ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 6, с. 451-456

УСКОРЕНИЕ ИОНОВ ВО ФРОНТЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВИСТЛЕРОВ

¹Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск, Россия

Поступила в редакцию 24.01.2020 г.

После доработки 24.01.2020 г.; принята к публикации 26.05.2020 г.

Решена задача об ускорении ионов (протонов), набегающих на фронт нелинейного вистлера, для

которого предполагается, что структура его электромагнитных полей известна и определена соотно-

шениями, которые ранее получены автором. Установлена зависимость энергии, до которой ускоряются

протоны, от угла между направлением распространения вистлера по отношению к направлению

внешнего магнитного поля и от скорости вистлера. Полученные результаты применяются для случая

околоземной бесстолкновительной ударной волны, предполагая, что фронт бесстолкновительной

ударной волны имеет структуру нелинейного вистлера. Показано, что протоны ускоряются во фронте

околоземной бесстолкновительной ударной волны до 45 кэВ и с такими энергиями оказываются

перед фронтом бесстолкновительной ударной волны в области форшока. По мнению автора, эти

энергичные протоны, рассеиваясь на колебаниях, существующих в форшоке, образуют перед фронтом

бесстолкновительной ударной волны популяцию так называемых диффузных ионов.

Ключевые слова: нелинейные вистлеры, ускорение ионов, магнитозвуковые ударные волны.

DOI: 10.31857/S0320010820060042

ВВЕДЕНИЕ

существенную роль в формировании структуры

бесстолкновительных ударных волн (БУВ) (Балог,

В данной работе рассматривается ускорение

Труман, 2013), в частности, это относится и к око-

ионов во фронте установившихся нелинейных

лоземной БУВ (Вилсон III, 2016; Красносельских

волн - вистлерах, распространяющихся под углом

и др., 2002).

α (α = π/2) к постоянному однородному маг-

нитному полю в холодной бесстолкновительной

Как следует из результатов работы (Саффман,

плазме. Мы акцентируем основное внимание на

волнах типа быстрого магнитного звука (БМЗ),

1961), для установившихся нелинейных вистле-

которые при выполнении условия ω_He ≪ ω_pe имеют

ров, бегущих в бесстолкновительной, холодной,

частоты ω_Hi ≪ ω < ω_Hecosα и длины волн порядка

замагниченной плазме строго вдоль силовых линий

электронной инерционной длины c/ω_pe (здесь

внешнего магнитного поля, волновое магнитное по-

ω_Hi - ионная циклотронная, ω_He - электронная

ле имеет две, сравнимые по величине, поперечные

циклотронная, ω_pe

- электронная плазменная

к направлению движения волны компоненты, а

частоты, c - скорость света). В этом диапазоне

вектор магнитного поля вистлера вращается вокруг

оси, вдоль которой движется волна. Модуль маг-

частот БМЗ-волны имеют несколько названий:

нитного поля вистлера в пространстве имеет вид

свистящие атмосферики, свисты, геликоны, вис-

тлеры (Ахиезер и др., 1974; Гершман, Угаров,

уединенной волны - солитона. Характерный про-

1960). Мы эти волны будем называть вистлерами.

странственный масштаб вистлера-солитона, бегу-

Вистлеры проявляются достаточно часто во многих

щего строго вдоль магнитного поля, ∼c/ω_p, его

явлениях, имеющих место в замагниченной косми-

максимальная скорость на порядок величины пре-

ческой плазме. К примеру, вистлеры, возбуждаясь

вышает альфвеновскую скорость в невозмущенной

в околоземной плазме вследствие непрерывных

плазме, а амплитуда поперечных компонент волно-

грозовых разрядов в атмосфере Земли (Гершман,

вого магнитного поля вистлера при максимальных

Угаров,

1960), постоянно регистрируются ра-

его скоростях на порядок величины превышает

диоприемниками на Земле. Другой пример - в

значение внешнего магнитного поля. Как показано

последнее время установлено, что вистлеры играют

в работе (Кичигин, 2018а), аналогичную структуру

имеют вистлеры, бегущие под углом к магнитному

^*Электронный адрес: king@iszf.irk.ru

полю.

451

452

КИЧИГИН и др.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИСХОДНЫЕ

в которых время τ связано с координатой x соот-

УРАВНЕНИЯ

ношением

x = (c/ω_pe)[Mτ - 2λth(λτ)/M],

Рассмотрим задачу о динамике ионов, попада-

ющих во фронт вистлера-солитона, который дви-

√

жется со скоростью U₀ в бесстолкновительной, хо-

λ = M² - h²⁰(μ + μ-1)²/4,

лодной, замагниченной электрон-протонной плаз-

ме под углом α к внешнему стационарному маг-

β = β(τ) = (μ² - 1)h₀/(2μ)τ.

нитному полю величиной B. Все рассмотрение ве-

Число Маха вистлера имеет ограниченный интер-

дем в системе отсчета, связанной с движущимся

вал возможных значений:

вистлером. Предполагаем, что ускоряемыми иона-

√

ми являются протоны, движение которых считаем

(μ + 1/μ)h₀/2 < M < (μ + 1/μ)h₀/

нерелятивистским. Ограничимся одномерным слу-

Отметим, что минимальное значение числа Маха

чаем, т.е. положим, что все переменные величины

для нелинейного вистлера (M_min = (μ + 1/μ)h₀/2)

зависят только от координаты x. В невозмущенной

равно максимальной скорости линейных вистле-

волной плазме внешнее однородное магнитное по-

ров, которая, согласно дисперсионному уравнению

ле имеет компоненты Bx0 = B cos α ≡ B₀ = сonst

(Карпман, 1973)

и Bz0 = B sinα. Полагая, что число ускоряемых

ионов очень мало, воспользуемся одночастичным

ω = [kV_A/(2A1/2)][(1 + h₀)² + k²c²h²⁰/(Aω^2pi)]1/2+

приближением, и тогда движение протонов будет

описываться уравнением

+ [(1 - h₀)² + k²c²h²⁰/(Aω^2pi)]1/2,

m_idv_i/dt = eE + e[v_i × B]/c.

достигается при волновом числе k = ω_pe/c (здесь

Здесь Е, B - векторы электрического и магнитного

A = 1 + k²c²/ω^2pe).

полей; v_i, m_i, e - вектор скорости, масса и заряд

На рис. 1 для косого (α ≈ 72) нелинейного

протонов соответственно.

вистлера приведены компоненты полей, графики

Введем безразмерные величины. Безразмер-

которых мы ограничили только положительными

ное время обозначим как τ = ω_gt, где ω_g =

значениями переменной τ. Считаем, что поля на

= eB/(c√memi) (me - масса электрона); без-

отрезке 0 < τ < 1 (рис. 1) относятся к фронту

размерные величины компонент магнитного поля,

вистлера. Мы будем также в дальнейшем полагать,

нормированные на величину B, обозначим как h

что профиль фронта вистлера, изображенный на

(с соответствующим индексом); обозначим как E

рис. 1, это и есть профиль фронта БУВ, где ве-

компоненту электрического поля E_x, нормиро-

личины компонент полей значительно превышают

ванную на B; x-, y- и z-компоненты скоростей

величины полей в невозмущенной плазме.

частиц, нормированные на величину V_A, обозна-

С учетом формул (1) и (2) для компонент полей

чим соответственно как s, v и w (здесь V_A =

вистлера уравнения движения в безразмерном виде

= B/√4πn0mi - скорость альфвеновских волн

примут вид

в невозмущенной плазме, имеющей плотность

ds/dτ = (1 - 1/μ²)(4λ³/M)sech²(λτ) th(λτ)+

n₀). Используем следующие обозначения для

(3)

безразмерных параметров: альфвеновское число

+ h₀hz0h_y/(μM) + (vh_z - wh_y)/μ,

Маха M = U₀/V_A, h₀ = B₀/B = cos α, корень

из отношения массы протона к массе электрона

√

dv/dτ = (sh_z - Mhz0 - wh₀)/μ,

(4)

обозначим как μ =

m_i/m_e.

Для величин электрического и магнитного полей

dw/dτ = (vh₀ - sh_y)/μ.

(5)

вистлеров, движущихся под углом к направлению

внешнего постоянного магнитного поля, будем ис-

Система уравнений

(3)-(5) решалась методом

пользовать решения, полученные в работе (Кичи-

Рунге-Кутта. Результаты решения представлены

гин, 2018а), согласно которым компоненты полей

на рис. 2 и 3. Для удобства представления ре-

зависят от переменной τ и выражаются формулами

зультатов численных расчетов мы ввели вспомога-

тельную переменную Т, которая равна сумме всех

E = (V_A/c)[(μ - 1/μ)4λ³sech²(λτ)th(λτ)/M+

отрезков времени τ, относящихся ко всем этапам

(1)

рассматриваемой нами динамики протонов как во

+ h₀hz0h_y/M],

фронте вистлера, так и вдали от него (в невозму-

щенной волной плазме). Как следует из численных

расчетов, мизерная часть протонов, попадающих

h_z(τ) = 2λcos βsech(λτ),

(2)

во фронт вистлера и имеющих небольшие ско-

h_y(τ) = 2λsin βsech(λτ),

рости, оказывается захваченной точно также, как

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№6

2020

УСКОРЕНИЕ ИОНОВ

455

компоненты скорости периодически изменяются

прекращается, а протоны удаляются от фронта

со временем, причем частота осцилляций скорости

вистлера в положительном направлении оси x.

вдоль оси x много больше, чем частота колебаний

После выхода из захвата (при T_a ≈ 715) движение

компонент скорости по осям y и z.

протонов, покинувших окрестности фронта вис-

Качественная картина движения протона во

тлера, - это снова движение в скрещенном маг-

фронте вистлера и вдали от него, следующая из рис.

нитном B и электрическом E_y = U₀Bz0/c полях.

2, выглядит следующим образом. На достаточно

Так как z-составляющая скорости при выходе из

большом расстоянии от фронта, где влияние полей

захвата имеет значительную скорость (см. рис. 2),

вистлера несущественно, движение протонов (в си-

так что b < 0, то согласно (6), дрейф протонов

стеме отсчета вистлера) - это дрейф в скрещенном

здесь происходит в положительном направлении

магнитном B и электрическом E_y = U₀B sin α/c

оси x (так как s > 0). Период колебаний протонов

полях, который описывается формулами

на дрейфующих участках траектории протонов (на

рис. 2 при 0 < T < T_f и T > T_a) равен eB/(m_ic).

s = s₀ - bsinα[1 - cos(T/μ)],

Аналогично тому, как это происходит в магнитозву-

v = v₀ + bsin(T/μ),

(6)

ковых БУВ (Кичигин, 2009, 2018б), усредненная

w = w₀ - bcosα[1 - cos(T/μ)],

по этому периоду траектория вышедших из захвата

протонов лежит в плоскости x-z и определяется

где s₀, v₀, w0 - начальные значения компонент

средними значениями компонент их скорости: s =

скорости протона (при T = 0), b = w₀ cos α + (s₀ +

= s₀ - bsinα, v = 0, w = w₀ - bcosα, где s₀, w₀ -

+ M)sinα. Зависимости скоростей от времени,

начальные значения компонент скорости протонов

описываемые этими формулами и следующими из

в момент выхода из захвата. По терминологии

численных расчетов, приведенных на рис. 2, прак-

работы (Кичигин, 2018б) эти протоны относятся к

тически совпадают. Как следует из этих фор-

категории отраженных от фронта.

мул, протоны невозмущенной плазмы, имеющие

небольшие начальные величины компонент ско-

Как видно на рис. 2, x-компонента скорости

ростей v₀ ≈ w₀ ≈ 0, |s₀| < 1 < M, будут дрейфо-

захваченных протонов относительно мала и, усред-

вать из невозмущенной плазмы по направлению к

ненная по колебаниям, имеет нулевую величину.

вистлеру (так как s < 0). Такой дрейф на отрезке

Используя этот факт, систему уравнений (3)-(5)

времени 0 < T < T_f мы видим на рис. 2, где протон

можно решить аналитически так же, как это сде-

в момент времени T_f , приблизившись к фронту

лано в работах (Кичигин, 2009, 2018б). Действи-

тельно, полагая s =0, уравнения (4) и (5) имеют

вистлера, попадает под влияние его сильных полей.

решения

Начиная с этого момента, поведение компонент

скорости указывает на то, что протоны, входящие

v = M tgαsinΩ(T - T_f),

с малой скоростью в электромагнитное поле вис-

тлера, на некоторое время становятся захваченны-

w = M tgα[1 - cosΩ(T - T_f)],

ми. Это те протоны, которые попадают в область

где Ω = h₀/μ, и в момент захвата протонов приня-

фронта с фазами, близкими к T/μ = 2πn, где n =

то, что T = T_f и v ≈ w ≈ 0. Энергия протонов до-

= 0, 1, ..., и для которых, как видно из формул (6),

стигает максимального значения EN_max = 4 tg² α

компоненты скоростей малы. На рис. 2 протоны за-

в момент времени T_a, для которого выполняются

хватываются примерно при T_f ≈ 2πμ ≈ 270. Здесь,

соотношения T_a - T_f ≈ π/Ω, v = 0, w = 2M tg α.

во фронте вистлера, по оси x на протон действуют

Все значения величин скоростей и энергий, по-

две силы: сила за счет x-компоненты электриче-

лученные из приведенных аналитических решений,

ского поля и сила (vh_z - wh_y). При некоторых

совпадают с величинами, полученными в наших

условиях совместное действие этих сил приводит

численных расчетах, представленных на рис. 2 и

к захвату протонов, аналогично тому, как это про-

3. На рис. 3 приведены зависимости энергии EN

исходит в магнитозвуковых БУВ (Сагдеев, 1964;

от параметров h₀ (рис. 3а) и M (рис. 3б) соответ-

Кичигин, 2001, 2018б).

ственно.

Пока протоны захвачены, они подвергаются

ускорению вдоль оси y под действием компоненты

На рис. 3, учитывая значения параметров плаз-

электрического поля E_y = U₀Bz0/c. Такой процесс

мы и электромагнитных полей перед магнитосфе-

ускорения захваченных ионов впервые был обна-

рой Земли, приведена также зависимость от пара-

ружен в магнитозвуковых БУВ (Сагдеев, 1964)

метров h₀ и M энергии протонов E, ускоренных

и называется серфотронным механизмом ускоре-

во фронте околоземной БУВ, предполагая, что

ния (см., например, Шапиро, Усер, 2003; Кичи-

ударный фронт БУВ имеет форму нелинейного вис-

гин, 1995, 2001, 2009, 2018б). Из рис. 2 следует,

тлера. Мы считаем, что убедительным обосновани-

что как только компонента скорости v становит-

ем такого предположения могут служить выводы

ся отрицательной, процесс захвата и ускорения

работы (Красносельских и др., 2002), в которой

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№6

2020

456

КИЧИГИН и др.

показано, что нелинейные вистлеры играют суще-

находящуюся перед фронтом околоземной

ственную роль в формировании фронта сильных

БУВ и рассеиваясь на колебаниях, присут-

БУВ.

ствующих в этой области, образуют попу-

Как следует из рис. 3, энергия E ускорен-

ляцию так называемых диффузных ионов.

ных протонов перед околоземной БУВ достига-

Характеристики этой популяции, следующие

из анализа измерений параметров плазмы

ет 45 кэВ. По нашему мнению, эти энергичные

на космических аппаратах и следующие из

протоны, попадая в область, находящуюся перед

нашей модели, весьма похожи.

фронтом околоземной БУВ и рассеиваясь на ко-

Работа выполнена в рамках проекта II.16.1.3

лебаниях, присутствующих в этой области, образу-

программы фундаментальных научных исследова-

ют популяцию так называемых диффузных ионов.

ний СО РАН II.16.1 по приоритетному направле-

Характеристика этой популяции протонов, следу-

нию II.16.

ющая из анализа измерений параметров плазмы на

космических аппаратах в области форшока около-

земной БУВ и приведенная во многих работах, в

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

частности, в работе (Ока и др., 2005; цитата из этой

Ахиезер А.И., Ахиезер И А.., Половин Р.В. и др.,

работы: “Diffuse ions feature a very broad angular

Электродинамика плазмы (под ред. А.И. Ахие-

distribution characterized by relatively flat energy

зера, М.: Наука, 1974).

spectra extending up to at least 40 keV. . . ”), являет-

Балог, Тройман (A. Balogh and R.A. Treumann),

ся надежным подтверждением наших заключений.

Physics of Collisionless Shocks (Springer Science

Business Media, New York, 2013.doi:10.1007/978-1-

4614-6099-2).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Вилсон III (L.B. Wilson III), Low Frequency Waves

1. Решена задача об ускорении протонов, набе-

at and Upstream of Collisionless Shocks. Low

гающих на фронт нелинейного вистлера, для

Frequency Waves in Space Plasmas (GMS-216)-

которого предполагается, что структура его

AGU-2016, 2016, p. 269-292).

электромагнитных полей известна и опре-

Гершман Б.И., Угаров В.А., Успехи физ. наук

делена формулами, которые ранее получены

LXXII, 235 (1960).

автором.

Карпман В.И., Нелинейные волны в диспергиру-

ющих средах (М.: Наука, 1973).

2. Показано, что протоны, попавшие из невоз-

Кичигин Г.Н., ЖЭТФ 108, 1342 (1995).

мущенной плазмы во фронт вистлера с ма-

Кичигин Г.Н., ЖЭТФ 119, 1038 (2001).

лыми величинами компонент скорости (в си-

Кичигин Г.Н., Письма Астрон. журн. 35, 295 (2009)

[G.N. Kichigin, Astron. Lett. 35, 261 (2009)].

стеме волны), на некоторое время оказыва-

Кичигин Г.Н., Солнечно-земная физика

ются захваченными во фронте. В процессе

захвата под действием так называемого сер-

(2018a); doi: 10.12737/szf-41201803.

10.

Кичигин Г.Н., Солнечно-земная физика

фотронного механизма ускорения протоны

набирают значительную энергию.

(2018б); doi: 10.12737/szf-44201803.

11.

Красносельских и др. (V.V. Krasnoselskikh,

3. Найдена зависимость энергии, до которой

et al.), Phys. Plasmas

1192

(2002); doi:

ускоряются протоны, от угла между направ-

10.1063/1.1457465.

лением распространения вистлера по отно-

12.

Ока и др. (M. Oka, T. Terasawa, Y. Saito, and

шению к направлению внешнего магнитного

T. Mukai), J. Geophys. Res. 110, A05101 (2005);

поля и от скорости вистлера.

doi:10.1029/2004JA010688.

13.

Сагдеев Р.З., Вопросы теории плазмы. Т. 4 (М.:

4. Применяя полученные результаты к случаю

Атомиздат, 1964), c. 20.

околоземной БУВ, установлено, что энер-

14.

Саффман (P.G. Saffman), J. Fluids Mech. 11, 16

гия ускоренных протонов перед околоземной

(1961).

БУВ достигает 45 кэВ. По мнению автора,

15.

Шапиро, Усер (V.D. Shapiro and D. User), Planet.

Space Sci. 51, 665 (2003).

эти энергичные протоны, попадая в область,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№6

2020