ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 7, с. 494-504

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ ИЗ МОЛОДЫХ

ЗВЕЗД, МОДЕЛИРУЕМЫХ НА УСТАНОВКАХ ПЛАЗМЕННОГО

ФОКУСА

¹Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия

²Московский физико-технический институт (Государственный университет), Долгопрудный, Россия

³Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия

Поступила в редакцию 15.04.2020 г.

После доработки 26.05.2020 г.; принята к публикации 26.05.2020 г.

Лабораторное моделирование струйных выбросов из молодых звезд, проводимых уже много лет на

установках плазменного фокуса, позволяет в деталях исследовать внутреннюю структуру активных

областей, возникающих при взаимодействии струйного выброса с окружающей плазмой. В работе

найден новый широкий класс решений уравнений идеальной магнитной гидродинамики, описывающий

замкнутые осесимметричные стационарные течения, которые, по-видимому, и реализуются в активных

областях. Показано, что такие течения хорошо воспроизводят внутреннюю структуру плазменных

выбросов, наблюдаемых при лабораторном моделировании астрофизических струйных выбросов.

Ключевые слова: численное моделирование, джеты из молодых звезд.

DOI: 10.31857/S0320010820070025

ВВЕДЕНИЕ

эксперименты в принципе могут быть полностью

диагностированы, тогда как диагностика реальных

В настоящее время при исследовании процес-

астрофизических объектов в значительной степени

сов, происходящих в космосе, все большую роль

ограничена.

начинает играть лабораторное моделирование.

Действительно, несмотря на то, что характерные

Одним из таких направлений лабораторных ис-

длины и временные масштабы лабораторных

следований является моделирование астрофизиче-

экспериментов на много порядков меньше, чем у

ских струйных выбросов (джетов). Поскольку в

реальных астрофизических источников, они могут

большинстве случаев при этом реализуются нере-

быть легко масштабированы для астрофизических

лятивистские течения, речь здесь может идти лишь

ситуаций в случае, если и те, и другие подчиняются

о джетах из молодых звезд (Сурдин, 2001; Боден-

законам идеальной магнитной гидродинамики

хаймер, 2011). Напомним, однако, что такие струй-

(МГД). Это связано с тем, что уравнения МГД

ные выбросы наблюдаются у самых разных кос-

не имеют собственного масштаба, и поэтому

мических источников: от блазаров, активных ядер

они могут описывать как лабораторные, так и

галактик и, предположительно, гамма-всплесков

астрофизические течения (Рютов и др., 2000).

до микроквазаров и молодых звезд (см., напри-

мер, Бескин, 2005). Джеты в этих объектах имеют

Перевод же исследований астрофизических

объектов в лабораторию имеет ряд несомненных

масштабы от мегапарсек (активные ядра галак-

преимуществ. Прежде всего в лабораторной плаз-

тик) до долей парсека (молодые звезды), а скоро-

ме можно легко варьировать параметры течений,

сти течений — от ультрарелятивистских, с лоренц-

что чрезвычайно важно для проверки предсказаний

фактором в несколько десятков, до нерелятивист-

теоретических моделей. Далее, временные рамки

ских (у молодых звезд) значений. При этом струй-

лабораторных экспериментов невелики, и поэтому

ные выбросы позволяют естественным способом

можно легко следить за динамикой происходящих

сбросить избыточный угловой момент “централь-

процессов, тогда как отслеживание динамики

ной машины” (черной дыры, молодой звезды) и ак-

реальных астрофизических явлений может занять

креционного вещества, что и позволяет, например,

многие десятилетия. Кроме того, лабораторные

молодой звезде сжаться до необходимых размеров.

Также необходимо отметить, что практически во

^*Электронный адрес: beskin@lpi.ru

всех случаях основное энерговыделение осуществ-

494

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ

495

ляется в т.н. активных областях, где сверхзвуковой

Школе, Франция, установки в университете Роче-

выброс взаимодействует с окружающей средой; у

стера, США и в ЦНИИМаш, Россия), а также на

нерелятивистских струйных выбросов из молодых

установках, в которых использовалась технология

звезд они были впервые открыты как объекты

плазменного ускорителя (Калифорнийский Техно-

Хербига-Аро (Хербиг, 1950; Аро, 1950).

логический Институт и Вашингтонский Универси-

тет, США).

Сейчас известно уже более шестисот молодых

звезд, у которых наблюдаются струйные выбросы

Еще одно перспективное направление лабора-

(Арс и др., 2007; Рей и др., 2007). Их активные

торных исследований струйных выбросов связано с

области представляют собой яркие конденсации

технологией плазменного фокуса. Эти работы были

размером в несколько угловых секунд (линейный

начаты несколько лет назад в НИЦ “Курчатовский

размер порядка 500-1000 а.е.), обычно окружен-

Институт” на установке ПФ-3 (Крауз и др., 2015;

ные яркой диффузной оболочкой. Как уже отме-

Митрофанов и др., 2017; Крауз и др., 2018), а затем

чалось, скорость струйных выбросов превышает

были продолжены в Институте физики плазмы и

скорость звука в веществе джета. Поэтому за счет

лазерного синтеза (установка PF-1000, Варшава)

взаимодействия сверхзвукового струйного выброса

и на установке КПФ-4 “Феникс” в Сухумском

с внешней средой неизбежно появляется ударная

физико-техническом институте (Крауз и др., 2017).

волна (МакКи, Острайкер, 2007).

Здесь также накоплен большой объем данных, ка-

Понятно, что вопрос взаимодействия струйного

сающихся внутренней структуры плазменного вы-

выброса с межзвездным газом всегда находился в

броса. Это стало возможным благодаря достаточно

большим размерам выброса, позволяющим прово-

центре внимания. Уже в 80-90-х годах прошлого

века удалось смоделировать возникновение удар-

дить как прямые зондовые измерения внутренней

ных волн при взаимодействии сверхзвукового дже-

структуры магнитных полей, так и непосредствен-

та с окружающей средой, а также в целом выяснить

ное измерение скоростией течения плазмы.

роль радиационных процессов (Норман и др., 1982;

Отметим, что еще одной важной особенностью

Блонден и др., 1990; Стоун, Норман, 1993). Впо-

экспериментов на установках плазменного фокуса

следствии для анализа процессов нагрева и излу-

является то обстоятельство, что движение плаз-

чения на ударных волнах в расчеты были включены

менного выброса осуществляется не в вакууме, а во

все основные процессы ионизации и рекомбинации

внешней среде, причем такое движение происходит

(Рага и др., 2007). Была также воспроизведена

со сверхзвуковой скоростью. Это факт позволяет

сложная многокомпонентная структура “головных

моделировать в лаборатории взаимодействие ре-

частей” (Стоун, Харди, 2000; Хансен и др., 2017),

альных астрофизических джетов с межзвездным

и даже смоделировано взаимодействие струйного

газом, которое, как уже отмечалось, также осу-

выброса с боковым ветром (Кайдич, Рага, 2007)

ществляется в сверхзвуковом режиме. Кроме того,

(см. также обзор Франкa и др., 2014). Значитель-

возможность проследить эволюцию плазменного

ное количество работ по численному моделирова-

выброса на расстояниях порядка одного метра (т.е.

нию было связано и с анализом результатов, полу-

в десятки раз больших, чем его поперечный раз-

ченных на экспериментальных установках (Чиар-

мер) дает уникальную возможность понять причину

ди, 2010; Бокки, 2013). При этом во всех численных

устойчивости джетов.

экспериментах магнитное поле действительно иг-

Наконец, подчеркнем еще одно важное обсто-

рало определяющую роль, позволяя воспроизвести

ятельство. В отличие от многих других лабора-

основные морфологические свойства наблюдаемых

торных экспериментов, на установках плазменного

течений.

фокуса реализуется не квазистационарная цилин-

Что же касается лабораторного моделирования,

дрическая конфигурация, а уединенный плазмен-

то в настоящее время в мире насчитывается уже

ный выброс. Но, согласно астрофизическим на-

около десятка установок, на которых проводит-

блюдениям (Рейпарт и др., 2002; Хансен и др.

ся лабораторное моделирование астрофизических

2017), нерелятивистские струйные выбросы из мо-

джетов (Чиарди и др., 2009; Сузуки и др., 2012;

лодых звезд действительно распадаются на от-

Хуарте-Эспиноза и др., 2012; Альбертацци и др.,

дельные фрагменты (все они теперь называются

2014; Беляев и др., 2018; Беллан, 2018; Лебедев

течениями Хербига-Аро). Возможность напрямую

и др., 2019; Лавин, Ю, 2019). При этом запуск

исследовать структуру подобных течений является

струи был реализован как с использованием техно-

еще одним преимуществом лабораторных иссле-

логии Z-пинча (установка MAGPIE в Имперском

дований, основанных на технологии плазменного

колледже, Великобритания и установка в Корнель-

фокуса. В результате удалость прояснить многие

ском университете, США), так и благодаря вза-

вопросы, касающиеся стабилизирующей роли маг-

имодействию сверхмощного лазерного импульса с

нитного поля, а также динамики нагрева и охла-

мишенью (установка LULI-2 в Политехнической

ждения газа в активных областях.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

496

БЕСКИН, КАЛАШНИКОВ

Азимутальная неоднородность

Область

растекания тока в головной

центрального тока

части потока

Сечение I

B r

1/r

Зонд

Сечение II

Обратный ток

Азимутальная неоднородность

растекания тока в хвостовой

части потока

Рис. 1. Внутренняя структура плазменного выброса, воспроизведенная на основе результатов, полученных на установке

КПФ-4 “Феникс” (Крауз и др., 2019). Штриховой линией показана структура тороидального магнитного поля,

стрелками — схема циркуляции токов; пунктирными линиями — радиальное распределение тороидального магнитного

поля в плазменном потоке Bϕ(r) в его центральной части и на периферии. Показано также два положения магнитного

зонда в позициях I и II.

На рис. 1 показана характерная форма плаз-

условий эксперимента и построить феноменологи-

менного выброса, построенная по данным магни-

ческую модель плазменного сгустка.

тозондовых измерений на установке КПФ-4 “Фе-

Как мы видим, выброс представляет собой

никс” (Крауз и др., 2019). В этом эксперименте

квази-тороидальное течение, в центре коротого,

проведены измерения радиального распределения

согласно прямым зондовым измерениям торои-

тороидального магнитного поля с помощью много-

дального магнитного поля (штриховая линия), про-

канального магнитного зонда, состоящего из вит-

текает продольный электрический ток. При этом

ковых катушек с расстояниями между центрами

поперечный размер головной части оказывается

катушек 5-6 мм. В этом случае сигналы с катушек

заметно меньше, чем его тыловая часть. Особенно

будут зависеть от того, в какой части плазменного

следует отметить характерную воронку в головной

потока в данный момент располагается зонд. Так,

части выброса, которая наблюдается как в лабо-

для случая позиции I часть катушек находится в

раторных экспериментах, так иногда и в реальных

магнитном поле центрального тока вне зоны его

астрофизических источнниках. Объяснению такой

протекания, а часть — за зоной протекания об-

структуры (соответствующей именно течениям

ратного тока, где магнитное поле равно нулю. В

Хербига-Аро, а не цилиндрическим струйным

выбросам) и посвящено настоящее исследование.

сечении II показан случай, когда часть катушек

Иными словами, ниже будет построено решение

находится в области протекания осевого тока и

соответственно нарастающего с радиусом магнит-

уравнений идеальной магнитной гидродинамики,

описывающих тороидальный замагниченный плаз-

ного поля, а оставшаяся часть — вне центрального

менный выброс, движущийся в покоящейся среде.

тока, в области спадающего с радиусом магнитного

поля. Анализ сигналов в различные моменты вре-

Нахождение самосогласованной конфигурации

мени позволил определить радиусы протекания как

уединенного плазменного выброса имеет значение

центрального, так и обратного токов для различных

и для численного моделирования распространения

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ

497

лабораторных и астрофизических джетов. Дело в

с проблемой удержания горячей плазмы, исполь-

том, что обычно при таком моделировании в ка-

зовалась классическая версия (Шафранов, 1957;

честве начальных условий задается непрерывный

Грэд, 1960), соответствующая статическим конфи-

поток, натекающий в окружающую среду с нижней

гурациям (v = 0) и содержащая поэтому лишь два

границы расчетной области (Беляев и др., 2018).

интеграла движения (Лао и др., 1981; Атанасиу

При этом характерная фрагментарная структура

и др., 2004; Дуез, Матис, 2010). Впрочем, в по-

джетов молодых звезд получается благодаря неко-

следние годы стали появляться работы, в которых

му накладываемому периодическому возмущению

полная версия обсуждалась и в связи с лабо-

изначально однородного потока (Тесилену и др.,

раторным экспериментом (Соннеруп и др., 2004;

2012). Поскольку в лабораторных условиях, как

Гуаззотто, Хамейри, 2014; Лопес, Гуаззотто, 2017).

правило, мы имеем дело с уединенным выбросом,

Что же касается астрофизических приложений, то

то для корректного задания начальных условий

полная версия уравнения Грэда-Шафранова ока-

нужно знать не только гидродинамические харак-

залась чрезвычайно полезной при исследовании

теристики такого выброса, но и структуру магнит-

трансзвуковых течений в окрестности нейтронных

ного поля, надлежащий подбор которой является

звезд и черных дыр (Блендфорд, Пейн, 1982; Хей-

нетривиальной задачей. Решение вышеизложенной

вертс, Норман, 1989; Пеллетье, Пудриц, 1992;

задачи может помочь при выборе подходящих на-

Бескин, 2005). Фактически, это направление бы-

чальных условий для моделирования лаборатор-

ло основным методом исследования магнитосфер

ных джетов и, как мы надеемся, течений Хербига-

компактных астрофизических объектов в течение

Аро.

нескольких десятилетий, пока его не вытеснили

В первой части работы мы напоминаем основ-

численные методы.

ные положения, которые лежат в основе мето-

да уравнения Грэда-Шафранова, описывающего

Прежде всего запишем соотношения, опреде-

стационарные осесимметричные течения в рамках

ляющие электромагнитные поля и скорость среды

приближения идеальной магнитной гидродинами-

через интегралы движения

ки. Во второй части сформулирован новый широ-

∇Ψ × e_ϕ

кий класс решений этого уравнения, описываю-

e_ϕ,

(1)

щий замкнутые стационарные течения. При этом

2πr

мы ограничимся случаем дозвукового течения, по-

Ω_F

E=-

∇Ψ,

(2)

скольку интересующее нас взаимодействие плаз-

2πc

менного выброса с внешней средой осуществля-

η_n

B+Ω_Fre_ϕ.

(3)

ется вдоль контактной поверхности именно в этом

режиме. Третья часть посвящена моделированию

внутренней структуры плазменного выброса, ре-

Здесь ρ = m_pn есть плотность среды, I есть пол-

ализуемого на установке плазменного фокуса. В

ный ток в пределах данной магнитной трубки¹,

Заключении обсуждаются возможные астрофизи-

а η_n есть отношение потока вещества к потоку

ческие приложения.

магнитного поля. При выводе соотношения (3)

использовалось уравнение вмороженности E + v ×

× B/c = 0.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Благодаря уравнению Максвелла ∇ · B = 0 и

Основные уравнения

уравнению непрерывности ∇ · (ρv) = 0, получаем

Напомним прежде всего основные положения

η_n = η_n(Ψ),

(4)

метода уравнения Грэда-Шафранова, который поз-

воляет в рамках идеальной магнитной гидродина-

т.е. величина η_n(Ψ) является интегралом движения.

мики описывать осесимметричные стационарные

Так же сохраняющиеся на магнитных поверхностях

конфигурации на языке одного уравнения второго

плотность потока энергии (интеграл Бернулли) E_n

порядка на функцию магнитного потока Ψ(r, z),

и момента импульса L_n запишутся в виде

содержащего в общем случае пять интегралов дви-

жения, т.е. пять величин, сохраняющихся на маг-

Ω_FI

v²

нитных поверхностях. Впервые полная версия та-

E_n(Ψ) =

+ w,

(5)

2πcη_n

кого уравнения, включающая в себя все пять инте-

гралов движения, была сформулирована Л.С. Со-

L_n(Ψ) =

+ v_ϕr.

(6)

ловьевым в 1963 г. в третьем томе знаменитой

2πcη_n

серии сборников “Вопросы теории плазмы”. По-

нятно, что в большинстве случаев при описании

¹Знак “минус” введен для того, чтобы ток I был положи-

плазменных конфигураций, обсуждаемых в связи

тельным.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

498

БЕСКИН, КАЛАШНИКОВ

Здесь w есть удельная энтальпия, определяемая

можно получить явное выражение

из термодинамического соотношения dP = ρdw -

ΓK(s)

⁽ 4πη²ⁿ )Γ-1

- nTds. Еще двумя инвариантами будут угло-

w(s, M², η_n) =

(14)

вая скорость Ω_F(Ψ) (условие эквипотенциальности

Γ-1

M²

магнитных поверхностей) и энтропия s(Ψ). При

Отметим, что зависимость K(s) должна иметь при

этом мы в дальнейшем будем измерять температуру

этом вполне определенную форму (см., например,

в энергетических единицах; в этом случае энтро-

Зельдович и др., 1981):

пия s становится безразмерной.

Введенные выше определения позволяют опре-

K(s) = K₀e(Γ-1)s,

(15)

делить продольный ток I и тороидальную ско-

которая также будет использоваться в дальней-

рость v_ϕ как

шем. В результате уравнение Бернулли позволяет

L_n - Ω_Fr²

выразить квадрат числа Маха через функцию по-

= cη_n

(7)

2π

1-M²

тока Ψ и пять интегралов движения

1Ω_Fr² - L_nM

M² = M²[Ψ;E_n(Ψ),L_n(Ψ),

(16)

v_ϕ =

(8)

1-M²

(Ψ), s(Ψ)].

Ω_F(Ψ),η_n

где

Наконец, условие баланса сил в направлении,

4πη²ⁿ

M² =

(9)

перпендикулярном магнитным поверхностям (мы

будем называть его обобщенным уравнением

есть квадрат альфвеновского числа Маха (M² =

Грэда-Шафранова), может быть записано в виде

(Хейвертс, Норман, 1989; Бескин, 2005)

= v^2p/V ^2A,p, где V_A,p = B_p/(4πρ)1/2 — альфвенов-

)

ская скорость²) а r — цилиндрическая координата.

⁽1-M²

dE_n

∇_k

∇^kΨ

(17)

Что же касается самой величины M², то она в

16π³ρ

r²

dΨ

рамках рассматриваемого здесь подхода должна

Ω_Fr² - L_n dΩ_F

1 M²L_n - Ω_Fr² dL_n

определяться из уравнения Бернулли (5), котороe

1-M²

dΨ

r²

1-M²

dΨ

с учетом алгебраических соотношений (7) и (8)

(

)

может быть записано как

1 Ω^2Fr⁴ - 2Ω_FL_nr² + M²L²ⁿ

+ 2E_n - 2w +

M⁴

r²

1-M²

(∇Ψ)² = 2r²(E_n - w) -

(10)

64π⁴η²ⁿ

1 dη_n

T ds

= 0.

(Ω_Fr² - L_nM²)

L_n - Ω_Fr²

η_n dΨ

m_p dΨ

- 2r²ΩF

(1 - M²)²

1-M²

Так как величина M², согласно (16), есть теперь

Напомним, что в уравнении (10) удельная энталь-

известная функция магнитного потока Ψ, уравне-

пия w должна рассматриваться как функция эн-

ние (17) является замкнутым уравнением, позволя-

ющим определять форму магнитных поверхностей.

тропии s, а также числа Маха M² и интеграла η_n.

Соответствующая связь имеет вид

Подчеркнем еще раз основное свойство рас-

(

)

сматриваемого здесь подхода, которое и делает его

∇η_n

∇M²

в определенных случаях наиболее привлекатель-

∇w = c^2s

(11)

η_n

M²

ным. Дело в том, что после решения уравнения (17),

)

]

^[1⁽∂P

т.е. после нахождения функции Ψ(r, z) (а значит,

∇s.

и структуры полоидального поля), все остальные

∂s_n

m_p

величины могут быть определены из алгебраиче-

В частности, для политропного уравнения состоя-

ских, хотя и неявных, уравнений (7)-(9). Тем са-

ния

мым в некоторых случаях оказывается возможным

получать важную информацию о свойствах течений

P = K(s)ρ^Γ,

(12)

на основе анализа лишь достаточно простых ал-

когда для Γ = 1 имеем просто

гебраических соотношений, не прибегая к решению

нелинейного дифференциального уравнения (17).

c^2s

(13)

(Γ - 1)

Уравнение Грэда-Шафранова

²Так как мы здесь везде рассматриваем только осесим-

Напомним теперь, как в рамках общего подхода

метричные конфигурации, основную роль играют лишь

полоидальные компоненты всех векторов.

происходит переход от уравнения (17) к уравнению

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ

499

Грэда-Шафранова, т.е. к уравнению, описываю-

НОВЫЙ КЛАСС РЕШЕНИЙ ДЛЯ

щему статические конфигурации (v = 0). Для этого

НЕНУЛЕВОЙ СКОРОСТИ

положим сначала в уравнении (17) Ω_F = 0 и η_n =

К сожалению, следует сразу отметить, что рас-

= const. Это уже позволит избавиться от двух

смотренное выше решение — речь здесь, конечно

достаточно громоздких членов. Далее, переходим к

же, на самом деле идет о некотором базисе, по

пределам η_n → 0 (т.е. M² → 0) и L_n → ∞, так что

которому можно разложить любое решение урав-

при этом

нения (21) — не может быть использовано для

I(Ψ) = 2πcη_nL_n(Ψ) = O(1).

(18)

анализа внутренней структуры плазменного вы-

броса, распространяющегося во внешней среде.

В этом случае интеграл Бернулли запишется про-

Это связано с тем, что магнитные поверхности

сто как E_n = w.

являются изобарическими (P = const), и поэтому

Умножив теперь уравнение (17) на 16π³r²ρ,

такое решение (в системе покоя выброса) не может

раскрывая при этом произведение M²L_n как

быть пришито к внешнему обтекающему потоку,

4πη²ⁿL_n/ρ и используя термодинамическое соотно-

в котором давление вдоль границы не является

шение dP = ρdw - nT ds, получаем окончательно в

постоянным.

цилиндрических координатах (r, ϕ, z):

Покажем, однако, что рассмотренное выше се-

мейство решений уравнения (24) имеет гораздо бо-

Ψ_r

Ψ_rr -

+ Ψ_zz + 16π²I

(19)

лее широкую область применимости. Оказывается,

dΨ

это семейство остается базисом и для более слож-

ной задачи, в которой все пять интегралов не равны

+ 16π³r²

= 0.

dΨ

нулю. Чтобы показать это, вновь умножим уравне-

Как мы видим, уравнение Грэда-Шафранова тре-

ние (17) на 16π³r²ρ и рассмотрим предел M² ≪ 1,

бует задания лишь двух интегралов движения I(Ψ)

соответствущий дозвуковому течению. Тогда после

перегруппировки слагаемых получаем:

и P(Ψ). В подключении же уравнения Бернулли

(

)

(которое оказывается тождественно выполненным)

теперь уже нет необходимости.

r²∇k

∇^kΨ

(26)

r²

Понятно, что уравнение Грэда-Шафранова (19)

(

)

dL_n

dη_n

достаточно хорошо изучено (Ландау, Лифшиц,

+ 16π³ρM²

L_n

+L²

1982), и для простейших линейных зависимостей

dΨ

η_n dΨ

I(Ψ) = aΨ, P (Ψ) = bΨ + P₀,

(20)

⁽ dE_n

dη_n

dL_n

+ 16π³r²ρ

+ 2E_n

-Ω_F

dΨ

η_n

dΨ

когда оно становится линейным

)

Ψ_r

dΩ_F

dη_n

Ψ_rr -

+ Ψ_zz + 16π²a²Ψ + 16π³br² = 0,

(21)

−L_n

- 2Ω_FL_n

dΨ

η_n dΨ

(

)

были получены аналитические решения. В част-

dΩ_F

dη_n

+ 16π³r⁴ρ ΩF

+Ω²

ности, хорошо известно цилиндрическое решение

dΨ

η_n dΨ

уравнения (19) при P (Ψ) = const

(

)

1 dη_n

T ds

Ψ(r) = krJ₁(kr),

(22)

- 16π³r²ρ

= 0.

η_n dΨ

m_p dΨ

приводящее к хрестоматийной зависимости полей

B_ϕ и B_z от r

Поскольку коэффициент перед скобкой во

втором слагаемом благодаря условию

(9) не

B_ϕ(r) = B₀J₁(kr), B_z(r) = B₀J₀(kr).

(23)

содержит явно плотность ρ = ρ(M²,Ψ), оно может

Здесь J₀(x) и J₁(x) — функции Бесселя, и мы

быть оставлено в уравнении Грэда-Шафранова

положили k = 4πa. Ниже мы будем использовать

при условии, что второе слагаемое будет линейно

очевидное двумерное обобщение этого решения

по Ψ. Что же касается остальных слагаемых, то

Ψ(r, z) = Ck₁rJ₁(k₁r) ×

(24)

для линейности уравнения все они должны быть

положены нулю. В результате мы приходим к сле-

πb

× cos(k₂z + φ₀) -

r²,

дующим общим соотношениям между интегралами

a²

движения, при которых обобщенное уравнение

где C и φ₀ — произвольные константы. Как легко

Грэда-Шафранова оказывается линейным:

проверить, выражение (24) действительно явля-

Ω₀

ется решением уравнения (21) при выполнении

Ω_F(Ψ) =

;

Ω₀ = const,

(27)

η_n(Ψ)

условия

√

L_n(Ψ) =

Ψ+

;

A, C = const,

(28)

k²¹ + k²² = 4πa.

(25)

η_n(Ψ)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

500

БЕСКИН, КАЛАШНИКОВ

E₀

Соответственно для температуры T в этом случае

E_n(Ψ) =

+ Ω_F(Ψ)L_n(Ψ);

(29)

η²ⁿ(Ψ)

получаем T = T₀e-2ΓσΨ.

E₀ = const,

Здесь нужно сделать еще одно очень важное за-

s(Ψ) = s₀ - 2C_p ln η_n(Ψ), s₀ = const.

(30)

мечание. Как хорошо известно (Хейвертс, Норман,

1989; Соннеруп и др., 2004), при отбрасывании

В последнем уравнении мы учли упомянутые выше

малого слагаемого M² в первом члене уравнения

термодинамические соотношения для политропно-

Грэда-Шафранова (17) следует соблюдать осто-

го уравнения состояния, для которого теплоем-

рожность, поскольку именно благодаря этому сла-

кость C_p = Γ/(Γ - 1). При этом мы в дальнейшем

гаемому уравнение Грэда-Шафранова становится

всегда будем полагать C = 0, поскольку угловой

гиперболическим и в области M² < 1, а именно в

момент L_n должен быть равен нулю на оси враще-

области, где полоидальная скорость v_p заключена

ния (Ψ = 0): L_n(0) = 0.

в пределах V_cusp,p < v_p < c_s. Здесь

В результате уравнение Грэда-Шафранова

c_sV_A,p

вновь запишется в виде

V_cusp,p =

(39)

(c^2s + V^2A)1/2

∂²Ψ

1 ∂Ψ

∂²Ψ

+ 64π⁴A²Ψ = 0,

(31)

есть так называемая касповая скорость, и мы

∂r²

r ∂r

∂z²

. Поэтому к усло-

рассматриваем случай c_s < V_A

т.е. базис его решения не изменится. В свою оче-

вию применимости эллиптического уравнения (31)

редь уравнение Бернулли, определяющее величину

M² ≪ 1 следует также добавить условие

квадрата числа Маха M² (а вместе с ней и все

v_p ≪ V_cusp,p.

(40)

остальные параметры течения), принимает вид (ср.

Гуаззотто, Хамейри, 2014)

Качественно же условия, при которых рассмот-

[

]

(∇Ψ)

L²ⁿ

ренное нами приближение остается справедливым,

M⁴

= 2(E_n - Ω_FL_n) -

(32)

можно получить непосредственно из соотноше-

64π⁴η²ⁿr²

r²

ния (38). Действительно, так как уравнение (31)

- 2w(M², η_n, s) + r²Ω^2F,

является линейным, потенциал Ψ (а вместе с ним

и магнитное поле) можно сделать сколь угодно

где удельная энтальпия w(M², η_n, s) задается со-

большим. С другой стороны, согласно уравнению

отношеним (14). При выводе уравнения (32) мы

Бернулли (38), квадрат числа Маха M² обратно

вновь везде, где можно, перешли к пределу M² ≪

пропорционален Ψ, так что при достаточно боль-

≪ 1.

ших магнитных полях число Маха всегда можно

В заключение этого раздела отметим еще одно

сделать сколь угодно малым. Соответственно при

интересное обстоятельство. Если выбрать интегра-

достаточно большом магнитном поле становится

лы движения в виде:

большой и касповая скорость.

η_n(Ψ) = η₀eσΨ,

(33)

РЕЗУЛЬТАТЫ

Ω_F(Ψ) = Ω₀e-σΨ,

(34)

Теперь мы можем перейти к нашей основной

L_n(Ψ) =

^A Ψe-σΨ,

(35)

цели - построению решения, описывающего внут-

η₀

реннюю структуру плазменного выброса, реализу-

E_n(Ψ) = E₀e-2σΨ + Ω_F(Ψ)L_n(Ψ),

(36)

емого на установке КПФ-4 “Феникс”. Для этого

s(Ψ) = s₀ - 2C_pσΨ,

(37)

естественно перейти в систему отсчета, в которой

плазменный выброс покоится. Тогда задача сво-

где σ может иметь любой знак, то в уравнении

дится к определению формы контактного разрыва,

Бернулли все слагаемые будут содержать фактор

разделяющего плазменный выброс и натекающий

e-2σΨ. Это следует как из самого вида интегралов,

поток плазмы, на котором выполнено условие ра-

так и из явного выражения (14) для удельной

венства полных давлений. При этом решение во

энтальпии w и условия K(s) = K₀e(Γ-1)s (15). В

внутренней области сводится к нахождению коэф-

результате имеем после сокращений:

фициентов C_k, φ_k в разложении

∑

[

]

(∇Ψ)

A²Ψ²

Ψ(r, z) =

C_kkrJ₁(kr)cos(k₂z + φ_k),

(41)

M⁴

(38)

64π⁴η²⁰r²

η²⁰r2

Γ-1

где теперь

ΓK₀(4πη²⁰)

= 2E₀ - 2

+r²Ω²⁰.

√

(Γ - 1)(M²)Γ-1

k₂ =

64π⁴A² - k².

(42)

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ

501

, Gs cm²

40 000

30 000

20 000

10 000

r, сm

Рис. 2. Структура течения в пределах плазменного выброса. Стрелками показаны величины скоростейv. В ту же сторону

направлено и полоидальное магнитное поле B, а плотность электрического тока j направлена в противоположную

сторону. Цветом обозначена величина потенциала Ψ(r,z). Показаны также три сечения, которые используются на

последующих рисунках.

При построении решения входящие парамет-

величины в СГС): η₀ = 1.137 × 10-5 г/(см² c Гс),

ры выбирались таким образом, чтобы они в наи-

A = 0.0159 1/см, E₀ = 7 × 10¹¹ см²/с², и K₀ = 2 ×

большей степени соответствовали лабораторному

× 10¹⁵. Величину σ удобно представить в долях

эксперименту. Поэтому внешняя среда моделиро-

Ψ₀: σ = 0.4/Ψ₀. Наконец, показатель политропы

валась однородным гидродинамическим течением

выбирался как для одноатомного газа: Γ = 5/3.

(концентрация частиц n_e = 2 × 10¹⁶ см-3, скорость

v_z = -100 км/с). Остальные же параметры выби-

На рис. 2 показаны форма плазменного выброса

рались так, чтобы поперечный размер струйного

и распределение скоростей течения v в пределах

выброса, как и при лабораторном моделирова-

выброса. Cогласно соотношениям (3) и (43), в

нии, составлял несколько сантиметров. Наконец,

ту же сторону направлено и магнитное поле B,

для полного замыкания тока на внешней границе

а плотность электрического тока j направлена в

плазменного выброса мы, согласно (7), положили

противоположную сторону. Цветом обозначена ве-

Ω₀ = 0. Отметим, что благодаря этому условию в

личина потенциала Ψ(r, z). Показаны также три

пределе M² ≪ 1 мы получаем

сечения, которые используются на последующих

рисунках.

I = 2πcη_n(Ψ)L_n(Ψ),

(43)

Мы видим, что найденное нами решение дей-

так что электрический ток вновь оказывается ин-

ствительно хорошо воспроизводит основные мор-

тегралом движения. А это означает, что электриче-

фологические характеристики — увеличение ши-

сикий ток j_p будет течь вдоль магнитных силовых

рины плазменного выброса в его тыльной части,

линий. При этом его направление, благодаря знаку

наличие характерной “воронки” в головной части.

“минус” в формуле (1), будет противоположно на-

При этом, как показано на рис. 3, при указанном

правлению магнитного поля.

В результате оказалось, что для определения

структуры плазменного выброса, на границе ко-

Таблица 1. Параметры решений (24) линейного уравне-

торого выполнено условие баланса полных давле-

ния (21) для Ψ₀ = 2.4 × 10⁴ Гс см²

ний с натекающим течением, с хорошей точностью

можно ограничиться лишь пятью решениями (24)

2.1

0.9

0.8

0.2

0.1

линейного уравнения (21). Их параметры приведе-

φ₀

0.0

1.0

1.2

1.7

ны в табл. 1. Они соответствуют следующим ве-

C/Ψ₀

1.0

0.3

0.4

0.5

0.6

личинам, определяющим интегралы движения (все

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

502

БЕСКИН, КАЛАШНИКОВ

1.0

0.5

1.0

1.5

r, cm

0.10

0.5

0.4

0.05

0.3

0.2

0.10

0.1

0.15

0.05

0.1

0.10

r, cm

Рис. 3. Радиальные распределения магнитного поля (верхняя строка) и скорости (нижняя) на различной высоте:

сплошная линия соответствует высоте z = -0.55 см (средняя линия на рис. 2, на которой достигается максимальная

плотность), штриховая — уровню z = 2 см, а пунктирная — уровню z = -2 см.

10¹⁷

463.5

2.0

463.0

1.5

462.5

1.0

462.0

0.5

461.5

r, cm

Рис. 4. Радиальные распределения концентрации, давления и температуры на различной высоте: сплошная линия

соответствует высоте z = -0.55 см (высота максимума плотности), штриховая — высоте z = 2 см, а пунктирная —

высоте z = -2 см.

выборе интегралов хорошо воспроизводится и по-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

перечное распределение тороидального магнитного

Таким образом, в нашей работе был найден

поля B_ϕ (левый рисунок в верхней строке). Здесь

новый широкий класс решений обобщенного урав-

различные кривые соответствуют различной высо-

нения Грэда-Шафранова, позволяющий описы-

те: сплошная линия высоте z = -0.55 см (среднее

вать осесимметричные стационарные дозвуковые

сечение на рис. 2, на которой достигается максиму-

течения. На его основе была определена внутрен-

мы потенциала Ψ и плотности), штриховая — вы-

няя структура плазменного выброса, наблюдае-

соте z = 2 см, а пунктирная — высоте z = -2 см.

мого при лабораторном моделировании нереляти-

Что же касается остальных компонент магнитного

вистских джетов на установке КПФ-4 “Феникс”.

поля, а также структуры самого течения, то их

Конечно, следует подчеркнуть, что внутренняя

сравнение с данными эксперимента еще предстоит

структура плазменного выброса была найдена

провести в будущем.

лишь в некотором ограниченном классе решений

уравнения Грэда-Шафранова. Поэтому рассмот-

Далее, на рис. 4 показаны радиальные распре-

ренный здесь подход не претендует на универ-

деления концентрации, давления и температуры на

сальность. С другой стороны, сам факт того, что

различной высоте. Наконец, на рис. 5 и рис. 6

уравнение Грэда-Шафранова линеаризуется на

(также для трех сечений) показаны значения квад-

достаточно широком классе интегралов движения

рата альфвеновского числа Маха M², а также

(одна свободная функция η_n(Ψ) и четыре констан-

сравнение полоидальной скорости v_p и касповой

ты A, Ω_F, E₀ и K₀), уже можно рассматривать как

скорости V_cusp (39). Как мы видим, условия M² ≪

независимый важный результат нашей работы.

≪ 1 и v_p ≪ V_cusp действительно выполняются с

Вместе с тем оказалось, что даже такая упро-

большим запасом.

щенная модель хорошо воспроизводит основные

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА СТРУЙНЫХ ВЫБРОСОВ

503

10³

0.9835

0.9830

0.9825

0.9820

0.9815

r, cm

Рис. 5. Квадрат числа Маха M² на различных высотах: сплошная линия соответствует высоте z = -0.55 см,

штриховая — высоте z = 2 см, а пунктирная— высоте z = -2 см.

(a)

(б)

(в)

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

r, cm

Рис. 6. Сравнение полоидальной скорости vp (сплошная линия) и касповой Vcusp (штриховая линия) на разных высотах:

(а) z = 2 см, (б) z = -0.55 см, (в) z = -2 см.

морфологические характеристики плазменного вы-

не менее даже такая простая модель позволила

броса — увеличение его ширины в тыльной части,

воспроизвести основные морфологические свой-

а также наличие характерной “воронки” в голов-

ства течений, в том числе и характерную воронку

ной части. Соответственно естественным образом

в головной части выброса. Подробное рассмотре-

нашло свое объяснение и наличие узкого токового

ние всех этих вопросов, естественно, выходило за

канала вблизи оси выброса (см. рис. 3). В дальней-

рамки настоящей работы.

шем было бы чрезвычайно полезно проверить про-

Авторы выражают признательность К.П. Зы-

странственное распределение и других параметров

бину и В.И. Краузу за стимулирующее обсужде-

(скорости, плотности, температуры), которые в на-

ние. Работа была поддержана Российским фондом

стоящий момент еще недоступны для прямых изме-

фундаментальных исследований (проект № 18-29-

рений. Еще одним интересным результатом нашего

21006).

рассмотрения можно считать вывод о том, что в

пределах плазменного выброса неизбежно должно

возникнуть циркуляционное движение плазмы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Наконец, еще раз подчеркнем, что полученное

1. Альбертацци и др. (B. Albertazzi, A. Ciardi,

решение можно использовать в качестве началь-

M. Nakatsutsumi, et al.), Science 346, 325 (2014).

ного условия при моделировании распространения

2. Арс и др. (H.G. Arce, D. Shepherd, F. Gueth, C.-

выброса в плазмофокусных установках. Также,

F. Lee, R. Bachiller, A. Rosen, and H. Beuther),

возможно, аналогичный метод можно применить

in Molecular Outflows in Low- and High-Mass

для нахождения самосогласованных конфигураций

Star-forming Regions. Protostars and Planets V,

объектов Хербига-Аро и последующего численно-

B. Reipurth, D. Jewitt, and K. Keil (eds.), University

го расчета их движения в окружающей среде.

of Arizona Press, Tucson, 2007, p. 245-260.

Что же касается астрофизических приложений,

3. Аро (G. Haro), Astron. J. 55, 72 (1950).

то здесь следует сразу отметить, что построенное

4. Атанасиу и др. (C.V. Atanasiu, S. G ¨unter,

выше решение может быть рассмотрено лишь как

K. Lackner, and I.G. Miron), Phys. Plasmas, 11,

первое приближение. Дело в том, что в рамках иде-

3510 (2004).

альной магнитной гидродинамики невозможно по-

5. Беллан (P.B. Bellan), J. Plasma Phys. 84, 755840501

следовательно описать ни процессы диссипативно-

(2018).

го нагрева, ни процессы излучения, которые играют

6. Беляев В.С., Бисноватый-Коган Г.С., Громов А.И.

заметную роль в астрофизических источниках. Тем

и др., Астрон. журн. 95, 1 (2018).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020

504

БЕСКИН, КАЛАШНИКОВ

Бескин В.С., Осесимметричные стационарные

30.

Рага и др. (A.C. Raga, F. de Colle, P. Kajdi ˘c,

течения в астрофизике (М.: ФИЗМАТЛИТ,

A. Esquivel, and J. Cant ´o), Astron. Astrophys. 465,

2005).

879 (2007).

Блендфорд, Пейн (R.D. Blandford and D.G. Payne),

31.

Рей и др. (T. Ray, C. Dougados, F. Bacciotti,

MNRAS 199, 883 (1992).

J. Eisl ¨offel, and A. Chrysostomou), Toward

Блонден и др. (J.M. Blondin, B.A. Fryxell, and

Resolving the Outflow Engine: An Observational

A. K ¨onigl) Astrophys. J. 360, 370 (1990).

Perspective. Protostars and Planets V (Ed.

10.

Боденхаймер (P.H. Bodenheimer), Principles of Star

B. Reipurth, D. Jewitt, K. Keil, Univer. Arizona

Formation (Heidelberg:Springer, 2011).

Press, Tucson, 2007), p. 231-244.

11.

Бокки и др. (M. Bocchi, B. Ummels, J.P. Chittenden,

32.

Рейпарт и др. (B. Reipurth, S. Heathcote, J. Morse,

S.V. Lebedev, A. Frank, and E.G. Blackman),

P. Hartigan, and J. Bally), Astron. J. 123, 362 (2002).

Astrophys. J. 767, 84 (2013).

33.

Рютов и др. (D.D. Ryutov, M.S. Derzon, and

12.

Грэд (H. Grad), Rev. Mod. Phys. 32, 830 (1960).

M.K. Matzen), Rev. Mod. Phys. 72, 167 (2000).

13.

Гуаззотто, Хамейри (L. Guazzotto and E. Harmeiri),

34.

Соловьев Л.С., Вопросы теории плазмы (под.

Phys. Plasmas 21, 022512 (2014).

ред. М.А. Леонтовича, М.: Атомиздат, 1963), т. 3,

14.

Дуез, Матис (V. Duez and S. Mathis), Astron.

с. 245.

Astrophys. 517, A58 (2010).

35.

Соннеруп и др. (B.U.

.Sonnerup, H. Hasegawa,

15.

Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И.,

W.-L. Teh, and L.-N. Hau), J. Geophys. Res. 111,

Физические основы строения и эволюции звезд (М.:

A09204 (2004).

Изд-во МГУ, 1981).

36.

Стоун, Норман (J.M. Stone and M.L. Norman),

16.

Кайдич, Рага (P. Kajdi ˘c and A.C. Raga), Astrophys.

Astrophys. J. 413, 210 (1993).

J. 670, 1173 (2007).

37.

Стоун, Харди (J.M. Stone and Ph.E. Hardee),

17.

Крауз и др. (V. Krauz, V. Myalton, V. Vinogradov,

Astrophys. J. 540, 192 (2000).

E. Velikhov, S. Ananyev, S. DanТko, Yu. Kalinin,

38.

Сузуки и др. (F. Suzuki-Vidal, M. Bocchi,

A. Kharrasov, K. Mitrofanov, and Yu. Vinogradova),

S.V. Lebedev, G.F. Swadling, G. Burdiak, S.N. Bland,

42nd EPS Conference on Plasma Physics 39E, 4.401

P. de Grouchy, G.N. Hall, et al.), Phys. Plasmas 19,

(2015).

022708 (2012).

18.

Крауз и др. (V.I. Krauz, V.V. Myalton,

V.P. Vinogradov, and E.P. Velikhov), J. of Physics:

39.

Сурдин В.Г., Рождение звезд (М.: УРСС, 2001).

Conf. Series 907, 012026 (2017).

40.

Тесилену и др. (O. Te ¸sileanu, A. Mignone,

19.

Крауз и др. (V.I. Krauz, V.S. Beskin, and

S. Massaglia, and F. Bacciotti), Astrophys. J.

E.P. Velikhov), Int. J. Mod. Phys. D 27, 1844009

746, 96 (2012).

(2018).

41.

Франк и др. (A. Frank, T.P. Ray, S. Cabrit,

20.

Крауз В.И., Митрофанов К.Н., Войтенко Д.А.,

P. Hartigan, H.G. Arce, F. Bacciotti, J. Bally,

Астапенко Г.И., Марколия А.И., Тимошенко А.П.,

M. Benisty, J. Eisl ¨offel, M. G ¨udel, S. Lebedev,

Астрон. журн. 96, 156 (2019).

B. Nisini, and A. Raga), Protostars and Planets VI

21.

Лавин, Ю (E.S. Lavine and S. You), Phys. Rev. Lett.

(Ed. H. Beuther, R.S. Klessen, C.P. Dullemond, Th.

123, 145002 (2019).

Henning, Univer. Arizona Press, Tucson 914, 451,

22.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика

2014).

сплошных сред (М.: Наука, 1982).

42.

Хансен и др. (E.C. Hansen, A. Frank, P. Hartigan,

23.

Лебедев и др. (S.V. Lebedev, A. Frank, and

and S.V. Lebedev), Astrophys. J. 837, 143 (2017).

D.D. Ryutov), Rev. Mod. Phys. 91, 025002 (2019).

43.

Хейвертс, Норман (J. Heyvaerts and J. Norman),

24.

Лао и др. (L.L. Lao, S.P. Hirshman, and

Astrophys. J. 347, 1055 (1989).

R.M. Wieland), Phys. Fluids 24, 1431 (1981).

44.

Хербиг (G.H. Herbig), Astrophys. J. 111, 11 (1950).

25.

Лопес, Гуаззотто (O.E. Lopez and L. Guazzotto),

45.

Хуарте-Эспиноза и др. (M. Huarte-Espinosa,

Phys. Plasmas 24, 032501 (2017).

A. Frank, E.G. Blackman, A. Ciardi, P. Hartigan,

26.

МакКи, Острайкер (Ch.F. McKee and

S.V. Lebedev, and J.P. Chittenden), Astrophys. J.

E.C. Ostriker), Ann. Rev. Astron. Astrophys.

757, 66 (2012).

45, 565 (2007).

46.

Чиарди (A. Ciardi), Jets from Young Stars IV (Ed.

27.

Митрофанов К.Н., Крауз В.И., Мялтон В.В., Ви-

P.J. Valente Garcia, J.M. Ferreira, Lecture Notes in

ноградов В.П., Харрасов А.М., Виноградова Ю.В.,

Physics, Springer-Verlag, Berlin 793, 31, 2010).

Астрон. журн. 94, 152 (2017).

47.

Чиарди и др. (A. Ciardi, S.V. Lebedev, A. Frank,

28.

Норман и др. (M.L. Norman, K.-H. Winkler,

F. Suzuki-Vidal, G.N. Hall, S.N. Bland, A. Harvey-

L. Smarr, and M.D. Smith), Astron. Astrophys. 113,

Thompson, E.G. Blackman, et al.), Astrophys. J. 691,

285 (1982).

L147 (2009).

29.

Пеллетье, Пудриц (G. Pelletier and R.E. Pudritz),

48.

Шафранов В.Д., ЖЭТФ 33, 710 (1957).

Astrophys. J. 394, 117 (1992).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№7

2020