается, солнечное динамо создает поля наиболь-

поля могут возникать из-за неустойчивости маг-

шей напряженности. Используемый подход требу-

нитной плавучести (Паркер, 1982), а также при его

ет, чтобы слой полностью находился в зоне кон-

вытеснении из области циркуляционного течения

векции. Однако его нижнюю границу разумно раз-

(Вайс, 1966), однако усиления поля выше уровня

местить как можно ближе к основанию этой зоны.

равнораспределения (1) это не дает. Для суще-

Поэтому плотность ρ₀ = 0.15 г/см³, температуру

ственного превышения этого уровня необходим ис-

T₀ = 2.1 × 10⁶ К и ускорение свободного падения

точник более мощный, чем энергия конвективных

g = 5 × 10⁵ см²/с на нижней границе слоя возьмем

течений, например, использующий тепловую энер-

из модели строения Солнца для того расстояния r_b

гию. Интересную в этом отношении возможность

от его центра, где лучистый поток тепла

отметил Паркер (1984): изолированные области

усиленного поля могут возникать из-за магнитного

16σT³ ∂T

F^rad = -

(2)

подавления конвективного переноса тепла.

3κρ

∂r

Идея Паркера заключается в следующем. Маг-

нитное поле ослабляет конвекцию. Это приводит

лишь немного меньше полного потока: F^rad = (1 -

к увеличению сверхадиабатического градиента, а

- ε)L_⊙/(4πr^2b), ε ≃ 10-3 (Штикс, 1989). В уравне-

следовательно, и к увеличению тепловой энергии

нии (2) σ — постоянная Стефана-Больцмана, κ —

в зоне конвекции. Перераспределение поля в про-

непрозрачность, использованы другие стандартные

странстве с его концентрацией в изолированных

обозначения. Непрозрачность рассчитывалась по

друг от друга областях (магнитных трубках) ока-

таблицам OPAL² . Относительные (по массе) со-

зывается “энергетически выгодным”. Увеличение

держания водорода и тяжелых элементов в этих

магнитной энергии при таком перераспределении

расчетах были приняты равными X = 0.71 и Z =

компенсируется уменьшением тепловой энергии

= 0.02 соответственно.

из-за усиления конвективного переноса тепла в

Будем пренебрегать кривизной поверхностей

областях слабого поля между трубками.

постоянной температуры и плотности и считать

Данная статья делает первые шаги в количе-

плоский слой неограниченным по горизонтальным

ственном анализе этой возможности. Рассматри-

направлениям. Используется прямоугольная си-

вается слой вблизи основания конвективной зоны

стема координат, плоскость z = 0 которой совпа-

с горизонтальным магнитным полем, имитирую-

дает с нижней границей слоя. Ось z направлена

щим крупномасштабное тороидальное поле Солн-

вверх.

ца. Используется формализм средних полей, т.е.

конвекция учитывается в неявном виде путем вве-

Относительная величина отклонений градиен-

дения эффективных (турбулентных) коэффициен-

тов плотности и температуры от соответствующих

тов переноса. Учитывается зависимость эффек-

величин для адиабатической стратификации в глу-

тивной теплопроводности от напряженности поля.

бине конвективной зоны мала (≲10-5). Нижняя

Такой подход ранее применялся в изучении равно-

часть конвективной зоны “лежит практически на

весия солнечных пятен (Кичатинов, Мазур, 2000;

одной адиабате” (Гилман, 1986, с. 98). Поэтому

Кичатинов, Олемской, 2006). В отсутствие магнит-

отклонениями от адиабатических профилей

ного поля слой устойчив (в рамках формализма

T (z) = T₀ (1 - z/H) , H = c_pT₀/g,

(3)

средних полей, разумеется). С появлением магнит-

ного поля возникает неустойчивость, создающая

ρ(z) = ρ₀ (1 - z/H)γ-1

изолированные области усиленного поля. Статья

ограничивается линейным анализом устойчивости,

пренебрегаем. Здесь c_p = 3.45 × 10⁸ ед. сгс —

поэтому амплитуда создаваемых неустойчивостью

удельная теплоемкость при постоянном давле-

“сгустков” поля остается неопределенной. Расче-

нии и γ = c_p/c_v = 5/3 — показатель адиабаты.

ты, однако, показывают, что приращение тепло-

Отклонением от адиабатичности, однако, нельзя

вой энергии из-за подавления теплопроводности

пренебрегать в распределении удельной энтропии

магнитным полем существенно превышает энер-

S = c_vln(P/ρ^γ) (P —давление), градиент которой

гию самого поля. В этой связи усиление поля на

не мал по сравнению с (равным нулю) градиентом

нелинейной стадии развития неустойчивости может

для адиабатической стратификации.

быть существенным.

Через основание слоя поступает постоян-

ный поток энергии F = L_⊙/(4πr^2b) = 1.226 ×

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

× 10¹¹ эрг/(см²с). Внутри слоя энергия переносит-

Основные параметры и геометрия модели

ся излучением и конвекцией.

Рассмотрим горизонтальный слой толщиной h

вблизи основания конвективной зоны, где, как счи-

² https://opalopacity.llnl.gov

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

РАСПАД КРУПНОМАСШТАБНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

(

)1/3

Основные уравнения и исходное равновесие

√

γ-1

B_eq

πρ1/6

6α_MLT

δF

Уже отмечалось, что влияние турбулентной кон-

векции в используемом подходе средних полей учи-

где δF = F - F^rad — конвективный поток тепла.

тывается введением турбулентных коэффициентов

переноса. Строго говоря, характерный масштаб

На рис. 1 показаны следующие из (7) зависи-

мости от высоты z над основанием конвективной

турбулентной конвекции у основания конвективной

зоны для толщины слоя h = 40 тыс. км и α_MLT =

зоны не мал по сравнению с масштабом измене-

= 0.49. На высоте около 40 тыс. км турбулент-

ния средних полей. Поэтому процессы турбулент-

ного переноса здесь должны описываться нело-

ная диффузия достигает максимальной величины

и убывает как к основанию, так и к поверхности.

кальными (интегральными) уравнениями. Однако

Выбор значения α_MLT будет пояснен в дальнейшем.

нелокальная теория таких процессов до сих пор

не развита, и данная статья в отсутствие лучших

Уравнение индукции крупномасштабного поля

возможностей ограничивается локальным диффу-

(

)

зионным приближением. Влияние магнитного поля

∂B

=∇× v×B-

√η_T∇ × (√η_TB)

(8)

уменьшает величину коэффициентов переноса и

∂t

делает их анизотропными: коэффициенты перено-

учитывает диамагнитный перенос с эффективной

са для направлений вдоль и поперек магнитного

скоростью v_dia = -∇η_T/2 (Зельдович, 1956; Кра-

поля отличаются. В данной статье не учитывается

вызванная магнитным полем анизотропия, а так-

узе, Рэдлер, 1984). Уравнение движения с турбу-

же уменьшение вязкости и магнитной диффузии.

лентной вязкостью ν_T запишем в виде

Множество упрощений и приближений неизбежно

∂v_i

в сложной задаче: без них не удается выяснить, что

+ ρv_j ∇_jv_i =

(9)

∂t

именно определяет результаты.

(

)

Ожидаемая неустойчивость связана с подавле-

= ∇_jρν_T

∇_jv_i + ∇_iv_j -

δ_ij(∇ × v)

нием теплопроводности магнитным полем. Поэто-

му в уравнении переноса тепла

(

)

∇_j

B_iB_j - δ_ijB²/2

- ∇_iP + ρg_i,

(

)

4π

∂S

ρT

+ u × ∇S

(4)

где повторение индексов означает суммирование.

∂t

(

)

Число Прандтля Pr = ν_T/χ_T и магнитное число

= ∇ × ρTχ∇S - F^rad

Прандтля Pm = ν_T/η_T для турбулентной конвекции

сохраняется зависимость турбулентной температу-

близки к единице (Йозеф и др., 2003). Квазилиней-

ная теория дает для этих чисел равные значения

ропроводности χ от магнитного поля

Pr = Pm =0.8 (Кичатинов и др., 1994), которые и

χ = χ_Tφ(β),

(5)

используются в дальнейшем.

где χ_T — температуропроводность в отсутствие

В исходном для анализа устойчивости стацио-

магнитного поля и β = B/B_eq — отношение на-

нарном состоянии будем считать магнитное поле на

пряженности поля к полю равнораспределения (1).

верхней границе заданным. Так как вращение не

Функциональную зависимость от напряженности

учитывается, то все горизонтальные направления

поля возьмем из квазилинейной теории

равноправны. Будем считать поле B направленным

)

вдоль оси y. Напряженность поля B₀ на верхней

⁽β² -1

β²

φ(β) =

arctgβ

(6)

границе слоя является параметром модели. Урав-

8β²

β² + 1

нения (8) и (4) дают распределение магнитного по-

ля и градиента энтропии для исходного равновесия:

(Кичатинов и др., 1994).

Температуропроводность в отсутствие магнит-

⁽η_T(h))1/2

B(z) = B₀

(10)

ного поля, χ_T = ℓu/3, оценим из соотношения

η_T(z)

∂S

теории длины перемешивания u² = -ℓ2g

, где

4cp ∂z

∂S₀

δF

ℓ = α_MLTHp —длина перемешивания, пропорцио-

∂z

ρT χ_Tφ(β)

(

)-1

нальная шкале высот давления H_p = -P

а уравнение (9) допускает отсутствие течения, v =

Стационарное решение уравнения (4) при этом дает

= 0. Для анализа устойчивости понадобится лишь

(

)1/3

градиент удельной энтропии (10), но не ее абсолют-

(γ - 1)δF

ное значение. Тем не менее фиксируем это значение

χ_T = α4/3 (cp -cv)^T

(7)

^MLT g

36γρ

граничным условием S(h) = 0.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

КИЧАТИНОВ

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

Z, тыс. км

Рис. 1. Зависимости напряженности поля равнораспределения (слева) и турбулентной диффузии (справа) от высоты z

над основанием конвективной зоны.

10¹⁶

10¹⁵

10¹⁴

10¹³

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

B₀, кГс

Рис. 2. Зависимости магнитной энергии (11) (штриховая линия) и приращения тепловой энергии (12) (сплошная линия)

от величины поля B0 на поверхности слоя.

Примечательно, что поверхностная плотность

в присутствии поля и без него. Зависимости ве-

магнитной энергии в слое, т.е. проинтегрированная

личин (11) и (12) от напряженности поля B₀ на

по толщине плотность энергии

верхней границе показаны на рис. 2. Приращение

тепловой энергии в десятки раз больше магнитной

∫

энергии. Поэтому распад поля на трубки (Пар-

W_B =

B²(z)dz

(11)

кер, 1984) действительно может быть “энергетиче-

8π

ски выгодным”.

меньше вызванного магнитным полем приращения

тепловой энергии

Линейная задача об устойчивости

∫h

Для течений в глубине конвективной зоны

W_T = ρTδSdz.

(12)

Солнца оправдано приближение неупругости (см.,

например, Гилман, Глатцмайер, 1981), в котором

уравнение непрерывности записывается как ∇ ·

Здесь δS — приращение удельной энтропии из-за

· (ρv) = 0. Для анализа устойчивости определенно-

магнитного поля, т.е. разница между значениями S

го выше равновесия к малым возмущениям удобно

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

РАСПАД КРУПНОМАСШТАБНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

различать в возмущениях магнитного поля b

давления, что исключает неустойчивость магнит-

и плотности импульса ρv их тороидальные и

ной плавучести (Ачесон, 1978), преобразуем вклад

полоидальные составляющие:

силы тяжести следующим образом:

(

)

b=∇×

zT^′ + ∇ × (zP^′)

(13)

z × (∇ × (∇ × ρg)) =

(15)

ρg

^ρg Δ₂S,

∇ × (zW + ∇ × (zV )),

=-c_p (z×∇)×(z×∇)S=-

где z — единичный вектор вдоль оси z, штрих в

где Δ₂ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² — двухмерный лапла-

обозначениях потенциалов тороидального (T^′) и

сиан. Приходим к следующему уравнению для по-

полоидального (P^′) поля отличает их от обозначе-

лоидального течения:

)

ний температуры и давления. Представление (13)

∂

⁽⁽ ∂²

подобно используемому в задачах об устойчиво-

−k²

(16)

∂t

∂z²

сти в сферической геометрии (Чандрасекар, 1961,

(

)

с. 622) и обеспечивает соленоидальность магнит-

ρg

ik₂

∂²P^′

∂²B

S+

P^′ - k²BP^′

ных возмущений и течений.

c_p

4π

∂z²

)(

)

Линеаризация уравнений (4), (8) и (9) относи-

⁽ ∂²

∂ 1∂V

−k²

ρν_T

-ν_Tk²V

тельно малых возмущений дает систему из пяти

∂z²

∂z ρ ∂z

уравнений линейной задачи об устойчивости: че-

)

⁽1 ∂²(ρν_T)

1 ∂(ρν_T) ∂ρ

тыре уравнения для полоидальных и тороидальных

+ 2k²

составляющих магнитного поля и течения, а также

∂z²

ρ²

∂z

уравнение для возмущений энтропии. Коэффици-

Вывод остальных уравнений системы затруднений

енты этих уравнений не зависят от координат x и

не вызывает и комментариев не требует. Поэтому

y. Поэтому зависимость от этих координат можно

эти уравнения выписывать не будем.

задать в виде exp(ik₁x + ik₂y). Два уравнения по-

лучаемой системы требуют комментариев.

Условия на нижней границе слоя предпола-

гают поверхность раздела со сверхпроводником,

Уравнение для возмущений энтропии

отсутствие поверхностной плотности внешних сил,

∂S

∂

равенство нулю нормальных составляющих маг-

(14)

нитного поля и скорости, а также отсутствие воз-

∂t

ρT ∂z

(

))

мущений конвективного потока тепла:

χ_T dS₀

∂P^′

)

× ρT φ^′(β)

k₂

-k₁T′

∂

⁽W

B_eq

∂z

(√ηTT′) =∂

(17)

(

)

∂z

∂z ρ

∂

∂S

ρT χ_Tφ(β)

∂S

ρT ∂z

∂z

= P^′ = V = 0, z = 0.

∂z

∂S₀

- k²χ_Tφ(β)S -

На (искусственной) верхней границе (z = h) все

∂z

возмущения полагались равными нулю.

содержит вклад магнитных возмущений (первое

Уравнения для возмущений решались численно

слагаемое в правой части). Этим рассматриваемая

с конечно-разностным представлением производ-

задача отличается от стандартного анализа кон-

ных по координате z. Неоднородность решений

вективной устойчивости. Дополнительный вклад

вблизи нижней границы может быть большой. По-

появился из-за зависимости эффективной темпе-

этому использовалась неоднородная сетка с боль-

ратуропроводности (5) от магнитного поля. Он

шей плотностью узлов вблизи нижней границы:

[

(

)]

во многом определяет решение задачи. В уравне-

i - 3/2

z₁ = 0, z_i = h 1 - cos π

(18)

нии (14) k² = k²¹ + k²² и φ^′ означает производную

2N - 3

функции (6).

2≤i≤N,

Для рассмотрения соленоидального тече-

где N — число узлов. Последующие результаты

ния (13) важно исключить в уравнении (9) потенци-

получены для N = 52. Несколько пробных расче-

альную составляющую. Для этого от уравнения (9)

тов для большего числа узлов дали те же результа-

берется ротор, z-составляющая возникающего при

ты.

этом уравнения дает уравнение для тороидального

течения. Уравнение для полоидального течения

Зависимость малых возмущений от времени

получается как z-составляющая после двукрат-

можно искать в виде exp(σt), что приводит к за-

ного взятия ротора. Пренебрегая возмущениями

даче на собственные значения (здесь и далее σ —

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

КИЧАТИНОВ

0.0100

0.0020

0.0001

0.3

0.5

B₀, кГс

140

135

130

125

120

115

110

0.3

0.5

B₀, кГс

Рис. 3. Вверху: скорости роста изгибных (сплошная линия) и перестановочных (пунктир) возмущений в зависимости

от напряженности поля B0. Внизу: длина волны изгибных и перестановочных возмущений, для которой достигаются

наибольшие скорости роста, показанные на верхней панели.

собственное значение линейной задачи). Поло-

более реалистичной модели α_MLT должен зависеть

жительная вещественная часть ℜ(σ) > 0 означает

от глубины и уменьшаться с глубиной.

неустойчивость.

Из уравнений для малых возмущений можно

увидеть, что собственные значения не изменяются

Неустойчивость, разумеется, может возникнуть

при обращении знаков волновых чисел k₁ и k₂,

и без магнитного поля, если турбулентные коэф-

как по отдельности, так и одновременно. Поэтому

фициенты переноса задать слишком малыми (Ту-

можно ограничиться обсуждением результатов для

оминен и др., 1994). Чем меньше турбулентная

положительных значений волновых чисел.

теплопроводность, тем больше градиент энтро-

пии (сверхадиабатичность) в исходном состоянии.

При достаточно малой теплопроводности возни-

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

кает обычная конвективная неустойчивость. При

этом постановка задачи теряет внутреннюю со-

Собственные значения для всех неустойчивых

гласованность, так как турбулентные коэффици-

возмущений являются вещественными (смена

енты переноса уже нельзя считать адекватной па-

устойчивости). Не было случаев, когда наиболь-

раметризацией конвективной турбулентности. Ве-

шей скоростью роста обладали возмущения, обе

личина турбулентной диффузии (7) определяет-

составляющих волнового вектора которых k₁ и

ся параметром α_MLT. Пороговым значением для

k₂

были отличны от нуля. В зависимости от

развития конвективной неустойчивости является

величины магнитного поля B₀ наиболее быстро

α_MLT = 0.48. В последующих расчетах использу-

растут возмущения с волновым вектором вдоль оси

ется слабо надкритическая величина α_MLT = 0.49.

x или y. Поэтому ограничимся рассмотрением этих

Такой выбор обоснован в предшествующей работе

двух случаев. Возмущения с k₁ = 0 и k₂ = 0 при-

(Кичатинов, Мазур, 2000). Относительно малая

водят к деформации (изгибанию) силовых линий

величина α_MLT = 0.49 связана с рассмотрением

магнитного поля. Поэтому будем называть такие

глубокой области конвективной зоны вблизи ее ос-

возмущения изгибными. В случае k₁ = 0 и k₂ = 0

нования. Чем выше рассматриваемая область, тем

происходит лишь перестановка силовых линий.

больше критическая величина α_MLT. Вероятно в

Назовем такие возмущения перестановочными.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

2019

№1

РАСПАД КРУПНОМАСШТАБНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

0.1000

0.0100

0.0010

0.0001

0.1

1.0

B₀, кГс

140

130

120

110

100

0.1

1.0

B₀, кГс

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для Beq, уменьшенного в три раза по сравнению с рис. 1.

Магнитное поле может оказывать противодей-

между тепловой и магнитной энергией также воз-

ствие течению, изгибающему силовые линии. По-

растает по сравнению с рис. 2. Однако структура

этому кажется очевидным, что магнитное подавле-

неустойчивых возмущений, к обсуждению которой

ние турбулентной теплопроводности должно при-

мы переходим, слабо зависит от определения B_eq.

водить к неустойчивости перестановочных мод, для

Дальнейшее обсуждение относится к определению

которых деформация силовых линий не происхо-

B_eq согласно формуле (7) и рис. 1.

дит. Однако на рис. 3 показано, что скорости роста

На рис. 5 показана структура наиболее быстро

изгибных и перестановочных возмущений близки

растущей перестановочной моды для B₀ = 1 кГс.

по величине, причем для слабых полей быстрее

Возмущения магнитного поля сконцентрированы

растут изгибные возмущения. Это следствие по-

в нижней части слоя. Усиления (положительные

давления теплопроводности магнитным полем. Ес-

возмущения) поля здесь связаны со сходящим-

ли не учитывать этот эффект (пренебречь пер-

ся горизонтальным течением. Восходящие течения

вым слагаемым в правой части уравнения (14),

происходят в относительно горячих областях поло-

то перестановочная мода доминирует для любых

жительных возмущений энтропии.

значений B₀.

Наиболее быстро растущая изгибная мода по-

Численные эксперименты Карака и др. (2014)

казана на рис. 6. Для иллюстрации структуры поля,

показывают, что формулы (5) и (6) неплохо вос-

возникающей при развитии данной моды неустой-

производят зависимость от магнитного поля, но

чивости, на рис. 7 показана суперпозиция фонового

только в том случае, если B_eq (1) определять не

поля и его возмущения с амплитудой около 30%

для исходной турбулентности, которая имела бы

от фонового поля (разумеется, такое представление

место в отсутствие магнитного поля, а по факти-

не вполне корректно: линейная задача не приме-

ческому течению в магнитном поле. Это эквива-

нима для больших возмущений). Заметим, что, в

лентно уменьшению величины B_eq по сравнению

отличие от перестановочной моды (рис. 5), теперь

с используемой в наших расчетах. Поэтому были

присутствует неоднородность вдоль оси y, то есть

проведены также расчеты с B_eq, уменьшенным в

вдоль линий фонового поля. Горизонтальные тече-

три раза по сравнению с рис. 1. Результаты пока-

ния происходят вдоль линий фонового поля и маг-

заны на рис. 4. В этом случае изгибные моды до-

нитных возмущений не вызывают. Усиления поля у

минируют для большего интервала значений B₀, и

основания слоя происходят в области нисходящего

скорости роста существенно возрастают. Различие

течения.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

КИЧАТИНОВ

Магнитное поле

100

120

Линии тока

100

120

Изэнтропийные линии

100

120

X, тыс. км

Рис. 5. Сверху вниз: изолинии возмущений магнитного поля, линии тока для возмущений скорости и изолинии

возмущений энтропии для наиболее быстро растущей перестановочной моды для B0 = 1000 Гс. Сплошные (пунктирные)

линии показывают положительные (отрицательные) уровни и циркуляцию по (против) часовой стрелке.

Перестановка силовых линий вряд ли может

величины возможны на основе решения линейной

привести к существенному усилению поля. Для

задачи.

возможного образования областей с большой на-

На рис. 5 и 6 показано, что характерный размер

пряженностю поля более интересна изгибная мода

области усиления поля по обоим горизонтальным

(рис. 6 и 7). В этом случае перетекание вещества

направлениям L_x ≈ L_y ≈ 50 тыс. км. Возмущения

вдоль силовых линий может существенно повлиять

сосредоточены у основания конвективной зоны. Их

на величину поля. Изгибные возмущения, однако,

вертикальный размер L_z ≈ 10 тыс. км. Поэтому

не создают трубок: они однородны вдоль гори-

магнитная энергия W_M ≈ B²L2xL_z/(8π) в этой об-

зонтального направления, нормального к фоново-

ласти

му полю. Области усиленного поля, ограниченные

(

)₂

по обоим горизонтальным направлениям, могут

W_M ≈ 10³³

эрг,

(19)

возникать в результате суперпозиции изгибных и

1kG

перестановочных возмущений (так же, как ячейки

где B — характерная напряженность фонового

Бенара получаются в линейной теории конвекции

поля. Простая и, вероятно, довольно грубая оцен-

в результате суперпозиции неустойчивых мод с

ка (19) является первой попыткой установления

различными направлениями горизонтальных вол-

соответствия между крупномасштабным полем

новых векторов; Чандрасекар, 1961, с. 47).

солнечного динамо и активными областями Солн-

Сравнение тепловой и магнитной энергий

ца. Примечательно, что эта оценка согласуется по

(рис. 2) показывает, что усиление поля в неустой-

порядку величины с магнитной энергией активных

чивых возмущениях может быть значительным.

областей (Сун и др., 2012; Лившиц и др., 2015).

Определить его величину могут только нелинейные

Модели динамо дают напряженность торои-

расчеты. Однако некоторые оценки по порядку дального поля у основания конвективной зоны в

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

РАСПАД КРУПНОМАСШТАБНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Линии поля

100

120

Линии тока

100

120

Изэнтропийные линии

100

120

Y, тыс. км

Рис. 6. Сверху вниз: силовые линии возмущений магнитного поля, линии тока и изолинии возмущений энтропии

изгибной моды для B0 = 1000 Гс. Сплошные (пунктирные) линии показывают положительные (отрицательные) уровни и

циркуляцию по (против) часовой стрелке.

Линии поля

100

120

Y, тыс. км

Рис. 7. Силовые линии суперпозиции фонового магнитного поля и магнитных возмущений изгибной моды рис. 6.

Амплитуда магнитных возмущений положена равной около 30% от фонового поля.

несколько килогаусс. Это поле должно усилиться

рение магнитных трубок при таком подъеме снова

предполагаемой неустойчивостью в десятки раз

уменьшает напряженность поля до нескольких ки-

для того, чтобы его подъем к солнечной поверх-

логаусс, сохраняя оценку (9) для магнитной энер-

ности соответствовал наблюдениям активных об-

гии. На рис. 3 и 4 показано, что характерное время

ластей (Дасилва, Чудури, 1993). Напряженность

поля в солнечных пятнах показывает, что расши- развития неустойчивости от одного до нескольких

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019

КИЧАТИНОВ

месяцев мало по сравнению с 11-летним периодом

15.

Кичатинов Л.Л., Олемской С.В., Письма в Аст-

солнечного цикла.

рон. журн. 32, 357 (2006)

[L.L. Kitchatinov and

S.V. Olemskoi, Astron. Lett. 32, 320 (2006)].

Работа выполнена в рамках базового финанси-

16.

Кичатинов Л.Л., Олемской С.В., Письма в Аст-

рования программы ФНИ II.16 и при поддержке

рон. журн. 37, 713 (2011)

[L.L. Kitchatinov and

Российского фонда фундаментальных исследова-

S.V. Olemskoy, Astron. Lett. 37, 656 (2011)].

ний (грант 17-02-00016).

17.

Кичатинов и др. (L.L. Kitchatinov, V.V. Pipin, and

G. R ¨udiger), Astron. Nachr. 315, 157 (1994).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

18.

Краузе Ф., Рэдлер К.-Х., Магнитная

гидродинамика средних полей и теория динамо

Ачесон (D.J. Acheson), Phyl. Trans. Roy. Soc.

(М: Мир,

1984)

[F. Krause and K.-H. R ¨adler

London A 289, 459 (1978).

Mean-Field

Magnetohydrodynamics

and

Бэбкок (H.W. Babcock), Astrophys. J. 133, 572

Dynamo Theory (Berlin, Akademie-Verlag, 1980)].

(1961).

19.

Лайтс и др. (B.W. Lites, A. Skumanich, and

Вайс (N.O. Weiss), Proc. Roy. Soc. London A 293,

V. Martinez Pillet), Astron. Astrophys. 333, 1053

310 (1966).

(1998).

Вебер и др. (M.A. Weber, Y. Fan, and M.S. Miesch),

20.

Лейтон (R.B. Leighton), Astrophys. J. 156, 1 (1969).

Astrophys. J. 741, 11 (2011).

21.

Лившиц и др. (M.A. Livshits, G.V. Rudenko,

Гилман (P.A. Gilman), Physics of the Sun (Ed.

M. M. Katsova, and I.I. Myshyakov), Adv. Space Res.

P. A. Sturrock, Dordrecht, D. Reidel Publ. Co., 1986),

55, 920 (2015).

v. 1, p. 95.

Гилман,

Глатцмайер

(P.A.

Gilman and

22.

Паркер Е., Космические магнитные поля (М.:

G.A. Glatzmaier), Astrophys. J. Suppl. Ser. 45,

Мир, ч. 1, 1982) [E.N. Parker Cosmical Magnetic

335 (1981).

Fields (Oxford, Clarendon Press, 1979)].

Дасилва, Чудури (S. D’Silva and A.R. Choudhuri),

23.

Паркер (E.N. Parker), Astrophys. J. 283, 343 (1984).

Astron. Astrophys. 272, 621 (1993).

24.

Туоминен и др. (I. Tuominen, A. Brandenburg,

Даси-Эспиг и др. (M. Dasi-Espuig, S.K. Solanki,

D. Moss, and M. Rieutord), Astron. Astrophys. 284,

N.A. Krivova, R. Cameron, and T. Pe ˜nuela), Astron.

259 (1994).

Astrophys. 518, A7 (2010).

25.

Сун и др. (X. Sun, J.T. Hoeksema, Y. Liu,

Ерофеев (D.V. Erofeev), Multi-Wavelength

T. Wiegelmann, K. Hayashi, Q. Chen, and

Investigation of Solar Activity, IAU Symp.

J. Thalmann), Astrophys. J. 748, 77 (2012).

223

(Ed. A.V. Stepanov, E.E. Benevolenskaya,

26.

Хейл и др. (G.E. Hale, F. Ellerman, S.B. Nicholson,

A.G. Kosovichev, Cambridge, UK: Cambridge Univ.

and A.H. Joy), Astrophys. J. 49, 153 (1919).

Press, 2004), p. 97.

27.

Хлыстова, Ториуми (A. Khlystova and S. Toriumi),

10.

Зельдович Я.Б., ЖЭТФ

31,

154

(1956)

Astrophys. J. 839, 63 (2017).

[Ya.B. Zel’dovich, Sov. Phys. JETP 4, 460 (1957)].

28.

Цван (C. Zwaan), Sunspots: Theory and

11.

Йозеф и др. (T.A. Yousef, A. Brandenburg, and

Observations (Ed. J.H. Thomas, N.O. Weiss,

G. R ¨udiger), Astron. Astrophys. 411, 321 (2003).

Kluwer Academic Publishers, 1992), p. 75.

12.

Калигари и др. (P. Caligari, F. Moreno-Insertis, and

29.

Чандрасекар (S. Chandrasekhar), Hydrodynamic

M. Sch ¨ussler), Astrophys. J. 441, 886 (1995).

and Hydromagnetic Stability (Oxford: Clarendon

13.

Карак и др. (B.B. Karak, M. Rheinhardt,

Press, 1961).

A. Brandenburg, P.J. K ¨apyl ¨a, and M.J. K ¨apyl ¨a),

30.

Чудури (A.R. Choudhuri), Nature’s Third Cycle

Astrophys. J. 795, 16 (2014).

(Oxford University Press, 2015).

14.

Кичатинов, Мазур (L.L. Kitchatinov and

M. V. Mazur), Solar Phys. 191, 325 (2000).

31.

Штикс (M. Stix), The Sun (Springer, Berlin, 1989).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№1

2019