ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 1, с. 61-75
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД КАТАЛОГА GAIA DATA
RELEASE 2 WITH RADIAL VELOCITIES С ПОМОЩЬЮ СКАЛЯРНЫХ
И ВЕКТОРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
©2020 г. А. С. Цветков1*, Ф. А. Амосов1**, Д. А. Трофимов1, С. Д. Петров1
1Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 15.05.2019 г.
После доработки 04.09.2019 г.; принята к публикации 16.09.2019 г.
Проведено разложение собственных движений и лучевых скоростей звезд каталога GAIA DR2 with
RV. Получено подтверждение адекватности модели Огородникова-Милна наблюдательному мате-
риалу, а также найдены кинематические компоненты, не описываемые этой моделью. Внемодельные
гармоники частично отождествлены с нелинейными членами расширенной модели Орта и параметрами
кинематической модели второго порядка.
Ключевые слова: GAIA, звездная кинематика, сферические функции.
DOI: 10.31857/S0320010819110093
ВВЕДЕНИЕ
Цветков, 2013). Аналогичные сведения, но уже
для лучевых скоростей, и связи коэффициентов
В работе (Цветков, Амосов, 2019) был проведен
разложения по скалярным сферическим функциям
кинематический анализ собственных движений и
представлены в (Витязев, Цветков, 2014).
лучевых скоростей 6 млн звезд каталога GAIA DR2
Для удобства читателей мы приведем в на-
with RV. Были определены параметры линейной
стоящей статье лишь таблицы связи кинематиче-
трехмерной модели Огородникова-Милна (Ого-
ских параметров с коэффициентами разложения.
родников, 1965) из раздельных и совместных ре-
В табл. 1 и 2 приняты стандартные обозначения
шений. Однако традиционный подход, заключаю-
кинематических параметров:
щийся в решении методом наименьших квадратов
U, V, W — компоненты вектора V0 поступательного
условных уравнений, имеет известные недостатки,
движения Солнца среди звезд, 〈r〉 — среднее рас-
так как не позволяет выявить систематические
стояние рассматриваемой группы звезд;
компоненты в наблюдательном материале, которые
изначально не включены в модельные уравнения.
ω123 — компоненты вектора угловой скорости
Ω;
Использование аппарата векторных (при анализе
собственных движений) и скалярных (при анализе
M+11,M+22,M+33 — параметры тензора деформации,
лучевых скоростей) сферических функций позво-
описывающие сжатие-растяжение вдоль главных
ляет не только обнаружить неучтенные система-
осей галактической системы координат;
тические эффекты, но и проверить адекватность
M+12,M+13,M+23 — параметры тензора M+, описы-
модели наблюдениям. Впервые эта техника, по-
вающие деформацию поля скоростей в основной и
видимому, была описана в работе (Витязев, Цвет-
двух перпендикулярных плоскостях.
ков, 1989) и применена в работе (Витязев, Цвет-
В работе (Витязев, Цветков, 2009) представле-
ков, 1990) еще на материале каталогов FK4 и более
ны и обратные соотношения, которые мы здесь не
ранних.
будем приводить.
Полный вид и алгоритм вычисления векторных
сферических функций, а также связь коэффици-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ентов сферического разложения с параметрами
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НАБЛЮДАТЕЛЬНЫМ
модели Огородникова-Милна (и сами уравнения)
ДАННЫМ
приведены в (Витязев, Цветков, 2009) и в (Витязев,
Для сохранения преемственности и возможно-
*Электронный адрес: a.s.tsvetkov@inbox.ru
сти корректного сравнения результатов мы про-
**Электронный адрес: amosov.f@mail.ru
вели разложение как собственных движений, так
61
62
ЦВЕТКОВ и др.
Таблица 1. Связь кинематических параметров модели
и лучевых звезд по векторным и скалярным сфе-
Огородникова-Милна с коэффициентами векторного
рическим функциям соответственно на материале
сферического разложения собственных движений звезд
400 тысячных выборок звезд по расстояниям, как
это было сделано в предыдущей статье (Цветков,
Коэффициент tnkp
Амосов, 2019). В силу отсутствия многополосной
Значение
или snkp
фотометрии в GAIA DR2 мы не проводили раз-
деление звезд по каким-либо признакам, кроме
t101
2.89ω3
расстояния. Приведем здесь только табл. 3 границ
выборок звезд и среднее расстояние звезд выборки.
t110
2.89ω2
Для каждой выборки были получены коэффи-
циенты разложения собственных движений звезд
t111
2.89ω1
по векторным сферическим функциям (табл. 4, 5)
и лучевых скоростей по скалярным сферическим
s101
-2.89W/〈r〉
функциям (табл. 6). Вычисления производились
непосредственно по индивидуальным звездам без
какого-либо усреднения. Поскольку все сфериче-
s110
-2.89V/〈r〉
ские функции являются ортонормированными на
сфере, среднеквадратичные ошибки всех коэффи-
s111
-2.89U/〈r〉
циентов одинаковые для каждой выборки, и мы
приводим только одно значение. Для удобства чи-
s201
-0.65M+11 - 0.65M+22 + 1.29M+33
тателя в таблицах выделены полужирным шриф-
том те значения, модуль которых превосходит три
s210
2.24M+23
среднеквадратичные ошибки его определения (так
называемый критерий 3σ).
s211
2.24M+13
s220
2.24M+12
АНАЛИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ
РАЗЛОЖЕНИЯ
s221
1.12M+11 - 1.12M+22
Сравнение табл. 4-5 и табл. 1 показывает
наличие значимых коэффициентов t101, t110, t111,
ответственных за твердотельное вращение группы
Таблица 2. Связь кинематических параметров модели
звезд. При этом довольно велик коэффициент t111,
Огородникова-Милна с коэффициентами скалярного
показывающий наличие вращения вокруг оси X.
сферического разложения лучевых скоростей звезд
Остальные тороидальные гармоники должны быть
равны нулю. Однако мы видим, что гармоники
Коэффициент tnkp
Значение
t301, t411, t321 и некоторые другие оказываются
или snkp
значимыми. Но основная внемодельная компонен-
та — это гармоника t211, ее значение лишь немно-
v001
1.18M+11 + 1.18M+22 + 1.18M+33
гим уступает основному эффекту — гармонике t101,
возникающей в силу вращения Галактики вокруг
v101
-2.05W/〈r〉
оси Z.
При анализе сфероидальных гармоник наблю-
v110
-2.05V/〈r〉
дается похожая картина. Весьма значимы гар-
моники, описывающие поступательные движения
v111
-2.05U/〈r〉
Солнца среди звезд: s101, s110, s111. Как и должно
быть, их значения убывают с увеличением рас-
v201
-0.53M+11 - 0.53M+22 + 1.06M+33
стояния. Гармоника s220, генерируемая параметром
Орта A, также большая и не зависит от рассто-
v210
1.83M+23
яния. Модельные гармоники s201, s210 невелики.
Лишь гармоника s211, ответственная за разность
v211
1.83M+13
сжатия/расширения звездной выборки по оси X и
Y , довольно значима. Из внемодельных гармоник
v220
1.83M+12
большое значение имеет s310. Этот эффект также
порядка вращения Галактики. Остальные внемо-
v221
0.92M+11 - 0.92M+
22
дельные гармоники хотя и формально значимы, но
малы.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
63
Таблица 3. Границы выборок 400 000 групп звезд в пк
Min
3
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
Max
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
3677
Avr
144
255
343
430
522
627
757
933
1168
1447
1745
2056
2396
2796
3328
Таблица 4. Тороидальные коэффициенты в км/с/кпк разложения собственных движений по векторным сфериче-
ским функциям. Жирным шрифтом выделены значимые по критерию 3σ величины
Min
3
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
Max
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
3677
t101
-35.8
-36.5
-35.9
-37.3
-37.9
-38.2
-38.4
-38.8
-39.8
-40.7
-41.2
-41.6
-41.7
-41.6
-41.2
t110
-15.6
-6.4
-3.1
-3.0
-3.4
-3.6
-1.5
-0.4
0.5
1.3
1.5
1.4
0.8
1.1
0.9
t111
2.2
4.3
2.0
3.1
2.5
1.2
-0.3
0.7
1.9
3.7
3.5
4.9
3.3
3.8
2.6
t201
0.2
0.5
0.3
-0.8
-1.3
-1.4
-2.1
-1.3
-1.0
-0.7
0.3
0.7
1.4
1.2
1.4
t210
-1.2
-0.4
-1.3
-2.3
-3.0
-3.5
-4.6
-3.6
-3.6
-2.9
-2.6
-1.9
-1.6
-0.3
-0.2
t211
19.2
11.5
9.9
10.6
9.2
8.9
10.5
14.8
17.9
20.4
20.8
21.0
21.5
22.7
22.1
t220
-0.3
0.3
0.0
-0.2
-0.6
0.1
-0.4
-0.4
-0.3
-0.8
-1.0
-0.9
-0.5
0.0
-0.2
t221
1.8
0.5
-0.3
-0.5
0.1
0.9
1.0
1.3
1.2
0.0
0.4
-0.5
-0.2
-0.8
-0.1
t301
-5.4
-2.0
-1.3
-0.8
-0.2
-0.8
-1.9
-3.1
-3.9
-3.4
-2.7
-1.7
-0.6
0.1
1.6
t310
2.0
4.9
2.5
1.4
-0.3
0.0
1.6
2.3
2.1
1.8
0.7
0.5
0.3
0.5
0.2
t311
-0.8
-1.9
-2.1
0.0
-0.2
-1.5
-2.1
-0.3
0.4
1.6
1.2
1.4
0.3
0.6
-0.1
t320
0.0
0.2
-0.6
0.5
0.6
1.4
1.0
-0.3
0.3
-0.3
-0.1
-0.2
0.0
-0.5
0.1
t321
-1.2
0.8
-0.6
0.4
0.4
1.0
1.3
2.5
2.4
3.1
3.6
3.5
3.9
4.1
4.3
t330
-1.0
0.2
-0.3
-0.6
0.1
-0.3
-0.6
-0.3
0.0
-0.3
0.2
0.0
0.5
0.0
0.2
t331
2.0
-0.9
0.0
0.0
-0.4
-0.3
0.1
0.3
0.1
0.3
0.2
0.3
0.3
0.0
0.0
t401
4.5
0.1
-2.0
-0.9
-1.2
-1.2
-0.4
0.5
1.3
0.4
1.0
1.4
1.4
1.2
1.0
t410
-0.5
-2.1
-1.3
-0.5
0.0
-0.5
-0.9
-0.2
-0.3
0.6
1.0
0.7
0.8
0.9
0.8
t411
-3.3
-2.7
-2.2
-1.0
-2.2
-1.0
1.4
1.5
-0.2
-1.0
-2.4
-3.3
-3.4
-2.4
-2.4
t420
1.8
-0.4
-0.5
0.3
-0.4
0.2
-0.4
0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.4
0.7
0.3
t421
-3.2
1.1
-1.1
1.1
0.5
0.7
0.5
0.4
0.7
-0.9
-0.3
-0.8
-0.5
-0.8
-0.1
t430
-1.1
-0.6
0.6
0.2
-0.3
-0.7
-0.1
0.3
0.3
0.0
0.1
0.3
0.3
0.5
0.4
t431
-1.5
0.1
-0.6
-1.0
-0.3
-0.1
0.0
0.6
0.9
0.5
0.6
0.7
0.0
0.0
-0.4
t440
0.7
0.1
-0.2
-0.2
-0.2
0.0
-0.1
0.0
-0.2
0.0
0.0
0.0
-0.1
0.0
0.0
t441
1.2
-0.8
-0.1
0.0
0.4
0.0
-0.2
-0.1
0.1
0.0
0.1
0.1
0.0
0.1
0.0
σ
1.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
64
ЦВЕТКОВ и др.
Таблица 5. Сфероидальные коэффициенты в км/с/кпк разложения собственных движений по векторным сфериче-
ским функциям. Жирным шрифтом выделены значимые по критерию 3σ величины
Min
3
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
Max
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
3677
s101
-179
-88.2
-66.4
-52.8
-43.7
-36.7
-30.9
-25.9
-21.1
-16.7
-14.3
-11.9
-10.5
-9.2
-8.5
s110
-517
-255
-194
-156
-130
-110
-98.3
-93.8
-91.1
-86.9
-82.6
-79.6
-77.7
-77.6
-77
s111
-229
-110
-85.5
-69.4
-59.1
-50.1
-44.7
-38.1
-31.9
-27
-23.5
-19.9
-17.4
-14.3
-12.5
s201
-2.9
2.4
2.6
3.3
3.2
2.9
2.8
2.2
2.5
2
1.4
2
1.4
1.8
1.9
s210
-1.5
-2.5
0.5
-0.8
-1
0.9
2.8
1.5
-0.5
-2.1
-2.3
-3.2
-1.5
-1.8
-1
s211
-6.1
-2.5
-0.4
-2.5
-2.9
-2.8
-0.7
-0.4
-0.4
-0.3
-0.3
-0.4
-1.2
-0.8
-1
s220
38.7
36.2
34.6
33.7
33.6
34.1
33.5
31.5
30.1
28
26.9
25.6
24.4
23.3
21.3
s221
-3.5
-6.1
-7.3
-7.4
-7.8
-7.2
-5.8
-4.7
-3.6
-3.3
-2.8
-3.2
-2.4
-2.6
-1.2
s301
-5.8
-0.9
-1.1
-0.6
-1.6
-1.9
-2.4
-2
-1.7
-0.5
-1.1
-0.5
-0.6
-0.7
-1.4
s310
-15.4
-7.5
-7.2
-8
-7.7
-7.6
-8.8
-12.1
-14.4
-15.5
-15.3
-15.8
-16.4
-17.2
-17.5
s311
-2.5
-0.1
-0.2
-1.2
-1
-1.3
-2.5
-2.3
-1.7
-1.2
-0.9
-0.6
-0.5
-0.1
0.1
s320
-3.4
0
-0.3
0.6
-0.2
-0.7
-1.5
-1.8
-1.3
-0.1
-0.3
0.6
0.2
0.7
0.3
s321
-1.3
-0.4
-0.8
-0.6
-0.7
-0.3
-0.3
-0.4
-0.2
-0.6
-0.6
-0.5
-0.2
0.2
0.2
s330
2
1.9
2.1
2.1
2
2
1.5
1.6
2.1
3.2
3.3
3.5
4
3.9
4.3
s331
-0.3
-1.3
-1.4
-1.9
-0.9
-1.1
-1.3
-1
-1
-1.6
-1.6
-1.3
-1.2
-1.1
-1.1
s401
0.4
-1.3
0.7
-0.3
-0.3
-0.1
-0.2
-0.4
0.8
0.5
0.6
0.6
0.4
0.7
0.9
s410
0.2
-0.3
1.2
-1.3
-0.6
0.7
1.3
0.4
-0.7
-1
-0.9
-0.6
0
0.2
0.4
s411
5.6
3
1.4
-0.3
-0.5
0.7
1.1
0.6
-0.3
-0.6
-0.9
-0.6
-0.9
-0.5
-0.7
s420
0.5
-0.1
0
-0.7
-1.3
-0.8
-1
-2
-2.2
-2.9
-3.1
-3
-3.4
-3.3
-3.9
s421
-4.1
-1.1
-0.4
-0.2
1.3
1.3
1
0.3
0
-0.2
-0.3
-0.7
0
-0.3
0.1
s430
-0.4
1.9
0.9
0.6
0.6
0.6
-0.1
-0.4
-0.2
-0.5
0
-0.2
-0.3
0.2
0
s431
-1.3
0.2
0.1
-0.7
-0.2
-0.2
0.1
-0.3
-0.1
-0.3
0
0
0.4
0
0.3
s440
0
0.2
0
0.7
0.7
-0.1
-0.8
-0.7
-0.9
0
0.1
0
0.3
0.6
0.9
s441
4.1
0.5
-0.5
0
-0.4
0.7
0.7
0.8
0.7
0.6
0.4
0.1
0
-0.2
-0.1
σ
1.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
65
Таблица 6. Коэффициенты разложения лучевых скоростей км/с по сферическим функциям. Жирным шрифтом
выделены значимые по критерию 3σ величины
Min
3
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
Max
208
300
386
474
571
687
835
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
3677
v001
0.8
-0.6
-1.0
-2.0
-2.8
-2.7
-3.4
-4.0
-5.1
-4.7
-2.6
-2.8
-0.7
-0.2
-0.3
v101
-16.2
-16.3
-16.0
-16.9
-17.6
-16.7
-16.0
-16.4
-16.3
-17.0
-16.1
-16.5
-16.6
-16.2
-18.3
v110
-43.9
-44.0
-43.8
-43.7
-43.8
-43.6
-44.3
-48.6
-57.7
-65.7
-73.5
-81.6
-90.2
-99.5
-110.3
v111
-20.6
-20.3
-20.8
-21.0
-20.9
-21.0
-21.2
-22.0
-22.9
-24.4
-25.4
-26.2
-25.5
-25.5
-24.3
v201
0.1
0.3
0.2
0.4
1.1
1.6
2.2
2.1
1.7
2.0
3.8
3.0
4.6
2.8
2.4
v210
-0.5
0.0
0.1
-0.1
-0.2
-0.2
0.1
0.4
0.9
-1.2
-0.7
-2.2
-2.3
-3.6
-1.7
v211
-1.4
-1.8
-1.2
-1.3
-1.5
-1.7
-2.4
-2.2
-1.8
-1.5
-0.9
-1.6
-0.2
-1.1
0.5
v220
4.8
8.1
10.3
12.3
15.1
17.5
20.2
23.6
28.1
32.5
37.0
41.8
46.4
51.2
55.1
v221
-0.7
-1.9
-2.2
-2.7
-3.6
-3.4
-3.5
-3.5
-2.7
-2.8
-1.8
-1.2
-1.0
-0.7
0.1
v301
0.4
0.0
-0.8
-0.7
-0.7
-0.8
-0.2
-0.6
-0.7
-1.8
-1.7
-2.1
-3.0
-3.7
-5.2
v310
-0.8
-1.9
-2.5
-3.2
-3.6
-4.5
-5.3
-8.5
-15.0
-20.4
-26.1
-32.1
-38.7
-46.5
-53.4
v311
0.5
0.3
0.0
-0.1
-0.7
-0.5
-1.1
-1.4
-1.5
-2.0
-1.8
-1.6
-0.5
0.1
1.6
v320
-0.2
-0.2
0.4
0.1
-0.3
-0.5
-0.2
-0.8
-0.5
-0.5
-0.6
-0.5
0.6
-0.1
0.2
v321
-0.2
0.0
0.0
-0.1
-0.3
0.1
0.0
-0.2
-0.5
-0.2
-0.4
-0.7
-0.4
-1.2
-1.5
v330
0.0
0.2
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.6
2.4
3.5
4.4
5.9
7.6
9.7
13.0
v331
-0.2
-0.1
0.0
-0.4
-0.2
-0.3
-0.5
-1.0
-1.9
-2.4
-2.8
-2.9
-3.2
-2.8
-3.2
v401
0.0
0.0
0.2
0.0
0.3
0.5
0.6
0.2
0.1
-0.3
0.1
0.5
2.0
1.4
2.6
v410
-0.1
0.2
0.5
0.5
0.0
-0.2
0.4
0.6
1.1
-0.1
-0.1
-0.8
-0.3
-0.4
1.1
v411
0.2
0.8
1.1
0.0
0.0
0.3
0.3
0.6
0.9
1.2
1.6
1.4
2.7
2.6
3.6
v420
-0.1
-0.1
-0.3
-0.5
-0.8
-0.8
-1.6
-2.3
-3.3
-5.7
-7.8
-9.6
-12.4
-15.2
-20.3
v421
0.1
0.1
0.0
0.3
-0.1
0.6
1.0
1.1
1.1
-0.3
-0.3
-1.0
-2.4
-3.6
-3.0
v430
-0.2
0.3
0.1
0.3
0.3
0.0
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-1.1
-1.0
-0.8
-0.3
-0.4
v431
0.1
0.1
-0.2
-0.3
0.0
-0.2
-0.5
-0.2
0.0
0.2
0.9
0.4
0.6
0.1
-0.3
v440
0.0
-0.1
0.4
0.4
0.1
-0.4
-0.5
-0.8
-0.7
-0.2
0.3
1.0
1.8
2.9
3.9
v441
-0.3
0.2
-0.1
-0.1
-0.1
0.2
0.4
0.5
0.9
1.3
1.2
1.0
0.7
0.6
-0.7
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.6
0.7
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
66
ЦВЕТКОВ и др.
40
20
t
s
15
14 13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 15
20
40
60
80
100
Рис. 1. “Спектр” разложения собственных движений звезд для расстояний 835-1040 пк, слева — коэффициенты tj,
справа — sj. Использована линейная нумерация коэффициентов. По вертикальной оси — значение коэффициентов в
км/с/кпк.
Для иллюстрации данных табл. 4-5 мы предла-
в то время как для остальных членов есть. Для соб-
гаем способ, который можно назвать “спектр” соб-
ственных движений картина обратная. Солнечные
ственных движений. Рисунок 1 представляет этот
члены зависят от расстояния, в то время как члены,
спектр для расстояний 835-1040 пк. Для более
описывающие кинематику Галактики в линейном
компактного представления мы использовали ли-
приближении от расстояния не зависят. В силу
нейную нумерацию коэффициентов по следующей
этого зависимость от расстояния внемодельной
формуле (Броше, 1966):
гармоники v310 служит указанием на ее кинемати-
ческий характер неучтенного движения звезд.
j = n2 + 2k + p - 1,
(1)
Спектр разложения лучевых звезд для звезд тех
же расстояний 835-1040 пк представлен на рис. 2.
которая позволяет преобразовать три индекса
На нем так же использована линейная нумерация
n,k,p в один.
коэффициентов. Сильная внемодельная гармони-
Сильные внемодельные гармоники в этой нуме-
ка, в этих обозначениях v10, выделена штриховкой.
рации имеют обозначаются как t6 и s10 и выделены
Подводя итоги анализа коэффициентов разло-
штриховкой на рисунке.
жения как собственных движений, так и лучевых
Обратимся теперь к анализу коэффициентов
скоростей звезд, резюмируем:
разложения лучевых скоростей (табл. 6) и срав-
ним их с данными из табл. 2. Самый сильный
1. Кинематика самых близких звезд значитель-
эффект — это движение Солнца — коэффициенты
но отличается от кинематики более далеких
v101, v110 и v111. Отчетливо прослеживается диф-
звезд как в систематическом, так и в слу-
ференциальное вращение Галактики по коэффици-
чайном отношении (большие ошибки коэф-
енту v220, начиная с расстояний в несколько сот
фициентов). Это известный факт, вызванный
парсек. Остальные значимые модельные гармони-
наличием аномалии в кинематике Местной
ки сравнительно малы (v221, v001). Из внемодель-
системы звезд (Цветков, 1999) и (Цвет-
ных гармоник опять сильно выделяются v310 и для
ков, 1995) и пекулярными скоростями, за-
больших расстояний — v420. Мы наблюдаем рост
метно искажающими собственные движения
гармоники v220 и v310, что связано с их кинематиче-
близких звезд.
ским характером, так как в модели Огородникова-
Милна для лучевых скоростей лишь в функциях
2. Существуют стабильные кинематические
при параметрах движения Солнца нет расстояний,
эффекты в движениях звезд, не описываемые
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
67
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 15 16
17
18 19 20 21 22 23 24
10
20
30
40
50
Рис. 2. “Спектр” разложения лучевых скоростей звезд для расстояний 835-1040 пк. Использована линейная нумерация
коэффициентов. По вертикальной оси — значение коэффициентов в км/с.
моделью, а именно наличие коэффициентов
- rG(3cos2 bcos l - cos2 bcos3 l,
t211, s310 и v310 (или t6, s10 и v10). Этот
факт менее известен, хотя обнаруживался
b = U/r cos l sin b + V/r sinl sin b -
(3)
при анализе собственных движений звезд
- W/r cos b - Asin bcos bsin 2l +
каталога Tycho-2 и лучевых скоростей
каталога OSACA (Витязев, Шуксто, 2004)
+ rF cos2 bsin bsin l cos2 l + rGcos2 bsin bsin3 l -
и (Витязев, Цветков,
2009). Последнее
- K cosbsinb,
означает, что, по-видимому, действительно
в кинематической картине движения звезд в
Vr/r = -U/r cos bcos l - V/r cos bsinl -
(4)
околосолнечном пространстве присутствуют
неучтенные эффекты. До появления каталога
− W/r sin b + Acos2 bsin 2l - rF cos3 bsin l cos2 l -
GAIA была небольшая вероятность, что эти
- rGcos3 bsin3 l + K cos2 b.
гармоники могут быть следствием система-
тических ошибок в собственных движениях
Здесь:
звезд каталогов.
• k = 4.738 —множитель перехода от мсд/год
ВОЗМОЖНАЯ ПРИРОДА
ВНЕМОДЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ В
в км/с/кпк;
РАЗЛОЖЕНИЯХ
• l,b,r — галактические координаты звезды;
Систематическая значимость гармоник t211, s310
и v310 нуждается в объяснении. Одно из воз-
• U, V, W — компоненты вектора V0 поступа-
можных объяснений — нелинейные члены в мо-
тельного движения Солнца среди звезд;
дели вращения Галактики. В самом простом слу-
чае — это обобщенная модель Орта-Линдблада.
• A = 0.5R0ω0 и B = 0.5R0ω0 + ω0 — пара-
В общем случае эти уравнения являются частным
метры Орта, R0 — расстояние до центра
случаем формул Боттлингера, подробное описание
Галактики, ω0 — угловая скорость вращения
которых есть в (Бобылев, Байкова, 2004) и в (Бо-
былев, Байкова, 2017). Мы приведем эти уравне-
Галактики (напомним, что A = M+12 и B =
ния так, как они даны в (Витязев, Цветков, 2009):
= ω3);
l cosb = U/r sin l - V/r cos l +
(2)
• K —общее сжатие-растяжение системы в
+ Acosbcos2l + B cosb - rF cos2 bcos3 l -
плоскости XY ;
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
68
ЦВЕТКОВ и др.
Таблица 7. Вклад обобщенной модели Орта в коэффициенты скалярного и векторного сферического разложения
j
n
k
p
vnkp
tnkp
snkp
0
0
0
1
2.363K
1
1
0
1
-2.047W/〈r〉
2.894B
-2.894W/〈r〉
2
1
1
0
-2.047V/〈r〉
-2.894V/〈r〉
0.409F〈r〉 - 1.228G〈r〉
-1.158F〈r〉 - 3.473G〈r〉
3
1
1
1
-2.047U〈r〉
-2.894U/〈r〉
4
2
0
1
-1.057K
-1.294K
5
2
1
0
6
2
1
1
-0.747F〈r〉 - 2.242G〈r〉
7
2
2
0
1.831A
2.242A
8
2
2
1
9
3
0
1
10
3
1
0
0.109F 〈r〉 + 0.328G〈r〉
0.126F 〈r〉 + 0.379G〈r〉
11
3
1
1
12
3
2
0
13
3
2
1
14
3
3
0
-0.424F〈r〉 + 0.424G〈r〉
-0.489F〈r〉 + 0.489G〈r〉
15
3
3
1
F и G —параметры Орта второго порядка,
t211 = -0.747(F + 3G)〈r〉,
F = 0.5R0ω′′0 и G = A/R0.
s310 = 0.126(F + 3G)〈r〉,
т.е. мы можем определить только комбинацию (F +
Если провести теоретическое разложение урав-
+ 3G) 〈r〉. Для звезд 835-1040 пк (среднее значе-
нений (2)-(4) по сферическим гармоникам, то в
ние расстояния около 0.933 кпк) имеем следующее:
дополнение к табл. 1 и 2 мы получим результат,
представленный в табл. 7.
v310 → F + 3G = -8.5/0.109/0.933 = -83.6, (6)
Мы видим, что наличие в собственных движени-
t211 → F + 3G = 14.8/(-0747)/0.933 = -21.2,
ях гармоник t211, s310, а в лучевых скоростях гармо-
s310 → F + 3G = -12.1/0.126/0/933 = -83.6,
ники v310 может быть объяснено расширенной мо-
делью Орта. К сожалению, получить отдельно зна-
Как мы видим, значения, полученные по луче-
чения F и G по этим трем гармоникам невозможно
вым скоростям и по сфероидальным гармоникам,
из-за линейной зависимости. Действительно,
близки друг другу. А значение, определенное по
v310 = 0.109(F + 3G)〈r〉,
(5)
тороидальной гармонике, выбивается.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
69
Таблица 8. Значения параметров расширенной модели Орта, полученные из совместного решения уравнений
(2)-(4)
Min
3
208
300
386
474
571
687
835
Max
208
300
386
474
571
687
835
1040
U
9.2 ± 0.0
8.9 ± 0.0
9.3 ± 0.0
9.4 ± 0.0
9.6
± 0.0
9.8 ± 0.0
10.1 ± 0.0
10.6 ± 0.1
V
19.5 ± 0.1
19.9 ± 0.1
20.1 ± 0.1
20.4 ± 0.1
20.4
± 0.1
20.3 ± 0.1
20.4 ± 0.1
22.0 ± 0.1
W
7.9 ± 0.0
7.8 ± 0.0
7.8 ± 0.0
7.9 ± 0.0
7.9
± 0.0
7.9 ± 0.0
7.8 ± 0.0
8.0 ± 0.0
A
16.5 ± 0.5
15.8 ± 0.2
15.1 ± 0.1
14.8 ± 0.1
15.0
± 0.1
15 ± 0.1
14.8 ± 0.1
14.5 ± 0.0
B
-11.0 ± 0.5
-11.0 ± 0.2 -11.1 ± 0.1 -11.7 ± 0.1
-12.1
± 0.1 -12.3 ± 0.1
-12.3 ± 0.1
-12.3 ± 0.0
F
-13.9 ± 11.8 -10.5 ± 2.7 -10.2 ± 1.5
-8.1 ± 0.9
-6.3
± 0.4
-4.8 ± 0.4
-2.7 ± 0.2
-2.6 ± 0.1
G
2.9 ± 4.4
2.4 ± 1.1
3.2 ± 0.6
1.5 ± 0.4
1.6
± 0.2
1.5 ± 0.2
1.6 ± 0.1
1.4 ± 0.1
K
2.8 ± 0.5
-1.2 ± 0.2
-1.2 ± 0.1
-1.8 ± 0.1
-2.0
± 0.1
-1.7 ± 0.1
-1.8 ± 0.1
-1.7 ± 0.0
Min
1040
1303
1594
1897
2220
2582
3031
Max
1303
1594
1897
2220
2582
3031
3677
U
11.1 ± 0.1
11.6 ± 0.1
12.1 ± 0.1
12.5 ± 0.1
12.6 ± 0.1
13.0 ± 0.1
13.2 ± 0.1
V
25.1 ± 0.1
27.8 ± 0.1
29.8 ± 0.1
31.2 ± 0.1
32.7 ± 0.1
33.3 ± 0.1
33.6 ± 0.1
W
8.1 ± 0.0
8.2 ± 0.1
8.3 ± 0.1
8.5 ± 0.1
8.7 ± 0.1
8.8 ± 0.1
9.1 ± 0.1
A
14.0 ± 0.0
13.6 ± 0.0
13.3 ± 0.0
12.9 ± 0.0
12.6 ± 0.0
12.1 ± 0.0
11.4 ± 0.0
B
-12.5 ± 0.0
-13.0 ± 0.0
-13.3 ± 0.0
-13.7 ± 0.0
-14.1 ± 0.0
-14.3 ± 0.0
-14.6 ± 0.0
F
-2.9 ± 0.1
-3.4 ± 0.1
-2.9 ± 0.1
-2.7 ± 0.0
-2.4 ± 0.0
-2.0 ± 0.0
-1.6 ± 0.0
G
1.1 ± 0.1
1.1 ± 0.0
1.0 ± 0.0
1.0 ± 0.0
1.0 ± 0.0
1.0 ± 0.0
1.1 ± 0.0
K
-1.7 ± 0.0
-1.4 ± 0.0
-1.1 ± 0.0
-0.8 ± 0.0
-0.6 ± 0.0
-0.3 ± 0.0
-0.1 ± 0.0
Дальнейшее знакомство с табл. 7 заставляет
тиворечие в прямой интерпретации внемодельных
нас проверить значения коэффициентов v330 и s330,
гармоник, как проявление эффектов расширенной
которые так же порождаются параметрами F и G.
модели Оорта.
Анализ этих гармоник показывает, что они в целом
Для окончательного выяснения мы провели
малы (за исключением v330 для далеких звезд). Это
непосредственно совместное решение уравне-
означает либо отсутствие данных кинематических
ний (2)-(4) по собственным движениям и лучевым
эффектов, либо примерное равенство величин F и
скоростям звезд на материале тех же выборок с
G.
учетом индивидуальных расстояний звезд. Резуль-
Сопоставление этих фактов указывает на про- таты представлены в табл. 8. Для той же выборки
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
70
ЦВЕТКОВ и др.
6
4
2
0
2
4
6
8
10
F
12
G
14
16
Рис. 3. Зависимость параметров F и G от расстояния. По вертикальной оси — значение коэффициентов в км/с/кпк.
звезд со средним расстоянием около 0.93 кпк, мы
Вклад трехмерной модели второго порядка в
имеем F = -2.9 км/с/кпк-2, G = 1.4 км/с/кпк-2,
коэффициенты сферического разложения
что прекрасно согласуется со значениями, полу-
Можно рассмотреть полую трехмерную модель
ченными в (Бобылев, Байкова, 2014), но находится
второго порядка. Подробному выводу уравнений
в резком противоречии с выражениями (6), из ко-
следует, по-видимому, посвятить отдельную статью
торых следует что F и G должны быть значительно
в силу довольно громоздких выкладок. Предва-
больше по модулю. Таким образом, большие
рительно следует сказать, что в силу корреляций,
значения гармоник t211, s310 и v310 не могут быть
видимо, вообще не имеет смысла решать уравнения
объяснены расширенной моделью Оорта. Хотя
второго порядка, так как можно будет получить
значение гармоники s330 = 0.42(G-F )находится в
лишь линейные комбинации параметров. В данном
хорошем согласии с найденными параметрами F и
случае метод разложения по сферическим гармо-
G, но если попытаться получить F и G, например,
никам и использование полученных коэффициен-
тов для анализа нелинейной части модели пред-
из комбинации гармоник s310 и s330, то мы получим
ставляется наиболее целесообразным.
нереально большие значения F ≈ 26 км/c/кпк2,
Введем частные производные от кинематиче-
G ≈ -23 км/c/кпк2.
ских параметров вдоль главных осей галактической
системы координат X, Y, Z, которые обозначим че-
Есть еще одно обстоятельство, из которого сле-
рез
,
,
соответственно. Разложение полу-
∂r1
∂r2
∂r3
дует, что параметры F и G должны иметь относи-
ченных уравнений второго порядка по скалярным
тельно малые значения. Смысл нелинейных чле-
(для лучевых скоростей) и векторным (для соб-
нов — производные параметров Оорта по рассто-
ственных движений) сферическим функциям пред-
янию. Но результаты предыдущей работы авторов
ставлено в табл. 9-11, множитель 〈r〉 (среднее рас-
(Цветков, Амосов, 2019) как раз показали уди-
стояние рассматриваемой группы звезд) у каждой
вительную стабильность параметров Оорта (B =
частной производной для компактности опущен.
= ω3, A = M+12) для значительных диапазонов
В этих таблицах присутствует и вклад линейной
расстояний, следовательно, производные от этих
модели первого порядка, который уже был пред-
параметров должны быть малы. Для близких звезд
ставлен в табл. 1-2.
значения многих кинематических параметров вели-
Мы видим, что большое число производных от
ки, что объясняется аномалиями Местной системы
кинематических параметров входит в виде линей-
звезд (Цветков, 1995). С расстояний свыше 500 пк
ной комбинации в отдельные гармоники. В некото-
значения параметров F и G уменьшаются и стаби-
рых случаях параметры второго порядка наклады-
лизируются (рис. 3).
ваются на коэффициенты, которые ранее предпо-
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
71
лагались зависящими лишь от параметров первого
информация (например, о незначимости некоторых
порядка (s101, s110, s111, v101, v110, v111).
параметров второго порядка), которая позволила
Вернемся, однако, к рассматриваемым гармо-
бы если и не полностью получить значения всех
никам, имеющим большое значение. Выпишем от-
параметров, то хотя бы значения их менее сложных
дельно для них полные выражения из табл. 9-11,
линейных комбинаций.
группируя слагаемые так, чтобы их было удобно
Мы можем лишь предложить такое упрощение:
анализировать. Имеем (с точностью до множителя
оставим в уравнениях (7)-(9) только производные
〈r〉):
(
от M+12 = A и от ω3 = B по r1, считая остальные
∂M+11
∂M+12
значения малыми, тогда уравнения (7)-(9) сводят-
s310 = 0.13
-
-2
-
(7)
∂r2
∂r1
ся к
)
∂M+22
∂M+33
∂M+23
∂M+12
3
+4
+8
,
s310 = -0.26
〈r〉 ,
(10)
∂r2
∂r2
∂r3
∂r1
(
∂M+12
∂M+11
∂M+12
v310 = -0.22
〈r〉 ,
v310 = 0.11
-
-2
-
(8)
∂r1
∂r2
∂r1
)
)
(∂M+
∂ω3
12
∂M+22
∂M+33
∂M+23
t211 = 0.37
+3
〈r〉.
-3
+4
+8
,
∂r1
∂r1
∂r2
∂r2
∂r3
(
∂M+11
∂M+12
∂M+23
Здесь мы уже не стали опускать множитель 〈r〉.
t211 = 0.37
-
+
-
+
Взяв из табл. 4-6 значения коэффициентов для
∂r2
∂r1
∂r3
диапазона 835-1040 со средним значением 〈r〉 =
(9)
))
= 0.933 кпк:
∂M+33
(∂ω1
∂ω3
+
+3
+
t211 = 14.8, s310 = -12.1, v310 = -8.5,
∂r2
∂r3
∂r1
Анализ формул (7)-(9) показывает, что есть
получаем из s310 и v310 среднее значение∂M+12 =∂r
1
,∂M+23,∂r
= 44 км/с/кпк-2 , а ∂ω3 0!∂r
r2
r1
3
1
∂M+33, которые входят во все 3 коэффициента.∂r
2
Это довольно странный результат, если учесть,
Кроме этого, параметр∂M+22 входит в коэффици-∂r
2
= ∂A , что во многом по смыслу сов-∂r
r1
1
енты s310 и v310, в то время как в t211 входят∂ω1 и∂r
3
падает с параметром Оорта F . Мы предположи-
∂ω3. Вероятно, этим и можно объяснить схожесть∂r
ли, что другие частные производные от кинемати-
1
ческим параметров модели Огородникова-Милна
поведения s310 и v310 и отличие t211, если проводить
близки к нулю, просто в связи с тем, что сами
анализ в рамках расширенной модели Оорта.
эти параметры обычно малы. Но малое значение
Теоретическое соотношение коэффициентов
параметров не означает, что производные от них
s310 и v310 практически точно совпадает с соотно-
тоже малы. Так что вопрос о нелинейных эффектах
шением коэффициентов, полученных на материале
в поле скоростей звезд нуждается в дальнейшей
каталога. Это значит, что линейная комбинация
проработке. Некоторым указанием на то, что вне-
параметров в формулах (7) и (8) имеет одно и
то же значение при анализе лучевых скоростей и
модельные коэффициенты t211, s310 и v310 суть про-
собственных движений.
явление нелинейных эффектов, является рост их
Приведенные рассуждения не решают зада-
абсолютных значений с увеличением расстояния,
чу об отождествлении внемодельных гармоник с
так как в нелинейные параметры всегда входит
какими-то конкретными параметрами кинематиче-
〈r〉 — среднее расстояние рассматриваемой груп-
ской модели, так как система уравнений, задава-
пы звезд. Ближе 500 пк, по-видимому, имеют силу
емая табл. 9-11, недоопределена. Число опреде-
местные кинематические эффекты (рис. 4).
ляемых параметров превосходит число коэффи-
Возможно, природа гармоник t211, s310 и v310,
циентов разложения. Кроме того, мы видим, что
коэффициенты могут быть пропорциональны друг
вообще, другая (особенности распределения звезд,
другу и могут быть использованы лишь некото-
звездные потоки, что-либо еще). Интересно от-
рые дополнительные критерии адекватности моде-
метить, что существуют значимые коэффициенты
ли наблюдениям.
(например, v420 для больших расстояний), которые
Для полного описания системы в рамках модели
не могут быть проинтерпретированы даже в рамках
второго порядка нужна какая-то дополнительная
модели второго порядка.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
72
ЦВЕТКОВ и др.
Таблица 9. Вклад кинематической модели второго порядка в тороидальные коэффициенты векторного сферическо-
го разложения собственных движений звезд. Множитель 〈r〉 у всех частных производных опущен
j
N
k
p
tj
1
1
0
1
2.89ω3
2
1
1
0
2.89ω2
3
1
1
1
2.89ω1
∂ω1
∂ω2
∂ω3
∂M+13
∂M+23
4
2
0
1
-0.65
- 0.65
+ 1.30
- 0.65
+ 0.65
∂r1
∂r2
∂r3
∂r2
∂r1
∂ω2
∂ω3
∂M+12
∂M+13
∂M+22
∂M+33
5
2
1
0
1.12
+ 1.12
- 0.37
+ 0.37
+ 0.37
- 0.37
∂r3
∂r2
∂r2
∂r3
∂r1
∂r1
∂ω1
∂ω3
∂M+11
∂M+12
∂M+23
∂M+33
6
2
1
1
1.12
+ 1.12
- 0.37
+ 0.37
- 0.37
+ 0.37
∂r3
∂r1
∂r2
∂r1
∂r3
∂r2
∂ω1
∂ω2
∂M+11
∂M+13
∂M+22
∂M+23
7
2
2
0
1.12
+ 1.12
+ 0.37
- 0.37
- 0.37
+ 0.37
∂r2
∂r1
∂r3
∂r1
∂r3
∂r2
∂ω1
∂ω2
∂M+12
∂M+13
∂M+23
8
2
2
1
1.12
- 1.12
- 0.75
+ 0.37
+ 0.37
∂r1
∂r2
∂r3
∂r2
∂r1
30
20
10
t211
s330
0
υ330
-10
-20
-30
−40
-50
-60
Рис. 4. Зависимость гармоник t211, s310 и v310 от расстояния. По вертикальной оси — значение коэффициентов в
км/с/кпк.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
фекты, как поступательно движение Солнца, твер-
дотельное вращение в основном вокруг оси Z,
Проведенное исследование показало, что в соб-
ственных движениях и лучевых скоростях звезд
но есть и меньший эффект вокруг оси X. Также
уверенно присутствуют такие кинематические эф-
не подлежит сомнению наличие деформации поля
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
73
Таблица 10. Вклад кинематической модели второго порядка в сфероидальные коэффициенты векторного сфериче-
ского разложения собственных движений звезд. Множитель 〈r〉 у всех частных производных опущен
j
N
k
p
tj
∂ω1
∂ω2
∂M+11
∂M+13
∂M+22
∂M+23
∂M+33
1
1
0
1
-2.89W/r + 1.45
- 1.45
- 0.29
+ 0.87
- 0.29
+ 0.87
+ 0.56
∂r2
∂r1
∂r3
∂r1
∂r3
∂r2
∂r3
∂ω1
∂ω3
∂M+11
∂M+12
∂M+22
∂M+23
∂M+33
2
1
1
0
-2.89V/r - 1.45
+ 1.45
- 0.29
+ 0.87
+ 0.58
+ 0.87
- 0.29
∂r3
∂r1
∂r2
∂r1
∂r2
∂r3
∂r1
∂ω2
∂ω3
∂M+11
∂M+12
∂M+13
∂M+22
∂M+33
3
1
1
1
-2.89U/r + 1.45
- 1.45
+ 0.58
+ 0.87
+ 0.87
- 0.29
- 0.29
∂r3
∂r2
∂r1
∂r2
∂r3
∂r1
∂r1
4
2
0
1
-0.65M+11 - -0.65M+22 + 1.30M+33
5
2
1
0
2.24M+23
6
2
1
1
2.24M+13
7
2
1
0
2.24M+12
8
2
2
1
1.12M+11 - 1.12M+22
∂M+11
∂M+13
∂M+12
∂M+23
∂M+33
9
3
0
1
-0.31
- 0.62
- 0.31
- 0.62
+ 0.62
∂r3
∂r1
∂r3
∂r2
∂r3
∂M+11
∂M+12
∂M+22
∂M+23
∂M+33
10
3
1
0
-0.13
- 0.25
- 0.38
+ 1.01
+ 0.51
∂r2
∂r1
∂r2
∂r3
∂r2
∂M+11
∂M+12
∂M+13
∂M+22
∂M+33
11
3
1
1
-0.38
- 0.25
+ 1.01
- 0.13
+ 0.51
∂r1
∂r2
∂r3
∂r2
∂r1
∂M+12
∂M+13
∂M+23
12
3
2
0
0.80
+ 0.80
+ 0.80
∂r3
∂r2
∂r1
∂M+11
∂M+13
∂M+22
∂M+23
13
3
2
1
0.40
+ 0.80
- 0.40
- 0.80
∂r3
∂r1
∂r3
∂r2
∂M+11
∂M+12
∂M+22
14
3
3
0
0.49
+ 0.98
- 0.49
∂r2
∂r1
∂r2
∂M+11
∂M+12
∂M+22
15
3
3
1
0.49
- 0.98
- 0.49
∂r1
∂r2
∂r1
скоростей в плоскости XY . Остальные компонен-
гармоникам s310, v310 и t211. Возможно, ключ
к
ты линейной модели присутствуют в незначитель-
пониманию природы этих гармоник лежит в ис-
ном количестве. Загадку составляет существова-
пользовании полной трехмерной модели второго
ние сильных гармоник t211, s310 и v310, не описыва-
емых линейными звездно-кинематическими моде-
порядка. Однако вопрос этот сложный и нуждается
лями Оорта-Линдблада и Огородникова-Милна.
Попытка напрямую привязать их к расширенной
в проведении дополнительных исследований. Ав-
модели Оорта-Линдблада лишь частично позво-
торы планируют посвятить модели второго порядка
лила объяснить их существование, из-за возник-
шего противоречия в определении параметров по отдельную публикацию.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
74
ЦВЕТКОВ и др.
Таблица 11. Вклад кинематической модели второго порядка в коэффициенты сферического разложения лучевых
скоростей звезд. Множитель 〈r〉 у всех частных производных опущен
j
N
k
p
vj/r
0
0
0
1
1.18M+11 + 1.18M+22 + 1.18M+33
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+13
∂M+23
1
1
0
1
-2.05W/r + 0.41
+ 0.41
+ 1.23
+ 0.82
+ 0.82
∂r3
∂r3
∂r3
∂r1
∂r2
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+12
∂M+23
2
1
1
0
-2.05V/r + 0.41
+ 1.23
+ 0.41
+ 0.82
+ 0.82
∂r2
∂r2
∂r2
∂r1
∂r3
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+12
∂M+13
3
1
1
1
-2.05U/r + 1.23
+ 1.41
+ 0.41
+ 0.82
+ 0.82
∂r1
∂r1
∂r1
∂r2
∂r3
4
2
0
1
-0.53M+11 - -0.53M+22 + 1.06M+33
5
2
1
0
1.83M+23
6
2
1
1
1.83M+13
7
2
1
0
1.831M+12
8
2
2
1
0.92M+11 - 0.92M+22
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+23
9
3
0
1
-0.27
- 0.27
+ 0.54
- 0.54
∂r3
∂r3
∂r3
∂r2
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+12
∂M+23
10
3
1
0
-0.11
- 0.33
+ 0.44
- 0.22
+ 0.88
∂r2
∂r2
∂r2
∂r1
∂r3
∂M+11
∂M+22
∂M+33
∂M+12
∂M+13
11
3
1
1
-0.33
- 0.11
+ 0.44
- 0.22
+ 0.88
∂r1
∂r1
∂r1
∂r2
∂r3
∂M+12
∂M+13
∂M+23
12
3
2
0
0.69
+ 0.69
+ 0.69
∂r3
∂r2
∂r1
∂M+11
∂M+22
∂M+13
∂M+23
13
3
2
1
0.35
- 0.35
+ 0.69
- 0.69
∂r3
∂r3
∂r1
∂r2
∂M+11
∂M+22
∂M+12
14
3
3
0
0.42
- 0.42
+ 0.85
∂r2
∂r2
∂r1
∂M+11
∂M+22
∂M+12
15
3
3
1
0.42
- 0.42
- 0.85
∂r1
∂r1
∂r2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Бобылев В. В., Байкова А. Т, Лебедева С. В., Пись-
ма в Астрон. журн. 33, 809 (2007)
[V. V. Bobylev,
1. Витязев, Цветков (V. V. Vityazev and
A. T. Bajkova, S. V. Lebedeva, Astron. Lett. 33, 720
A. S. Tsvetkov), Astron. Nachr. 334, 760 (2013).
(2007)].
2. Витязев, Шуксто (V. V. Vityazev and A. Shuksto),
ASP Conf. Ser. 316, 230 (2004).
5. Бобылев В. В., Байкова А. Т., Письма в Астрон.
3. Бобылев В. В., Письма в Астрон. журн. 30, 861
журн. 40, 830 (2014) [V. V. Bobylev, A. T. Bajkova,
(2004) [V. V. Bobylev, Astron. Lett. 30, 848 (2004)].
Astron. Lett. 40, 773 (2014)].
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020
ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ЗВЕЗД
75
6. Бобылев В. В., Байкова А. Т., Письма в Астрон.
A. S. Tsvetkov, D. A. Trofimov, Astron. Lett. 40, 713
журн. 43, 185 (2017) [V. V. Bobylev, Astron. Lett. 43,
(2014)].
152 (2017)].
12. Огородников К. Ф., Динамика звездных систем
7. Броше (P. Brosche), Ver ¨off, des Astron. Rechen-
(М.: Физматгиз, 1965).
Inst.Heidelberg № 17, 1 (1966).
8. Витязев В. В., Цветков А. С., Вестник ЛГУ, сер. 1,
13. Цветков (A. S. Tsvetkov), Journess, Systemes
вып. 2 (N8), 73 (1989).
de reference spatio-temporels (Dresden, Germany,
9. Витязев В. В., Цветков А. С., Вестник ЛГУ, сер. 1,
1999).
вып. 2 (N8), 79 (1990).
10. Витязев В. В., Цветков А. С., Письма в Астрон.
14. Цветков (A. S. Tsvetkov), Astron. Astrophys.
журн. 35, 114 (2009) [V. V. Vityazev, A. S. Tsvetkov,
Transact. 9, 1(1995).
Astron. Lett. 35, 100 (2009)].
15. Цветков А. С., Амосов Ф. А., Письма в Астрон.
11. Витязев В.В., Цветков А.С., Трофимов Д.А., Пись-
ма в Астрон. журн. 40, 783 (2014) [V. V. Vityazev,
журн. 45, (2019).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№1
2020