ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 45, № 8, с. 591-604

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ ГРАНИЦЫ

МАГНИТОСЛОЯ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

¹Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 603950, Россия

²Dept. of Physics and Astronomy, Texas A&M Univ., College Station, TX 77843, USA

³Intel Corp., 5000 W Chandler Blvd, Chandler, AZ 85226, USA

Поступила в редакцию 01.03.2019 г.; после доработки 22.04.2019 г.; принята к публикации 24.04.2019 г.

Построена аналитическая модель квазистационарного токового слоя в бесстолкновительной плазме,

описывающего границу магнитного переходного слоя, образованного солнечным (звездным) ветром.

Модель существенно расширяет рамки магнитогидродинамического подхода и обеспечивает кине-

тическое согласование неоднородных анизотропных функций распределения электронов и ионов

при различных эффективных температурах. Согласно проведенным оценкам, она позволяет дать

качественное описание токовой структуры головной ударной волны и магнитопаузы для широкого

класса объектов, включая планетные магнитосферы, модифицированные налетающим звездным

ветром; приграничные слои магнитных облаков, заполненных плазмой и двигающихся от звезды сквозь

окружающую плазму ветра; высокие корональные магнитные арки, обдуваемые ветром на звездах

поздних спектральных классов.

Ключевые слова: токовые слои, солнечный ветер, магнитопауза, головная ударная волна, магнито-

слой, бесстолкновительная плазма.

DOI: 10.1134/S0320010819080047

ВВЕДЕНИЕ

или так называемое магнитное облако солнечного

(звездного) ветра, движущееся со скоростью,

До сих пор мало исследованными — как с

отличающейся от скорости окружающего ветра.

теоретической, так и с наблюдательной точек

Мы не будем рассматривать явление пересо-

зрения — остаются токовые структуры на границах

единения магнитных силовых линий, обсуждавше-

магнитных переходных слоев (magnetosheaths)

еся, например, в работах Гослинга, Сабо, 2008,

солнечного (звездного) ветра, т.е. в районах, в

Зелёного, Веселовского, 2008, Иствуда и др., 2013,

которых совершается переход от области слабого

Оиросета и др., 2016, Хасаписа и др., 2017, Нор-

к области сильного магнитного поля (см., напри-

грена и др., 2018, Касема и др., 2018, Толман и др.,

мер, Веселовский, 2007, Зелёный, Веселовский,

2018, Пхана и др., 2018, а ограничимся наиболее

2008, Баумджохан и др., 2010, Ричардсон, 2011,

простой квазистационарной плоскослоистой ситу-

Хейккила, 2011, Ву, Леппинг, 2011, Бланко и

ацией, в которой две области с квазиоднородной

др., 2011, Хабарова и др., 2017). В статье рас-

плазмой различной концентрации и с квазиодно-

сматриваются модели распределенных токовых

родными магнитными полями различной величины,

структур на внешней и внутренней границах

ортогональными некоторой оси x, разделены со-

указанных слоев — головной ударной волне и

гласующим их токонесущим слоем неоднородной

магнитопаузе — в бесстолкновительной плазме,

вдоль этой оси плазмы, имеющей анизотропные

где на масштабе меньше длины свободного пробега

распределения частиц. Оставляя также в стороне

частиц тангенциальная компонента магнитного

разработанное нами обобщение на случай шира

поля, приносимого ветром, может изменяться в

силовых линий магнитного поля (Кочаровский и

несколько раз или даже во много раз в зависимости

др., 2017, 2016), будем считать, что магнитное

от магнитного поля плазменного объекта, обду-

поле всюду ориентировано параллельно оси y, а

ваемого ветром. Таким объектом может служить

создающий его ток электронов и ионов плазмы

магнитосфера планеты (экзопланеты), отдельная

всюду направлен вдоль оси z декартовой системы

высокая арка магнитного поля в короне звезды

координат (x, y, z).

^*Электронный адрес: ant.a.nech@gmail.com

Задачей данной работы является построение

591

592

КОЧАРОВСКИЙ и др.

простейшей детальной аналитической модели по-

их анизотропных функций распределения. В на-

добных слоев, учитывающей согласованную неод-

стоящей статье будут использованы возможно-

нородность анизотропии функций распределения

сти данного подхода для аналитического описания

электронов и ионов, а также их различные эффек-

простейшей одномерной модели стационарных то-

тивные температуры. Последние в иллюстративных

ковых структур на границе магнитослоя, обуслов-

целях мы будет брать типичными для плазмы сол-

ленного набеганием солнечного (звездного) ветра

нечного ветра, имея в виду качественное сравнение

на замагниченную плазму.

полученных результатов с имеющимися наблю-

Статья состоит из шести разделов. Приведя

дениями. Представленная модель является суще-

исходные уравнения в разд. 1, мы формулируем

ственным расширением хорошо известных магни-

предлагаемую модель токового слоя и обсуждаем

тогидродинамических численных моделей (Рома-

ее основные свойства в разд. 2. Разд. 3 посвя-

шец и др., 2008, Лопез и др., 2011, Хейккила, 2011,

щен простейшему асимметричному токовому слою,

Турк и др., 2014, Измоденов, Алексашов, 2015), ко-

образованному одной токонесущей фракцией за-

торые ограничены большими, столкновительными

ряженных частиц. В разд. 4 приведены приме-

масштабами и не дают адекватного описания токо-

ры двухкомпонентных токовых слоев и сделаны

вой структуры головной ударной волны и магнито-

оценки для реальных условий плазмы солнечного

паузы, для которых характерны малые масштабы,

ветра. Некоторые особенности трехкомпонентных

порядка гирорадиусов частиц (Вигант и др., 2005,

токовых слоев рассмотрены в разд. 5. В разд. 6 об-

Гослинг, Сабо, 2008, Бёрч, Пхан, 2016, Перроне

суждаются возможные обобщения модели, в част-

и др., 2017, Норгрен и др., 2018). Отличительная

ности, при наличии встречных токов электронов

особенность имеющихся там токовых слоев состо-

или ионов по разные стороны от центра токового

ит в анизотропном и в целом немаксвелловском

слоя. Заключение содержит общие выводы.

характере функций распределения электронов и

ионов по скоростям, причем энергии электронов и

1. ПОТЕНЦИАЛ ГРЭДА-ШАФРАНОВА

ионов могут быть одного порядка величины. Кине-

ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ

тическое описание границы между двумя областя-

ми плазмы с различными концентрациями частиц,

В рассматриваемой плоскослоистой стационар-

замагниченной различными внешними магнитными

ной задаче пространственная структура функции

полями, разрабатывалось давно (ср., например,

распределения f_α(x, v) частиц сорта α в отсутствие

Грэд, 1961, Морозов, Соловьев, 1961, Сигов, 1964,

столкновений и электрического поля определяется

Рот и др., 1996, де Кейзер, Рот, 1997, Моттез, 2003,

силой Лоренца (см., например, Лифшиц, Питаев-

фон Альфтан и др., 2014), однако в интересующем

ский, 1979, Гэри, 1993):

нас случае детальная аналитическая модель до сих

∂f_α

e_α

пор отсутствовала.

m_αv_x

[v,B]∂fα

= 0,

(1)

∂x

∂v

Решить поставленную задачу для немаксвел-

где m_α, e_α — масса и заряд частицы сорта α,

ловской неоднородной плазмы позволяет разра-

v —вектор скорости частицы, c —скорость света

ботанная нами теория самосогласованных магни-

тостатических структур, основанная на решении

в вакууме. Согласованное магнитное поле

^B(x)

уравнений Власова-Максвелла с использованием

определяется в соответствии с законом Ампера,

инвариантов движения частиц (Кочаровский и др.,

rot^B = 4π⃗j/c, суммарной плотностью тока всех

∑

∫

2016). Она базируется на апробированном нами

частиц

плазмы —⃗j(x) =α eα

vf_α(x,v)d³v.

эффективном псевдопотенциальном подходе, ко-

Локальная концентрация фракции частиц равна

торый облегчает нахождение новых классов ней-

∫

n_α(x) =

f_αd³v.

тральных магнитостатических токовых конфигу-

раций в бесстолкновительной многокомпонентной

Рассмотрим плоские слои без шира магнитно-

плазме, как релятивистских, так и нерелятивист-

го поля, ограничиваясь векторным потенциалом с

ских. Подход выходит далеко за рамки известных

единственной отличной от нуля компонентой A_z(x)

обобщений нерелятивистской модели Харриса и

(B_x,z = 0) и функциями распределения f_α(v, V_z ),

ряда других частных моделей, используемых для

удовлетворящими уравнению (1), как функции ин-

описания рассматриваемых токовых слоев. Полу-

вариантов движения соответствующих частиц —

ченные уравнения типа Грэда-Шафранова (Грэд,

величины скорости v и ее проекции на ось z,

1961, Шафранов, 1963, Бескин, 2006) позволяют

дополненной векторным потенциалом, V_z = v_z +

аналитически исследовать и сравнить общие свой-

+ e_αA_z/(m_αc). (Рассматриваемые распределения

ства и возможную эволюцию токовых конфигу-

частиц являются однозначными функциями ука-

раций. Теория автоматически учитывает сложное

занных инвариантов на всем протяжении переход-

движение как захваченных, так и пролетных ча-

ных слоев.) В этом случае токи текут вдоль оси z,

стиц, а также пространственную неоднородность

а магнитное поле параллельно оси y. С учетом

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

593

определения вектор-потенциала, B_y = -dA_z/dx,

уравнению (1) с заданным (внешним для них) полем

закон Ампера принимает вид уравнения Грэда-

^B(x), а в остальном являются произвольными. Для

Шафранова (Кочаровский и др., 2016, Бескин,

простоты будем считать их холодными изотроп-

2006)

ными, хотя в реальных магнитослоях они могут

обладать значительной кинетической энергией и во

d²A_z

dU(A_z)

(2)

многом обуславливать имеющуюся там волновую

dx²

dA_z

турбулентность с разными масштабами вплоть до

с потенциалом, определяемым газокинетическим

дебаевского. Последний будет предполагаться ма-

давлением плазмы вдоль оси неоднородности x:

лым по сравнению с характерными гирорадиусами

∫

∑

частиц токонесущих фракций, что в определенных

U (A_z) = 8π

m_αv2xf_αd³v.

(3)

условиях позволяет рассчитывать на сохранение

рассматриваемой крупномасштабной структуры

токового слоя и его квазинейтральности при учете

Решения этого уравнения допускают любые рас-

указанной турбулентности, являющейся нестацио-

пределения частиц по скоростям v_y, отвечающие

нарной и включающей электрические поля, в том

отсутствию тока вдоль оси y. Эти распределения

числе невихревые и нарушающие квазинейтраль-

не сказываются на структуре токового слоя и для

ность на достаточно малых масштабах.

определенности ниже выбраны максвелловскими.

Уравнение (2) имеет первый интеграл, выражаю-

Пусть для токонесущих фракций энергетиче-

щий баланс давлений магнитного поля и кинетиче-

ские факторы F_e,i(v) в (4)-(5) являются максвел-

ского давления частиц в равновесных плоскослои-

ловскими с фиксированными температурами элек-

стых конфигурациях: B2y + 2U = const.

тронов и ионов T_e,i (в энергетических единицах):

(

)

v²

2. МОДЕЛЬ ТОКОВОГО СЛОЯ МЕЖДУ

Fα(v) = (2πTα/mα)-3/2 exp

(6)

-v²

ОБЛАСТЯМИ ПЛАЗМЫ С РАЗЛИЧНЫМИ

Tα

√

ВЕЛИЧИНАМИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

где vTα =

2T_α/m_α. Введенное в (4)-(5) обреза-

Переход между областями по-разному намаг-

ние распределений Максвелла за счет ступенчатой

ниченной однородной плазмы неизбежно содержит

функции Хевисайда — это способ их простейшей

токовый слой, а следовательно, область неодно-

модификации, ведущей к созданию анизотропных

родной плазмы с анизотропными распределениями

функций распределения с ненулевым электриче-

частиц (электронов и ионов) по скоростям. Для

ским током, зависящих только от упомянутых ин-

простоты считая эту плазму электрон-протонной

вариантов движения частиц, v и V_z, а следова-

(α = e,i), возьмем функции распределения частиц в

тельно, гарантированно удовлетворяющих кине-

виде

тическим уравнениям (1). Наряду с указанными

f_e(x,v,v_z) =

(4)

конкретными геометрическими и функциональны-

(

)

ми ограничениями на магнитное поле, плотности

= N_eF_e(v)H

-v_z +

A_z(x)

токов и распределения частиц по скоростям, сле-

m_ec

дует подчеркнуть основные общие ограничения на

+ n_e0(x)F_e0(v),

получаемые ниже решения, а именно: их стацио-

нарность, бесстолкновительный характер плазмы,

f_i(x,v,v_z) =

(5)

ее электронейтральность и наличие внешнего маг-

(

)

нитного поля по крайней мере с одной стороны от

= N_iF_i(v)H v_z +

A_z(x)

согласованного распределенного токового слоя.

m_ic

Потенциал Грэда-Шафранова (3) в этом случае

+ n_i0(x)F_i0(v),

легко вычисляется и равен

(

)

где e — элементарный (положительный) заряд,

∑

eA_z

U (A_z) =

2πN_αT_αerf

(7)

H(...) — функция Хевисайда, функции F_α(v) нор-

m_αvTα c

мированы на 1, а постоянные величины N_α — это

α=e,i

концентрации токонесущих частиц вдали от слоя, в

где использована функция ошибок erf(x) =

области, где A_z → +∞ (т.е. H(...) = 1). Функции

∫_x

=√

e-t2 dt и выбор постоянных интегрирова-

Fα0(v) нормированы на единицу и отвечают не

дающим вклада в ток фракциям электронов и

ния согласован с калибровкой вектор-потенциала.

ионов с концентрациями nα0(x), обеспечивающими

Решения уравнения Грэда-Шафранова (2) зависят

электронейтральность плазмы. В рамках рассмат-

от произвольной постоянной U₀, которую будем

риваемой стационарной задачи эти фракции, в об-

полагать не меньшей максимума функции U(A_z).

щем случае анизотропные, должны удовлетворять

Соответственно профили величины монотонно

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

594

КОЧАРОВСКИЙ и др.

растущего магнитного поля и локализованной

Согласно формулам (8), (11), выполняется соотно-

плотности тока параметрически описываются

шение баланса давлений

формулами

∑

B(A_z) ≡ -B_y(A_z ) =

(8)

B²

+ n_αT_α = const.

(12)

⎡

⎤1/2

8π

(

)

α=e,i

∑

eA_z

=^⎣2U₀ -

4πN_αT_αerf

⎦

m_αvTα c

α=e,i

Для рассматриваемых нейтральных токовых сло-

ев функции распределения электронов и прото-

c dU

нов (4)-(5) должны удовлетворять условию

j_z(A_z) ≡

(9)

4π dA_z

[

]

(

)₂

n_i + n_i0 - n_e - n_e0 = 0,

(13)

∑

eA_z

√

N_αvTα exp

4π

m_αvTα c

α=e,i

которое мы всегда будем предполагать выполнен-

ным за счет выбора профилей не несущих тока

∫Az

фракций n_e,i0(x), согласованных с получающимися

dA^′

x(A_z) =

(10)

профилями токонесущих фракций (11) n_e,i(x). От-

B(A^′)

метим, что при выборе противоположных знаков у

проекции скорости v_z в аргументах функций Хеви-

Здесь условный центр слоя, A_z = 0, помещен

для определенности в точку x = 0 и использова-

сайда для электронов и протонов, как в (4)-(5), и

на положительная величина B = -B_y, поскольку

при условии равенства их концентраций вдали от

не меняющая знак проекция магнитного поля B_y

слоя N_e = N_i подобная компенсация потребуется

выбрана отрицательной. Профили концентрации

только внутри слоя на масштабах, как мы увидим,

анизотропных фракций электронов и ионов можно

порядка гирорадиуса частиц.

найти интегрированием их функций распределе-

ния (4)-(5) по пространству скоростей с подстав-

ленными максвелловскими функциями (6):

Полная поверхностная плотность тока, опре-

(

)

деляющая скачок магнитного поля в переходном

N_α

eA_z

n_α(A_z) =

erf

(11)

слое, равна

m_αvTα

∑



2c N_αT_α

+∞



I_z = -

B(x)

[

]1/2

[

]1/2 .

(14)

4π

−∞

∑

2U₀ + 4π

N_αT_α

+ 2U₀ - 4π N_αT_α

∫

Случай малого скачка магнитного поля,

f_α ((4) или (5)): 〈ξ〉_α =

ξf_α(x,v)d³v/n_α(x). Вы-

числение дает:

B(-∞) - B(∞) ≪ B(0) =

^√2U₀, отвечает значе-

∑

(

)

ниям U₀ ≫ 2π_α N_αT_α и I_z ≈ c_α N_αT_α/B(0) ≪

exp

-a²

τ_α(A_z) = 2a_α

(16)

≪ cB(0)/(4π), а случай большого скачка, B(∞) ≪_∑

√π 1 + erf (a

α)

≪ B(-∞), — значениям 0 < U₀ - 2πα N_αT_α ≪_∑∑

[

]₂

(

)

≪ 4π_α N_αT_α и I_z ≈ 2c_α N_αT_α/B(-∞) ≈

exp

-a²

√

≡

≈ cB(0)/(2π

2).

√π 1 + erf(a

α)

Степень анизотропии распределения токонесу-

1 d²

щей фракции определим как

≡-

ln [1 + erf(a_α)] .

2 da2α

〈v2z〉_α - 〈v_z〉2α

τ_α = 1 -

(15)

Здесь введено обозначение a_α = eA_z(x)/ (m_αvTα c).

〈v2x〉_α

На периферии слоя справа, при x → +∞, т.е.

где угловые скобки обозначают усреднение в про-

со стороны набегающего солнечного (звездного)

странстве скоростей по функции распределения

ветра, где магнитное поле предполагается наи-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

595

N_e

f_e(p_z)

2 m

Te e

f_i(p_z)

2 m

Ti i

p_z

e e

i i

Рис. 1. Функции распределения по проекции импульса pz для анизотропных фракций электронов и ионов (4)-(5)

при фиксированной положительной величине eAz/c порядка теплового импульса электронов

^√2meTe. Температура

электронов вдвое меньше температуры ионов (протонов с модельной массой mi = 18me), а их концентрации вдали от

слоя выбраны одинаковыми: Ti = 2Te, Ne = Ni. Заливкой помечены дающие вклад в ток (нескомпенсированные) части

обрезанных максвелловских распределений.

меньшим, данная фракция плазмы изотропна, τ_α →

нарастает при смещении вдоль оси p_z для значений

→ 0; в центре анизотропия равна τ_α(0) = 2/π;

p_z ≳ -√2meTe.

слева, при x → -∞, где A_z → -∞ и концентрация

частиц (11) крайне мала, nα → 0, анизотропия

максимальна, τ_α → 1, поскольку имеются толь-

3. АСИММЕТРИЧНЫЙ ТОКОВЫЙ СЛОЙ

ко частицы с большими положительными (для

Как следует из (14), вклад частиц той или иной

протонов (5)) или отрицательными (для электро-

фракции в полный ток определяется плотностью их

нов (4)) проекциями скорости на ось z. Характер

кинетической энергии N_αT_α. Таким образом, если

анизотропии существенен для анализа возможных

плотность энергии частиц одной фракции суще-

неустойчивостей рассматриваемого токового слоя,

ственно превышает суммарную плотность энергии

которые требуют специального исследования и не

всех остальных, токовый слой можно считать од-

будут затрагиваться в данной статье.

нокомпонентным. Например, это может быть элек-

тронная фракция в солнечном ветре или ионная —

Рисунок 1 поясняет появление тока в плазме

в магнитослое Земли.

с функциями распределения (4)-(5) и конкретным

Рассмотрим случай, когда ток создается одной

выбором (6) функций F_e,i(v). В точках простран-

анизотропной компонентой, например протонной.

ства, где вектор-потенциал удовлетворяет нера-

Характерные профили интересующих нас физиче-

венству

^√2m_eT_e < eA_z /c, функция распределения

ских величин (7)-(11) изображены на рис. 2. На

протонов (электронов) по проекции импульса p_z

всех рисунках (см. рис. 4-7) пространственные

представляет собой максвелловскую функцию, у

координаты будем нормировать на величину r_L0 =

которой “обрезан” хвост, соответствующий зна-

= (T_em_e/U₀)1/2 c/e — гирорадиус теплового элек-

чениям p_z < -eA_z/c (p_z > eA_z/c). Поскольку на

трона в центре слоя.

интервале -eA_z/c < p_z < eA_z/c функция симмет-

Типичные орбиты протонов, составляющих

рична, вклад в ток в данных точках дает только

нескомпенсированная часть максвелловского рас-

слой, показаны на рис. 3. Поясним с его помощью

пределения, показанная на рис. 1 красной заливкой

физический смысл выбранных функций распреде-

(синей для электронов). Из рисунка понятно, что в

ления частиц f_α. Для этого подставим в (5) полу-

этих точках пространства плотность тока протонов

чившийся профиль (10) A_z(x), представленный на

много больше плотности тока электронов, причем

рис. 2b, и проанализируем распределение частиц,

составляющих слой, по проекции скорости v_z в

только при eA_z/c >

^√2m_iT_i плотность тока про-

разных точках пространства.

тонов становится много меньше ее макси√ально-

го значения. Для точек, где 0 < eA_z /c <

2m_eT_e,

В заданном неоднородном магнитном поле с

площадь синей области больше, чем красной, и

B_y(x) < 0 протоны дрейфуют против оси z, вра-

вклад электронов является определяющим (при

щаясь в плоскости xOz по часовой стрелке, если

T_e ∼ T_i, N_e ∼ N_i ), поскольку функция f_e(p_z) быстро

смотреть в направлении оси y. Как следует из (5),

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

596

КОЧАРОВСКИЙ и др.

1.0

n_i

1.5

j_iz

(a)

(b)

1.0

0.5

A_z

-0.5

B_y

-0.5

-1.0

-100

100

-50

100

x/r_L0

Рис. 2. Асимметричный токовый слой, созданный анизотропной фракцией протонов при NiTi ≫ NeTe, когда током

электронов можно пренебречь, и U0 = 3πNiTi, Ti = 2Te. (а) Потенциал Грэда-Шафранова (7) в безразмерных единицах,

U^′ = U/(2π

^∑ NαTα), в зависимости от безразмерного вектор-потенциала A^′ ≡ ae = Aze/(c√2meTe). Пунктиром

показано значение U0. (b) Профили вектор-потенциала (синяя пунктирная кривая), магнитного поля (черная сплошная),

плотности тока (красная) и концентрации анизотропной фракции протонов (зеленая), нормированные на максимальные

абсолютные значения.

-10

-20

x/r_L0

Рис. 3. Типичные орбиты протонов в асимметричном токовом слое, изображенном на рис. 2, при vy = 0. Согласно

функции распределения (5), в области x < 0, где Az < 0, есть только протоны, движущиеся в положительном

направлении оси z, тогда как в области x > 0 в одной и той же точке имеются протоны с противоположными знаками

проекций скорости vz.

в области x < 0, где A_z < 0, имеются только про-

сосредоточены в той же правой области и отлича-

тоны с положительной проекцией скорости v_z > 0

ются только направлением дрейфа, который при-

и нет частиц, траектории которых замыкались бы

водит к току того же направления, что у протонов. В

здесь. Это означает, что в область x < 0 могут про-

случае низкой температуры электронов, T_e ≪ T_i, их

никнуть только достаточно энергичные частицы,

гирорадиусы и дрейфовые скорости малы настоль-

имеющие большие ларморовские радиусы (см. чер-

ко, что полный ток электронов много меньше тока

ную кривую на рис. 3). В области x > 0, где A_z > 0,

протонов (при сравнимых концентрациях, N_e ∼ N_i).

могут находиться и низкоэнергичные протоны, дви-

Мы видим, таким образом, что распределе-

жущиеся по квазизамкнутым окружностям малого

ния (4)-(5) действительно описывают границу в

радиуса и имеющие в некоторых точках области

плазме, но в отличие от гидродинамических мо-

отрицательную проекцию скорости v_z < 0 (синяя и

делей такая граница не представляет собой на-

красная кривые на рис. 3).

стоящего, сингулярного разрыва: она проницае-

Траектории электронов из распределения (4),

ма для достаточно энергичных частиц — лишь бы

вращающихся по орбитам против часовой стрелки, такие существовали в распределении, задаваемом

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

597

энергетическим фактором F_α(v). При этом ток

Если слой образован единственной фракцией α,_∑

различных фракций частиц согласован с их дрей-

или N_αT_α ≫_β = α^Nβ^Tβ,выбраввеличинуU0

фом в общем магнитном поле — внешнем плюс

близкой к 2πN_αT_α, получим для правого склона

создаваемом каждой из фракций. Из сказанно-

ℓ^∗α/rα0 ≈ [4(1 - erf(1))]-1/2 ≈ 1.26 и для левого —

го ясно, что использование негладких функций

ℓ^∗α/rα0 ≈ [4(1 + erf(1))]-1/2 ≈ 0.37. Таким образом,

распределения (4)-(5) для описания переходных

склоны токового слоя, создаваемого какой-либо

токовых слоев вполне естественно. Отметим, что

фракцией частиц, нельзя сделать ни очень тонкими,

именно с анализа траекторий движения частиц и

ни очень толстыми в масштабе гирорадиусов теп-

их согласования с собственным магнитным полем

ловых частиц этой фракции. Полную толщину слоя

начиналось развитие кинетической теории токовых

можно оценить как удвоенный гирорадиус частиц

структур (Грэд, 1961, Морозов, Соловьев, 1961,

основной токонесущей фракции.

Сигов, 1964).

Для рассматриваемых токовых структур суще-

Исключение составляет только тривиальный

ственно, что, хотя входящие в выражения (7)-

случай, когда частицы какой-то фракции (α) обла-

(8), (11) функции erf(...) антисимметричны по A_z,

дают большими тепловыми импульсами, m_αT_α ≫

масштабы их пространственной неоднородности

≫ m_βT_β, по сравнению с частицами остальных

пропорциональны фактору |dA_z/dx|-1 = 1/B(x) и

токонесущих фракций (β), но вследствие малого_∑

потому не одинаковы по разные стороны от центра

энергосодержания, N_αT_α ≪_β N_βT_β, дают малый

слоя, где плотность тока максимальна. Обозна-

вклад в полный ток. Тогда, если внешнее маг-

чим гирорадиус частицы в центре слоя за rα0 =

нитное поле в значительной мере компенсирует

= (T_αm_α/U₀)1/2c/e и определим пространствен-

магнитное поле токового слоя на одном (правом)_∑

ный масштаб неоднородности токового слоя, сфор-

его краю, т.е. U₀ ≈ 2π_β N_β T_β, рассматриваемые

мированного отдельной фракцией, как

высокоэнергичные частицы будут уходить далеко



от центра слоя, и характерный масштаб правого

djαz

-1



склона тока этой фракции (20) может стать много

ℓ_α(x) ≡ |j_αz| ·^

(17)



больше их гирорадиуса в центре слоя: ℓ^∗α/rα0 ≈

rα0 B(0) m_αvTα c

≈ [4(1 - erf(1))2πN_αT_α/U₀)]-1/2 ≫ 1.

B(x) e |A_z(x)|

Будем называть характерным масштабом ℓ^∗α вели-

4. ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ТОКОВЫЕ

чину ℓ_α(x) в точке, где плотность тока (9) выбран-

СЛОИ

ной фракции частиц спадает в exp(1) раз, т.е. где

Из выражений (7)-(11) и (17) ясно, что про-

eA_z/(m_αvTα c) = ±1 соответственно для правого и

странственный масштаб полного токового слоя,

левого склонов профиля плотности тока:

создаваемого несколькими фракциями частиц,

ℓ^∗α

фактически определяется фракцией с наибольшим

(18)

rα0

тепловым импульсом

^√2m_αT_α. В рассматривае-

⎡

(

√

)⎤-1/2

мых нами условиях плазмы солнечного (звездного)

∑

m_αT_α

ветра и магнитослоя выполнено соотношение

⎣1-2π

N_βT_βerf

⎦

m_eT_e ≪ m_iT_i, поэтому крупномасштабная струк-

U₀

m_βT_β

тура токового слоя будет определяться протонной

∑

компонентой, но в центре слоя скачок магнитного

Поскольку U₀ ≥_β 2πN_β T_β и |erf(...)| < 1, спра-

поля будет обеспечен узким слоем электронного

ведливы оценки:

тока. Как продемонстрировано на рис. 4 и 5, энер-

ℓ^∗α

госодержание электронной фракции определяет,

x≤0⇒

(19)

rα0

согласно

(14), относительную величину скачка

⎡

⎤

-1/2

магнитного поля на узком слое электронного тока в

∑

центре широкого токового слоя протонов. В случае

⎣1+2π

N_βT_β⎦

≥

√ ,

сравнимых энергосодержаний фракций электронов

U₀

и протонов, N_eT_e ∼ N_iT_i, когда сравнимы их

полные поверхностные плотности тока, объемная

ℓ^∗α

плотность тока электронов в центре слоя будет

x≥0⇒

(20)

rα0

много больше объемной плотности тока протонов

⎡

⎤

-1/2

благодаря многократному отличию гирорадиусов

2π

∑

этих частиц, см. рис. 4. Широкая и узкая компонен-

⎣1-erf(1)2πNαT^α

N_βT_β⎦

ты тока могут быть образованы и частицами одной

U₀

β =α

фракции плазмы, как это показано в следующем

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

598

КОЧАРОВСКИЙ и др.

1.0

j_ez

j_iz

1.0

(a)

(b)

0.4

(c)

n_i

0.5

A_z

-2

0.2

n_i - n_e

-0.5

-0.2

-1.0

−100

-50

-100

100

200

-100

100

200

x/r_L0

Рис. 4. Токовый слой со сравнимыми вкладами протонной и электронной фракций, Ni = Ne, Ti = 2Te, и с величиной

U0 = 2π(NeTe + NiTi), соответствующей задаче о границе замагниченной и не замагниченной плазмы. (а) То же, что на

рис. 2а. (b) Профили вектор-потенциала (синяя пунктирная кривая), магнитного поля (черная сплошная) и плотности

тока протонов (красная), нормированные на максимальные абсолютные значения. На врезке синей кривой показана

плотность тока электронов, нормированная на максимум плотности тока протонов. (c) Нормированные на

^∑ Nα

профили концентрации анизотропных фракций протонов (красная кривая), электронов (синяя) и их разности (зеленая),

определяющей плотность заряда токонесущих фракций.

100

1.0

(a)

(b)

j_ez

(c)

j_iz

n_e

0.4

n_i

0.5

-2

0.2

A_z

n_i - n_e

-0.5

B_y

-0.2

-1

-1.0

-20

x/r_L0

Рис. 5. Токовый слой с преимущественным вкладом электронной фракции, Ne = Ni, Te = 5Ti и с величиной U0 =

= 20πNiTi, соответствующей примерно двукратному различию величин магнитного поля по разные стороны слоя.

Обозначения те же, что на рис. 4.

разделе. При этом профиль тока каждой из фрак-

ки их ожидаемых параметров в случае электрон-

ций остается вполне универсальным. Отметим, что

протонной плазмы для следующих примеров, в

толщины токовых слоев протонов и характерные

которых для определенности значение магнитного

масштабы неоднородности их склонов на рис. 4 и

поля в солнечном ветре предполагается слабым,

5 отличаются в несколько раз в согласии с (18),

т.е. положено U₀ ≈ 2π(N_eT_e + N_iT_i).

поскольку измеряются в единицах электронного

гирорадиуса, а отношения температур электронов

1. Ближайшая к Солнцу область магнитосферы

и протонов отличаются в 10 раз.

Земли, модифицированная налетающим ветром, —

Повторим, что, согласно сказанному в начале

головная ударная волна (Веселовский, 2007, Хейк-

разд. 2, во всех рассматриваемых случаях неском-

кила, 2011, Петринец, 2013, Либерт и др., 2018,

пенсированный заряд токонесущих фракций (зеле-

Коротова и др., 2018): N_i = N_e ∼ 20 см-3, T_i ∼

ные кривые на рис. 4c, 5c, 6c, 7c) предполагается

∼ 2T_e ∼ 30 эВ, поле в центре слоя B(0) =

^√2U₀ ∼

нейтрализованным зарядом холодных изотропных

∼ 15 × 10-5 Гс, на его левом краю (под фронтом

фракций как в центральной части, так и на перифе-

√

ударной волны) B(-∞) =

2B(0) ∼ 20 × 10-5 Гс,

рии слоя.

гирорадиусы электронов r_L0 ∼ 1 км и протонов

Токовые слои представленного типа могут быть

r_L0m_ivTi /(m_evTe ) ∼ 50 км в центре слоя, радиус

связаны с границами различных магнитослоев, об-

√

разованных солнечным ветром. Приведем оцен- Дебая протонов r_di =

T_i/(2πe²N_i) ∼ 10 м.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

599

2. Приграничный слой магнитного облака, за-

вложенных один в другой слоев с суммой поверх-

полненного плазмой и двигающегося от Солнца

ностных плотностей тока, определяемой по форму-

сквозь окружающую плазму ветра, в районе орби-

ле (14) суммой энергосодержаний обеих фракций_∑

ты Меркурия, r ∼ 6 × 10⁷ км, где оценка концен-

протонов_α N_αT_α (α = i1,i2). Анизотропия (15)

трации плазмы ветра (Веселовский, 2007, Ванг и

по сумме функций распределения этих фракций

др., 2018) N(r) = n₀(r_⊙/r)² exp(ar_⊙/r) при n₀ ∼

равна:

∼ 8 × 10⁵ см-3, a ∼ 6, r_⊙ ≈ 7 × 10⁵ км дает N ∼

τ (A_z ) =

(21)

∼ 80 см-3. Полагая T_i ∼ T_e ∼ 50 эВ, получим по-

)₂

(∑

ле в центре слоя B(0) =

^√2U₀ ∼ 40 × 10-5 Гс, на

erf a_α

N_αvTα da

его левом краю (в магнитном облаке) B(-∞) =

√

^∑N_αv2_T

(1 + erf a_α)

^∑Nα (1 + erf a_α) ^-

2B(0) ∼ 60 × 10-5 Гс, гирорадиусы электронов

d²

r_L0 ∼ 0.5 км и протонов ∼25 км в центре слоя,

^∑N_αv²

erf a_α

Tα da2α

радиус Дебая r_di ∼ 10 м.

−

^∑N_αv2_T

(1 + erf a_α)

3. Район высоких корональных магнитных

структур (арок), обдуваемых солнечным ветром

В центре слоя степень анизотропии не превышает

(Веселовский, 2007, Мерсье, Чамбе, 2015, Ма-

2/π и равна

колей и др., 2018, Степанов, Зайцев, 2018): N_i =

(

^∑N_αvTα)²

= N_e ∼ 10⁸ см-3, T_e ∼ T_i ∼ 100 эВ. Поле в центре

τ (0) =

∑

(22)

слоя B(0) ∼ 0.6 Гс и на его левом краю (внутри

^∑N_αv2_T

N_α

√

арки) B(-∞) =

2B(0) ∼ 0.8 Гс, гирорадиусы

а в целом ее профиль, хотя и является двухмас-

электронов r_L0 ∼ 0.5 м и протонов ∼20 м в центре

штабным, качественно подобен профилю (16) в

слоя, радиус Дебая r_di ∼ 1 см.

случае одной фракции.

Согласно формулам (14), (18) в приведенных

Такой вариант может реализоваться, например,

примерах 3 и 2 (или 1) магнитослоев солнечного

в магнитопаузе Земли с двумя фракциями про-

ветра толщины (удвоенные гирорадиусы токоне-

тонов, где вклад электронов мал. Для примера

сущих протонов), значения полной поверхностной

возьмем следующие параметры плазмы и токового

плотности тока и соответствующие скачки магнит-

слоя (Хейккила, 2011, Ванг и др., 2012, Петринец,

ного поля отличаются на 4 порядка величины, в ос-

2013, Бондупаддхай и др., 2018): T_i1 ∼ T_i2/10 ∼

новном благодаря отличию концентрации плазмы

∼ 100 эВ, T_e ∼ 30 эВ, N_e = (21/20)N_i1 = 21N_i2 ∼

на 7 порядков.

∼ 100 см-3. Тогда при U₀ ≈ 2π(N_i1T_i1 + N_i2T_i2) по-

лучим поле в центре слоя B(0) ∼ 60 × 10-5 Гс и

5. ТРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ ТОКОВЫЕ

на его левом краю (под магнитопаузой) B(-∞) =

СЛОИ

√

2B(0) ∼ 80 × 10-5 Гс, гирорадиусы электронов

Учтем теперь дополнительную энергичную

r_L0 ∼ 300 м и высокоэнергичных протонов ∼80 км в

фракцию быстрых частиц, например протонов,

центре слоя, радиус Дебая r_di ∼ 10 м.

имея в виду ее наличие в набегающем потоке

Если же вклад электронов существенен, как это

солнечного ветра или же возможность появления в

может быть в магнитопаузе Сатурна, Юпитера или

результате ускорения протонов на ударной волне,

экзопланет (Багенал, Деламер, 2011, Сулайман и

о чем свидетельствуют спутниковые наблюдения

др., 2014, Томсен и др., 2018), то в центре токового

(Филипс и др., 1993, Веселовский, 2007, Бёрджесс

слоя появляется резкий скачок магнитного поля с

и др., 2012). А именно, заменим в (5) фактор N_iF_i на

третьим масштабом, определяемым гирорадиусом

сумму N_i1F_i1 + N_i2F_i2 и возьмем максвелловские

электронов, см. рис. 6. Как и для двух предыдущих

функции Fi1,2(v) с различными температурами

рисунков в разд. 4, следует обратить внимание

Ti1,2. В этом случае характер анизотропии плазмы

на многократное отличие масштабов области ло-

усложняется (см.

(21)-(22) ниже), и токовый

кализации и величин объемных плотностей тока

слой, вообще говоря, является трехмасштабным

электронов и протонов, обусловленное отличием их

(и по-прежнему асимметричным, как в разд. 3).

гирорадиусов и имеющее место даже при умерен-

Наибольший масштаб определяется гирорадиусом

ной доле энергосодержания в электронах плазмы,

самой горячей фракции протонов, а наименьший

а следовательно, при умеренном скачке магнитного

масштаб, как и в разд. 4, — гирорадиусом электро-

поля в центре слоя. В подобных токовых слоях

нов.

распределение плотности плазмы может быть тоже

Впрочем, вклад электронов в ток и в скачок

трехмасштабным и в целом описывает уменьшение

магнитного поля будет мал при Ni1,2Ti1,2 ≫ N_eT_e, и

ее полной концентрации при переходе от слабо-

тогда слой получится двухмасштабным в виде двух

го к сильному магнитному полю, как и должно

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

600

КОЧАРОВСКИЙ и др.

100

j_ez

n_e

j_i1z

n_i1

(b)

0.4

(c)

(a)

-2

0.2

n_i2

i2z

-0.2

n_i1 + n_i2 - n_e

−1

-1

-100

100

-60

x/r_L0

Рис. 6. Трехмасштабный токовый слой, созданный двумя анизотропными фракциями протонов с одинаковым энер-

госодержанием при Ni1 = 3Ni2, Ti1 = Ti2/3 и фракцией электронов с NeTe = Ni1,2Ti1,2, Ne = Ni1 + Ni2, Te = Ti2/4

и величиной U0 = 4π(Ni1Ti1 + Ni2Ti2 + NeTe). (а) То же, что на рис. 2а. (b) Профили вектор-потенциала (синяя

пунктирная кривая), магнитного поля (черная сплошная) и плотности тока протонов второй фракции (фиолетовая),

нормированные на максимальные абсолютные значения. Красной кривой показана плотность тока протонов первой

фракции, нормированная на максимум плотности тока протонов второй. На врезке синей кривой показана плотность

тока электронов, нормированная на максимум плотности тока протонов второй фракции. (c) Нормированные на

^∑ Nα

профили концентрации анизотропных фракций электронов (синяя кривая), протонов первой фракции (красная) и второй

(фиолетовая), а также разности (зеленая) концентраций этих двух фракций и электронной фракции, как характеристики

общей плотности заряда токонесущих фракций.

быть в соответствии с условием баланса давле-

в области x < 0, A_z < 0 (ср. с протонами, занима-

ний (12), качественно подтверждаемым наблюде-

ющими в основном область x > 0 на рис. 3). Для

ниями “слоя обеднения” в магнитопаузе (Цван,

того чтобы выполнить условие нейтральности (13),

Вольф, 1976, Филипс и др., 1993, Измоденов,

это разделение токонесущих зарядов должно быть

Алексашов, 2015). При этом, благодаря анизотро-

компенсировано дополнительными, не создающи-

пии плазмы и значительному и сильно локализо-

ми тока фракциями и на периферии слоя, при

ванному току, особенно электронному, можно ожи-

x → ±∞ (а не только вблизи его центра, как в

дать развития различных кинетических токовых

рассматривавшихся ранее примерах на рис. 2, 4-

неустойчивостей, которые требуют специального

6).

исследования (ср., например, Гэри, 1993, Ремя и

др., 2013, Микно и др., 2014, Шаабан и др., 2017,

В этом случае, вследствие противоположных

Юн, 2017). Подобные неустойчивости вряд ли

направлений электронных и протонных токов, пол-

возможны при дальнейшем продвижении в глубь

ный ток (14) и величина скачка магнитного поля

магнитосферы (под магнитопаузой), где анизотро-

будут меньше. Вместе с тем профиль суммарной

пия и неоднородность концентрации плазмы уже

(объемной) плотности тока будет иметь два боко-

не связаны с самосогласованными токами в ней,

вых экстремума

а определяются кинетикой, диффузией и дрейфом

)

частиц в заданном неоднородном магнитном поле

⁽m_iT_i

j_z(±A₀) =

√

N_evTe

-1

(23)

той или иной планеты.

4π

m_eT_e

(

)

e²A

× exp

6. ВОЗМОЖНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ

2c²m_eT_e

Легко видеть, что в модели (4)-(5) направле-

в точках, отвечающих значениям вектор-потенци-

ние плотности тока фракции частиц определяется

ала A_z(x) = ±A₀, если

знаком аргумента функции Хевисайда. Так, если

(

)-1

сменить этот знак в выражении (4), то ток элек-

2c²

m_eT_e

A²⁰ =

m_eT_e

(24)

тронов поменяет направление, и в целом электроны

e²

m_iT_i

и протоны будут двигаться в одну сторону, что

[

]

N_e

⁽m_i)² v_T

соответствует общему движению плазмы. При этом

× ln

> 0.

все формулы (7)-(14) и (17)-(20) остаются вер-

N_i m_e vTe

ными с заменой N_e → -N_e везде, кроме первого

слагаемого, N_e/2, в формуле (11), а траектории

В этих точках плотность полного тока (23) при-

электронов будут преимущественно сосредоточены

мерно равна плотности протонного тока в центре,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

601

√

jiz(0) = eN_ivTi/

4π, которая в типичных услови-

подобный токовый слой отвечает локализован-

ях много меньше величины плотности противопо-

ному возмущению магнитного поля, B_y(-∞) =

ложно направленного электронного тока, jez(0) =

= B_y(+∞), поскольку суммарный ток всех фрак-

√

= -eN_evTe /

4π.

ций (14) равен нулю. Более того, при выполнении

условий Nα1Tα1 = Nα2Tα2 имеет место компенса-

С учетом сохранения электронейтральности

ция токов, создаваемых по отдельности фракциями

на периферии токового слоя более естественным

электронов и протонов (см. рис. 7).

представляется наличие в распределениях (4)-(5)

и электронной, и протонной фракций с противопо-

Профили суммарной плотности тока и элек-

ложными знаками аргумента функций Хевисайда:

тронов, и протонов для распределений (25)-(26)

∑

имеют два боковых экстремума (см. пример на

f_e(x,v,v_z) =

NesFes(v) ×

(25)

рис. 7c,d) в соответствии с формулами (23)-(24),

s=1,2

в которых нужно сделать замену индексов i →

(

[

])

→ α1, e → α2. Отсюда ясно, что локальный про-

× H (-1)s+1 -v_z +

A_z(x)

странственный масштаб неоднородности суммар-

m_ec

ного токового слоя электронов или протонов может

+ n_e0(x)F_e0(v),

быть заметно меньше, чем (18), т.е. гирорадиу-

са, в случае, когда ток определяется разностью

∑

f_i(x,v,v_z) =

NisFis(v) ×

(26)

фигурирующих в (9) функций exp(...) с близкими

s=1,2

масштабами и амплитудами. При этом суммарный

(

[

])

полный ток электронов или протонов будет много

× H (-1)s+1 v_z +

A_z(x)

меньше, чем ток каждой из фракций s = 1 и s =

m_ic

= 2. Однако, сближая боковые экстремумы (23),

+ n_i0(x)F_i0(v).

собрать значительную долю тока на масштабе мно-

го меньше гирорадиуса невозможно, так как при

При этом все формулы (7)-(14) и (17)-(22) оста-

выборе параметров таких, чтобы Aα0 → 0, так-

√

ются верными с использованием суммирования по

же оказывается, что и j_αz (0) = e/

4π[Nα1vTα1 -

всем фракциям α, s и с заменой N_α → (-1)s+1N_αs

− Nα2vTα2] → j_αz(±Aα0).

везде, кроме формулы (11) и знаменателей в фор-

Рассмотренная модель токового слоя допускает

муле (21), где у слагаемых с s = 2 нужно изменить

аналитическое обобщение в присутствии целого

только знак аргумента функции erf(...). Частицы

ряда дополнительных физических факторов.

фракций s = 1 и s = 2 расположены преимуще-

ственно по разные стороны токового слоя и со-

1. Наличие различных ионных фракций, напри-

здают противопложно направленные токи. По обе

мер гелия и кислорода, с обрезанными функциями

стороны вдали от слоя плазма обладает максвел-

распределения, аналогичными (26).

ловскими распределениями электронов и ионов,

2. Введение сдвигов между центрами токовых

имеющими, вообще говоря, разные температуры

слоев различных сортов частиц или их различных

и концентрации. В целом слой имеет два “про-

энергетических фракций путем смещения аргумен-

тонных” (α = i) и два “электронных” (α = e) мас-

тов соответствующих функций Хевисайда на раз-

штаба, которые определяются выражениями (17)-

личные постоянные C_α.

(18).

3. Допущение зависимости этих сдвигов от ско-

В общем случае подобных частично скомпен-

рости частиц v, например, в простейшем случае

сированных токовых слоев, благодаря противопо-

C_α(v) = μ_αv, где μ_α = const.

ложному направлению токов двух фракций элек-

тронов (или двух фракций протонов), анизотропия

4. Использование каппа-распределения вместо

их распределений по скоростям понижена. Полная

максвелловского распределения по энергиям ча-

анизотропия протонов (электронов), в отличие от

стиц, что с учетом турбулентности ветра и нели-

нейноволновых процессов в нем может оказаться

случаев (16) и (21), пренебрежимо мала по обе

более адекватным описанием имеющейся нерав-

стороны вдали от слоя, а при нулевой величине_∑

новесной плазмы (Лазар и др., 2017, Ливадиотис,

плотности тока в его центре,_s(-1)s+1N_αsv_Tαs =

2017).

= 0 (α = i или e), может оказаться равной там

нулю, оставаясь значительной на склонах слоя.

5. Учет возможного шира силовых линий маг-

нитного поля, согласно развитому нами подходу

При выполнении условий Nes = Nis заряды то-

(Кочаровский и др., 2017, Кочаровский и др., 2016).

конесущих фракций попарно компенсируют друг

друга на периферии слоя. В частном случае оди-

6. Замена разрывных функций Хевисайда сгла-

наковых суммарных энергосодержаний фракций с

женными ступенчатыми функциями инвариантов v,

s = 1 и s = 2, N_e1T_e1 + N_i1T_i1 = N_e2T_e2 + N_i2T_i2,

V_z.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

602

КОЧАРОВСКИЙ и др.

(a)

(b)

0.4

0.2

0.1

n_i1

0.2

0.1

-0.1

-5

n_i2

n_e1 + n_e2 - n_e1 - n_e2

−0.1

−0.2

-200

-100

100

200

-160

-80

160

x/r_L0

1.0

(c)

1.0

(d)

A_z

e1z

+ j_e2z

j_e1z + j_e2z

0.5

−0.5

-0.5

B_y

-1.0

-2

-1

-160

-80

160

x/r_L0

Рис. 7. Токовый слой, созданный двумя анизотропными фракциями протонов (теми же, что на рис. 6) и двумя —

электронов, со сменой знака аргументов функций Хевисайда у вторых фракций протонов и электронов, причем Ne1,2 =

= Ni1,2, Te1,2 = Ti1,2/2 и Te1 = Te2/3, так что полный ток отсутству∑: Iz ∝

^∑(-1)s+1NαsTαs = 0. (а) То же, что на

рис. 2а. На врезке увеличенный фрагмент. (b) Нормированные на

Nα профили концентрации электронов первой

(синяя кривая) и второй (черная) фракций, протонов первой (красная) и второй (фиолетовая) фракций, а также разности

концентраций всех протонов и всех электронов (зеленая), определяющей плотность заряда. (c) Профили магнитного

поля (черная кривая) и суммарной плотности тока электронов обеих фракции (синяя), нормированные на максимальные

абсолютные значения. (d) Профили вектор-потенциала (синяя пунктирная кривая), магнитного поля (черная сплошная)

и суммарной плотности тока протонов обеих фракций (сплошная зеленая кривая), нормированные на максимальные

абсолютные значения.

Для всех перечисленных обобщений аналити-

токонесущей плазмы для всего токового слоя могут

ческие решения уравнения (2) и расчет простран-

быть одного порядка величины. Наконец, заме-

ственной структуры токовых слоев не вызывают

тим, что вопрос об устойчивости рассмотренных

принципиальных трудностей, но пока мало иссле-

токовых слоев остается открытым и требует, по-

видимому, численного исследования.

дованы. Отметим, что исходная постановка задачи

предполагает наличие внешнего магнитного поля,

так что согласованный с ним (но не самосогла-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

сованный) токовый слой в рассмотренной одно-

мерной конфигурации не может быть бессиловым,

В статье разработана аналитическая модель

т.е.

[⃗j,B] = 0, если он описывает переход меж-

магнитостатических токовых структур в области

ду областями с различными значениями величины

головной ударной волны и магнитопаузы для

магнитного поля. При этом поверхностные плот-

различных конфигураций нерелятивистской бес-

ность энергии магнитного поля и плотность энергии

столкновительной плазмы, порождаемых звездным

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОКОВОЙ СТРУКТУРЫ

603

или солнечным ветром при обдувании магнито-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

сфер планет (экзопланет), высоко расположенных

Багенал, Деламер (F. Bagenal and P.A. Delamere),

корональных магнитных структур или магнитных

J. Geophys. Res. 116, A05209 (2011).

облаков, контактирующих с областями слабо

Баумджохан и др. (W. Baumjohann, M. Blanc,

замагниченной плазмы и образующих магнитный

A. Fedorov, and K.-H. Glassmeier), Space Sci. Rev.

переходный слой.

152, 99 (2010).

Построенная модель и в целом развитая ранее

Бескин В.С., Осесимметричные стационарные

теория магнитостатических структур в бесстолкно-

течения в астрофизике (М.: Физматлит, 2006),

384 с.

вительной плазме (Кочаровский и др., 2016) могут

Бёрджесс и др. (D. Burgess, E. Mobius, and

быть использованы для единообразного качествен-

M. Scholer), Space Sci. Rev. 173, 5 (2012).

ного описания указанных переходных токовых сло-

Бёрч, Пхан (J.L. Burch and T.D. Phan), Geophys.

ев и позволят продвинуться в понимании проис-

Res. Lett. 43, 8327 (2016).

ходящих в них явлений, дав надежную основу для

Бланко и др. (J.J. Blanco, M.A. Hidalgo,

дальнейшего моделирования эволюции подобных

J. Rodriguez-Pacheco, and J. Medina), J. Atmos.

токовых слоев в самых разнообразных условиях

Solar-Terr. Phys. 73, 1339 (2011).

плазмы солнечного (звездного) ветра. Созданная

Бондупаддхай и др. (R. Bandyopadhyay,

теория впервые дает возможность рассматривать

A. Chasapis, R. Chhiber, T.N. Parashar,

тонкую структуру токовых слоев, недоступную маг-

W.H. Matthaeus, M.A. Shay, B.A. Maruca,

нитогидродинамическому описанию. В определен-

J.L. Burch, et al.), Astrophys. J. 866, 106 (2018).

ных случаях модель пригодна также для количе-

Ванг и др. (C.-P. Wang, M. Gkioulidou, L.R. Lyons,

ственного описания таких характеристик токовых

and V. Angelopoulos), J. Geophys. Res. 117, A08215

слоев, как пространственный профиль и величи-

(2012).

на тока в них, асимметрия и многомасштабность,

Ванг и др. (Y. Wang, C. Shen, R. Liu, et al.),

степень анизотропии и температурная зависимость

J. Geophys. Res. 123, 3238 (2018).

распределения тех или иных частиц, возможное со-

10.

Веселовский И.С., Модель космоса. Научно-

отношение плотности энергии частиц и плотности

информационное издание (М.: КДУ, 2007), т. 1,

магнитной энергии.

с. 314.

11.

Вигант и др. (J.R. Wygant, C.A. Cattell, R. Lysak,

В реальных условиях солнечного (звездного)

Y. Song, J. Dombeck, J. McFadden, F.S. Mozer,

ветра задача о магнитослое в целом, конечно, не яв-

C.W. Carlson, et al.), J. Geophys. Res. 110, A09206

ляется одномерной. Это обстоятельство, как и ряд

(2005).

других (прежде всего присутствие турбулентности,

12.

Ву, Леппинг (C.-C. Wu and R.P. Lepping), Solar

наличие поперечной к слою компоненты магнитно-

Phys. 269, 141 (2011).

го поля, немаксвелловский характер распределе-

13.

Гослинг, Сабо (J.T. Gosling and A. Szabo),

ния частиц, движение плазмы через слой и вдоль

J. Geophys. Res. 113, A10103 (2008).

него) могут значительно усложнять действитель-

14.

Грэд (H. Grad), Phys. Fluids. 4, 1366 (1961).

ную картину пространственного распределения то-

15.

Гэри (S.P. Gary), Theory of Space Plasma

ка различных фракций плазмы на границах маг-

Microinstabilities

(Cambridge:

Cambridge

нитослоя. Ряд возможных теоретических обобще-

University Press, 1993), p. 196.

ний рассмотренной модели, необходимых для учета

16.

де Кейзер, Рот (J. De Keyser and M. Roth),

подобных обстоятельств, указан в разд 6. Так, со-

J. Geophys. Res. 102, 9513 (1997)

гласованные распределения (25)-(26) с противо-

17.

Зелёный Л.М., Веселовский И.С. (ред.), Плазмен-

положными знаками аргумента функций Хевисайда

ная гелиогеофизика (М.: Физматлит, 2008), гл. 3-

позволяют учесть вклад частиц, сосредоточенных

преимущественно с правой или левой сторон то-

18.

Измоденов, Алексашов (V.V. Izmodenov and

кового слоя и создающих встречные токи. Разви-

D.B. Alexashov), Astrophys. J. Suppl. Ser. 220, 32

тие предложенной модели токовых слоев в данных

(2015).

направлениях с целью учета тех или иных особен-

19.

Иствуд и др. (J.P. Eastwood, T.D. Phan, M. Oieroset,

ностей анизотропии, движения и пространственной

M.A. Shay, K. Malakit, M. Swisdak, J.E. Drake,

неоднородности плазмы магнитослоя представля-

and A. Masters), Plasma Phys. Control. Fusion. 55,

ется весьма перспективным.

124001 (2013).

20.

Касем и др. (I. Kacem, C. Jacquey, V. Genot,

Работа по моделированию однокомпонентных

B. Lavraud, Y. Vernisse, A. Marchaudon,

токовых слоев (разд. 3) проводилась при поддерж-

O. Le Contel, H. Breuillard, et al.), J. Geophys.

ке гранта РНФ, проект № 16-12-10528. Работа

Res.: Space Phys. 123, 1779 (2018).

Нечаева А.А. по моделированию многокомпонент-

21.

Коротова и др. (G. Korotova, D. Sibeck, S. Thaller,

ных слоев (разд. 4-6) поддержана грантом Фонда

et al.), Ann. Geophys. 36, 1319 (2018).

развития теоретической физики и математики “БА-

22.

Кочаровский В.В., Кочаровский Вл.В., Мартья-

ЗИС”, проект № 18-1-5-53-1.

нов В.Ю. и др., УФН. 186, 1267 (2016).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019

604

КОЧАРОВСКИЙ и др.

23.

Кочаровский и др.

(V.V.

Kocharovsky,

41.

Ромашец и др. (E.P. Romashets, S. Poedts, and

Vl.V. Kocharovsky, V.Yu. Martyanov, et al.), J. Phys.:

M. Vandas), J. Geophys. Res. 113, A02203 (2008).

Conf. Ser. 932, 012019 (2017).

42.

Рот и др. (M. Roth, J. de Keyser, and

24.

Лазар и др. (M. Lazar, V. Pierrard, S.M. Shaaban,

M.M. Kuznetsova), Space Sci. Rev. 76, 251 (1996).

H. Fichtner, and S. Poedts), Astron. Astrophys. 602,

43.

Сигов Ю.С., Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 4,

A44 (2017).

1065 (1964).

25.

Либерт и др. (E. Liebert, C. Nabert, and K.-

44.

Степанов А.В., Зайцев В.В., Магнитосферы ак-

H. Glassmeier), Ann. Geophys. 36, 1073 (2018).

тивных областей Солнца и звезд (М.: Физмат-

26.

Ливадиотис (G. Livadiotis) (ed.), Kappa

лит, 2018), 392 с.

Distributions. Theory and Applications in

45.

Сулайман и др. (A.H. Sulaiman, A. Masters,

Plasmas (1st edn., Amsterdam: Elsevier, 2017),

M.K. Dougherty, and X. Jia), J. Geophys. Res. 119,

738 p.

5651 (2014).

27.

Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Физическая ки-

46.

Толман и др. (E. Tolman, N.F. Loureiro, and

нетика (М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979),

D.A. Uzdensky), J. Plasma Phys. 84, 905840115

с. 145.

(2018).

28.

Лопез и др. (R.E. Lopez, V.G. Merkin, and

47.

Томсен и др. (M.F. Thomsen, A.J. Coates,

J.G. Lyon), Ann. Geophys. 29, 1129 (2011).

C.M. Jackman, N. Sergis, X. Jia, and K.C. Hansen),

29.

Маколей и др. (P.I. McCauley, I.H. Cairns, and

J. Geophys. Res.: Space Phys. 123, 2034 (2018).

J. Morgan), Solar Phys. 293, 132 (2018).

48.

Турк и др. (L. Turc, D. Fontaine, P. Savoini, et al.),

30.

Мерсье, Чамбе (C. Mercierand G. Chambe), Astron.

Ann. Geophys. 32, 157 (2014).

Astrophys. 583, A101 (2015).

49.

Филипс и др. (J.L. Phillips, S.J. Bame,

31.

Микно и др. (M.J. Michno, M. Lazar, P.H. Yoon, and

M.E. Thomsen, B.E. Goldstein, and E.J. Smith),

R. Schlickeiser), Astrophys. J. 781, 49 (2014).

J. Geophys. Res.: Space Phys. 98, 21189 (1993).

32.

Морозов А.И., Соловьев Л.С., ЖЭТФ 40, 1316

50.

фон Альфтан (S. Von Alfthan, D. Pokhotelov,

(1961).

Y. Kempf, S. Hoilijoki, I. Honkonen, A. Sandroos, and

33.

Моттез (F. Mottez), Phys. Plasmas 10, 2501 (2003);

M. Palmroth), J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 120, 24

Phys. Plasmas 11, 336 (2004) Erratum.

(2014).

34.

Норгрен и др. (C. Norgren, D.B. Graham,

51.

Хабарова и др. (O.V. Khabarova, H.V. Malova,

Yu.V. Khotyaintsev, M. Andr ´e, A. Vaivads, M. Hesse,

R.A. Kislov, L.M. Zelenyi, V.N. Obridko,

E. Eriksson, P.-A. Lindqvist, et al.), J. Geophys. Res.:

A.F. Kharshiladze, M. Tokumaru, J.M. Sok ´ol,

Space Phys. 123, 9222 (2018).

S. Grzedzielski, and K. Fujiki), Astrophys. J. 836,

35.

Оиросет и др. (M. Oieroset, T.D. Phan, C. Haggerty,

108 (2017).

M.A. Shay, J.P. Eastwood, D.J. Gershman,

52.

Хасапис и др. (A. Chasapis, W.H. Matthaeus,

J.F. Drake, M. Fujimoto, et al.), Geophys. Res.

T.N. Parashar, O. Le Contel, A. Retin ´o, H. Breuillard,

Lett. 43, 5536 (2016).

Y. Khotyaintsev, A. Vaivads, et al.), Astrophys. J. 836,

36.

Перроне и др. (D. Perrone, O. Alexandrova,

247 (2017).

O.W. Roberts, S. Lion, C. Lacombe, A. Walsh,

53.

Хейккила (W.J. Heikkila), Earth’s Magnetosphere:

M. Maksimovic, and I. Zouganelis), Astrophys. J.

Formed by the Low-Latitude Boundary Layer

849, 49 (2017).

(Elsevier Science, 2011), 536 p.

37.

Петринец (S.M. Petrinec), Terr. Atmos. Ocean. Sci.

54.

Цван, Вольф (B.J. Zwan and R.A. Wolf), J. Geophys.

24, 265 (2013).

Res. 81, 1636 (1976).

38.

Пхан и др. (T.D. Phan, J.P. Eastwood, M.A. Shay,

55.

Шаабан и др. (S.M. Shaaban, M. Lazar, S. Poedts,

J.F. Drake, B. Sonnerup, M. Fujimoto, P.A. Cassak,

and A. Elhanbaly), Astrophys. Space Sci. 362, 13

M. Oieroset, et al.), Nature 557, 202 (2018).

(2017).

39.

Ремя и др. (B. Remya, R.V. Reddy, B.T. Tsurutani,

56.

Шафранов В.Д., Равновесие плазмы в магнитном

G.S. Lakhina, and E. Echer), J. Geophys. Res.: Space

поле, Вопросы теории плазмы (М.: Госатомиздат,

Phys. 118, 785 (2013).

1963), вып.2, с. 92-132.

40.

Ричардсон (J.D. Richardson), J. Atmos. Solar-Terr.

Phys. 73, 1385 (2011).

57.

Юн (P.H. Yoon), Rev. Mod. Plasma Phys. 1, 4 (2017).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 45

№8

2019