ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2020, том 46, № 8, с. 543-551

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В ГАЛАКТОЦЕНТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕМАТИКИ ШАРОВЫХ

ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ

¹Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 03.04.2020 г.

После доработки 06.06.2020 г.; принята к публикации 25.06.2020 г.

Аппарат сферических функций, как скалярных, так и векторных, уже давно применялся для анализа

астрономических данных на сфере, например, в представлении систематических ошибок, в звездной

кинематике. До сих пор сферические функции использовались исключительно в гелиоцентриче-

ских координатных системах: экваториальной или галактической. Для исследования кинематики

всей Галактики (а не только околосолнечной окрестности) разумно перейти к галактоцентрической

системе координат. Вторая версия каталога GAIA еще не позволяет проводить такой анализ для

индивидуальных звезд из-за относительно невысокой точности параллаксов. Однако для шаровых

звездных скоплений такое исследование представляется возможным, несмотря на их небольшое

число. Хотя кинематика шаровых скоплений подробным образом изучалась во многих работах,

мы хотим протестировать метод анализа галактоцентрических собственных движений и лучевых

скоростей с помощью сферических функций на материале этого каталога.

Ключевые слова: GAIA, шаровые скопления, сферические функции, галактоцентрическая система,

кинематика Галактики.

DOI: 10.31857/S0320010820080057

ВВЕДЕНИЕ

в (Витязев и др., 2014). Применение этой техники

в исследовании звезд околосолнечной окрестно-

Финальный каталог GAIA (Gaia Collaboration,

сти практически всегда приносило дополнитель-

2016) с точными параллаксами всех объектов на

ную информацию по сравнению со стандартными

галактических масштабах, который через несколь-

моделями Оорта-Линдблада или Огородникова-

ко лет станет доступен астрономической обще-

Милна. Выявление внемодельных гармоник указы-

ственности, позволит ставить задачи по исследо-

вало на необычные кинематические явления.

ванию кинематики всей Галактики, которые ранее

В работах по звездной кинематике, как правило,

были немыслимы. К таким задачам можно отнести

используется гелиоцентрическая система коорди-

исследование кинематики разных областей Галак-

нат (экваториальная или галактическая), в том

тики, а не только околосолнечной окрестности, как

числе и в кинематике шаровых звездных скопле-

это делалось до настоящего времени.

ний: (Коч, 2018), (Хельми и др., 2018). Этому есть

Использование сферических функций, как ска-

разумное объяснение, связанное с наблюдательной

лярных, так и векторных, для анализа кинематики

селекцией, поскольку все звездные каталоги, за

звезд — хорошо зарекомендовавшая себя техника,

исключением самых последних PPMXL (Рёзер и

др., 2010), UCAC4 (Захариас и др., 2013), XPM

которая применяется уже много лет. Использова-

(Федоров и др., 2009, 2010), GAIA охватыва-

ние сферических функций в астрометрии началось

ют лишь ближайшие окрестности околосолнечного

с работы (Броше, 1966). Применение аппарата

пространства.

векторных сферических функций для анализа соб-

ственных движений подробно описано в (Витя-

На наш взгляд, использование сферических

зев, Цветков, 2013), а для лучевых скоростей —

функций в гелиоцентрических координатных си-

стемах в некоторой степени исчерпало себя.

^*Электронный адрес: a.s.tsvetkov@inbox.ru

Нам представляется перспективным переход к

^**Электронный адрес: amosov.f@mail.ru

галактоцентрической системе координат. “Взгляд”

543

544

ЦВЕТКОВ, АМОСОВ

из центра Галактики, возможно, позволит увидеть

(Бобылев, Байкова, 2017). Но наша задача, скорее,

незнакомые и неожиданные эффекты в соб-

преследует не собственно результаты, а оттачива-

ственных движениях и лучевых скоростях звезд.

ние техники метода, проверку его надежности, в

Возможно, что выявленные гармоники в них дадут

перспективе — в применении к большим данным

стимул к построению новых моделей вращения

последующих релизов каталога GAIA.

Галактики и ее подсистем.

Следует отметить, что небольшого числа скоп-

Следует сказать, что, к сожалению, версия ка-

лений, по сравнению со звездными каталогами,

талога GAIA Data Release 2 (Gaia Collaboration,

явно недостаточно для надежных статистических

2018) еще не позволяет исследовать кинематику

исследований, особенно с использованием сфери-

звезд, находящихся на больших расстояниях (на-

ческих функций. Поэтому мы не надеемся полу-

пример, вблизи центра Галактики), прежде всего

чить значимые и неожиданные результаты. Однако

можно вспомнить, что первые исследования поля

из-за низкой точности параллаксов. Но это будет

возможно сделать после выхода следующего вы-

скоростей звезд околосолнечной окрестности с ис-

пуска каталога.

пользованием сферических гармоник были сдела-

ны на каталоге всего 512 звезд (Фрике, 1967).

В ожидании этого события мы предлагаем раз-

работать и протестировать технику анализа га-

лактоцентрических собственных движений и луче-

ПЕРЕХОД К ГАЛАКТОЦЕНТРИЧЕСКОЙ

вых скоростей на материале небольшого каталога

СИСТЕМЕ

шаровых звездных скоплений, содержащего всего

150 записей (Васильев, 2019). Этот каталог почти

Полная процедура перехода от гелиоцентри-

полный и включает в себя шаровые скопления,

ческих (сферических или прямоугольных) ко-

находящиеся даже “по ту сторону” галактического

ординат в галактоцентрические реализована в

центра. Каждая запись содержит экваториальные

модуле astropy — библиотеке на языке Python

координаты центра скопления, а также его сред-

(https://docs.astropy.org). В документации при-

нее собственное движение и лучевую скорость,

ведены полный алгоритм, расчетные формулы и

полученные по целой группе звезд. Расстояние

используемые константы.

до скопления взято из (Харрис, 2010), а лучевая

Алгоритм пересчета заключается в вычислении

скорость — из (Баумгард и др., 2019). В результате

декартовых гелиоцентрических координат и пря-

статистических усреднений данных для индиви-

моугольных компонент скорости движения Сол-

дуальных звезд эти величины обладают хорошей

нечной системы с учетом галактического враще-

степенью достоверности, что отражается крайне

ния и пекулярного движения Солнца, затем эти

низкой приведенной среднеквадратичной ошибкой,

координаты пересчитываются на другой центр, а

которая намного ниже, чем у отдельных звезд на

из скоростей объектов вычитается полная скорость

таких больших расстояниях.

движения Солнца. Далее вычисляются сфериче-

Распределение шаровых звездных скоплений

ские галактоцентрические координаты, а также

легко позволяет перейти к галактоцентрической

собственные движения и лучевая скорость в новой

системе координат, так как шаровые скопления

системе.

образуют систему, более или менее симметричную

Применение этого алгоритма позволило полу-

относительно центра Галактики. Надо сказать, что

чить каталог шаровых звездных скоплений, со-

в работах (Байкова, Бобылев, 2019), (Буданова и

держащих прямоугольные и сферические галакто-

др., 2019) уже использовались прямоугольные и

центрические координаты, а также прямоугольные

цилиндрические координаты, привязанные к цен-

компоненты галактоцентрических скоростей скоп-

тру Галактики.

лений и их сферические компоненты: собственные

Следует сказать, что анализу кинематики шаро-

движения и лучевые скорости относительно цен-

вых звездных скоплений по данным GAIA DR2 по-

тра Галактики. Каталог приведен в приложении

священо достаточно много работ. Например, опре-

(https://cloud.mail.ru/public/RFRr/3kkbCxd7y).

деление собственных движении и пространствен-

Численные значения параметров этого перехода

ных орбит в уже упоминавшейся работе Баумгарда

приведены ниже.

и др. (2019) с использованием 6-мерного фазового

Для пересчета координат шаровых звездных

пространства. В работе (Бинни, Вонг, 2017) прове-

скоплений в галактоцентрическую систему были

дены построение гравитационного потенциала Га-

приняты следующие значения координат центра

лактики и моделирование орбит скоплений. Работа

Галактики:

(Массари и др., 2019) посвящена происхожде-

α_C = 266.4051^◦, δ_C = -28.93617^◦.

(1)

нию самой системы шаровых скоплений в целом.

Большое число статей затрагивает изучение кине-

Расстояние до центра Галактики

матических характеристик и исследования орбит

R_C = 8.122 кпк.

(2)

индивидуальных звездных скоплений, например,

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

545

Galactic

Число скоплений в пикселе

Рис. 1. Распределение шаровых звездных скоплений в гелиоцентрической галактической системе координат.

Эти параметры взяты из статьи научной груп-

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

пы GRAVITY collaboration (Абутер и др., 2018).

ГАЛАКТОЦЕНТРИЧЕСКИХ

Алгоритм также учитывает высоту Солнца над

СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ И ЛУЧЕВЫХ

галактической плоскостью. Эта величина сейчас

СКОРОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ

оценивается (Бенет, Бови, 2019) как

СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

Z_⊙ = 20.8 пк.

(3)

Использование сферических функций, как ска-

лярных, так и векторных для анализа кинематики

Для вычисления галактоцентрической скорости

звезд — хорошо известная техника, которая при-

необходимо учесть скорость Солнца относительно

меняется уже давно. Сферические функции в аст-

центра Галактики, которая складывается из пеку-

рометрии стали использоваться с 1966 г. (Броше,

лярной скорости и скорости вращения вокруг цен-

1966). Применение аппарата векторных сфериче-

тра Галактики. Из комбинаций данных GRAVITY

ских функций для анализа собственных движений

collaboration и (Рейд, Брунхалер, 2004), а также

подробно описано в (Витязев, Цветков, 2013), а

(Дриммель, Поджио, 2018) алгоритм использует

для лучевых скоростей — в (Витязев и др., 2014),

следующие значения галактоцентрической скоро-

поэтому мы не станем подробно приводить форму-

сти Солнца:

лы для вычисления сферических функций, но для

удобства ограничимся табл. 1, в которой приведена

V_X = 12.9, V_Y = 245.6, V_Z = 7.78 км/с.

(4)

связь коэффициентов сферического разложения

с параметрами линейной трехмерной кинематиче-

Если из окрестности Солнца распределение ша-

ской модели. Традиционно мы раскладываем не

ровых звездных скоплений выглядит с концентра-

сами собственные движения и лучевые скорости,

цией к галактическому центру (рис. 1), то распре-

а величины kμ_l cos b, kμ_b и V_r/r (k = 4.738 —

деление этих скоплений в галактоцентрической си-

множитель перехода размерности от мсд/год в

стеме координат является значительно более рав-

км/с/кпк) в галактоцентрической системе коорди-

номерным (рис. 2). Следует отметить, что нулевое

нат. В этом случае все коэффициенты разложения

значение долготы на обоих рисунках расположено

выражаются в одних и тех же единицах: км/с/кпк.

в центре, т.е. оси обеих систем параллельны друг

другу. Таким образом, на рис. 2 направление на

Движение объектов в линейной модели рас-

Солнце соответствует краям изображения (долгота

сматривается как суперпозиция поступательного

180^◦).

движения всей системы в целом, твердотельного

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

546

ЦВЕТКОВ, АМОСОВ

Число скоплений в пикселе

Рис. 2. Распределение шаровых звездных скоплений в галактоцентрической системе координат.

вращения и тензора деформации:

богатый и интересный результат, то кинематика

шаровых звездных скоплений как целой системы

V_∗ = V + Ω × r + M⁺ × r,

(5)

оказывается довольно бедной. Анализ табл.

показывает значительную случайную составляю-

где V_∗ — скорость объекта, V — поступательное

движение системы, Ω — угловая скорость твердо-

щую в собственных движениях, что отражается в

больших среднеквадратичных ошибках, и низкой

тельного вращения всей системы в целом, M —

симметричный тензор деформации поля скоростей.

надежности значений коэффициентов. Очевидно,

что это обстоятельство не является следствием

Эта модель имеет 12 параметров:

наблюдательных ошибок, поскольку точности в

U, V, W

— компоненты вектора V поступательно-

случайном отношении, как собственных движений,

го движения всей системы объектов относи-

так и лучевых скоростей, весьма высоки, а отра-

тельно центра системы координат;

жает стохастический характер движений шаровых

скоплений. Формально в таблице нет ни одного

ω₁,ω₂,ω₃

— компоненты вектора твердотельного

коэффициента больше 3σ. Самый большой коэф-

вращения Ω всей системы в целом;

фициент t₁ превышает ошибку примерно в 2.5 раза.

M⁺¹¹,M⁺²²,M+33 — параметры тензора деформа-

Сопоставляя табл. 2 и табл. 1, мы понимаем,

ции M⁺, описывающие сжатие-растяжение

что этот коэффициент отвечает за вращение всей

вдоль главных осей системы координат;

системы шаровых звездных скоплений как единого

целого вокруг оси Z. Угловая скорость вращения

M⁺¹²,M⁺¹³,M⁺²³

— параметры тензора M⁺, описы-

этой системы будет составлять

вающие деформацию поля скоростей в соот-

ω_z = t₁/(2.89 · 4.738) = -2.88 ± 1.2 мсд/год,

(6)

ветствующих плоскостях.

что приводит к периоду вращения всей системы

Результаты разложения галактоцентрических

около 450 ± 180 млн. лет. Направление вращения

собственных движений kμ_l cos b и kμ_b по вектор-

совпадает с общепринятым направлением враще-

ным сферическим функциям и галактоцентриче-

ния Галактики. К такому результату приходили и

ских лучевых скоростей V_r/r по скалярным сфери-

другие авторы (Цинн, 1985). Однако такое вра-

ческим функциям шаровых скоплений представле-

щение может вызываться и дефектами при по-

ны в объединенной табл. 2. Они довольно неожи-

строении галактоцентрической системы координат

данные. Если при анализе собственных движений

из-за ошибок в оценке компоненты V_Y в движении

звезд околосолнечной окрестности наблюдается

Солнца в формуле (4).

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

547

Таблица 1. Связь кинематических параметров линейной модели с коэффициентами векторного (t_i, s_i) и скалярного

(v_i) сферического разложения собственных движений kμ_l cos b и kμ_b, и лучевых скоростей V_r/r

t_i

s_i

v_i

1.18M⁺¹¹ + 1.18M⁺²² + 1.18M⁺³³

2.89ω₃

2.89W/〈r〉

2.05W/〈r〉

2.89ω₂

2.89V/〈r〉

2.05V/〈r〉

2.89ω₁

2.89U/〈r〉

2.05U/〈r〉

-0.65M⁺¹¹ - 0.65M⁺²² + 1.29M⁺³³

-0.53M⁺¹¹ - 0.53M⁺²² + 1.06M⁺³³

2.24M⁺²³

1.83M⁺²³

2.24M⁺¹³

1.83M⁺¹³

2.24M⁺¹²

1.83M⁺¹²

1.12M⁺¹¹ - 1.12M⁺²²

0.92M⁺¹¹ - 0.92M⁺²²

Примечание. 〈r〉 — Среднее расстояние рассматриваемых объектов.

Таблица 2. Коэффициенты разложения и среднеквадратичные ошибки галактоцентрических собственных движений

kμ_l cosb и kμ_b, и лучевых скоростей V_r/r шаровых скоплений по векторным и скалярным сферическим функциям

(км/с/кпк)

t_i

s_i

v_i

-0.4

15.7

-39.4

16.5

1.6

16.5

-24.2

16.6

-12.2

16.7

17.6

16.7

29.2

16.1

12.0

18.0

28.5

18.0

-10.7

13.8

24.9

17.0

6.2

17.0

11.8

16.6

31.3

17.3

-7.7

17.3

15.8

16.5

20.3

17.7

4.3

17.7

15.5

14.2

-16.9

16.0

6.2

16.0

-6.9

15.4

1.9

16.8

-28.3

16.8

9.1

14.4

-6.8

18.1

-16.4

18.1

5.9

15.4

-21.3

16.9

26.7

16.9

6.3

18.1

13.3

16.6

27.2

16.6

-13.4

14.9

-22.3

16.7

11.4

16.7

3.4

15.5

-19.6

17.1

3.8

17.1

-2.3

14.2

-17.1

15.6

6.1

15.6

-2.2

14.4

-11.4

16.0

7.6

16.0

7.5

13.9

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

549

Таблица 3. Коэффициенты разложения и среднеквадратичные ошибки галактоцентрических собственных движений

kμ_l cosb и kμ_b, и лучевых скоростей V_r/r шаровых скоплений по векторным и скалярным сферическим функциям

для близких (r < 5.1 кпк) к центру Галактики объектов (км/с/кпк)

t_i

s_i

v_i

15.0

34.9

-66.5

36.0

12.8

36.0

-49.5

35.0

7.2

36.2

34.8

36.2

59.5

36.1

20.7

37.3

24.3

37.3

-28.0

32.2

79.1

36.9

8.8

36.9

20.0

33.2

64.9

35.1

-22.3

35.1

12.4

38.4

60.2

36.2

21.1

36.2

32.5

29.9

-34.2

33.1

33.6

33.1

4.6

36.0

13.6

37.0

-51.3

37.0

8.1

28.7

-30.8

37.0

-25.0

37.0

15.5

31.4

-36.0

35.2

51.7

35.2

8.2

39.3

20.6

33.2

66.0

33.2

-42.9

31.0

-49.7

34.7

20.2

34.7

-24.2

38.8

-51.2

36.7

-10.1

36.7

9.7

29.3

-17.2

32.3

-20.4

32.3

-12.8

31.7

-31.9

34.2

-3.8

34.2

0.4

29.2

За неимением лучшего, можно обратить вни-

5164 до 144 770 пк, медиана — 14 383 пк, среднее

мание на гармоники t₅, s₃, s₈, однако они уже

значение — 21 703 пк). Распределение по небесной

немного меньше 2σ, поэтому их значения также

сфере в галактоцентрической системы координат

не надежны. Известный физический смысл имеет

обеих групп представлено на рис. 3 и 4.

только гармоника s₃, которая отвечает за движе-

Результаты для “близкой” группы представле-

ние всей системы в целом в направлении оси X.

ны в табл. 3. Мы видим, что близкие к центру

Остальные гармоники не имеют связи с линейной

кинематической моделью.

Галактики скопления имеют значительные стоха-

стические движения, ошибки определения коэф-

Для лучевых скоростей картина аналогич-

фициентов весьма велики (отчасти это связано и

ная. Очень высокие среднеквадратичные ошибки,

меньшим числом объектов). Даже коэффициент t₁

и ни одного значимого даже на уровне 2σ коэффи-

меньше 2σ.

циента.

Такая малая информативность, а также физи-

Совершенно иная картина наблюдается для

ческие соображения привели нас стандартной идее

собственных движений далеких скоплений

разделить объекты, в данном случае по расстоянию

(табл. 4). Абсолютно четко выделяется коэффи-

от центра Галактики на “близкие” и “далекие”,

циент t₁ на уровне значимости уже 3σ. Значения

несмотря на их предельно малое число. Каталог

остальных коэффициентов t_i и s_i указывают на

был разделен на две равные группы по 75 объ-

отсутствие других систематических движений.

ектов. В первой группе — скопления с расстоя-

Следует обратить внимание и на низкие ошибки

нием менее 5.1 кпк от центра Галактики (точные

этих коэффициентов, что говорит об уменьшении

данные от 480 до 5164 пк, медиана распреде-

случайных составляющих, отражающихся на соб-

ления — 2603 пк, среднее значение — 2800), во

ственных движениях. Для этой группы скоплений

второй группе — более 5.1 кпк (соответственно от

их вращение имеет период 1170 ± 50 млн. лет.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

550

ЦВЕТКОВ, АМОСОВ

Таблица 4. Коэффициенты разложения и среднеквадратичные ошибки галактоцентрических собственных движений

kμ_l cosb и kμ_b, и лучевых скоростей V_r/r шаровых скоплений по векторным и скалярным сферическим функциям

для далеких (r > 5.1 кпк) от центра Галактики объектов (км/с/кпк)

t_i

s_i

v_i

1.8

5.8

-15.2

4.8

6.3

4.8

-6.3

5.9

-3.3

4.9

4.2

4.9

-0.2

5.7

0.4

5.4

3.7

5.4

8.2

4.8

-0.2

4.8

1.3

4.8

2.3

6.5

-1.4

5.1

-0.4

5.1

10.9

5.7

-1.2

5.4

-3.4

5.4

0.4

5.0

-5.0

4.8

-3.2

4.8

-11.1

5.1

4.3

4.7

1.6

4.7

3.3

5.5

2.4

5.3

1.1

5.3

5.5

6.1

3.4

5.2

-3.3

5.2

-5.2

6.2

-5.6

5.1

0.6

5.1

7.7

5.4

6.5

5.0

0.7

5.0

7.7

4.9

-4.3

4.9

-7.1

4.9

-3.6

5.3

-7.8

4.6

-1.3

4.6

-5.8

5.3

3.1

4.7

5.7

4.7

7.6

5.0

В коэффициенты разложения по лучевым ско-

в учете вращения Солнца вокруг центра Галактики.

ростям на уровень значимости по критерию 2σ вы-

Этот вопрос нуждается в дополнительном исследо-

ходит коэффициент v₇, отвечающий за деформацию

вании.

поля скоростей в плоскости XY .

Возвращаясь к постановке задачи, мы хотим

подчеркнуть, что в данной работе описан метод,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

который будет использоваться для анализа боль-

ших данных. Этому и будет посвящена следующая

Подводя итог, мы можем сказать, что метод

статья.

сферических функций, хоть и не нашел большого

числа значимых гармоник, как это обычно бывает

Авторы выражают благодарности анонимным

при анализе различных групп звезд, но тем не менее

рецензентам за крайне полезные критические заме-

устойчиво показал наличие соосного с Галактикой

чания, которые позволили переработать изначаль-

вращения всей системы скоплений и отсутствие

ный вариант статьи.

вращений относительно других осей. Особенно

четко это наблюдается для далеких скоплений.

В этой работе использовались данные миссии

Можно сказать, что, к нашему удивлению, прак-

Gaia Европейского космического агентства (ESA)

тически не выявлено иных систематических дви-

(Gaia Collaboration et al., 2016), обработанные

жений, лишь под вопросом остается деформация

в плоскости XY . Это может говорить о слабой

Консорциумом обработки и анализа данных Gaia

причинной связанности всей системы скоплений.

(Gaia Collaboration et al., 2018). Финансирование

Наличие вращения всей системы в целом может

для DPAC было предоставлено национальными

быть вызвано и неинерциальностью галактоцен-

учреждениями, в частности учреждениями, участ-

трической системы координат вследствие ошибок

вующими в Многостороннем соглашении по GAIA.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

551

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

13. Коч и др. (A. Koch, M. Hanke, and N. Kacharov),

Astron. Astophys. 616, A74 (2018).

1. Абутер и др. (R. Abuter, A. Amorim, N. Anugu,

14. Массари и др. (D. Massari, H.H. Koppelman, and

M. Baubock, M. Benisty, and J.P. Berger), Astron.

A. Helmi), Astron. Astophys. 630, id.L4 (2019).

Astrophys. 615, id.L15 (2018).

15. Рейд, Брунхалер (M.J. Reid and A. Brunthaler),

2. Байкова, Бобылев (A. Bajkova and V. Bobylev),

MNRAS 3474 (2019).

Astrophys. J. 616, 872 (2004).

3. Баумгард и др. (Baumgardt et al.), Cat. J. MNRAS

16. Рёзер и др. (S. Roeser, M. Demleitner, and

482, 5138 (2019).

E. Schilbach), Astron. J. 139, 2440 (2010).

4. Бенет, Бови (M. Bennett and Jo Bovy), MNRAS 482,

17. Федоров и др. (P.N. Fedorov, A.A. Myznikov, and

1417 (2019).

V.S. Akhmetov), MNRAS 393, 133 (2009).

5. Бобылев В.В., Байкова А.Т., Астрон. журн. 84, 557

18. Федоров и др. (P.N. Fedorov, V.S. Akhmetov,

(2017).

V.V. Bobylev, and A.T. Bajkova), MNRAS 406, 1734

6. Броше (P. Brosche), Veroff. Astr. Rechen-Inst.,

(2010).

Heidelberg №17 (1966).

19. Фрике (W. Fricke), Astron. J. 72, 1368 (1967).

7. Буданова и др. (N. Budanova, A. Bajkova, V. Bobylev,

20. Харрис (W. Harris), arXiv:1012.3224 [astro-ph.GA]

and V. Korchagin), Astron. Rep. 63, 998 (2019).

(2010).

8. Васильев (E. Vasiliev), MNRAS 484, 2832 (2019).

21. Хельми и др. (A. Helmi, F. van Leeuwen,

9. Витязев, Цветков (V.V. Vityazev and A.S. Tsvetkov),

P.J. McMillan, D. Massari, T. Antoja, A.C. Robin,

Astron. Nachr. 334, 760 (2013).

L. Lindegren, U. Bastian, et al.), Astron. Astrophys.

10. Витязев В.В., Цветков А.С., Трофимов Д.А., Пись-

616, 12G (2018).

ма в Астрон. журн. 40, 783 (2014)

[V.V. Vityazev,

22. Цинн (R. Zinn), Astrophys. J. 293, 424 (1985).

A.S. Tsvetkov, and D.A. Trofimov, Astron. Lett. 40,

23. https://docs.astropy.org/en/stable/coordinates/gala

713 (2014)].

ctocentric.html

11. Дриммель, Поджио (R. Drimmel and E. Poggio),

24. Gaia Collaboration et al. (2016): Description of the

Res. Not. Am. Astron. Soc. 2, article id. 210 (2018).

Gaia mission.

12. Захариас и др. (N. Zacharias, C.T. Finch,

25. Gaia Collaboration et al. (2018): Summary of the

T.M. Girard, A. Henden, J.L. Bartlett, D.G. Monet,

and M.I. Zacharias), Astron. J. 145, 44 (2013).

contents and survey properties.

ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 46

№8

2020