ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 11, с. 827-836
ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ПЛАНЕТЕЗИМАЛЕЙ
В ХАОТИЧЕСКИХ ЗОНАХ ПЛАНЕТ
© 2020 г. Т. В. Демидова1*, И. И. Шевченко2,3
1Крымская астрофизическая обсерватория РАН, Научный, Россия
2Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
3Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 06.07.2020 г.
После доработки 19.09.2020 г.; принята к публикации 22.09.2020 г.
Проведены массовые численные эксперименты по долговременной динамике планетезималей вблизи
орбит планет одиночных звезд с остаточными дисками. С высокой точностью численно определены
радиальные размеры планетезимальных скоплений и планетной хаотической зоны в зависимости от
массового параметра μ (отношения масс планеты и звезды) отдельно для внешней и внутренней частей
хаотической зоны. Полученные результаты проанализированы и интерпретированы в свете суще-
ствующих аналитических теорий (основанных на критерии перекрытия резонансов средних движений
“планета-планетезималь”), а также в сравнении с предыдущими численно-экспериментальными
подходами к проблеме. Показано и объяснено, каким образом ступенчатый характер зависимости
размеров хаотической зоны от μ определяется краевыми резонансами.
Ключевые слова: планетные хаотические зоны, остаточные диски, динамический хаос, планетезимали.
DOI: 10.31857/S0320010820100058
ВВЕДЕНИЕ
Симон, Армитедж, 2014; Флок и др., 2015; Суриано
и др., 2017; Бетун и др., 2017), эффекты гравитаци-
Крупномасштабные структуры, выявленные на
онной неустойчивости в диске (Такахаши, Инуцука,
изображениях протопланетных дисков, являются
2014).
одним из самых интригующих открытий уходящего
Похожие кольцеобразные структуры были об-
десятилетия. Чаще всего такие структуры пред-
наружены и при наблюдениях остаточных дисков
ставляют собой концентрические светлые и темные
двойных и одиночных звезд (Гривс и др., 1998;
кольца (Объединение ALMA, 2015; Эндрюс и др.,
Ожеро, 2004; Калас и др., 2005; Талманн и др.,
2016; Цукагоши и др., 2016; Иселла и др., 2016;
2011; Крист и др., 2012). В таком случае плане-
Жанг и др., 2016; Гински и др., 2016; Феделе и
тезимальные кольца могут находиться в резонан-
др., 2017). Такие структуры могут формироваться
сах с планетой, неразрешаемой на изображениях
в результате воздействий массивной планеты на
диска (Моро-Мартин и др., 2010; Шнейдер и др.,
вещество протопланетного диска (см., например,
2014). Присутствие возмущающей планеты может
Крист и др., 2000; Руге и др., 2013; ван дер
ограничить радиальные пределы планетезимально-
Марел, 2015; Демидова, Шевченко, 2016; Донг и
го диска как вблизи звезды, так и на периферии
др., 2017). Однако в литературе описаны и другие
(Вайт и др., 1999; Квиллен, 2006; Су и др., 2013;
механизмы их формирования, не требующие при-
Родигас и др., 2014).
сутствия планеты; из них наиболее полно изучены
С другой стороны, в нашей Солнечной системе
следующие: концентрация пыли вблизи снеговых
хорошо известны популяции малых тел, находящи-
линий веществ, содержащихся в протопланетном
еся в резонансе 1:1 с планетами; это так называе-
диске (см., например, Банзатти и др., 2015; Жанг
мые астероиды-“троянцы”. Они имеются у Юпите-
и др., 2015; Окуцуми и др., 2016; Пинилла и др.,
ра (см., например, Мюррей, Дермотт, 1999), Марса
2017), влияние магнитного поля, включая эффекты
(Боуэлл и др., 1990), Нептуна (Шепард, Трухильо,
магниторотационной неустойчивости в диске (см.,
2006), Урана (Александерсен и др., 2013), Земли
например, Йохансен и др., 2009; Баи, Стоун, 2014;
(Коннорс и др., 2011). Обнаружено пылевое коль-
цо, коорбитальное с Землей (Дермотт и др., 1994;
*Электронный адрес: proxima1@list.ru
Рич и др., 1995).
827
828
ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО
Уиздом (1980) аналитически установил, что пе-
Интегрирование уравнений движения выполня-
рекрытие резонансов средних движений первого
лось с помощью интегратора Булирша-Штера (см.
порядка частицы с планетой (при которых ор-
Пресс и др., 1992). Максимальная допустимая по-
битальный период планеты относится к периоду
грешность расчетов полагалась равной ϵ = 10-10;
частицы как p : (p + 1) или (p + 1) : p, где p =
в процессе расчетов большая полуось планеты со-
= 1, 2, . . . ) обусловливает образование кольцеоб-
хранялась постоянной в рамках заданной точности,
разной хаотической зоны в радиальной окрестно-
также выполнялся контроль сохранения интеграла
сти орбиты планеты. Ее радиальные размеры были
Якоби для всех частиц. При изменениях величины
позднее оценены теоретически и в численных рас-
интеграла Якоби более чем на 1% величина ϵ по-
четах; если массовый параметр (отношение масс
нижалась до предела 10-14. Для некоторых частиц,
планеты и звезды) μ ≪ 1, то радиальная полуши-
как оказалось, данный предел все же недостаточен
рина хаотической зоны планеты на круговой орбите
для сохранения интеграла Якоби. Несохранение
составляет
константы Якоби обусловлено тесными сближени-
ями частиц с планетой. Нарушения возникали при
Δa = Cμ2/7ap,
(1)
, что составляет менее
расстояниях менее 10-7ap
где ap — большая полуось орбиты планеты, а ве-
1 км, если большая полуось орбиты планеты ap =
личина безразмерного численного коэффициента C
= 1 а.е. Относительное количество таких частиц
разными авторами определяется в пределах от 1.3
невелико: в наших расчетах их число не превос-
до 1.6 (Дункан и др., 1989; Мальхотра, 1998; Квил-
ходило 0.5% от общего числа частиц. При анализе
лен, Фабер, 2006; Мастилл, Вайт, 2012).
результатов они исключались из выборки.
Долговременная эволюция планетезималей в
Частицы, большая полуось орбиты которых в
хаотической зоне у планет на круговых орбитах
процессе расчетов достигала величины 2 а.е., счи-
в зависимости от массового параметра исследо-
тались покинувшими систему и исключались из
валась в работе Моррисон, Мальхотра (2015);
расчетов (аналогично критерию, принятому в рабо-
выполнены оценки размеров хаотической зоны и
те Моррисон, Мальхотра, 2015).
времени ее очистки от частиц, благодаря их уходу
из системы либо выпадению на планету или роди-
тельскую звезду.
РАЗМЕРЫ ХАОТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ
Свойства хаотической зоны у планет, обращаю-
На рис. 1 приведены итоговые распределения
щихся на эллиптической орбите, рассмотрены в ра-
частиц в окрестности орбиты планеты в полярных
ботах Квиллен, Торндайк (2002), Кухнер, Хольман
барицентрических координатах на момент времени
(2003), Квиллен, Фабер (2006). В последней работе
104 лет с начала эволюции для четырех значений μ.
найдено, что размеры хаотической зоны практиче-
Очевидно, что с уменьшением массового парамет-
ски не зависят от эксцентриситета планеты, если
ра μ хаотическая зона расчищается хуже; при этом
его значение меньше 0.3.
коорбитальные структуры вблизи точек Лагранжа
L4 и L5 сгущаются и растягиваются вдоль орби-
ты планеты, приобретая подковообразную форму
МОДЕЛЬ И МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ
при lg μ < -3.1. Расчеты показали, что структура
В данной работе выполнены расчеты динамики
области формируется в течение первой тысячи ор-
пассивно гравитирующих планетезималей в поле
битальных оборотов планеты, а в дальнейшем ее
тяготения системы звезды с планетой. Физические
форма и размеры изменяются лишь незначительно.
размеры звезды и планеты полагаются равными
Чтобы охарактеризовать поведение частиц
нулю. Таким образом, возможность выпадения ча-
внутри и вблизи планетной хаотической зоны,
стиц на планету или звезду исключена; очистка
планетезимальный диск был далее разделен на 100
хаотической зоны от частиц происходит за счет их
концентрических колец с единым шагом вдоль ра-
выброса из системы. Масса центральной звезды
диуса. Граница хаотической зоны (как внутренняя,
для всех моделей выбиралась равной солнечной
так и внешняя) определялась положением кольца
M⊙, а масса планеты варьировалась таким об-
с Ni/N0 < 50%. Для каждого кольца вычислялись
разом, чтобы отношение масс планеты и звезды
текущее содержащееся в нем количество частиц Ni
(μ) изменялось от lg μ = -1.5 до -5.5 с шагом
в функции времени и его отношение к исходному.
0.05. Орбита планеты круговая с периодом Pp = 1
На рис. 2 показана величина Ni/N0 в зависимости
год. Изначально 104 пробных частиц равномерно
от μ и от расстояния от центра масс системы на
(по радиусу и азимуту) распределены на круговых
момент времени 104 лет с начала эволюции; здесь
барицентрических орбитах в кольце 0.4-1.8 а.е. Их
N0 — исходное число частиц в кольце. Как следует
динамика рассчитывалась на интервале времени
из графика, изменение ширины расчищенной зоны
104 лет.
с уменьшением μ имеет ступенчатый характер. При
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
2020
№ 11
ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ПЛАНЕТЕЗИМАЛЕЙ
829
lg μ = -2
1.8
1.0
0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
φ, °
lg μ = -3
1.4
1.0
0.6
0
50
100
150
200
250
300
350
φ, °
lg μ = -4
1.2
1.0
0.8
0
50
100
150
200
250
300
350
φ, °
lg μ = -5
1.1
1.0
0.9
0
50
100
150
200
250
300
350
φ, °
Рис. 1. Распределение частиц в диске после 104 оборотов планеты в полярной барицентрической системе координат r
(радиальное расстояние) и φ (азимутальный угол), обращающейся с частотой обращения планеты; планета расположена
в точке r = 1 а.е., φ = 0. Логарифм отношения масс планеты и звезды указан над графиком.
всех μ ширина хаотической зоны внутри орбиты
словлено отделением от хаотической зоны резо-
планеты заметно меньше, чем снаружи. При
нансов, например, 2 : 1 (при lg μ = -2.2-(-2.25)),
μ ≲ 0.01 начинает формироваться коорбитальная
1 : 2 (при lgμ = -2.1-(-2.15)), 3 : 5 (при lgμ =
с планетой структура; относительное количество
= -2.55-(-2.6)), 3:2 и 2:3 (оба при lg μ =
вещества в ней растет с убыванием μ.
= -2.95-(-3)),
4:3
и
3:4
(оба при lg μ =
На рис.
3
радиальные размеры внутренней
= -3.4-(-3.5)) от хаотической зоны. При этом
(Δain = ap - ain) и внешней (Δaout = aout - ap)
отделение резонансов происходит несинхронно по
частей хаотической зоны показаны в зависимости
μ для внутренней и внешней ее частей. Хотя кривые
от μ.
для радиальной ширины являются ступенчатыми,
Зависимость является ступенчатой, что обу- приблизительно они могут быть описаны следую-
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
830
ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО
Ni/N0
1
2
3 4
4
3
2
1
-5.5
1.25
-5.0
1.00
-4.5
-4.0
0.75
-3.5
0.50
-3.0
-2.5
0.25
-2.0
-1.5
0
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
a, AU
Рис. 2. Сохраняющееся в диске после 104 оборотов планеты число частиц Ni (в отношении к исходному значению N0), в
зависимости от радиального расстояния a от звезды (ось абсцисс) и от массового параметра μ (ось ординат). Цифры над
графиком указывают индекс p для резонансов (p + 1) : p (при a < 1 а.е.) и p : (p + 1) (при a > 1 а.е.).
щими простыми соотношениями:
слева) и
]
Δain = (1.38 ± 0.04)μ0.29±0.01ap
(2)
[(p + 1)2/3
Δaout =
-1 ap
(5)
p
для внутренней части хаотической зоны (штрихо-
вая линия на рис. 3) и
(внешняя граница, панель справа). Здесь p =
= 1, 2, . . . , 19. Из графиков очевидно, что скач-
Δaout = (2.51 ± 0.08)μ0.34±0.01ap
(3)
кообразные изменения ширины хаотической зоны
происходят от резонанса к резонансу в основном
для внешней части (сплошная линия на рис. 3).
между соседними резонансами первого порядка;
На верхних панелях рис. 4, представляющего те
однако между резонансами 2 : 1 и 3 : 2 (для ко-
же данные расчетов, что и рис. 3, дополнительно
торых p = 1 и p = 2 соответственно) хорошо про-
нанесены горизонтальные линии, указывающие по-
является и промежуточный резонанс 5 : 3 второго
ложения резонансов первого порядка:
порядка. Таким образом, имеется промежуточная
[
]
ступень, присутствие которой обусловлено отде-
(
)
2/3
p
лением от планетной хаотической зоны резонанса
Δain =
1-
ap
(4)
p+1
второго порядка; последний хорошо заметен и на
рис. 2.
(внутренняя граница хаотической зоны, панель
Вертикальные линии на верхних панелях рис. 4
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ПЛАНЕТЕЗИМАЛЕЙ
831
0
-0.4
-0.8
Δain
-1.2
out
Δa
1.38μ0.29
-1.6
2.51μ0.34
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
lg μ
Рис. 3. Радиальная ширина Δa внутренней (светлые кружки) и внешней (темные кружки) части хаотической зоны в
зависимости от массового параметра μ, в логарифмической шкале. Зависимость (2) показана штриховой линией, а
зависимость (3) — сплошной. Величина Δa выражена в единицах большой полуоси планеты ap.
10 9 8 7
6
5
4
3
2
1
10 9 8 7 6
5
4
3
2
1
0
0
1
-0.4
1
-0.4
2
2
3
3
4
-0.8
4
-0.8
5
5
-1.2
-1.2
-1.6
Δain
-1.6
Δaout
0
0
-0.4
-0.4
-0.8
-0.8
Δain
Δaout
-1.2
1.3μ0.28
−1.2
2.04μ0.31
1.17μ0.28
1.76μ0.31
-1.6
1.04μ0.28
-1.6
1.48μ0.31
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
lg μ
lg μ
Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но на отдельных панелях и с разными аппроксимационными кривыми. На верхних
панелях горизонтальные сплошные линии указывают положения резонансов средних движений первого порядка;
вертикальные штриховые линии указывают значения lg μ, при которых положение резонанса совпадает со средней
границей хаотической зоны. Индексы p резонансов указаны на панелях сверху и справа. На нижних панелях сплошной
линией показаны средние зависимости от μ для ширины внутренней и внешней части хаотической зоны, согласно работе
Моррисон, Мальхотра (2015), а пунктирной и штрих-пунктирной— предельные зависимости с учетом бара ошибок,
согласно той же работе.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
832
ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО
-1.2
-1.4
-1.6
Δain
Δaout
-1.8
0.28μ0.24
Rh
-2.0
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
lg μ
Рис. 5. Ширина внутренней (светлые кружки) и внешней (темные кружки) частей коорбитального роя частиц в
зависимости от массового параметра μ, в логарифмической шкале. Зависимость (8) показана сплошной линией, а
зависимость радиуса сферы Хилла (RH = (μ/3)1/3) от μ — штриховой. Величина Δa выражена в единицах большой
полуоси планеты ap.
соответствуют значениям μ, при которых положе-
шаг моделей по lg μ составлял 0.5 и превосходил
ния резонансов p = 1, 2, . . . совпадают с границей
принятый нами в 10 раз, поэтому ступенчатый
планетной хаотической зоны, найденной из ап-
характер зависимости не мог проявиться.
проксимационных формул, приведенных в табл. 1
Аналогичным образом мы вычислили радиаль-
работы Моррисон, Мальхотра (2015):
ные границы коорбитального роя. Он заметно вы-
)
(Δain
ражен при lg μ < -3 (рис. 2). Размеры внутрен-
lg μ = 3.57 lg
(6)
ней (Δarin = ap - arin) и внешней (Δarout = arout -
1.17
- ap) частей коорбитального роя в зависимости от
(внутренняя граница, панель слева) и
μ показаны на рис. 5. Из графика следует, что
)
зависимости для двух частей роя практически сов-
(Δaout
lg μ = 3.23 lg
(7)
падают; таким образом, данная подковообразная
1.76
структура радиально симметрична относительно
орбиты планеты. Общая усредненная зависимость
(внешняя граница, панель справа). При p > 1 вер-
имеет вид
тикальные линии совпадают со скачками числен-
ной кривой. Несовпадение при p = 1 объясняется
Δar = (0.28 ± 0.03)μ0.240±0.006ap.
(8)
тем, что у краевого резонанса с p = 1 собствен-
ный околосепаратрисный хаотический слой имеет
Данное соотношение по форме близко к получен-
существенную ширину, поэтому его объединение с
ному в работе Демидовой (2018); здесь коэффици-
основным слоем смещено по μ (рис. 2).
енты вычислены с большей точностью.
На нижних панелях рис. 4 с теми же числен-
ными данными дополнительно нанесены зависи-
КРАЕВЫЕ РЕЗОНАНСЫ
мости (6) и (7). Показаны также (пунктиром и
штрих-пунктиром) верхние и нижние предельные
Концентрация планетезималей понижается в
зависимости, получаемые при учете статистических
результате их ухода не только в основной (рас-
погрешностей коэффициентов в данных формулах.
смотренной выше) планетной хаотической зоне,
Наши данные лежат в пределах баров ошибок
где орбитальные резонансы перекрываются, но и в
при lg μ < -3.5, однако при б ´ольших значениях
радиальных окрестностях расположенных вблизи
μ частично выходят за эти пределы. Объясняется
нее резонансов (Демидова, Шевченко, 2016; Табе-
это тем, что в работе Моррисон, Мальхотра (2015)
шан, Вигерт, 2016), так как сепаратрисы близких
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ПЛАНЕТЕЗИМАЛЕЙ
833
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
−1.8
1:2
2:1
-2.0
2:3
3:2
3:4
4:3
-2.2
0.43
1.32μ0.42
0.91μ
−2.4
−5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
lg μ
lg μ
Рис. 6. Ширина области пониженной концентрации частиц вблизи резонансов, отходящих от хаотической зоны. Правая
панель — для внутренних (относительно орбиты планеты) резонансов, сплошной линией показана зависимость (9); левая
панель — для внешних резонансов, сплошной линией показана зависимость (10). Величина Δa выражена в единицах
большой полуоси планеты ap.
резонансов могут быть сильно возмущены, и,
первого порядка, что очевидно из рис. 4. Это явле-
кроме того, их субрезонансы могут перекрываться
ние аналогично отделению краевых резонансов от
внутри субрезонансных мультиплетов (Шевченко,
границы хаотического слоя нелинейного резонанса
2020). Основная планетная хаотическая зона и
в модели возмущенного маятника, при вариациях
расположенные вблизи нее резонансные зоны
параметра адиабатичности (Шевченко, 1998, 2008,
могут составлять более или менее выраженные
2012). Таким образом, ступенчатый характер за-
трехполосные и даже многополосные структуры.
висимости размеров хаотической планетной зоны
Получить представление о характере и ради-
от μ определяется краевыми резонансами, прежде
альной ширине “вторичных” хаотических зон, обу-
всего, резонансами первого порядка (p + 1) : p, где
словленных резонансами, расположенными вблизи
p = 1,2,
планетной хаотической зоны, но не сливающими-
ся с ней, можно путем задания горизонтальных
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ:
сечений μ = const на диаграмме, представленной
НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ
на рис. 2. Ширина вторичных зон максимальна
Кольцеобразные структуры часто присутствуют
при отделении обусловливающих их резонансов от
на изображениях остаточных околозвездных дис-
основной хаотической зоны. Мы численно опре-
ков (Гривс и др., 1998; Чианг и др., 2009; Талманн
делили ширину областей с пониженной концен-
и др., 2011; Крист и др., 2012). Однако наблюдения
трацией частиц вблизи резонансов, отходящих от
одиночного кольца не дают возможности судить об
планетной хаотической зоны при уменьшении μ.
орбите и массе планеты, контролирующей кольцо.
На рис. 2 расположение важнейших резонансов
В наблюдательном аспекте анализ многополосных
обозначено цифрами (p = 1, 2, 3, 4) над графиком.
структур может быть полезен для определения па-
Границы расчищенных резонансных зон определя-
раметров планеты (Демидова, Шевченко, 2016) в
ются условием Ni/N0 < 1. Расчеты показали, что
предположении, что за формирование полос ответ-
ширина зон практически не зависит от p (при p =
ственны резонансы.
= 1, 2, 3), а от μ зависит следующим образом:
Полученные выше соотношения могут приме-
Δapin = 0.91+0.08-0.06 μ0.43±0.01ap
(9)
няться при анализе структур, в которых яркое
(B) кольцо находится в резонансе с одним или
для резонансов (p + 1) : p (внутренних относитель-
с несколькими темными (D) кольцами (структуры
но орбиты планеты, см. рис. 6, правая панель) и
B-D, D-B, D-B-D); либо при анализе структур, в
Δarout = 1.32+0.14-0.13 μ0.42±0.01ap
(10)
которых два темных кольца находятся в резонансе
(структуры D-D), если коорбитальный рой слабо
для резонансов p : (p + 1) (внешних относительно
выражен и не разрешается при наблюдениях; см.
орбиты планеты, см. рис. 6, левая панель).
номенклатуру полос в работе Демидовой, Шевчен-
Размеры хаотической зоны резко (ступенчато)
ко (2016). Заметим, что в принятой нами модели с
уменьшаются, когда с уменьшением μ происходит
круговой орбитой планеты, согласно проведенным
отделение очередного краевого (marginal) резонан-
расчетам, коорбитальный рой частиц принимает
са от границы хаотического слоя. Особенно рез-
подковообразную (почти замкнутую кольцеобраз-
кие скачк ´и имеют место при отделении резонансов
ную) форму при lg μ < -3.1.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
834
ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО
Следует подчеркнуть, что здесь нами не учиты-
Полученные результаты проанализированы и
ваются эффекты гравитационного взаимного рас-
интерпретированы в свете существующих анали-
сеяния планетезималей, их столкновений и взаимо-
тических теорий, а также в сравнении с преды-
действия с газом. В работе Демидовой, Шевченко
дущими численно-экспериментальными подхода-
(2018) показано, что характерное время парной
ми к проблеме. Найдено, что ширина хаотической
зоны изменяется скачкообразно с уменьшением μ
релаксации планетезималей размером ∼10 км и
вследствие отделения от нее резонансов средних
плотностью 2 г см-3 в типичном диске ограничено
движений частиц с планетой. Ступенчатый харак-
снизу значением 107 лет. На основе формулы (1) из
тер зависимости размеров хаотической зоны от μ
работы Су и др. (2019) можно оценить характерное
определяется краевыми резонансами.
время столкновений подобных планетезималей: на
Также показано, что концентрация планетези-
расстоянии 1 а.е. от звезды оно составляет ∼5 ×
малей может быть существенно понижена вблизи
× 104 лет. В предположении, что масса газовой
резонансов вне планетной хаотической зоны не
компоненты диска составляет 1% от солнечной
только в случае “главных” резонансов с индексом
массы, а вещество распределено по законам, опи-
p = 1,2,3 (что было установлено ранее в рабо-
санным, например, в работе Демидовой и Гринина
тах Демидовой, Шевченко, 2016; Табешан, Вигерт,
(2019), можно оценить характерное время, за кото-
2016), но и для резонансов с p > 1. Для резонансов
рое скорость планетезимали убывает в e ≈ 2.7 раза
с p = 1 построены зависимости от массового па-
(Вайденшиллинг, 1977). При плотности газа 1.6 ×
раметра μ для ширины расчищенных резонансных
× 10-10 г см-3 и скорости звука 0.8 км с-1 для по-
зон. Найдено, что ширина зон больше в случае
добных планетезималей это время составляет ∼3 ×
внешних (относительно орбиты планеты) резонан-
сов.
× 104 лет. Таким образом, на интервалах времени,
Авторы благодарны рецензентам за полезные
принятых в наших расчетах, указанные эффекты
замечания. Работа поддержана грантом 075-15-
могут, по всей вероятности, проявляться лишь в
2020-780
“Теоретические и экспериментальные
слабой степени, однако они могут быть существен-
исследования формирования и эволюции вне-
ны на более длительных временн ´ых масштабах.
солнечных планетных систем и характеристик
Хуанг и др. (2018) и ван дер Марел и др. (2019)
экзопланет” Министерства науки и высшего обра-
установили, что некоторые кольцевые структуры,
зования Российской Федерации.
наблюдаемые на изображениях газопылевых дис-
ков, полученных с помощью телескопа ALMA,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
расположены в орбитальных резонансах друг от-
1. Александерсен и др. (M. Alexandersen, B. Gladman,
носительно друга. Эти изображения характеризуют
S. Greenstreet, J.J. Kavelaars, J.-M. Petit, and
тепловое излучение мелких пылевых частиц милли-
G. Stephenet), Science 341, 994 (2013).
метровых и сантиметровых размеров; на динамику
2. Баи, Стоун (X.-N. Bai and J.M. Stone), Astrophys.
таких частиц большое влияние может оказывать
J. 796, 31 (2014).
газовая компонента диска. Влияние резонансов с
3. Банзатти и др. (A. Banzatti, P. Pinilla, L. Ricci,
планетой на формирование структур в таких дисках
K.M. Pontoppidan, T. Birnstiel, and F. Ciesla),
Astrophys. J. 815, L15 (2015).
может быть существенным; однако в дальнейшем
4. Бетун и др. (W. B ´ethune, G. Lesur, and J. Ferreira),
для описания структур необходимо моделирование
Astron. Astrophys. 600, A75 (2017).
с учетом взаимодействия пылевой и газовой со-
5. Боуэлл и др. (E. Bowell, H.E. Holt, D.H. Levy,
ставляющих диска, а также процессов производ-
K.A. Innanen, S. Mikkola, and E.M. Shoemaker),
ства и перераспределения мелких частиц в газе.
Bull. Am. Astron. Soc. 22, 1357 (1990).
6. Вайденшиллинг (S.J. Weidenschilling), MNRAS
180, 57 (1977).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
7. Вайт и др. (M.C. Wyatt, S.F. Dermott, C.M. Telesco,
R.S. Fisher, K. Grogan, E.K. Holmes, and R.K. Pi ˜na),
Astrophys. J. 527, 918 (1999).
Нами проведены массовые численные экспери-
8. ван дер Марел и др. (N. van der Marel,
менты по долговременной динамике планетезима-
E.F. van Dishoeck, S. Bruderer, L. P ´erez, and
лей вблизи орбит планет одиночных звезд с оста-
A. Isella), Astron. Astrophys. 579, A106 (2015).
точными дисками. С высокой точностью численно
9. ван дер Марел и др. (N. van der Marel, R. Dong,
определены радиальные размеры планетезималь-
J. di Francesco, J.P. Williams, and J. Tobin),
ных скоплений и планетной хаотической зоны в
Astrophys. J. 872, 112 (2019).
зависимости от массового параметра μ (отноше-
10. Гривс и др. (J.S. Greaves, W.S. Holland, G. Moriarty-
ния масс планеты и звезды). Расчеты проведены
Schieven, T. Jenness, W.R.F. Dent, B. Zuckerman,
отдельно для внешней и внутренней частей хаоти-
C. McCarthy, R.A. Webb, et al.), Astrophys. J. 506,
ческой зоны.
L133 (1998).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ПЛАНЕТЕЗИМАЛЕЙ
835
11.
Гински и др. (C. Ginski, T. Stolker, P. Pinilla,
36.
Объединение ALMA и др. (ALMA Partnership,
C. Dominik, A. Boccaletti, J. de Boer, M. Benisty,
C.L. Brogan, L.M. P ´erez, T.R. Hunter, W.R.F. Dent,
B. Biller, et al.), Astron. Astrophys. 595, A112 (2016).
A.S. Hales, R.E. Hills, S. Corder, et al.), Astrophys.
12.
Демидова Т.В., Астрон. вестник 52, 184 (2018)
J. 808, L3 (2015).
[T. Demidova, Solar System Research
52,
180
37.
Ожеро (J.-C. Augereau), Extrasolar Planets:
(2018)].
Today and Tomorrow, ASP Conf. Proc. (Ed.
13.
Демидова, Гринин (T.V. Demidova and V.P. Grinin),
J. Beaulieu, A. Lecavelier Des Etangs, C. Terquem,
Astrophys. J. 887, L15 (2019).
Astron. Soc. Pacific Conf. Ser., 2004), v. 321, p. 305.
14.
Демидова, Шевченко (T.V. Demidova and
38.
Окуцуми и др. (S. Okuzumi, M. Momose, S.-
I.I. Shevchenko), MNRAS 463, L22 (2016).
I. Sirono, H. Kobayashi, and H. Tanaka), Astrophys.
15.
Демидова, Шевченко, Письма в Астрон. журн. 44,
J. 821, 82 (2016).
140 (2018) [T.V. Demidova, I.I. Shevchenko, Astron.
39.
Пинилла и др. (P. Pinilla, A. Pohl, S.M. Stammler,
Lett. 44, 119 (2018)].
and T. Birnstiel), Astrophys. J. 845, 68 (2017).
16.
Дермотт и др. (S.F. Dermott, S. Jayaraman, Y.L. Xu,
40.
Пресс и др. (W.H. Press, S.A. Teukolsky,
B.A.S. Gustafson, and J.C. Liou), Nature 369, 719
W.T. Vetterling, and B.P. Flannery), Numerical
(1994).
Recipes in C. The Art of Scientific Computing
17.
Донг и др. (R. Dong, S. Li, E. Chiang, and H. Li),
(Cambridge Univer. Press, 1992), p. 724.
Astrophys. J. 843, 127 (2017).
41.
Рич и др. (W.T. Reach, B.A. Franz, J.L. Weiland,
18.
Дункан и др. (M. Duncan, T. Quinn, and
M.G. Hauser, T.N. Kelsall, E.L. Wright, G. Rawleyt,
S. Tremaine), Icarus 82, 402 (1989).
S.W. Stemwedel, et al.), Nature 374, 521 (1995).
19.
Жанг и др. (K. Zhang, G.A. Blake, and E.A. Bergin),
42.
Родигас и др. (T.J. Rodigas, R. Malhotra, and
Astrophys. J. 806, L7 (2015).
P.M. Hinz), Astrophys. J. 780, 65 (2014).
20.
Жанг и др. (K. Zhang, E.A. Bergin, G.A. Blake,
L.I. Cleeves, M. Hogerheijde, V. Salinas, and
43.
Руге и др. (J.P. Ruge, S. Wolf, A.L. Uribe, and
K.R. Schwarz), Astrophys. J. 818, L16, (2016).
H.H. Klahr), Astron. Astrophys. 549, A97 (2013).
21.
Иселла и др. (A. Isella, G. Guidi, L. Testi, S. Liu,
44.
Симон, Армитедж (J.B. Simon and P.J. Armitage),
H. Li, S. Li, E. Weaver, Y. Boehler, et al.), Phys. Rev.
Astrophys. J. 784, 15 (2014).
Lett. 117, 251101, (2016).
45.
Су и др. (K.Y.L. Su, G.H. Rieke, R. Malhotra,
22.
Йохансен и др. (A. Johansen, A. Youdin, and
K.R. Stapelfeldt, A.M. Hughes, A. Bonsor,
H. Klahr), Astrophys. J. 697, 1269 (2009).
D.J. Wilner, Z. Balog, et al.), Astrophys. J. 763,
23.
Калас и др. (P. Kalas, J.R. Graham, and M. Clampin),
118 (2013).
Nature 435, 1067 (2005).
46.
Су и др. (K.Y.L. Su, A.P. Jackson, A. G ´asp ´ar,
24.
Квиллен (A.C. Quillen), MNRAS 372, L14 (2006).
G.H. Rieke, R. Dong, J. Olofsson, G.M. Kennedy,
25.
Квиллен, Фабер (A.C. Quillen and P. Faber), Mon.
Z.M. Leinhardt, et al.), Astrophys. J. 157, 202 (2019).
Not. Roy. Astron. Soc. 373, 1245 (2006).
47.
Суриано и др. (S. Suriano, Z.-Y. Li, R. Krasnopolsky,
26.
Квиллен, Торндайк (A.C. Quillen and S. Thorndike),
and H. Shang), MNRAS 468, 3850 (2017).
Astrophys. J. 578, L149 (2002).
48.
Табешан, Вигерт (M. Tabeshian and P.A. Wiegert),
27.
Коннорс и др. (M. Connors, P. Wiegert, and
Astrophys. J. 818, 159 (2016).
C. Veillet), Nature 475, 481 (2011).
49.
Такахаши, Инуцука (S.Z. Takahashi and
28.
Крист и др. (J.E. Krist, K.R. Stapelfeldt, F. M ´enard,
S.-i. Inutsuka), Astrophys. J. 794, 55 (2014).
D.L. Padgett, and C.J. Burrows), Astrophys. J. 538,
50.
Талманн и др. (C. Thalmann, M. Janson, E. Buenzli,
793 (2000).
T.D. Brandt, and J.P. Wisniewski), Astrophys. J. 743,
29.
Крист и др. (J.E. Krist, K.R. Stapelfeldt, G. Bryden,
L6 (2011).
and P. Plavchan), Astron. J. 144, 45 (2012).
51.
Уиздом (J. Wisdom), Astron. J. 85, 1122 (1980).
30.
Кухнер, Хольман (M.J. Kuchner and M.J. Holman),
52.
Феделе и др. (D. Fedele, M. Carney,
Astrophys. J. 588, 1110 (2003).
M.R. Hogerheijde, C. Walsh, A. Miotello, P. Klaassen,
31.
Мальхотра (R. Malhotra), Solar System Formation
S. Bruderer, Th. Henning, et al.), Astron. Astrophys.
and Evolution, ASP Conf. Proc. (Ed. D. Lazzaro,
600, A72 (2017).
R. Vieira Martins, S. Ferraz-Mello, J. Fernand,
53.
Флок и др. (M. Flock, J.P. Ruge, N. Dzyurkevich,
Astron. Soc. Pacific Conf. Ser., 1998), v. 149, p. 37.
T. Henning, H. Klahr, and S. Wolf), Astron.
32.
Мастилл, Вайт (A.J. Mustill and M.C. Wyatt),
Astrophys. 574, A68 (2015).
MNRAS 419, 3074 (2012).
in,R.Malhotra,
54.
Хуанг и др. (J. Huang, S.M. Andrews,
33.
Моро-Мартин и др. (A. Moro-Mart
C.P. Dullemond, A. Isella, L.M. P ´erez, V.V. Guzm ´an,
G. Bryden, G.H. Rieke, K.Y.L. Su, C.A. Beichman,
and S.M. Lawler), Astrophys. J. 717, 1123 (2010).
K.I.
Öberg, Z. Zhu, et al.), Astrophys. J. 869, L42
34.
Моррисон, Мальхотра (S. Morrison and
(2018).
R. Malhotra), Astrophys. J. 799, 41 (2015).
55.
Цукагоши и др. (T. Tsukagoshi, H. Nomura,
35.
Мюррей, Дермотт (C.D. Murray and S.F. Dermott),
T. Muto, R. Kawabe, D. Ishimoto, K.D. Kanagawa,
Solar System Dynamics (Cambridge Univer. Press,
S. Okuzumi, and S. Ida), Astrophys. J. 829, L35
1999), p. 107.
(2016).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
836
ДЕМИДОВА, ШЕВЧЕНКО
56. Чианг и др. (E.I. Chiang, E. Kite, P. Kalas,
61. Шеппард, Трухильо (S.S. Sheppard and C.A. Tru-
J.R. Graham, and M. Clampin), Astrophys. J. 693,
jillo), Science 313, 511 (2006).
734 (2009).
62. Шнейдер и др. (G. Schneider, C.A. Grady,
57. Шевченко (I.I. Shevchenko), Physica Scripta 57, 185
D.C. Hines, C.C. Stark, J.H. Debes, J. Carson,
(1998).
M.J. Kuchner, and M.D. Perrin), Astron. J. 148, 59
58. Шевченко (I.I. Shevchenko), Phys. Lett. A 372, 808
(2008).
(2014).
59. Шевченко (I.I. Shevchenko), Phys. Rev. E
85,
63. Эндрюс и др. (S.M. Andrews, D.J. Wilner, Z. Zhu,
066202 (2012).
T. Birnstiel, J.M. Carpenter, L.M. P ´erez, X.-N. Bai,
60. Шевченко (I.I. Shevchenko), Dynamical Chaos in
Planetary Systems (Springer Nature, 2020).
K.I.
Oberg, et al.), Astrophys. J. 820, L40 (2016).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№ 11
2020
