ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 12, с. 868-882

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ В СИСТЕМАХ ТИПА АМ HER

¹Специальная астрофизическая обсерватория РАН, Нижний Архыз, Россия

²Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия

Поступила в редакцию 25.08.2020 г.

После доработки 04.11.2020 г.; принята к публикации 26.11.2020 г.

Описываются два алгоритма восстановления распределения аккреционных пятен по поверхности

белых карликов в переменных типа AM Her. Оба алгоритма предполагают использование фотополя-

риметрических наблюдений. В первом используется предположение геометрической тонкости пятен, а

путем описания наблюдательных данных находятся ориентация магнитного диполя белого карлика и

положение аккреционного пятна. Во втором варианте проводится поиск непрерывного распределения

яркости по звездной поверхности методом регуляризации Тихонова. Выполнены симуляции картиро-

вания аккреционных пятен обоими алгоритмами с демонстрацией их перспективности для изучения

звезд типа AM Her.

Ключевые слова: звезды типа AM Her, поляриметрия, аккреция.

DOI: 10.31857/S0320010820120025

ВВЕДЕНИЕ

газа в послеударной области. Существуют два ос-

новных механизма охлаждения вещества в после-

Поляры (или переменные типа AM Her) пред-

ударной области: тормозное рентгеновское излуче-

ставляют собой тесные двойные системы, где пер-

ние и циклотронное излучение в оптическом диапа-

вичным компонентом является сильно замагничен-

зоне. Согласно современным гидродинамическим

ный белый карлик (B ∼ 10-100 МГс), а вторич-

расчетам, высота ударного фронта над поверхно-

ным — холодная звезда главной последовательно-

стью белого карлика в полярах составляет H ∼

сти, заполняющая свою полость Роша. Вторичный

∼ 0.01-0.1 R_WD (R_WD — радиус белого карлика).

компонент инжектирует материал из окрестностей

Наименьшие значения H соответствуют высоким

точки Лагранжа L₁ в полость Роша первичного

темпам аккреции и сильным магнитным полям,

компонента, где он начинает движение по балли-

когда эффективность охлаждения рентгеновским и

стической траектории. После достижения области

циклотронным излучением наиболее высока. Более

стагнации, где динамическое давление струи срав-

подробно с физикой ударных областей в полярах

нивается с магнитным давлением (ρv² = B²/8π),

можно ознакомиться в обзорной работе Ву (2000).

ионизированное вещество перетекает вдоль линий

Согласно расчетам Мукаи (1988), взаимодей-

магнитного поля на поверхность аккретора. Бла-

ствие падающего газа с поверхностью белого кар-

годаря сильному магнитному полю, область стаг-

лика происходит в довольно растянутой области.

нации находится на достаточно большом удалении

Это объясняется неоднородным распределением

от белого карлика и не позволяет аккрецируемому

плотности в сечении струи, благодаря чему менее

веществу обернуться вокруг аккретора с образова-

плотная оболочка “захватывается” магнитным по-

нием аккреционного диска.

лем на большом удалении от аккретора, а более

При взаимодействии падающего со сверхзвуко-

плотное ядро проникает глубже в магнитосферу

вой скоростью газа с поверхностью белого карлика

звезды. Таким образом, в случае малых H ударную

образуется ударный фронт, после которого веще-

область можно рассматривать как протяженное

ство разогревается до высоких температур (T ∼

пятно на поверхности белого карлика (далее аккре-

∼ 10-50 кэВ) путем преобразования части ки-

ционное пятно). Восстановление же распределения

нетической энергии в тепловую. Высота ударно-

аккреционных пятен по звездной поверхности мо-

го фронта над поверхностью звезды определяется

жет дать важную информацию о структуре аккре-

темпом аккреции и эффективностью охлаждения

ционной струи в ее сечении и об особенностях вза-

имодействия сверхзвуковой плазмы с магнитным

^*Электронный адрес: kolbinalexander@mail.ru

полем в области стагнации.

868

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

869

В оптических спектрах поляров часто доми-

Данная работа структурирована следующим об-

нирует циклотронное излучение, рождающееся в

разом. В разделе 1 описана методика расчета коэф-

аккреционном пятне. Кванты циклотронного излу-

фициентов циклотронного поглощения, необходи-

чения испускаются электронами, вращающимися

мых для определения интенсивности и поляризации

вокруг линий магнитного поля на циклотронных

излучения аккреционных пятен. Предположения о

частотах ω_c = eB/m_ec. Частота излучения элек-

структуре аккреционных пятен, используемые для

тронов кратна ω_c, благодаря чему в спектрах поля-

вычисления параметров Стокса, разобраны в раз-

ров наблюдаются гармоники циклотронной линии,

деле 2. Далее, в разделе 3 описываются модель

уширенные тепловым движением электронов. Раз-

магнитного белого карлика и способ интегриро-

ность коэффициентов поглощения обыкновенных и

вания параметров Стокса по его наблюдаемому

необыкновенных волн приводит к высокой степени

диску. В разделе 4 дается описание метода мо-

поляризации излучения поляров (∼10%). Интен-

делирования фотополяриметрических наблюдений

сивность циклотронного излучения и его поляриза-

поляров в рамках простой модели аккреционного

ционные характеристики сильно зависят от ориен-

пятна, предполагающей его геометрическую тон-

тации силовых линий по отношению к наблюдателю

кость. Приводятся примеры моделирования кри-

(Чэнмьюгэм, Далк, 1981). Последнее дает возмож-

вых блеска и поляризации излучения, представле-

ность восстановления координат и формы пятен на

ны результаты тестирования алгоритма поиска по-

основе фотополяриметрических наблюдений.

ложения пятен и ориентации магнитного диполя на

зашумленных модельных данных. В разделе 5 из-

В работах Поттера и др. (1997), Туохи и др.

лагаются детали картирования поверхности белого

(1988) было показано, что используемые ранее

карлика при помощи метода регуляризации Тихо-

модели с полярным аксисимметричным пятном яв-

нова. Приводятся результаты симуляций картиро-

ляются слишком простыми для описания кривых

вания белого карлика на зашумленных модельных

блеска поляров, а наблюдения лучше описываются

данных. В заключение резюмируются результаты

растянутыми аркообразными пятнами. К такому

выполненной работы.

же заключению пришли Бойерманн, Стелла и др.

(1987) при интерпретации рентгеновских наблю-

дений поляра EF Eri. Аркообразные пятна также

1. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ

успешно применялись Рамсаем и др. (1996) для ин-

терпретации фотополяриметрических наблюдений

Как было сказано ранее, частоты циклотронного

RE J1844-74. Усовершенствованный вариант кар-

излучения примерно равны кратностям циклотрон-

тирования был предложен Поттером и др. (1998).

ной частоты ω_c. В условиях горячей плазмы необ-

Их подход предполагал поиск непрерывного рас-

ходимо учитывать смещение частоты излучения,

пределения яркости по поверхности белого кар-

вызванное релятивистским эффектом Допплера.

лика с описанием фотополяриметрических наблю-

Так, электрон, движущийся со скоростью v, излу-

дений. Данный метод использовался для исследо-

чает на частотах

вания поляров с различными параметрами ком-

nω_c

понентов и ориентацией орбитальной плоскости:

ω=

(1)

γ[1 - β_|| cos θ]

V834 Cen (Поттер и др., 2004), ST LMi (Поттер,

2000), HU Aqr (Харроп-Аллин и др., 2001), CP Tuc

где γ = (1 - β²)-1/2 — фактор Лоренца, β =

(Рамсай и др., 1999) и некоторых других.

= v/c — безразмерная скорость, β_|| — компонен-

В настоящей работе описываются алгоритмы,

та β, параллельная силовым линиям поля, θ —

используемые в разработанных нами программных

угол между линией магнитного поля и направле-

кодах фотополяриметрического картирования бе-

нием на наблюдателя, n — целое число (n > 0).

лых карликов в полярах. Предлагаются два под-

Допплеровские смещения частот излучения теп-

хода к описанию фотополяриметрических наблю-

ловых электронов приводят к уширению гармоник

дений. Первый основан на модели геометрически-

циклотронной линии.

тонкого аккреционного пятна, положение которо-

го согласуется с приближением траектории струи

Вычисление коэффициентов циклотронного

баллистической частью и магнитной частью, где

излучения тепловых электронов j_± проводилось

аккрецируемый газ движется вдоль магнитных ли-

сверткой коэффициентов излучения единичных

ний. Второй вариант не использует никаких пред-

электронов с релятивистским распределением

положений о форме пятен, а их распределение

Максвелла для двух нормальных мод поляризации

ищется на основе метода регуляризации Тихонова,

(см., например, работы Чэнмьюгэма, Далка, 1981;

обеспечивающего гладкость искомого решения и

Вэета, Чэнмьюгэма, 1995). Здесь и далее обык-

описание наблюдательных данных в пределах оши-

новенные волны будут обозначаться символом

бок измерений.

“+”, а необыкновенные — символом

“-”. Для

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

870

КОЛБИН, БОРИСОВ

1.4

0.8

Рис. 1. Карты зависимости log Ψ± от направления излучения, характеризуемого углом θ, и отношения частот ω/ωc для

Te = 25 кэВ. Слева представлена карта функции Ψ-, а справа — функции Ψ+.

определения коэффициентов поглощения α_± пред-

где предполагается, что ω ≫ ω_p.

полагается выполнение закона Кирхгофа α_± =

Пример зависимости Ψ_± от отношения частот

= j_±/I_RJ, где I_RJ = k_BT_eω²/8π³c² — интенсив-

ω/ω_c и угла θ представлен на рис. 1. Функции Ψ_±

ность Рэлея-Джинса на поляризационную моду.

рассчитаны для температуры T_e = 25 кэВ смещены

Итоговые выражения для определения коэффици-

относительно nw_c (n > 0), благодаря релятивист-

ентов поглощения имеют вид

скому эффекту Допплера. Видность максимумов

уменьшается с увеличением номера гармоники.

ω2p

α_±(ω/ω_c,θ,T_e) =

Ψ_±(ω/ω_c,θ,T_e),

(2)

Прослеживается сильная зависимость коэффици-

ω_cc

ентов поглощения от угла θ. Значения Ψ_- значи-

тельно больше Ψ₊, Ψ_- растет с увеличением θ,

∫

однако этот рост в общем немонотонный, благода-

π²μ

Ψ_±(ω/ω_c,θ,T_e) =

dβ_|| ×

(3)

ря чувствительности частот гармоник к θ, обуслов-

K₂(μ)

ленной эффектом Допплера. Продемонстрирован-

−1

ная чувствительность коэффициентов поглощения

∑

(

к углу θ является причиной сильной вращательно-

- β_⊥J^′n(nξ) +

1+a²

модулированной переменности, наблюдаемой у по-

n=n₁

ляров. Заметим, что рассчитанные нами коэффи-

)₂

циенты хорошо согласуются с таблицами Вэета и

+ [a_±(cot θ - β_|| csc θ)J_n(nξ)]

Чэнмьюгэма (1995).

× exp (-μγ)

2. ЛОКАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СТОКСА

В настоящей работе предполагается, что аккре-

β_⊥ sin θ

ξ=

(4)

ционные пятна на поверхности белого карлика со-

(ω/ω_c)(1 - β_|| cos θ)

стоят из множества малых источников циклотрон-

ного излучения (циклотронных источников). Так же

где J_n и J^′n — функция Бесселя n-го порядка и

как и Поттер и др. (1998), будем считать, что дан-

ее производная, K₂ — модифицированная функ-

ные источники являются однородными по темпера-

ция Бесселя второго рода, μ = m_ec²/k_BT_e, ω_p =

туре и плотности. Кроме того, мы будем предпо-

= (4πN_ee²/m_e)1/2 — плазменная частота, β_⊥ —

лагать постоянную глубину источников вдоль луча

компонента β, перпендикулярная линиям магнит-

зрения, не зависящую от ракурса, под которым

ного поля. Выражение для определения β_⊥ следует

проводятся наблюдения. Это приближение часто

из

(1): β2⊥ = 1 - β2|| - (ω/ω_c)²(1 - β_|| cos θ)²/n².

используется при анализе кривых блеска и фо-

тополяриметрических наблюдений (Поттер и др.,

Суммирование в (3) ведется от n, для которого

1997, 1998, 2004). Таким образом, циклотронные

β2⊥ ≥ 0. Коэффициенты поляризации a_± определя-

источники характеризуются электронной темпера-

ются как

турой T_e и безразмерным плазменным параметром

2(ω/ω_c) cos θ

Λ = ω2pℓ/cω_c, где ℓ —геометрическая глубина ис-

a_± =

(5)

- sin² θ ± [sin⁴ θ + 4(ω/ω_c)2 cos2 θ]1/2

точника вдоль луча зрения. Для упрощения задачи

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

871

будем считать, что все циклотронные источники

против часовой стрелки, если смотреть со стороны

имеют одинаковую температуру, плотность и гео-

полюса вращения P_r, обращенного к наблюдателю

метрические размеры. При таких предположениях

(рис. 2). Ось вращения звезды перпендикулярна

плазменный параметр источников Λ меняется лишь

орбитальной плоскости и наклонена на угол i

за счет магнитного поля (Λ ∼ 1/B).

(0^◦ ≤ i ≤ 90^◦) по отношению к лучу зрения. Пред-

Перенос поляризованного излучения в магнито-

полагается, что магнитное поле белого карлика

активной плазме циклотронных источников описы-

является дипольным. Ориентация магнитного

вается системой четырех взаимосвязанных урав-

диполя определяется наклоном его оси к оси

нений переноса для параметров Стокса I, Q, U,

вращения звезды β (0◦ ≤ β ≤ 180◦) и долготой

V (см., например, Вэет, Чэнмьюгэм, 1995). В

магнитного полюса ψ (0^◦ ≤ ψ ≤ 360^◦). Долгота ψ

случае сильного фарадеевского вращения (Φ ≈

отсчитывается от направления на центр масс

вторичного компонента по направлению вращения

≈ ω2pω_cℓ/ω²c ≫ 1) и однородного магнитного поля

белого карлика и, соответственно, по направлению

параметры Стокса могут быть найдены путем ре-

орбитального движения вторичного компонента,

шения независимых уравнений переноса для обык-

ввиду синхронности вращения компонентов в

новенных и необыкновенных волн. Для однородной

полярах. Центр диполя может быть смещен от-

среды их решение имеет вид

[

]

носительно центра белого карлика в направлении

I_±(ω,θ) = I_RJ

1 - exp(-Ψ_±(ω,θ,)Λ)

(6)

магнитного полюса на расстояние a (-1 ≤ a ≤ 1).

Таким образом, модель может быть применена

где I_± — интенсивности обыкновенных и необык-

к белым карликам с разной напряженностью

новенных волн, Ψ_± — коэффициенты поглощения

магнитного поля на противоположных полюсах,

в единицах ω2p/cω_c (см. (3)). В настоящей работе

которые часто встречаются в полярах.

мы учитываем только циклотронное поглощение,

Введем три правые прямоугольные системы ко-

как наиболее сильное в условиях аккреционных

ординат, которые назовем наблюдательной, вра-

пятен поляров в оптическом диапазоне (Меггитт,

щающейся и магнитной. Некоторые их оси от-

Викрамазингх, 1982). Согласно Рамати (1969), па-

мечены на рис. 2 подписями (o), (r) и (m) для

раметры Стокса циклотронного источника могут

наблюдательной, вращающейся и магнитной си-

быть найдены как

стем координат соответственно. Начало всех си-

I^′ = I₊ + I_-,

(7)

стем совпадает с геометрическим центром белого

)

⁽1-a²⁺

⁽1-a2-

карлика. Ось X(o) наблюдательной системы ко-

Q^′

=I₊

+I_-

1+a²⁺

1+a²

ординат параллельна лучу зрения, а оси Y(o) и

Z(o) лежат в картинной плоскости так, что Z(o)

U^′ = 0,

(

)

совпадает с проекцией оси вращения звезды на эту

I₊a₊

I_-a_-

плоскость. Во вращающейся системе координат

V′ =2

1+a²⁺

1+a²

ось Z(r) совпадает с осью вращения, а ось X(r)

направлена на центр вторичного компонента. Эта

где коэффициенты поляризации a_± определяются

система образуется из наблюдательной поворотом

по формуле (5). Локальные параметры Стокса S^ℓs,

последней на угол 90^◦ - i вокруг оси Y(o) и даль-

т.е. параметры Стокса поверхности единичной пло-

щади, связаны с параметрами Стокса циклотрон-

нейшим поворотом вокруг оси Z(r) на фазовый угол

ϕ (0^◦ ≤ ϕ ≤ 360^◦). Магнитная система координат

ных источников как S^ℓs = S^′sX, где X — плотность

получается из орбитальной путем ее поворота во-

источников, а индекс s определяет тип параметра

круг оси вращения на угол ψ и дальнейшим пово-

Стокса (s = {I,Q,U,V }).

Параметры Стокса в фотометрической поло-

ротом вокруг оси Y(r) на угол β так, чтобы ось Z(r)

совместилась c осью магнитного диполя.

се вычисляются путем свертки спектров Стокса

с функцией пропускания фильтра. Для ускоре-

Перевод координат произвольного вектора r из

ния вычислений параметров Стокса формируются

магнитной системы координат в наблюдательную

трехмерные сетки параметров Стокса в фотомет-

выполняется посредством преобразований

рических полосах (для напряженности магнитного

r(o) = T_iT_ϕT_ψT_βr(m),

(8)

поля B, углов θ и параметров Λ), которые затем

интерполируются.

где матрицы поворота

⎛

⎞

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

cos β

0 sin β

⎜

⎟

СТОКСА

⎜

⎟

T_β =

⎜

⎟,

(9)

⎝

⎠

Модель белого карлика представляет собой

сферу единичного радиуса, которая вращается

- sin β 0 cos β

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

872

КОЛБИН, БОРИСОВ

z(o)

z(r)

z(m)

P_r

P_m

x(o)

y(o)

x(r)

Рис. 2. Геометрия задачи.

⎛

⎞

представляет собой угловое расстояние, отсчиты-

cos ψ - sin ψ 0

⎜

⎟

ваемое от магнитного полюса. Сферические ко-

⎜

⎟

T_ψ =

⎜

in ψ cos ψ

0⎟,

ординаты источника связаны с его декартовыми

⎝^s

⎠

магнитными координатами как

x(m) = - sin η cos ζ,

(11)

выполняют преобразование магнитных координат в

координаты вращающейся системы, а матрицы

y(m) = - sin η sin ζ, z(m) = cos η.

⎛

⎞

Условие видимости некоторой точки M поверх-

cos ϕ - sin ϕ 0

⎜

⎟

ности звезды определяется углом γ между внеш-

⎜

⎟

T_ϕ =

⎜sin ϕ cos ϕ

0⎟,

(10)

ней нормалью к поверхности звезды, исходящей

⎝

⎠

из этой точки, и направлением на наблюдателя.

Этот угол определяется как cos γ = x(o)/[(x(o))² +

⎛

⎞

+ (y(o))² + (z(o))]1/2, где {x(o), y(o), z(o)} — коорди-

sin i

0 cos i

⎜

⎟

наты точки M в системе координат наблюдате-

⎜

⎟

T_i =

⎜

⎟,

ля. Если cos γ ≥ 0, то точка M расположена на

⎝

⎠

видимом диске звезды. В противном случае, она

− cos i 0 sin i

находится за лимбом звезды.

Напряженность дипольного магнитного поля на

используются для перехода из вращающейся си-

поверхности звезды определяется как

стемы координат в наблюдательную.

Положение источников излучения на поверхно-

)₃ (

)1/2

B_m

⁽1-a

сти звезды удобно характеризовать сферическими

3 cos² ϵ + 1

(12)

магнитными координатами η и ζ (рис. 2). Маг-

нитная долгота ζ (0^◦ ≤ ζ ≤ 360^◦) отсчитывается от

где B_m — напряженность магнитного поля на маг-

направления на ось вращения P_r против часовой

нитном полюсе, s — расстояние до рассматривае-

стрелки, если смотреть со стороны магнитного по-

мой точки поверхности от центра диполя (0 ≤ s ≤

люса P_m. Вторая координата, η (0^◦ ≤ η ≤ 180^◦),

≤ 1, s = 1 для центрального диполя), ϵ — угол,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

873

между направлением на рассматриваемую точку

межзвездного и атмосферного поглощений, сво-

и осью диполя, отсчитываемый из центра диполя

дится к взятию поверхностного интеграла

(0 ≤ ϵ ≤ 180^◦). Параметры s и ϵ связаны с коорди-

∫∫

R2WD

натой η точки поверхности посредством соотноше-

S_sϕ =

S^ℓsϕ cos γdA,

(17)

D²

ний

A∈A^vϕ

s = (1 + a² - 2acosη)1/2,

(13)

где интегрирование локальных параметров Сток-

са ведется по наблюдаемой в фазу вращения ϕ

sin ϵ = sin η/s.

(14)

поверхности белого карлика A^vϕ, а R_WD и D —

радиус белого карлика и расстояние до поляра

Как было показано ранее, интенсивность цик-

соответственно. Отметим, что в выражении (17)

лотронного излучения сильно зависит от угла θ

мы учитываем только циклотронное излучение ак-

между линией магнитного поля и лучом зрения. Для

креционных пятен и не принимаем во внимание

определения этого параметра вспомним, что сило-

компоненты излучения другой природы.

вая линия магнитного диполя может быть пара-

Для вычисления интеграла (17) мы можем раз-

метризована как r = r₀ sin² ϵ, где r — расстояние

бить поверхность звезды на L малых элементов, в

до произвольной точки силовой линии, располо-

пределах которых напряженность магнитного поля

женной на угловом расстоянии ϵ от оси диполя,

B можно считать постоянной. Тогда интеграл (17)

а r₀ —постоянная величина. В магнитной систе-

можно приближенно заменить суммой вида

ме координат силовая линия лежит в плоскости

∑

ζ = const. Таким образом, радиус-вектор r(m) =

S_sϕ ≃ V_ϕiΩ_ϕiS^′sϕiX_i,

(18)

= (x(m), y(m), z(m))^T произвольной точки силовой

i=1

линии в магнитной системе координат будет опре-

где X_i — плотность циклотронных источников

деляться как

⎛

⎞

в i-м элементе разбиения (далее мы будем назы-

- sin³ ϵ cos ζ

вать этот параметр яркостью), S^′sϕi — параметр

⎜

⎟

⎜

⎟

Стокса циклотронного источника, Ω_ϕi — площадь

r(m) = r₀

⎜

⎟

(15)

sin³ ϵ sin ζ

⎝ -

⎠

проекции площадки на картинную плоскость.

Множитель V_pi равен нулю, если элемент разби-

sin² ϵ cos ϵ + a

ения находится за видимой поверхностью звезды

Направление l силовой линии может быть най-

(cos γ < 0). Если же он виден (cos γ ≥ 0), то

V_pi = 1 для параметров Стокса I и V , а для

дено путем дифференцирования радиус-вектора r

по углу ϵ:

параметров Стокса Q и U V_pi = cos(2ρ) и V_pi =

⎛

⎞

= sin(2ρ) соответственно. Поскольку регистрация

-3sin² ϵcos ϵcos ζ

параметров Стокса часто выполняется с точностью

(m)

⎜

⎟

⎜

⎟

до множителя, мы положили, что R2WD/D² ≡ 1.

l(m) =

=r₀

⎜

3sin³ ϵcos ϵsin ζ

⎟

(16)

dϵ

⎝^-

⎠

Это означает, что яркость X будет находиться с

2sin ϵcos² ϵ - sin³ ϵ

точностью до множителя в процессе картирования.

При вычислении параметров Стокса циклотрон-

Для определения направления силовой линии

ных источников учитывается зависимость Λ-

в точке звездной поверхности M(η,ζ) послед-

параметра от магнитного поля Λ ∼ 1/B. Заметим,

нее выражение должно быть использовано с

что поскольку мы ограничиваемся моделированием

формулами

(13),

(14) для вычисления угла ϵ.

циклотронного излучения аккреционных пятен, то

Для определения угла θ необходимо найти на-

ими можно было бы ограничить область интегри-

рования, как это сделано в следующем разделе.

правление l(o) в наблюдательной системе ко-

ординат с использованием преобразований

(8).

Степень линейной поляризации излучения си-

√

Далее искомый угол может быть найден как θ =

стемы находится как p_l =

Q² + U²/I, а ориен-

тация плоскости поляризации определяется углом

= arccos[lxo)/((lxo))² + (lyo))² + (lzo))²)1/2]. Кроме

того, для определения параметров линейной по-

χ = ¹² arctan(U/Q), отсчитываемым от оси Z(o).

ляризации необходимо учитывать угол ρ между

Степень круговой поляризации равна p_c = |V |/I.

проекцией вектора магнитного поля на картинную

Для перевода параметров Стокса в другую систему

плоскость и осью Z(o). Этот угол можно опреде-

координат, главное направление в которой повер-

нуто на угол ϱ относительно Z(o), можно восполь-

лить как ρ = arctg(lyo)/lzo)).

зоваться известными преобразованиями

Нахождение параметров Стокса интегрального

излучения системы в фазу вращения ϕ без учета

Q₌ Qcos 2ϱ + U sin2ϱ,

(19)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

874

КОЛБИН, БОРИСОВ

z(r)

z(m)

Пятно

x(r)

Баллистическая траектория

Рис. 3. Геометрия аккреционного течения.

Û₌ -Qsin2ϱ + U cos 2ϱ,

Линии магнитного поля, пересекающие эту об-

ласть, “вычерчивают” на поверхности звезды дуги,

в то время как парамеры Стокса I и V остаются

которые являются моделями аккреционных пятен

неизменными.

(рис. 3).

Расчет баллистической траектории выполняет-

4. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ПЯТНА

ся в рамках ограниченной задачи трех тел (см.,

например, Фланнери, 1975), формулируемой си-

Предлагаемая модель аккреционного пятна ос-

стемой дифференциальных уравнений вида

нована на приближении траектории аккреционной

струи двумя составляющими: баллистической и

x = 2y - (1 - τ - x) -

(20)

магнитной. В баллистической части движение ве-

(1 - x)

щества не возмущается магнитным полем и опре-

−τ

+ (1 - τ)

r³¹

r³

деляется силами тяготения компонентов системы,

а также силами инерции. Эта часть траектории ле-

ÿ = -2x + y - τ

- (1 - τ)

жит в орбитальной плоскости, начинается от точки

r³¹

r³

Лагранжа L₁ и заканчивается в области стагнации,

где x и y — координаты точек струи во вращаю-

где динамическое давление струи сравнивается с

щейся системе координат, r₁ и r₂ — расстояние от

магнитным давлением (ρv² = B²/8π). Положение

точки струи до первичного и вторичного компо-

этой области характеризуется азимутальным углом

нентов соответственно, τ = M₁/(M₁ + M₂), а M₁ и

α, который отсчитывается от направления на вто-

M₂ — массы первичного и вторичного компонентов

ричный компонент по направлению его орбиталь-

соответственно. Решение последней системы урав-

ного движения. Затем ионизированное вещество

нений проводится методом Рунге-Кутты четверто-

струи движется по магнитной траектории, кото-

го порядка.

рая совпадает с силовой линией магнитного поля

белого карлика, приближаемой моделью диполя.

Для расчета кривых блеска и поляризации звез-

Движение аккрецируемого газа может происходить

ды пятно разбивается на L малых отрезков. Вычис-

как к одному, так и к обоим магнитным полюсам

ление потока и поляризации излучения выполня-

белого карлика. Поскольку вещество струи неод-

ется интегрированием параметров Стокса цикло-

нородно по плотности, то переход на магнитную

тронных источников, согласно формуле (18). Сум-

траекторию должен осуществляться в растянутой

мирование ведется по элементам разбиения пятна,

области, длина которой характеризуется углом Δα.

площадь которых полагается равной их длине, а

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

875

Модель БК

Полный поток Цирк. пол. поток Лин. пол. поток

Позиц. угол

1.0

(а)

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

(б)

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

(в)

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

(г)

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

(д)

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

Рис. 4. Примеры моделирования излучения поляра. В первом столбце показаны модели белого карлика с аккреционным

пятном, видимые со стороны наблюдателя в фазе вращения ϕ = 0. Крестиком указано положение магнитного полюса.

Черная жирная линия — аккреционное пятно, из которого исходят силовые линии диполя. Во втором столбце показано

поведение полного потока излучения в течение периода вращения, в третьем — потока с круговой поляризацией, в

четвертом — линейно поляризованного потока, в пятом столбце показано поведение позиционного угла плоскости

поляризации. Строки (а)-(д) соответствуют разным значениям ориентации магнитного диполя и положениям области

стагнации. Пунктирная линия в графиках (б)-(д) повторяет графики строки (а). Все приведенные потоки нормированы

на значение максимума полного потока в случае (a).

яркости X_i (i = 1, 2, . . . , L) имеют фиксированное

ния белого карлика и лучом зрения. Магнитный

значение.

диполь ориентирован углами β = 25^◦ и ψ = 40^◦.

Средняя напряженность магнитного поля в пятне

Пример моделирования циклотронного излуче-

ния поляра в течение орбитального периода пока-

была принята равной 〈B〉 = 20 МГс, а средний

зан на рис. 4a. Масса белого карлика была принята

Λ-параметр был зафиксирован на значении 〈Λ〉 =

равной M₁ = 0.7M_⊙, а отношение масс компонен-

= 10⁴; оба значения свойственны полярам. Пятну

тов q = M₂/M₁ = 0.25. Относительный радиус бе-

задана температура T_e = 25 кэВ, соответствующая

лого карлика, необходимый для расчета положения

тепловой скорости частиц газа³⁴ v_ff (v_ff — ско-

пятна, вычислялся в предположении орбитального

рость свободного падения у поверхности белого

периода P_orb = 2^h и с использованием зависимости

карлика). Положение и размер области стагнации

“радиус-масса” Нойнберга (1972). Наклонение

определены параметрами α = 30^◦ и Δα = 20^◦, ко-

орбитальной плоскости принято равным 75^◦. Такое

торые дают средние магнитные координаты пятна

же значение принимает угол i между осью враще-

〈η〉 ≈ 13.5^◦ и 〈ζ〉 ≈ 180^◦. Пятно разбивалось на L =

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

876

КОЛБИН, БОРИСОВ

= 500 отрезков. Вычисления проводились для фо-

появляются во время наименьшего значения θ око-

тометрической полосы V системы Джонсона. На

ло ϕ ≈ 0.89. Вторичные минимумы появляются в

рис. 4a виден двухпиковый профиль кривой блеска,

момент наименьшего телесного угла пятна около

свойственный многим звездам типа AM Her. Появ-

фазы ϕ ≈ 0.38. Для больших углов наклона (i =

ление дипа происходит на фазе ϕ = 1 - ψ/360^◦ ≈

= 60^◦, i = 75^◦, i = 90^◦) наблюдается заход пятна

≈ 0.89, когда достигается наименьшее значение

за диск звезды. Угол наклона θ варьируется в

угла θ. Такой же дип имеется в кривых циркулярно-

меньших пределах, смещенных к θ = 90^◦. Минимум

и линейно-поляризованного потока. При движе-

около ϕ ≈ 0.89 становится менее интенсивным, а

нии пятна к краю диска происходит увеличение

интервал видимости пятна сужается при увеличе-

угла θ и увеличение коэффициентов поглощения,

нии i. Также заметно сужение интервала измене-

что приводит увеличению интенсивности излуче-

ния позиционного угла плоскости поляризации при

ния и наблюдаемого потока. Падение потока при

возрастании i.

подходе пятна к лимбу обусловлено уменьшением

Картирование поверхности белого карлика за-

проекции пятна на картинную плоскость. Пятно

ключается в поиске положения области стагна-

видно на диске звезды в течение Δϕ ≈ 2 arccos[-

ции, задаваемого азимутальными углами α₁ и α₂

(α₂ > α₁), а также ориентации магнитного диполя,

-1/tgitg(β + η)]/360^◦ = 0.61. Поведение позици-

онного угла эллипсоида поляризации χ близко к

определяемой долготой ψ и наклоном β. Опреде-

ление этих параметров выполняется методом наи-

изменению проекции силовых линий на картинную

меньших квадратов, минимизирующим функцию

плоскость (Кроппер, 1989). При появлении пятна

на наблюдаемом диске линии отклонены влево от

∑

∑(cSsϕ - S^osϕ)2

оси вращения (ρ < 0), в момент наибольшего при-

χ² =

(21)

σ_sϕ

ближения к наблюдателю линии магнитного поля

s ϕ

проецируются на ось вращения (ρ = 0), а затем

где S_sϕ — теоретические параметры Стокса, опре-

начинают уклоняться вправо (ρ > 0).

деляемые выражением (18), S^osϕ — наблюдаемые

Чувствительность поведения излучения к па-

параметры Стокса, а σ — ошибка их определе-

раметрам β, ψ, α, Δα продемонстрирована на

ния. Индекс s (s = {I, Q, U, V }) указывает тип

рис. 4б-д. Параметры поляра для рис. 4б такие

параметра Стокса, для которого получено наблю-

же, как и для рис. 4а, за исключением угла β =

дательное значение, а ϕ пробегается по фазам,

= 45^◦. Видно, что кривые блеска имеют более

для которых проводилась регистрация параметра

глубокий дип, благодаря уменьшению нижнего по-

Стокса типа s. Используемый в последнем выра-

рога θ. Кроме того, уменьшение широты пятна по-

жении параметр c представляет масштабирующий

способствовало сужению продолжительности на-

множитель, учитывающий угловой размер аккре-

блюдения пятна. Благодаря уширению диапазона

ционного пятна и поглощение приходящего к на-

изменения ρ, позиционный угол плоскости поля-

блюдателю излучения. Он определяется минимиза-

ризации варьируется в более широких пределах.

цией члена суммы (21) для параметра Стокса s = I,

На рис. 4в долгота магнитного полюса изменена

т.е.

∑

на ψ = 60^◦ (все остальные параметры такие же,

I^oϕI_ϕ

как для рис. 4а). Это приводит к более раннему

c=∑

(22)

I2ϕ

появлению пятна на наблюдаемом диске звезды и

асимметрии профиля максимума, так как в левой

где ϕ пробегается по всем фазам, для которых

части диска угол θ имеет б ´ольшие значения, чем в

проводилась регистрация полного потока I^o.

правой части. Аналогичные эффекты наблюдаются

Для минимизации функции (21) необходим ме-

на рис. 4г, где угол положения области стагнации

тод, устойчивый по отношению к локальным ми-

сменился на α = 60^◦. Уширение области стагнации

нимумам и обеспечивающий надежное нахождение

до Δα = 90^◦, продемонстрированное на рис. 4д,

глобального минимума. Таким требованиям удо-

привело к растяжению пятна, увеличению продол-

влетворяет генетический алгоритм (см., например,

жительности его наблюдения, а также к сглажива-

Колей, 1999). Он был реализован при помощи

нию кривой блеска, ввиду большого разброса θ в

средств программной библиотеки GeneticSharp¹ .

пределах пятна.

Сначала данный метод случайным образом со-

На рис. 5 показано поведение циклотронного

здает множество (популяцию) решений в зара-

излучения поляра при изменении угла наклона оси

нее определенной области поиска. Каждому ре-

вращения белого карлика i. Параметры системы

шению задается индивидуальный бинарный код,

(кроме угла наклона i) такие же, как для рис. 4a.

При низких углах наклона (i = 30^◦, i = 45^◦) пятно

¹ Программная библиотека для построения генетического

находится на наблюдаемом диске звезды в течение

алгоритма GeneticSharp доступна по адресу:

всего вращательного периода. Главные минимумы

https://github.com/giacomelli/GeneticSharp

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

877

Модель БК

Полный поток Цирк. пол. поток Лин. пол. поток

Позиц. угол

1.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

Рис. 5. Примеры моделирования излучения поляра для разных углов наклона орбитальной плоскости. Смысл столбцов

такой же, как и на рис. 4. Каждая строка соответствует определенному углу наклона оси вращения белого карлика к лучу

зрения i, указанному слева.

формируя генотип решения. Затем выполняется

Оценка ошибок определения ориентации дипо-

селекция решений, где отбираются члены попу-

ля и положения области стагнации может быть

проведена методом Монте-Карло. Для примера мы

ляции с наименьшим χ². На основе отобранных

выполнили эту процедуру для поляра с параметра-

решений создается следующие поколение, кото-

ми, для которых моделировалось поведение излу-

рое получается при помощи операций мутации и

чения, показанное на рис. 4a. Мы предположили

скрещивания в генотипах. После этого происхо-

светимость поляра V₀ = 15^m в отсутствие аккре-

дит возврат к процедуре отбора решений с наи-

ционного пятна и амплитуду яркости ΔV = 0.5^m,

меньшим χ². Через некоторое количество поко-

связанную с прохождением пятна по диску звезды.

лений члены популяции концентрируются вблизи

Система была наклонена на угол i = 75^◦. Выпол-

глобального минимума. Генетический алгоритм на-

нено по 500 симуляций картирования белого кар-

дежно находит окрестности глобального минимума

лика с тремя уровнями шума в минимуме блеска:

χ², однако на некотором этапе медленно сходит-

δV₀ = 0.05, 0.01^m, 0.005^m. Распределение шумов в

ся к точному решению. Для ускорения вычисле-

моделируемых параметрах Стокса предполагалось

ний мы ввели второй этап минимизации χ², где

пуассоновским. Результаты определения парамет-

для уточнения решения используется квазиньюто-

ров поляра резюмированы в двухмерных гисто-

новский метод Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-

граммах на рис. 6. Видно естественное увеличение

Шанно (см., например, Флэтчер, 1987).

точности измерения параметров поляра с умень-

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

878

КОЛБИН, БОРИСОВ

δV₀ = 0.05

160

140

120

100

-20

ψ°

α°

δV₀ = 0.01^m

105

100

ψ°

α°

26.5

δV₀ = 0.005m

26.0

25.5

25.0

24.5

24.0

23.5

ψ°

α°

Рис. 6. Гистограммы распределения решений, полученные на основе зашумленных модельных фотополяриметрических

данных.

шением ошибки наблюдений. Распределение углов

ших пределах при изменении параметров системы

ориентации магнитного диполя (β и ψ) практически

(i, M₁, M₂, T_e, Λ, B, ψ, β, α, Δα), поэтому оцен-

симметрично относительно точного решения, что

ка точности должна проводиться индивидуально

говорит о разности их влиянии на фотополяримет-

для каждого объекта. Также заметим, что поми-

рические наблюдения. С другой стороны, заметны

мо ошибок наблюдений вклад в высокочастотную

составляющую наблюдательных данных дает пере-

эффекты мультиколлинеарности в параметрах α и

менность темпа аккреции, которую также следует

Δα, что следует из их сходного эффекта на вид

учитывать при картировании.

наблюдательных данных (рис. 4). Видно, что при

типичной ошибке наблюдений δV₀ = 0.01^m следу-

ет рассчитывать на наименьшую ошибку опреде-

5. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ления параметров области стагнации ∼5^◦. Более

уверенно находится ориентация диполя с нижним

Рассмотренная выше простая модель аккреци-

значением ошибки около 2^◦. Заметим, что ошибки

онного пятна имеет множество недостатков. Оче-

искомых параметров могут варьироваться в боль-

видно, что пятно должно иметь ненулевую ширину.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

879

Распределение яркости вдоль пятна также долж-

регуляризации Тихонова (Тихонов, 1979), суть ко-

но быть сложным. Можно выполнить усложнение

торого заключается в минимизации функции

этой модели: задать ширину пятна, параметри-

∑

∑(Ssϕ(X) - S^osϕ )2

зовать распределение яркости по пятну. Однако

V (λ, X) =

(23)

σ_sϕ

такое усложнение модели приводит к большому

s ϕ

количеству неизвестных и неоднозначностям в их

∑

определении. Кроме того, используемая модель ак-

+λ

||∇X_i||².

креции с резким переходом струи с баллистической

i=1

траектории на магнитную является упрощенной.

Однако существует возможность восстановления

Первый член этой функции представляет собой

распределения яркости по поверхности звезды, не

взвешенную на ошибки наблюдений σ_sϕ сумму

прибегая к каким-либо предположениям о форме

квадратов невязок между наблюдаемыми, S^osϕ, и

пятен. Суть альтернативного варианта картирова-

теоретическими, S_sϕ, параметрами Стокса, вычис-

ния состоит в разбиении звездной поверхности на

ляемыми по формуле (18). Индекс s пробегает-

элементарные площадки и поиске распределения

ся по параметрам Стокса (s = {I, Q, U, V }), для

по ним циклотронных источников, которое могло

которых проводились наблюдения, а ϕ принимает

бы описать наблюдаемые фотополяриметрические

значения фаз вращения звезды, для которых по-

данные. Хотя в таком случае задача имеет гораз-

лучены измерения параметра Стокса s. Теорети-

до большее количество искомых параметров, про-

ческие параметры Стокса зависят от вектора X,

блема неоднозначности снимается путем введения

который содержит яркости элементов разбиения

априорных предположений об искомом решении:

X_i (i = 1,2,... ,L). Второй (регуляризирующий)

например, о его гладкости или неотрицательности.

член предназначен для стабилизации решения от-

Такие способы картирования часто используют-

носительно ошибок наблюдений. Он равен сумме

ся для восстановления поверхности запятненных

квадратов модулей градиента яркости

звезд, а применение этого способа к полярам было

предложено Поттером и др. (1998).

∇X =

e_ζ +

e_η

(24)

sin η dζ

dη

Разбиение звездной поверхности проводится на

элементов разбиения поверхности. Таким образом,

N -е количество широтных поясов (η = const).

включение регуляризирующего члена в (23) приво-

Приэкваториальный пояс делится на M-е коли-

дит к выделению гладкого решения.

чество площадок. Разбиение оставшихся поясов

Вклад первого и второго членов на значение

проводится таким образом, чтобы площадь их эле-

функции (23) определяется параметром регуля-

ментов разбиения приближенно равнялась площа-

ризации λ. Если λ = 0, то в регуляризирующей

ди приэкваториальных элементов. Общее количе-

функции остается первый член, и метод Тихонова

ство элементов разбиения равно L. Предложенный

вырождается в метод наименьших квадратов. Вви-

способ разбиения более предпочтителен по срав-

ду большого количества искомых параметров, т.е.

нению с простым вариантом, где поверхность де-

набора яркостей X_i (i = 1, 2, . . . , L), метод будет

лится на сферические прямоугольники одинаковой

давать решения, описывающие шумовую состав-

протяженности по полярнуму углу η и долготе ζ.

ляющую в S^osϕ. Получаемые решения становятся

В отличие от него, используемый нами вариант

неустойчивы к ошибкам наблюдений σ_sϕ и непри-

разбиения не приводит к уплотнению площадок у

годны для анализа. При λ → ∞ доминирует второй

полюсов с соответствующим увеличением времени

член, а яркости элементов разбиения стремятся

интегрирования параметров Стокса. Вычисление

быть одинаковыми. Таким образом, параметр ре-

площади проекции элемента разбиения на кар-

гуляризации λ должен быть подобран так, чтобы

тинную плоскость Ω выполняется его разбиением

найти гладкое решение, описывающее наблюда-

на “подплощадки”. Учитывается частичный заход

тельные данные в пределах ошибок измерений. Для

площадок за лимб звезды, путем вычисления уг-

выбора такого λ мы используем критерий невязки

ла γ для подплощадок. Каждой площадке задаются

(Тихонов, 1979), в котором для оптимального λ

напряженность и направление магнитного поля в

выполняется требование

соответствии с дипольной моделью, а также инди-

∑∑

видуальное значение яркости. Так же как в случае

(S_sϕ(X_λ) - S^osϕ)² =

σ2sϕ,

(25)

рассмотренной выше простой модели пятен, темпе-

s ϕ

ратура и плотность источников излучения считают-

где X_λ — минимизатор (23) при параметре регуля-

ся одинаковыми.

ризации λ.

Восстановление распределения яркости по по-

Регуляризирующая функция (23) представляет

верхности белого карлика выполняется методом

собой квадратичную форму по X_i (i = 1, 2, . . . , L).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

880

КОЛБИН, БОРИСОВ

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.5

0.5

1.0

1.5

100

0.6

120

0.4

140

0.2

160

180

100

150

200

250

300

350

-0.5

0.5

1.0

1.5

0.20

0.15

0.10

0.05

−0.5

0.5

1.0

1.5

100

120

140

160

-100

180

100

150

200

250

300

350

-0.5

0.5

1.0

1.5

ζ°

Рис. 7. Симуляция восстановления распределенияисточников циклотронногоизлучения по поверхности белого карлика.

Слева показана исходная карта распределения областей циклотронного излучения, а также результат ее восстановления

методом Тихонова. Справа показано сравнение исходных зашумленных данных (кривой блеска, кривых циркулярно и

линейно поляризованного излучения, а также излучения, позиционного плоскости поляризации) и их воспроизведения

восстановленной моделью белого карлика. Закрашенная область вокруг точки с координатами η = 165^◦ и ζ = 180^◦

скрыта от наблюдателя.

Поверхности равного V (λ, X) при постоянном λ

галось, что аккреция осуществляется с баллисти-

представляют собой эллипсоиды в пространстве

ческой траектории в диапазоне углов α = 0-360^◦

решений, центры которых находятся в единствен-

с образованием двух аккреционных пятен. Первое

ной точке минимума V (λ, X). Таким образом, при

располагается у магнитного полюса с лучшими

наложении условия неотрицательности решения

условиями видимости для наблюдателя, а второе —

X_i ≥ 0 (i = 1,2,... ,L) минимум (23) также един-

у полюса противоположной полярности. Пятна

ственен. Поэтому, в отличие от работы Поттера

имеют ширину ≈6^◦ и разделены на две области,

и др. (1998), мы отказались от использования

различающиеся по яркости в два раза. При помощи

медленного генетического алгоритма для миними-

данной модели белого карлика проведена симуля-

зации (23). Для оптимизации регуляризирующей

ция фотополяриметрических наблюдений в фото-

функции мы используем более эффективный метод

метрической полосе V системы Джонсона. Счита-

Левенберга-Марквардта. Для получения положи-

лось, что поляр имеет блеск V₀ = 15^m в отсутствие

тельных яркостей, минимизация (23) проводится

излучения от аккреционных пятен, а разность мак-

относительно параметров z_i (i = 1, 2, . . . , L), ко-

симального блеска и блеска V₀ равна ΔV = 1^m.

торые связаны с яркостями площадок как X_i =

Всего было получено 30 измерений поляризации,

= exp (wz_i), w > 0. Таким образом, выполняя без-

равномерно покрывающих орбитальный период и

условную оптимизацию по z_i, мы находим минимум

имеющих пуассоновское распределение шумов. На

в области X_i > 0 (i = 1,2,... ,L).

рис. 7 показаны результаты картирования белого

карлика в предположении ошибки наблюдений в

Для тестирования предложенного алгоритма мы

взяли модель поляра, использованную в предыду-

минимуме блеска δV₀ = 0.05^m. Картирование бе-

щем разделе для построения рис. 4a. Отличие со-

лого карлика проводилось при параметрах разбие-

стоит лишь в распределении циклотронных источ-

ния поверхности N = 40 и M = 80. Видно хорошее

ников по поверхности белого карлика. Предпола-

воспроизведение яркой части обоих пятен как по

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

КАРТИРОВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

881

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.5

0.5

1.0

1.5

100

120

0.4

140

0.2

160

180

100

150

200

250

300

350

-0.5

0.5

1.0

1.5

0.10

0.05

−0.5

0.5

1.0

1.5

100

120

140

160

-50

180

100

150

200

250

300

350

-0.5

0.5

1.0

1.5

ζ°

Рис. 8. То же, что и на рис. 7, но для δV0 = 0.01^m.

широте, так и по долготе. Исходные фотополяри-

звезды вдоль линий магнитного диполя. Дополни-

метрические данные удовлетворительно описыва-

тельно мы проводим поиск ориентации магнитно-

ются с использованием выбранного критерия па-

го диполя, которую трудно оценить независимым

раметра регуляризации. Результаты аналогичного

способом. Кроме того, картирование проводится

тестирования иллюстрированы на рис. 8, однако в

при помощи генетического алгоритма, максими-

данном случае принята меньшая ошибка наблюде-

зирующего вероятность нахождения решения, со-

ний δV₀ = 0.01^m. Как и следовало ожидать, наблю-

ответствующего глобальному минимуму χ². Идея

дается лучшее воспроизведение циклотронных ис-

второго подхода предложена Поттером и др. (1998)

точников: видна структура пятен с четким разделе-

и заключается в разбиении поверхности белого

нием на яркую и менее интенсивную составляющие,

карлика на малые площадки, по которым выполня-

а также уменьшение артефактов восстановления,

ется поиск гладкого распределения яркости мето-

присутствующих в результатах предыдущего теста.

дом регуляризации Тихонова. Отличие нашей ре-

ализации заключается в более эффективном спо-

собе картировании белого карлика, предполагаю-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

щем разбиение звездной поверхности на элемен-

ты примерно одинаковой площади и использова-

Разработаны программные коды моделирова-

ние метода оптимизации Левенберга-Марквардта.

ния фотополяриметрических наблюдений поляров

Оба подхода могут дополнять друг друга при мо-

с восстановлением распределения источников цик-

делировании фотополяриметрических наблюдений

лотронного излучения по поверхности белых кар-

ликов. Реализовано два подхода для картирования

поляров. Так, с помощью метода тонких пятен

можно сделать оценку ориентации магнитного ди-

белого карлика. В первом случае используется

метод, аналогичный предложенному Поттером и др.

поля и использовать ее для картирования белого

(1997). Он предполагает аркообразную структуру

карлика методом Тихонова, обеспечивающим луч-

пятен и их однородность по яркости. Однако, в

шее описание наблюдательных данных. Несмотря

отличие от упомянутой работы, мы накладываем

на очевидные преимущества картирования методом

ограничения на положение пятен, удовлетворяю-

Тихонова, мы полагаем, что метод тонких пятен

щие картине аккреции вещества на поверхность

будет очень полезным для анализа однополосной

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020

882

КОЛБИН, БОРИСОВ

долговременной фотометрии, накопившейся за де-

Колей (D.A. Сoley), An introduction to genetic

сятилетия наблюдений поляров.

algorithms for scientists and engineers (World Sci.

Publ. Co., 1999).

В дальнейшем мы планируем усовершенство-

Кроппер (M. Cropper), MNRAS 236, 935 (1989).

вать реализованные методы путем использования

Мукаи (K. Mukai), MNRAS 232, 175 (1988).

гидродинамических моделей аккреционных пятен

Меггитт, Викрамазингх (S.M.A. Meggitt and

для вычисления параметров Стокса (например, мо-

D.T. Wickramasinghe), MNRAS 198, 71 (1982).

делей Фишера, Бойерманна, 2001). Помимо при-

Нойнберг (M. Nauenberg), Astrophys. J. 232, 417

менения более физически обоснованной модели,

(1972).

данный подход должен избавить от необходимо-

Поттер и др. (S.B. Potter, M. Cropper, K.O. Mason,

сти определения средней температуры T_e и па-

J.H. Hough, and J.A. Bailey), MNRAS 285, 82

раметра Λ независимыми способами. Кроме то-

(1997).

го, он позволил бы избавиться от предположения

10.

Поттер и др. (S.B. Potter, P.J. Hakala, and

одинаковой температуры вдоль пятен и простого

M. Cropper), MNRAS 297, 1261 (1998).

(Λ ∼ 1/B) поведения Λ-параметра. Картирование

11.

Поттер (S.B. Potter), MNRAS 314, 672 (2000).

поверхности белого карлика будет осуществляться

12.

Поттер и др. (S. Potter, E. Romero-Colmenero, and

не по яркости, пропорциональной плотности аб-

D.A.H. Buckley), Astronomische Nachrichten 325,

страктных источников циклотронного излучения, а

201 (2004).

по локальному темпу аккреции, что дало бы способ

13.

Рамати (R. Ramaty), Astrophys. J. 158, 753 (1969).

оценки темпов аккреции в системах типа AM Her

14.

Рамсай и др. (G. Ramsay, M. Cropper, K. Wu, and

S. Potter), MNRAS 282, 726 (1996).

на основе оптических наблюдений.

15.

Рамсай и др. (G. Ramsay, S.B. Potter,

Исследование выполнено при финансовой под-

D.A.H. Buckley, and P.J. Wheatley), MNRAS

держке Российского фонда фундаментальных ис-

306, 809 (1999).

следований (проект № 19-32-60048). Часть ра-

16.

Тихонов (А.Н. Тихонов), Методы решения

боты выполнена за счет средств субсидии (про-

некорректных задач (М.: Наука, 1979).

ект № 0671-2020-0052), выделенной Казанскому

17.

Туохи и др. (I.R. Tuohy, L. Ferrario,

федеральному университету, для выполнения госу-

D.T. Wickramasinghe, and M.R.S. Hawkins),

дарственного задания в сфере научной деятельно-

Astrophys. J. 328, L59 (1988).

сти, а также гранта Российского фонда фундамен-

18.

Фишер, Бойерманн (A. Fischer and K. Beuermann),

тальных исследований (проект № 18-42-160003).

Astron. Astrophys. 373, 211 (2001).

19.

Фланнери (B.P. Flannery), MNRAS 170, 325 (1975).

20.

Флэтчер (R. Fletcher), Practical methods of

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

optimization (2nd ed., John Willey & Sons, 1987).

1. Бойерманн и др. (K. Beuermann, L. Stella, and

21.

Харроп-Аллин и др. (M.K. Harrop-Allin,

J. Patterson), Astrophys. J. 316, 360 (1987).

S.B. Potter, and M. Cropper), MNRAS

326,

788 (2001).

2. Ву (K. Wu ), Space Sci. Rev. 93, 611 (2000).

3. Вэет, Ченмьюгэм (H.M. Vaeth and G. Chanmugam),

22.

Чэнмьюгэм, Далк (G. Chanmugam and G.A. Dulk),

Astrophys. J. 244, 569 (1981).

Astrophys. J. Suppl. Ser. 98, 295 (1995).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№ 12

2020