ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 4, с. 285-291
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЫ КОЛЕБАНИЙ
В ТОНКИХ КОРОНАЛЬНЫХ АРКАХ
© 2020 г. Ю. Д. Жугжда1*
1Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН,
Москва, Россия
Поступила в редакцию 26.01.2020 г.
После доработки 21.03.2020 г.; принята к публикации 24.03.2020 г.
Рассмотрены колебания в тонких магнитных трубках в солнечной короне. Показано, что основными
модами быстрых и медленных колебаний являются поверхностная и фундаментальная моды колеба-
ний. Медленные поверхностная и фундаментальная моды являются волноводными модами. Быстрая
поверхностная мода является излучающей модой, в то время как быстрая фундаментальная мода —
это волноводная мода. Рассмотренные нами фундаментальные моды существуют только в магнитных
трубках, подверженных влиянию окружающей среды. Наше определение фундаментальных мод не
совпадает с общепринятым. Современные наблюдения колебаний в корональных арках вряд ли могут
зафиксировать медленные сосисочные моды, первая из которых рассматривается как фундамен-
тальная. Быстрые сосисочные моды также не должны наблюдаться при плохом пространственном
разрешении. Исключением является первая быстрая сосисочная мода, обычно рассматриваемая как
фундаментальная. Однако эта мода отсутствует в тонких магнитных трубках.
Ключевые слова: магнитные трубки, корональные арки, моды колебаний, сейсмология короны.
DOI: 10.31857/S0320010820040087
ВВЕДЕНИЕ
предполагает, что продольная длина волны вели-
ка по сравнению с диаметром магнитной трубки.
Теория волн в тонких магнитных трубках осо-
Обычно это записывается как kzR0 ≪ 1, где kz —
бенно актуальна в связи с сейсмологией солнечной
продольный волновой вектор, а R0 — радиус труб-
короны. Имеется ряд обширных обзоров и книг,
ки. В каком-то смысле мы будем работать в рамках
посвященных как теории волн в магнитных труб-
приближения тонких трубок конечного размера,
ках, так и ее приложениям к сейсмологии короны
а не в приближении бесконечно тонкой трубки,
(см., например, Степанов, Зайцев, 2019; Накаря-
предложенном Робертсом и Вебом (1978), которое
ков и др., 2016; Степанов и др., 2012). Необходимо
не позволяет рассмотреть все возможные моды
упомянуть пионерские работы, которые положи-
колебаний. Это не означает, что рассмотренные
ли начало развитию данного раздела солнечной
эффекты имеют место только в достаточно тонких
физики (Меерсон и др., 1978; Эдвин, Робертс,
трубках. Просто в общем случае необходимы более
1983; Спруит, 1982). Настоящая работа имеет сво-
сложные численные расчеты, что выходит за рамки
ей целью обратить внимание на некоторые детали
настоящей работы.
теории волн в тонких магнитных трубках, которым
до сих пор, с нашей точки зрения, не уделялось
должного внмания. Имеются в виду поверхностные
моды колебаний и фундаментальные моды коле-
1. БАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЛН В
баний, которые, по нашему мнению, неправильно
МАГНИТНЫХ ТРУБКАХ
определялись. Важным обстоятельством, на ко-
торое не обращалось внимание, является то, что
1.1. Исходные уравнения
не все сосисочные моды могут быть обнаружены
из-за недостаточного пространственного разреше-
Данное исследование базируется на работе
ния современных наблюдений. Мы ограничимся
Эдвина и Робертса (1983), которое отличается
рассмотрением тонких трубок, так как это позволя-
наиболее полным анализом дисперсионного урав-
ет упростить анализ. Приближение тонкой трубки
нения волн в магнитных трубках. Уравнения маг-
нитной гидродинамики для однородной плазмы с
*Электронный адрес: YZhugzhda@mail.ru
вертикальным магнитным полем в цилиндрической
285
286
ЖУГЖДА
системе координат сводятся к системе из двух
границе трубки накладывает условия на магнитные
уравнений (Эдвин, Робертс, 1983):
поля и температуру вне и внутри трубки на границе
)
трубки. Радиус трубки равен R0.
∂2
(∂2
- (C2S + V 2A)∇2
divV +
(1)
Уравнения для поверхностных волн, собствен-
∂t2
∂t2
ная функция которых концентрируется вокруг гра-
2
∂
ницы трубки, захватывая при этом значительную
+C2SV2
∇2divV = 0,
часть окружающей плазмы, получается заменой
A∂z2
)
функций JN+1 и JN на функции IN+1 и IN соот-
(∂2
∂2
-V2
Γ = 0,
(2)
ветственно. При этом m2 должно быть заменено
∂t2
A∂z2
на -m2. Дисперсионное уравнение (7) исследовано
где
для N = 0, 1, 2,
В этом случае решения уравне-
2
ния описывают свойства различных мод колебаний
∂
1 ∂
1
∂2
∂2
∇2 =
+
+
+
,
(3)
магнитной трубки.
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂z2
1 ∂
∂vr
V = (vr,vθ,vz), Γ =
(rvθ) -
(4)
r ∂r
∂θ
1.3. Уравнения для медленных сосисочных и
поверхностных волн в безразмерных координатах
Эти два уравнения справедливы как вне, так и
внутри цилиндрической трубки. Если
Для удобства дальнейшего анализа перейдем к
divV = R(r) exp i(kz z - ωt + Nθ),
(5)
безразмерным параметрам β, δ и Δ:
C2S
C2Se
C2Se
то уравнения (1, 2) сводятся к уравнению Бесселя
β=
,
βe =
,
δ=
,
(10)
(
)
C2A
C2Ae
C2
d2R
1 dR
N2
S
+
- m2 +
R = 0.
(6)
ρ0e
βe 2β + γ
dr2
r dr
r2
Δ=
=
,
γ = cp/cv,
ρ0
δβ 2βe + γ
и безразмерным переменным x, Ω и j:
1.2. Дисперсионные уравнения для волн в
магнитной трубке
(s)
V
ω
ph
x=kzR0, Ωs =
=
,
(11)
Дисперсионные уравнения для волн в трубке на-
kzCT
CT
ходятся в результате сшивания решений на границе
трубки. Условия сшивания на границе магнитной
где R0 — радиус магнитной трубки. В безразмер-
трубки — это постоянство полного давления и ра-
ных координатах диперсионное уравнение для мед-
диальной скорости. Дисперсионные уравнения для
ленных сосисочных и поверхностных волн (7) сво-
различных типов волн выражаются через различ-
дится к следующему виду:
ные решения уравнения Бесселя.
nsβe
1 + β - βΩ2s xNN+1(nsx)
Дисперсионное уравнение для объемных коле-
=
(12)
Δβ (1 + β)δ - βeΩ2s NN(nsx)
баний, собственная функция которых почти пол-
{
ностью сосредоточена внутри магнитной трубки,
jJN+1(j)/JN(j)
=
,
сводится к
jIN+1(j)/IN(j)
NN+1(nkzR0)
ρ0(C2A - V2ph)n
-
(7)
где N = 1, 2 . . . и
NN(nkzR0)
JN+1(mkzR0)
[δ(1 + β) - Ω2s][δ(1 + β) - βeΩ2s]
n2s =
,
(13)
- ρ0e(C2Ae - V 2ph)m
= 0,
JN (mkzR0)
δ(1 + β)[δ(1 + β) - (1 + βe)Ω2s]
где m, n:
β(Ω2s - 1 - β)2
m2(bs,ss) = ±
,
(14)
(1 + β)2(Ω2s - 1)
(V2ph - C2S)(C2A - V2ph
)
m2 =
,
(8)
j2 = m2(bs,ss)x2.
(15)
(C2S + C2A)(C2T - V2ph)
(V2ph - C2Se)(C2Ae - V2ph
)
Безразмерные фазовые скорости медленных соси-
n2 =
,
(9)
сочных и поверхностных волн Ω(bs,ss) как функции
(C2Se + C2Ae)(C2Te - V2ph)
j и x находятся путем решения уравнений (15):
здесь CS , CA и CT = CS CA/(C2S + C2A)1/2 — зву-
2
Ω2(bs,ss) =
√
,
(16)
ковая, альфвеновская и трубочная скорости внутри
1+
1 - 4βx2a-1
трубки соответственно. Индекс “e” относится к па-
a = (1 + β)2(x2 ± j2).
раметрам вне трубки. Баланс полного давления на
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЫ
287
Подстановка Ωs = Ω(bs,ss) из (16) в (12) и (13)
Известно, что не при всех значениях параметров
сводит дисперсионные уравнения (12) к уравне-
плазмы внутри и вне магнитной трубки быстрые
волны являются волноводными модами, т.е. рас-
ниям для неизвестной переменной j. Подстановка
пространяются вдоль трубки, полностью отража-
корней этих уравнений j(bs,ss) в (16) позволяет най-
ясь от ее границ. Волноводные волны также мо-
ти безразмерные частоты Ω(bs,ss) и, следовательно,
гут отвечать за резонансные явления в магнитной
фазовые скорости V(bs,ss) как функции параметров
трубке при отражении от ее концов. Но возможен
плазмы и магнитного поля внутри и вне магнитной
и другой случай, когда имеет место частичное излу-
трубки.
чение энергии быстрых волн при их распростране-
нии вдоль трубки. Такие волны называются излу-
чающими модами и описываются другими уравне-
1.4. Уравнения для быстрых волноводных и
излучающих волн
ниями, чем волноводные моды. Эти уравнения в тех
же безразмерных переменных сводятся к
Выведенные выше уравнения для медленных
волн неудобны для исследования быстрых волн.
(1 - Ω2f )nf x
H(1)N+1(nfx)
Для перехода к уравнениям для быстрых волн
=
(23)
1 - ΔΩ2
необходимо произвести замену Ωs на Ωf , используя
f
H(1)N(nfx)
{
следующее соотношение между ними:
jJN+1(j)/JN(j)
=
,
ω
Ω2sC2A
Ω2f =
=
= Ω2s(1 + β-1).
(17)
jIN+1(j)/IN(j)
kzCA
C2
T
где H(1)N = JN + iNN — функция Ханкеля первого
После подстановки (15) в (12)-(15) получаем
уравнения для быстрых сосисочных и поверхност-
рода, а параметры задаются соотношениями (19)-
ных волн
(21). Точно так же подстановкой фазовой скорости
(22) в (23 ) эти уравнения сводятся к уравнениям по
(1 - Ω2f )nf x
NN+1(nfx)
=
(18)
отношению к неизвестному j. Корни этих уравне-
1 - ΔΩ2
NN(nf x)
f
ний должны быть комплексными. Соответственно
{
после подстановки этих корней в (22) мы получим
jJN+1(j)/JN(j)
комплексную фазовую скорость, мнимая часть ко-
=
,
jIN+1(j)/IN(j)
торой определяет величину затухания излучающих
волн.
где N = 1, 2 . . . и
]
[δ(1 + β)2 - βΩ2f ][(1 + β)2 - ΔΩ2f
2. ВОЛНЫ В КОРОНАЛЬНЫХ АРКАХ
n2f =
,
(19)
(1 + β)2[δ(1 + β)2 - (1 + βe)βΩ2f ]
В короне и в корональных арках выполняет-
β(βΩ2f
- (1 + β)2)2
ся условие β, βe ≪ 1. В этом случае уравнения
m2(bf,sf) = ±
,
(20)
для объемных и поверхностных волн значительно
(1 + β)3(βΩ2f - (1 + β))
упрощаются. Кроме того, мы ограничимся рас-
j2 = m2(bf,sf)x2.
(21)
смотрением только случая N = 0 в рамках прибли-
жения тонкой трубки x = kzR0
≪ 1.
Безразмерные фазовые скорости быстрых соси-
сочных и поверхностных волн Ωbf,sf как функции
j и x находятся решением уравнений (21):
2.1. Медленные волны в корональных арках
Ω2(bf,sf) =
(22)
В короне и в корональных арках выполняется
условие β, βe ≪ 1. В этом случае уравнения (12)
(
√
)
(1 + β)(x2 ± j2)
для медленных сосисочных и поверхностных волн
=
1+
1 - 4βx2a-1
,
2x2
для случая N = 0 упрощаются:
a = (1 + β)2(x2 ± j2).
δ(1 - βΩ2s)ns xN1(nsx)
=
(24)
Подстановка Ωf = Ω(bf,sf) в (18) и (19) сводит дис-
δ - βeΩ2s N0(nsx)
{
персионные уравнения для быстрых сосисочных и
jJ1(j)/J0(j)
поверхностных волн к уравнениям для неизвестной
=
,
переменной j. Подстановка корней этих уравнений
jI1(j)/I0(j)
j(bf,sf) в (22) позволяет найти безразмерные ча-
где n2s ≈ (δ - βeΩ2bs)/δ. Кроме того, учтем, что
стоты Ω(bf,sf) и, следовательно, фазовые скорости
V(bf,sf) как функции параметров плазмы и магнит-
V (s)ph ≈ CT, а следовательно, Ω2s ≈ 1. В этом при-
ного поля внутри и вне магнитной трубки.
ближении уравнения (24) сводятся к еще более
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
288
ЖУГЖДА
простым уравнениям
Эти формулы показывают, что в пределе x =
{
= kzR0 → 0 фазовые скорости медленных фун-
x N1(nsx)
jJ1(j)/J0(j)
даментальной и поверхностной мод стремятся к
=
,
(25)
ns N0(nsx)
jI1(j)/I0(j)
трубочной скорости CT . Эта предельная тру-
бочная мода была описана Робертсом и Вебом
где n2bs ≈ 1 - βe/δ = 1 - (CS /CAe)2 ≈ 1. Ограни-
(1978) в рамках приближения тонкой трубки.
чимся рассмотрением волн, длина которых зна-
Это приближение описывает динамику бесконечно
чительно превышает толщину магнитной трубки
тонкой трубки. Робертс и Веб (1978), а также
x = kzR0 ≪ 1. При этом условии приближенное
позднее Ферриц-Мас и др. (1989), Жугжда и
уравнение для медленных сосисочных и поверх-
Госсенс (2001) показали, что фундаментальная
ностных волн (25) еще более упрощается
мода, так же как и поверхностная мода, переходит
{
в моду, описываемую приближенем тонкой трубки.
1
jJ1(j)/J0(j)
Эти результаты подтверждены выше в рамках
=
,
(26)
ln 2 - ln x - C
jI1(j)/I0(j)
приближения, которое, в отличие от приближения
Робертса и Веба (1978), может рассматриваться
где использовано
как приближение для тонких трубок конечного
1
диаметра.
lim(N1(x)/N0(x)) ≈
,
(27)
x→0
x(ln 2 - ln x - C)
Существуют три различия между фундамен-
тальной и поверхностной модами в тонких трубках
а C = 0,577215 —постоянная Эйлера. Левая
конечного диаметра:
часть уравнения (26) стремится к нулю при x →
→ 0, в то время как правая часть также может
1. Фазовая скорость поверхностных медленных
стремиться к нулю только для поверхностной моды
волн меньше трубочной скорости CT и уменьша-
и фундаментальной моды сосисочных колебаний. В
ется c увеличением x. Фазовая скорость фунда-
этом случае оба уравнения сводятся к
ментальной сосисочной моды больше трубочной
скорости и увеличивается с ростом x.
1
j2s
=
(28)
ln 2 - ln x - C
2
2. Собственная функция фундаментальной моды
максимальна в центре трубки и уменьшается по
Фундаментальной сосисочной модой называется
мере приближения к границе трубки. Собствен-
мода, собственная функция которой не меняет знак
ная функция поверхностной моды, наоборот, ми-
внутри трубки. Эта мода соответствует самому
нимальна в центре трубки и возрастает по мере
первому по величине корню дисперсионного урав-
удаления от него.
нения. Обычно фундаментальной модой называет-
ся следующая по порядку мода уравнения. На су-
3. Колебания в слоях, прилегающих к трубке
ществование фундаментальной моды было указано
снаружи, находятся в фазе с колебаниями внутри
Жугждой и Госсенсом (2001). Эта мода возникает
трубки для фундаментальной моды и в противофа-
только при учете влияния внешней среды на коле-
зе — для поверхностной моды.
бания в трубке. Таким образом, в пределе тонкой
Кроме фундаментальной сосисочной моды, су-
трубки конечной толщины уравнение для медлен-
ществует бесчисленное число медленных сосисоч-
ных сосисочных мод и уравнение для поверхност-
ных мод. Соответствующие корни дисперсионного
ных мод (24) сводятся к уравнению (28). Корень
уравнения для сосисочных мод (26) близки к кор-
этого уравнения для тонких магнитных трубок (x ≪
ням функции J1(j) при x ≪ 1. Запишем эти корни в
≪ 1) в солнечной короне (β, βe ≪ 1) приближенно
следующем виде:
равен первому корню уравнения для сосисочных
мод и единственному корню уравнения для поверх-
j(bs,n) = jj(n-1) + η(n-1),
(31)
ностных медленных волн
где n = 2, 3, 4, . . . ,
2
j2(ss,(bs,1)) = j2s ≈ -
(29)
а jjn — корни функции J1(j) и η(n-1) ≪ jj(n-1).
ln x
Тогда, раскладывая правую часть уравнения (26)
Подстановка этих корней в (16) позволяет най-
по малому параметру η(n-1) и сохраняя первый
ти приближенные фазовые скорости медленных
ненулевой член разложения, получим
фундаментальной и поверхностной мод в тонких
трубках:
1
≈ jj(n-1)η(n-1).
(32)
√
ln 2 - ln x - C
V(bs,1)ph ≈CT
1 - βx2 lnx/2,
(30)
√
Это уравнение определяет величину η(n-1)
≈
Vssph ≈CT
1 + βx2 lnx/2.
≈ -1/(jj(n-1) ln x). Поскольку действительно
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЫ
289
η(n-1) ≪ jj(n-1), то фазовые скорости медленных
мала. В частности, первая медленная сосисочная
сосисочных мод приближенно равны
мода, ошибочно называемая фундаментальной, не
√
должна наблюдаться при плохом пространствен-
V(bs,n)ph ≈CT
1 + βx2/jj2
(33)
ном разрешении. Таким образом, медленные вол-
(n-1)
ны в тонких корональных магнитных труб-
n = 2,3,4,
ка — это или фундаментальная, или поверх-
ностная мода колебаний.
Эти моды не представляют интереса в рамках
современной гелиосейсмологии солнечной короны.
Это связано с тем, что современные наблюдения
2.2. Быстрые волны в корональных арках
из-за недостаточно высокого пространственного
разрешения позволяют регистрировать только сиг-
При условии, что β, βe ≪ 1, уравнение (12) для
налы, усредненные по поперечному сечению коро-
быстрых сосисочных и поверхностных волн для
нально трубки. Собственные функции фундамен-
случая N = 0 существенно упрощается:
тальной и поверхностной мод для любой из физи-
{
ческих величин (температуры, плотности и т.д.) не
(1 - Ω2bf )xN1(nf x)
jJ1(j)/J0(j)
=
,
(36)
меняют знака при переходе от центра трубки к ее
nf
N0(nfx)
jI1(j)/I0(j)
границе. Это означает, что колебания в пределах
где
любого из заданных поперечных сечений находятся
в фазе. В результате наблюдается сигнал, усред-
n2f ≈ 1 - ΔΩ2bf = 1 - (V(bf)ph/CAe)2.
(37)
ненный по площади поперечного сечения. Соб-
ственные функции для всех остальных сосисоч-
Уравнение (36) имеет решение, только если nf > 0,
ных мод являются знакопеременными функциями
что сводится к условию V(bf)ph < CAe, которое заве-
даже при x → 0. Следовательно, кольцевые зоны
домо выполняется в короне, так как магнитное поле
внутри трубки осциллируют в противофазе друг к
в корональных трубках и окружающей короне не
другу. Это приводит к уменьшению интегрального
отличается, плотность в короне значительно ниже,
сигнала, так как сигналы от этих зон гасят друг
чем в трубке. По этой причине положим n2f ≈ 1. С
друга. Для демонстрации этого эффекта вычис-
учетом этого условия и при x = kzR0 ≪ 1 уравне-
лим интегралы от собственных функций J0(j) и
ние (36) сводится к приближенному уравнению
I0(j) по поперечному сечению трубки, отнесенных
{
к площади поперечного сечения, в безразмерных
1-Ω2
f
jJ1(j)/J0(j)
координатах для сосисочных мод с номерами n =
=
(38)
= 1, 2 и поверхностной моды при x = 0.1:
ln 2 - ln x - C
jI1(j)/I0(j)
j(bs,n)∫
Безразмерная фазовая скорость быстрых сосисоч-
ных и поверхностных волн (22) в нашем приближе-
Int(b,n) =
2πjJ0(j)dj/πj2(bs,n) =
(34)
нии равна
0
{
j2
0.99 для n = 1,
Ω2(bf,sf) ≈ 1 ±
- β.
(39)
=
x2
-6 × 10-5 для n =,2,
Исходя из результатов анализа медленных волн,
∫
ясно, что наибольший интерес для гелиосейсмоло-
гии солнечной короны представляет случай, когда
Ints =
2πjI0(j)dj/πj2(ss) = 1.01.
(35)
оба уравнения (22) сводятся к
0
1-Ω2f
2
j
Оказывается, что сигналы от фундаментальной и
=
(40)
ln 2 - ln x - C
2
поверхностной мод на много порядков превышают
сигнал от первой нефундаментальной сосисочной
Подстановка (39) в (40) позволяет найти прибли-
моды. Отрицательный знак появился из-за того,
женные корни дисперсионных уравнений (38) для
что для этой моды вклад в усредненный сигнал от
первой “фундаментальной” сосисочной и поверх-
колебаний центральной зоны трубки оказывается
ностной быстрых мод, а также их фазовые скоро-
меньше вклада от внешней внутренней зоны труб-
сти:
ки. Таким образом, усредненный сигнал от соси-
j2(bf,sf) ≈ βx2(1 ± 0.5x2 ln x),
(41)
сочных мод с номерами n > 1 ничтожен по срав-
нению со средними сигналами от фундаментальной
Ω2(bf,sf) ≈ 1 ± 0.5βx2 ln x.
и поверхностной мод при тех же амплитудах ко-
лебаний в трубке. Следовательно, вероятность их
Быстрая фундаментальная мода является волно-
обнаружения в корональных арках пренебрежимо
водной модой. Фазовая скорость этой моды всегда
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
290
ЖУГЖДА
меньше альфвеновской скорости внутри трубки.
случае медленных волн, трудно обнаружимы из-за
Фазовая скорость поверхностной моды больше
эффекта усреднения. Это утверждение получено в
альфвеновской скорости CA. Однако это решение
рамках нашего приближения тонкой трубки и тре-
не является физическим, так как в этом случае
бует проверки на основе точного дисперсионного
левая часть дисперсионного уравнения (40) ста-
уравнения.
новится отрицательной при положительной правой
части. Это указывает на то, что поверхностная мода
является излучающей модой.
2.3. Быстрые излучающие моды в корональных
Уравнение для сосисочных быстрых мод (38)
трубках
имеет бесконечное число решений, кроме рассмот-
При условии, что β, βe ≪ 1, уравнение (23) для
ренного выше фундаментального решения. Эти ре-
быстрых излучающих сосисочных и поверхностных
шения соответствуют случаям, когда правая часть
волн для случая N = 0 существенно упрощается
уравнения так же мала, как правая часть в рас-
{
сматриваемом нами приближении тонких магнит-
(1 - Ω2bf )xH(1)(nf x)
jJ1(j)/J0(j)
ных трубок в солнечной короне. Правая часть
1
=
,
(44)
уравнения (38) оказывается достаточно мала при
nf
jI1(j)/I0(j)
H(1)0(nf x)
значениях j, близких к корням функции J(0, j).
Соответственно после подстановки Ωbf из (39) в
где n2f определяется из (37). Далее, так же как и
уравнение (38) получаем дисперсионное уравнение
в предыдущем разделе, положим n2f ≈ 1. В нашем
относительно j для быстрых сосисочных мод
приближении отношение функций Ханкеля в (44)
ln 2 - ln x - C
сводится к
=
(42)
β - jj2n/x2
(1)
H1
−--→
(45)
= lim
(J0(j)/jJ1(j)) ≈ -jjnδj,
j→jjn+δj
x - 2i/(πx)
→
=
1 - 2i(ln2 - lnx - C)/π
где jjn — корни функции J0(j), δ ≪ jjn и n =
= 1, 2, 3, . . . После подстановки решения уравне-
1
πi
=-
-
ний (42) в Ωbf из (39) находим фазовую скорость
x ln x
2x(ln x)2
быстрых сосисочных мод
Прежде всего проверим наше предположение, сде-
Ω2(bf,n) ≈ 1 - jjn ln x.
(43)
ланное в предыдущем разделе, что быстрая поверх-
ностная мода является излучающей модой. Для
Эти быстрые желудочковые моды (43) хорошо из-
этого подставим в (44) соотношения (45) и Ω2sf
вестны и подробно исследованы. Фазовая скорость
этой моды всегда больше альфвеновской скорости
из (39). В результате в пределе малых j получим
внутри трубки CA. По мере уменьшения x фазовая
дисперсионное уравнение
)
скорость (43) растет, но хорошо известно, что она
(j2
не может превысить альфвеновскую вне трубки
+β
×
(46)
x2
CAe. Это означает, что при стремлении фазовой
(
)
скорости этой моды к CAe параметр n2f → 0 (смот-
1
πi
×
+
+ 0.5j2 = 0.
ри (37)). Поскольку при выводе нашего прибли-
x ln x
2x(ln x)2
женного уравнения мы положили n2f ≈ 1, уравне-
Решая это уравнение относительно j2 и подставляя
ние непригодно для исследования данной моды.
это решение в Ω2sf из (39), находим
Но совершенно очевидно, что данная волноводная
мода не существует в тонких трубках с x ≪ 1. Если
j2sf = -βx2(1 - 0.5ln(x)x3 + i0.25πx3),
(47)
обратиться к результатам исследований Степанова
и Зайцева (2018), в тонких трубках с x ≪ 1 нет
Ω2sf ≈ 1 - 0.5β ln(x)x3 + i0.25πβx3.
не только волноводных, но и излучающих быстрых
Оказывается, что излучающая поверхностная мода
мод колебаний. Это хорошо видно на рис. 4.5 из
имеет фазовую скорость больше альфвеновской
этой книги. Анализируя данные наблюдений, авто-
ры приходят к выводу, что трубки, ответственные
скорости CA. По мере утоньшения трубки фазовая
за быстрые колебания, должны быть достаточно
скорость поверхностных волн стремится к альфве-
толстые. Надо отметить, что собственная функция
новской скорости CA, а затухание из-за излучения
первой быстрой сосисочной моды не меняет знак
стремится к нулю. Таким образом, быстрые вол-
и, следовательно, может быть обнаружена при на-
ны в тонких корональных магнитных труб-
блюдениях с плохим пространственным разреше-
ках — это или фундаментальная, или поверх-
нием. Но все последующие моды, так же как и в
ностная мода колебаний.
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЫ
291
3. ОБСУЖДЕНИЕ
Настоящая работа имеет своей целью обратить
внимание на некоторые особенности колебаний
Из проведенного анализа следуют, по нашему
в тонких трубках. Однако наши выводы должны
мнению, два достаточно важных вывода. Прежде
быть проверены на основе точных расчетов для
всего необходимо учитывать возможность возбуж-
конкретных параметров арок в солнечной короне и
дения в корональных арках медленных и быстрых
использованы при анализе реальных колебаний в
поверхностных волн. В случае тонкой трубки их
корональных арках.
трудно отличить от фундаментальной моды. Одна-
ко в случае достаточно толстой трубки различие в
фазовых скоростях между ними может оказаться
достаточно большим. Во всяком случае, это необ-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ходимо проверить путем численных расчетов. Осо-
1. Жугжда, Госсенс (Y.D. Zhugzhda and M. Goossens),
бенно это может оказаться интересным в связи с
Astron. Astrophys. 377, 330 (2001).
колебаниями во вспышечных арках. Второй вывод,
2. Меерсон и др. (B.I. Meerson, P.V. Sasorov, and
который существенен для интерпретации совре-
R.V. Stepanov), Solar Phys. 58, 165 (1978).
менных наблюдений, связан с тем, что корональные
3. Накаряков и др. (V.M. Nakariakov, V.A. Pilipenko,
арки наблюдаются с плохим пространственным
Balazs Heilig, et al.), Space Sci. Rev. 200(1), 75
разрешением. Это должно существенно затруднять
(2016).
наблюдение некоторых мод колебаний. Наблюдае-
4. Робертс, Веб (B. Roberts and A.R. Webb), Solar Phys.
мый сигнал в этом случае представляет собой сиг-
56, 5 (1978).
нал, усредненный по поперечному сечению трубки.
5. Спруит (H.C. Spruit), Solar Phys. 75, 3 (1982).
Если сигналы в центре трубки и на ее периферий-
6. Степанов А.В., Зайцев В.В., Магнитосферы ак-
ной части находятся в противофазе, интегральный
тивных областей Солнца и звeзд (Физматлит,
сигнал может быть очень слабым. Мы показали,
2019).
что, в частности, медленные сосисочные моды в
тонких трубках вряд ли могут быть обнаружены
7. Степанов и др. (A.V. Stepanov, V.V. Zaitsev, and
при плохом пространственном разрешении. В то
V.M. Nakariakov), Coronal Seismology: Waves and
же время первая быстрая сосисочная мода должна
Oscillations in Stellar Coronae (Wiley-VCH Verlag
GmbH & Co. KGaA, Weinheim, Germany, 2012).
наблюдаться, если наш анализ собственной функ-
8. Ферриц-Мас и др. (A. Ferriz-Mas, M. Schussler, and
ции этой моды приложим к случаю нетонкой труб-
V. Anton), Astron. Astrophys. 210, 425 (1989).
ки. По нашему мнению, при анализе наблюдений
необходим анализ эффекта усреднения колебаний
9. Эдвин, Робертс (P.M. Edwin and B. Roberts), Solar
в пределах поперечного сечения трубки.
Phys. 88, 179 (1983).
ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46
№4
2020
